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Seminario Universitario – Matemática

Módulo 4

Geometría

La Geometría es la ciencia que estudia las propiedades de las figuras y las relaciones que existen entre ellas. El hombre está rodeado de objetos y mediante una operación mental adquiere las formas de estos y los idealiza. Así, surgen los triángulos, los cuadriláteros, los polígonos en general, los poliedros, los cuerpos redondos, etc. En realidad ninguno de estos entes geométricos tiene existencia real, sólo existen perfectos en la mente del hombre, y son aproximaciones del mundo real. La abstracción sustituye al objeto observado por una figura ideal, que se llama figura geométrica. ENTES GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES Los entes geométricos fundamentales son: el punto, la recta, el plano y el espacio.

Ellos son los conceptos primitivos, o sea entes cuya existencia se acepta sin definir. Representación y notación El punto se representa por el cruce de dos pequeños trazos, o bien por la señal que deja la punta del lápiz. Los puntos se designan con una letra mayúscula de imprenta. Los puntos se marcan. Por ejemplo, los puntos A, B y C de la figura. La recta se representa por el dibujo de un trozo de recta, suponiendo que se extiende indefinidamente. Las rectas se denotan con una letra minúscula en cursiva. Las rectas se trazan. Por ejemplo, las rectas a, b y c en la figura.

El plano se representa por el dibujo de un trozo de plano con la forma de un paralelogramo, suponiendo que se extiende indefinidamente. A los planos se los nombra designándolos con una letra griega minúscula. Los planos se dibujan. Por ejemplo los planos α, β, y π de la figura.

α β π

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Módulo 4: Geometría

El conjunto de todos los puntos se llama espacio geométrico.

Es el conjunto universal con que se trabaja en geometría. Tanto las rectas como los planos son subconjuntos del espacio geométrico. Las figuras son conjuntos de puntos. Si todos los puntos están en el mismo plano, la figura se llama plana, pero si la figura pertenece a distintos planos la figura se llama espacial o más comúnmente cuerpo.

Hay ciertas propiedades sencillas que satisfacen los puntos, las rectas y los planos geométricos, que surgen de la observación y la experiencia, y que se las acepta como verdaderas. Estas propiedades aceptadas son los postulados. Algunos de ellos son:

• Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos en el espacio.

• Por un punto pasan infinitas rectas.

• Por una recta pasan infinitos planos.

• A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.

• A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos fuera de él.

• Dos puntos distintos determinan una recta a la cual pertenecen.

• Una recta y un punto no perteneciente a ella determinan un plano tal que el punto pertenece al plano y la recta está incluida en él.

• La recta determinada por dos puntos distintos cualesquiera de un plano está incluida en dicho plano.

• Si un punto pertenece a una recta y la recta está incluida en un plano, el punto pertenece a dicho plano.

Semirrecta Dada una recta y un punto que pertenece a ella; este punto separa a la recta en dos figuras, cada una de las cuales se llama semirrecta.

El punto dado se llama origen de cada una de las semirrectas que determina. Cada punto de una recta determina dos semirrectas de las cuales es origen; esas dos semirrectas se denominan semirrectas opuestas. Para denotar las semirrectas se utiliza el origen y otro punto que le pertenezca.

Se simboliza OA

: que se lee: semirrecta de origen O que contiene al punto A.

Segmento Dados dos puntos P y Q en una recta, se denomina segmento PQ, y se simboliza como PQ , a la intersección de las semirrectas PQ

y QP

.

En símbolos: PQ = PQ

∩ QP

P Q

a s

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Notación. El segmento PQ se indica: PQ , que se lee: “segmento PQ”; también se

puede denotar como: a , y en este caso se lee: "segmento a”.

Los puntos P y Q son los extremos del segmento.

Cualquier otro punto perteneciente al PQ y distinto de sus extremos se denomina punto interior al segmento. Todo punto que no pertenezca al segmento se llama punto exterior a dicho segmento. Dos segmentos son consecutivos cuando sólo tienen en común un extremo.

Punto medio de un segmento

Dado un segmento AB y un punto interior M, M es el punto medio del AB si y sólo si AM = MB . Analíticamente, las coordenadas del punto medio M de un segmento de extremos A (x1; y1) y B (x2; y2) son:

M 1 12 2,2 2

x x y y + +

Mediatriz de un segmento Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento trazada por su punto medio. Semiplano Dado un plano y una recta que está incluida en él; esta recta separa al plano en dos figuras, cada una de las cuales se llama semiplano. La recta dada se llama recta de división, de borde, o frontera de los dos semiplanos que ella determina. Se comprende que cualquier otra recta de dicho plano determinará otros dos semiplanos distintos de los primeros. Para denotar los semiplanos se utiliza la recta frontera y un punto que pertenezca al semiplano. Así, por ejemplo, se simboliza Spl(a, A), que se lee: Semiplano de frontera a que contiene al punto A. Ángulo plano Es una cualquiera de las dos regiones del plano determinadas por dos semirrectas de un mismo origen.

Las dos semirrectas que limitan el ángulo reciben el nombre de lados, y el origen de ellas se llama vértice. El ángulo considerado se marca con un arco que abarca la abertura del mismo. Notación: Se puede utilizar indistintamente alguna de las siguientes, siempre que no se presta a confusión:

ˆBAC o ˆCAB ; a b ; A ; α ó 1

1

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Ángulo convexo Es cada una de las regiones de un plano que quedan determinadas por dos rectas que se cortan. Clasificación de los ángulos convexos: Cuando dos rectas al cortarse determinan cuatro ángulos congruentes, cada uno de ellos se llama ángulo recto. Un ángulo menor que el ángulo recto se llama ángulo agudo. Un ángulo mayor que el ángulo recto se llama ángulo obtuso.

ABC es un ángulo recto.

DBC es un ángulo agudo.

GBC es un ángulo obtuso.

Ángulo cóncavo Si a un plano se le suprime un ángulo convexo queda determinado un ángulo cóncavo. Ángulo llano Cuando los dos lados de un ángulo son semirrectas opuestas, el ángulo se denomina llano. Por tanto, el ángulo llano es un semiplano. Todo ángulo convexo es menor que un ángulo llano. Todo ángulo cóncavo es mayor que un ángulo llano. Ángulo nulo Es aquel ángulo que tiene por lados dos semirrectas coincidentes, y todos sus puntos pertenecen a los lados. Ángulo de un giro El ángulo que tiene por lados dos semirrectas coincidentes, y no todos sus puntos pertenecen a los lados, se llama ángulo de un giro. El ángulo de un giro es un plano. Ángulos consecutivos Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado común y ningún otro punto común fuera de los de ese lado.

Así, los ángulos α y β son consecutivos.

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Bisectriz de un ángulo Es la semirrecta interior al ángulo que lo divide en dos ángulos congruentes.

OR

es bisectriz del MON ⇔ MOR = RON

Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios si su suma es el ángulo recto. Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si su suma es el ángulo llano. Ángulos adyacentes Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas opuestas.

α y β adyacentes

Consecuencia de la definición: Los ángulos adyacentes son suplementarios.

Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son las semirrectas opuestas a los lados del otro. Propiedad: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Rectas perpendiculares Una recta es perpendicular a otra cuando se cortan formando cuatro ángulos rectos. Rectas paralelas Dos rectas de un plano son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, es decir cuando no se cortan; o cuando tienen todos los puntos en común, es decir, cuando son coincidentes. Ángulos determinados por dos rectas cortadas por una tercera

Se llama secante a la recta que corta una figura geométrica cualquiera. Sean las rectas a, b y s, tales que s es secante a las otras dos; se forman así ocho ángulos, que considerados por pares reciben los siguientes nombres:

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• Ángulos correspondientes Son los pares de ángulos no adyacentes, uno exterior y el otro interior, situados en un mismo semiplano con respecto a la secante.

Por ejemplo son ángulos correspondientes 1γ y 2γ .

• Ángulos alternos internos (externos) Son los pares de ángulos no adyacentes, ambos interiores (exteriores), situados en distintos semiplanos con respecto a la secante.

Por ejemplo, son ángulos alternos internos 1γ y

2α , y son ángulos alternos externos: 1α y 2γ .

• Ángulos conjugados internos (externos) Son los pares de ángulos, ambos interiores (exteriores), situados en un mismo semiplano con respecto a la secante.

Por ejemplo, son ángulos conjugados internos: 1γ y 2β , y son ángulos conjugados

externos: 1α y 2δ .

Propiedades: Los ángulos correspondientes determinados entre paralelas cortadas por una

transversal son congruentes. Los ángulos alternos internos (externos) determinados entre paralelas

cortadas por una transversal son congruentes. Los ángulos conjugados internos (externos) determinados entre paralelas

cortadas por una transversal son suplementarios. Y son válidos los recíprocos: Si dos rectas cortadas por una tercera determinan ángulos correspondientes

congruentes, dichas rectas son paralelas. Si dos rectas cortadas por una tercera determinan ángulos alternos internos

(externos) congruentes, dichas rectas son paralelas. Si dos rectas cortadas por una tercera determinan ángulos conjugados

internos (externos) suplementarios, dichas rectas son paralelas. Ángulos de lados paralelos Si dos ángulos tienen ambos lados directamente o inversamente paralelos, son congruentes; y si ellos tienen entre sí dos lados directamente paralelos e inversamente paralelos los otros dos, son suplementarios. Nota: Dos semirrectas son directamente paralelas cuando son paralelas y poseen el mismo ordenamiento natural. Dos semirrectas son inversamente paralelas si son paralelas, pero tienen un ordenamiento natural opuesto.

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Ángulos de lados perpendiculares Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son congruentes si ambos ángulos son agudos, u obtusos; y son suplementarios si uno de ellos es agudo y el otro es obtuso. Circunferencia Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos P en el plano que están a una distancia fija r dada, llamada radio, de un punto fijo O dado, llamado centro. La circunferencia de centro O y radio r se denota como: C (O; r)

Simbólicamente:

C (O; r) = {∀P ∈ a un mismo plano que pasa por O / PO = r}

Puntos interiores Todos los puntos del plano de una circunferencia, tales que sus distancias al centro son menores que el radio, se llaman puntos interiores a dicha circunferencia.

Así, en la figura anterior, F es un punto interior porque el segmento OF , que es la distancia de F al centro de la circunferencia, es menor que el radio. Círculo Se llama círculo de centro O y radio r a la figura formada por los puntos de la circunferencia de centro O y radio r, y por los interiores a ella. El círculo de centro O y radio r se expresa simbólicamente como: C(O; r) Obsérvese que, el círculo es una parte del plano que tiene por contorno, por borde, o por frontera, a la circunferencia de igual centro y radio, mientras que la circunferencia es una curva. El círculo es la porción de plano interior a la circunferencia, más ésta. Angulo central En una circunferencia, o en un círculo, se llama ángulo central a todo ángulo, perteneciente a su plano, cuyo vértice es el centro de la circunferencia, o del círculo.

Ejemplo: El ángulo α es un ángulo central, pues su vértice es el centro de la circunferencia O.

Arco Se llama arco a la parte de la circunferencia determinada por dos de sus puntos, denominados extremos del arco. 93


Notación: Para distinguir a uno de estos arcos del otro, se elige en uno de ellos un punto cualquiera, el C por ejemplo; y se lee: “arco de extremos A y B que contiene al punto C”, o sólo “arco AB que contiene al punto C”. Esto se indica como:

AB que contiene a M, o bien ACB

El otro arco de extremos A y B, el de trazo grueso, se dice: AB que no contiene al punto M

El ángulo central tal que sus lados pasan por los extremos de un arco y todos los demás puntos del arco son interiores al ángulo, se dice ángulo central correspondiente a dicho arco, o que abarca ese arco.

En la figura, α es el ángulo central correspondiente al arco RS . También se puede decir: RS es el arco correspondiente al ángulo central α (no habitual).

Se llama semicircunferencia al arco cuyo ángulo central correspondiente es un ángulo llano.

El arco tal que su ángulo central correspondiente es un ángulo recto se llama cuadrante. Cuerda Se llama cuerda al segmento determinado por dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Ejemplo: Los segmentos AB y CD , de la figura, son cuerdas de la circunferencia O. Los extremos de una cuerda dividen a la circunferencia en dos arcos que se llaman arcos correspondientes a la cuerda o arcos subtendidos por la cuerda. Diámetro Se llama diámetro a toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Consecuencias de la definición: Consecuencia 1: El diámetro es igual al duplo del radio.

Designando con D al diámetro RS , resulta:

D = 2 r Consecuencia 2: Todos los diámetros de una circunferencia son congruentes. Entonces, de acuerdo a esta segunda conclusión se puede decir “el diámetro” de una circunferencia para referirse a un diámetro cualquiera de la misma. 94


Polígono Poligonal: es aquella figura que se compone de dos o más segmentos dados en un cierto orden de modo que dos consecutivos no estén alineados Si los extremos coinciden, la poligonal se denomina cerrada; y si no, abierta.

Se llama polígono a la porción de plano limitada por una poligonal cerrada. En todo polígono hay por lo menos tres ángulos, pues etimológicamente la palabra está formada por los vocablos: poli = muchos y gonos = ángulos. Notación: El polígono se designa por los puntos que lo determinan. Las letras correspondientes a los vértices se escriben consecutivamente a partir de uno cualquiera de ellos. Así, el polígono convexo de la figura anterior se puede designar como:

políg ABCDE, que se lee polígono ABCDE. Elementos de los polígonos Los segmentos dados que determinan la poligonal se llaman lados. Los extremos de los segmentos de la poligonal, se llaman vértices. Los segmentos determinados por cada par de vértices no consecutivos se llaman diagonales. Los ángulos interiores, o simplemente ángulos, son los ángulos convexos determinados por cada par de lados consecutivos del polígono. Los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro consecutivo se llaman ángulos exteriores del polígono. Es decir, son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores del polígono. La quebrada o poligonal constituida por todos los lados del polígono se llama contorno, y su suma perímetro. Es evidente que todo polígono tiene tantos lados y ángulos como vértices posee. Se llaman ángulos consecutivos de un polígono a los ángulos interiores correspondientes a vértices consecutivos.

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Nombres de los polígonos Los polígonos reciben distintos nombres según sea el número de lados que posean.

Un polígono de once lados se llama undecágono, uno de doce dodecágono, uno de quince pentadecágono y uno de veinte lados icoságono. A los restantes se los llama simplemente como polígono de “tantos” lados. Número de diagonales de un polígono El número de diagonales que se pueden trazar desde cada vértice de un polígono de n lados es: n – 3. Entonces, el número total de diagonales que pueden trazarse en un

polígono de n lados es: 3

2n (n )−

Suma de los ángulos interiores de un polígono La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es igual a (n – 2) veces el ángulo llano.

SINT = 2 R (n – 2)

Suma de los ángulos exteriores de un polígono La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a cuatro rectos.

SEXT = 4 R TRIÁNGULOS Todo polígono de tres lados se llama triángulo.

Clasificación de los triángulos Se pueden clasificar de acuerdo a dos aspectos, no totalmente excluyentes:

A B

C

a b

c

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• Atendiendo a sus lados Equilátero: es el triángulo que tiene los tres lados congruentes. Isósceles: es el triángulo que tiene dos lados congruentes. Escaleno: es el triángulo que tiene los tres lados desiguales (no congruentes). • Atendiendo a sus ángulos Rectángulo: es el que tiene un ángulo recto. Oblicuángulo: es el que no tiene ningún ángulo recto. Este se divide a su vez en obtusángulo y acutángulo. Triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso; y triángulo acutángulo es el que tiene los tres ángulos agudos. Relaciones que vinculan los ángulos de un triángulo

• Suma de los ángulos interiores de un triángulo En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.

En el ABC

: ˆ ˆ 2ˆ Rα β δ+ + =

• Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes al mismo.

En el ABC

: ˆˆ ˆγ α δ= +

Corolario: Todo ángulo exterior de un triángulo es mayor que cada uno de los ángulos interiores no adyacentes al mismo.

Relaciones que vinculan los lados con los ángulos de un triángulo En un triángulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes; y a lados desiguales le corresponden ángulos opuestos desiguales en el mismo sentido. Recíprocamente, en un triángulo a ángulos congruentes se oponen lados congruentes; y a ángulos desiguales le corresponden lados opuestos desiguales en el mismo sentido.

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Relaciones que vinculan los lados de un triángulo En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia entre los mismos, efectuada en el sentido en que ésta sea posible.

Así, en el ABC

: a < b + c ∧ a > b – c ; …

Alturas de un triángulo Se llama altura del triángulo correspondiente a un lado, o a un vértice, al segmento de perpendicular trazado desde dicho vértice hasta la recta que contiene al lado opuesto. Se las representa por una letra h, con un subíndice igual a la letra del vértice correspondiente, o del lado correspondiente. Las rectas que incluyen las alturas se cortan en un punto. Medianas de un triángulo Las medianas de un triángulo son los segmentos determinados por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Simbólicamente, las medianas se representan por la letra m con un subíndice coincidente con: la letra del vértice correspondiente, o con el nombre del lado correspondiente. Las medianas concurren a un punto interior al triángulo llamado baricentro, es el centro de gravedad del triángulo. El baricentro está situado a una distancia de cada vértice igual a los dos tercios de la mediana correspondiente al respectivo vértice. Bisectrices de un triángulo Se llaman bisectrices de un triángulo a los segmentos de las bisectrices correspondientes a sus ángulos interiores comprendidos entre el vértice de dicho ángulo y el lado opuesto. Simbólicamente, las bisectrices de un triángulo se representan por una letra b con un subíndice coincidente con la letra del vértice del ángulo correspondiente. Las bisectrices de un triángulo concurren a un punto interior al triángulo llamado incentro, por ser el centro de la circunferencia inscripta en el triángulo. Mediatrices de un triángulo Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices correspondientes a cada uno de sus lados. Por lo tanto, de acuerdo a esta definición NO es un segmento, es una recta. Las mediatrices de un triángulo concurren a un punto llamado circuncentro, por ser el centro de la circunferencia circunscripta alrededor del triángulo.

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Triángulos Rectángulos

Dado el BAC

, es un triángulo rectángulo, porque el ángulo A es recto.

Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. El triángulo rectángulo se denota de modo que el vértice correspondiente al ángulo recto aparezca en el medio, y que las dos letras de los extremos indiquen la hipotenusa. Así, al

indicar que el BAC

es rectángulo, se da por sobreentendido

que el ángulo A es el ángulo recto, y que BC es la hipotenusa. • Propiedad de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

Dado el BAC

rectángulo: B + C = 1 R

• Propiedad de la hipotenusa de un triángulo rectángulo En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.

a > b ∧ a > c

• Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a 2 = b 2 + c 2

Propiedad de los triángulos isósceles En todo triángulo isósceles la altura correspondiente a la base es a la vez mediana correspondiente a la base, bisectriz del ángulo opuesto, y está incluida en la mediatriz correspondiente a la base.

En el BAC

isósceles: hA = mA

hA = bA

AM ⊂ mediatriz del BC

CUADRILÁTEROS

Todo polígono de cuatro lados se llama cuadrilátero. Propiedades de los cuadriláteros por ser polígonos 1º . Un cuadrilátero tiene dos diagonales.

2º . La suma de los ángulos interiores es: SINT = 2 R (4 – 2) = 2 R · 2 = 4 R

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En todo cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es igual a 4 rectos. 3º . La suma de los ángulos exteriores, como en todo polígono, es igual a cuatro

rectos: SEXT = 4 R. Es decir, que los cuadriláteros son los únicos polígonos para los cuales la suma de los ángulos exteriores es igual a la suma de los ángulos interiores. Clasificación de los cuadriláteros La clasificación de los cuadriláteros se sintetiza en el siguiente cuadro:

Generales

Paralelogramos Rectángulos

Particulares Rombos

Cuadrados

Cuadriláteros

Trapecios

No Paralelogramos Generales

Trapezoides

Particulares Romboides

Paralelogramos Paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos.

Se indica: ABCD

, se lee: paralelogramo ABCD. Se llama base a uno cualquiera de sus lados y, altura a la distancia de la base al lado opuesto, o a su prolongación.

Por ejemplo, si se considera al lado AB como la base del ABCD

, h es su altura.

Propiedades de los paralelogramos: En todo paralelogramo: a) Los lados opuestos son congruentes; b) Los ángulos opuestos son congruentes; y c) Las diagonales se cortan mutuamente en partes congruentes.

Sea el ABCD

:

a) AB = CD y AD = BC ;

b) A = C y B = D ;

c) AM = MC y DM = MB .

Son válidos los recíprocos.

h h h

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Rectángulo Se llama rectángulo al paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos. El rectángulo es equiángulo, pero no equilátero.

Se indica: ABCD

, y se lee: “rectángulo ABCD”.

Siendo el rectángulo un paralelogramo especial, hereda todas las propiedades de los paralelogramos en general, y además el rectángulo tiene otras propiedades particulares, entre ellas: Las diagonales de un rectángulo son congruentes. Rombo Se llama rombo al paralelogramo que tiene sus cuatro

lados congruentes. El rombo es equilátero, pero no equiángulo.

Se indica: ABCD◊

, y se lee: “rombo ABCD”.

Siendo el rombo un paralelogramo especial, hereda todas las propiedades de los paralelogramos en general, y además el rombo tiene otras propiedades particulares, entre ellas: Las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen. Cuadrado Se llama cuadrado al paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos y sus cuatro lados congruentes. El cuadrado es equiángulo y equilátero.

Se indica: ABCD

, y se lee: “cuadrado ABCD”.

Por ser el cuadrado un paralelogramo tiene, evidentemente, las propiedades de los paralelogramos en general. Por ser el cuadrado un caso particular del rectángulo, tiene las propiedades particulares de éste. Por ser el cuadrado un caso particular del rombo, tiene las propiedades particulares de éste. Los cuadriláteros que no son paralelogramos se clasifican en trapecios y trapezoides. 101


Trapecio Se llama trapecio al cuadrilátero que tiene únicamente dos lados opuestos paralelos. Así, el cuadrilátero de la figura es un trapecio, pues únicamente tiene paralelos los

lados opuestos AB y CD .

Los lados paralelos se llaman bases del trapecio; los lados oblicuos, o lados no paralelos, se llaman simplemente lados; y la distancia entre las bases se denomina altura.

En el trapecio de la figura, AB es la base mayor del trapecio, por ser el segmento

mayor de los lados paralelos, y CD es la base menor del trapecio.

Se indica: trap ABCD , y se lee: “trapecio ABCD”.

Clasificación de los trapecios Los trapecios se clasifican en: Trapecio isósceles: es aquel que tiene los lados (oblicuos) congruentes. Trapecio escaleno: es aquel que tiene los lados desiguales. Dentro de los trapecios escalenos, puede ocurrir que uno de los dos ángulos adyacentes a cada base sea recto, en cuyo caso recibe el nombre de trapecio rectángulo.

Propiedades de los trapecios isósceles En todo trapecio isósceles: a) Los ángulos opuestos son suplementarios. b) Los ángulos interiores adyacentes a cada una de las bases son respectivamente

congruentes. c) Las diagonales son congruentes.

Trapecio isósceles Trapecio escaleno propiamente dicho

Trapecio rectángulo

Trapecios escalenos

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Romboide Se llama romboide al trapezoide particular que tiene dos lados consecutivos congruentes y los otros dos lados distintos de los anteriores, pero también congruentes entre sí. La diagonal del romboide que une los vértices a los cuales concurren los pares de lados congruentes se llama diagonal principal. Propiedades del romboide La diagonal principal del romboide es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une, y corta perpendicularmente a la otra diagonal en el punto medio. Polígonos regulares Un polígono se denomina regular cuando tiene todos sus lados y todos sus ángulos respectivamente congruentes. Todo polígono regular es equilátero y equiángulo. Un polígono está inscripto en una circunferencia cuando sus vértices están sobre la circunferencia y los lados son cuerdas de la misma; también se dice que la circunferencia está circunscripta al polígono. Un polígono está circunscripto a una circunferencia cuando sus lados son tangentes a la circunferencia y los lados son cuerdas de la misma; también se dice que la circunferencia está inscripta en el polígono. En un polígono regular el centro de la circunferencia inscripta y el centro de la circunferencia circunscripta coinciden. Centro, radio y apotema de un polígono regular Se llama centro del polígono regular el centro común de la circunferencia inscripta y circunscripta. Se llama radio de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscripta al polígono. Se llama apotema de un polígono regular al radio de la circunferencia inscripta en el polígono. O sea, la apotema es la distancia del centro a uno cualquiera de los lados del polígono regular. O también, la apotema de un polígono regular es el segmento de perpendicular trazado por su centro a uno de sus lados; y por consiguiente es el segmento determinado por su centro y el punto medio de dicho lado.

La apotema de un polígono regular de n lados se designa con la letra a seguida de un subíndice igual al número de lados del polígono regular, an, al que pertenece.

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Ángulo central de un polígono regular El ángulo que tiene por vértice el centro del polígono regular y que abarca un lado del mismo se llama ángulo central del polígono regular. En todo polígono regular de n lados la suma de los n ángulos en el centro es igual a 2 llanos, y como todos ellos son congruentes, el valor del ángulo central es:

α = 2 llanos

n =

4Rn

Perímetro de figuras geométricas El perímetro de una figura geométrica plana es la longitud de su contorno. En las figuras poligonales el perímetro se calcula sumando la longitud de todos sus lados. La longitud de la circunferencia es igual al duplo del producto del número π por el valor del radio de la misma. Área de figuras geométricas planas La medida de la región o superficie encerrada por una figura geométrica plana es el área de la misma. A continuación se presenta un resumen de fórmulas de cálculo de área y perímetro de las figuras geométricas más utilizadas.

Triángulo Triángulo rectángulo Paralelogramo

A = ·2

b h

P = a + b + c

A = ·2

b c

P = a + b + c

A = b h

P = 2 (a + b)

360º120º

3=

360º90º

4=

360º72º

5=

360º60º

6=

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Rectángulo Rombo Cuadrado

A = b h

P = 2 (b + h) A = 2

D .d

P = 4 a

A = l 2

P = 4 l

Trapecio Romboide Cuadrilátero

A = 2+B b h

P = B + b + c + d

A = 2

D .d

P = 2 (a + b)

A = suma de las áreas de los dos triángulos

P = a + b + c + d

Polígono regular Circunferencia Círculo

A = 2

P .a

P = n l

L = 2 π r

A = π r 2

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Figuras geométricas en el espacio La geometría del espacio estudia los cuerpos que tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto. Un cuerpo es “un objeto” que ocupa un lugar en el espacio. La cantidad de espacio que ocupa un cuerpo es el volumen del mismo. La suma de las superficies de sus “caras externas” es la superficie de un cuerpo. Poliedros Se llama poliedro a un cuerpo geométrico cerrado delimitado por polígonos. Estos polígonos se denominan caras, y sus lados aristas.

La figura plana formada extendiendo todas las caras de un poliedro sobre un plano, de modo que cada cara permanezca unida a otra contigua mediante la misma arista con que lo estaba en el poliedro se llama desarrollo plano de un poliedro. Los poliedros convexos se dividen en regulares (o de Platón) e irregulares. Las caras de los poliedros regulares son polígonos regulares iguales entre sí. Solamente hay cinco poliedros regulares; éstos reciben sus nombres de acuerdo con el número de caras: tetraedro (4 triángulos), hexaedro o cubo (6 cuadrados), octaedro (8 triángulos), dodecaedro (12 pentágonos) e icosaedro (20 triángulos).

A su vez los poliedros convexos también se clasifican en: primas y pirámides.

Prismas: son aquellos poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y las caras laterales son paralelogramos.

La altura de un prisma es la distancia entre los planos de sus bases. Los lados de las bases constituyen las aristas básicas, y los lados de las caras laterales las aristas laterales. Las aristas laterales son respectivamente iguales y paralelas entre sí. Clases de prismas: • dependiendo del ángulo que formen las aristas laterales con las bases: prismas

rectos, cuando las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases; o si no lo son se denominan prismas oblicuos.

• dependiendo del número de lados de los polígonos básicos, se llaman prismas triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.

En un prisma recto las caras laterales son cuadrados o rectángulos, y las aristas laterales son iguales a la altura.

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En un prisma oblicuo las caras laterales son rombos o paralelogramos generales y las aristas laterales son mayores que la altura. Si el prisma es recto y las bases son polígonos regulares se lo llama prisma regular, y si el prisma es recto y las bases son polígonos irregulares es un prisma irregular. Los prismas se nombran según el tipo que sea el polígono de las bases.

Si se corta un prisma a lo largo de toda una de sus aristas laterales y luego por las de sus bases, y se lo extiende sobre una superficie plana, se obtiene su desarrollo plano. Si se procede al revés, primero se dibuja su desarrollo y luego se lo recorta del papel, se lo puede construir uniéndolo por sus aristas. Entonces, el desarrollo plano de un prisma consta de las dos bases y los rectángulos (o paralelogramos) laterales.

Superficie de un prisma El desarrollo del prisma permite ver con toda claridad cuál es su área. El área lateral de un prisma es la suma de las áreas de los rectángulos que forman las caras laterales. Se observa en el desarrollo del prisma que todas las caras laterales forman un rectángulo cuya base es el perímetro de una de las bases del prisma, y su altura es la altura del prisma. Entonces, el área lateral AL de un prisma es igual al perímetro de la base PB por la altura h. En símbolos: AL = PB · h. Si al área lateral se le suman las áreas de sus bases, se obtiene el área total del prisma. Conviene tener en cuenta que las dos bases de un prisma son iguales, y en consecuencia tienen igual área. El área total de un prisma AT es el área lateral del mismo AL más el duplo del área de la base AB. En símbolos: AT = AL + 2 AB. El volumen V es igual al producto del área de la base AB por la altura h. En símbolos: V = AB · h.

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Pirámides: son aquellos poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide, cúspide o ápice.

La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice. Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales. La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Clases de pirámides Se las puede clasificar según distintos criterios: • Según donde incida la altura de la pirámide en la base, pueden ser: pirámides

rectas, si la altura coincide en el centro de la base y si no pirámides oblicuas. • Según el tipo que sea el polígono de su base, o sea por el número de caras

laterales que posea; así pueden ser: triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. En una pirámide recta las caras laterales son triángulos isósceles. En una pirámide oblicua alguna de las caras laterales no es un triángulo isósceles. Si la pirámide es recta y la base en un polígono regular se la llama pirámide regular, y si la pirámide es recta pero la base no es un polígono regular se la denomina pirámide irregular. En una pirámide regular todas sus caras son triángulos isósceles congruentes. En una pirámide regular es importante distinguir entre la apotema lateral de la pirámide y la apotema de su base. Calculamos la apotema lateral AP, conociendo la altura h y la apotema de la base aP, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado.

Calculamos la arista lateral de la pirámide a, conociendo la altura h y el radio r de la base o radio de la circunferencia circunscripta, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado.

Las pirámides reciben nombres de acuerdo al tipo de polígono que sea su base.

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Si se corta una pirámide por una de sus aristas laterales y por las de su base, y se la extiende sobre una superficie plana, se obtiene su desarrollo plano. El desarrollo plano de una pirámide está formado por la base y por tantos triángulos como lados tenga el polígono de la base. Entonces el desarrollo de una pirámide consta de tantos triángulos como sea el número de sus caras y el polígono de su base.

Superficie de una pirámide El desarrollo de una pirámide permite ver con toda claridad cuál es su área. El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de los triángulos que forman las caras laterales. El área lateral de una pirámide regular se puede hallar como el producto del área de una cara lateral multiplicado por el número de caras laterales. O también, el área lateral AL de una pirámide regular es igual al semiproducto del

perímetro de la base PB por la apotema lateral AP. En símbolos: AL =2

B PP A.

El área total de una pirámide AT es el área lateral de la misma AL más el área de la base AB. En símbolos: AT = AL + AB. El volumen V es la tercera parte del producto del área de la base AB por la altura h.

En símbolos: V =3BA h

.

Cuerpos redondos o de revolución Son los cuerpos geométricos que se generan al girar una recta o curva llamada generatriz alrededor de otra llamada eje de revolución. Se clasifican en:

Cilindro: Un cilindro es un cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

El eje del cilindro es el lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo. Las bases son los círculos que engendran los lados perpendiculares al eje. La altura es la distancia entre las dos bases. La generatriz es el lado opuesto al eje, es el lado que engendra al cilindro, la cual es igual a su altura. 109


Desarrollo plano del cilindro El desarrollo plano de un cilindro consta de las dos bases, que son círculos congruentes entre sí, y un rectángulo.

Superficie del cilindro En el desarrollo de un cilindro se aprecia que la superficie lateral de un cilindro es un rectángulo cuya base es igual al perímetro del círculo y cuya altura es la del cilindro. El área lateral AL del cilindro es igual al producto entre la longitud de la base por la altura. En símbolos: AL = 2 π · r · h.

El área total del cilindro AT es igual a la suma entre el área lateral del mismo y las áreas de los dos círculos de las bases En símbolos: AT = AL + 2 AB = 2 π · r · (h + r). El volumen V es el producto del área de la base AB por la altura h. En símbolos: V = AB · h = π · r2 · h.

Cono: El cono es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

El eje del cono es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo. La base es el círculo que forma el otro cateto. La altura es la distancia del vértice a la base. La generatriz es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado se relacionan la generatriz g, la altura h y el radio r de la base.

Si se abre un cono y se abate sobre una superficie plana tanto su base como su superficie lateral se tiene el desarrollo plano del cono, y éste consta de un círculo y un sector circular.

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Superficie del cono El desarrollo del cono nos muestra que su área lateral es la superficie de un sector circular. El radio de este sector es la generatriz del cono, y la longitud del arco correspondiente es la de la circunferencia de la base. El área lateral AL del cono es el área del sector circular que es igual al producto entre π por el radio por la generatriz. En símbolos: AL = π · r · g.

El área total del cono AT es igual a la suma entre el área lateral del mismo y el área de la base, que es un círculo. En símbolos: AT = AL + AB = π · r · (g + r).

El volumen V del cono es un tercio del área de la base AB por la altura h. En

símbolos: V = 3BA h

= 2

3r hπ

.

Esfera: Superficie esférica: Una superficie esférica es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro. Esfera: Una esfera es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica. El centro de la esfera es el punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera. El radio es la distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera. Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la superficie esférica. El diámetro es una cuerda que pasa por el centro. Los polos son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica. Aunque se consiga pelar una naranja en una sola pieza, no se podrá formar con la cáscara una figura plana. A diferencia del cilindro y el cono, la esfera no tiene un desarrollo plano.

El área de la superficie esférica es A = 4 π · r2.

El volumen de la esfera es V = = 43

π · r3.

Síntesis de las fórmulas de área y volumen de los cuerpos desarrollables

El área de los cuerpos geométricos es igual a la suma de las áreas de sus caras. El volumen de los cuerpos geométricos que no terminan en punta (cubo, prisma, cilindro) es igual al producto del área de la base por la altura del cuerpo:

Volumen = área de la base x altura El volumen de los cuerpos geométricos que terminan en punta (pirámide y cono) se calcula multiplicando el área de la base por la altura y dividiendo el resultado entre tres:

Volumen = 3

áreade labase altura×.

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Resumen de fórmulas de los cuerpos geométricos:

Figura Esquema Área Volumen

Cubo

AL = 4 a2

AT = 6 a2

V = a3

Prisma

AL = PB · h

AT = AL + 2 AB. V = AB · h

Pirámide

AL = Σ ACARAS

AT = AL + AB.

V = 3BA h

Pirámide regular

AL =2

B PP A

AT =

=( )

2B P PP A a+

.

V = 3BA h

Cilindro

AL = 2 π · r · h

AT = AL + 2 AB = 2 π · r · (h +

r)

V = AB · h = π · r2 · h

Cono

AL = π · r · g

AT = AL + AB = π · r · (g + r)

V = 3BA h

=

2

3r hπ

Esfera

A = 4 π · r2 V = = 43

π · r3.

AP

a

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