SEMINARSKAwiki.fmf.uni-lj.si/images/8/83/Fibbonacijevo_zaporedje.pdfSeminarska naloga: Fibonaccijevo...

Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska 19 1000 Ljubljana

SEMINARSKA:

FIBONACCIJEVO ZAPOREDJE

PRI PREDMETU KOMUNICIRANJE

V MATEMATIKI

Pripravila: Mihaela Kosič

Mentor: prof. dr. Tomaž Pisanski

Seminarska naloga: Fibonaccijevo zaporedje Stran 2

Leonardo Pisano-Fibonacci

Je živel med 12. in 13. stol. v Pisi, Italija. Bil je utemeljitelj

Fibonaccijevega zaporedja in Zlatega reza, ki se še danes uporablja v

arhitekturi. Bil je eden prvih v zgodovini, ki so uvedli arabske številke.

Trdil je, da je celotna narava matematično urejena. Njena kaotičnost in

neurejenost je samo iluzija, ki zavaja nevedneže. Zlati rez je tako kot

Fibonaccijevo zaporedje v naravi povsod prisoten.

Fibonaccijeva števila se v rastlinskem svetu pojavljajo zelo pogosto in z

izredno natančnostjo. Raziskovalci so pokazali, da se kar na 92% vseh

rastlin, ki vsebujejo spirale, kažejo Fibonaccijevo zaporedje.

Fibonaccijevo zaporedje najdemo v razporeditvi listov rastlin, v številu

cvetnih listov ipd. Taka razporeditev vsakemu listu omogoča maksimalen

izkoristek prostora in obenem tudi optimalno možnost za fotosintezo,

semenom pa, da njihova razporeditev zavzame minimalen prostor, kar

lahko opazimo tudi pri spiralasti razporeditvi semen sončnice.


Fibonaccijeva števila, ki določajo Fibonaccijevo zaporedje, so v

matematiki rekurzivno določena z naslednjimi enačbami:

Kar da Fibonaccijeva števila:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…


Razmerje med Fibonaccijevimi števili

in zlatim rezom

Zlato razmerje je število, katerega decimalni del ni končen, in nima

periode.

Poglejmo si povezavo med zlatim razmerjem in enostavnimi števili iz

Fibonaccijevega zaporedja.

S kalkulatorjem si izračunajmo ulomke zaporednih Fibonaccijevih števil :

1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.66, 8/5=1.6, 13/8=1.625, 21/13=1.6153, … .

Ugotovimo lahko, da se z večanjem zaporednih Fibonaccijevih števil v

ulomku, vrednosti ulomkov približujejo zlatemu razmerju:


Računanje Fibonaccijevih števil

(členov zaporedja)

Za majhne vrednosti n, torej za računanje majhnih členov

zaporedja uporabimo naslednjo formulo:

Primer: izračunajmo 20. člen zaporedja:

Računanje Fibonaccijevih števil z računanjem potenc števila zlatega reza

ni preveč praktično, razen za majhne vrednosti n, ker se bodo

zaokrožitvene napake povečale in števila s tekočo vejico po navadi niso

dovolj natančna.

Neposredna rekurzivna uporaba določitve Fibonaccijevega

zaporedja ni preveč priročna, ker moramo računati preveč

vrednosti zaporedoma (razen če programski jezik dovoljuje

shrambo predhodnih vrednosti funkcije). Zato po navadi računamo

Fibonaccijeva števila od spodaj navzgor. Začnemo z vrednostma 1

in 1, potem pa izmenoma zamenjujemo prvo število z drugim,

drugo število pa z vsoto prejšnjih dveh.


Za velike vrednosti n in če uporabimo programski jezik z možnostjo

računanja velikih števil, je hitrejša pot računanja Fibonaccijevih

števil z naslednjo matrično enačbo:

ki namesto potenciranja uporablja kvadriranje.

Primer: izračunajmo 40. člen zaporedja s pomočjo Matlaba-a

Definiramo si matriko A

>> A=[1 1; 1 0]

A =

1 1

1 0

Sedaj matriko A damo na potenco 40 in dobimo:

>> A^40

ans =

165580141 102334155

102334155 63245986

* 40 člen zaporedja




Fibonaccijeva števila v Pascalovem trikotniku

Kaj je Pascalov trikotnik?

Pascalov trikotnik je trikotnik sestavljen iz števil. Na vrhu je eno samo

število in sicer število 1, v drugi vrstici sta dve števili in tako v vsaki

naslednji eno število več. Vsa leva skrajna in desna skrajna števila so

enice. Vsa preostala števila pa dobimo tako, da seštejemo števili nad

iskanim številom. Pascalov trikotnik se nadaljuje navzdol poljubno daleč.

Kje najdemo Fibonaccijeva števila v Pascalovem trikotniku?

Fibonaccijeva števila v

Pascalovem trikotniku najdemo

kot vsoto diagonalnih členov.

Ker pa je Pascalov trikotnik

simetričen, so Fibonaccijeva

števila kot vsota členov po

diagonalah na levi in desni

strani trikotnika.


Do pitagorejske trojice s pomočjo Fibonaccijevih števil

1. Primer

Vzamemo 4 zaporedne člene Fibonaccijevega zaporedja: 1, 2, 3, 5

2. Primer

Vzamemo 4 zaporedne člene Fibonaccijevega zaporedja: 8, 13, 21, 34


Pretvarjanje milj v kilometre s pomočjo Fibonaccijevih števil

Zanimiva uporaba Fibonaccijevega zaporedja je pri pretvarjanju milj v

kilometre.

Na primer, če bi radi vedeli koliko kilometrov je 5 milj, vzamemo

Fibonaccijevo število (5) in poiščemo naslednje (8). 5 milj je približno 8

kilometrov.

8 milj je 13 kilometrov,



.

.

.

To deluje ker je pretvorbeni količnik med miljami in kilometri približno

enak φ (zlati sredini).


Fibonaccijev kot

3/8 * 360°= 135°

5/13 * 360°=138,46°

8/21 * 360°=137,14°

13/34 * 360°=137,65°

21/55 * 360°=137,45°

.

.

Kot s približkom 137,5° se imenuje Fibonaccijev kot, dobimo ga kot

° če poženemo k preko meja.

• Razporeditev listov okoli stebla za fibonaccijev kot (137,5 )

• Za optimalen izkoristek sončne svetlobe in minimalno prekrivanje drugih listov (filotaksija).


Fibonaccijeva številapri rožah

1

2

3

5

8

13

21

Storž


čebele

Poleg števila parov zajcev je znan primer tudi število čebel pri

idealiziranemu razmnoževanju, če upoštevamo da:

• se iz neoplojenega jajčeca izvali samec,

• se iz jajčeca, ki ga oplodi samec, izvali samica.

Samec bo tako vedno imel enega starša, samica pa dva. Če analiziramo

število prednikov kateregakoli samca (1), bo ta imel vedno enega starša,

tj. samico (1). Slednja ima dva starša, samca in samico (2), ta samec pa

bo prav tako imel enega starša in samica dva starša, kar da število 3.

generacija čebela trot skupaj

1 0 1 1

2 1 0 1

3 1 1 2

4 2 1 3

5 3 2 5

6 5 3 8

7 8 5 13

8 13 8 21

SEMINARSKAwiki.fmf.uni-lj.si/images/8/83/Fibbonacijevo_zaporedje.pdfSeminarska naloga: Fibonaccijevo...

Documents

Transcript of SEMINARSKAwiki.fmf.uni-lj.si/images/8/83/Fibbonacijevo_zaporedje.pdfSeminarska naloga: Fibonaccijevo...