DETERMINACION DEL PLANO DE CIZALLAMIENTO SEGN: ERNST Y MERCHANT

Teora de Ernst-Merchant

Siempre ha sido de inters encontrar algn modelo terico que prediga el valor del ngulo de cizallamiento . Quien intent resolver este problema fue Piispanen en el ao 1937. Sin embargo, el primer anlisis significativo fue desarrollado por Ernst y Merchant y se conoce con el nombre de solucin del ngulo de cizalladura

La teora de Ernst-Merchant se basa en dos conceptos fundamentales, que establecen lo siguiente:

a) El plano de cizallamiento se orienta de tal modo que, la energa absorbida en el proceso de arranque de viruta sea mnima.b) El valor mximo de la tensin dinmica de deslizamiento se encuentra ubicado sobre el plano de cizallamiento.

Se hace imprescindible conocer el valor de que hace mnimo el valor Fc de la funcin (1). El valor de que hace mnima la fuerza de corte Fc se logra derivando la funcin (1) con respecto a e igualando dicha derivada a cero, tal como lo muestra la expresin (2).

Entonces:

(2)

Reemplazando (1) en (2), se convierte en:

(3)

La derivacin de (3) conlleva a:

(4)

La ecuacin (4) se reduce a la expresin:

(5)

Recurriendo al teorema de las sumas y diferencias de ngulos, se pasa de (5) a (6).

(6)

El valor de coseno que cumple con la condicin (6) es la expresin (7).

(7)

Igualando (6) con (7) resulta (8), que entrega el valor de que hace mnima la fuerza de corte Fc.

(8)

La expresin (8) constituye la 1 Teora de Ernst-MerchantAcomodando convenientemente la expresin (8), resulta:

(9)

Sustituyendo (9) en (1), se obtiene:

(10)

Haciendo uso de las frmulas de reduccin e identidades trigonomtricas apropiadas, se logra:

(11)

Finalmente, Fc es la fuerza mnima buscada y est dada por la siguiente expresin:

(12)

Merchant encontr que esta teora tena una buena correspondencia entre los valores tericos obtenidos y los resultados experimentales en el corte de plsticos sintticos. Sin embargo, esta correspondencia diverga cuando el material mecanizado era acero.

Cabe destacar que, cuando se hizo la derivada de la funcin (1) con respecto a , se estaba suponiendo que Ac, , y s eran independientes de .

Las divergencias e imprecisiones detectadas al aplicar la teora de Ernst-Merchant son debidas, segn Merchant, a suponer constante el valor de la tensin dinmica de cizallamiento s durante el proceso de corte.Teora de MerchantMerchant elabor, posteriormente, una segunda teora donde consider una interdependencia entre s y s. Dicho postulado establece que la tensin dinmica de cizalladura del material s aumenta linealmente con el aumento del esfuerzo normal s (Fig.1). La funcin lineal est representada por la ecuacin (13).

(13)

Figura 1. Tensin dinmica de corte en funcin de la tensin normal.

Recurriendo a las ecuaciones:

(14)

(15)

Igualando (14) con (15), resulta:

(16)

Despejando R de (16), se logra:

(17)

Recordando la funcin:

(18)

Reemplazando (18) en (17), se llega a:

(19)

Por otro lado, disponiendo de las expresiones:

(20)

(21)

Igualando (20) y (21) por Fsn, resulta:

(22)

Despejando R de (22), se obtiene:

(23)

Igualando (19) con (23), se logra:

(24)

Despejando s de (24) y reduciendo los trminos trigonomtricos, se consigue:

(25)

Recordando la ecuacin (13), que segn Merchant expresa la interdependencia entre s y s.

(13)

Reemplazando (25) en (13), resulta:

(26)

Reemplazando (26) en (1), se obtiene (27):

(27)

Se supone que k y o son constantes para el material de trabajo y que Ac y son constantes para la operacin de corte.

Se hace imprescindible conocer el valor de que hace mnimo el valor Fc de la funcin (27). El valor de que hace mnima la fuerza de corte Fc se logra derivando la funcin (27) con respecto a e igualando dicha derivada a cero, tal como lo muestra la expresin (28).

(28)

Reemplazando (27) en (28), se convierte en:

(29)

La derivacin de (29) conlleva a:

(30)

La ecuacin (30) se reduce a la expresin:

(31)

Haciendo las reducciones trigonomtricas pertinentes de (31), resulta:

(32)

Simplificando la expresin (32), se llega a:

(33)

Finalmente se logra la expresin angular (34)

(34)

La expresin (34), constituye la2 Teora de MerchantLa constante C est ligada a la pendiente de la recta de la figura 23. Los valores de C estn comprendidos entre 70 y 85.

Reordenando (34), se obtiene:

(35)

Reemplazando la ecuacin (34) en (1) se obtiene (36), que es la fuerza de corte Fc mnima buscada y est dada por la siguiente expresin:

(36)

En la tabla 1 se encuentran los valores especficos de C, para una serie de aceros de uso frecuente.

Tabla 1. Propiedades mecnicas y constantes de mecanizado de algunos aceros

ACEROS

AISIProduccin.

Acero laminado en:

Dureza Brinell

HBConstante (1) de Merchant

C

(grados)Tensin Dinmica de cizallamiento

s (N/mm2)Coeficiente rozamiento (1)

1010

1019

1019

1020

1022 (Pb)

1045

1045

1070

1095

1113 (S)

1340

2340

3115

3130

3140

3150

4340

52100

52100

Aceros Inoxidable

303(S)

304

410

416(S)

430

430F(S)Caliente

Caliente

Fro

Caliente

Caliente

Caliente

Fro

Caliente

Caliente

Fro

Caliente

Caliente

Caliente

Caliente

Caliente

Caliente

Caliente

Caliente

Fro

Caliente

Caliente

Caliente

Caliente

Caliente

Caliente

103

147

169

109

121

190

213

217

182

170

192

197

131

169

185

197

210

186

240

162

139

217

215

156

18169,8

73,1

73,7

69,6

71,8

78,0

81,2

78,8

73,0

71,1

74,8

76,2

78,4

72,4

70,6

75,7

74,5

71,3

72,9

92,0

82,0

79,3

82,7

73,1

74,648

56

53

52

54

65

67

78

67

51

65

64

49

58

58

62

65

51

55

75

83

62

58

57

59

1,32

0,95

0,98

0,94

0,40

0,96

0,94

0,84

0,89

0,53

1,10

0,99

1,14

0,94

1,12

1,13

1,06

1,11

1,04

0,80

1,18

0,87

0,82

0,92

0,80

k

S

S

0

-8-

Dr. Ing. Mario Andrs Guzmn Villaseor

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