CAPITULO 2

DETERMINANTES

Inicialmente los determinantes se utilizaron en la solución de sistemas de ecuaciones

lineales mediante la conocida Regla de Cramer. En el desarrollo de nuestro curso los

determinantes serán usados en la Regla de Cramer y más adelante, para estudiar otros

temas del Álgebra Lineal, como el estudio de los valores y vectores propios.

El concepto de determinante puede definirse de diferentes formas, nosotros en nuestro

curso optaremos por las permutaciones.

2.1. Permutaciones: Definición y propiedades

Definición de permutación.- Sea },,2,1{ nS L= un conjunto de números enteros

positivos ordenados en forma ascendente. Se denomina permutación de S a cualquier

disposición de los elementos de S. Dicho de otra manera una permutación

de S es una aplicación biyectiva que queda determinada por la imagen de

cada uno de los elementos 1, 2, ..., n; la cual se puede denotar como

njjj L21

SSf →:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

)()2()1(21

nfffn

fL

L

Ejemplo 1.- Sea , la expresión 3412 es una permutación de S. Es

decir es una función que esta definida como

}4,3,2,1{=S

SSf →: 1)3(,4)2(,3)1( === fff y

lo que se puede denotar también como . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21434321

f2)4( =f

Si el conjunto S tiene n elementos, en la primera posición se puede elegir cualquiera de

los n elemento, en la segunda posición se puede elegir cualquiera de los 1−n

restantes, para la tercera posición cualquiera de los 2−n restantes y así sucesivamente

hasta llegar a la posición n, la cual solo puede ser ocupada por el elemento que queda.

Es decir el número total de permutaciones que se pueden obtener de un conjunto S de n

elementos es igual a . !)1)(2()2)(1( nnnn =−− L

Notación.- Dado el conjunto },,2,1{ nS L= , el conjunto formado por todas las

permutaciones de S se denota usualmente por . nS

92

Ejemplo 2.- Si , entonces el conjunto tiene un solo elemento . Si

, entonces el conjunto tiene dos elementos

1S 1!1 =}1{=S

2S 2!2 = que son: 12 y 21. Si

, entonces el conjunto tiene seis elementos

}2,1{=S

6!3 =3S}3,2,1{=S que son: 123, 231,

312, 132, 213 y 321. De manera similar si }4,3,2,1{=S , entonces el conjunto

tiene elementos.

4S

24!4 =

Dado un conjunto , se dice que una permutación de S tiene

una inversión si un entero mayor precede a un entero menor. Se denomina

permutación par si el número total de inversiones es par y se denomina permutación

impar si el número total de sus inversiones es impar.

njjj L21},,2,1{ nS L=

Ejemplo 3.- Dado el conjunto }2,1{=S , se vio en el ejemplo 2 que el número total

de permutaciones es dos:12 y 21. La permutación 12 es par, pues el número de

inversiones es cero que es un número par; mientras que la permutación 21 es impar,

solo hay una inversión 2 es menor que 1.

Ejemplo 4.- Dado el conjunto }3,2,1{=S , se vio en el ejemplo 2 que tiene seis

permutaciones: 123, 231, 312, 132, 213 y 321. Las permutaciones: 123, 231 y 312 son

pares, pues el número total de inversiones son 0 para la primera y 2 para las dos

restantes. Las permutaciones 132, 213 y 321 son impares, pues el número total de

inversiones es 1 para primera y segunda y 3 para la tercera.

Observación.- Dado un conjunto },,2,1{ nS L= . Si , el número de

permutaciones pares es igual al número de permutaciones impares. Por convención el

signo de una permutación par se considera positivo (+) y el signo de una permutación

impar negativo .

2≥n

)(−

Definición del determinante de una matriz.- Dada una matriz cuadrada de

orden n, el determinante de A denotado por o

][ ijaA =

A se define como )det( A

∑ ±==nnjjj aaaAA L

21 21)()det( (1)

el número de sumandos es igual al número de permutaciones del conjunto

El signo se considera positivo (+) si la permutación es par y negativo

si la permutación es impar.

njjj L21

},,2,1{ nS L=

)(−

En cada término del los subíndices correspondientes a las filas

aparecen en el orden natural , mientras que los subíndices de las columnas

están en el orden correspondiente a la permutación . Como la permutación

nnjjj aaa L21 21)(± )det( A

nL12

njjj L21

93

no es más que una disposición de los números del 1 al n no existe la posibilidad que se

repita alguno de ellos. De esta forma cada término del es un producto de n

elementos de A cada uno con el signo correspondiente de la permutación asociada a

cada término. Cada término del tiene un único elemento de cada fila y columna

de A. En consecuencia, como por definición de se suman sobre todas las

permutaciones del conjunto

)det( A

)det( A

)det( A

},,2,1{ nS L= , el número de sumandos de es

.

)det( A

!n

Determinante de una matriz de orden .- Sea una matriz de orden ][ ijaA =11× 11× ,

entonces y tiene una sola permutación que es la identidad y es par puesto

que el número de inversiones es cero. Luego

1S}1{=S

11)det( aA =

Ejemplo 5.- Si , entonces ; si ]1[=A 1)det( =A ]2[=B , entonces ; si

, entonces

2)( =Bet

. ]5[−=C 5)det( −=C

Determinante de una matriz de orden 22× .- Sea una matriz de

orden , entonces los elementos de son: 12 y 21. Por definición,

los términos de son de la forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

aaaa

A

2S}2,1{=S22×

)det( A

y _2_1 aa _2_1 aa

los espacios en blanco de los subíndices correspondientes a las columnas de A se

llenan con las permutaciones de S anteponiendo a cada término el signo de la

permutación, (+) si es una permutación par, y si es una permutación impar. )(−

a) Para 12, se tiene ; el signo es positivo por ser 12 una permutación par. 2211aa+

b) Para 21, se tiene ; el signo es negativo por ser 21 una permutación

impar.

2112aa−

Luego,

21122211)det( aaaaAA −==

En la práctica, para calcular el determinante de una matriz de orden , tener en

cuenta el siguiente esquema

22×

21122211

2221

1211

)det( aaaaaa

aaAA −===

94

Ejemplo 6.- Calcular el determinante de la matriz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

5523

A

51015)5)(2()5)(3(5523

)det( =−=−−−=−

−=A

33×Determinante de una matriz de orden .

Dada la matriz de orden ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333131

232221

131211

aaaaaaaaa

A 33× . Consideramos ,

tiene elementos y son los siguientes:

3S}3,2,1{=S

6!3 =

123, 231 y 312 permutaciones pares

132, 213 y 321 permutaciones impares

Por lo tanto, los términos del serán: )det( A

y , correspondiente a las permutaciones pares y 312312332211 , aaaaaa 322113 aaa

332112322311 , aaaaaa −− 312213 aaa− y , correspondiente a las permutaciones

impares.

Luego,

)(

)det(

312213332112322311322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

A

++−++=

= (2)

Una regla práctica para calcular el determinante de una matriz de orden consiste

en repetir las dos primeras columnas y luego trazar flechas de izquierda a derecha y de

derecha a izquierda de tal modo que cada flecha relacione 3 elementos de A uno por

cada fila como se puede apreciar en siguiente esquema

33×

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaa

aaaaa

aaaaa

(+) (+) (+) (-) (-) (-)

95

Luego se calculan los seis productos, anteponiendo el signo positivo a los productos

con flechas que van de izquierda a derecha y signo negativo a los productos con

flechas que van de derecha a izquierda. El resultado es el mismo que se obtiene

mediante la definición de determinante. El método práctico descrito anteriormente es

conocido como Regla de Sarrus

Observación.- La Regla de Sarrus descrita anteriormente es válida solamente para

calcular determinantes de matrices de orden 33× .

Ejemplo 7.- Calcular el determinante de ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

132211213

A

Solución

Usando la regla de Sarrus se tiene

32132

11211

13213

−−

−−

(+) (+) (+) (-) (-) (-)

30)1184()643(

)]1)(1)(1()3)(2)(3()2)(1)(2[()]3)(1)(2()2)(2)(1()1)(1)(3[(132211213

−=++−−−=

−−++−−+−+=

−−

=A

El cálculo de determinantes para matrices de orden mayor que 4 usando la definición

es muy engorrosa. Por ejemplo para las matrices de orden 4 se tiene que considerar

permutaciones es decir el determinante tendrá 24 sumandos; para las matrices

de orden 5 el número de sumandos es muy grande

24!4 =

120!5 = ; motivo por el cual se

utilizará otros métodos para hacer dichos cálculos. Antes de describir formas más

prácticas para el cálculo de determinantes enunciaremos y demostraremos a modo de

teoremas algunas propiedades básicas.

96

Propiedades de los determinantes

Teorema 1.- Dada una matriz A, cuadrada de orden n. El determinante de A es igual al

determinante de su transpuesta. Es decir, . )det()det( TAA =

Prueba

Sea y ; donde ][ ijT bA = . ][ ijaA = njiab jiij ≤≤= ,1;

Por definición de determinante (1) se tiene

(3) ∑ ±=nnjjj

T bbbA L21 21)()det(

∑ por definición de TA±= njjj naaa L21 21

)(

Ahora reordenando los factores en el término de modo que los índices

de las filas aparezcan en su forma natural. Así,

njjj naaa L21 21

nnn nkkknjjjnjjj aaaaaabbb LLL

212121 212121 ==

Se demuestra que la permutación que determina el signo del término

y la permutación que determina el signo del término

son ambas impares o ambas pares. Por ejemplo, para

nkkk L21

njjj L21nkkk naaa L21 21

3=nnjjj nbbb L21 21

,

considerando el término

322113133221312312 aaaaaabbb ==

el número de inversiones de la permutación 312 es 2 que es par y el número de

inversiones de la permutación 231 es 2 que también es par. Ahora considerando el

término.

312213132231312213 aaaaaabbb ==

el número de inversiones de la permutación 321 es 3 que es impar y el número de

inversiones de la permutación 321 es 3 que también es impar. En consecuencia como

los términos y los signos correspondientes en las relaciones (1) y (3) son iguales se

concluye que . )det()det( TAA =

Ejemplo 8.-Dada la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

132211213

A

Solución

97

Se tiene que , calculando el determinante de mediante la Regla

de Sarrus, se obtiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

122311213

TA TA

30237)1184()463(

)]1)(1)(1()2)(3)(3()2)(1)(2[()]2)(1)(2()2)(3)(1()1)(1)(3[(122311213

)det(

−=−−=++−−−=

−−++−−+−+=

−−

=TA

, luego se verifica que . )det()det( TAA =En el ejemplo 8 se calculó que 30)det( −=A

Teorema 2.- Dada una matriz A. Si B es una matriz que se obtiene a partir de A

intercambiando dos filas (o columnas) de A, entonces . )det()det( AB −=

Prueba

Sea B la matriz la matriz que se obtiene a partir de A al intercambiar las filas r y s de

A. Supongamos que sr < , entonces se tiene que

y para todo y rjsjsjrj abab == ; ijij ab = ri ≠ si ≠

Luego,

nsr njsjrjjj bbbbbB LLL∑ ±=

21 21)()det(

; por definición de B nrs njrjsjjj aaaaa LLL∑ ±=

21 21)(

nsr njsjrjjj aaaaa LLL∑ ±=

21 21)(

La permutación se obtiene a partir de la permutación

intercambiando dos números; luego el número de inversiones de

la primera permutación difiere en un número impar del número de inversiones de la

segunda. Esto significa que el signo de cada término del es el opuesto del

signo correspondiente en el ; en consecuencia

nrs jjjjj LLL21

nsr jjjjj LLL21

)det(B

. )det( A )det()det( AB −=

Ahora, suponiendo que la matriz B se obtiene al intercambiar dos columnas de la

matriz A; entonces TB se obtiene a partir de intercambiando dos filas. De esta

forma se tiene que . Pero como ya demostró en el teorema 1 que

y se tiene que

TA

)det()det( TT AB −=

)det()det( TBB = )det()det( TAA = . )det()det( AB −=

98

Ejemplo 9.

Sea la matriz y . Es decir, la

matriz B se ha obtenido a partir de A intercambiando las filas 2 y 3. Como

, del ejemplo 7, se tiene por el teorema 2 que

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=×=

211132213

)( 32 AFFB⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

132211213

A

30)det( −=A

30)30()det()det( =−−=−= AB

De manera análoga si C es una matriz que se obtiene a partir de A intercambiando la

columna 1 con la columna 2 )( 21 CC × , es decir

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

123211231

C , entonces 30)30()det()det( =−−=−= AC

Teorema 3.- Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces el 0)det( =A

Prueba Sean r y s dos filas iguales de la matriz A. Al intercambiar las filas r y s se obtiene la matriz B. Usando el teorema 2 se tiene que

(4) )det()det( AB −=Pero al ser la fila r igual a la fila s, se tiene que

(5) AB =

Luego de (4) y de (5) resulta que

)det()det( AA −=

como el único número que es igual a su opuesto es el cero se concluye que . 0)det( =A

Ejemplo 10.

a) La matriz tiene iguales las filas 1 y 3, luego por el teorema 3 se

tiene que .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

312750

312A

0)det( =A

b) La matriz tiene las columnas 1 y 3 iguales, luego por el

teorema 3 se tiene que

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

212353515

B

. 0)det( =B

99

c) La matriz , tiene las dos primeras filas iguales, entonces

.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

fedcbacba

C

0)det( =C

Teorema 4.- Si una fila (o columna) de una matriz A tiene todas sus componentes igual a cero, entonces 0)det( =APrueba. Suponiendo que la fila r de la matriz A tenga todas sus componentes igual a cero, por definición de determinante, cada término es de la forma

nr njrjjj aaaa .........

21 21

Es decir tiene un factor igual a cero correspondiente a la fila r; es decir . Luego cada término del det(A) es igual a cero y en consecuencia

0=rrja

. 0)det( =A Ejemplo 11. . Sea la matriz

a) Sea , la segunda fila tiene todos sus componentes igual a cero,

luego .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

154000312

A

0)det( =A

b) , la tercera columna tiene todas sus componentes igual a cero,

luego .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

012053015

B

0)det( =B

0000

000 ==fcebda

fed

cba c)

Teorema 5.- Dada una matriz A. Si B es una matriz que se obtiene a partir de A al multiplicar una fila (o columna) por un escalar 0≠k , entonces . )det()det( AkB =Prueba Sea la fila r de la matriz que se multiplica por el escalar k para obtener la matriz matriz

][ ijaA =

, entonces ][ ijbB =

⎩⎨⎧

=≠

=risikarisia

brj

ijij

y usando la definición de determinante para B se tiene

nr njrjjj bbbbB LL21 21)()det( ∑ ±=

nr njrjjj akaaaB ...........)()det(21 21∑ ±=

100

nr njrjjj aaaakB ...........)()det(21 21∑ ±=

)det()det( AkB =

Para ilustrar el teorema veamos el caso particular de matrices de orden 3.

Sea y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaakakakaaaa

B

][)det( 312213332112322311322113312312332211 akaaakaaakaaakaaakaaakaaB ++−++=

)]([)det( 312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaakB ++−++=

Luego,

)det()det( AkB =

Ejemplo 12.

Sea la matriz donde ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

321231132

A . 6)det( =A

a) Si , entonces ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−=

321)2)(4()3)(4()1)(4(

132

3218124

132B

24)6)(4()det()4()det( −=−=−= AB

Nótese que la matriz B se ha obtenido a partir de A multiplicando la segunda fila

por . 4−

b) Si , entonces ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

32)1(323)1(313)2(3

323233136

C . 18)6(3)det(3)det( === AC

Nótese que la matriz C se ha obtenido a partir de A multiplicando la primera

columna por 3.

Corolario 5.1.- Sea A una matriz cuadrada de orden n y k un escalar diferente de cero,

entonces

)det()det( AkkA n=

101

Ejemplo 13.

Dada la matriz , como ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

321231132

A se tendrá: 6)det( =A

a) 48)6)(8()det()2()2det( 3 === AA

43

)6)(81

()det()21

()21

det( 3 === AAb)

Teorema 6.- Si es la matriz identidad de orden n, entonces . nI 1)det( =nIPrueba

Si , entonces, ⎩⎨⎧

≠=

=jisijisi

aij 01

nij IaA == ][

Por definición de determinante

nnjjj aaaA ....)()det(21 21∑ ±=

ji ≠Todos los factores serán iguales a cero pues , para 0=ija , excepto el factor que

corresponde a la permutación . Es decir, . El

signo del término es positivo, la permutación es par; pues el número de inversiones de

la permutación es igual a cero. En consecuencia

nL12 1)1()1)(1(2211 == LL nnaaa

nL12 1)det( =nI

0≠kCorolario 6.1.- Si es la matriz identidad de orden n y nI un escalar, entonces

nn kkI =)det(

Prueba Es consecuencia directa del teorema 6 y del corolario 5.1.

Ejemplo 13.-

4)2()2det( 22 ==I , , 16)2()2det( 4

4 ==I8)2()2det( 33 ==I

Teorema 7.- Si es una matriz que se obtiene a partir de , sumando a

una de sus filas (o columnas) el múltiplo escalar de otra, entonces .

][ ijbB = ][ ijaA=

)det()det( AB =

Prueba

Se demostrará el teorema para las filas; el caso de las columnas es similar.

sr ≠Sean r y s dos filas de la matriz A, y sea B la matriz obtenida a partir de A

sumando a la fila r de la fila s multiplicada por el escalar k diferente de cero.

Suponiendo que sr < , los elementos de son tales que ][ ijbB =

102

⎩⎨⎧

=+≠

=risikaajisia

bsjrj

ijij

Luego,

nr njrjjj bbbbB ...........)()det(21 21∑ ±=

nsrr njsjsjrjjj aakaaaa ............)(.....)(21 21 +±= ∑ Por definición de B

nrr

nsr

njsjrjjj

njsjrjjj

akaaaa

aaaaa

LLL

LLL

)()(

)(

21

21

21

21

∑∑

±+

±= (6)

La primera suma de (6) es

)det()(21 21 Aaaaaa

nsr njsjrjjj =±∑ LLL (7)

Mientras que el segundo sumando (6) se puede escribir como

])([)(2121 2121 nsrnsr njsjsjjjnjsjsjjj aaaaakaakaaa LLLLLL ∑∑ ±=±

nsr njsjsjjj aaaaa LLL21 21)(∑ ± se tiene Escribiendo explícitamente la expresión

filaésimas

filaésimar

aaa

aaa

aaa

aaaaaa

nnnn

snss

snss

n

n

−

−

←

←

KK

MMMMM

KK

MMMMM

KK

MMMMM

KK

KK

21

21

21

22221

11211

Lo que significa que

0)(21 21 =±∑ nsr njsjsjjj aaaaa LLL . (8)

Luego, de (7) y (8) se tiene en (6)

)det(0)det()det( AAB =+=

Concluyendo, que

)det()det( AB =

Ejemplo 15.- Dada la matriz donde se sabe que . Si la

matriz B se obtiene a partir de A sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

321231132

A 6)det( =A

21

− , es decir

103

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−+=

3210

132])

21

([ 23

23

12 FFB

Entonces por el teorema 7 se tiene que . 6)det( =B

Teorema 8.- Si una matriz es triangular superior (o inferior) entonces ][ ijaA =

nnaaaA ......)det( 2211=

Es decir el determinante de una matriz triangular superior (o inferior) es el producto de

los elementos de la diagonal principal.

Prueba

ji >Sea una matriz triangular superior, es decir para ][ ijaA= 0=ija , entonces un

término de la expresión para solo puede ser distinta de cero si

. Ahora debe ser una permutación o un arreglo

de . Por consiguiente se debe tener

)det( Annjjj aaa .....

21 21

njnjj ≤≤≤ ,,2,1 21 L njjj L21

1,2,,1, 121 ==−== − jjnjnj nn L},,2,1{ nL .

De esta forma el único término del determinante que no puede ser cero es

que es el producto de los elementos de la diagonal principal. Como la

permutación no tiene inversiones el signo asociado a dicho término es

positivo, por tanto .

nnaaa L2211

nL12

nnaaaA L2211)det( =

Ejemplo 16.- Calcular el determinante de la matriz A.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

321231132

A

haciendo uso de los teoremas.

Solución

Haciendo uso reiterativamente del teorema 7 se tiene

2000

132

)(00

132

)(3210

132

)(321231132

23

23

231

325

21

23

23

121

3

23

23

121

2

=−+

=−+

=−+

=FFFFFF

A

luego

2000

132

321231132

23

23==A

y finalmente, usando el teorema 8

104

6)2)()(2(200

0132

321231132

23

23

23 ====A

Teorema 9.- El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus

determinantes. Es decir,

. )det()det()det( BAAB =

Ilustraremos el teorema mediante el siguiente ejemplo.

Ejemplo 17.- Sean las matrices

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

3112

A y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2514

B

y ; haciendo uso del teorema 9 se tiene Se tiene 7)det( =A 3)det( =B

21)3)(7()det()det()det( === BAAB

Por otro lado calculando el producto se tiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

71903

2514

3112

AB

y se tiene que . 21)det( =AB

Luego, se verifica

)det()det()det( BAAB =

Corolario 9.1.- Si A es una matriz no singular, entonces

)det(1)det( 1

AA =− y 0)det( ≠A

Prueba.

Si A es no singular, entonces existe y se cumple que 1−A

nIAAAA == −− 11 (9)

Usando el teorema 9 y el teorema 6 en la relación (9) se tiene que

1)det()det()det()det( 11 === −−nIAAAA (10)

de (10) se deduce que , pues de lo contrario se tendría una contradicción con

el resultado obtenido en (10). Luego, se tiene que

0)det( ≠A

)det(1)det( 1

AA =−

105

EJERCICIOS

1. Dado el conjunto , determine el número de inversiones en cada

una de las siguientes permutaciones de S. Diga si es una permutación par o impar.

{ 5,4,3,2,1=S }

a) 32154 b) 45213

c) 13425 d) 35142

e) 35241 f) 41235

2. Determine el signo asociado a cada una de las siguientes permutaciones del

conjunto { }5,4,3,2,1=S

a) 43125 b) 12453

c) 25134 d) 34152

e) 35412 f) 53412

3. En cada una de las siguientes parejas de permutaciones de ,

verifique que en el numero de inversiones difiere en un numero impar.

{ }6,5,4,3,2,1=S

a) 436215 y 416235 b) 623415 y 523416

c) 321564 y 341562 d) 123564 y 423561

4. En los ejercicios, evalué el determinante haciendo uso de la definición de

determinante. (use la relación (1)).

2312 −

a) b) 3412

300520024

−c) d) 500

002030

−

0100100300020224

f)

3031201301320024−

e)

5. Sea una matriz de orden ][ ijaA = 44× . Escriba la expresión general para det(A)

haciendo uso de la definición (ecuación (1)).

6. Si

5

321

321

321

−==cccbbbaaa

A

106

Calcule los determinantes de las siguientes matrices:

123

123

123

cccbbbaaa

B =

321

321

321

222 cccbbbaaa

C =

321

332211

321

444ccc

cbcbcbaaa

D +++=, y .

7. Si

4

321

321

321

==cccbbbaaa

A

Calcule los determinantes de las siguientes matrices

321

321

333222111 323232

cccbbb

cbacbacbaB

−+−+−+=

321

321

321

333

cccbbbaaa

C =, y

321

321

321

bbbcccaaa

D =

8. Si

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

152143211

A

Verifique )det()det( TAA =

9. Evalúe

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−23

21det

λλ

b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

300220211

detλ

λλ

c) )det( 2 AI −λ , donde ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=1124

A

d) )det( 3 AI −λ , donde ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−=

100102

101A

107

λ11. En el ejercicio 10, determine todos los valores de para los cuales el

determinante es igual a cero.

12. En los siguientes ejercicios, calcule el determinante, haciendo uso de las

propiedades dadas mediante los teoremas.

402025534 −

b) 300

320214

− a)

231032314

d) 213012321

− c)

6481101322423

4102

−−

−−e) f)

5351032100210004

−−

5124042300350002

−g) h)

46283102

51234324

−−−

−−

13. Verifique que para las siguientes matrices )det()det()det( BAAB =

a) , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

010132321

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

312523201

B

b) , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

400230632

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

212054003

B

14. Muestre que si se intercambia dos números en la permutación , entonces

el número de inversiones aumenta o disminuye en un número impar. (sugerencia:

primero muestre que si se intercambian dos números adyacentes, el numero de

inversiones aumenta o disminuye en el 1. Luego muestre que un intercambio de

dos números cualesquiera se puede lograr mediante un número impar de

intercambios sucesivos de números adyacentes.)

njjj K21

15. Demuestre el teorema 8 para el caso de una matriz triangular inferior.

16. Muestre que si , entonces o . 0)det( =AB 0)det( =A 0)det( =B

108

2.2. Desarrollo de determinantes por cofactores

Cuando se desea calcular determinantes de matrices de orden mayor que 3, en muchos

casos es necesario definir o deducir dicho determinante en términos de determinantes

de matrices de orden . Con ese objetivo, definiremos previamente los conceptos

de menor complementario y cofactor.

)1( −n

nn×Definición.- Sea una matriz de orden ][ ijaA = . Denotamos por a la submatriz obtenida a partir de A al eliminar la i-ésima fila y j-ésima columna; al determinante de denotado por se le llama el menor complementario de

. El cofactor de denotado por se define como

ijM

ijM )det( ijM

ija ija ijA

)det()1( ijji

ij MA +−=

Ejemplo 1.- Dada la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

321231132

A

Calcular los 9 menores complementarios de A así como sus respectivos cofactores.

Solución

53223

)det( 11 ==M⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3223

11M , , 5)5)(1()det()1( 1111

11 ==−= + MA

13121

)det( 12 ==M⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3121

12M , , 1)1)(1()det()1( 1221

12 −=−=−= + MA

12131

)det( 13 −==M⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2131

13M , , 1)1)(1()det()1( 1331

13 −=−=−= + MA

73213

)det( 21 ==M⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3213

21M , , 7)7)(1()det()1( 2112

21 −=−=−= + MA

53112

)det( 22 ==M⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3112

22M , , 5)5)(1()det()1( 2222

22 ==−= + MA

12132

)det( 23 ==M⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2132

23M , , 1)1)(1()det()1( 2332

23 −=−=−= + MA

32313

)det( 31 ==M⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2313

31M , , 3)3)(1()det()1( 3113

31 ==−= + MA

32112

)det( 32 ==M⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2112

32M , , 3)3)(1()det()1( 3223

32 −=−=−= + MA

33132

)det( 33 ==M⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3132

33M , , 3)3)(1()det()1( 3333

33 ==−= + MA

109

Observación.- Nótese que el signo que acompaña a los menores corresponde a

la posición de la matriz cuadrada de orden

ji+− )1(

nn×),( ji ; de tal manera que los signos

son alternados semejante a un tablero de ajedrez con el signo + sobre la diagonal

principal. El siguiente esquema muestra la disposición de los signos

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−++−+−−+−+

OMMMM

L

L

L

Cálculo del determinante de una matriz por el método de cofactores

nn×Teorema 1.- Sea una matriz de orden . ][ ijaA =

a) Para cada se tiene ni ≤≤1

ininiiii AaAaAaA +++= L2211)det( (1)

c) Para cada se tiene nj ≤≤1

(2) njnjjjjj AaAaAaA +++= L2211)det(

La relación (1) es el desarrollo del con respecto a la i-ésima fila; mientras que

la relación (2) corresponde al desarrollo del respecto a la j-ésima columna.

)det( A

)det( A

Prueba

33×Demostraremos la parte a) para el caso de matrices de orden ; la demostración de

la parte b) es similar.

a) Sea

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

De la fórmula obtenida en (2) de la sección 2.1, se tiene

()det( 312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ++−++= )

Agrupando de manera adecuada

)()()()det( 312213322113332112312312322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −+−+−=

()()()det( 312232211333213123123223332211 aaaaaaaaaaaaaaaA −+−+−= )

Los factores que aparecen entre paréntesis son el desarrollo de los

cofactores , y respectivamente, los cuales se pueden escribir como: 11A 12A 13A

110

113332

23221132233322 )1( A

aaaa

aaaa =−=− + ,

123331

2321213123332133213123 )1())(1( A

aaaa

aaaaaaaa =−=−−=− +

133231

22213131223221 )1( A

aaaa

aaaa =−=− +

De lo cual se concluye

AaAaAaA 1312121111)det( ++=

que es el desarrollo del con respecto a la primera fila. )det( A

Ejemplo 2. Calcular el determinante de la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

321231132

A

Por el método de cofactores:

a) A través de la primera fila.

b) A través de la segunda columna.

Solución

a) Desarrollando por la primera fila

131312121111 AaAaAaA ++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= +++

2131

)1(13121

)1(33223

)1(2 312111

)1)(1(1)1)(1(3)5)(1(2 −+−+=

6=A

a) Desarrollando por la segunda columna

323222221212 AaAaAaA ++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= +++

2112

)1(23112

)1(33121

)1(3 232221

)3)(1(2)5)(1(3)1)(1(3 −++−=

6=A

Observación.- Nótese que el valor de un determinante al calcular por el método de

cofactores es independiente de cualquier fila o columna que se elija para su desarrollo.

111

Luego, para calcular por el método de cofactores, es conveniente elegir aquella fila o

columna que contiene la mayor cantidad de ceros, pues de esta manera se evitara el

cálculo de algunos menores.

Ejemplo 3.- Calcular el determinante de la matriz

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

1003403241213010

A

Solución

Desarrollando a través de la tercera columna

23)1( AA −= , los otros términos son iguales a cero.

103432310

)1)(1( 32

−−−= +

103432310

−=

Luego, desarrollando, el determinante de orden 3 a través de la primera fila se tiene

0332

)1(313

42)1(1

103432310

3121 ++ −+−

−=−

13)9(3)14)(1(

−=−+−−=

Finalmente se tiene que

13

1003403241213010

−=

−

−=A

Para calcular determinantes de matrices de orden mayor que 4 generalmente se usa el

método de cofactores en combinación con las propiedades estudiadas en la sección 2.1.

Esta situación se ilustrará mediante los siguientes ejemplos.

112

Ejemplo 4.- Calcular el determinante de la matriz

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

2612371364244832

A

Solución

Aplicando el teorema 7 de la sección 2.1 se tiene

26123713

12180101329011

2261237136424

1329011

32612371364244832

3231 −

=

+−

−=

+−

−−

=

FFFF

A

513053713

12180101329011

26123713

12180101329011

34

=

+− FF

Desarrollando el último determinante por la segunda columna

5135121810132911

)1(

513053713

12180101329011

−=

Nuevamente aplicando el teorema 13 al determinante de orden 3

0135011122911

)1()(0135

2181022911

)1()(5135

121810132911

)1(

1213

−−−=−+

−=−+

−FFCC

Desarrollando por la tercera columna y calculando el determinante de orden 2, se tiene

84)42)(2)(1()5513)(2)(1(135111

)2)(1(0135011122911

)1( −=−=+−−=−−

−=−−−

Luego,

84

2612371364244832

−=

−

−−

=A

113

Ejemplo 5.- Calcular el determinante de la matriz

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

111138751013

2431

A

Solución

Aplicando el teorema 7 de la sección 2.1 se tiene

11117128071280

2431

)5(1111387571280

2431

)3(111138751013

2431

1312 −−−−−−−−

=

−+−−

−−−=

−+−−

−=

FFFF

A

Como en el último determinante la segunda y tercera filas son iguales, por el teorema

3, se tiene

0

111138751013

2431

=

−−

−=A

Ejemplo 6.- Calcular el determinante de la matriz

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

=

5110543173021213

A

Solución

Aplicando el teorema 7 se tiene

6303220873021213

5110220873021213

)3(5110543173021213

1413 −−−−−−

=

+−−−−−−−

=

−+−−−−−

=

FFFF

A

Desarrollando por la segunda columna

633228732

)1(

6303220873021213

−−−−−

−=

−−−−−−

114

Nuevamente aplicando el teorema 7, en el determinante de orden 3

692720071030

)1()(6327

2207330

)1()4(633

228732

)1(

3231 −−−

−=−+−

−−−

−=−+−

−−−−

−CCCC

Desarrollando por la segunda fila se tiene

0)270270)(2(927

1030)2)(1)(1(

692720071030

)1( =−−=−−−=−−−

−

Luego,

0

5110543173021213

=

−−−−−

=A

Inversa de una matriz por medio de la adjunta

Empezaremos preguntándonos ¿a que es igual la expresión

ik ≠kninkiki AaAaAa L++ 2211 , para ?

Nótese que la expresión es la suma de los elementos de la i-ésima fila de una matriz

multiplicada por los cofactores correspondientes a la k-ésima fila. La respuesta a la

pregunta, está dada en el siguiente teorema, lo cual permite un nuevo método para el

cálculo de la inversa de una matriz.

nn×Teorema 2.- Si es una matriz de orden , entonces ][ ijaA =

ik ≠a) 02211 =++ kninkiki AaAaAa L , para

, para b) jk ≠02211 =++ nkjnkjkj AaAaAa L

Prueba

Solo probaremos la parte a). Para ello, consideremos una matriz B que se obtiene a

partir de A al reemplazar la k-ésima fila de A por su i-ésima fila. Luego la matriz B

tiene dos filas iguales y en consecuencia 0)det( =B . Por otra parte desarrollando el

con respecto a su k-ésima fila donde sus elementos son: y los

cofactores correspondientes a la k-ésima fila son: se tiene

inii aaa ,,, 21 L)det(B

knkk AAA ,,, 21 L

)det( 2211 =+++= kninkiki AaAaAaB L 0

que es lo que se quería probar.

115

El teorema demostrado anteriormente, nos dice que si sumamos los productos de los

elementos de cualquier fila (o columna) con los cofactores correspondientes de

cualquier otra fila o columna, entonces el resultado es igual a cero.

Ejemplo 7.- Dada la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

321231132

A

Considerando los cofactores correspondientes a la primera fila

13121

)1( 2112 −=−= +A 1

2131

)1( 3113 −=−= +A5

3223

)1( 1111 =−= +A , y

y calculando la suma del producto de los cofactores de la primera fila con los

elementos de la segunda fila se tiene

)1)(2()1)(3()5)(1(132312211121 =−+−+=++ AaAaAa 0

Análogamente, calculando la suma del producto de los cofactores de la primera fila

con los elementos de la tercera fila se tiene

)1)(3()1)(2()5)(1(133312311131 =−+−+=++ AaAaAa 0

Si , nótese que 1== ki

)det(131312121111 ==++ AAaAaAa 6

Observación.- Del teorema 2, se tiene que:

a) ⎩⎨⎧

=≠

=++kisiAkisi

AaAaAa kninkiki )det(0

2211 L

b) ⎩⎨⎧

=≠

=++kjsiAkjsi

AaAaAa nkjnkjkj )det(0

2211 L

Matriz cofactor y matriz adjunta

nn×Dada una matriz de orden ][ ijaA = , llamaremos cofactor de A a la matriz

denotada por que se define como )(ACof

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

AAA

AAAAAA

ACof

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

)(

Donde denota al cofactor correspondiente al elemento de la

matriz A.

)det()1( ijji

ij MA +−= ija

116

Se le llama adjunta de A a la matriz denotada por y que se define como )(AAdj

TACofAAdj )]([)( =

Es decir la adjunta de A es la transpuesta de la matriz cofactor que en forma explícita

se escribe como

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

AAA

AAAAAA

AAdj

L

MOMM

L

L

21

22212

12111

)(

Ejemplo 8.- Dada la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

321231132

A

Halle el cofactor y la adjunta de A.

Solución

En el ejemplo 1 se calcularon los cofactores de la matriz A:

3,3,3,1,5,7,1,1,5 333231232221131211 =−==−==−=−=−== AAAAAAAAA

Luego,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333157115

)(

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

ACof

y

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

311351

375)(

332313

322221

312111

AAAAAAAAA

AAdj

nn×Teorema 3.-Si es una matriz de orden , entonces ][ ijaA =

nIAAAAdjAAdjA )det()]([)]([ ==

Prueba

Escribiendo en forma explícita )]([ AAdjA

117

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnjnnn

nj

nj

nnnn

inii

n

n

AAAA

AAAAAAAA

aaa

aaa

aaaaaa

AAdjA

LL

MOMOMM

LL

LL

L

MOMM

L

MOMM

L

L

21

222212

112111

21

21

22221

11211

)]([

Al multiplicar la i-ésima fila de A por la j-ésima columna de se obtiene el

elemento correspondiente a la posición del producto y por la

observación que se desprende del teorema 2 se tiene

)(AAdj

),( ji )]([ AAdjA

⎩⎨⎧

=≠

=++jisiAjisi

AaAaAa jninjiji )det(0

2211 L

Luego,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)det(000

0)det(000)det(

)]([

A

AA

AAdjA

L

MOM

L

L

nIA)det(=

De manera análoga se demuestra que

nIAAAAdj )det()]([ =

Ejemplo 9.- Para ilustrar el teorema, consideremos nuestra matriz del ejemplo 8.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

321231132

A

En el ejemplo 8 se calculó ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

311351

375)(AAdj

Luego

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

311351

375

321231132

)]([ AAdjA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

600060006

118

36 I=

3)det( IA=

El teorema 3, nos da otra opción de calcular la inversa de una matriz en caso de que

exista.

Corolario 3.1.- Si A es una matriz de orden y , entonces )( nn× 0)det( ≠A

)()det(

11 AAdjA

A =−

Prueba

Del teorema 3 se tiene que

nIAAAAdjAAdjA )det()]([)]([ ==

Como se tiene que 0)det( ≠A

nIAAAdjA

AAdjA

A == )]()det(

1[)]()det(

1[

Del cual se concluye por la unicidad de la inversa de A que

)()det(

11 AAdjA

A =−

Ejemplo 10.- Dada la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

321231132

A

Halle su inversa por el método de la adjunta.

Solución

Del ejemplo 15 sección 2.1 se tiene que 6)det( =A y en el ejemplo 8 se calculó

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

311351

375)(AAdj

Luego,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−==−

311351

375

61)(

)det(11 AAdj

AA

119

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=−

21

61

61

21

65

61

21

67

65

1A

Teorema 4.- Una matriz cuadrada A es no singular si y solo si . 0)det( ≠A

Prueba

Asumiendo que ; por el corolario1 se tiene que existe la inversa de A y 1−A0)det( ≠A

)()det(

11 AAdjA

A =− . En consecuencia A es no singular.

Recíprocamente, asumiendo que A es no singular. Existe la inversa de A tal que 1−A

nIAAAA == −− 11

Luego, calculando el determinante de la expresión anterior se tiene

1)det()det()det( 11 === −−nIAAAA

Usando propiedades de determinante

1)det()det()det()det()det( 11 === −−nIAAAA

. del cual se concluye que 0)det( ≠A

Con lo cual el teorema queda demostrado.

nn×Corolario 4.1.- Si A es una matriz de orden , entonces el sistema homogéneo

, tiene una solución no trivial si y solo si 0=xA . 0)det( =A

Prueba

Probar si tiene solución no trivial, entonces 0=xA 0)det( =A Es equivalente a probar

si , entonces 0=xA0)det( ≠A tiene solo la solución trivial. En efecto, como

, A es no singular; es decir existe y se tiene que 1−A0)det( ≠A

0000 =⇒=⇒=⇒= −−− xxxx nIAAAAA )()()( 111

Recíprocamente, asumiendo que 0)det( =A hay que demostrar que el sistema

homogéneo tiene una solución no trivial. Como 0)det( =A , la matriz A es singular y es

equivalente por filas a una matriz B escalonada reducida por filas donde al menos la

última fila de B son todos iguales a cero.

0=xA 0=xB BFA ~ es equivalente por ser . El sistema

Luego como al menos la última fila de B son todos sus componentes iguales a cero se

tiene la ecuación.

120

[ ] 0000 2

1

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nx

xx

ML

Lo que muestra que pueden tomar valores diferentes de cero y en

consecuencia, el sistema una solución diferente de la trivial.

nxxx ,,, 21 L

0=xA

Resumiendo los resultados más importantes podemos decir. Las siguientes

afirmaciones son equivalentes:

a) A es no singular.

b) solo tiene la solución trivial. 0=xA

c) A es equivalente por filas a la matriz identidad.

d) El sistema lineal tiene una única solución bx =A

e) 0)det( ≠A

Una de las aplicaciones de los determinantes es en la solución de sistemas de

ecuaciones lineales, siempre y cuando la matriz de coeficientes sea cuadrada y su

determinante diferente de cero. Esta regla muy conocida es llamada Regla de Cramer

en honor al matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752).

Teorema 5. [Regla de Cramer]

Sea

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

L

MMMMMM

L

L

2211

22222121

11212111

un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas y sea la matriz de

coeficientes asociada al sistema y el vector de término independientes. Si

, entonces el sistema tiene una única solución

][ ijaA =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

2

1

b

bb

Mb

0)det( ≠A

)det()det(

,,)det()det(

,)det()det( 2

21

1 AA

xAA

xAA

x nn === L

121

Donde es la matriz que se obtiene a partir de A, al reemplazar la columna i por el

vector b.

iA

Prueba

Se tiene que , luego por el teorema 4, A es no singular, en consecuencia

existe y se tiene que

0)det( ≠A1−A

bx 11 )( −− = AAA

bx 11 )( −− = AAA

bx )()det(

1AAdj

A=

Escribiendo explícitamente,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

i

nnnn

niii

n

n

n

i

b

b

bb

AAA

AAA

AAAAAA

A

x

x

xx

M

M

L

MOMM

L

MOMM

L

L

M

M2

1

21

21

22212

12111

2

1

)det(1

Luego se obtiene ix

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

niiii

b

bb

AAAA

xM

L 2

1

21 ][)det(

1

)()det(

12211 nniii bAbAbA

A+++= L

)()det(

12211 ninii AbAbAb

A+++= L

)det()det(

AAi=

En consecuencia,

)det()det(

AA

x ii =

Donde denota la matriz obtenida a partir de A reemplazando la columna i-ésima

por el vector b.

iA

Ejemplo 11.- Usar la Regla de Cramer, para resolver el sistema

122

1263847

−=−=+

yxyx

Solución

5463

47)det( −=

−=ALa matriz de coeficientes es , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=63

47A y el vector de

términos independientes es . Aplicando la Regla de Cramer se tiene: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=128

b

0540

54)48(48

54612

48

)det()det( 1 =

−=

−−−−

=−

−−==

AA

x

254

10854

248454

12387

)det()det( 2 =

−−

=−−−

=−

−==

AA

y

Luego, se tiene . 2;0 == yx

Ejemplo 12.- Usar la Regla de Cramer, para resolver el sistema

7553243

=++=−+=+−

zyxzyxzyx

Solución

La matriz de coeficientes es , el vector de incógnitas es ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

753

b⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

511324

111A

38)21(17)3202()4310(511324

111)det( =−−=−−−++=−

−=A

238

)20(5638

)92514()52130(38

517325

113

)det()det( 1 =

−−=

−−−++=

−−

==AA

x

038

444438

)21605()28925(38

571354

131

)det()det( 2 =

−=

−+−+−=

−

==AA

y

123

138

172138

)5286()12514(38

711524311

)det()det( 3 =

+=

+−−+−=

−

==AA

z

EJERCICIOS

1. Dada la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

325413201

A

Calcule todos los cofactores

2. Dada la matriz

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

013004231412

0301

A

Calcule todos los cofactores de los elementos del segundo renglón y todos los

cofactores de los elementos de la tercera columna

3. En los ejercicios, evalúe los determinantes haciendo uso del teorema 1.

023251321

− b) 110

123013

− a)

311420024

−−−

− d)

322131210

−−

− c)

1230430230211244

−

−

e) g)

003214131210

1322

−−

−

5110543173021213

−−−−−

h) i)

0033252212103100

−

−

124

7. Verifique el teorema 2 para la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

102314

032A

323122211211 AaAaAa ++Calculando

8. Dada la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

123021312

A

a) Determine adjA

b) Calcule )det( A

c) Verifique el teorema 3; es decir, muestre que

3)det()()( IAAadjAadjAA ==

9. Sea

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

544143826

A

a) Determine )(Aadj

b) Calcule )det( A

c) Verifique el teorema 3; es decir muestre que

3)det()()( IAAadjAadjAA ==

10. En los siguientes ejercicios, calcule las inversas de las matrices dadas, si es que

existen, mediante el corolario 1.

a) b) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 43

23⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 21

32

c) d) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

301210224

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 210430204

125

e) f)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

2010251243123120

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

711254321

11. Utilice el teorema 4 para determinar cuales de las siguientes matrices son no

singulares.

a) b) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 132210321

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321

c) d) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 271412231

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

264312534

e) f)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

2564315314622131

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

7210025271435021

12. Determine los valores de para los cuales λ

a) b) 033

22det =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−λ

−λ0

4041

det =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−λ−−λ

c) ( ) 0det 3 =−λ AI , donde ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

100102101

A

d) ( ) 0det 3 =−λ AI , donde ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−=

212030313

A

13. Haga usos del corolario 3 para determinar si los siguientes sistemas homogéneos

tienen soluciones no triviales.

a) b)

0202

03202

=−+=+

=++=++

wzywz

zyxwyx

023032

02

=++=++=+−

zyxzyx

zyx

126

c) d)

020323

02202

=−+=+++

=+−=+++

wzywzyx

zyxwzyx

03022

02

=+−=++=−+

zyxzyx

zyx

14. En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema lineal dado mediante la regla de

Cramer, en caso de ser posible

452243242

=+−=+−+=++

−=−++

wyxwzyxwzywzyx

532022642

−=−+=+=++

zyxzxzyx

b) a)

0420422732

=++=−−=++

zyxzxzyx

422223

62

=++−=−+

=++

zyxzyxzyx

d) c)

33×15. Si es una matriz de ][ ijaA = , obtenga la expresión general para

desarrollando

)det( A

a) con respecto a la segunda columna.

b) con respecto a la tercera fila.

16. Muestre que si A es simétrica, entonces también es simétrica. )(Aadj

17. Sea A de y suponga que 5=A . Calcule 44×

1)2( −A a) 1−A b) A2 c) 12 −A d)

18. Sea 3=A y 4=B . Calcule

a) AB b) TABA ABB 1− c)

19. Determine todos los valores de a para los cuales el sistema lineal

0202

=+=+

yaxayx

tiene:

a) Una única solución

b) Una infinidad de soluciones

20. Determine todos los valores de a para los cuales la matriz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−22

22aa

a

es no singular.

127

18. Utilice la regla de Cramer para determinar todos los valores de a para los cuales el

sistema lineal

1032

922

−=−−=+=+−

zyxayx

zyx

. tiene la solución en la cual 1=y

128