1

SERIE DE ECUACIONES DIFERENCIALES PROFESOR: PEDRO RAMÍREZ MANNY TEMA 1

1) Clasifique cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes

indicando orden (O), grado (G) y si es lineal (L) o no (NL). a) (1 ) '' 4 ' 5 tany x yx x y− − + = b) 2''' '' 2 ( ') 0y xy y y xy+ + + =

c)

1542

2

d dd dθ θθρ ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

d) 3 '' 4 ' 3 0IVx y xy xy y+ + − = e) 2' 2 1yy y x+ = + Solución: a) 2 ,1 ,o erO G L b) 3 ,1 ,er erO G NL

c) 2 ,5 ,o oO G NL d) 4 ,1 ,o erO G L e) 1 ,1 ,er erO G NL

2) Determine los valores de m para los que la función my x= es

solución de la ecuación diferencial 23 '' 11 ' 3 0x y xy y+ − = .

Solución: 13,3

−

3) Obtenga la ecuación diferencial cuya solución general está

representada por la familia de curvas de ecuación y cx x c= + . Solución: 1 ' 2 0x x y x y⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦

2

4) Obtenga la ecuación diferencial asociada con la solución general

21 2 3y c c x c x= + + .

Solución: ''' 0y = .

5) Obtenga la ecuación diferencial cuya solución general sea 1

2cy c xx

= + .

Solución: 2 '' ' 0x y xy y+ − =

6) Obtenga la ecuación diferencial asociada con la solución general ( ) ( )1 2cosy c ax c sen ax= + , siendo 1c y 2c constantes arbitrarias y a una constante fija. Solución: 2'' 0y a y+ =

7) Hallar la ecuación diferencial de la familia de cardioides ( )1 cosaρ θ= − , donde a es una constante arbitraria.

Solución: ( )1 cos ' 0senθ ρ ρ θ− − =

8) Encontrar la ecuación diferencial de la familia de parábolas que tienen sus vértices en el origen, sus focos sobre el eje ‘y’ y que abren hacia arriba. Solución: ' 2 0xy y− =

9) Obtenga la ecuación diferencial que tiene como solución general la familia de rectas tales que, la suma algebraica de las intersecciones con los ejes coordenados sea igual a 1k . Solución: ( )( ) 1' ' 1 ' 0xy y y k y− − + =

10) Obtenga la ecuación diferencial cuya solución general es la representación analítica de la familia de circunferencias con centro sobre la recta 3y x= y que pasan por el origen.

3

Solución: ( ) ( ) ( )2 2 23 ' ' 3 10 'xy yy y x x yy− + − = +

11) Obtenga la ecuación diferencial que tiene, como solución general, a la representación analítica de todas las parábolas con eje focal paralelo al eje ‘y’, vértice sobre la recta 3y x= , y la longitud del lado recto igual a cuatro unidades, es decir, 4 4p = . Solución: ( )2' 3 6 'y y x y= − +

12) Obtenga una ecuación diferencial que tenga por solución general la representación analítica de la familia de circunferencias de radio paramétrico y que tienen su centro sobre el eje x. Solución: ( )2' '' 1 0y yy+ + =

13) Halle la solución singular de la ecuación diferencial, si ésta

existe, ( ) ( ) ( )2 2' 2 3 4 1y y y− = − cuya solución general es

( ) ( )22 1y y x c− = − . Solución: 1y =

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el método de separación de variables. 14) ( )' 1 x x yy e e −+ = Solución: ( )ln 1y xe e c= + +

15) 2 23 3

dy xy y xdx xy y x

+ − −=

− + − Solución: ( )

( )

5

2

31

y x xe C

y− −=

−

16) ( )2

22 cosh 3 secd y x h x

dx= +

Solución: ( ) 1 21 cosh 3 ln(cosh )9

y x x c x c= + + +

4

17) Resuelva la ecuación diferencial x y x

x y y

dy e edx e e

+

+

+=

+

sujeta a la condición inicial (0) 0y = . Solución: y x= .

18) Sea la ecuación diferencial

( ) 0A y B dx dy− − = a) Obtenga el valor de las constantes A y B de manera que satisfaga la condición inicial ( )5 5(1 3 )y e= + .

b) Con los valores obtenidos en el inciso anterior, calcule (0)y .

Solución: a) 1 , 5, 155

A B C= = = .

b) (0) 20y = .

19) ( )

( )

2 1: 0

: 1

yresolver y senx dx dyx x

sujeta a y π

⎧ ⎛ ⎞+ − =⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎨

⎪ =⎩

Solución: ( )1cos ln 1x x senx yy

π− + = + + − .

20) Determine si la función ( )3 2 2

,8

x y x yf x yx y−

=+

es homogénea

e indicar su grado. Solución: Es homogénea de grado tres.

21) Determine si la función

( ) ( )3 4 4

3 2 4 5, xy y xf x y x x y xyx y+

= + − − + es homogénea

e indique su grado. Solución: Es homogénea de grado tres.

5

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas. 22) 2 2'xy y y x= + −

23) 2 2 2y x x ydy

dx xy+ +

=

Solución:2

1y yx Cx x

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Solución: ( )2

21 lny x Cx

+ = +

24) ( )

:

: 1 4

dy x yresolverdx y x

sujeta a y

⎧ = +⎪⎨⎪ = −⎩

Solución: 2

2ln 82yxx

= −

25)

( )

2: cos 0

: 14

yresolver x y dx xdyx

sujeta a y π

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ − + =⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎨⎪ =⎪⎩

Solución: 1ln tan 1yx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Resuelva las siguientes ecuaciones como ecuaciones diferenciales exactas o determine el factor integrante que las convierta para poder resolver.

26) ( )cos ln 0xy e dx y x dyx

⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución: ln xseny y x e C+ + =

6

27) 1 1cosh x y dxy y x

⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠2

1 cosh 0x xx dyy y y

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Solución: lnx ysenh xy Cy x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

28) 2 2 4 33 ln 2 0x y dx y y x y dy⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦

Solución: 3

2 lnx y y y Cy

+ − =

29) ( )3 2 0ydx x xy dy+ − + =

Solución: ( )3 22 4 4ye xy y y C− − − − =

30) Para la ecuación diferencial dy xydx

= determine en que

punto de los siguientes: ( ) ( ) ( ) ( )1,0 , 0,2 , 2,1 , 1, 1− − − admite una solución única. Solución: ( )1, 1− − .

31) Sea la ecuación diferencial ( ) ( )1 2 1 2 0y xy dx x xy dy+ + − = . Mediante la sustitución 2u xy= , obtenga la solución general.

Solución: 1

2xyy Cxe−

= .

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.

32) ( )2 23 ' 2 0x y y xy− − = Solución: ( )3 2 2y C x y= −

33) 2cosdy senydx x y sen y

=−

Solución: cscx y y C+ =

7

34) ( )2 3 23 3 5 0x ydx x y dy+ + = Solución: 3 3 5x y y C+ =

35) ( )2 2 1xy y x dy xydx+ + + =

Solución: ( )2

ln ln 12y y x x C+ = − + +

36) ( )cos 2 0y xdx y senxdy+ + =

Solución: 2ye y senx C=

1EP TIPO 1 2006-1 37) La opción que clasifica correctamente cada una de las

siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias es……… a) ( )22 0xxy y dx e dy− + = b) ( ) '' 4 ' 0senx y xy+ =

c) 23

23 3d y dy y x

dx dx⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 2

2 3 cosd y x ydx

− =

1) a) Primer orden, no lineal, coeficientes variables. b) Segundo orden, no lineal, coeficientes variables. c) Tercer orden, no lineal, coeficientes constantes. d) Segundo orden, lineal, coeficientes constantes. 2) a) Primer orden, no lineal, coeficientes variables. b) Segundo orden, lineal, coeficientes variables. c) Tercer orden, no lineal, coeficientes constantes. d) Segundo orden, lineal, coeficientes constantes. 3) a) Primer orden, no lineal, coeficientes variables. b) Segundo orden, no lineal, coeficientes variables. c) Tercer orden, no lineal, coeficientes constantes. d) Segundo orden, no lineal, coeficientes constantes.

8

4) a) Primer orden, no lineal, coeficientes variables. b) Segundo orden, no lineal, coeficientes variables. c) Tercer orden, no lineal, coeficientes constantes. d) Segundo orden, no lineal, coeficientes variables. 38) La expresión que representa la ecuación diferencial lineal de

orden n es…………………………………………………. 1.

( ) ( )1

1

n n

n ndy dya x a xdx dx

−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

… ( ) ( ) ( )1 0dya x a x y g xdx

+ =

2. ( ) ( )

1

1 1

n n

n nn n

d x d xa x a xdy dy

−

− −+ +… ( ) ( ) ( )1 0dxa x a x x g ydy

+ + =

3. ( ) ( )

1

1 1

n n

n nn n

d y d ya y a ydx dx

−

− −+ + +… ( ) ( ) ( )1 0dya y a y y g ydx

+ =

4. ( ) ( )

1

1 1

n n

n nn n

d y d ya x a xdx dx

−

− −+ + +… ( ) ( ) ( )1 0dya x a x y g xdx

+ =

39) Para la ecuación diferencial ( )2' 4 4y y= − cuya solución

general es ( )2 1y x c= − + , una solución particular es…..…

1. ( )21 1y x= + − 2. 1y = 3. 2 4 5y x x= − + 4. ( )21 1y x+ = −

40) La función general ( ),M x y para la cual la ecuación

diferencial ( ) 2, sec 0xM x y dx y dyy

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

es exacta, es la

que se indica en la opción………..………………………… 1) ( ) ( ), lnM x y x f x= + 2) ( ) ( ), lnM x y y f x= + 3) ( ) ( ), lnM x y y f x= − + 4) ( ) ( ), lnM x y y f y= − +

9

41) La solución general de la ecuación diferencial

cos cos 0y yx y dx x dyx x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ se indica en…….…

1) ln yx sen Cx

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2) ln yx sen Cx

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

3) 2

2x ysen C

x⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

4) 2

2x ysen C

x⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

42) La función ( ),f x y que determina la solución general de

la ecuación diferencial ( ) ( )3 4 32 6 0x y dx x x y dy− + + = es la

que se indica en……………………………………………..

1) ( ) 22

1, 3f x y xy yx

= + − 2) ( ) 34

1, 22

f x y xy yx

= + +

3) ( ) 24

1, 32

f x y xy yx

= + + 4) ( ) 22

1, 3f x y xy yx

= + +

43) Al emplear la sustitución u x y= + , la solución de la ecuación

diferencial ( )' cosy x y= + es……………………………. 1. ( ) ( )csc cotx x y x y C+ + − + = 2. ( ) ( )csc cotx x y x y C+ + + + =3. ( ) ( )csc cotx x y x y C− + + + = 3. ( ) ( )csc cotx x y x y C− + − + =

10

1EP/TIPO A/ 2007-1 44) Clasifique cada una de las ecuaciones que se enlistan

a continuación, completando la tabla mostrada.

Ecuación diferencial

Ordinariao parcial

orden

Linealo No lineal

Variables independientes

Variables dependientes

Coeficientesconstantes o Coeficientesvariables

2

2 1 ,dyx C C ctedx

⎡ ⎤⎛ ⎞+ = =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2

2 2 ,U U Uk k ctet x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

23 2

3 2 cosd y d y y xdx dx

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

1 ,N N N kN k cteγ β γ γ

∂ ∂ ∂= + + =

∂ ∂ ∂

( )( )4 1 , .dx k x x k cte

dt= − − =

45) Obtenga la ecuación diferencial cuya familia uniparamétrica

de soluciones está representada por

1xay a e

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

donde a es un parámetro.

11

Solución: ( )ln ' ' 0y y x xy+ − = 46) Verifique que 2 24x y C− = , donde C es una constante

arbitraria, proporciona una familia uniparamétrica de soluciones implícitas de ' 4 0yy x− = y grafique las curvas solución para 0, 1 1C C y C= = = − . Solución: Se verifica que es solución. Para 0C = se tienen 2y x= ± , para 1C = 2 24 1x y− = y para

1C = − 2 24 1y x− = .

47) Determine la solución de la ecuación diferencial

( ) ( )2 2 0x x y dy y y x dx− − − = sujeta a la condición inicial ( )1 2y = .

Solución: 2 2 2x y xy− = −

12

48) Sea la ecuación diferencial ( )2 4dyx ydx

− = . Mediante

la sustitución u x y= − , obtenga su solución general.

Solución: 22

y x ye Cx y

⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟− +⎝ ⎠

49) Resuelva la ecuación diferencial

( ) ( )2tan cos secx xe y seny dx y xe y dy− −+ = − + Solución: tan xx y e seny C+ = .

13

TEMA 2 50) Resuelva la ecuación diferencial ( ) cos' cot 5 xy x y e+ = .

Solución: ( ) coscsc 5 cscxy C x e x= − .

51) ( )

3: 2 cos

: 2

dyresuelva x y x xdx

sujeta a y π

⎧ − =⎪⎨⎪ =⎩

Solución: 2

22

2xy x senxπ

= +

52) Dada la ecuación diferencial 2 1 3dy k ydx

+ − = donde k es

una constante, determine a) los valores reales de k , que satisfagan la solución particular

( ) 3py x = b) el valor de la constante, esencial y arbitraria, que satisface

la condición inicial ( )0 1y = . Solución: 2, 2k C= ± = − .

53) ( ) ( ) ( ): 3 ''' 5 '' ' 7 0: 1 0, ' 1 0, '' 1 0

resuelva y y y ysujeta a y y y

+ − + =⎧⎨ = = =⎩

Solución: 0y =

54) Para las funciones 2 3 2, ,x x x− ; calcule su wronskiano e indique si son linealmente independientes (L.I.) ó no son linealmente independientes (N.L.I.). Solución: 20,w = L.I.

14

55) Sean los operadores 1A xD= − y 1B D= + , determine: a) AB , b) BA . Solución: 2 1AB xD xD D= + − − ; 2 1BA xD xD= + −

56) Sean los operadores 2 1A x D= + y 3 1B xD= − , determine

el producto AB . Solución: ( )3 4 2 3 2 1AB x D x x D x D= + + − − .

57) Sean los operadores 2 5 3 4A xD D x= − + −

4 2 5 3B x D D x= + − + determine la suma A B+ Solución: ( )4 2 4 2 1A B x x D D x+ = + − − − .

58) Sean los operadores diferenciales 1G xD= − y H D x= + , y

sea la función ( ) xf x xe−= . Obtenga ( )GHf x . (1EPA05-1) Solución: ( ) 2 32 x x x xGHf x x e xe x e e− − − −= − − −

59) Resuelva la ecuación diferencial ( )4 3 26 5 24 36 0D D D D y+ + − − =

Solución: 2 2 3 31 2 3 4

x x x xy C e C e C e C xe− − −= + + +

60) Resuelva la ecuación diferencial ( )9 8 7 6 5 4 3 25 11 27 32 12 16 112 128 192 0D D D D D D D D D y+ + + + − − − − + =

Solución: 3 2 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9cos 2 2 cos 2 2x x x x xy C e C e C xe C e C xe C x C sen x C x x C xsen x− − −= + + + + + + + + .

61) Obtenga el operador anulador de la función

( ) 21

cosxx e xQ x e senx e

x+

−= + −

15

Solución: ( )22. . 1 1O A D D⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

62) Obtenga el operador anulador de la función

( ) 2 cosh 4 8 2 4 2x x xQ x xsen x x e e sen x e sen x−= − + − . Solución:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2. . 1 1 1 4 1 4O A D D D D⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de coeficientes indeterminados.

63) '' 4xy y e senx+ = − .

Solución: 1 21cos 2 cos2

xy C x C senx e x x= + + + .

64) ( )( )1 1 cos2xD D y ⎛ ⎞+ − = ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Solución: 1 24 cos5 2

x x xy C e C e− ⎛ ⎞= + − ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

65) ''' '' 4 ' 4 5 xy y y y e−+ + + = . Solución: 1 2 3cos2 2x xy C e C x C sen x xe− −= + + + .

Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de variación de parámetros.

16

66) 1''' 'y ysenx

+ =

Solución: 1 2 3cos ln csc cot cos ln cscy C C x C senx x x x x xsenx= + + + − + −

67) 2'' 4 ' 4 lnxy y y e x−+ + =

Solución: 2 2 2 2 2 21 2

3 5ln2 4

x x x xy C e C xe x e x x e− − − −= + + − .

68) 2'' 2 '1

xey y yx

−

+ + =+

Solución: ( )21 2

1 ln 1 tan2

x x x xy C e C xe e x xe ang x− − − −= + − + +

69) Obtener la ecuación diferencial de la cual la función

2 21 2 3 4cos2 2 3x x xy C e C e C x C sen x xe= + + + +

es su solución general. Solución: ( ) 23 ''' 6 '' 12 ' 8 24IV xy y y y y e− + − + =

70) Transforme la siguiente ecuación diferencial a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden; exprese en forma matricial

( ) ( ) ( )

3 23

3 22 2

0 1, ' 0 1, '' 0 2

td x d x dx x edt dt dt

x x x

⎧+ − − =⎪

⎨⎪ = = =⎩

17

Solución:

( )

3

0 1 0 0' 0 0 1 0

2 1 2

10 1

2

t

x xe

x

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ −⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪⎜ ⎟⎪ = ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

71) Transforme el siguiente sistema en un sistema de ecuaciones

diferenciales de primer orden; exprese en forma matricial. 2

2

2

2

3 2 0

2 0

d x x ydt

d y xdt

⎧+ + =⎪⎪

⎨⎪ − =⎪⎩

Solución:

1

2

3

4

0 1 0 03 0 2 0

' ;0 0 0 12 0 0 0

xx

x x donde xxx

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

72) Transforme el siguiente sistema en un sistema de ecuaciones

diferenciales de primer orden; exprese en forma matricial.

3 2

3 2

4

4

7

t

d x d x x y tdt dtd y dy x y edt dt

⎧+ − + =⎪⎪

⎨⎪ + + − =⎪⎩

18

Solución:

0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 07 0 1 1 0 0 0

' 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 01 0 0 1 1 0 0 t

tx x

e

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

donde

1

2

3

4

5

6

7

xxx

x xxxx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

73) Resuelva el siguiente sistema

( ) ( )( ) ( )2 2 2

1 1

1 1

tD x D y e

D D x D D y t

⎧ + + − =⎪⎨

+ + + − + =⎪⎩

Solución:

2

2

1 12 21 32 2

t

t

x t t e

y t t e

⎧ = − +⎪⎪⎨⎪ = + −⎪⎩

19

74) Obtener la solución del sistema de ecuaciones diferenciales

2

2

2

dx x ydtdy y zdt

dz zdt

⎧ = +⎪⎪⎪ = +⎨⎪⎪ =⎪⎩

Solución:

2 2 2 211 1

2 21 1

21

2t t t

t t

t

cx a e b te t e

y b e c tez c e

⎧ = + +⎪⎪

= +⎨⎪ =⎪⎩

75) Resolver 1 1 2

2 1 2

' 3 2' 4

x x xx x x= −⎧

⎨ = −⎩

sujeto a: ( ) ( )1 20, 1x xπ π= = − .

Solución: 1

2

2cos2 2

t

t t

x e sen tx e t e sen t

π

π π

−

− −

⎧ =⎨

= − +⎩

76) Resolver 1 1 2

12 2

' 2

'2

tx x x exx x

⎧ = + +⎪⎨

= − +⎪⎩

sujeto a: ( ) ( )1 20 1, 0 1x x= = −

Solución: 1

2

(cos s )1 ( cos 1)2

t

t

x e t ent

x e sent t

⎧ = −⎪⎨

= − + +⎪⎩

20

2EP / TIPO A / 2007-1

77) Resuelva el problema de valor inicial ( )' cot 2cscy x y x− = ;

12

y π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Solución: 2cosy senx x= −

78) Utilice el método de coeficientes indeterminados para resolver la ecuación diferencial

'' 3cos2y y senx x+ = +

Solución: 1 21cos cos cos22

y C x C senx x x x= + − −

79) Sean ( )1 cos lny x= y ( )2 lny sen x= soluciones

de la ecuación diferencial 2 '' ' 0x y xy y+ + = . Obtenga la solución general de la ecuación diferencial no homogénea ( )2 '' ' sec lnx y xy y x+ + = . Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2cos ln ln ln cos ln cos ln ln lny C x C sen x x x x sen x⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

80) Obtenga el operador diferencial anulador de menor orden

de la función ( ) 2 32

1 13 22 sec

x xh x x e xe xsen x xx

−= − + − + +

Solución: ( )( ) ( )224 2. . 1 1 4O A D D D D= − + +

81) Obtenga la solución del sistema

' 1' 3 2 0x y

y x y= − −

+ − =

sujeta a las condiciones ( ) ( )0 0, 0 0x y= =

21

Solución: ( )

( )

3

3

3 1 24 12 33 1 14 4

t t

t t

x t e e

y t e e

−

−

= − −

= + −

82) Transforme la ecuación diferencial ( ) ''' 2 'Vy y y senx− − = a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente. Nota: No resuelva el sistema obtenido Solución:

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

' 0 1 0 0 0 0' 0 0 1 0 0 0' 0 0 0 1 0 0' 0 0 0 0 1 0' 0 2 0 1 0

x xx xx xx xx x senx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

22

TEMA 3 83) Determine la transformada de Laplace para la función

( ) 1 , 0 10, 1

t tf t

t− ≤ <⎧

= ⎨ ≥⎩.

Solución: ( ){ } 2 2

1 1seL f ts s s

−

= + −

Determine si es falso o verdadero.

84) La función ( ) 0,1,

si t es un racionalf t

si t es un iracional⎧

= ⎨⎩

en el intervalo

[0, )∞ es de orden exponencial. Solución: verdadero.

85) La función en el ejercicio 2 es continua por partes en [0, )∞ .

Solución: falso.

86) La función ( ) tf t e= no es de orden exponencial. Solución: falso.

87) La función ( ) 2tf t e= es de orden exponencial. Solución: falso.

88) La función ( ) 1f tt

= es continua por partes en el intervalo

[0, )∞ . Solución: falso

23

Encuentre la trasformada de Laplace de las siguientes funciones. ( , , ,a b T yω θ son constantes)

89) ( ) ( )2f t a bt= + ( ){ }2 2

2 3

2 2a ab bL f ts s s

= + +

90) ( ) ( )cosf t tω θ= + ( ){ } 2 2

coss senL f tsθ ω θ

ω−

=+

91) ( ) at bf t e += ( ){ }beL f t

s a=

−

92) ( ) 2 2f t senh t= ( ){ } 2

1 12 16

sL f ts s⎡ ⎤= −⎢ ⎥−⎣ ⎦

93) ( ) cosf t sent t= ( ){ } 2

14

L f ts

=+

94) ( ) 2cosf t tω= ( ){ } 2 2

12 2 8

sL f ts s ω

= ++

95) ( ) 2n tf t senTπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( ){ } 2

2

22

nL f tnT sT

π

π=

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

96) Sea ( ) 2 3 8 cosh 7tf t t e sen t tπ −= + + + + . Obtenga ( ){ }L f t .

Solución: ( ){ } 3 2 2

2 1 83 64 49

sL f ts s s s sπ

= + + + ++ + −

97) Sea ( ) ( )21f t t= + , obtenga ( ){ }L f t .

Solución: ( ){ } 3 2

2 2 1L f ts s s

= + +

98) { }2 2 4cosh 2 15L senh t t+ + =

Solución: 2 2

4 4 154 4

ss s s

+ +− −

24

99) { }2cosL t t+ = Solución:( )2 2

1 12 2 4

ss s s+ +

+

100) { }3L senh t = Solución: 2

33s −

101) { }3 2tL e sen t = Solución:( ) ( )2

1 32 3 2 3 4

ss s

−−

− ⎡ ⎤− +⎣ ⎦

102) ( ){ }22 1tL e t− − = Solución:( ) ( ) ( )3 2

2 2 122 2 ss s

− +++ +

103) { }2 3tL e sen t− = Solución:( )

2

231 9e

s

−

− +

104) { }3 2 cos2tL e sen t t = Solución:( )2

23 16s − +

105) { }2 cos3tL te t− = Solución: ( )

( )

2

22

2 9

2 9

s

s

+ −

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

106) ( ){ }1tL te u t − = Solución:

( )

( )

1

21

se ss

− −

−

107) Sea ( ) cosf t t= obtenga 0

cost

L dτ τ⎧ ⎫

=⎨ ⎬⎩ ⎭∫

Solución: 2

11s +

108) 3 10

0

t

L e dττ τ−⎧ ⎫=⎨ ⎬

⎩ ⎭∫ Solución:

( )1110!

3s s +

109) ( )0

3t

L e dπττ τ⎧ ⎫

+ =⎨ ⎬⎩ ⎭∫ Solución:

( )3

3 1s s s π+

−

25

110) Obtenga la transformada de Laplace de la función cuya gráfica se muestra a continuación

Solución: ( ){ }2 4

2 2

1 s se eL f ts s s

− −

= + −

111) Obtenga la transformada de Laplace para la función

Solución: ( ){ }5 5

2

s se eL f ts s

− −

= +

112) Dada la gráfica

Obtenga f en términos de funciones escalón y rampa.

26

Solución:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 3 4f t u t r t r t u t u t u t= + − − − + − + − − −

113) ( ){ }L t tδ = Solución: cero

114) ( ){ }tL te tδ = Solución: cero

115) ( ) ( ) ( ){ }1 1 1tL e t u tδ− − − = Solución: se−

116) ( ) ( ){ }4 5L t u t− − = Solución: 52

1 1ses s

− ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

117) ( ){ }3L t u t − = Solución: 32

1 3ses s

− ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

118) ( )( )( )

1 12 3 4

Ls s s

− ⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬− − −⎪ ⎪⎩ ⎭ Solución: 2 3 41 1

2 2t t te e e− +

119) ( )( )

12 3

0.51

Ls s s

−⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬

+ +⎪ ⎪⎩ ⎭ Sol. 1 11

2 2t tt e te− −− + + +

120) ( )

12 2

19

Ls s

−⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬

+⎪ ⎪⎩ ⎭ Solución: 1 1 3

9 27t sen t−

121) 1

2sL

s− ⎧ ⎫ =⎨ ⎬−⎩ ⎭

Solución: ( ) 22 tt eδ +

122) 12 16

seLs

−− ⎧ ⎫

=⎨ ⎬−⎩ ⎭ Sol. ( ) ( )1 4 1 1

4senh t u t− −

123) ( )( )

21

1 2

seLs s

−− ⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬− −⎪ ⎪⎩ ⎭

Sol. ( ) ( ) ( )2 2 2 2t te e u t− −⎡ ⎤− −⎣ ⎦

124) ( )

122 9

sLs

−⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬

− +⎪ ⎪⎩ ⎭ Sol. 2 2cos3 3

3te t sen t⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

27

125) ( ){ }tL t e senht∗ = Solución: ( )22

11 1s s⎡ ⎤− −⎣ ⎦

126) ( ) ( ){ }1 1 1L t u t⎡ ⎤∗ − − =⎣ ⎦ Solución: 3

ses

−

127) ( ) ( ){ }1 1 1L t u tδ⎡ ⎤− − ∗ =⎣ ⎦ Solución: se

s

−

128) 12

12 15

Ls s

− ⎧ ⎫ =⎨ ⎬− −⎩ ⎭ Solución: ( )35

0

tte e dττ τ− −∫

129) ( )

12

31

Ls s

−⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎩ ⎭

Solución: ( )3 cosh 1t −

130) ( )

12

17

Ls s

−⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬

+⎪ ⎪⎩ ⎭ Solución: ( )1 1 cos 7

7t⎡ ⎤−⎣ ⎦

131) Sea la ecuación diferencial ( ) ( )'' 4 2y y t t u t+ = − − − sujeta

a las condiciones iniciales ( ) ( )0 0, ' 0 1y y= = entonces ( ){ } ( )L y t Y s= =

Solución: ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 21 1 1 1

s se es s s s s s s

− −

+ − ++ + + +

132) Resuelva el problema de valor inicial ( ) ( ) ( )'' 6 5 1 ; 0 0, ' 0 4ty y y e t y yδ+ + = − = =

Solución: ( ) ( ) ( ) ( )1 5 1 514

t t t tey t e e u t e e− − − − − −⎡ ⎤= − − + −⎣ ⎦ .

28

133) Determine la función ( )f t necesaria para que se cumpla la igualdad

( ) ( ) ( )0

1 1 44

t

f t t f dτ τ τ− = −∫

Solución: ( ) ( )4cosh 4f t t=

134) Utilice la transformada de Laplace para obtener la solución del sistema

( )' 1 2' 0

x y u tx y

⎧ + = − −⎨

+ =⎩

sujeto a las condiciones iniciales ( ) ( )0 0, 0 0x y= = . Solución:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

1 1 1 22 2 21 1 11 1 22 2 2

t tt t

t tt

x t e e e e u t

y t e e e u t

− − −−

− − −−

⎧ ⎡ ⎤= − − − −⎪ ⎣ ⎦⎪⎨

⎡ ⎤⎪ = − + − + + −⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

135) Determine la matriz A, para la cual su matriz exponencial

es

1 10cos3 3 33 3

1 13 cos3 33 3

Att sen t sen t

esen t t sen t

⎛ ⎞+⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución: 1 101 1

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠.

29

Obtenga la matriz exponencial mediante la transformada de Laplace para las siguientes matrices.

136) 1 11 1

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución: ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

1 11 12 21 11 12 2

t t

At

t t

e ee

e e

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎝ ⎠

137) 1 1 10 0 10 1 2

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Solución: 10 10 1

At t

t te e t t

t t

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

138) 1 11 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución: cos

cos

t tAt

t t

e t e sente

e sent e t⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

139) 1 22 1

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución:3 3

3 3

12

t t t tAt

t t t t

e e e ee

e e e e

− −

− −

⎛ ⎞+ − += ⎜ ⎟− + +⎝ ⎠

30

TEMA 4

Marque como falso (F) o verdadero (V)

128) La ecuación 23 3

3 3 0s s sθ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ es de tercer orden y segundo

grado. Solución: (V).

129) La ecuación 2 2

22

u u ux ux x t t

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

es lineal de segundo

orden homogénea. Solución: (F).

130) La ecuación 2 2 2

32 24 2 3 5 yu u u u u x e

x x y y x∂ ∂ ∂ ∂

+ − − + = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂

es lineal de segundo orden no homogénea. Solución: (V).

131) Sea 2 2

2 2 2

1u ux c t∂ ∂

=∂ ∂

, investigue si

( ) ( ) ( ),u x t f x ct g x ct= − + − es solución general de la ecuación, donde f y g son funciones arbitrarias doblemente diferenciables. Solución: Dicha solución satisface la ecuación.

En los siguientes problemas, obtenga la ecuación diferencial parcial cuya solución general sea: 132) ( ) ( ) ( ), cotu x y f x y g y= +

Solución: 2

2tan sec 0u uy yy x x∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

31

133) ( ) ( ) 21,2

xu x y f x y e x= − + +

Solución: xu u e xx y∂ ∂

+ = +∂ ∂

.

134) ( ) ( ) ( ), xy xyu x y f x e g x e seny−= + +

Solución: ( )2

2 22 1u x u seny x

y∂

− = − +∂

135) Resuelva la ecuación en derivadas parciales

2

2

u u ur r t

β⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠, β =constante

para una constante de separación positiva.

Solución: ( )2 2

21 1 4 1 1 4

2 21 2 3,

k kr r k tu r t C e C e C e β− + + − − +⎡ ⎤

⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

136) Resuelva la ecuación en derivadas parciales

2

2

u ux t

β ∂ ∂=

∂ ∂, β =constante

para una constante de separación negativa: ( )2α λ= −

Solución: ( ) 2

1 2 3, cos s tu x t C x C en x C e λλ λβ β

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( ) 2

1 2 3, cos s tu x t C x C en x C e λ βλ λ −= + .

137) Obtenga una solución completa de la ecuación diferencial

en derivadas parciales 2 2 0u uy xx y∂ ∂

− + =∂ ∂

considerando una

constante de separación 3α = . (1EF/B/2002-1) Solución: ( ) 3 3

1 2, y xu x y C e C e= .

32

138) Obtenga una solución completa de la ecuación diferencial

en derivadas parciales 2 2

2 29u ut x

∂ ∂=

∂ ∂ para una constante de

separación positiva.(2EF/A/2003-1)

Solución: ( ) ( )3 31 2 3 4,

x x t tu x t C e C e C e C eλ λ

λ λ− −⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

139) Obtenga los 3 primeros términos no nulos del desarrollo en

serie de Fourier de la función ( ) 1 01 0

xf x

xπ

π− − < <⎧

= ⎨ ≤ <⎩.

(2EF/A/2000-3)

Solución: ( ) 4 4 43 53 5

f x senx sen x sen xπ π π

= + + +

140) Obtenga la serie de Fourier de la función f en el intervalo

indicado ( )

0, 2 12, 1 01, 0 10, 1 2

xx

f xxx

− ≤ < −⎧⎪− − ≤ <⎪= ⎨ ≤ <⎪⎪ ≤ <⎩

Solución:

( )1

1 1 3cos 1 cos4 2 2 2 2n

n n x n n xf x sen senn n

π π π ππ π

∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∑

141) Obtenga la serie de Fourier de la función ( ) 2f x x=

en el intervalo [ ],π π− .

Solución: ( ) ( )2

21

4 1 cos3

n

nf x nx

nπ ∞

=

= + −∑ .

33

142) Obtenga la serie de Fourier de senos de la función ( ) 3f x x= en el intervalo [ ]0,π .

Solución: ( ) ( ) 22

1

2 61 sn

n

f x ennxn n

π∞

=

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦∑

143) Resuelva el problema de valores en la frontera

( )( )( )

2

2

0, 0, 0

, 0, 0

,0 100, 0

u ux t

u t t

u t t

u x x

π

π

∂ ∂=

∂ ∂= >

= >

= < <

Solución: ( ) ( ) 2

1

1 1200,n

n t

nu x t e sennx

nπ

∞−

=

⎡ ⎤− −= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑

144) Resuelva la ecuación en derivadas parciales u u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

para una constante de separación negativa y que satisfaga los valores en la frontera ( ) 2,0 5 xu x e−= . Además calcule ( )0,2u . Solución: ( ) 2 3, 5 x yu x y e− +=

( ) 60,2 5u e=

3EP / TIPO A / 2007-1 (EXAMEN DE CLASE)

145) Obtenga a) ( ) ( ){ }1 1senh t u t− −L b) { }te sent∗L

Solución: a) 2 1

ses

−

+ b)

( )( )2

11 1s s− +

34

146) Obtener a) 2

26 34

ss s

⎧ ⎫⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

-1L b) { }tanang s-1L

Solución: a) 3 62cos5 55

te t sen t− ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

b) 1 sentt

−

147) Utilice la transformada de Laplace para resolver el problema

de valor inicial ( ) ( )0

' 1 ; 0 0.t

ty y t e d yδ τ τ−+ = − + =∫

Solución: ( ) ( ) ( )1 3116

t ty t e u t e t− − −= − +

148) Sea la función ( )

3, 0 11,1 2

2, 2 33 , 3

tt t

f tt

t t

≤ <⎧⎪ + ≤ <⎪= ⎨ ≤ <⎪⎪ − ≥⎩

a) Definir la función ( )f t utilizando las funciones rampa y escalón unitario.

b) Obtener la transformada de Laplace de la función ( )f t . Solución: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 1 2 2 3 2 3f t r t u t r t u t r t u t= + − − − − − − − − − − −

b) ( ){ }2 2 3 3

2 2 2

3 2s s s s s se e e e e eL f t

s s s s s s s

− − − − − −

= + − − − − −

35

149) Obtenga la serie trigonométrica de Fourier de la función

( ) 1, 01, 0

x xf x

x xπ

π− − ≤ <⎧

= ⎨ + ≤ ≤⎩.

Solución: ( ) ( )( ) ( )1

2 1 1 1 n

nf x sen nx

nπ

π

∞

=

⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦∑

150) Obtenga una solución completa de la ecuación en derivadas

parciales 3 2

2 2 0u u ux y x y∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂ ∂

, para una constante de

separación 3α = . Solución:

a) ( )4 41 13 33

1 3 4,y y

xu x y C e C e C e⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1

331 2 3,

x y yu x y C e C e C e− −= +

c) ( ) ( )13

1 3 4, cos 2 s 2x yu x y C e e C y C en y−⎡ ⎤= +⎣ ⎦

151) Obtenga la ecuación diferencial en derivadas parciales cuya

solución general es la función ( ) ( )3, 9yu x y e F x y= − .

Solución: 9 3u u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

36

1EF / TIPO A / 2007-1

152) Determine la ecuación diferencial cuya solución general es y Cx= . Además, obtenga y grafique la ecuación de la curva que pasa por a) ( )1,2 y b)( )1,2− Solución: ' 0xy y− = a) 2y x=

b) 2y x= −

153) Sea la ecuación diferencial ( ) 0x y xy dx xdy+ − + = a) Obtenga, si es posible, un factor de integración que

dependa de una sola variable. b) Si obtiene un factor de integración resuelva la ecuación. Solución: a) ( ) xx eμ −=

b) ( )1 xxy x e C−− − =

154) Resuelva la ecuación diferencial 2'' 4 xy y e− = .

Solución: 2 2 21 2

14

x x xy C e C e xe−= + +

37

155) Obtenga la solución general de la ecuación diferencial ( )( )1xD xD y x− = . Solución: 1 2 lny C C x x x x= + − + .

156) Obtenga la solución de la ecuación diferencial ( )'' 16y y f t+ = ; ( ) ( )0 0, ' 0 1y y= = donde f es la función

cuya gráfica se muestra a continuación

Nota: Considere que ( )

122 2

2asL tsenats a

−⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬

+⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 14 4 48 8 4

y t tsen t t sen t u t sen tπ π π= − − − − +

157) Sea el sistema de ecuaciones diferenciales

( )( )

45 2 3 0 3;

0 04 0

tdx x y e xdtydy x y

dt

− + = ==

− + =

Utilice la transformada de Laplace para obtener ( )x t . Solución: ( ) 42 5t tx t e e= − +

38

158) Resuelva la ecuación diferencial en derivadas parciales 2

2

1u u ux a t∂ ∂

= +∂ ∂

; a=constante

para una constante de separación negativa. Solución:

( ) ( ) ( )211 2 3, cos s a tu x t C x C en x C e λλ λ − +

= +

159) Obtenga el desarrollo en serie de Fourier de la función ( ) ,f x senx xπ π= − ≤ ≤ .

Solución:

( ) ( ) ( )21

2 2 1 1 cos1

n

nf x nx

nπ π

∞

=

⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦−∑ .

2EF / TIPO A / 2007-1

160) Verifique que 2 2 1x Cy+ = , donde C es una constante arbitraria diferente de cero, es una familia uniparamétrica de soluciones implícitas de la ecuación diferencial

2 1dy xydx x

=−

.

Solución: Se verifica que es solución.

161) Resuelva la ecuación diferencial ( ) ( )2 3 2 35 0y xy dx y xy y seny dy+ + − + = . Solución:

2

5ln cos2

x x y y Cy+ + − =

39

162) Obtenga la solución general de la ecuación diferencial 3 2 2''' 2 '' 5 ' 5 , 0x y x y xy y x x−− − + = > considerando que

{ }5 1, ,x x x− es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada correspondiente. Solución:

5 1 21 2 3

121

y C x C x C x x− −= + + −

163) Utilice operadores diferenciales para resolver el sistema de

ecuaciones diferenciales 1 1

2 2

' 3 1 1' 1 1 4 t

x xx x e

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Solución:

( )

2 21 1 2

2 22 1 2 2

1 44

184

t t t

t t t

x C e C te e

x C C e C te e

⎧ = + + −⎪⎪⎨⎪ = + + − −⎪⎩

164) Mediante la transformada de Laplace, obtenga la solución

de la ecuación diferencial ( )'' 2 ' 1y y y tδ+ + = − sujeta a las condiciones ( ) ( )0 0, ' 0 0y y= = . Solución: ( ) ( ) ( ) ( )11 1ty t t e u t− −= − −

165) Resuelva la ecuación integro-diferencial

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

' ; 0 1t

y t y t y sen t d sent yν ν ν+ − − = − =∫

Solución:

( )12 3 1 3cos s

2 23t

y t e t en t− ⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

40

166) Determine una solución completa de la ecuación

en derivadas parciales 2 2

22 2 0u ux

x y∂ ∂

+ =∂ ∂

para una constante

de separación 0α = . Solución: ( ) ( )( )1 2 3 4,u x y C C x C C y= + +

167) Obtenga el desarrollo en términos de la serie de Fourier

de la función ( ) 2, 2 02, 0 2

xf x

x x− ≤ <⎧

= ⎨− + ≤ ≤⎩.

Solución:

( ) ( )( ) ( )2 21

3 2 21 1 cos 12 2 2

n n

n

n x n xf x senn n

π ππ π

∞

=

⎡ ⎤= + − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦∑