Series, transformadas de Fourier y EDP´s

PROBLEMA 1

Sea �: (−�, �) → ℝ la función definida por:

�( ) = !−1 si − � < < 01 si 0 ≤ < �

(a) Encuentre la serie de Fourier 2�-periódica para �( ).

(b) Usando la serie hallada calcule la suma

$ (−1)%2& + 1

'

%*-

(c) Calcule el valor de la serie

$ 1(2& + 1).'

%*-

SOLUCIÓN:

(a) La función �: (−�, �) → ℝ es una función impar, por lo que su serie de Fourier 2p-

periódica es una serie de Fourier-seno ( /% = 0 ).

Se calculan los coeficientes 3% tales que

�( ) = $ 3% sen 42�&5 6'

%*7 donde 3% = ⟨�( ), sen 92�&5 ;⟩

⟨sen 92�&5 ; , sen 92�&5 ;⟩ = 25 ? �( )@/.B@/. sen 42�&5 6 C

Para 5 = 2� se calculan los coeficientes 3%:

3% = ⟨�( ), sen(& )⟩⟨sen(& ) , sen(& )⟩ = 22� ? �( )DBD sen(& ) C = 2� ? �( )D

- sen(& ) C =

= 2� ? 1 ∙ sen(& ) C D- = 2� ? sen(& ) C D

- = − 2� ∙ cos(& )& F �0 = − 2�& (cos(�&) − cos(0)) =

= 2�& (1 − cos(�&)) = 2�& G2 sen. 9&�2 ;H = 4�& sen. 9&�2 ;

Y la serie de Fourier 2p-periódica en (−�, �) para �(�) es:

�(�) = 4!" sen# $"!2 %&'*+ sen("�)

(b) Se aplica el teorema de la convergencia puntual en � = !/2 , como �(�) es continua

en este punto, entonces la serie de Fourier �,(�) converge en el mismo valor de la

función �(!/2):

�, $!2% = lim-→0� $!2 − ℎ% + � $!2 + ℎ%2 = � $!2 − 0% + � $!2 + 0%2 = � $!2% = 1

�, $!2% = 1 ⇒ 1 = 4!" sen# $"!2 %&'*+ sen $"!2 % ⇒ sen# $"!2 %"

&'*+ sen $"!2 % = !4

sen# $"!2 %" sen $"!2 %&'*+ = sen# $!2%1 sen $!2% + 0 + sen# $3!2 %3 sen ;3!2 < + 0 + ⋯ =

= 11 − 13 + 15 − ⋯ = (−1)'2" + 1&

'*0 ⇒ (−1)'2" + 1&

'*0 = sen# $"!2 %"&

'*+ sen $"!2 % = !4

(c) Se utiliza la igualdad de Parseval

2@ A |�(�)|#B/#CB/# D� = |E0|#2 + (|E'|# + |F'|#)&

'*+ ⇒ 22! A |�(�)|#GCG D� = |F'|#&

'*+

Calculando la integral de |�(�)|# se tiene que

|F'|#&'*+ = 1! A |�(�)|#D�G

CG = 2! A |�(�)|#D�G0 = 2! A |1|#D�G

0 = 2! A D�G0 = 2! ∙ ! = 2

Por otro lado

|F'|#&'*+ = I 4!" sen# $"!2 %I#&

'*+ = 16!# senK $"!2 %"#&

'*+

senK $"!2 %"#&

'*+ = senK $!2%1# + 0 + senK $3!2 %3# + 0 + ⋯ = 11# + 13# + 15# + ⋯ = 1(2" + 1)#&

'*0

1(2" + 1)#&

'*0 = 2 ⇒ 1(2" + 1)#&

'*0 = !#16 ∙ 2 = !#8

PROBLEMA 2

(a) Desarrolle en serie de Fourier-seno p-periódica de la función �: (0, �) → ℝ definida

por

�(�) = � 1 si 0 < � ≤ �/2−1 si �/2 < � < �

(b) Usando la serie encontrada en la parte (a) hallada calcule las sumas de las series

! (−1)"2# + 1

$

"%& y ! 1

(2# + 1)'$

"%&

SOLUCIÓN:

(a) La función �(�) se extiende como una función impar en el intervalo (−�, �) con

período 2p.

Se calculan los coeficientes *" tales que

-(�) = !*" sen .2�#3 �4$

"%5 donde *" = ⟨-(�), sen 72�#3 �8⟩

⟨sen 72�#3 �8 , sen 72�#3 �8⟩ =23: -(�);/'

>;/' sen .2�#3 �4 ?�

Para 3 = 2� se calculan los coeficientes *":

*" = ⟨-(�), sen(#�)⟩⟨sen(#�) , sen(#�)⟩ = 22�: -(�)@>@ sen(#�) ?� = 2�: �(�)@

& sen(#�) ?� =

= 2� A: �(�)@/'& sen(#�) ?� + : �(�)@

@/' sen(#�) ?�B =

= 2� A: sen(#�) ?�@/'& −: sen(#�) ?�@

@/' B = 2� C− cos(#�)# D�/20 + cos(#�)# D ��/2E =

2�# 71 − cos 7�2 #8 + cos(�#) − cos 7�2 #88 = 2�# 71 − 2 cos 7�2 #8 + (−1)"8

Y la serie de Fourier 2p-periódica en (−�, �) para �(�) es:

�(�) = � 2�� 1 − 2 cos �2 �" + (−1)#"$

#%&sen(��)

(a) Se aplica el teorema de la convergencia puntual en � = �/4 , como (�) es continua

en este punto, entonces la serie de Fourier !(�) converge en el mismo valor de la

función (�/4):

! "�4# = lim$→&

"�4 − ℎ# + "�4 + ℎ#2 = "�4 − 0# + "�4 + 0#

2 = "�4# = 1

"�4# = 1 ⇒ 1 = 2

� . 13 "1 − 2 cos "�

2 3# + (−1)5#6

578sen "3�

4 #

. 13 "1 − 2 cos "�

2 3# + (−1)5#6

578sen "3�

4 # = 0 + 2 + 22 + 0 + 0 + 0 − 2 + 2

6 + ⋯ =

= 0 + 21 + 0 + 0 + 0 − 2

3 + 0 + 0 + 0 + 25 + 0 + 0 + 0 − 2

7 + ⋯ = 2 . (−1)523 + 1

6

57&

1 = 2� . 1

3 "1 − 2 cos "�2 3# + (−1)5#

6

578sen "3�

4 # ⇒ 1 = 2� ∙ 2 . (−1)5

23 + 16

57& ⇒ . (−1)5

23 + 16

57&= �

4

Para calcular la segunda serie se utiliza la igualdad de Parseval

2@ A |B(�)|CD/C

ED/CF� = |G&|C

2 + .(|G5|C + |H5|C)6

578 ⇒ 2

2� A |B(�)|CIEI

F� = .|H5|C6

578

Calculando la integral de |B(�)|C se tiene que

.|H5|C6

578= 1

� A |B(�)|CF�IEI

= 2� A | (�)|CF�I

&= 2

� JA |1|CF�I/C&

+ A |−1|CF�II/C

K = 2� A F�I

&= 2

� ∙ � = 2

Por otro lado

.|H5|C6

578= . L 2

�3 "1 − 2 cos "�2 3# + (−1)5#LC6

578= 4

�C . M1 − 2 cos "�2 3# + (−1)5MC

3C6

578=

= 4�C N0 + 16

2C + 0 + 0 + 0 + 166C + 0 + 0 + 0 + 16

10C + ⋯ O = 16�C ∙ 2C N 1

2C + 16C + 1

10C + ⋯ O =

= 16�C N 1

1C + 13C + 1

5C + ⋯ O = 16�C . 1

(23 + 1)C6

57&

16�C . 1

(23 + 1)C6

57&= 2 ⇒ . 1

(23 + 1)C6

57&= �C

16 ∙ 2 = �C8

PROBLEMA 3

Una función �:ℝ → ℝ cumple �(� + 2�) = �(�) y para −� ≤ � ≤ � está dada por

�(�) = "−� si − � ≤ � < 0� si 0 ≤ � ≤ �

(a) Encontrar la serie de Fourier de �(�).

(b) Calcular las series

$ 1(2% + 1)&'

*,- y $ 1(2% + 1).

'

*,-

SOLUCIÓN:

La función �: ℝ → ℝ es una función par, por lo que su serie de Fourier 2p-periódica es una

serie de Fourier-coseno y los coeficientes 4* = 0.

Se calculan los coeficientes 5* tales que

�(�) = 5-2 + $ 5* cos 62�%7 �8

'

*,9 donde 5* = ⟨�(�), cos ?2�%7 �@⟩

⟨cos ?2�%7 �@ , cos ?2�%7 �@⟩ = 27 B �(�)C/&

EC/&cos 62�%

7 �8 F�

Recordando la fórmula integral de integración por partes:

B � cos(5�) F� = � sen(5�)5 − B sen(5�)

5 F� = � sen(5�)5 + cos(5�)

5&

Para un período de 7 = 2� se calculan los coeficientes 5* :

5* = ⟨�(�), cos(%�)⟩⟨cos(%�) , cos(%�)⟩ = 2

2� B �(�)GEG

cos(%�) F� = 2� B �(�)G

-cos(%�) F� =

= 2� B �G

-cos(%�) F� = 2

� H� sen(%�)% I J �

0 − 2� B sen(%�)

% F�G-

=

= 2� H� ∙ sen(%�)

% − 0I + 2�

cos(%�)%& J �

0 = 0 + 2�%& (cos(%�) − 1) = − 4

� ∙ sen& ?%�2 @%&

El término independiente 5- se encuentra evaluando en % = 0 la sucesión 5*:

� = 2! " #($)

%/ !"/ #$ = 22% & '($)*

!* #$ = 1% 2 & '($)*+ #$ = 2% & $*

+ #$ = 2% ∙ $ 2 - %0 = %

Y la serie de Fourier 2p-periódica en (−%, %) para '($) es:

'($) = %2 − 4 4% ∙ sen 67%2 87 cos(7$)9:;<

Se aplica el teorema de la convergencia puntual en $ = 0, como '($) es continua en este

punto, entonces la serie de Fourier '>($) converge en el mismo valor de la función '(0):

'>(0) = lim?→+'(0 − ℎ) + '(0 + ℎ)2 = '(0 − 0) + '(0 + 0)2 = '(0) = 0

'(0) = 0 ⇒ 0 = %2 − 4 4% ∙ sen 67%2 87 cos(7% ∙ 0)9:;< ⇒ 4 sen 67%2 87

9:;< = % 8

4 sen 67%2 87 9

:;< = sen 6%281 + 0 + sen 63%2 83 + 0 + sen 65%2 85 + ⋯

= 11 + 13 + 15 + ⋯ = 4 1(27 + 1) 9

:;+ ⇒ 4 1(27 + 1) 9

:;+ = 4 sen 67%2 87 9

:;< = % 8

Para calcular la sumatoria se usa la igualdad de Parseval:

2I & |'($)| "/ !"/ #$ = |J+| 2 + 4(|J:| + |K:| )9

:;< ⇒ 22% & |'($)| *!* #$ = |J+| 2 + 4|J:| 9

:;<

Se calcula primero el valor de la integral de |'($)| :

1% & |'($)| #$*!* = 2% & |'($)| *

+ #$ = 2% & |$| *+ #$ = 2% & $ *

+ #$ = 2% ∙ $L3 - %0 = 2 ∙ % 3 = 23 %

Luego se calcula la serie de |J:| :

4|J:| 9:;< = 1% & |'($)| *

!* #$ − |J+| 2 = 23 % − |%| 2 = M23 − 12N % = 4 − 36 % = % 6

4 P− 4% ∙ sen 67%2 87 P 9

:;< = % 6 ⇒ 16% 4 senQ 67%2 87Q9

:;< = % 6 ⇒ 4 senQ 67%2 87Q9

:;< = %Q16 ∙ 6 = %Q96

4 senQ 67%2 87Q9

:;< = senQ 6%281Q + 0 + senQ 63%2 83Q + 0 + senQ 65%2 85Q + ⋯ =

= 11Q + 13Q + 15Q + ⋯ = 4 1(27 + 1)Q9

:;+ ⇒ 4 1(27 + 1)Q9

:;+ = 4 senQ 67%2 87Q9

:;< = %Q96

PROBLEMA 4

Sea �: (−1,1) → ℝ la función definida por �(�) = �� si |�| < 1

(a) Halle la serie de Fourier 2-periódica para �(�).

(b) Usando la parte (a) calcule las series

(−1)"#$%�

&

"'$ y 1%�

&

"'$

(c) Calcule el valor de la serie

1%*&

"'$

SOLUCIÓN:

(a) La función �(�) = �� = �(−�) es una función par, por lo tanto se desarrolla en serie

de Fourier coseno 2-periódica en (−1,1). Se calculan los coeficientes +" tales que:

�(�) = +-2 + +" cos /20%3 �4&

"'$ donde +" = ⟨�(�), cos 620%3 �7⟩

⟨cos 620%3 �7 , cos 620%3 �7⟩ = 23 9 �(�):/�>:/� cos /20%3 �4 ?�

Primero se deduce la fórmula de integración del producto de �(�) y coseno realizando dos

veces integración por partes:

9 @� cos(A@) ?@ = @� sen(A@)A − 9 2@ sen(A@)A ?@ = @� sen(A@)A − 2A B− @ cos(A@)A − 9 − cos(A@)A ?@C =

= @� sen(A@)A + 2@ cos(A@)A� − 2 sen(A@)AD

+" = ⟨�(�), cos(0%�)⟩⟨cos(0%�) , cos(0%�)⟩ = 22 9 �(�)$>$ cos(0%�) ?� = 9 ��$

>$ cos(0%�) ?� =

= 2 9 ��$- cos(0%�) ?� = 2 B�� sen(0%�)0% + 2� cos(0%�)(0%)� − 2 sen(0%�)(0%)D C E 1

0 =

= 2 B1� ∙ sen(0%)0% + 2 ∙ 1 ∙ cos(0%)(0%)� − 2 ∙ sen(0%)(0%)D C − 2 B0� ∙ sen(0)0% + 2 ∙ 0 ∙ cos(0)(0%)� − 2 ∙ sen(0)(0%)D C =

2 Bsen(0%)0% + 2 cos(0%)(0%)� − 2 sen(0%)(0%)D C = 2 B 00% + 2(−1)"(0%)� − 2 ∙ 0(0%)DC = 4(−1)"

(0%)�

+- = ⟨�(�), cos(0 ∙ 0 ∙ �)⟩⟨cos(0 ∙ 0 ∙ �) , cos(0 ∙ 0 ∙ �)⟩ = 22 9 �(�)$>$ ?� = 9 ��$

>$ ?� = 2 9 ��$- ?� = 2 ∙ 1D

3 = 23

Y la serie de Fourier 2-periódica en (−1,1) para �(�) = �� es:

�(�) = 13 + 4(−1)"

(#$)% cos(#$�)&

"'*

(b) Para calcular la primera serie, se aplica el teorema de la convergencia puntual en � = 0, como (�) es continua en este punto, entonces la serie de Fourier !(�)

converge en el mismo valor de la función (0):

!(0) = lim"→$ (0 − ℎ) + (0 + ℎ)

2 = (0 − 0) + (0 + 0)2 = (0) = 0' = 0

(0) = 0' = 13 + * 4(−1),

(-.)' cos(-. ∙ 0)5

,67 ⇒ 4

-' * (−1),.'

5

,67= − 1

3 ⇒ * (−1),.'

5

,67= − -'

12

* (−1),:7.'

5

,67= -'

12

Para calcular la segunda serie, se aplica el teorema de la convergencia puntual en el extremo

del intervalo � = 1 el cual la serie de Fourier !(�) converge en el valor medio de la función

evaluada en los extremos (1 −) y (−1 +):

!(1) = lim;→7< (�) + lim;→>7? (�)2 = (1 − 0) + (−1 + 0)

2 = 1' + (−1)'2 = 1

!(1) = 1 = 13 + * 4(−1),

(-.)' cos(-. ∙ 1)5

,67 ⇒ 4

-' * (−1),.'

5

,67(−1), = 1 − 1

3 ⇒ * (−1)',.'

5

,67= 2 ∙ -'

4 ∙ 3

* 1.'

5

,67= -'

6

(c) Para calcular el valor de la última serie se utiliza la igualdad de Parseval

2A B | (�)|'C�D/'

>D/'= |F$|'

2 + *(|F,|' + |G,|')5

,67 ⇒ 2

2 B | (�)|'7>7

C� = |2/3|'2 + * H4(−1),

(-.)' H'5

,67

Calculando la integral

B | (�)|'7>7

C� = B |�'|'7>7

C� = B �I7>7

C� = 2 B �I7$

C� = 2 ∙ 1J5 = 2

5 Sustituyendo el valor de la integral y despejando la sumatoria

22 L2

5M = 4/92 + 4'

-I * H(−1),.' H

'5

,67 ⇒ * 1

.I5

,67= -I

4' L25 − 1/9

2 M = -I4' L2

5 − 29M = 2-I

4' L9 − 545 M = 2-I

4 L 145M = -I

90

* 1.I

5

,67= -I

90

PROBLEMA 5

Sea �(�) = |sen �| definida en el intervalo −� < � < � .

(a) Encuentre la serie de Fourier de (�) . (b) Usando la parte (a) calcular el valor de las siguientes series.

! 14"# − 1

$

%&' y ! 1

(4"# − 1)#$

%&'

SOLUCIÓN:

(a) La función :ℝ → ℝ es una función par, por lo que su serie de Fourier 2p-periódica es

una serie de Fourier-coseno y los coeficientes -% = 0.

Se calculan los coeficientes .% tales que

(�) = ./2 + !.% cos 52�"

6 �7$

%&' donde .% = ⟨ (�), cos ;2�"6 �>⟩

⟨cos ;2�"6 �> , cos ;2�"6 �>⟩ = 26 @ (�)A/#

CA/#cos 52�"

6 �7 D�

Poniendo 6 = 2� se calculan los coeficientes .% . Para resolver la integral se usa la fórmula

de trigonométrica de integración deducida en el problema anterior:

.% = 22� @ (�)E

CEcos("�) D� = 2

� @ (�)E/

cos("�) D� = 2� @ sen �E

/cos("�) D� =

2� @ 1

2 FsenF(1 + ")�G + senF(1 − ")�GGD�E/

= − 2� ∙ 1

2 IcosF(1 + ")�G1 + " + cosF(1 − ")�G

1 − " J K �0

= − 1� IcosF(1 + ")�G

1 + " + cosF(1 − ")�G1 − " J + 1

� Icos(0)1 + " + cos(0)

1 − " J =

= 1� I− cos(� + "�)

1 + " + 11 + " − cos(� − "�)

1 − " + 11 − "J = 1

� Icos("�) + 11 + " + cos("�) + 1

1 − " J =

= 1 + cos("�)� 5 1

1 + " + 11 − "7 = 1 + cos("�)

� 5 1 − " + 1 + "(1 + ")(1 − ")7 =

= 1 + cos("�)� ∙ 2

1 − "# = 2� ∙ 1 + cos("�)

1 − "# = 2� ∙ 2 cos# ;"�2 >

1 − "# = 4� ∙ cos# ;"�2 >

1 − "#

El término independiente �� se encuentra evaluando en = 0 la sucesión !":

!� = 2# $ %(&)'/*+'/* ,& = 22- $ %(&).

+. ,& = 2- $ %(&).� ,& = 2- $ sen &.

� ,& = − 2- ∙ cos & 4 -0 = 4-

Y la serie de Fourier 2p-periódica en (−-, -) para %(&) es:

%(&) = 2- + 8 4- ∙ cos* 9 -2 :1 − * cos( &)<">?

(b) Se aplica el teorema de la convergencia puntual en & = 0, como %(&) es continua en

este punto, entonces la serie de Fourier de %(&) converge en %(0):

%(0) = 0 ⇒ 0 = 2- + 8 4- ∙ cos* 9 -2 :1 − * cos( ∙ 0)<">? ⇒ 8 cos* 9 -2 : * − 1

<">? = 12

8 cos* 9 -2 : * − 1<

">? = 0 + 12* − 1 + 0 + 14* − 1 + 0 + ⋯ = 8 14 * − 1<

">? ⇒ 8 14 * − 1<

">? = 12

Para calcular la sumatoria se usa la igualdad de Parseval:

2# $ |%(&)|*'/*+'/* ,& = |!�|*2 + 8(|!"|* + |C"|*)<

">? ⇒ 22- $ |%(&)|*.+. ,& = |!�|*2 + 8|!"|*<

">?

Se calcula primero el valor de la integral de |%(&)|* :

1- $ |%(&)|*.+. ,& = 2- $ |%(&)|*.

� ,& = 2- $ |sen &|*.� ,& = 2- $ 1 − cos(2&)2 ,&.

� = 1- ∙ & 4 -0 = 1

Luego se calcula la serie de |!"|* :

8|!"|*<">? = 1- $ |%(&)|*.

+. ,& − |!�|*2 = 1 − |4/-|*2 = 1 − 8-*

Por otro lado

8|!"|*<">? = 8 E4- ∙ cos* 9 -2 :1 − * E

*<">? = 16-* 8 cosG 9 -2 :(1 − *)*

<">?

8 cosG 9 -2 :(1 − *)*<

">? = 1(1 − 2*)* + 1(1 − 4*)* + 1(1 − 6*)* + ⋯ = 8 1(4 * − 1)*<

">?

16-* 8 cosG 9 -2 :(1 − *)*<

">? = 1 − 8-* ⇒ 8 1(4 * − 1)*<

">? = 8 cosG 9 -2 :(1 − *)*<

">? = -*16 − 12

PROBLEMA 6

Para una cierta función �: ℝ → ℝ cumpliendo �(� + 2�) = �(�) y �(−�) = −�(�)

resulta que

! �(�) sen("�) #�$%& = 2'* para " = 1,2,3, …

Calcular el valor de la integral

! |�(�)|$#�$%&

SOLUCIÓN:

Como se cumple que �(−�) = −�(�) entonces �(�) es una función impar y la serie de

Fourier �(�) es una serie de Fourier seno (.* = 0) . Debido a la ortogonalidad de las funciones

seno en el intervalo [0,2�] se tienen que los coeficientes /* se calculan mediante

/* = ⟨�(�), sen("�)⟩⟨sen("�) , sen("�)⟩ = ∫ �(�) sen("�) #�$%&∫ |sen("�)|$#�$%& = 22� ! �(�) sen("�) #�$%&

= 1� ! �(�) sen("�) #�$%& = 1� ∙ 2'*

Usando la igualdad de Parseval en el intervalo [0,2�]:

28 ! |�(�)|$9& #� = |.&|$2 + :(|.*|$ + |/*|$);

*<> ⇒ 22� ! |�(�)|$$%& #� = :|/*|$;

*<>

Recordando la serie geométrica, que sirve para calcular la serie de |/*|$ :

: @*;*<& = 11 − @ si |@| < 1

Calculando la integral de |�(�)|$ :

! |�(�)|$$%& #� = � :|/*|$;

*<> = � : B1� ∙ 2'*B$;*<> = ��$ :|2'*|$;

*<> = 1� : 2'$*;*<> =

= 1� :(2'$)*;*<> = 1� : 14*

;*<> = 1� : 14*D>

;*<>'> = 14� : 14*

;*<& = 14� E 1

1 − 14F = 1� G 14 − 1H = 13�

PROBLEMA 7

Una función �: ℝ → ℝ cumple �( + 2!) = �( ) y para −! ≤ ≤ ! está dada por

�( ) = $ (! + ) si − ! ≤ < 0 (! − ) si 0 ≤ ≤ !

(c) Usando la parte (a) encuentre la serie de Fourier 2�-periódica para .

(d) Demuestre que

! 1(2" + 1)#$

%&'= 1615 *! (−1)%

(2" + 1)-$

%&'.

/

SOLUCIÓN:

(a) La función : (−�, �) → ℝ es una función impar, por lo que su serie de Fourier 2p-

periódica es una serie de Fourier-seno ( 7% = 0 ).

Se calculan los coeficientes 9% tales que

(;) = ! 9% sen <2�"> ;?$

%&@ donde 9% = ⟨ (;), sen C2�"> ;D⟩

⟨sen C2�"> ;D , sen C2�"> ;D⟩ = 2> F (;)G//IG// sen <2�"> ;? J;

Para > = 2� se calculan los coeficientes 9% . Para calcular la integral se utilizan propiedades

de integración por distribuciones calculando la segunda derivada generalizada y definiendo K: ℝ → ℝ como:

K(;) = L (;) si − � ≤ ; ≤ �0 en otro caso

9% = ⟨ (;), sen(";)⟩⟨sen(";) , sen(";)⟩ = 22� F (;)NIN sen(";) J; = 2� F (;)N

' sen(";) J;

= 2� F K(;)$I$ sen(";) J; = 2� ⟨K(;), sen(";)⟩ = 2� ⟨K(;), − 1"/

J/J;/ (sen(";))⟩ =

= − 2�"/ (−1)/⟨KOP%QQ (;), sen(";)⟩ = − 2�"/ ⟨−2 ∙ 1(',N)(;) + �S(;) + �S(; − �), sen(";)⟩ =

= 4�� ⟨1(!,")(#), sen(�#)⟩ −2

��⟨&(#) + &(# − �), sen(�#)⟩ =

= 4��

1(!,")(#)$%$ sen(�#) &# − 2�� (sen(� ∙ 0) + sen(� ∙ �)) =

= 4�� sen(�#) &#"! = − 4�� ∙ cos(�#)� - �

0 = 4��. (1 − cos(�#)) = 8� ∙ sen� /��2 3�.

Y la serie de Fourier 2p-periódica para 5(#) es:

5(#) = 6 8� ∙ sen� /��2 3�. sen(�#)$79:

(b) Se aplica el teorema de la convergencia puntual en # = �/2, como 5(#) es continua

en este punto, entonces la serie de Fourier de 5(#) converge en 5(�/2):

5 /�23 = �2 /� − �23 = ��4 ⇒ ��4 = 6 8� ∙ sen� /��2 3�. sen /��2 3$79: ⇒ 6 sen. /��2 3�.

$79: = �.32

6 sen. /��2 3�.$

79: = 11. + 0 − 13. + 0 + 15. + ⋯ = 6 (−1)7(2� + 1).$

79! ⇒ 6 (−1)7(2� + 1).$

79! = �.32

Para calcular la segunda serie se utiliza la igualdad de Parseval

2B |5(#)|�C/�%C/� &# = |D!|�2 + 6(|D7|� + |E7|�)$

79: ⇒ 22� |5(#)|�"%" &# = 6|E7|�$

79:

Calculando la integral de |5(#)|� se tiene que

6|E7|�$79: = 1� |5(#)|�&#"

%" = 2� |5(#)|�&#"! = 2� |#(� − #)|�&#"

! = �F8 (1 − #�)�&#:! = �F15

Por otro lado

6|E7|�$79: = 6 G8� ∙ sen� /��2 3�. G

�$79: = 64�� 6 senF /��2 3�I

$79:

6 senF /��2 3�I$

79: = 11I + 0 + 13I + 0 + ⋯ = 6 1(2� + 1)I$

79! ⇒ 64�� 6 1(2� + 1)I$

79! = �F15

6 1(2� + 1)I$

79! = �F15 ∙ ��64 = �I15 ∙ 64 = 32�15 ∙ 64 J�.32K� = 3215 ∙ 2 J�.32K� = 1615 L6 (−1)7(2� + 1).$

79! M�

PROBLEMA 8

Encuentre la función �(�, �) en 0 < � < � , 0 < � < � tal que

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ $%&$�% + $%&$�% = 0 si 0 < � < � , 0 < � < �$&$� (0, �) = $&$� (�, �) = 0 &(�, 0) = 0 &(�, �) = �

SOLUCIÓN:

Aplicando separación de variables. Sea &(�, �) = '(�)*(�)

⎩⎪⎨⎪⎧$%&$�% = '--(�)*(�)$%&$�% = '(�)*--(�) ⇒ $%&$�% + $%&$�% = 0 ⇒ '--(�)*(�) + '(�)*--(�) = 0

'--(�)'(�) = − *--(�)*(�) = −12

3$&$� (0, �) = '-(0)*(�) = 0$&$� (�, �) = '-(�)*(�) = 0 ⇒ '-(0) = '-(�) = 0 ya que *(�) ≠ 0

Se reescribe el problema de autofunciones como:

5'--(�) + 12'(�) = 0*--(�) − 12*(�) = 0'-(0) = '-(�) = 0

CASO 1: 12 > 0 . Sea 12 = 62% con 62 > 0

'--(�) + 62%'(�) = 0 ⇒ '(�) = 78 cos(62�) + 7% sen(62�)

'-(�) = −6278 sen(62�) + 627% cos(62�)

'-(0) = 0 ⇒ 0 = −6278 sen(62 ∙ 0) + 627% cos(62 ∙ 0) ⇒ 627% = 0 ⇒ 7% = 0

'-(�) = 0 ⇒ 0 = −6278 sen(62 ∙ �) + 627% cos(62 ∙ �) ⇒ 6278 sen(�62) = 0

Pero 78 ≠ 0 ya que se buscan soluciones no triviales.

Como 78 ≠ 0 y 62 ≠ 0 ⇒ sen(�62) = 0 ⇒ �62 = :� ⇒ 62 = : para : = 1,2,3 …

*--(�) − 62%*(�) = 0 ⇒ *(�) = A8 cosh(62�) + A% senh(62�)

En este caso la familia de autofunciones viene dada por:

&2(�, �) = 78 cos(62�) (A8 cosh(62�) + A% senh(62�))

&(�, 0) = 0 ⇒ 0 = 78 cos(62�) (A8 cosh(62 ∙ 0) + A% senh(62 ∙ 0)) ⇒ A8 = 0

��(�, 0) = �� cos(��) ! senh(��") = #� cos(��) senh(��")

CASO 2: $� = 0

%&&(�) = 0 ⇒ %(�) = �� + �! y -&&(") = 0 ⇒ -(") = �" + !

%&(0) = %&(.) = 0 ⇒ �� = 0 ⇒ %(�) = �! ⇒ �/(�, ") = %(�)-(") = �!( �" + !)

�(�, 0) = 0 ⇒ 0 = �!( � ∙ 0 + !) ⇒ ! = 0 ⇒ �/(�, ") = �! �" = 2"

CASO 3: $� < 0 . Sea $� = −��! con �� > 0

%&&(�) − ��!%(�) = 0 ⇒ %(�) = �� cosh(��) + �! senh(��)

%&(�) = �� senh(��) + ��! cosh(��)

%&(0) = 0 ⇒ 0 = �� senh(�� ∙ 0) + ��! cosh(�� ∙ 0) ⇒ ��! = 0 ⇒ �! = 0

%&(.) = 0 ⇒ 0 = �� senh(�� ∙ .) + �� ∙ 0 ∙ cosh(�� ∙ .) ⇒ �� senh(.��) = 0

Como �� ≠ 0 entonces �� senh(.��) no se anula y �� = 0 obteniéndose la solución trivial.

Este caso se obtiene �(�, ") = 0

Se plantea una "Superposición" en serie de Fourier sumando todas las soluciones:

�(�, ") = 2" + 5 #� cos(��) senh(��")6

�7�

Aplicando la condición de borde �(�, .) = � :

�(�, .) = � = 2 ∙ 0 + 5 #� cos(��) senh(��")6

�7�

Los coeficientes #� son obtenidos a partir de la ortogonalidad de las funciones cos(��) en

el intervalo 0 ≤ � ≤ . .

#� = ⟨�(�, .), cos(��)⟩⟨cos(��) , cos(��)⟩ = ⟨�, cos(;�)⟩

./2 = 2. A � cos(;�) B�C

/= 2

. ∙ � sen(;�); D .

0 − 2. A sen(;�)

;C

/B�

= 0 + 2.;! cos(;�) D .

0 = 2.;! (cos(;.) − 1) = − 4

.;� sen� !"2 #

Calculando el valor del término independiente $

$ = %&2 = ⟨((*, "), cos(0 ∙ *)⟩

⟨cos(0 ∙ *) , cos(0 ∙ *)⟩ = 1" / ((*, ")3*

4

&= 1

" / *3*4

&= 1

" ∙ "�2 = "

2

Sustituyendo los coeficientes se obtiene la solución en 0 < * < " , 0 < 6 < "

((*, 6) = "2 6 − 8 4

"!� sen� !"2 # cos(!*) senh(!6)

:

;>?

PROBLEMA 9

Sea 0 < � < 1 . Encuentre la función (!, ") tal que

⎩⎪⎨⎪⎧ '* '!* = ' '" si 0 < ! < 1 , " > 0

' '! (0, ") = ' '! (1, ") = 0 (!, 0) = - 1 si 0 < ! < � 0 si � ≤ ! < 1

SOLUCIÓN:

Aplicando separación de variables. Sea (!, ") = /(!)2(")

3'* '!* = /44(!)2(")' '" = /(!)24(") ⇒ '* '!* = ' '" ⇒ /44(!)2(") = /(!)24(")

/44(!)/(!) = 24(")2(") = −78

3' '! (0, ") = /4(0)2(") = 0' '! (1, ") = /4(1)2(") = 0 ⇒ /4(0) = /4(1) = 0 ya que 2(") ≠ 0

Se reescribe el problema de autofunciones como

:/44(!) + 78/(!) = 024(") + 782(") = 0/4(0) = /4(1) = 0

CASO 1: 78 > 0 . Sea 78 = ?8* con ?8 > 0

/44(!) + ?8*/(!) = 0 ⇒ /(!) = @A cos(?8!) + @* sen(?8!)

/4(!) = −?8@A sen(?8!) + ?8@* cos(?8!)

/4(0) = 0 ⇒ 0 = −?8@A sen(?8 ∙ 0) + ?8@* cos(?8 ∙ 0) ⇒ ?8@* = 0 ⇒ @* = 0

/4(1) = 0 ⇒ 0 = −?8@A sen(?8 ∙ 1) + ?8@* cos(?8 ∙ 1) ⇒ ?8@A sen ?8 = 0

Pero @A ≠ 0 ya que se buscan soluciones no triviales.

Como @A ≠ 0 y ?8 ≠ 0 ⇒ sen ?8 = 0 ⇒ ?8 = CD para C = 1,2,3 …

24(") + ?8*2(") = 0 ⇒ 2(") = @GHIJKLM

En este caso la familia de autofunciones viene dada por

8(!, ") = /(!)2(") = @A cos(?8!) @GHIJKLM = N8HIJKLM cos(?8!)

CASO 2: �� = 0

!!(") = 0 ⇒ (") = %&" + %' y *!(,) = 0 ⇒ *(,) = %-

!(0) = !(.) = 0 ⇒ %& = 0 ⇒ (") = %'

/1(", ,) = (")*(,) = %'%- = 3

CASO 3: �� < 0 . Sea �� = −5�' con 5� > 0

!!(") − 5�' (") = 0 ⇒ (") = %& cosh(5�") + %' senh(5�")

!(") = 5�%& senh(5�") + 5�%' cosh(5�")

!(0) = 0 ⇒ 0 = 5�%& senh(5� ∙ 0) + 5�%' cosh(5� ∙ 0) ⇒ 5�%' = 0 ⇒ %' = 0

!(1) = 0 ⇒ 0 = 5�%& senh(5� ∙ 1) + 5� ∙ 0 ∙ cosh(5� ∙ 1) ⇒ 5�%& senh 5� = 0

Como 5� ≠ 0 entonces 5� senh 5� no se anula y %& = 0 obteniéndose la solución trivial.

Este caso se obtiene /(", ,) = 0


/(", ,) = 9 :�;?@ABC cos(5�")D

�E&

Aplicando la condición de borde /(", 0) :

/(", 0) = F 1 si 0 < " < G 0 si G ≤ " < 1 = 3 + 9 :� cos(5�")D

�E&

Los coeficientes :� son obtenidos a partir de la ortogonalidad de las funciones cos(5�") en

el intervalo 0 < " < 1 .

:� = ⟨/(", 0), cos(5�")⟩⟨cos(5�") , cos(5�")⟩ = ⟨/(", 0), cos(K.")⟩1/2 = 2 N 1 ∙ cos(K.") O"P1 + 2 N 0 ∙ cos(K.") O"&

P =

= 2 ∙ sen(K.")K. Q G0 = 2K. (sen(K.G) − 0) = 2 sen(K.G)K.

Calculando el valor del término independiente 3

3 = :12 = ⟨/(0, R), cos(0 ∙ R)⟩⟨cos(0 ∙ R) , cos(0 ∙ R)⟩ = 11 N /(", 0)O"&1 = N /(", 0)O"P

1 + N /(", 0)O"&P = G

Sustituyendo los coeficientes se obtiene la solución en 0 < " < 1 , , > 0

/(", ,) = G + 9 2 sen(K.G)K. ;?(�S)BC cos(K.")D

�E&

PROBLEMA 10

Encuentre la función �(�, �) tal que

⎩⎪⎨⎪⎧

$%�$�% = $%�$�% si 0 < � < ' , � > 0 �(0, �) = �(', �) = 0 �(�, 0) = 2 sen � − sen(3�) $�$� (�, 0) = �(' − �)

SOLUCIÓN:

Aplicando separación de variables. Sea �(�, �) = +(�)-(�)

⎩⎨⎧$%�$�% = +..(�)-(�)$%�$�% = +(�)-..(�) ⇒ $%�$�% = $%�$�% ⇒ +..(�)-(�) = +(�)-..(�)

+..(�)+(�) = -..(�)-(�) = −14

5�(0, �) = +(0)-(�) = 0�(', �) = +(')-(�) = 0 ⇒ +(0) = +(') = 0 ya que -(�) ≠ 0

Se reescribe el problema de autofunciones como

7+..(�) + 14+(�) = 0-..(�) + 14-(�) = 0+(0) = +(') = 0

CASO 1: 14 > 0 . Sea 14 = 94% con 94 > 0

+..(�) + 94%+(�) = 0 ⇒ +(�) = :; cos(94�) + :% sen(94�)

+(0) = 0 ⇒ 0 = :; cos(94 ∙ 0) + :% sen(94 ∙ 0) ⇒ :; = 0

+(') = 0 ⇒ 0 = 0 ∙ cos(94 ∙ ') + :% sen(94 ∙ ') ⇒ :% sen('94) = 0

Pero :% ≠ 0 ya que se buscan soluciones no triviales.

Como :% ≠ 0 ⇒ sen('94) = 0 ⇒ '94 = @' ⇒ 94 = @ para @ = 1,2,3 …

-..(�) + 14-(�) = 0 ⇒ -(�) = B; cos(94�) + B% sen(94�)

En este caso la familia de autofunciones viene dada por

�4(�, �) = +(�)-(�) = :% sen(94�) (B; cos(94�) + B% sen(94�))

�4(�, �) = C4 sen(94�) cos(94�) + D4 sen(94�) sen(94�)

CASO 2: �� = 0

!!(") = 0 ⇒ (") = %&" + %'

(0) = 0 ⇒ 0 = %& ∙ 0 + %' ⇒ %' = 0

(,) = 0 ⇒ 0 = %& ∙ , + 0 ⇒ %& = 0

Como %& = %' = 0 ⇒ (") = 0 ⇒ solución trivial -(", /) = 0

CASO 3: �� < 0 . Sea �� = −2�' con 2� > 0

!!(") − 2�' (") = 0 ⇒ (") = %& cosh(2�") + %' senh(2�")

(0) = 0 ⇒ 0 = %& cosh(2� ∙ 0) + %' senh(2� ∙ 0) ⇒ %& = 0

(,) = 0 ⇒ 0 = 0 ∙ cosh(2� ∙ ,) + %' senh(2� ∙ ,) ⇒ %' senh(,2�) = 0

Como 2� ≠ 0 entonces senh(,2�) no se anula y %' = 0 obteniéndose la solución trivial

Este caso se obtiene -(", /) = 0

La familia de autofunciones en 0 < " < , , / > 0 son

-�(", /) = 4� sen(2�") cos(2�/) + 5� sen(2�") sen(2�/) donde 2� = 6 para 6 = 1,2,3 …

Se plantea una "Superposición" en serie de Fourier sumando todas las soluciones del

problema:

-(", /) = :(4� sen(2�") cos(2�/) + 5� sen(2�") sen(2�/));

�?&

Aplicando la primera condición inicial -(", 0) = 2 sen " − sen(3") :

-(", 0) = :(4� sen(2�") cos(2� ∙ 0) + 5� sen(2�") sen(2� ∙ 0));

�?&

-(", 0) = 2 sen " − sen(3") = : 4� sen(2�");

�?&

Los coeficientes 4� son obtenidos a partir de la ortogonalidad de las funciones sen(2�") en

el intervalo 0 < " < , . Además, la condición de -(", 0) es una combinación lineal de

funciones seno por lo que se tiene que

@ sen(A") sen(6") B"CD = E 0 si 6 ≠ A

,2 si 6 = A

4� = ⟨-(", 0), sen(2�")⟩⟨sen(2�") , sen(2�")⟩ = ⟨2 sen " − sen(3") , sen(6")⟩,/2 = I 2 si 6 = 1−1 si 6 = 3 0 en otro caso

Derivando la solución respecto a � y aplicando la segunda condición inicial

! � (", �) = #(−%&'& sen(%&") sen(%&�) + %&*& sen(%&") cos(%&�))-

&./

! � (", 0) = #(−%&'& sen(%&") sen(%& ∙ 0) + %&*& sen(%&") cos(%& ∙ 0))

-

&./

! � (", 0) = "(2 − ") = # %&*& sen(%&")

-

&./

Los coeficientes %&*& son obtenidos a partir de la ortogonalidad de las funciones sen(%&")

en el intervalo 0 < " < 2 .

%&*& = ⟨ ! � (", 0), sen(%&")⟩⟨sen(%&") , sen(%&")⟩ = ⟨"(2 − "), sen(5")⟩

2/2 = 22 ⟨"(2 − "), − 1

59:9

:"9 (sen(5"))⟩

= − 2259 ⟨ :9

:"9 (2" − "9), sen(5")⟩ = − 2259 ⟨−2, sen(5")⟩ = 4

259 ⟨1, sen(5")⟩ =

= 4259 > 1 ∙ sen(5") :"?

@= − 4

259 ∙ cos(5")5 A 2

0 = 425B (1 − cos(52)) = 8

25B sen9 D522 E

%&*& = 825B sen9 D52

2 E ⇒ *& = 825H sen9 D52

2 E

Sustituyendo los coeficientes '& y *& en la solución

!(", �) = # '& sen(5") cos(5�)-

&./+ # 8

25H sen9 D522 E sen(5") sen(5�)

-

&./

!(", �) = 2 sen " cos � − sen(3") cos(3�) + # 825H sen9 D52

2 E sen(5") sen(5�)-

&./

PROBLEMA 11

Encuentre la función �(�, �) acotada en � > 0 , 0 < � < ! tal que

⎩⎪⎨⎪⎧ &'�&�' + &'�&�' = 0 si � > 0 , 0 < � < !&�&� (�, 0) = &�&� (�, !) = 0

�(0, �) = �

SOLUCIÓN:

Aplicando separación de variables. Sea �(�, �) = *(�)-(�)

⎩⎪⎨⎪⎧&'�&�' = *..(�)-(�)&'�&�' = *(�)-..(�) ⇒ &'�&�' + &'�&�' = 0 ⇒ *..(�)-(�) + *(�)-..(�) = 0

*..(�)*(�) = − -..(�)-(�) = 23

⎩⎪⎨⎪⎧&�&� (�, 0) = *(�)-.(0) = 0&�&� (�, !) = *(�)-.(!) = 0 ⇒ -.(0) = -.(!) = 0 ya que *(�) ≠ 0

Se reescribe el problema de autofunciones como:

5*..(�) − 23*(�) = 0-..(�) + 23-(�) = 0-.(0) = -.(!) = 0

CASO 1: 23 > 0 . Sea 23 = 63' con 63 > 0

-..(�) + 63'-(�) = 0 ⇒ -(�) = 78 cos(63�) + 7' sen(63�)

-.(�) = −6378 sen(63�) + 637' cos(63�)

-.(0) = 0 ⇒ 0 = −6378 sen(63 ∙ 0) + 637' cos(63 ∙ 0) ⇒ 637' = 0 ⇒ 7' = 0

-.(!) = 0 ⇒ 0 = −6378 sen(63 ∙ !) + 637' cos(63 ∙ !) ⇒ 6378 sen(!63) = 0

Pero 78 ≠ 0 ya que se buscan soluciones no triviales.

Como 78 ≠ 0 y 63 ≠ 0 ⇒ sen(!63) = 0 ⇒ !63 = :! ⇒ 63 = : para : = 1,2,3 …

*..(�) − 63'*(�) = 0 ⇒ *(�) = A8BCDE + A'BFCDE

BCDE es una función no acotada en el intervalo � > 0 y BFCDE es una función acotada en el

intervalo � > 0 y para que �3(�, �) sea una función acotada, la constante A8 tiene que ser

cero. En este caso la familia de autofunciones viene dada por:

�3(�, �) = A'BFCDE78 cos(63�) = G3BFCDE cos(63�)

CASO 2: �� = 0

!!(") = 0 ⇒ (") = %&" + %' y *!!(,) = 0 ⇒ *(,) = -&, + -'

!(0) = !(.) = 0 ⇒ %& = 0 ⇒ (") = %'

, es una función no acotada en el intervalo 0 < , < ∞ por lo que la constante -& = 0

12(,, ") = *(,) (") = -'%' = 4

CASO 3: �� < 0 . Sea �� = −6�' con 6� > 0

!!(") − 6�' (") = 0 ⇒ (") = %& cosh(6�") + %' senh(6�")

!(") = 6�%& senh(6�") + 6�%' cosh(6�")

!(0) = 0 ⇒ 0 = 6�%& senh(6� ∙ 0) + 6�%' cosh(6� ∙ 0) ⇒ 6�%' = 0 ⇒ %' = 0

!(.) = 0 ⇒ 0 = 6�%& senh(6� ∙ .) + 6� ∙ 0 ∙ cosh(6� ∙ .) ⇒ 6�%& senh(.6�) = 0

Como 6� ≠ 0 entonces 6� senh(.6�) no se anula y %' = 0 obteniéndose la solución trivial.

Este caso se obtiene 1(,, ") = 0


1(,, ") = 9 :�;?@AB cos(6�")C

�D&

Aplicando la condición de borde 1(0, ") = " :

1(0, ") = " = 4 + 9 :� cos(6�")C

�D&

Los coeficientes :� son obtenidos a partir de la ortogonalidad de las funciones cos(6�") en

el intervalo 0 < " < . .

:� = ⟨1(0, "), cos(6�")⟩⟨cos(6�") , cos(6�")⟩ = ⟨", cos(G")⟩

./2 = 2. J " cos(G") K"L

2= 2

. ∙ " sen(G")G M .

0 − 2. J sen(G")

GL

2K"

= 0 + 2.G' cos(G") M .

0 = 2.G' (cos(G.) − 1) = − 4

.G' sen' PG.2 Q

Calculando el valor del término independiente 4

4 = :22 = ⟨1(0, "), cos(0 ∙ ")⟩⟨cos(0 ∙ ") , cos(0 ∙ ")⟩ = 1

. J 1(0, ")K"L2

= 1. J "K"L

2= 1

. ∙ .'2 = .

2

Sustituyendo los coeficientes se obtiene la solución en , > 0 , 0 < " < .

1(,, ") = .2 − 9 4

.G' sen' PG.2 Q ;?�B cos(G")

C

�D&

PROBLEMA 12

Sea � > 0. Calcule la transformada de Fourier de la función definida por

(!) = "#$%/& sen(�!)

Y exprésela en términos de funciones hiperbólicas.

SOLUCIÓN:

sen(�!) = "'*$ − "#'*$2,

(!) = "#$%/& sen(�!) = "#$%/& "'*$ − "#'*$2, = 1

2, "#$%/&"'*$ − 12, "#$%/&"#'*$

Sea -(.) la transformada de Fourier de la función (!) definida por

-(.) ≡ ℱ[ (!)] = 125 6 (!)7

#7"#'8$9!

Luego, usando los teoremas operacionales:

ℱ:"#$%/&; = 1√25 "#8%/&

ℱ:"#$%/&"'*$; = 1√25 "#(8#*)%/&

ℱ:"#$%/&"#'*$; = 1√25 "#(8?*)%/&

Sustituyendo las expresiones:

-(.) = ℱ[ (!)] = 12, ℱ @"#$%

& "'*$A − 12, ℱ @"#$%

& "#'*$A

= 12,

1√25 "#(8#*)%

& − 12,

1√25 "#(8?*)%

& = 12,√25 B"#8%?*%#&*8& − "#8%?*%?&*8& C =

= 12,√25 B"#8%?*%

& "*8 − "#8%?*%& "#*8C = 1

2,√25 "#8%?*%& ("*8 − "#*8)

= 1,√25 "#8%?*%

& ∙ "*8 − "#*82 = 1

,√25 "#8%?*%& senh(�.) = −, 1

√25 "#8%?*%& senh(�.)

PROBLEMA 13

Sean � > 0, � > 0 . Usando transformadas de Fourier demuestre la siguiente fórmula de

integración

!"#$ sen(�%)%

&

'*% = arctan +�

�-

SOLUCIÓN:

!"#$ sen(�%)%

&

'*% = 1

2 !"#|$| sen(�%)%

&

"&*%

!"#|$| sen(�%)% = sen(�%)

%./3/45($)

∙ !"#|$|.347($)

= �(�)�(�)

�(�) = sen( �)� ∈ ℒ#(ℝ)

�(�) = %&'|*| ∈ ℒ#(ℝ)

Como �, � ∈ ℒ#(ℝ), se puede aplicar el teorema de Parseval donde

+ �(�)-&-

�(�)....../� = 20 + �1(3)�4(3).......-&-

/3

Hallando cada transformada de Fourier

ℱ[�(�)] = ℱ 6sen( �)� 7 ⇒ �1(3) = 1

2 1(&;,;)(3)

ℱ[�(�)] = ℱ<%&'|*|> = ℱ<�(�)......> ⇒ �4(3) = 10 ∙ @

3# + @#= �4(3).......

Como las funciones �, � y sus transformadas son funciones reales, entonces sus conjugadas

son las mismas funciones. Sustituyendo las expresiones y simplificando:

+ sen( �)�

-&-

%&'|*|......../� = 20 + 12 1(&;,;)(3) 1

0 ∙ @3# + @#

-&-

/3

= @ + 1(&;,;)(3) 13# + @#

-&-

/3 = @ + 13# + @#

;&;

/3 = 2@ + 13# + @#

;B

/3= 2@ ∙ 1

@ arctan C3@ D E

0 = 2 arctan C @D

Como el integrando es una función par, entonces

+ %&'* sen( �)�

-B

/� = 12 + %&'|*| sen( �)

�-

&-/� = 1

2 ∙ 2 arctan C @D = arctan C

@D

PROBLEMA 14

Calcule la siguiente integral

� sen ��2 ! " + 2 # + 2 $%$ &

SOLUCIÓN:

sen ��2 ! " + 2 # + 2 = sen ��2 ! '(()((*,(.)∙ 1 # + 2 + 2'((()(((*3(.)

= 4( )5( )

Completando cuadrados en la función 5( ) :

5( ) = 1 # + 2 + 2 = 1( # + 2 + 1) + (2 − 1) = 1( + 1)# + 1

4( ) = sen ��2 ! ∈ ℒ#(ℝ)

5( ) = 1( + 1)# + 1 ∈ ℒ#(ℝ)

Como 4, 5 ∈ ℒ#(ℝ), se puede aplicar el teorema de Parseval donde

� 4( )$%$ 5( );;;;;;& = 2� � 4<(>)5?(>);;;;;;;$

%$ &>

ℱ[4( )] = ℱ Asen ��2 ! B ⇒ 4<(>) = 12 1�%E#,E#!(>)

ℱ F 11 + #G = 12 H%|I| Utilizando el teorema de traslación en el tiempo

ℱ[5( )] = ℱ F 1( + 1)# + 1G ⇒ 5?(>) = 12 H%|I| ∙ HJK∙LI

Resolviendo el conjugado de 5?(>) (en este caso no se puede descuidar)

5?(>) = 12 H%|I|HLI ⇒ 5?(>);;;;;;; = 12 H�|�|�� = 12 ��|�|��"�

Sustituyendo expresiones en el teorema de Parseval:

# sen $%2 &'

& ∙ 1(& + 1), + 1 -&

.

�.= 2% # 1

2 1$�/,,/,'(3) ∙ 1

2 ��|�|��"�-3.

�.=

2� 12 ∙ 12 ! #$|%|#$&%'()*$)* = �2 ! #$|%|#$&%'()*

$)* = �2 ! #$|%|(cos ( − - sen ()'()*$)*

Descomponiendo la integral anterior en integral-coseno e integral-seno (la integral-seno es

cero por ser un integrando impar):

= �2 ! #$|%| cos ( '()*$)* − - �2 ! #$|%| sen ( '()*

$)* = 2 ∙ �2 ! #$|%| cos ( '()*/ =

= � ! #$% cos ( '()*/ = � ! #$% #&% + #$&%2 '()*

/ =

= �2 ! #$%3#&% + #$&%4'()*/ = �2 ! 3#($56&)% + #($5$&)%4'()*

/ =

= �2 ∙ 7#($56&)%−1 + - + #($5$&)%−1 − - 8 9 �20 = �2 ∙ #$% 7 #&%−1 + - + #$&%−1 − -8 9 �2

0 =

= �2 ∙ #$% 7(−1 − -)#&% + (−1 + -)#$&%(−1 + -)(−1 − -) 8 9 �20 =

�2 ∙ #$% 7−3#&% + #$&%4 − -3#&% − #$&%4(−1)* − -* 8 9 �20 = �2 ∙ #$% 7−(2 cos () − -(2- sen ()2 8 9 �2

0

�2 ∙ #$%(− cos ( + sen () 9 �20 = �2 ∙ #$)* ;− cos ;�2< + sen ;�2<< − �2 ∙ #/(− cos(0) + sen(0))

= �2 ∙ #$)* − �2 (−1) = �2 31 + #$)/*4

Así se concluye que

! sen ;�2 ?<?@ + 2?* + 2?A$A '? = �2 31 + #$)/*4

Observación: el integrando NO es una función par.

PROBLEMA 15

Sean �, � > 0 . Utilizando la transformada de Fourier calcule la integral

cos(�!)(!" + �")" #!$%$

SOLUCIÓN:

Esta integral puede calcularse con el teorema de los residuos de variable compleja, pero

también puede calcularse utilizando el teorema de Parseval y la transformada de Fourier.

&'*-(!" + �")" #!$%$ = 1!" + �" ∙ &'*-!" + �" #!$

%$ = 1!" + �"/23245(-)∙ &%6*-!" + �"/23247(-)

8888888888 #!$%$

9(!) = 1!" + �" ∈ ℒ"(ℝ) y @(!) = &%'*-!" + �" ∈ ℒ"(ℝ)

Como 9, @ ∈ ℒ"(ℝ), se puede aplicar el teorema de Parseval donde

9(!)$%$ @(!)888888#! = 2B 9C(D)@E(D)8888888$

%$ #D

ℱ[9(!)] = ℱ G 1!" + �"H ⇒ 9C(D) = 12� &%J|K| ℱ[@(!)] = ℱ L &%'*-!" + �"M ⇒ @E(D) = 12� &%J|K| ND + � = 12� &%J|KO*|

Sustituyendo expresiones en el teorema de Parseval:

1!" + �" ∙ &%6*-!" + �"8888888888 #!$%$ = 2B 12� &%J|K| ∙ 12� &%J|KO*|888888888888888#D$

%$ = B2�" &%J(|K|O|KO*|)#D$%$

|D| + |D + �| = P−D − (D + �) si D < −� −D + (D + �) si − � ≤ D < 0D + (D + �) si D ≥ 0 = U −2D − � si D < −� � si − � ≤ D < 0 2D + � si D ≥ 0

B2�" &%J(|K|O|KO*|)#D$%$ = B2�" V &%J(%"K%*)#D%*

%$ + &%J*#DW%* + &%J("KO*)#D$

W X =

= B2�" V &"JKO*J#D%*%$ + &%J* #DW

%* + &%"JK%*J#D$W X =

B2�" Y&"JKO*J2� N−� + &%J* ∙ � − &%"JK%*J−2� N 0 Z = B2�" V&%"J*O*J2� + �&%J* + &%*J2� X =

= B&%*J2�" \ 12� + � + 12�^ = B&%*J2�_ (1 + ��) ⇒ &'*-(!" + �")" #!$%$ = B&%*J2�_ (1 + ��)

Tomando partes reales a la expresión anterior:

cos(�!)(!" + �")" #!$%$ = B&%*J2�_ (1 + ��) para �, � > 0

PROBLEMA 16

Sea �: ℝ → ℝ una función definida por

�(�) =⎩⎪⎨⎪⎧ 2 + � si − 2 ≤ � < 0

2 − � si 0 ≤ � < 2 0 si no

(a) Calcule la transformada de Fourier de �.

(b) Usando la parte (a) calcule las integrales

' *sen �� ,

- .�/1 y ' *sen �� ,3 .�/

1

SOLUCIÓN:

(d) Calculando las primeras dos derivadas generalizadas de � :

�(�) =⎩⎪⎨⎪⎧2 + � si − 2 ≤ � < 0

2 − � si 0 ≤ � < 2 0 si no

�456 7 (�) =⎩⎪⎨⎪⎧ 1 si − 2 ≤ � < 0

−1 si 0 ≤ � < 2 0 si no

�456 77 (�) = 9(� + 2) − 29(�) + 9(� − 2)

Sea �:: ℝ → ℝ la transformada de Fourier de �(�) definida por

�:(@) ≡ ℱ[�(�)] = 12C ' �(�)/D/ EDFGH.�

Aplicando los teoremas operacionales de las transformadas de Fourier

ℱI�456 77 (�)J = (K@)-�:(@) = − @-�:(@)

ℱ[9(�)] = 12C

ℱ[9(� + 2)] = 12C E-FG

ℱ[�(� − 2)] =1

2� !"#$

ℱ%&'*+ �� ( )! = ℱ[#( + 2)] − 2ℱ[#( )] + ℱ[#( − 2)] ⇒ − '*,-(') = 12. /*03 − 2 ∙ 12. + 12. /5*03

Despejando la transformada de Fourier de la expresión anterior

− '*,-(') = 1. 6−1 + /*03 + /5*03278889888:;<>(*3)? ⇒ ,-(') = 1. ∙ 1 − cos(2')'* = 1. ∙ 2 sen*''* = 2. @sen '' A*

(e) A partir de la definición de la transformada inversa de Fourier se calcula la primera

integral

,( ) ≡ ℱ5CD,-(')! = E ,-(')F5F /03GH'

,( ) = E 2. @sen '' A*F5F /03GH' ⇒ ,(0) = 2. E @sen '' A*F

5F /JH' ⇒ E @sen '' A*F5F H' = .2 ∙ 2 = .

Como el integrando es una función par entonces

E @sen '' A*F5F H' = 2 E @sen '' A* H'F

J ⇒ E @sen '' A* H'FJ = 12 E @sen '' A*F

5F H' = .2

Para encontrar el valor de la segunda integral se usa el teorema de Parseval, donde la función , ∈ ℒ*(ℝ) :

E ,( )F5F ,( )NNNNNNH = 2. E ,-('),-(')NNNNNNNF

5F H' ⇒ E |,( )|*F5F H = 2. E O,-(')O*F

5F H'

E O,-(')O*F5F H' = 12. E |,( )|*F

5F H

E P2. @sen '' A*P*F5F H' = 12. E |,( )|*F

5F H = 22. E |2 − |**J H = 1. E |2 − ( + 2)|**5*

5* H = 1. E *J

5* H = − 1. E (− )*J* H = 1. E **

J H = 1. ∙ 2Q3

S2.T* E @sen '' AUF5F H' = 1. ∙ 2Q3 ⇒ E @sen '' AUF

5F H' = 1. ∙ 2Q3 ∙ .*2* = 2.3

Como el integrando es una función par entonces

E @sen '' AUF5F H' = 2 E @sen '' AU H'F

J ⇒ E @sen '' AU H'FJ = 12 E @sen '' AUF

5F H' = .3

PROBLEMA 17

Sea �: ℝ → ℝ una función definida por

�(�) = � cos � si |�| ≤ �/2 0 si |�| > �/2

(a) Calcule la transformada de Fourier de � y muestre que esta función es analítica.

(b) Usando la parte (a) calcule las integrales

cos !�2 �"1 − �$ %�&

' y cos$ !�2 �"(1 − �$)$ %�&'

SOLUCIÓN:

Definiendo la función

�(�) = � cos � si |�| ≤ �/2 0 si |�| > �/2

Calculando la primera derivada generalizada

�*+, - (�) = �-(�) = �− sen � si |�| ≤ �/2 0 si |�| > �/2

Calculando la segunda derivada generalizada:

�*+,-- (�) = . !� + �2" + . !� − �2" + �--(�) =

= .(� + �/2) + .(� − �/2) + �− cos � si |�| ≤ �/2 0 si |�| > �/2 = .(� + �/2) + .(� − �/2) − �(�)

Por lo tanto �(�) satisface la siguiente ecuación diferencial en derivadas generalizadas

�*+,-- (�) + �(�) = .(� + �/2) + .(� − �/2)

Sea �4: ℝ → ℝ la transformada de Fourier de �(�) definida por

�4(7) ≡ ℱ[�(�)] = 12� �(�)&;& <;?@A%�

Aplicando los teoremas operacionales de las transformadas de Fourier

ℱB�*+,-- (�)C = (D7)$�4(7) = − 7$�4(7)

ℱ[�(� + �/2)] = 12� !"#$

ℱ[�(� − �/2)] = 1

2� &!

"#$

Se sustituyen las expresiones y se despeja la transformada de Fourier

ℱ'*,-.00 ( )! + ℱ[#( )] = ℱ[$( + %/2)] + ℱ[$( − %/2)] ⇒ − ,-#.(,) + #.(,) = 12% 03-45 + 12% 063-45

(1 − ,-)#.(,) = 1% ∙ 03-45 + 063-452 ⇒ (1 − ,-)#.(,) = 1% cos 8%2 ,9 ⇒ #.(,) = 1% ∙ cos 8%2 ,91 − ,-

#.(,) es una función analítica en todo su dominio:

lim5→±; #.(,) = lim5→±; 1% ∙ cos 8%2 ,91 − ,- = 1% lim5→±;<<, cos 8%2 ,9<<, (1 − ,-) = 1% lim5→±;

− %2 ∙ sen 8%2 ,9−2, = 14 < ∞

a partir de la definición de transformada inversa de Fourier

#( ) = ℱ6;A#.(,)! = B #.(,)C6C 045D<,

#( ) = B 1% ∙ cos 8%2 ,91 − ,-C6C 045D<,

#(0) = cos(0) = 1 = B 1% ∙ cos 8%2 ,91 − ,-C6C 045∙F<, ⇒ 1% B cos 8%2 ,91 − ,-C

6C <, = 1

⇒ B cos 8%2 ,91 − ,-C6C <, = % ⇒ 2 B cos 8%2 ,91 − ,-C

F <, = % ⇒ B cos 8%2 ,91 − ,-CF <, = %2

Para encontrar el valor de la segunda integral se usa el teorema de Parseval, donde la función # ∈ ℒ-(ℝ) :

B |#( )|-C6C < = 2% B J#.(,)J-C

6C <, ⇒ B J#.(,)J-C6C <, = 12% B |#( )|-C

6C <

B K1% ∙ cos 8%2 ,91 − ,- K-C6C <, = 12% B |cos |-3/-

63/- < = 12% ∙ 2 B cos- 3-F < = 1% L 2 + sen(2 )4 M N %2

0= 1% ∙ 12 8%29 = 14

B K1% ∙ cos 8%2 ,91 − ,- K-C6C <, = 14 ⇒ 2%- B Kcos 8%2 ,91 − ,- K- <,C

F = 14 ⇒ B cos- 8%2 ,9(1 − ,-)- <,CF = %-8

PROBLEMA 18

Encuentre explícitamente la función �(�, �) que satisface el problema de conducción de calor

⎩⎪⎨⎪⎧ #2$#%2 = #$#& si − ∞ < % < ∞ , & > 0

$(%, 0) = +(%)

SOLUCIÓN:

Se aplica transformada de Fourier respecto a la variable que tiene como dominio todos los

números reales. Aplicando la transformada de Fourier respecto a la variable % definida por

$-(., &) ≡ ℱ[$(%, &)] = 124 5 $(%, &)6789:;%?7?

Usando los teoremas operacionales:

ℱ @#A$(%, &)#%A B = (C.)A$-(., &) = −.A$-(., &)

ℱ @#$(%, &)#& B = #$-#& (., &)

ℱ[$(%, 0)] = ℱ[+(%)] ⇒ $-(., 0) = 124

El problema se reescribe en términos de transformadas de Fourier

⎩⎪⎨⎪⎧−.A$-(., &) = #$-(., &)#& si − ∞ < . < ∞ , & > 0

$-(., 0) = 124 si − ∞ < . < ∞

Y luego se resuelve la ecuación diferencial:

−.A$-(., &) = #$-(., &)#& ⇒ #$-(., &)#& + .A$-(., &) = 0

Cuya solución general es

$-(., &) = G(.)679HI

Se encuentra la constante G(.) con la condición inicial:

$-(., 0) = G(.)679H∙K = G(.) = 124

Sustituyendo la constante se obtiene la solución acotada |$-(., &)| < ∞ cuya transformada

inversa de Fourier existe por que $-(., &) ∈ ℒN(ℝ) .

��(�, �) = 12� !"#$ si − ∞ < � < ∞ , � > 0

Luego se recupera la función �(�, �) mediante la transformada inversa de Fourier:

�(�, �) ≡ ℱ"#[�$(%, �)] = & �$(%, �)'*+-.%/"/

�(�, �) = & �$(%, �)'*+-.%/"/ = & 120 '"+34'*+-.%/

"/ = 120 & '"+34'"*+("-).%/"/

= ℱ5'"+346 7−� = ℱ 9'"(:4)+3: ; 7−� = 1<20(2�) ' "-3

:(:4) 7−� = 1√40� '"("-)3@4 = 1

√40� '"-3@4

La solución explícita al problema de valores iniciales es

�(�, �) = 1√40� '"-3@4 si � ∈ ℝ y � > 0

PROBLEMA 19

Encuentre la función acotada �(�, �) tal que satisfaga el siguiente problema

⎩⎪⎨⎪⎧ %&�%�& = %�%� si � > 0 , � > 0 %�%� (0, �) = 0 si � > 0

�(�, 0) = '*+-/& si � > 0

SOLUCIÓN:

Hay que extender la variable � a −∞ < � < ∞. Para esto, se elimina la condición de borde

nula 232+ (0, �) = 0 y se extiende la función �(�, 0) = '*+-/& como una función par:

4(�) = 5�(−�, 0) si � < 0�(�, 0) si � ≥ 0 = 7'*(*+)-/& si � < 0

'*+-/& si � ≥ 0 = '*+-/&

Con la variable � extendida a todos los números reales, se replantea el problema como:

⎩⎨⎧ %&�%�& = %�%� si − ∞ < � < ∞ , � > 0

�(�, 0) = '*+-/& si − ∞ < � < ∞

Ahora se puede aplicar la transformada de Fourier respecto a la variable � definida por

�8(9, �) ≡ ℱ[�(�, �)] = 12A B �(�, �)'*CD+E�F*F


ℱ ��(�, )�� ! = ("#)��$(#, ) = −#��$(#, )

ℱ ��(�, )� ! = ��$� (#, )

ℱ[�(�, 0)] = ℱ&'*+-/�. ⇒ ℱ �'*3∙+-� ! = 1√28 ∙ 1 '*9-�∙3 ⇒ �$(#, 0) = 1√28 '*9-/�


⎩⎪⎨⎪⎧−#��$(#, ) = ��$(#, )� si − ∞ < # < ∞ , > 0

�$(#, 0) = 1√28 '*9-/� si − ∞ < # < ∞


−��(�, �) = ��(�, �) � ⇒ ��(�, �) � + ��(�, �) = 0


��(�, �) = #(�)$%&'* si − ∞ < � < ∞ , � > 0

Se encuentra la constante #(�) con la condición inicial:

��(�, 0) = #(�)$%&'∙/ = #(�) = 1√24 $%&'/�

Sustituyendo la constante se obtiene la solución acotada |��(�, �)| < ∞ cuya transformada

inversa de Fourier existe por que ��(�, �) ∈ ℒ8(ℝ) .

��(�, �) = 1√24 $%&'/� ∙ $%&'* = 1

√24 $%:8�;*?&' si − ∞ < � < ∞ , � > 0

Luego se recupera la función �(�, �) mediante la transformada inversa de Fourier:

�(�, �) ≡ ℱ"#[�$(%, �)] = & �$(%, �)'*+-.�/"/

�(�, �) = & �$(%, �)'*+-.%/"/ = & 1

√23 '"4#5678+9'*+-.%/"/ = 123 & 23

√23 '"4#5678+9'"*+("-).%/"/

= ℱ :√23 ∙ '"4#5678+9< >−�= √23 ∙ ℱ @'"4556578+9

5 A >−�= √23 ∙ 1

B23 422 + 2�8 ' "-954556578 >−�

= 1√1 + 2� '"("-)9#657 = ' "-9576#

√2� + 1

La solución �(�, �) al problema explícitamente es

�(�, �) = exp D −�52� + 1E

√2� + 1 si � > 0 , � > 0

PROBLEMA 20

Encuentre la función acotada �(�, �) tal que satisfaga el siguiente problema

⎩⎪⎨⎪⎧

�� = �� si � > 0 , > 0 �� (0, ) = 0 si > 0 �(�, 0) = sen �� si � > 0

SOLUCIÓN:


nula $%$& (0, ) = 0 y se extiende la función �(�, 0) = '*&+/� como una función par:

-(�) = .�(−�, 0) si � < 0�(�, 0) si � ≥ 0 =

⎩⎪⎨⎪⎧sen(−�)−� si � < 0

sen �� si � ≥ 0= sen ��


⎩⎪⎨⎪⎧ �� = �� si − ∞ < � < ∞ , > 0

�(�, 0) = sen �� si − ∞ < � < ∞


�6(7, ) ≡ ℱ[�(�, )] = 12? @ �(�, )'*AB&C�D*D


ℱ E��(�, )�� F = (G7)��6(7, ) = −7��6(7, )

ℱ E��(�, )� F = ��6� (7, )

ℱ[�(�, 0)] = ℱ Hsen �� I ⇒ ℱ Hsen �� I = 12 ∙ 1(*L,L)(7) ⇒ �6(7, 0) = 12 ∙ 1(*L,L)(7)


⎩⎪⎨⎪⎧−7��6(7, ) = ��6(7, )� si − ∞ < 7 < ∞ , > 0

�6(7, 0) = 12 ∙ 1(*L,L)(7) si − ∞ < 7 < ∞


−��(�, �) = ��(�, �)�� ⇒ ��(�, �)

�� + ��(�, �) = 0


��(�, �) = "(�)#$%&' si − ∞ < � < ∞ , � > 0

Se encuentra la constante "(�) con la condición inicial:

��(�, 0) = "(�)#$%&∙/ = "(�) = 12 ∙ 1($3,3)(�)

Sustituyendo la constante se obtiene la solución acotada |��(�, �)| < ∞ cuya transformada

inversa de Fourier existe por que ��(�, �) ∈ ℒ3(ℝ) .

��(�, �) = 12 ∙ 1($3,3)(�) ∙ #$%&' si − ∞ < � < ∞ , � > 0

Luego se recupera la función �(7, �) mediante la transformada inversa de Fourier:

�(7, �) ≡ ℱ$3[��(�, �)] = : ��(�, �)#;%?@7A

$A

�(7, �) = : ��(�, �)#;%?@�A

$A= : 1

2 ∙ 1($3,3)(�) ∙ #$%&'#;%?@�A

$A= 1

2 : #$%&'#;%?@�3

$3

= 12 : #$%&'(cos(�7) + B sen(�7))@�

3

$3= 1

2 : #$%&' cos(�7) @�3

$3+ B

2 : #$%&' sen(�7) @�3

$3

= 12 : #$%&' cos(�7) @�

3

$3+ 0 = 1

2 ∙ 2 : #$%&' cos(�7) @�3

/= : #$%&' cos(�7) @�

3

/

La integral que contiene la función seno se anula por ser una función impar y se reescribe la

integral del coseno en el intervalo [0,1] por ser una función par. Esta integral no se puede

resolver analíticamente, por lo tanto la solución �(7, �) del problema se expresa como

�(7, �) = : #$%&' cos(�7) @�3

/ si 7 > 0 , � > 0

PROBLEMA 21

Sea �(�, �) una función acotada tal que

⎩⎪⎨⎪⎧$%�$�% + $%�$�% = 0 si � > 0 , � > 0

�(�, 0) = 0 �(0, �) = '2

(a) Demuestre que la solución del problema es

�(�, �) = * sen(-�)-./ 134|5|6-

(b) Resuelva la integral de la parte (a) y muestre que

�(�, �) = arctan(�/�)

SOLUCIÓN:


nula �(�, 0) = 0 y se extiende la función �(0, �) = "(�) como una función impar:

"(�) = #−$/2 si � < 0$/2 si � ≥ 0


⎩⎨⎧ -.�-�. + -.�-�. = 0 si � > 0 , − ∞ < � < ∞

�(0, �) = "(�) si − ∞ < � < ∞


�3(�, 4) ≡ ℱ[�(�, �)] = 12$ 8 �(�, �)9:;?@A�B:B


ℱ C-.�(�, �)-�. D = -.�3(�, 4)-�.

ℱ C-.�(�, �)-�. D = (E4).�3(�, 4) = −4.�3(�, 4)

ℱ C-.�-�.D + ℱ C-.�-�.D = 0 ⇒ -.�3(�, 4)-�. − 4.�3(�, 4) = 0

La solución a esta ecuación es

��(�, �) = ��(�)��|�|� + !(�)�|�|� si # > 0 , − ∞ < & < ∞

Para que la solución '(#, &) sea acotada, la solución en transformada de Fourier también debe

ser acotada |*-(#, �)| < ∞. Así, el coeficiente !(�) = 0 para que esta solución sea una

función acotada.

*-(#, �) = �(�)��|�|� si # > 0 , − ∞ < � < ∞

Se determina el coeficiente �(�) utilizando la condición de borde.

.(&) = /−1/2 si & < 0 1/2 si & ≥ 0

La derivada generalizada de .(&) es

.5678 (&) = 1 9(&)

Por lo tanto

ℱ[9(&)] = 121

ℱ?.5678 (&)@ = ℱ[1 9(&)] ⇒ B�.C(�) = 121 = 12 ⇒ .C(�) = 12B�

ℱ[*(0, &)] = ℱ[.(&)] ⇒ *-(0, �) = .C(�)

*-(0, �) = �(�)��|�|∙E = �(�) = 12B�

Por lo tanto, la solución en transformada de Fourier es

*-(#, �) = 12B� ��|�|� si # > 0 , − ∞ < � < ∞

Se recupera la función *(#, &) por medio de la transformada inversa de Fourier

*(#, &) ≡ ℱ��[*-(#, �)] = G *-(#, �)�H�IJ�K�K

Así

*(#, &) = G 12B� ��|�|��H�IJ�K�K = 12 G 1� ��|�|� Lcos(�&) + B sen(�&)B MK

�K J� =

−B 12 G 1� ��|�|� cos(�&)K�K J� + 12 G 1� ��|�|� sen(�&)K

�K J�

(a) La integral del coseno es cero, ya que el integrando es una función impar en � y la

integral del seno es una función par, así

�(�, �) = 12 1! "#|$|% sen(!�)

&

#&'! = 12

sen(!�)!

&

#&"#%|$|'! = sen(!�)

!&

*"#%|$|'!

(b) Utilizando el teorema de Parseval. Si +, - ∈ ℒ0(ℝ)

4(!)&

#&5(!)6666666'! = 27 48(9)58(9)666666&

#&'9

Como

4(!) = sen(!�)! ∈ ℒ0(ℝ)

5(!) = "#%|$| ∈ ℒ0(ℝ) Definiendo la transformada de Fourier respecto a la variable ! como:

48(9) ≡ ℱ[4(!)] = 127 4(!)"��

�

Así

ℱ["(�)] = ℱ #sen(�$)� % ⇒ "*(+) = 12 1(�,,,)(+)

ℱ[.(�)] = ℱ/0�3|�|4 = ℱ/.(�)55555554 ⇒ .*(+) = 16 ∙ 889 + +9 = .*(+)555555

Luego, se aplica el teorema de Parseval

12 ; sen �$�

� 0�3|�|�� = 262 ; 12 1(�,,,)(+) 16 ∙ 889 + +9

� �+ = 12 ; 889 + +9,

�, �+

= 128 ; 11 + <+8>9 �+,

�, = 12 arctan ?+8@ A $−$ = 12 arctan <$8> − 12 arctan <−$8 >

= 2 ?12 arctan <$8>@ = arctan <$8>

Por lo tanto la solución en 8 > 0 , $ > 0 es

E(8, $) = arctan <$8>

PROBLEMA 22

Sea � > 0 y las funciones , !: ℝ → ℝ . Sea $(%, &) una función que satisface la ecuación de

la onda

⎩⎪⎨⎪⎧./$.&/ = �/ ./$.%/ si − ∞ < % < ∞ , & > 0

$(%, 0) = (%) si − ∞ < % < ∞.$.& (%, 0) = !(%) si − ∞ < % < ∞

Muestre que la solución a este problema es la fórmula de D'Alembert:

$(%, &) = (% − �&) + (% + �&)2 + 12� 7 !(8)98;?@A;B@A

SOLUCIÓN:

Aplicando transformadas de Fourier a la ecuación diferencial y a las condiciones iniciales

definiendo la transformada de Fourier como

$C(D, &) ≡ ℱ[$(%, &)] = 12G 7 $(%, &)HBH IBJK;9%

ℱ[$(%, &)] = $C(D, &)

ℱ L./$(%, &).&/ M = ./$C(D, &).&/

ℱ L./$(%, &).%/ M = (ND)/$C(D, &) = −D/$C(D, &)

ℱ[$(%, 0)] = ℱ[ (%)] ⇒ $C(D, 0) = P(D)

ℱ Q.$.& (%, 0)R = ℱ[!(%)] ⇒ .$C.& (D, 0) = !C(D)

La ecuación diferencial en términos de transformadas de Fourier se expresa como

⎩⎪⎨⎪⎧./$C(D, &).&/ = −�/D/$C(D, &) si − ∞ < D < ∞ , & > 0

$C(D, 0) = P(D) si − ∞ < D < ∞.$C.& (D, 0) = !C(D) si − ∞ < D < ∞

./$C(D, &).&/ = −�/D/$C(D, &) ⇒ ./$C(D, &).&/ + �/D/$C(D, &) = 0


$C(D, &) = ST(D) cos(�D&) + S/(D) sen(�D&)

Aplicando las condiciones iniciales

��(�, 0) = ��(�) ⇒ ��(�, 0) = �(�) cos(0) + ��(�) sen(0) = ��(�) ⇒ ��(�) = ��(�)

!"#!$ (�, $) = %�(−��(�) sen(%�$) + ��(�) cos(%�$))

!"#!$ (�, 0) = '#(�) ⇒ %�(−��(�) sen(0) + ��(�) cos(0)) = '#(�) ⇒ ��(�) = 1

%� '#(�)

"#(�, $) = ��(�) cos(%�$) + '#(�) sen(%�$)%� si − ∞ < � < ∞ , $ > 0

Luego se recupera la función mediante la transformada inversa de Fourier definida por

"(., $) ≡ ℱ3�["#(�, $)] = 4 "#(�, $)535

6789:.

ℱ3�["#(�, $)] = ℱ3�;��(�) cos(%�$)? + ℱ3� @'#(�) sen(%�$)%� A

Obteniendo la transformada inversa de Fourier al primer factor:

��(�) cos(%�$) = ��(�) 67B8C + 637B8C2 = 1

2 ��(�)67B8C + 12 ��(�)637B8C

ℱ3� E12 ��(�)67B8C + 1

2 ��(�)637B8CF = 12 �(. + %$) + 1

2 �(. − %$) = �(. − %$) + �(. + %$)2

Se obtiene la transformada inversa de Fourier al segundo factor con el teorema de Parseval:

4 �(G)'(G)HHHHHH:G535

= 2I 4 ��(�)'#(�)HHHHHHH:�535

⇒ 4 ��(�)'#(�)HHHHHHH:�535

= 12I 4 �(G)'(G)HHHHHH:G5

35

ℱ3� @'#(�) sen(%�$)%� A = 4 '#(�) sen(%�$)

%�5

356789:� = 1

% 4 sen(%�$)� '#(�)63J89HHHHHHHHHHHHHH5

35:� =

= I2I% 4 ℱ3� @1

I ∙ sen(%�$)� A ℱ3�['#(�)63J89]HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH5

35:� =

= 12% 4 1(3BC,BC)(G) ∙ '(G − .)5

35:G = 1

2% 4 1(93BC ,9LBC)(G) ∙ '(G)535

:G = 12% 4 '(G):G9LBC

93BC

Finalmente la solución al problema de la onda es

"(., $) = �(. − %$) + �(. + %$)2 + 1

2% 4 '(G):G9LBC93BC

si . ∈ ℝ , $ > 0

PROBLEMA 1

Una función �: ℝ → ℝ cumple �( + !) = �( ) , �(− ) = �( ) y para 0 ≤ ≤ ! está

definida por:

�( ) = $1 si 0 ≤ < !20 si !2 ≤ ≤ !

(a) Halle la serie de Fourier !-periódica de �( ).

(b) ¿A qué valor converge la serie de Fourier de � en = !/2 y en = ! ? Justifique.

(c) Demuestre que

&' (−1)*2, + 1-

*.3 �� = 12 1(2! + 1)�"

#$%

PROBLEMA 2

Sea Ψ > 0 . Encuentre explícitamente la función '(*, -) tal que

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 6�'6*� + 6�'6-� = 0 si * > 0 , - > 0

6'6* (0, -) = 0 '(*, 0) = ΨΨ� + *�

|'(*, -)| ≤ 8 < ∞ para algún 8 ∈ ℝ

PROBLEMA 3

Encuentre la función '(*, ?) tal que satisface el problema de la onda

⎩⎪⎨⎪⎧

6�'6*� = 6�'6?� si 0 < * < 1 , ? > 0 '(0, ?) = '(1, ?) = 0 '(*, 0) = *(1 − *) 6'6? (*, 0) = sen(2A*)

PROBLEMA 4

Sea B > 0, C > 0 . Usando transformadas de Fourier demuestre la siguiente fórmula

D sen(B*)*(*� + C�)"

% E* = A2C� F1 − GHIJK

Respuestas:

Problema 1

C# = 2A ∙ sen(!A/2)!

(b) Converge a 1/2 y a 0 respectivamente

Problema 2

'(*, -) = - + Ψ*� + (- + Ψ)�

Problema 3 '(*, ?) = sen(2A*) cos(2A?) +

+ 8A!O sen� P!A2 Q sen(!A*) sen(!A?)"#$R

PROBLEMA 1

Una función �: ℝ → ℝ cumple �(� + �) = �(�) , �(−�) = −�(�) y para 0 ≤ � ≤ � está

definida por:

�(�) = " � si 0 ≤ � < �2 � − � si �2 ≤ � ≤ �

(a) Calcule la transformada de Fourier de la función $: ℝ → ℝ definida por

$(�) = �(�) ∙ 1(*,-)(�) − �(�) ∙ 1(.-,*)(�)

(b) Halle la serie de Fourier �-periódica de �(�) . Sugerencia: Puede utilizar la parte (a).

(c) Demuestre que

/ 1(23 + 1)45

67* = 23 9/ 1(23 + 1);5

67* >;

PROBLEMA 2

Encuentre explícitamente la función ?(�, @) tal que

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ E;?E�; + E;?E@; = 0 si 0 < � < 1 , 0 < @ < 1E?E� (0, @) = E?E� (1, @) = 0 ?(�, 0) = 0 ?(�, 1) = 2 cos;(��)

PROBLEMA 3

Encuentre explícitamente la función ?(�, F) tal que satisface el problema de conducción de

calor

⎩⎪⎨⎪⎧ E;?E�; = E?EF si � > 0 , F > 0 ?(0, F) = 0 ?(�, 0) = �H.IJ/; limL→5 ?(�, F) = 0

Respuestas:

Problema 1

�M(N) = O�N; Psen(�N) − 2 sen P�2 NQQ

R6 = 4� ∙ sen(3�/2)3;

Problema 2 ?(�, @) = @ + senh(2�@)senh(2�) cos(2��)

Problema 3

?(�, F) = �H .IJ4LT;√2F + 1

Series, transformadas de Fourier y EDP´s

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