Primera Parte , I .

DE LA (jOMUNICACION ',MATEMATICA,

ALA ,lVIATEJVf.ATICA , -DE LACOMUNICACION

Capítulo 1

MATEMÁTICAS

El diálogo platónico y la génesis intersubjetiva de la absh'acción

Conocemos la gran discusión de los lógicos con respecto a la noción de símbolo. l Sin entrar detalladamente en los argumentos que separan entre sí a los realistas de la moda hilbertina, los nominalistas del séquito de Quine, los par-' tidarios de la escuela polaca, etcétera, retomamos un frag­mento referido a la cuestión, que la orienta en una dirección distinta.

Cuando deseo comunicarme con otro, dispongo de una serie de técnicas antiguas y nuevas, de las que por ahora no importa saber si son naturales o fabricadas: lenguajes, escrituras, medios de almacenamiento, de transporte y de multiplicación del mensaje, cintas grabadas, teléfono, im­prenta, y así sucesivamente. La escritura es una de las más simples y a la vez una de las más ricas, porque a través de ella puedo almacenar, transportar y multiplicar la infor­mación. Pero antes de abordar estas cuestiones, a las que se agregan los problemas de estilo, de disposición del relato y de la argumentación, etcétera, se trata de grafismo: ante todo, la escritura es un dibujo, ideograma o grafo conven-

1 Gf. Roger Martin. Logique contemporaine et formalisation, pp.24-30.

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cional. Por el momento se convendrá que la comunicación escrita no es posible más que entre dos personas diestras en el mismo tipo de grafismo,2formadas en la codificación y la decodificación de un sentido por medio de la misma clave.

Así, dado un mensaje escrito en el origen, decimos que sólo será comprendido si el receptor posee la clave de su dibujo. Esta es la condición esencial para la recepción. Pero existe otra, en el origen, que a pesar de ser circunstancial igual merece análisis. Es necesario que el escriba ejecute su dibujo lo mejor posible. ¿Qué quiere decir esto? En principio, que el grafo implica caracteres esenciales, cargados de sentido: forma de las letras (normalizada), buena formación de series de letras, luego de palabras (a través de reglas morfológicas y sintácticas), etcétera; que además implica caracteres inesenciales, accidentales, desprovistos de sig­nificación, que dependen de la habilidad, de la torpeza, ele la cultura, de la pasión, de la enfermedad, etcétera, elel que escribe: temblores elel grafismo, fallas en el elibujo, faltas de ortografia, entre otras cosas. La primera condición supone un ortograma y un caligrama; ahora bien, eso no se ela casi nUllca." El caligrama preserva la forma contra el accidente:

2Es fácilmente demostrable que ningún medio de comunicaci6n considerado como tal es universal: por el contrario, son todos regionales, es decir, isomorfos con respecto a una lengua. El espacio de comunicaci6n lingüística (que, por lo tanto, es el modo de cualquier espacio de comunicaci6n) no es is6tropo. Sin embargo, existe un objeto que es el comunicante universal o el comuni.cado universal: el objeto técnico en general. Por eso encontramos en la aurora de la historia, que la primera difusi6n es la suya: su espacio de comunicaci6n es is6tropo. No hay que confundirse: se trata de una definici6n de la prehistoria.

3 Casi no hace falta agregar que el primer beneficio de la imprenta consiste en permitir al lector no ser epigl'afista. Un texto impreso es un caligrama, pero no siempre un ortogl·ama. La posi­bilidad de una multiplicaci6n arbitraria, desde luego, es el segundo beneficio.

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y si los lógicos se interesan en la forma, es posible intere­sarse también en la patología, es decir, la cacografía. La grafología es la ciencia falsa (o la falsa ciencia) ligada a los móviles psicológicos de la cacografía: ¿podemos meramente hablar de esta última, es decir, de una impureza?

La patología de la comunicación no es sólo el hecho de la escritura. También existe en la lengua hablada: tarta­mudeos, lapsus linguae, acentos regionales, diacronía s y cacofonías. Lo mismo en los medjos técnicos de comunica­ción: ruidos de fondo, caída de agua, interferencias, pará­sitos, cortes sincrónicos. Con el conjwlto de pensamientos, lo accidental, el ruido de fondo, es esencial en la comwli­cación.

Siguiendo en esto la tradición científica, llamamos ruido al conjwlto de esos fenómenos de interferencia que obsta­culizan la comunicación. De modo que la cacografía es el rui.do del grafismo, o -más bien, éste implica una fonna esencial y un ruido esencial u ocasional: escribir mal, es sumergir el mensaje gráfico en ese ruido que obstaculiza la lectura, que transforma al lector en epigni.fista. Más aún, escribir a secas, es arriesgar una forma en una interferencia. Igualmente, comunicar en forma oral, es arriesgar un sentido en un ruido. Ese conjunto de fenómenos fue con­siderado tan importante por ciertos teóricos del lenguaje: que no dudaron en transformar nuestra concepción corriente del diálogo. Dicha comunicación es una suerte de juego que practican dos interlocutores, que se consideran asociados contra los fenómenos de interferencia y confusión, incluso contra individuos que tengan cierto interés en romper la comunicación. 5 Esos interlocutores no son opuestos como en la concepción tradicional del juego dialéctico, al contrario,

'Por ejemplo, B. Mandelbrojt y Jacobson. cr. Norbert Wiener, The Human Use of Human Beings, capítulos IV y XI.

5 Así como la comunicación escrita es la lucha del escriba y del lector, asociados por interés y proyecto, contra los obstáculos de la comunicación: la botella al mar.

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están ligados por un interés en el mismo campo: luchan de común acuerdo contra el ruido. El cacógrafo y el epigrafista, el cacófono y el auditor intercambian bastante su papel recíproco en el diálogo, donde la fuente se convierte en recepción y la recepción en fuente, a un ritmo cualquiera que los vincula contra ID1 enemigo común. Dialogal' es establecer un tercero y buscar excluirlo; una comunicación exitosa es ese tercero excluido. El problema dialéctico más profundo no es el problema del otro, que sólo es una variedad -o una variación- de lo mismo, es el problema del tercer hombre. A ese tercer hombre lo hemos llamado en otra parte De­monio, como prosopopeya del ruido.

Esa concepción del diálogo es inmediatamente aplicable a filosofemas célebres, es susceptible de dar a luz signifi­caciones inauditas. Por ejemplo, las lvleditaciones metafí­sicas se pueden explicar según esos principios: consisten en buscar al otro para asociarse y expulsar al tercer hombre.6

Por el momento, no hay que llegar más lejos que los diálogos platónicos: el método mayéutico asocia de hecho al que pregunta con el que responde en la tarea de alumbramiento. La dialéctica hace jugar a los dos interlocutores en el mismo campo, luchan juntos por la emergencia de ID1a verdad sobre la que hay un objetivo, ponerse de acuerdo a través de la comunicación exitosa. En cierto modo, disputan juntos contra la interferencia, contra el demonio, contra el tercer hombre. Ese combate, lo sabemos, no es siempre afortunado: en los diálogos aporéticos, la victoria queda en manos de las potencias del ruido, en otros, la lucha es ardiente, lo que demuestra el poder de ese tercero. Poco a poco, la serenidad vuelve, cuando el exorcismo ha sido definitivamente (?) realizado.

G Publicaremos esta interpretación, cuyo resultado en bruto sería la idea de que el texto cartesiano da las condiciones de posibilidad de la experiencia física, y entonces en ese sentido es metafísico. Los textos platónicos plantearon antes las condiciones de posibilidad de la ideación matemática.

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No corresponde, en el marco de este estudio, desarrollar ampliamente el tema del tercero en la dialéctica platónica, lo cual nos llevaría demasiado lejos. Y, de hecho, ya estamos

¡ muy lejos de nuestras premisas. Pero mucho menos de lo que

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parece. Volvamos a la lógica, y por su intermedio, a la escritura.

Para el lógico, un símbolo es un dibujo, un grafo que realizo con la tiza en la pizarra.' Un símbolo determinado puede tener, en una serie de fórmulas, muchos casos. Los mate­máticos están todos de acuerdo en. reconocer un "mismo" símbolo en dos o varios casos de éste. Y, sin embargo, cada caso difiere de otro, cualquiera que sea, por el grafismo mismo: temblores del trazo, fallas del movimiento, etcétera. El lógico razona desde ese momento no sobre el grafo concreto dibujado en la pizarra, aquí y ahora, sino, como dijo Tarski, sobre la clase de objetos que tienen la misma forma: el símbolo es entonces un ente abstracto que los grafos en cuestión sólo evocan. Ese ente abstracto se reconoce, me atrevo a decir, por la homeomorfía de esos grafos. El reco­nocimiento supone la distinción de la forma de lo que más arriba llamé la cacografía. El matemático no ve ahí ninguna dificultad y, con frecuencia, la discusión le parece ociosa.

Pero ahí donde el especialista se impacienta, el 6lósofo se detiene y se pregunta qué sería de la cuestión si n.o hubiera matemáticas. Ve a todos los matemáticos ponerse de acuerdo en ese acto de reconocimiento de una misma forma, invariante por la variación de grafismos que la evocan. Ahora bien, sabe como cualquiera, que ninguna grafía se parece a otra; que ante la pregunta, en la escritura, acerca de qué forma parte ele la forma y qué de la cacografía, hay que admitir, dirán algunos, que el ruido vence exhaustivamente. De manera que la conclusión siguiente, teniendo en cuenta lo dicho más arriba, será que es un solo y mismo acto de reconocer un ente abstracto en. diferentes

7 cr. R.Martin, op.cit., pp.26-27.

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casos de Sil manifestación concreta y con acuerdo sobre ese reconocimiento. En otras palabras: el acto de eliminar la cacografía, la tentativa de eliminar el ru.ido, es la condición ele la aprehensión ele la forma abstracta y, simultán eamen te, la condición ele la comunicación exitosa. Si el matemático se impacienta, es porque piensa en una sociedad que en el mejor de los casos triunfó sobre el ruido hace tanto tiempo, que se asombra de que se vuelva a plantear ese problema. Piensa en el 171llnelo elel "nosotros" )' en el mundo ele lo abstracto, que son elos Inundas iSOI7Wlj'OS y, tal vez, idénticos. Porque el sujeto de la matemática abstracta es el nosotros de una república ideal-lo que manifiesta, entre paréntesis, por qué Platón y Leibniz no eran idealistas-, que es la ciudad de la comunicación purgada al máximo de ru.i.do.8 En general, formalizar es llevar a cabo rul proceso por el cual modos concretos de pensar se pasan a una o algunas [armas abstractas; también implica eliminar el ruido de manera óptima. Es tomar conciencia de que las matemáticas son el reino que no contiene más que el ruido inevitable, el de la comunicación casi perfecta, del ~LCl.vOávElV, el reino del ter­cero exclu.ido, donde el demonio es casi definitivamente exorcisado. Si no hubiera matemáticas, habría que retomar el exorci smo.

La demostración recomienza. En los albores de la lógica, es decir, en el comienzo a la vez histórico y lógico de la lógica, pero tambien en el comienzo lógico de las matemáticas, Hilbert y otros reanudaron el camino platónico en las idealidades abstractas, que fue rula de las condiciones e1el milagro griego, en los orígenes -históricos- ele las ma­temáticas. Pero entre nosotros la discusión está truncada porque no pueele poner entre paréntesis el hecho inevitable de la existencia histórica de las matemáticas. En Platón, por el contrario, se encuentra completa y entera: hace coexistir

BTal vez la única, con la ele la música, que Leibniz se complacía en objetar.

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el reconocimiento de la forma abstracta y el problema del éxito del diálogo. Cuando digo cama, no hablo de talo cual cama, la mía, la tuya, la del otro, evoco la idea de cama; cuando dibujo sobre la arena un cuadrado y una diagonal, no quiero hablar de ese grafo irregular e inexacto, evoco la forma ideal de la diagonal y del cuadrado: elimino lo em­pírico, desmaterializo el razonamiento. Así hago posible una ciencia, no sólo por el rigor y la verdad, sino por lo universal, por lo Universal en sí. Elimino lo que oculta la forma, la cacografía, la interferencia y el ruido, y hago posible una ciencia, en lo Universal para nosotros. La forma matemática es un Universal en sí y, a la vez, un Universal para nosotros: entonces, el primer esfuerzo para lograr la comunicación en un diálogo es isomorfo al esfuerzo por volver una forma independiente de sus realizaciones empí­ricas. Estas últimas son los terceros de la forma, su interferencia y su ruido.Y debido a que intervienen sin cesar, los primeros diálogos son aporéticos. El método dialéctico del diálogo tiene origen en las mismas regiones que el método matemático, el que, por otra parte, también es llamado dialéctico.

Excluir lo empírico, es excluir la diferenciación, la pluralidad de los otros que reviste lo mismo. Es el movi­miento primero de la matematización, de la formalización. En ese sentido, el razonamiento de los lógicos modernos en torno al símbolo es análogo a la discusión platónica sobre la forma geométrica dibujada en la arena: hay que eliminar la cacografía, el temblor del trazo, el azar del trazado, la infracción del gesto, el conjunto de casualidades que hace que ningún grafo sea estrictamente de la misma forma que otro. Asimismo, la cosa percibida es indefinidamente discernible: sería necesaria Ulla palabra diferente para cada círculo, para cada símbolo, para cada árbol y para cada paloma; y además Ulla palabra distinta para ayer, hoy y maüana; y además una palabra diferente, según si el que la percibe eres tú o soy yo, si UllO de nosotros está enojado, o enfermo, y así hasta el infinito.

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Una extrema consecuencia del empmsmo es el sentido totalmente hundido en el ruido, el espacio de la comunicación como granular,9 el diálogo condenado a la cacofonía: el transporte de la comunicación es transformación perenne. Entonces lo empírico es, estrictamente, el mielo esencial y accidental. El primer "tercer hombre" a excluir es el empiris­ta, el primer tercero a excluir, es lo experimentado; y ese demonio es el más fuerte de los demonios, porque basta abrir los ojos y tener los oídos alertas para ver que es el amo del mundo.lo Y entonces, para que el diálogo sea posible, hay que cerrar lo ojos y tapar los oídos ante el canto y la belleza de las sirenas. Al mismo tiempo eliminamos el oído y el ruido, la visión y el dibujo siempre frustrado; con el mismo movimien­to concebimos la forma y nos entendemos. 1'; así, una vez más, el milagro griego, el de las matemáticas, debe nacer al mismo tiempo -tiempo histórico, tiempo lógico y tiempo reflexivo­que una mosoña del diálogo y a través del diálogo.

En el platonismo, la relación de un método dialéctico­en el sentido de comunicación- con un diseño progresivo de las idealidades abstractas en el estilo de la geometría no es un accidente de la historia de las ideas, ni un episodio en las decisiones voluntarias del filósofo: está inscripta en la naturaleza de las cosas. Despejar una forma ideal, es

9 De ahí que sea visible que si se admite el principio de los indiscernibles, entonces las mónadas ni se escuchan ni se entienden, no tienen puertas ni ventanas, implicancia que Leibniz volvi6 coherente. Si Zenón tiene raz6n, los Eleáticos están condenados a callarse.

10 Y, como se ve bastante en cualquier discusi6n entre un empirista y un racionalista -Locke y Leibniz por ejemplo-, el empirismo siempre tendría razón si no existieran las matemáticas. El empirismo es la filosofía uerda.dera. desde que las matemáticas están entre paréntesis. Antes de que éstas se impongan y para que lo hagan, es necesario no querer escuchar a Protágoras y Calicles: ellos tienen raz6n. Pero mientras miÍs raz6n tienen, menos se los entiende: terminan por no hacer más que ruido. El argumento que Leibniz le opuso a Locke -"usted no sabe matemáticas"- no es un argumento ad hominem, es la única defensa 16gica posible.

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independizarla de la experiencia y del ruido; el ruido es lo empírico del mensaje, así como lo empírico es el ruido de la forma. En ese sentido, los diálogos socráticos menores son prematemáticos con el mismo derecho que Wla medida como el bancal de trigo en el valle del NiloY

La querella entre antiguos y modernos

Estábamos resignados a la difícil idea de que el rigor evoluciona. Ahora tenemos que aceptar que nuestras re­flexiones acerca de él también lo hacen. Como las mate­máticas, la epistemología tiene una historia. Las confe­rencias que Edouard Le Roy pronuncia en el Com~ge de France, en las dos primeras décadas del siglo,12 trazan -va/entes nalentes- el dibujo de la fase precontemporánea de esa historia. Su proyecto es poner en evidencia la pureza de un pensamiento eminentemente estable. Para nosotros, el resultado es expresar las vacilaciones de un devenir.

De hecho, en el mismo momento en que habla ese pensador, las matemáticas no terminan de ser sacudidas por la famosa crisis. Recomponen pWlto por pWlto la faz que nos es familiar desde no hace mucho. Esas lentas y poderosas novedades no se adquieren por acumulación lineal de descubrimientos y de pequeños progresos parciales, sino,

llSe podría objetar que la cacografía de un círculo y la de una letra no podrían resolverse entre sí. Por el contrario, desde la invenci6n de la topología sabemos que existen, con respecto a la medida, idealidades anexactas con el mismo título que las exactas. Así que hablamos de lo contrario de la impureza: hablaríamos meramente de la impureza al intentar plantear el problema de la cacografía en una forma anexacta. Esto ya sería más difícil, pero nos haría salir de este estudio: en otro lado algo dijimos sobre eso. Por lo demás, Leibniz asimila las dos formas, grafo y grafismo, en un diálogo de 1677 (Phil., VII, 191).

12 Edouard Le Roy. La Pensée mathématiqllc pureo Presses Universitaires de France, 1960.

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como sucede con frecuencia, según un reajustamiento global del sistema, de las condiciones iniciales a las realizaciones más sutiles. En tiempos en que ese nuevo perfil emerge del fondo de las antiguas perspectivas, Le Roy medita como filósofo y técnico de alta competencia sobre una matemáti.ca: en absoluto sobre la de su tiempo o la de los investigadores de su época, más bien en la que lo precede inmediatamente, y a la que la conservación universitaria y las necesidades pedagógicas daban ese aspecto de perennidad, gracias a lo cual era posible considerarla como la matemática.

Por eso ese libro ya es producto de un desfasaje; que se publique en nuestros días designa vagamente otro, más sutil tal vez y más dramático. En derecho, el primero escapa a la crítica: después de todo, cada uno tiene libertad para describir la disciplina que quiera, en el estado sincrónico de su elección, de acuerdo con la mosofla de su preferencia. y ese derecho subsiste, incluso si, en el transcurso del análisis, suena la hora en que la historia invierte su curso. Medidas con cualquier otra vara, ¿cuántas epistemologías resisti­rían? Y esa dehiscencia es todavía familiar a una generación que se hizo de las matemáticas la idea de que precisaban estudios especializados no caídos en desuso hasta poco tiempo atrás, súbitamente inmersos en medio de los "mo­dernos", ante la evidencia de un edificio oculto por la tradición. Ahora bien, esta vieja idea es precisamente la de Le Roy, cuyo libro representa la conciencia inquieta ante los grandes patronímicos de la nueva. De ahí la sensación de confort que se experimenta al leerlo: ahí están sus clases y la juventud perdida,juventud que en un momento dado tuvo que saber perder. Desfasaje sin gravedad que procura el consentimiento. Pero esa ausencia de gravedad sólo atañe a la historia de las ciencias, toda la epistemología no es otra cosa que descripción. La inquietud aparece a partir de que la metodología reemplaza la historia, a partir de que la descripción cede el turno al juicio normativo. Desde ahí se producen algunas aventuras peligrosas. Así, rula conciencia "moderna" percibe, por ejemplo, las condenas abruptas que

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se pronuncian aquí contra la lógica a la sombra de Brunschvicg. Era la época en que la tradición filosófica francesa daba la espalda a los descubrimientos "logísticos", designando (o malinterpretandol las afirmaciones de Poincaré; momento extraño en que la "lógica" en el sentido que le daban los manuales se burlaba de la Lógica en el sentido de Russell. Que los que se reían hayan después cambiado de campo define las cosas para una o dos gene­raciones de matemáticos, pero todavía no para la mayoría de los filósofos que siguen asumiendo el mismo desfasaje llevado al absurdo y que creen, con esas clases donde la revolución matemática por fin ha penetrado, seguir ense­ñando la "lógica".

Si se lo considera desde la historia o la descripción, ese libro representa un momento; si se lo considera desde la norma, el momento y el desfasaje implican errores signifi­cativos, teniendo en cuenta el órgano filosófico que sirve de apoyo a las descripciones y a los ju.icios. El autor se refiere constantemente a cierto postkantismo, atemperado a veces por un bergsonismo difuso, cualqu.iera fuese ese tempera­mento. Todas cosas que bastan para que definiéramos esa obra como referencia ejemplar, como tipo acabado de una epistemología que en adelante debemos llamar clásica, de esas matemáticas que los especialistas denominan clásicas. Pero precisamente, como la ciencia que Le Roy analiza en muchos aspectos está a punto de virar a lo moderno, ese libro, del que dijimos que promovía el consentimiento, tam­bién procura malestar. Todo sucede como si un conjunto filosófico estable en sus fundamentos propios y sus tradi­ciones históricas se afanase en atrapar Ull objeto en devenir que hasta no hace mucho analizaba convenientemente, pero que poco a poco va dejando de reconocer. Entonces nos empezamos a preguntar si es posible prolongar esa epistemología clásica para dar cuenta de las matemáticas modernas, actualmente llegadas a la madurez: prolongar, es decir, conservar una fUllción designándole un nuevo objeto. En principio, podría instruirnos la comparación entre dos

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estados de ese objeto, matemáticas clásicas y matemáticas modernas; en lo sucesivo, el paralelo entre la faz caída en desuso y el nuevo aspecto resulta trivial, pero sigue siendo interesante; aWlque sin duda menos que un razonamiento en cuatro términos. Helo aquí: sean, por un lado, las ma­temáticas clásicas y su epistemología tradicional, aquí de­finidas y ejemplares; por otro, las matemáticas modernas y su epistemología posible que queda por definir. La com­paración que precede sólo constituye un primer tiempo. Pero para responder rigurosamente acerca de la prolongación, conviene hacer el paralelismo, dos a dos, entre esos cuatro términos y, particularmente, entre la primera epistemología y las segundas matemáticas. Como veremos, se obtiene entonces un resultado bastante considerable: que esa pro­longación existe, pero que no es otra cosa que una impor­tación pura y simple de cualquier proyecto de la epistemología clásica a las matemáticas modernas, consi­deradas en su generalidad (bajo ciertas condiciones, que son fáciles de plantear). Estas aparecen como una ciencia que contiene en su campo autóctono su propia metodología, su propia "auto-descripción", su propia "lógica", todo en estado positivo. Esa autorregulación interior de un todo riguroso es sin duda la característica más espectacular del novedoso espíritu científico. A partir de entonces, el problema -y la inquietud- consiste en preguntarse, en presencia de esa importación, realizada y tal vez definitiva, si el cuarto término de nuestro razonamiento en sí mismo es pensable: la promoción de una epistemología moderna de las matemá­ticas modernas es Ulla cuestión de posibilidad de existencia más que de contenido, en la medida en que la piensa en el marco de un razonamiento donde es homogénea a la epistemología clásica. Es esa homogeneidad lo que nuestra época debe esforzarse en romper. De manera que el vacío actual de nuestra "lógica" (filosófica) tradicional sería tanto de esencia como de historia, Es dificil soslayar la gravedad de esa cruz.

Se comprende cómo y por qué el libro de Le Roy puede

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servirnos como ejemplo y referencia: está en el cruce de var.ios caminos, donde la técnica se transforma, donde las doctrinas se oponen, donde vacila la historia, donde cambian de horizonte las filosofías. y esto sólo se vuelve visible, si se qu5ere extrapolar de las ínfimas vibraciones de la historia, técnicas y doctrinas que esa obra contiene a pesar suyo. Sólo

¡ esas extrapolaciones permiten plantear el problema ya ci­, tado de la p. rolongación: un corte sincrónico adquiere toda ¡, su fuerza cuando se efectúa en el escalonamiento diacrónico. [,' A partir de ahí no se trata en modo alguno de condenar -

las ciencias se encargan de hacer envejecer irreductiblemente las epistemologías; como si, por alguna astucia de la razón, nuestras reflexiones sobre lo más ri­guroso fuesen las más prontas a deteriorarse; de tal manera que al condenar nos encaminarfamos por la vía que hace posible el error-o Pero ubicaríamos ese nudo complejo y

( prolongado, esos descendientes dobles, productos evolutivos ( del pensamiento riguroso y de su conciencia reflexiva, en f' cuyo transcurso las certidumbres se transponen y van hacia

su verdad, por esa recurrencia que observaba Bachelard (que sabía profundamente lo que significaba el drama del cambio de lenguaje para la fisica) y entre los que nacen y se anudan diversas relaciones transversales de desfasaje, de error, de importación recíproca. Por el momento, hace falta razonar en cuatro términos, es decir, dos veces dos, cada

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serie se desarrolla sobre su línea diacrónica. Así pensaremos esa querella entre los antiguos y moder­

nos de una manera nueva. A lo largo de la evolución específicamente científica, en la que caben la comparación, la lucha, la victoria, la paz, se alzan en el horizonte unas matemáticas ya modernas-modernas, que vuelven clásico 10 nuevo.13 De manera que una epistemología de nuestras

" cr. Un artículo reciente extraído de Crítica: ''Bourbaki, ou la mathématique de demain [Bourbaki o las matemáticas del ma­ñana]." Ahora bien, ¿cuántos mi.Bmbros de esa ilustre asamblea son conscientes de que se trata de las matemáticas de aYel'?

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matemáticas también sufrir.ía el desfasaje observado en Le Roy. La historia va tan rápido que el filósofo queda siempre como el clásico de unas matemáticas modernas; de un modo irresistible es reenviado a la historia y "rápido" es una mala palabra. Porque, a medida que se producen los descubri­mientos, el poder de los métodos se refuerza de tal manera que habría que hablar más bien de una aceleración del devenir. A lo largo de la evolución epistemológica se produce un desvanecimiento progresivo de su problemática original, y la importación progresiva de ésta hacia el arte y la técnica puros; y, por su intermedio, desaceleración del dinamismo para la invención, esLTechamiento del campo de análisis, con respecto a los antiguos métodos y a sus proyectos anteriores. De ahí Wl entrecruzamiento curioso entre las verdades científicas y las verdades epistemológicas: mientras las primeras evolucionan, se extienden y se refuerzan, según ese drama nunca terminado de los rigores, las segundas condenan, absorben, o vuelven vanas las intenciones re­flexivas que las preceden en ritmo. Es instructivo ver en qué medida la conciencia cientHica sigue siendo buena con­ciencia ante la transformación de sus verdades, que la gente siempre cree fijas y definitivas; mientras que la conciencia filosófica no puede, cuando percibe que había errores endé­micos en un punto de vista reOexivo acerca de la verdad en devenir. Esto sólo puede conducir a pensar, con un giro nuevo, en el tipo de verdad que por lo general exhibe la reOexión epistemológica; y así redoblar la cuestión de la posibilidad de una epistemología moderna.

A lo largo de esas extrapolaciones necesarias, la óptica "recurrente" impone, entonces, un juicio acorde al desfasaje y la actualidad; como máximo, acorde a lo falso y 10 ver­dadero. Pero al considerar el estado de la ciencia realizada, y no la que se está realizando, en el momento anterior a los análisis de Le Roy, es decir, al ubicarse en un pWltO de vista sincrónico, se está obligado a subrayar la nitidez perfecta de la descripción técnica. La investigación, de tan paciente, llega a ser lenta, la precisión es fina hasta el puntillismo.

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Los ejemplos científicos están bajo el dominio de una lengua pura y segura. Podríamos decir que se trata del mejor de los casos: es el monumento de la epistemología tradicional por las razones ya evocadas, pero también como [arma cualitativamente acabada. Las matemáticas clásicas en­cuentran ahí su excelente -y último-- filósofo.

¿Pero qué es lo esencial en éstas últimas? Lo esencial, es decir, lo que tienen de puro, supone "la conc.iencia de la razón como operadora". (Desiguamos, al pasar, esa defini­ción de la pureza con referencia al sujeto pensante, eminen­temente característica). Esas matemáticas puras se definen como análisis, con la exclusión de la mecánica, que forma parte de la experiencia, de la geometría que tiene que ver con la intuición cuasi perceptiva, etcétera. Grosso modo, ese análisis, centro de la ciencia, es el defines del siglo XIX: nace con Leibniz, se desarrolla con Euler, Riemann 10 lleva a la culminación, para citar sólo a sus grandes mentores. Según Le Roy, comprende la aritmética, el álgebra (en el sentido clásico), el cálculo infinitesimal y la teoría de las funciones. Esto con respecto a su contenido. ¿Y con respecto a la definición? Hay que descubrir la noción característica, inanalizable, indefinible, invariante, primera, que da a ese campo su originalidad propia constituyéndolo en sistema. Esa noción es la magnitud, mejor dicho, la medida, mejor todavía, el número; y el análisis es ciencia del número. La aritmética domina indiscutiblemente las otras disciplinas e impone cohesión al edificio. Suponiendo que se insista en el orden y no en la medida, sólo importan los órdenes nu­méricamente expresables. La vieja tradición aristotélica y cartesiana se unifica a través del número, concebido al mismo tiempo como forma lógica y como pr.incipio operativo, tipo y fuente de llilmovimiento original de pensamiento. Lo que en el campo técnico descrito se denomina aritmetización del análisis, tiene su modo correspondiente en la reflexión epistemológica que lo ausculta. Esa concepción bifronte permite tejer con un solo movimiento una génesis lógica y una génesis reflexiva del pensamiento matemático (Le Roy

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usa la expresión "genealogía operatoria"). De manera que el número es primero dos veces.

y entonces su examen debe darnos las claves y los secretos. Las matemáticas (clásicas) son análisis; éste es ciencia del número. Partiendo de eso, debemos encontrar todo lo demás: "decimos que hay posibilidad de construir lógicamente todo análisis a partir de la sola noción de número entero, carácter operatorio de esa misma noción" (señalamos al pasar hasta qué pwlto hemos perdido el sentido de esas palabras). Y efectivizarlo. Del número en­tero, fuente inicial, parte un haz de generalizaciones su­cesivas: racionales, cualificadas, irracionales, trascenden­tes, complejas (el autor olvida aquellas de los cuaternios de Hamilton); a lo largo de esa genealogía amplificadora, ciertas disciplinas dividen su dominio, y la aritmética desaparece para dejar lugar al álgebra (clásica), que, como ciencia de transición (y bastante bien definida como estuvo de las operaciones inversas sobre los polinomios), deja a su vez lugar al análisis: éste solo interviene cuando lo irracional y lo real se definen convenientemente; pues es la "ciencia del contenido operatorio". El término análisis re­sulta ambiguo: designa tanto una parte, como la totalidad de las matemáticas. Pero eso no es un inconveniente. De manera que hay tres ciencias del número que se distribuyen a lo largo de las generalizaciones de su objeto. Lo que quiere decir que esas teorías deben su constitución a una manera de preexistencia objetiva: este punto también es caracte­rístico.

Sabrán disculparse estas banalidades. Pero era nece­sario al menos esbozar el esquema de las matemáticas clásicas básicas: que al juicio de cada uno muestre simple­mente lo que de ahora en más debe olvidar, así como la juventud que debe perder. Además constituye la infraes­tructura global de los análisis del libro. Así planteadas las cosas, el autor prosigue el plan cuya importancia histórica no es desdeñable. Efectivamente, establece el último punto en vísperas de la reconstrucción "moderna", el último corte

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sincrónico en las matemáticas clásicas. y a través de las tres ramas del análisis (teoría de las funciones, análisis del orden, análisis del continuo), en base a sus resultados principales, es posible leer en ese corte a partir de dónde los modernos van a reconstituir el edificio total: "Es preciso clasificar los distintos tipos de objetos, los distintos tipos de relaciones. Noción general de relación funcional, a la que podemos remitir todo. Teoría de las relaciones. Cuerpos operativos: cierre. Clasificación de los grupos. Invariante. Lo esencial sólo depende de la estructura o de la composición del grupo. Isomorfismo, etcétera". El texto agrega: "Esa es una perspectiva para concebir y organizar toda la ciencia." A fin de cuentas, es como si una descripción de conjunto pusiera en evidencia cierto campo que, de terminal y sin­gular, se conviertiera en universal y principal; lo cual es una constante en la historia de las matemáticas. Ya se trate del problema de las tangentes, de la teoría de las transversales o de la noción de grupo, parece que resultados y problemas considerados primero como parciales, o como más finos, a veces se vuelven condiciones generales de reestructuración del edificio global. De ahí el interés de este corte sincrónico: conlleva los elementos de la recomposición del sistema, de acuerdo con normas y principios distintos de los que pone en juego para desarrollarse. En principio creeríamos que, partiendo de un elemento del que ya se dijo bastante que era el primero, ese plan distribuiría campos homogéneos, y constantemente referidos a esa prioridad; ahora bien, no es así. Yal acercarse a su finalización, la distribución alcanza principios que son primeros a su vez. De manera que hay que recomenzar, dar vuelta como un guante el plan pro­puesto, extrapolar la diacronía para comprenderla. En esto reside el fin de una historia, que lleva en sí todas las condiciones para recomenzar.

Todo lo que se ha venido diciendo significa, en parti­cular, que el progreso matemático no se constituye sola­mente por la acumulación de descubrimientos y la ampli­ficación de la teoría; ni por la deducción pura y simple a lo

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largo de uno o varios troncos hipotético-deductivos. Sino también, y sobre todo, por avances de reestructuración general de la teoría misma: la profundización, en un mo­mento determinado, de dicho campo, puede desembocar en la evidencia de prioridades nuevas con vocación de clasi­ficación y sistematización. Nos arriesgamos a decir que las matemáticas van hacia sus propias prioridades, así como vienen de ellas. No es tan paradójico como parece, porque con frecuencia el desarrollo deja estable el sistema como tal. Hay simultáneamente evolución y arquitectura. Si cons­tantemente hay que avenirse con la historia y el sistema, con la génesis y la norma, sólo es posible pensar el desarrollo en términos de reconstrucción continua. Y de este modo las verdades sincrónicas se enlazan en una red concisa en cuanto a las verdades diacrónicas: en un momento dado tal o cual prioridad designa, para mañana, una prioridad que la fundamente.

De ahí proviene un nuevo desfasaje que podría explicar el primero. Ya no es tanto el epistemólogo, situado en el tiempo, quien se encuentra desfasado con respecto a la ciencia, sino ésta con respecto a sí misma, las matemáticas constituidas institucionalmente y las matemáticas vivas y en devenir. En equilibrio entre dos centros de gravedad posibles, el antiguo y el nuevo, doncle el último designa y el primero elige, el plan de Le Roy no es tanto un sistema como un compendio de historia. ¿Pero no está ahí precisa­mente el destino de toda "planificación" matemática? Esa podría ser seguramente la definición de los Elementos de Euclides, admirados durante mucho tiempo por su estruc­tura, concebidos desde ahora en el doble sentido de la palabra "monumento". Tan fuerte es el empuje hacia ade­lante, tan esencial a las matemáticas su prospectiva, que cualquier esfuerzo de sistematización va acompañado por una recuperación recurrente del pasado por el presente, y de un intento de programación que cleja abierta la superación por venir. Está muy bien hablar de Elementos como Euclides y Bourbaki, o de Programa como Klein,

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también lo está yu.xtaponer Elementos de historia con Elementos didácticos. Dicho esto, el plan de Le Roy es lo contrario de Ull programa, en el sentido de la ceguera ante los desarrollos por venir y la preocupación centrada en la sistematización de lo constituido: lo que podríamos llamar la malinterpretación euclidiana, que consiste en considerar las matemáticas como algo cerrado, en reconstruirlas (lo cual está bien) sin tomar conciencia de que existe una historia residual que por Wl lado colabora y, por el otro, se resiste contra el sistema. En este sentido, Le Roy es un "comentador" como podemos imaginar que lo era Euclides, aWlque ambos tienen proyectos disti.ntos. Partiendo del sistema tropiezan con la historia, es decir, con el movimiento interior del sistema.

De ahí las dudas del filósofo que medita en plena revolu­ción. Rechazar el abandono de una prioridad tan segura como antigua, mientras se adivinan las nuevas, permanecer ligado a los epónimos banales cuando se hace el balance de acuerdo a la victoria, ¿no es rechazar la posibilidad de ir a la fuente bajo pretexto de que se viene de ella? Se trata de ver el movimiento complicado de la ciencia según la apertura y el cierre, el sistema y el movimiento. Conservadurismo o dogmatismo, como se quiera, siempre se explican por la yjsión mutilada de un estado de hecho más general o más complejo: por el olvido de la extrapolación.

Se dice que las desgracias nunca vienen solas. Las matemáticas modernas fallan en el momento más cercano a su triunfo, en el instante mismo de la mutación de prioridades. Pero ese momento es también el que precede al tiempo de la importación de problemas de la epistemología tradicional a la lógica moderna: el rechazo a esa importación hace fallar entonces la lógica. Aquí no se trata de ceguera o de insuficiencia de visión: el problema se reconoce y se circunscribe la lucha. Que sea reciente no impide que sea desesperada: todos los argumentos son uniformemente débiles. Por ejemplo, la intención lógica se rechaza constantemente según la inutilidad, la complica-

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ción, la redundancia y la pasigrafía. Y es cuestión de risa: en Burali-Forti han sido necesarias veintisiete ecuaciones para definir el número uno. Mucho para poco. No podemos pensar que Le Roy no haya tenido conciencia de la debilidad de ese argumento "estético" (repetido en todas partes) que vuelve al antiguo principio de maximis y minimis y que yerra en cuanto a la noción de simplicidad: porque la simplicidad del encadenamiento lineal no es la de los ele­mentos primeros ¿Cuántas series de proporciones se pre­cisan en la geometría elemental para establecer una verdad, consumada en una línea por métodos más fuertes? Esto no impide que el rigor se burle de la extensión de ese proceso. Además, si el número es simplemente lo primero en el sentido de Le Roy, no obstante, se lo analiza durante doscientas páginas antes de comenzar a matematizar efec­tivamente; también esto es extenso y, efectivamente, inútil: el argumento invocado se vuelve contra su autor. Y así sucesivamente: por un lado, uno se mantiene en guardia contra los intuicionistas, por otro, contra los logicistas, por todas partes contra la logística; se quiere conservar cierta simplicidad, cierta pm'eza, que nada debe a la intuición, lo cual está bien (cap. XV) y nada a la lógica, que es lo de menos. Se quiere así eliminar todas las génesis que no son génesis ret1exjvas: por ejemplo, lo empírico y la lógica; se define entonces una pureza "media" a la que se denomina creación operatoria de la mente. Y, para preservar ese campo, voluntariamente se evitan todos los problemas electivamente epistemológicos, es decir, aquellos que real­mente implican decisiones sobre el método, el objeto y el conjunto de las matemáticas. Es el momento preciso de la importación: todos los verdaderos problemas abandonan la epistemología madre, la que creyendo retenerlos define un campo de verdad que, de pronto, se percibe como vacío. Entonces, la discusión, el diálogo interior del campo explota y se vuelve querella entre escuelas técnicamente matemáti­cas. De ahí esa asombrosa imagen histórica. Por un lado, unas matemáticas de las matemáticas provenientes de es-

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cuelas distintas, cada una de las cuales toma decisiones por su propia cuenta (simultáneamente y por fuera de la filo­sofía), incluso respecto al funcionamiento del espíritu. Por el otro, una epistemología tradicional que se vacía poco a poco de su problemática original, siempre vuelta hacia un análisis del sujeto pensante, cada vez más potencial, cada vez menos significativa. Dispersión de los verdaderos pro­blemas. El libro de Le Roy marca el tiempo y las causas de la dispersión. Desde ese momento, ya no hay querella entre antiguos y modernos con polémica en torno a la filosofía: hay polémica entre antiguos y nuevos matemáticos y entre los modernos lógicos. La epistemología queda fuera de circuito. En la medida en que conserve su intención tradicional, no deja de estarlo.

A nuestro entender, dos son los motivos por los que la epistemología clásica se suprime de las matemáticas mo­dernas y de la lógica matemática: el rechazo de una mu­tación de prioridades en el primer caso, el apegamiento al análisis reflexivo en el segundo, que oculta el transporte efectivo de los problemas de la epistemología a la técnica científica. En ambos casos, se trata de origen y de funda­mento: se permanece en la prioridad numeral en cuanto al edificio, y en la prioridad del sujeto operante en cuanto a su justificación.

Todo esto es mny significativo de 10 que pueden ser, en matemáticas, progreso, descubrimiento, desarrollo históri­co, leyes diacrónicas. y es necesario captar lo que aquí llamamos número, 10 que llamamos antiguos y modernos, de nuevo como un caso particular de Ul1a constante original en el progreso matemático. Para persuadirse de eso, basta elegir un problema cualquiera, completamente ajeno a nuestras preocupaciones actuales y seguir su historia. Al azar tomemos un problema clásico de geometría tal como se encuentra en Pappus. Chasles provee su historia en Aper¡:u (328-329). ¿Qué indica ese desarrollo? Precisamente, una generalización continua de sus condiciones iniciales y ele sus soluciones; pero, aquí y siempre, esa extensión es una

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profundización; de tal modo que una vez hallada la solución más general, se descubre que se ha puesto en relieve la mejor profundización de las condiciones iniciales en sí mismas. La huida hacia lo general es movimiento hacia la verdad del principio: así la historia da vueltas y el fin se convierte en origen, el fin histórico se vuelve origen esencial. El broche final que pone Poncelet a ese problema de Pappus es simultáneamente terminación y comienzo. Por el ago­tamiento en extensión de un problema, se descubren las condiciones para una nueva geometría. El genio matemático es generalización, es el genio del movimiento hacia la verdad del origen. Generalizar es justificar. Se dice mucho de las matemáticas cuando se pronuncia la expresión "a parte post". "Seguid, seguid, la fe llegará", en cuanto a la compren­sión; "generalizar es justificar", en cuanto a la verdad; "volverse", en cuanto a la historia; por último, "reorganizar", con respecto al sistema. De ahí el reflujo de los "modernos" ( el más fuerte que haya conocido tal vez la historia de las matemáticas) respecto a la construcción presentada por Le Roy. Sus ramas terminales son puntos de vista profundos y verídicos bajo los que se puede abarcar todo nuevamente. De manera que no hay progreso decisivo y descubrimiento verdadero que no sean querellas continuas entre antiguos y modernos, que rompen profundamente la continuidad de las pequeñas acumulaciones de series parciales de resul­tados deducidos. Entonces, se invierte el orden, se rediseña el aspecto, se habla IDl nuevo lenguaje. En 10 que nos concierne, sería bueno establecer un modo de "diccionario" comparativo que pusiera atención al dialecto clásico y la lengua moderna: lo cual revelaría ese corte, esa dehiscencia, esa inversión. Cada vez que, en la historia de las matemá­ticas, se hace necesario ese diccionario, se produce un inmenso nivel de progreso, una aceleración del movimiento hacia la extensión y, simultáneamente, hacia la verdad. El verclaclero descubrimiento matemático se apoya en su conjunto, es reconstrucción; el progreso matemático es la sucesión de esos reajustes.

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Esa generalización del número sirve entonces como principio de construcción de las matemáticas clásicas; también sirve de índice para apreciar su movimiento y su progresión. Evidentemente, sería interesante comparar esa clave con ciertas claves de las matemáticas modernas y de ese modo confrontar su construcción respectiva. Los re­sultados de esa comparación son bastante numerosos, de­masiado como para ser retomados en el marco presente; de todas maneras, es mucha su simplicidad y están en mente de todos.

Sin embargo, podemos detenernos en las observaciones más extensas. En particular, subrayar los distintos des­plazamientos de teorías en el conjunto de las dos cons­trucciones: por ejemplo, los distintos problemas que Le Roy clasifica bajo el rótulo de "análisis" se redistribuyen en todos los niveles de la construcción moderna. Lo que se refiere a las teorías del infinito es repuesto, en líneas generales, en la teoría de los conjuntos; los problemas enumerados bajo

;. el rótulo "teoría del orden" se reponen bastante natural­mente en el álgebra moderna; en 10 que hace al análisis de las funciones, éste se encuentra a la vez en álgebra, en topología, en teoría de la integración, etcétera. Lo mismo para los problemas enumerados bajo el título "álgebra": se los encuentra en teoría de los conjuntos, en álgebra, en topología. Por 10 tanto, hay cruzamientos considerables y redistribuciones; cuando dijimos que lo terminal se con­vertía en ini.cia 1, sólo era verdad en líneas generales: de hecho, la recomposición se efectúa en numerosos sentidos. Entre los dos cortes sincrónicos así practicados hay aso­ciac.iones complejas y entrecruzamientos.

Lo anterior puede inducir a la falsa idea de que el solo desplazamiento de los problemas y de las teorías basta para expresar la diferencia entre las dos matemáticas; de que sólo se trata de un rompecabezas recompuesto, de la reconstitución de un sistema por un cambio de situación entre sus elementos. De hecho, la diferencia se refiere al carácter mismo que preside su construcción respectiva, a la

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idea general que está en juego en su movimiento. Analizar esa idea, describir ese carácter sería una larga

tarea. Lo que se puede hacer es referirse a un índice revelador. Este podría ser el tipo de generalidad enfocada y obtenida por cada una de las matemáticas. La primera presenta un movimiento de generalización, que describimos con Le Roy. Con mucha precisión podemos decir que ese movimiento no es otra cosa que una expansión continua de un campo ele partida objetivo: las distintas representaciones intuitivas de esa expansión son bastante elocuentes. El beneficio que se obti.ene en cada etapa de la extensión está relacionado con el análisis de las propiedades de un ser, de un objeto. Se consideran las características operatorias de éste: flexibilizándolas, completándolas, el número-objeto se transforma, se enriquece, invade zonas marginales que bordean y completan la sucesión d.iscreta de partida. El nuevo campo conquistado sólo se descubre por la conside­ración de los objetos que lo ocupan, de sus características operatorias, casi diríamos, de sus atributos esenciales. Pero las matemáticas clásicas permanecen al ras de la experiencia de su objeto ele pensamiento; de alguna manera, son suje­tadas por él, guiadas por las posibilidades que el objeto les ofrece o por las imposibilidades que manifiesta. Con respecto a esto, es esclarecedor su vocabulario histórico: de los irracionales griegos a los complejos, hizo números imposi­bles, falsos, imaginarios, etcétera. El movimiento "longitudinal" de generalización es rula suerte de lucha con tra un ser compacto que se resiste a las maniobras, vuelve impracticables ciertas manipulaciones, y que cons­tantemente hace falta depurar para adquirir la libertad operatoria. Nos encontramos entonces, bajo otro aspecto, esa primacía del número con la que Le Roy hace su dogma: pero esa primacía se experimenta como hipoteca bastante pe­sada, una manera de sujetamiento del pensamiento libre. Cuando por fin esa noción sea suficientemente generalizada, bastante depurada, convenientemente formalizada, cuando las matemáticas hayan hecho su ú]l;imo esfuerzo de gene-

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Talización longitudinal, se podrá entonces teneT atTo punto de vista, dejaT esa estrecha relación con la expeTiencia del objeto, adquirir facilidades, cierta libertad y "desenvoltura" nuevas (para hablar como Merleau-Pontyl, se podrá hablaT por fin de seres cualesquiera sobre los que no se haga ninguna hipótesis previa. El objetivo previo, que era pri­mordial, se experimenta como hipoteca; desaparece. De ahí la relación entre esa génesis y la historia: era necesario llegar a la mejoT extensión "objetiva" deseable para poder pasar a un nivel de generalidad.

Respecto a ese tipo de generalidad "objetiva" y "ex­tensiva", las nuevas matemáticas transforman radicalmente su punto de vi.sta. Había movimiento longitudinal, conquista de campos marginales ocupados por objetos determinados como tales. El tipo de generalidad a la que apuntan los modernos es completamente diferente: se obtiene adoptando un punto de vista tTansversal y regresivo, eliminando las determinaciones objetivas, otorgándose campos que ya no se caracterizan por sus elementos objetivos, sino por leyes propias.

En principio, se abandona para siempre cualquier consideración objetiva determinada. El objeto no es más que el objeto X, el objeto cualquiera. La reflexión pasa del ser a la relación, del objeto a su manifestación, de la cosa al método. No se regresará al nivel ingenuo más que cuando se quiera exhibir un paradigma, un ejemplo o un contraejemplo, en suma un modelo. Y, bajo la estructura relacional estudiada, se agrupan numerosos modelos que esa estructura expresa transversalmente: dios, mesa o \V.c. Los campos así agrupados analógicamente comprenden los campos "numerales" precedentes, ciertamente, pero tam­bién grupos de transformaciones geométricas, etcétera. De ahí el poder organizador, clasilicador de esta nueva óptica, su fuerza de Tecolección que le conliere alto nivel de ge­neralidad. Como diría Leibniz, que puede considerarse como el antecesor de este método, "ya no hay que hacer rodar mil veces la misma piedra": analizando con atención mi manera

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de hacerla rodar, puedo saber de una vez todo lo que me interesa, sin considerar esa piedra en sí misma. Y el ma­temático moderno da al clásico la conciencia de Sísifo. En lugar de repetir teorías particulares, se expresan teorías multivalentes, en campos cualesquiera que se determinan a voluntad variando las condiciones de manipulación. Además de ese movimiento "transversal", hay pues un movimiento regresivo; no sólo se estudia la manera, sino sus condiciones; y el análisis riguroso de esas condiciones acelera el movimiento hacia adelante: reflexionando sobre el método y las condiciones del método, es fatal que se termine entregado al método más fuerte posible. De ahí, ciertamente, una clasificación cada vez más estrecha, pero un desarrollo cada vez más acelerado. Se podría desarrollar esto todavía más; pero, en adelante, no sólo estas constataciones resultan triviales, sino que -como dijimos­es otro el razonamiento que por el momento retiene nuestra atención, el cual es propio del interés del filósofo.

Frente a su antecedente clásico, las matemáticas mo­dernas tienen de singular y característico su intención profunda de tomarse a sí mismas como objeto; y, en par­ticular, como objeto de su propio discurso. Si la epistemología tradicional se define como discurso sobre la ciencia, rápidamente se pone en evidencia que las mate­máticas modernas se constituyen como epistemología de sus propios procesos. Ellas son ese mismo discurso, y ese dis­curso riguroso. Con respecto a la ciencia que las precede, adquieren Ulla nueva dimensión, que sólo se puede precisar a través de la conquista técnica, analítica y lingüística del campo de problemas correspondiente a la antigua filosofía de las matemáticas: por último, pueden plantear y, a veces, resolver, dentro de su dominio autóctono, las cuestiones que antes estaban conl'iadas a un dominio exterior. Por eso sólo se puede hablar muy mal de las matemáticas: ellas hablan de sí mismas con el grado máximo de veracidad y de rigor.

Siguiendo el curso de varios de sus desarrollos, esa conclusión no tarda en imponerse con la fuerza de la evi-

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dencia. Manipula un conjunto de entes y, al mismo tiempo, manipula el conjunto de las maneras de manipularlos o, si se quiere, de los métodos de manipulación. Cuando un método se vuelve el objeto mismo del saber, ¿qué se puede decir de ese saber si no que desarrolla su propia metodología? Ahora bien, es lo que sucede con las mate­máticas de nuestra época, que son matemáticas de la ma­nera más que matemáticas de la cosa, o para las que la manera se vuelve cosa y objeto de pensamiento. La antigua progresión efectiva va acompañada en lo sucesivo de un doblaje "renex.ivo" que se describe, se pauta y se reglamenta al llevarse a cabo, y ese doblaje es la progresión misma del nuevo saber. La reduplicación es aquí de rigor: la topología tiene por objeto las nociones de límite, de continuidad, de proximidad, sin duda; también tiene por objeto las diversas topologías clasificadas según su "fineza", las transforma-

, ciones topológicas y así sucesivamente. Como habíamos señalad o, aquellas se declinan siempre en genitivo: se constituyen sin cesar como matemáticas de sí mismas. Esto es así con tanta frecuencia como sea posible: la lógica moderna, por ejemplo, que pertenece en adelante al mundo matemático, por un lado intenta ser descripción, reflexión, doblaje, regulación, fundamento de esas matemáticas, pero es también todo eso para sí misma: se supervisa, se pauta y se renexiona. Lo mismo sucede con el álgebra, que es regulación y norma de los niveles ingenuos que expresa, pero también regulación de sí. Esa tematización continuada, transversal a su propio movimiento, que expresa las constantes de todas las progresiones ingenuas y hace pro­gresar esa expresión, es tan importante que poco a poco se vislumbra su presencia en el conjunto del edificio. Se podría traducir ese movimiento en los términos siguientes: las matemáticas intentan elescubrir la mayor cantielael ele puntos ele vista posibles que les permitan hablar ele sí mismas. En consecuencia, para afinar nuestro análisis, hay constitución de lila epistemología primero positiva, luego rigurosa, por último generalizada. Volvamos, por ejemplo,

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a nuestra comparaClOn inicial; generalizar la nOClOn de número, a través de los clásicos, implicaba ampliar una noción para volverla maleable de acuerdo a ciertas opera­ciones. La generalización moderna consiste en actuar sobre la operación en general, y esa variación describe campos de objetos cualesquiera. Por un lado, hay generalización de un objeto; por otro, hay generalización "metodológica". Aquí descubrimos el complemento de ese resultado que mani­fiesta que el conjunto de esas matemáticas es una metodología generalizada. Fiel a su espíritu de siempre, las matemáticas, a partir de su importación del campo de las antiguas cuestiones epistemológicas, lo han analizado, lo han normativizado, lo han vuelto riguroso, han hecho variar al infinito su constitución interna. Han manipulado esas cuestiones con todas las libertades de su rigor.

Esta duplicación continua sobre sí misma, que priva al filósofo de la originalidad de su posición, no obstante es altamente instructiva para él Efectivamente, aquí lo im­portante es la iteración de esa vuelta: lo que hace proliferar los niveles de abstracción y de ingen.uidad. Analiza y relativiza esas dos nociones que antes parecían estables: en el orden de la reflexión, tal nivel es abstracto con respecto a otro, concreto con relación al siguiente. De ahí la mul­tiplicidad de maneras de discurrir sobre sí, de tomarse a sí mismas como objeto. Se hojean esos niveles de tal manera que a veces se puede decir ya sea que se experimenta con un paradigma, con un ejemplo o un contraejemplo, ya sea que se reflexiona sobre una estructura abstracta. Hay formación de dos nociones nuevas, la de experiencia ma­temática y de reflexión matemática, ambas tan relativas como las dos primeras.

Así "generalizada" esta epistemología positiva, habiendo dividido su campo de acción en las matemáticas mismas, se carga distributivamente de todos los papeles tradicionales desempeñados por la epistemología clásica. A determinado nivel de abstracción se agrupan gran cantidad de ejemplos del nivel inferior, ingenuos con respecto a él; se agrupan bajo

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una sola perspectiva y se describen transversalmente de manera analógica. Una estructura es, precisamente, el análogo de esos múltiples modelos ingenuos. Entonces, la vieja intención descriptiva de la epistemología clásica es absorbida por esa descripción rigurosa. Gracias a ese es­fuerzo de reagrupamiento y a esa percepción transversal, las matemáticas se constituyen en epistemología rigurosa del conocimiento analógico (buen ejemplo de esto es el famoso teorema del punto fijo, que reagrupa analógicamente una multitud de resultados del álgebra clásica o de análisis: ese teorema es una suerte de expresión general de la verdad de cualquier método de aproximación). En cierto modo, el formalismo es la lengua de esa descripción. Pero esa lengua obedece a leyes, como cualquier lengua: entonces la in­tención descriptiva se desdobla de la intención normativa; y esas normas se expresan, según el sistema, en el lenguaje axiomático y, según la lengua, en la investigación lógica.J.i Esa lengua, esas leyes, esas normas, ese sistema deben estar rigurosamente fundamentados. Aparece así el problema del fundamento. Evidentemente, todo esto está dicho a grandes rasgos y un análisis más fino diversificaría al infinito los

, resultados; siempre que un hecho es evidente: la división de t antiguas intenciones epistemológicas es, de hecho, su rea­l lización efectiva; en las matemáticas modernas, hay

epistemología positiva, y según la descripción, según la norma, según el fundamento. Está claro que la multipli­cación de niveles diferentes permite tecnificar y hacer pensables cuestiones que la epistemología "reflexiva" era

1·1 Para descripción di el ejemplo del teorema del punto fijo; se podría dar, en lo que concierne a la norma., el muy buen ejemplo de las funciones recursivas en lógica. En cierto modo, sirven de índice para juzgar razonamientos matemáticos, según los grados de riesgos que implican. Permiten, de otra manera, exponer, de acuerdo a una clasificación, el juicio normativo. Lo cual, dicllo sea de paso, es una confirmación de esa "filosofía" de la pluralidad de los niveles, vista desde la perspectiva de la norma.

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incapaz de resolver, e incluso de plantear en términos resolubles.

Por tradición y vocación, la epistemología es el lugar donde se debate del modo más particular y preciso el problema filosófico de la verdad; el lugar donde ese problema se proyecta, circunscribe, determina, efectúa. Es el soporte al que toda teoría del conocimiento, cualquiera que sea, está obligada a ir a buscar sus valores.

Ahora bien, resulta que en el estado actual de las cosas es casi imposible definir el tipo de verdad que promueve. Ni su tipo lingüístico de verdad (coherencia de su sintaxis o contenido significativo de su semántica) ni el tipo de su propio rigor (normativo o de fundamento). Desde luego, la epistemología abandonó (y sin duda para siempre) la in­tención normativa y crítica que asumía tradicionalmente con respecto a la ciencia. No le queda más que la vocación y la intención descriptiva. Entonces, la filosofía de las ciencias deviene filosofía de la historia de las ciencias, o historia de las ciencias, o también historia de la filosofía de las ciencias. De manera que se dirige al historicismo: ya sea en el sentido usual, ya sea en el sentido de 11istoria natural, es decir, que deviene una descripción diacrónica o una descripción sincrónica. Además, esa descripción puede ser psicológíca, genética en todos los sentidos que se quiera, incluso vulgarizadora llegado Wl punto, más aún clasifi­cadora, fenomenológíca, por último. Esto es bastante visible desde Comte, al menos en Francia. En adelante, cualquier epistemólogo, quienquiera que sea, es historiador o natu­ralista, en todos los sentidos imagínables.

La tradición aseguraba que todo eso constituía un discurso sobre la ciencia. ¿Pero alguna vez pensó en la gramática, en la mOlfoJogía, en la sintaxi.s, en la semántica de ese discurso? ¿No hay presuntuosidad en arrogarse el derecho de discurrir sobre un lenguaje riguroso sin deter­minar previamente el lenguaje de ese discurso? Así, aliada a la vez de la lengua lógica (menor, formal, moderna ... ) y de la lengua matemática, la epistemología se sitúa en un nivel

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lingülstico indefinible y vago cuando se trata de describir: ese nivel lingüístico no es esencialmente diferente del de la vulgarización o del comentario, en que se pasa de un len­guaje técnico al lenguaje común. Primera dificultad, desde el momento en que el sentido que la ciencia designa se aparta de la experiencia y de la razón comunes, al punto que toda traducción en lengua vulgar es traición. Cuando se trata de norma y de fundamento, ese discurso adopta la lingüística filosófica que le sirve de soporte. Nuevo desfasaje que la epistemología se agota en reducir, ya que lo lleva en sí, desfasaje al nivel de su propio discurso, heterogeneidad entre cuatro lenguas: lógica, matemática, filosófica, vulgar. Obrar con metodología en el senti.do de la tradición, es hablar ese uolapuk que hace referencia arbitrariamente a cuatro campos lingüísticos a la vez, como mínimo. El con­venio epistemológico estaba redactado en esperanto.

Generalizando lo anterior, se define fácilmente la epistemología tradicional como epistemología exterior. Esta situación --cuyo indicio es la distancia entre un discurso lógico-filosófico-vulgar y el lenguaje técnico de los mate­máticos- produjo su fuerza y las razones de su fracaso. Retomemos el ejemplo de Le Roy: el estado de las mate­máticas clásicas en vísperas de la crisis y durante la crisis es tal, desde el punto de vista de las normas y del fUll­damento, que sólo un discurso exterior parecía poder sos­tenerlas. Es necesario dejar la ingenuidad para estar en posición refleA'iva y fundamentad ora: vieja idea de filósofo; en este caso y como es frecuente, hace su trabajo de filósofo, reflexiona sobre un objeto y se separa de éste para hacerlo. Las matemáticas son entonces un sistema que cierra y que cierra solamente la epistemología reflexiva. Aunque exte­rior, esa epistemología es inseparable de las matemáticas en lamedida en que, en la primera, se determinan -o más bien se plantean- problemas pendientes -o más bien olvida­dos- de la segunda.

Desatada la crisis o, mejor, para desatar la crisis, salen a la luz técnicas nuevas, en el momento mismo en que el

il:.

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panorama descrito puede llamar la atención por su perfec­ción. Su diseño global es cerrar las matemáticas de manera autónoma, discurrir sobre ellas a partir de ellas mismas, en una lengua muy próxima a la suya. Así parecería que las técnicas deberían absorber e.1 conteni.do de la epistemología exterior y, más aún, su intención y su actitud, sólo vari.ando en relación a su situación, definiéndose como epistemología interior. Esta situación permite a los lógicos modernos economizar con la lengua filosófica y la lengua vulgar (es decir, vulgarizadora), sin tener que reducir el viejo desfasaje lingüístico: y como las nuevas técnicas se desarrollan en un lenguaje que es natural a los problemas evocados, hacen con mucha facilidad la teoría de ese lenguaje, algo trabajoso para el discurso artificial de la epistemología exterior. El libro de Le Roy marca el tiempo del encuentro ylos episodios de la lucha entre esos dos tipos de reflexión, intencional y tecnificada, el momento del pasaje de una situación a la otra. Finalmente, lo que está en juego es el genitivo de la defi­nición: ¿la ciencia de la ciencia partió de la segunda o de afuera de ella?

Se nos objetará que es excesivo reducÍT a un deslizamiento de situación el debate entre la metodología clásica y la lógica moderna. Sin embargo, mantenemos que se desenvuelve (que se desenvolvía, ya que está aplacado) sobre un terreno común, lo que aquí se pone en evidencia. Vimos cómo la filosofía tradicional de las matemáticas describía, normatizaba, fimdamentaba. Intentaba decir qué es la ciencia, cómo se desarrollan objetos, métodos, historia: el epistemólogo era el naturalista, en el sentido de la historia natural; dibujaba la anatomía de su constitución, la fisiología de sus funciones, el cuadro de su evolución (cronológica, genética, psicológica, reflexiva). y entonces la "naturalizaba": 10 suficiente para que al menos su des­cripción no repercutiera nunca en el objeto mismo, para que su discurso no revivificara las estructuras metódicas: lo que dice la palabra "exterior".

La auto descripción que ejecuta la epistemología interna,

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por el contrario, tiene un impacto de importancia fundamen­tal en el objeto descrito: lejos de estabilizarlo, de naturalizarlo, lo reconstituye, lo revivifica, lo reestructura. En este sentido, el álgebra moderna es una autodescripción matemática de las ingenuidades clásicas: indica la esencia operatoria, lo que la metodología clásica intentaba hacer (el terreno es común), pero convierte esas esencias, esas es­tructuras en objetos de su jurisdicción matemática y pro­sigue su camino. Entonces resulta ciencia moderna de la ciencia clásica que naturaliza en un sentido, pero que sin embargo revivifica, profundiza y prolonga. Las teorías inge­nuas clásicas se vuelven modelos de la ciencia estructural; aquí la palabra modelo tiene el sentido de paradigma para una abstracción, lugar en el que la estructura se realiza y se reneja: se mira a sí misma como realizada. La ciencia clásica era el modelo del epistemólogo, como tal atleta fue el modelo de Praxiteles o tal insecto el modelo de los dibujos entomológicos de Fabre: se los mira para tomar de ahí el dibujo, el calco, el esquema. Pero dibujada la plancha, el modelo se describe y no se asume. Sucede lo contrario cuando se trata de una autodescripción.

De ahí proviene nuestro debate sobre el genitivo: la ciencia de la ciencia es Ulla duplicación de ésta sobre si misma, una cuasi reflexión, y no la separación de Ull dis­curso y de su objeto. Ya no hay más terreno exterior a los mathemata. Adquieren puntos de apoyo sobre la huella de su propio movimiento. o, si se qlÚere, ya no hay pensamiento que sobrevuele por encima, el pensamiento se apoya en su propio vuelo. La ciencia de la ciencia no es más esa refe­rencia exterior universal, ese polo donde converge la red de todas las longitudes. Es asunción interior y reflexión re­gional. No es la primera vez, hasta donde sabemos, que la meditación contemporánea se encuentra con esta idea de referencia autónoma y autóctona de reflujo de la clescripción de un movimiento hacia el movimiento mismo. Y mientras más cerca estoy del objeto descrito y soy llevado con él en el mismo proceso, más mi discurso es homogéneo en su

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forma y fiel a su esencia, pero también más lo transformo y lo elevo en el desan'ollo mismo de mi discurso: en cierto punto, la autodescripción de la lengua matemática por sí misma es reactivación, reestructuración, promoción. Es matemática y no en el campo de la evidencia, sino en el del pensamiento ciego y formal. Y, para volver al movimiento, está muy claro que esa duplicación reactlvante es una de sus fuentes. Se ha dicho que el origen de las matemáti.cas residía en su fin; quizá se podría decir que reside -como origen dinámico, no objetivo último, sino motor- en todo momento, en cada instante del movimiento hacia ese fin. Hay, enton­ces, en la región matemática, una ciencia de sí misma que es heudstica y sigue siendo descriptiva.

Cosa rara en mosofía, el deslizamiento de la intención metodológica hacia el elevado tecnicismo de una ciencia permite juzgar el estricto valor científico de la antigua intención. En el libro de Le Roy, la epistemología clásica se encuentra con tentativas logísticas y las somete al tribunal exterior del análisis reilexivo; el deslizamiento realizado y la toma de conciencia que tiene lugar de la duplicación de reflexión, de sutiles sustituciones, transforman al pretorio: el juez se convierte en el procesado y el acusado hace comparecer. Para la metodología clásica, la lógica moderna era inútil, complicada, redundante; a los ojos del lógico, la antigua epistemología es menos que inútil, falsa. Ese juicio es pronunciable en la medida en que los mismos problemas están aquí concernidos: es necesario usar entonces la misma vara para examinar el valor científico comparando las dos intenciones. La lucha que emprendió Le Roy fue Ulla buena guerra mientras reinaban las matemáticas clásicas; la lu­cha, de hecho, según la diacronía, era desesperada. No sólo se perdió el combate, sino todo el conflicto: la epistemología clásica está muerta. Pero revive en otras partes, bajo cielos transparentes.

* * *

LA COMUNICACION 77

Ya en tiempos de Le Roy, el tipo de verdad de la epistemología no puede ser más que de orden histórico­descriptivoY Ya no es más ciencia de las ciencias, sino discurso en u.na metalenglla, a propósito de cada lengua particular, de cada región del saber. Cada epistemología regional se expresa en una suerte de metalengua filosófica sobre la región científica que describe. El problema es el siguiente desde entonces: ¿cuál es el valor, cual es la co­herencia, cuál es el sentido, etcétera, de esa metalengua epistemológica? Sobre todo, ¿cuál es su relación precisa con el discurso del saber del que habla? En lo que concierne a la región matemática, la respuesta a esa pregunta es ab­solutamente perentoria: esa metalengua epistemológica no existe ele manera original y necesaria. Porque las matemá­ticas mismas disponen ele suficientes metalenguas para hablar ele ellas, para describirse, e incluso fundarse. En otras palabras, si el tipo de verdad de la epistemología ya no es más que de orelen descriptivo, ese tipo de verdad se

15 El problema al que nos referimos, después de todo, no es diferente del que se plantea, en general, paJ'a cualquier comentario, y, en pm·ticular, para cualquier comentario literal·io. Que con frecuencia se lo soslaye a través de la mera enunciación técnica de ejemplos convenientemente elegidos no cambia nada la cosa. Así como el comentario literario se ve forzado a elegir, bajo pena de transformarse en un arte incierto de sus propios pasos, entre la historia (definida en todos los sentidos posibles ya alegados) y la ciencia filológica o lingüística, así la epistemología se ha inclinado hacia la histolia por haber perdido poco a poco el sentido de la ciencia 16gica. Sin duda, el destino de todo comentario -y su verdad- es que debe perderse en ese arte incierto o en técnicas que lo rebasan. De ahí, la elecci6n crucial y, ante la elecci6n, esos prolegómenos. ° e.1 epistem610go seguirá siendo ese artista (y ahí se distingue el carácter único de la obra de Bachelard, artista consumado en su propio lenguaje, de la descripción científica y riguroso técnico de la estética), o deberá ser compañero de los filólogos de la ciencia, es decir, de los verdaderos 16gicos. 0, en­tonces, la epistemología no es más que una redundancia, y el co­mentario una repetición.

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expresa en una metalengua que es la lengua de la descrip­ción misma; para que la descripción sea fiel y rigurosa, hay que dominar esa metalengua: por lo tanto, son las mismas matemáticas las que la promueven. y una vez más, la epistemología descriptiva (como la normativa, la fundadora) es totalmente importada al campo de la tecnología mate­mática. La descripción sincrónica es por un lado algo propio de la región en cuestión; incluso llama la atención hasta qué punto la descripción diacrónica interesa a los matemáticos, ya que sólo es una profunda reflexión sobre el devenir de un problema (es decir, sobre un desarrollo interno y su proliferación en extensión) que se llega a captar ya describir con rigor. Entonces, la lógica y las matemáticas modernas, además de ser lógicas, son también metodologías, en el sentido tradicional de esa palabra. Por ejemplo, el álgebra lineal den ues tros con temporáneo s represen ta 1 a metodología efectiva de una cantidad de problemas clásicos que van de los que presenta el álgebra elemental a los que exhibe la geometría pura. Y, ahí también, la intención epistemológica de las matemáticas modernas ha sido la condición y el motor de su desanollo.

Es diGcil ocultar la gravedad del problema. La verdad, a veces, en crueles momentos de la historia, no se conserva más que al precio de la lucidez, de amputaciones, incluso de parricidios. ¿Cuál es, por ejemplo, la lección masiva de las obras de Lautman? Por acumulación de ejemplos similares, se esfuerzan en extraer de ellos "estructuras", "ideas", de est:¡ttuto platónico. Pero, ¡qué tanto!. Los matemáti.cos casi no hacen otra cosa, sin prejuzgar ese estatuto. Cavailles mismo, después del fracaso de Logique lormelle et transcendantale, proclama, antes de su muerte, el retorno a una filosofía del concepto y el abandono de la de la con­ciencia. Es la perspectiva de la ciencia moderna, en el senti­do que definimos. Finalmente, estas son dos extrapolaciones inesperadas de la reflexión de Le Roy.

No se puede entonces plantear el problema de la epistemología moderna más que por referenc.ia a la doble

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diacronía de los problemas y de las reflexiones. Nuestro tiempo es (o ha sido hasta hace poco) un momento de reconstrucción sistemática; ésta sólo fue posible a través de una reflexión de las matemáticas sobre sí mismas, su mé­todo, sus objetos, sus condiciones, en suma, a través de una intersección de las dos diacronías. Es lo que llamamos la formación progresiva de una epistemología positiva en el interior de la ciencia misma. Dicho esto, es imposible prever los caminos de mañana: o las rutas azarosas que Gallois deploraba en pleno siglo XIX, o el refuerzo de la sistematización, de la reflexión; lo que significa, para no­sotros los mósofos, sístole o diástole de esa epistemología positiva. De modo que la imprevisibilidad de los descubri­mientos y de las reestructuraciones a ]0 largo de una de las diacronías nos impi.de extrapolar sobre la segunda.

De todas maneras, se generaliza nuestro problema como ley histórica: en todos los momentos de gran reconstrucción sistemática, los matemáticos se vuelven los epistemólogos de su propio saber. Esa transformación es una mutación que se efectúa desde el interior. Todo sucede como si, en el momento de promoverse a illl nuevo sistema, las matemá­ticas tuviesen necesidad con frecuencia de importar la to­talidad de las cuestiones epistemológicas. Así, a lo largo de un devenir siempre inesperado, se ubican nudos sin­crónicos reflexivos y reguladores.

Todo esto conduce a-aclarar la extraña paradoja, según la cual, los discursos rigurosos son evolutivos siguiendo una línea indeterminable de antemano. No es sorprendente, de hecho, que el observador exterior, que objetiva, naturalice y fije un proceso. Este admite, sin segundas intenciones que las ciencias matemáticas SOl/. rigurosas, que poseen esa virtud como derecho divino. Pero digámoslo de una vez: las matemáticas no son rigurosas, van hacia el rigor. Cada paso muestra que el precedente era menos seguro, cada sistema que se construye actualmente es más sólido que el edificio precedente. Así la verdad modelo es diacrónicamente de­sarrollable, en su cualidad misma de modelo. El rigor es la

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tarea inlinita de las matemáticas. Lo mismo sucede con la pureza: las matemáticas no son puras, van hacia su pureza, que es, asimismo, su tarea infinita. Y, reCÍprocamente, en un momento dado de ese movimiento se percibe desde el in­terior el o los momentos precedentes como dados. Es ahora y sólo ahora que sabemos que el espacio euclidiano es, llegado un punto, el de la técnica, que su geometría es la de los maestros mayores ele obras. La óptica recurrente de los modernistas de todas las épocas ya no es un historicismo común que consistiría en privilegiar la idea y la moda del momento; es un reordenamiento fundamental que presenta los dos cuadros, diacrónico y sincrónico, como los mejores posibles, de acuerdo con la verdad, el rigor y la pureza.

En la realización de esas tareas, no hay que dejar ele observar las continuas tentativas que esa ciencia asume para cerrar su propio campo, como si no hubiera mejor norma que ese .cierre. Y siempre los mejores cierres se descubren en las estructuras más generales. Así, con Ul1

mismo movimiento, su dominio se amplía, se profundiza y se cierra. Las fronteras se hacen más mnplias y fuertes. Ejemplo: para hacer rigurosa la vieja idea leibnitziana de derivada de cu.alqu.ier orden, impensable según el cálculo diferencial clásico, no hay otro medio que generalizar la idea misma de función. y elefinir la noción de distribución.. Se va a buscar en lo extensivo el fundamento ele la anomalía singular, se alcanza lo riguroso por ampliación del campo: pero esa extensión supone un nuevo cierre. Las matemáticas son una teoría amplificadora y cerrada sobre sí misma.

No pueele entonces aparecer, según el último ele los cortes sincrónicos, más que como el conjunto ele pensa­mientos más general y el mejor cerrado posible; esto, en cuanto al observador exterior, un universal normado cuyas génesis históricas y arquitectónicas son en adelante cohe­rentes. Constituye una suerte de "psicoanálisis" el el epistemólogo. El matemático, hay que decirlo, tiene y no tiene esa óptica; al menos el que investiga, para quien la ciencia no es institución elel pensamiento o de la ciudad. No

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hay duda, "habita" su sistema, pero lo percibe también como un dominio abierto y libre; no existe para él sólo la necesidad de un acabamiento, sino sobre todo esa desenvoltura ebria de lo no terminado, de lo mal cerrado o de la construcción que hay que retomar. Elige libremente sus caminos y vías en el entrecruzamiento complejo y transparente de una red y de un laberinto luminoso. El punto de vista de la epistemología -y el libro de Le Rayes una brillante con­firmación de eso- se refiere no sólo a una ciencia histó­ricamente detenida, sino gnoseológicamente constituida. No tiene en cuenta esa libertad del proceso hacia el rigor.

Por su intermedio se encuentran profundizadas nocio­nes que pronto serían más que históricas. Que la epistemología se encuentre constantemente de este lado, que maüana los objetos sean otros, más generales y puros, y mejor fundados, es una cosa. Pero que el desfasaje en cuestión sea de esencia, es otra. Y esto por la sencilla razón de que el rigor está en el movimiento y se 10 busca a través del devenir. El punto de vista exterior de la epistemología clásica no permite entonces la adecuación a lo actual, en todos los sentidos posibles: según la historia, según la lengua, según la constitución. La descripción exterior no capta más que un rigor de segundo orden y como muerto. Dos veces aparece en la epistemología la necesidad de ser inmanente a la ciencia misma, y nuestra demostración se cierra a sí misma: el filósofo no puede sino "descender" hacia la ciencia donde lo espera, como vimos, una epistemología. Así queda defini.da la intersección de la que hablábamos.

Parece que se hubiera demostrado -o al menos cons­tatado- que las tareas de la epistemología tradicional o clásica desaparecieron, como originalidad de la intención filosófica. Desde entonces,las matemáticas se autodescriben, intentan autofundamentarse, están reglamentadas o in­tentan reglamentarse. En suma, poco a poco, forjaron todos los instrumentos convenientes para esa regulación autóctona. Entonces, si es verdad, según la tradición, que el estudio epistemológico es una propedéutica privilegiacla

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a la teoría del conocimiento, también lo es que esa propedéutica se constituye, por el momento, fuera de la filosoña y s.in ella. Nuestra época asiste a la formación de una epistemología positiva. Por otra parte, el fenómeno no parece únicamente reservado a las ciencias matemáticas, aunque éstas dan el ejemplo más acabado. Se percibe en todas partes la formación de una actitud reflexiva original, transversal con respecto ·a los actos y procesos científicos, que toma conciencia de esas actividades como tales, desli­gándose de cualquier consideración sobre el tema de esa actividad. Es una especie de meditación sobre ese cuasi objeto que es la operación de pensamiento, que la epistemología tradicional consideraría más bien como un cuasi tema. Esta actitud es, aunque no se lo dice lo sufi­ciente, de una gran originalidad.

Y, finalmente, es una suerte para el .filósofo de nuestra época, que esa epistemología positiva se haga sin él; porque franqueará muy pronto el momento de la propedéutica. Sin duda, nunca en la historia de la filosofía fue más cómodo pensar el conocimiento. Contrariamente a lo que se piensa en general, nunca la filosofía de la ciencias fue más /ácil. Nos arriesgaríamos a caer en el error otra vez: la empresa moderna dentro de cada región preserva al filósofo. Cada región habla de ella con el máximo de verdad, cada una es doblada o se intenta doblar en un órgano reflexivo, de donde el filósofo sólo tiene que sacar indefinidamente sus valores. Sí, el pluralismo de los conocimientos es espectacular, pero ya se dibuja el problema de la enciclopedia.

En efecto, no nos parece indemostrable la afirmación de que ese fenómeno toca a otras ciencias que, sin embargo, todavía no alcanzaron el pWltO de madurez de las mate­máticas. Es posible observar un movimiento análogo de importación de un pensamiento epistemológico (bajo ciertas condiciones) al mismo terreno autóctono de la ciencia, de la que ese pensamiento era antes la epistemología. Por ejemplo, era tradicional reflexionar filosóficamente sobre la noción de experiencia, en lo que concierne a las ciencias

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aplicadas. Ahora bien, es notable que estas últimas sean, en numerosos casos, dobladas por órganos precisos y rigurosos que desempefian el papel de pensamiento reflexivo sobre su propio saber y que analizan la noción misma de experiencia. Muchos fenómenos de ese orden llevan a concluir que ciertas ciencias experimentales no están alejadas de su propia autodescripción y de su propia autorregulación, salvo si se piensan sus relaciones con el modelo matemático. Esto es bastante novedoso y muy importante. Es el movimiento que llamamos cierre progresivo de un dominio y madurez de su contenido.

Y, una vez más, ¿qué es una ciencia llegada a la ma­durez? Una ciencia que implica la autorregulación de su propia región y, por lo tanto, su epistemología autóctona, su teoría sobre sí misma, expresada en su lenguaje, según la descripción, el fundamento y la norma.

En particular, retengamos la última especificación: esa región del saber se da sus propias normas. Esto significa que no recibe del exterior los requisitos generales del juicio sobre lo falso y lo verdadero: de manera indepeli,diente, es index ueri et falsi. Se podrá objetar: ¿no fue siempre así con las matemáticas? No. Su lenguaje no siempre ha estado a la altura normativa de los objetos y de las teorías descubiertas. Su historia no es ejemplo de producciones teratológicas no rigurosamente dominadas; las matemáticas dieron a luz monstruos inevitables que ya no comprendían, que se situaban en un lugar que sus conceptos normativos no podían alcanzar: lo que sucedió con los irracionales, los imaginarios, el cálculo infinitesimal, etcétera, en momentos de sus respectivos descubrimientos. Se dice a menudo que esos "mutan tes", dieron en cada oportunidad un nuevo impulso a la ciencia y , por lo tanto, a la filosofía. Pero quizá no se dice que, si la filosofía se conmueve, es sin duda por la ineptitud temporaria del lenguaje cientíGco para situarlos normativamente: de ahí la referencia a una razón exterior al campo técnico puro d el que, sin razón o con ella, se piensa que está a la altura de decidir esa situación. Supongamos

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entonces que las matemáticas hayan interiorizado esa refe­rencia, que hayan importado la intención filosófica en lo que concierne a sus normas propias: entonces están capacitadas para dom:inar racionalmente sus estructuras e, incluso, su teratología eventual. Se vuelven para sí mismas el índice de su verdad, saben medir su propio poder de demostración, saben al menos dibujar las dificultades propias de su poder de decisión, intentan plantear los bordes y los límites de ese poder.

Sin entrar en problemas cuyo contenido se intenta saber, nos encontramos con que, en adelante, todos esos problemas son planteados en el interior de la actividad técnica pura. De manera que en cierto sentido, ya no es posible equivocarse, emitir nociones de las que, como mÍ­nimo, no se sabe medir el estatuto normativo (con esa restricción que es tener la más plena conciencia de las dificultades, incluso de las paradojas, de ese "peso"). Desde entonces, esa ciencia se pretende lo más reflexiva posible acerca de lo verdadero de su región, la más reveladora de su verdad (reveladora en el sentido de la química, en el sentido en que Leibniz pedía una prueba). A medida que se cierran sobre sí mismas, las matemáticas se vuelven la región de la veracidad automática. Esa definición debe entenderse dando al término "automática" el sentido pro­fundo de ejecución, independiente de todo lo que no es la región de esa ejecución.

No obstante, una palabra puede inducir a error: llegada a la madurez, dejaría suponer el fin de una historia. Habría que decir: habiendo entrado en la madurez, una expresión que deja abierta la historia. Sistema y movimiento, las matemáticas se desarrollan permaneciendo en su esencia como las mismas, es decir, volviéndose esencialmente ma­temáticas aunque sin dejar de transmutarse por los buenos prodigios de la reestructuración.

Una última palabra sobre ese movimiento: Las mate­máticas son una teoría interiormente abierta)' exteriormente cerrada.

LA COMUNICACION 85

El cierre exterior es: 1) Pureza, con respecto a otras ciencias y matemáticas

aplicadas (o a sus objetos). 2)Importación del contenido problemático de la

epistemología en general, interiorización de sus intenciones, invención de una lengua autóctona apropiada para plantear esos problemas y para ejecutar esas intenciones en la medida de lo posible.

3) Eliminación de la intuición, de la evidencia, de la reflexión, del fundamento, en la medida en que son aferentes respectivamente del sujeto sensible, racional, reflexivo, trascendental.

De manera que el cierre es purificación, alltorregll­lación, liberación respecto del ego. El resultado (parad ojal) de ese cierre con respecto a cualquier otro dominio del saber es que el organo/l., el lenguaje, así depurados se vuelven universales. El movimiento de cierre es un movimiento universalizador. A medida que se produce la depuración (radical), las matemáticas tienden al grado cero de apli­cación (o de referencia exterior) y así hacia el máximo de aplicabilidad. El lenguaje más independiente es el lenguaje de los lenguajes. Mientras menos ventanas tiene, más se puede mirar en él el universo.

Por otra parte, las matemáticas son interiormente abiertas: esto significa que van hacia su esencia, más y mejor en la medida en que la realicen. Decimos que van hacia la matematicidacl, declaración que requiere ser espe­cificada:

1) Las matemáticas van hacia sus prioridades más aún en la medida en que vuelven de ellas. Así, las antiguas prioridades (históricamente hablando) se convierten en consecuencias para la visión recurrente (Le Roy es aquí un buen ejemplo).

2) Van hacia su pureza en la medida en que vienen de ella (10 que pone de manifiesto que el movimiento de cierre no es más que un corolario de la apertura del movimiento y elimina la paradoja con respecto a la aplicación); desde

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entonces, la antigua pureza se vuelve aplicación para la visión recurrente.

3) Van hacia su rigor en la medida en que de él vienen; ya las antiguas exactitudes se pueden percibir como imprecisiones por parte de la visión recurrente.

Que el movimiento así descrito tenga por horizonte final una prioridad, una pureza, un rigor, un fundamento que sean los de las matemáticas mismas explica la idea de que la apertura en cuestión es interior. Las matemáticas no son abiertas hacia cualquier otra cosa, son abiertas sobre sí mismas, o para sí mismas. Por otra parte, el hecho de que sean exteriormente cerradas expresa, particularmente, que en adelante sean recortadas por una epistemología exterior, de nacimiento reciente, que habrá vivido poco.

Autonomía y movimiento, esto es lo que define con profundidad el estado de madurez.

Es así como las matemáticas se convierten en ese lenguaje que habla sin boca, ese pensamiento ciego que ve sin mirar, ese pensamiento activo que piensa sin sujeto de cagita, esa obra del hombre en el séptimo día de una nueva Génesis, obra que va proliferando mientras el Filósofo Dios, al ver la bondad de esa obra, no puede más que retirarse y aceptar que tenga una eficacia propia.

Un breve balance: al comienzo hablamos de una doble línea evolutiva, la que representa la historia interna, la evolución de la idea general de las matemáticas, y la que representa la historia y la evolución de las intenciones y de los proyectos epistemológicos. Hay que figurarse dos épocas en ese paralelismo: la época clásica y la época moderna. ¿Cuáles son las relaciones transversales entre esas dos evoluciones?

En la época clásica, la relación esencial es la reflexiua. Se la exige profundamente por las insuficiencias d e las matemáticas clásicas. En su desarrollo ingenuo, éstas de­vuelven a la epistemología exterior que la dobla al menos tres tipos de problemas: de descripción metodológica, de norma lógica, de fWldamento, en suma, todos los problemas

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de la sistematización. Esos problemas definen entonces el campo original donde se desarrolla la epistemología clásica: ésta trata esas cuestiones de manera reOexiva, preparán­dose así para una teoría general del conocimiento en ge­neral. El conjunto de debilidades de la ciencia clásica constituye el campo donde evoluciona su conciencia episte-mológica, y esta insuficiencia crea la importación hacia esa epistemología.

Sigamos ahora nuestras dos líneas directrices, y prac­tiquemos cortes sincrónicos. Por Wl lado, las matemáticas cada vez toman más conciencia, de manera autóctona, de las dificultades en cuesti.ón. Entonces, su evolución interna las aproxima cada vez más a la problemática epistemológica como tal: la línea hace una innexión hacia su paralela. Por otra parte, ¿cómo se carga la epistemología de su triple misión? Según. el fundamento, se revela incapaz de propor-

¡i cionar uno que sea efectivamente pensable por las matemá­~. ticas, porque su estilo renexivo no puede proporcionar más ", que la perspectiva indefinidamente alejada de un funda­;: mento trascendental in subjecto; peor, ese estilo a veces {implica que se rechaza pura y simplemente cualqu.ier tarea 'de fundamento lógico: Le Rayes Wl ejemplo; el fracaso de ': Husserl sería otro. Según. la descripción, todo corte sincró­"nico revela Wl desfasaje entre la historia de los problemas 'Y la de su epistemología: ésta se sofoca por atrapar a aquella, ,;pero siempre está a parte post, Y el retraso de una se agrava 'a medida que la otra avanza, La necesidad de reflexividad j.)lunca está entonces satisfecha cuando se hace sentir. Según :,10. norma, el desfasaje es error. Esos tres defectos son ¡'análogos. Poco a poco, se descubre la falJa de las tres ¡misiones esenciales que definen la vocación Y la intención ',epistemológicas. Para evitar (o disimular) la falJa, se su-primen dos de esas misiones, las que hacen nonnar y fWldar

.larazón científica; entonces la epistemología se historiza: se ;vuelve regional (hace explosión Y se distribuye en des­. 'cripciones parciales de campos cada vez más estrechos), se . vuelve impresionista (describe cada vez más precisamente

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la región en cuestión, rechazando siempre para más tarde la empresa gnoseológica), en suma, se constituye en historia natural de las ciencias. Haciéndolo, se aproxima, bien o mal, pero cada vez más a la intención específicamente científica: su línea hace una inflexión hacia su paralela. Pierde len­tamente el campo original de sus problemas en beneficio de la técnica científica que, por su parte, comienza a hacerse cargo de ellos. La insuficiencia epistemológica de las so­luciones es una razón particular (o una concomitancia) de la reimportación de su problemática en su campo de origen.

Los tiempos modernos llegan cuando las dos líneas se inflexionan Ulla hacia la otra, concurrencia que tiene dos razones, como es sabido: la epistemologia encalla en el terreno de sus antiguas victorias, las matemáticas le toman el gusto a triunfar en el campo de sus recientes derrotas. y este dominio, que ve el flujo y el reflujo, es el de la intención epistemológica inicial; comprende todos los lll'oble­mas de descripción (en un lenguaje determinado), de fUll­damento, de norma, de sistematización. La importación ya no va a cesar hasta la fusión de la problemática de conjunto de la epistemologia tradicional y de problemas singulares definidos con rigor en las matemáticas modernas. Ese campo de problemas, que había sido devuelto a la epistemología según una línea reflexiva, es de nuevo absorbido por las matemáticas, reimportado hacia ellas, una vez olvidado el horizonte del análisis in sllbjecto. Los problemas son los mismos, pero tecnificados, formalizados, depurados de su aura reflexiva. Encuentran alguna solución, alguna espe­ranza de solución, por restricción de generalidad, por re­ferencia a estructuras singulares y determinadas, por análisis, por deshojamiento de niveles múltiples dominados di stributivamente. Cualquiera sea el proyecto epistemológico de partida, tiene en lo sucesivo un análogo (o más bien una multitud de análogos) técnico, en Ulla serie de problemas o de teorías determinadas. ¿Qué son la de­mostración, la deducción, la recurrencia, la analogía, el número, el orden y la medida, la verdad misma y la co-

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¡ herencia de los discursos del dialecto matemático? .. Sería ¡: larga la lista de los problemas que la antigua "lógica" Ir desarrollaba y que en adelante se aHnean sobre el pizarrón,

en los transparentes términos de un contrapunto sorpren­dente. También en este punto, el texto de Le Roy puede considerarse ejemplar, porque proporciona el paradigma de la operatoria (o de la operación). Según los elementos restringidos que contenía el plan sincrónico que presenta, y que iban a volverse principales, ese campo operatorio, reflexivo y fundador en la óptica de la epistemología clásica, iba a convertirse en Wl campo técnico puro (y cualquiera) del pensamiento matemático. Entonces, estaba bien gene-

~\ ralizar ese paradigma, que es lo que hicimos: esa impor­tación particular no puede pensarse más que en el contexto de un movimiento general.

Pero demos más precisiones: esa fusión no es, de nin­guna manera, un fin. Que las matemáticas intentan "ce­rrarse" a la .importación de la intención epistemológica, es obvio. Pero, sin embargo, su arte permanece abierto. Jamás puede considerarse un problema definitivamente resuelto;

,,. hay un "historic.ismo" esencial que hace que las matemáticas , sean un movimiento tanto como un sistema. Hay un montón

de cuestiones pendientes, según la norma, la descripción y el fWldamento (además de los otros, más "técnicos") para que nuevas reorganizaciones de conjunto no sean imposi­bles; y ya se las puede revelar fácilmente. En lo sucesivo,

; lo que sí permanece impensable, es seguir tratando esos :' problemas con la tónica y los métodos de una epistemología

clásica. Se debe aceptar la idea de que está muerta. Queda por investigar el dominio en el que evolucionará de aquí en más el pensamiento específicamente filosófico de la ciencia matemática, queda por descubrir su lengua original. En suma, el cuarto término de nuestro razonamiento queda por

, definir. A propósito de la constitución eventual de una

epistemología "moderna", todo lo que se puede decir por el momento, es que su primer deber es tomar nota, con toda

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la lucidez deseable, del estado de hecho que venimos ele elescribirrápidamente. Una vez más, cierta filosoDa se vistió con sus más be11 as galas para d esposar al artífice d e la tarea. No vemos otra necesidad para la filosoHa de las matemá­ticas, en la medida en que no quiere ser técnica pura, que cr.iti carse radicalmente como tal, criticar la coherencia de su lenguaje descriptivo, el valor de sus normas, la solidez de los fundamentos que propone y, más profundamente, la posibilidad misma de su constituc.ión. Por otra parte, si el conjunto de sus problemas se importó, hace falta que ella piense las condiciones y las razones ele esa importación, y la posibilidad de una reimportación. En líneas generales, esos movimientos de términos y ele problemas de dominio a dominio, de región a región, al parecer son una de las cuestiones fundamentales de una filosofía moderna de las ciencias; ésta sólo puede ser una epistemología general ele las epistemologías positivas regionales.

Retomando el viejo concepto de la "querella" entre clásicos y modernos, en matemáticas la victoria queda en manos de los modernos: por un tiempo solamente, porque no son más que los clásicos del maüana. ¿Hay querella entre antiguos y modernos en epistemología?

¿Y se puede imaginar una cuando hacen falta comba­tientes y, tal vez, razones para combatir?

Anamnesis matemáticas

Desde Augusto Comte, al menos en Francia, la filosofía de las ciencias fomentó naturalmente su proyecto en Lllosofía de la historia de las ciencias. El hecho de que ésta se conciba como evolución de un estadio a otro o dialéctica, como génesis racional o psicosociológi ca, como terreno de una ar­queología erudita o psicoanalítica, remite inmediatamente a los grandes patronímicos de la disciplina, de Durkheim y Brunschvicg hasta Bachelard. En el interior del ángulo formado por esas filosofías de la historia y la lógica formal,

LA COMUNICACION 91

al fin encontrada, cierta epistemología sincrónica corre el riesgo de encontrarse vacante. Sea por una cuestión de hecho o de derecho, no deja de ser una cuestión.

Además de un exceso de pretensión, sin duda hay una paradoja oculta en tomar de nuevo por objeto del discurso la historia de una ciencia que no es otra cosa que la excelencia del lagos. De hecho, el escándalo no reside sólo en los términos. ¿Cómo es posible (y entonces en qué condición es posible) afectar una verdad matemática con un índice de historicidad?, ¿cómo pueden variar invariantes como el rigor o la pureza? Si las matemáticas son una lengua bien constituida, transformar esa lengua aparentemente es inútil o conLTadictorio. Ahora bien, cada cual va repitiendo que una verdad científica sólo tiene valor con referencia al sistema global que la contiene y la vuelve posible: tal afirmación esgrimida adquiere su mejor sentido en el universo del discurso matemático. Para decirlo rápida­mente, en este punto la verdad no es más que cierta relac,ión que una frase o Ulla palabra mantienen con su lengua, que un átomo sistemático mantiene con su familia, en suma, que el sistema mantiene consigo. Cualquier paradoja se termina cuando se examina la historia, ya no como la serie de avatares de un logos puro, sino como la serie de las (metalmOlfosis de un lagos ref"erido a sí mismo. Dado que las matemáticas son la ciencia de esa autorreferencia, el rigor atañe a esa aplicación. En la avenida de espejos d'e la que habla Lautréamont, no hay más que seguir el recorrido continuo o quebrado de los rayos luminosos. Esa avenida abierta es la historia misma de las matemáticas, la historia de una lengua cuyas palabras se corresponden estricta­mente, de una lengua indefinidamente traducida a lenguas nuevas pero homólogas, la historia de sistemas autorreferidos, por lo tanto cerrados, que se refieren a otros sistemas abiertos, a nuevos sistemas semejantes a los matemáti,cos, por lo tanto cerrados ... , la historia de formas que adquieren sentido en un sistema, por lo tanto, ines­peradas, pero que a veces cobran de golpe un sentido distinto

e

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del autóctono, superando su autorreferencia interior y evo­lucionando así hacia el exterior del sistema, como excrecencia patológica, hacia una nueva referencia s.istemá­tica interior, como Wl rayo perdido en busca de su espejo ... ; la historia de verdades siempre en busca de un universo cerrado que las vuelve sobre sí mismas, que les da existencia y posibilidad, hasta que la exigencia de rigor vuelve insostenible la aplicación interior y hace saltar el cerrojo para una referencia más amplia y mejor cerrada sobre sí misma ... De ahí, el dinamismo implacable que se dirige hacia lo universal en acto, totalmente abierto y completa­mente cerrado, que es el fin, siempre diferido, de su his­toria. 16

Podemos detenernos en el camino para un examen local. Podemos intentar recorrerlo para una sinopsis global. En el primer caso, es legítimo elegir un sistema y ver cómo reduce las cuestiones históricas; en el segundo, es una buena estrategia forjar modelos para dar cuenta de la sucesión de las formas y de los sistemas vencedores de la confusión de las lenguas. Un personaje nos espera en las encrucijadas de ese camino, siempre el mismo y siempre diferente, el pe­queño esclavo del Menon.

\6 De donde resulta la condición requerida: por un lado, la verdad histótica del idealismo es, en pocas palabras, la física. Ahora bien, a partir de que una ciencia llega a la madurez, se repliega reüexivamente sobre sí misma, expresa de golpe su verdad filo­sófica. Y, por lo tanto, la física contemporánea pone en escena al ego como condición de posibilidad de su propia constitución como ciencia. Adquiere conciencia de un yo que nunca había estado ausente en su contexto histórico-filosófico. Por el contrario, en el caso de las matemáticas, al llegar a la madurez, expresan la verdad que nunca dejaron de lado, desde sus albores helénicos: la puesta más rigurosa posible entre paréntesis del sujeto. Dicho de otra manera, la condición de posibilidad de la aplicación al mundo reside en el campo trascendental in sllbJecto, mientras que la condición de posibilidad de 1 a aplicación sobre sí reside en el campo mismo donde las matemáticas se efectúan. Quisiéramos decir con esto que las matemáticas son un campo trascendental y casi objetivo.

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Mi mejor experiencia en estas materias es la de un fracaso, lo cual no es para profesar, sino más bien para confesar. Concierne a la filosoña de Leibniz, que me va a servir de paradigma o de prototipo para un comienzo de análisis. Y, en principio, se trata de un buen ejemplo, porque su obra es indistintamente filosofía sistemática, enciclo­pedia científica!7 y acumulación doxográfica de erudito. Así planteada, creo poder adelantar que la metafísica de la armonía preestablecida es un sistema flexible, indefinido y complicado, de traducción de unas tesis a otras a veces (frecuentemente) con carácter científico, dando a la palabra ciencia la acepción más amplia, es decir, la enciclopédica. Más aún, se trata de una red de correspondencias que aseguran la posibilidad universaL de la traducción de cualquier temática a otra cualquiera, y a la inversa. Si se renuncia a discurrir, a relatar o a repetir, el problema de la explicación se vuelve doblemente complicado. Traducir, por ~iemplo, determinada tesis al lenguaje matemático correspondiente al autor y llevarlo a la demostración, es lo que Leibniz pronosticaba y deseaba. Aunque posible y con

" frecuencia realizable, esa técnica de explicación no es su­~. uciente: efectivamente, peca por lateralidad y escenografía, '~' como -por otra parte- cualquier otra explicación referida . a una ciencia regional, la dinámica o la teoría del derecho,

, por tomar otros ejemplos. Es explicar reduciendo un sistema , a una región local, es reducir a una sola lengua la teoría

misma de todos los pasajes posibles de una lengua cual­quiera a otra. Y entonces, paradójicamente, demostrar no es explicar, al contrario, es implicar. Es implicar en una lengua positiva la teoría de las traducciones, es envolver la teoría misma de la explicación, con la explicación de lo que un contenido de saber envuelve implícitamente: ahora bien, en

17 Una enciclopedia científica de la que, paradójicamente, el tiempo no consagró progresivamente el desuso, sino, por l"ecuITencia continua, recobró y restableció su presencia viva.

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Leibniz, lo implícito de una región es justamente la totalidad del sistema. Dicho de otra manera, el sistema leibnjziano se autoexplica aplicándose indef"inidamente sobre sí mismo. Por ejemplo, la teoría del pW1to de vista se traduce bastante fácilmente al lenguaje geométrico y perspectivista de las secciones cónicas, traducción que permite llevar una tesi s a la demostración que llamamos filosófica. Pero, inversamente, la teoría de las cónicas envuelve la idea de armonía, el problema del error (teoría de las sombras), el principio de continuidad, las cuestiones que conciernen al infinito, la existencia de una invariante en una secuencia de metamorfosis, el establecimiento de una clasificación de los seres naturales, etcétera, y por supuesto la cuestión del punto de vista, de la percepción y de la expresión en general. La primera técnica, demostrativa, es una implicación, la segunda es un desarrollo, es decir, una explicación: el sistema es a la Vez para explicar y explicante (explicandum et uLtimum explicans).18

De donde proviene que la filosofía de Leibniz esté escrita en lengua universal indefinidamente traducible a todas las lenguas positivas del país de Enciclopedia, o, mejor, que sea construida como Ul1 diccionario nwltilingüe con varias en­tradas. Dicho de otra manera, el pluralismo no es sólo ontológico y substancial, sino también estructural. Couturat, Russell y otros intentaron escribir la gramática de esa lengua, su sintaxis y morfología; quedó por establecer la semántica del sistema, es decir, constituir el diccionario en cuestión. Aunque complicada o casi in.fi.nita, esa tarea era posible.

La dificultad a la que aludí en todo momento se presenta ahora mismo: en la medida en que se permanece en una sistemática ideal, y en particular en un sistema que com-

18 De manera que la explicación a través de las matemáticas es válida e insuficiente: hay que explicar matemáticamente por qué la$ matemáticas no son más que U/la explicación entre otras posibles.

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prende el ,Arte combinatoria como elemento, la disposición arquitectónica de las cosas no requiere más que una pacien­cia ingenua y llila tecnología científica trivial. A pmtir de que se dispone de un piano, es fácil, al menos en derecho, obtener tantas secuencias melódicas y armónicas como se desee. Ahora bien, Leibniz nllilca describió su sistema como algo detenido, idealmente fijo o congelado. Al contrario, era agudamente consciente del devenir epistemológico, de la herencia y de la tradición enciclopédica, de la prospección científica en general: vivimos, decía, en una cierta infancia del mundo, in quodam mundi in{antia; más aún, sacrificaba con gusto el rigor de los conceptos a su capacidad de logro, a su fecundidad, a su eficacia para "ganar terreno", según sus mismas palabras. En suma, ubicaba al .tirs inveniendi

, por encima del 'Método de la certeza. l9 Además, el Descu­brimiento para él no estaba ligado a una tábula rasa de precursores, sino -por el contrario- a una acumulación metódica de la tradición ya su reactivación: encontrar vetas de oro en rocas estériles.

Desde entonces, el Diccionario estructural no es sólo una : arquitectura formal e ideal, no es de tipo sincrónico, tiene

en cuenta diacronía s de todas las lenguas que moviliza. De manera que se hacen presentes la historia de las ciencias,

" la historia de las lenguas -en el sentido regional de la ,filología-, la historia de las instituciones -política, di­plomática, derecho-, la historia de las religiones, la ,etnología (Novissima sinica) y la mitología, la historia na­

*"hural de los seres vivos y la arqueología de la tierra (Protogaea), o geología de las profundas capas

;. sedimentarias. El Diccionario estructural no es sólo el ,i instrumento de base de las correspondencias temáticas en , general o de las expresiones semánticas interrelacionadas, , es también un diccionario etimológico, genético y prospectivo.

19 O, más bien, es Leibniz quien descubrió (o redescubrió) la " idea de que el rigor tiene poder heurístico, que el ligar conduce a \' la invención. ~ ~, f f "

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Los átomos de sentido son formales y, a la vez, están en formación.

Lo etimológico va de suyo, ya que:

-cualquier evolución refluye hacia un preestableci­miento que se traduce regionalmente en preformación, preexistencia, predestinación, predemostración, predeter­minación, etcétera;

-porque en toda disciplina la invención y el proyecto reposan en la búsqueda de los elementos primitivos, tra­ducido regionalmente en números primitivos, fuerza activa primitiva, nociones primitivas, palabras primitivas, lengua primitiva o adánica, alfabeto de las ideas humanas, etcétera;

-porque, después de todo, el término originatio (De Rerum originatione raclicali) nunca quiso decir otra cosa que etimología, en tanto que el término raclicalis designa la raíz de las palabras.

Lo genético también se da por sentado, ya que cualquier elemento envuelve su pasado, su presente y su provenir, bajo la forma de una inscripción divina original: como verdad de la mónada, ese tema se traduce de manera invariante, por la actividad del conocimiento en el enten­dimiento (memoria pasiva omnisciente-actividad continua de redescubrimiento), por la evolución de los gérmenes vitales y del organismo (involución-metamorfosis), por la aventura histórica del individuo (César, Alejandro, Sextus), por el destino sobrenatural del alma pecaminosa, etcétera, pero también por el contenido de nuestro saber (teoría iluminista del progreso).

En suma, el elemento atómico formal traducible a todas partes en el sistema es también un condensado de historia, que envuelve su origen radical, la ley de su serie evolutiva, y el horizonte de su finalidad. En cualqu:ier momento de su desarrollo serial, es posible leer en él, como en un palimpsesto borrado, su origen olvidado que es la clave de su fin en el reino de los tlnes. Así se extraen todos los

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modelos posibles de historia, sobre los que volveré en otra parte: series lineales que se desarrollan hasta el infinito, en estilo monodromo, circularidad, recurrencia, modelos espiralados, decadencia, inmovilidad estática y así sucesi­vamente. Como el tiempo no es más que un orden, todos los órdenes son concebibles.20 A La posibilidad LLniversal de traducir los temas, se agrega la posibilidad LLniversal de hacerlos variar en sí mismos para dar cuenta de Slt for­mación. Entonces, el pensamiento formal retoma la historia, dándole la gama de sus sentidos, es decir, la totalidad de los sentidos concebibles. Vista por el sistema, la historia tiene todos los sentidos; visto por la historia, el sistema tiene, simultáneamente, un sentido y una infinidad de ellos.

En suma, esto es lo relativo a un sistema cuyo valor ejemplar en estas cuestiones reside en la alta perfección de su arquitectura y en la acogida excepcional y totalizadora que reserva a la historia. Es ciencia de las ciencias, historia de las ciencias, pero también ciencia de la historia e historia de las historias. En cierto sentido, su valor paradigmático no es tan diferente del que se podría acordar a los Elementos de Euclides o a los de Bourbaki, que también se pueden considerar como arquitecturas ideal~s casi perfectas, peTo igualmente como condensados de historia: resúmenes de herencia, corte sincrónico de las idealidades que asocia -cortes en peligro permanente de desuso o ya en desuso-, apertura de sentido para los matemáticos del futuro.

De ahí la dificultad que implica la manera en que debemos elegir aprender esos sistemas ejemplares: apren­der históricamente. ¿Cómo datar, por ejemplo, un concepto

. matemático en Leibniz, o en BouTbaki? Al menos hay tres edades: la edad de SLL aparición en la tradición matemática, la edad de SIl reactivación en el sistema que le da un nuevo sentido, la edad recurrente de su poder de fecwldidad con

20 La reducción del tiempo a un orden permite la aplicación de la combinatoria a la historia.

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el que podemos juzgarlo ahora. Lo primero que cuenta es la historia ordinaria, cronológica; 10 segundo, la verdad en la sincronía del sistema; en tercer lugar, la diacronía completa de las matemáticas. De donde se sigue que, al menos hay tres sentidos históricos de una idealidad cualquiera: su sentido de nacimiento, en adelante sedimentado, naturali­zado, el conjw1to de sus sentidos en cada reactivación que 10 retoma para un valor nuevo naturalizando las reactivaciones precedentes, su sentido recurrente para el juicio retrógrado de la última de las reestructuraciones en el edificio matemático. Unicamente este último sentido es su verdad científica.

Entonces explotan las normas de la fidelidad histórica: si me aproximo a las matemáticas de Leibniz, por ejemplo, munido del juicio recurrente del álgebra contemporánea, le confiero su verdad. Dicho de otra manera, filtro su teología, pero soy infiel a cierta historia que llamamos historia de las ideas como catálogo de los resultados del día; además, la verdad teleológica que le confiero se limita a mi actual referencia: recubriendo el sentido pasado, arriesgo también el ocultamiento de un inconcebible sentido al provenir. Intereso al científico actual dándole un precursor, pero no soy historiador en el sentido consagrado del término. Al contrario, si me aproximo mWlido sólo de las referencias sincrónicas, sin duda soy un historiador fiel, pero ignoro lo esencial, que es la verdad final de las matemáticas: fiel a la historia sedimentada, infiel a la ciencia como historia, infiel a la verdad que no es otra que teleología. De ahí ese principio de indeterminismo de la historia de las ciencias, tan delicado para reducir: si digo verdadero en el sentido de Leibniz, no digo forzosarnente "verdadero" en todos los casos. Si digo verdadero, no digo forzosamente verdadero en el sentido de Leibniz en todos los casos. Estoy obligado a chocar de frente con el matemático para quien el concepto histórico está cargado de sedimento, o con el historiador para quien el concepto verdadero a veces no es más que el fósil. En suma: o conozco la posici6n del concepto e ignoro su velo-

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cidad, su movimiento propio que es su verdad, o conozco su velocidad e ignoro su posición. Ese indeterminismo tiene su límite en la cuestión del error, que el historiador se obliga a reactivar como verdad situable, y que, por el contrario, el científico se obliga a ocultar y olvidar. Como historiadores nos interesamos en las escorias de Galileo; los científicos se interesan en las geniales intuiciones de Messier que no tenían ningún sentido en su época. La verdad histór.ica puede convertirse en escoria, la escoria ser reactivada y vuelta verdad. De ahí el límite: si digo verdad en el sentido de Galileo, eventualmente puedo decir falso; si digo ver­dadero, puedo eventualmente decir falso en el sentido de Galileo. Tal indeterminismo define retrospectivamente la historia de las ciencias no como una tradición continua sino como una trama siempre cortada, discontinua.

Es posible que todo esto se ligue con una excepcional si­tuación de la historia de las ciencias y, como sabemos desde hace poco, con las ciencias mismas como lugar de contacto de la historicidad)' la idealidad o, para hablar en general, de dos modos de seres que responden a normas completa­mente diferentes. El principio de indeterminismo es el pri­mer paso de la exploración de ese lugar de contacto, explora­ción llevada a cabo, como venimos de sugerirlo, aproximando ese lugar de referencias normativas provenientes una de la historicidad, la otra de la idealidad, pero dotando a ésta última de una historicidad original. Porque, de hecho, hay contacto porque la ciencia misma es una historia. Por 10 tanto, el principio era un principio para la historia de las ciencias. ¿Se lo puede invertir, explorando ese lugar de contacto desde el punto de vista de la ciencia misma?

Consideremos entonces un sistema de idealidades en un momento dado (por ejemplo, los Eléments de Bourbaki de 1966) para que cada concepto que moviliza sea cortado en el instante mismo de reactivación. El contacto está bien establecido; practico un corte sincrónico en el sistema ideal para la época actual de la historia, y para la época ideal de la reactivación. Consideremos ese corte como historiadores

...

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en el sentido usual (no la diacronía recurrente, lo que es imposible,21 sino la diacronía sedimentada): entonces se presenta un principio de indeterminación muy notable; efectivamente, fecho en los aüos '40 las idealidades de espacio fibrado, hojaldrado, ralo, caótico, compacto; en 1955 fecho la idealidad de categoría, la de conjunto en el siglo XIX, la de función en el siglo XVIII, la de integración en el siglo XVII, la de diagonal en el siglo V antes de J.C., la de adición en el primer milenio, y así sucesivamente. La temporalidad propia del sistema es homogénea; la temporalidad propia de los átomos del sistema, si sólo se los considera como sedi­mentas no reactivados por la reestructuración en cuestión, esa temporalidad es indeterminada, está desgarrada, es caótica y, vista desde afuera, aleatoria.

El lugar de contacto de la historicidad propia de las ciencias, como sistema de idealidades, y de la historia en el sentido corriente es tal que, entonces, en un sentido está sometido a contradicción, en el otro es indeterminado. La situación es bastante excepcional, pero es paradójica. Esas paradojas, y las que van a seguir, forman la razón profunda del desinterés que manifiesta el científico hacia la historia de las ciencias22 como catálogo de resultad os sucesivos o

21 Lo que debería suprimir el indeterminismo precedente, por­que toda la cuesti6n es presente.

22Hasta tal punto estoy vinculado a ese desinterés, que quisiera señalar que tal vez es menos interesante plantearse el interrogante de qué. historia de las ciencias interesa o no interesa al científico, que el de qué. científico se interesa o no se interesa en la historia de las ciencias. Podríamos entonces distinguir en forma burda, al menos dos tipos de inventores:

al El inventor que prosigue el camino de la secuencia natu­ralizada de los resultados precedentes. S610 tiene necesidad de reactivar la temporalidad de la cadena en la que trabaja, del origen axiomático propio de los teoremas sucesivos.

bl El inventor que promueve una reestructuraci6n global del sistema, y que necesita reactivar el total de la tradici6n. Gene­ralmente es historiador y necesita una enorme cultul"a doxográfica,

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como evolución de las ideas. Efectivamente, habita un sis­tema cuyo catálogo no es más que Ulla recaída fosilizada, vive Ulla teleología original cuya evolución histórica es un posible definitivamente agotado, como cadena instituida que únicamente el que la instituyó debe revivir para transmi­tirla como tradición de un numdo que, como en el .Menon, sería, sin él, olvidado. Para decirlo de otra manera, nuestra histoT.ia de las ciencias es una historia de profesores ele

incluso si esclibe una historia históricamente falsa, escl"Íbe una historia teleológicamente verdadera (como Leibniz, Chasles, Bourbakil.

y entonces, hay ta.ntas historias de las ciencias (todas distintas) como invenciones científicas globa.lizadoras. Dicho de otra manera, en cada reestructuración del sistema corresponde un tipo dilerente de totalización de la tradición, un tipo diferente de teleología reasumida pOI' un juicio recurrente. De una historia a la otra, hay entonces la misma relación que de la nueva ciencia a la precedente, es decir, la relación precisa de la. historia con la prehistoria, en una época en que la nueva lengua no estaba todavía inventada ni escrita. La geometrfa de Euclides es para nosotros tan prehistólica comb la agrimensura egipcia resulta prehistó¡ica con respecto al milagro griego.

Por eso me parece inexacto hablar con Kant de tma "tentativa a partir ele la que el camino que se debfa tomar ya no debía ser lallido" (Prefacio a la segunda edición, C.P.R.) o, con Husserl, afirmar que "la geometría nació un d(ay desde entonces permanece presente como tradición milenaria" (Origine de la Géométrie, Derrida). O esa tradición está presente, como la capa raspada de un palimpsesto, con el mismo derecho que las lenguas olvidadas precedentes de Thales. Desde los orígenes de la geometría que requieren el esfuerzo de nacimiento que realiza el mítico Thales, hay multitud de histOlias, como dijimos antes: Desargues, Galois, Cantor, Hilbert asumieron novedades radicales eula lingü(stica, la escritura y la promoción de idealidades.

Por un lado, el Oligen se hace infinitamente remoto, por otro se promueve como fin y ,ÉAOS pero también está en determinados puntos de la historia ordinana. Se podría decir que el origen está en todos los puntos (si en matemáticas el inventor es siempre del segundo tipo): así, habría tantas histoJias como se quiera. Esa situación es otra vez paradójica, pero creo que explica muchas cosas. Redescubre el sistema de datación del mármol de Paros, a través de la referencia fija y m6vil del presente.

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ciencias que tienen como Gnalidad asegurar la trasmisión de una comunicación que el cientí6co, como inventor, ti.ene como objetivo, más bien reevaluar. Es una historia que intentamos volver conexa, continua, llenando sus blancos, mientras que el científico-inventor la corta y vuelve discontinua. Intentamos ev.itar que la comunicación se rompa, mientras la actividad inventiva la rompe como algo que va de suyo. La ul1ión de los inventores de la prueba no tiene la misma lengua que la unión de los transmisores de la prueba. Esto se verifica en nuestros días, en una expe­riencia histórica muy aguda. La historia de las ciencias tradicionales proyecta sobre una linealidad invariable e irreversible (sobre una tradición) las conmociones perma­nentes de los órdenes anteriores, las combinaciones siempre nuevas de secuencias reversibles.

A fin de cuentas, existirían tres tipos de historia:

1 º) la historia de las ciencias concebida como totalización acumulativa de la tradición, como recolección de la totalidad de los documentos, cuyo ideal sería la ausencia de pérdida, y la reunión y comunicación a lo largo de la diacronía ordinaria. Eso sería la historia conexa de los profesores, llna y totalizadora;

2º) la historia recurrente, adosada a la última con fecha de las verdades, es decir, a la verdad. De esas ucronías por selección, sólo se seleccionaría la más reciente. Es la historia que arrastra tras sí toda invención reestructurad ora del sistema. Hay una p/¡¿ralidacl de ellas, su atributo principal es el de ser f'iltrantes. Así considerado, el conjunto de esas historias se presenta como una sucesión de filtros puestos llnos sobre otros. Como la historia, el sistema es aquí dife­rente de la totalización. Es más selectivo que acumulativo;23

23La oposición entre esos dos tipos de historia, entre la acumu­lación y la selección, da cuenta naturalmente del indeterminismo señalado arriba. Es la oposición entre la pérdida necesaria y la ausencia de pérdida dada como ideal.

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32) la historia que es la ciencia misma como movimiento original, como formación indefinida de un sistema.

Desde luego, la diversidad de esos tipos de historia corresponde a concepciones diversas de la temporalidad. De ahí la profundidad de la solución leibniziana: reducir el tiempo a un orden y considerar las indeterminaciones precedentes como la posibilidad de Wla gama de soluciones. El espacio sistemático restituye todas las líneas crónicas posibles.

De manera que es necesario considerar la cuesti.ón por otro lado: en lugar de pasar de la descripción de un sistema

l a las distintas posibilidades de proyecciones históricas, ! pasar de descripciones históricas a la posibilidad de pro­r yectarlas en un sistema, Intentemos entonces relatar una ~ historia única y totalizadora, intentemos después plantear

en ella filtros sucesivos, subengendrados por sistemas dife­rentes.

Platón pregunta: ¿Dónde está el cuadrado, dónde está la diagonal? No en la palestra, no en la arena en que escribo. Es una forma en el cielo de las formas. Ya no nos hacemos la pregunta "dónde"; sino que planteamos "cuándo". ¿En qué momento, en qué época, la diagonal del Menan. interviene como la forma pura que Platón tiene en mente? ¿Qué significa esa pregunta que nos lleva a sustitu.ir el cielo inmóvil y eterno de la cosmologia, por el cielo cambiante de la cosmogonía?

Y bien, érase u.na vez el cuadrado de Pitágoras, blasón mítico que llevaba en cruz las diagonales del Puente de los Asnos. Llegó el cuadrado de la cr.isis y su diagonal irracional,

I nau.[ragio en lo absu.rdo. Euclides lo concibió de nuevo en Wl universo coherente. Hubo cuadrados de Arquímedes, los de las cuadraturas, y el cuadrado imaginativo de los que soñaban con cubrir el círculo. Disponiendo el plano según dos ejes de referencia, Descartes lo llenaba de una red de paralelogramos que, rápidamente, se transformó en pavi­mento de cuadrados. Por la misma época, Arnauld, Pascal y otros disponían cuadrados aritméticos, mágicos, pronto

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satánicos. El viejo cuadrado lógico de la lógica menor reapa­rece con Leibniz que distribuyó conceptos según esa forma, indefinidamente reiterada, nuevo modelo de la dicotomía. Pronto, el álgebra va a conocer los determinantes cuadrados cuyas diagonales son a veces notables; va a manipular matrices, a veces cuadradas. El cálculo de probabilidades ya no puede prescindir de los cuadrados latinos. Llegó el día en que la diagonal volvió a ser, en geometría, 10 que nunca había dejado de ser, un vector. Ya ahí la antigua topología combinatoria llamaba curva de Jordan al cuadrado arcaico, homomorfo a un círculo, a una elipse, a toda curva cerrada. Los métodos de Cantor condujeron a atribuir al conjunto de sus plrntos el poder del continuo, por equipolencia al con­junto de los puntos sobre el segmento (0,1). Al mismo tiempo, la diagonalización se volvía un método clásico en la geometría algebraica, en la topología algebraica, hasta en la teoría de los conjuntos. Y, en lo sucesivo, diagonal y cua­drado son esquemas en el sentido del álgebra nueva, o de los grafos, en el sentido de la teoría de los grafos.

La variación histórica está lejos de ser completa pero, por el momento, basta para hacer ver el devenir casi caótico de una forma ideal; tan caótico, además, que ningún ma­temático aceptaría ver ahí una historia; para él, es decir, desde el punto de vista de la verdad, nunca o casi nunca se trata de la misma forma; o si se acepta, grosso macla, ver la misma forma, nWlca es el agente del mismo pensa­miento.2.1 El firmamento platónico es el asiento ele un devenir donde el nuevo problema es saber cuál es la moda­lidad. ¿Se puede imaginar lUl modelo, o modelos de la evolución de una idealidad pura? ¿Es posible esa monografía? ¿Es la monografía de un mismo grafo?

2·\ O, mejor dicho, del mismo sistema. Es un átomo para un sistema. De manera que cambia de sentido con el sistema que la contiene y la vuelve posible: la palabra cambia de sentido desde el momento en que cambia la lengua.

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La evolución se complica hasta el caos. Un átomo de forma no tiene la misma situación, ni el mismo peso, ni el mismo sentido, en ningwl sistema que subraye la diacronía. Cada corte sincrolllco dispone determinadas redistribuciones, opera determinadas reestructuraciones. La forma seguida es aquí un elemento principal, allí una escoria abandonada, más allá un sedimento arcaico

, retomado, reintegrado, reactivado por la generalización. ¿Se " trata entonces de una misma forma, o de una forma que es

siempre otra? En general, ¿la historicidad de la ciencia es continua o discontinua? En cualquiera de los dos casos, ¿cuál es su sentido?

Se conoce la historia del "Menan, la reconstitución por parte de un ignorante de una secuencia demostrativa, considerada como anamnesis. En [aval' de la cadena geométl'ica, la comunicación se restablece con un mWldo olvidado. Más allá de la significación autóctona de la anéc­dota en el platonismo, ¿hay una manera de tomal'la en serio en el contexto de nuestras cuestiones? Porque pone en juego varios tipos de temporalidad: primero un desgarro en la tradición, luego una continuidad restablecida; primero una recurrencia, una vuelta, luego una teleología restablecida, de tal manera que el instituidol' y el ignorante están juntos en una temporalidad casi circular, reiterada inde.finidamen­te.

Ahora bien, esa situación platónica es una situación matemática ordinaria. Releamos, por ejemplo, el capítulo V del Racionalismo aplicado: Gastan Bachelard retoma el teorema de Pitágoras en el lenguaje contemporáneo de la ,teoría de los grupos. Sigue siendo la situación del Menan, reforzada por la similitud de los problemas. El texto de Bachelard vuelve a dar existencia a una imaginería geométrica olvidada, a través de la teoría de las estructuras, explica la situación histórica de una geometría perdida en medio de una nueva prioridad, exhuma Wl origen oculto, encuentra un mundo arcaico como consecuencia marginal, como modelo tecnológico trivial del nuevo mundo. Pero el

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vuelve mala suerte o infeliz culpa; la nOClOn de espacio vectorial me impone olvidar, reducir toda una diacronía, toda una historia, que para el pensamiento lúcido no es más que el elrama ele un enceguecimiento. Me hace saltar por encima de la axiomática de Euclides-Hilbert, en el sentido que la tome. Aquí también la recurrencia divide, desconecta la comwlicación tradicional, que sólo podría seguir como capa cultural sedimentada. La historia ele esta ciencia ya no es más que la historia de un cierto moelo ele no ciencia, de cierta modalidad de no saber, de cierto tipo de impureza. La inversión de la teleología se manifiesta en la medida del reflujo de la recurrencia: la diagonal fue suicidio y naufragio, hubiera debido ser Wl nacimiento, un resurgimiento, el renacimiento de una geometría más elevada y más pro­funda, su origen mismo por la escisiparidad liminar entre lo métrico y lo vectorial.

Este ejemplo es común, expresa la situación habitual de las matemáticas como movimiento vivo. Recomencemos una vez más la misma historia: adosemos el juicio recurrente ya no a las estructuras de grupo o de espacio vectorial, sino a las estructuras topológicas. Somos reconducidos a los orÍ­genes: ya no al origen lógico, o histórico, sino a las condi­ciones fWldamentales de la constitución de las idealidades espaciales. De manera que las idealidades que las Ieleen ... I denominan morfológicas son descubiertas en el basamento de la geometría, no en un estiJo intencional o en el terreno arcaico de la pregeometría, sino en un curso ya tematizado, en la geometría misma. El pensamiento matemático ya sabía emplear, en la misma época en la que Husserl escribía, las idealidades de círculo, de entallado, etcétera-curvas de J ordan, superficies de Riemann, esferas munidas de bonetes cruzados, etcétera-, antes de consentir en proveerse las herramientas seudo-originales de la métrica pitagórica; sa­bía borrar la confusión histórica de lo puro matemático y de lo métrico, ese equívoco constitutivo de la tradición que nevaba a que los filósofos se creyeran liberados del mathematon, una vez liberados de la métrica. Por medio del

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retronanálisis, el pensamiento geométrico descubre una nueva pureza que no debe nada a la medida, anterior a la medida, y suspende de nuevo veinte siglos de tradición equívoca, los percibe como impuros y confusos, tecnológicos y aplicados, en suma, no matemáticos, los oculta como allsentes y fallidos (a la inversa de la terminología de Kant y de Husserl). Invierte de nuevo nuestra visión del origen haciendo del milagro un escándalo. ¿Cómo pudo la tradición hechar raíz en medio del tronco, en un lugar arbitrario, milagroso por 10 arbitrario? Es milagro, es decir, oportuni­dad y azar, que los griegos hayan sabido tomar el tren en movimiento, en llil momento en que ya estaba todo en funcionamiento, eIl que los conceptos estaban mil veces sobredeterminados -no milagro de la pureza ultraele­mental, sino milagro de haber designado como puro un mineral complejo y combinad 0-. La regresión topológica impone el olvido de la tradición y el recuerdo de una constitución espacial tapada por el milagro griego, tapada por el equívoco del milagro griego. Dicha regresión suspende el lenguaje tradicional por ambiguo y practica la disociación preliminar entre la pureza no métrica y la medida. Toda la historia de la ciencia no es más que la historia de una impureza, es decir, de cierto tipo de no matematicidadY

Las matemáticas están entonces en situación de diálogo transhistórico, en sentido directo e (o) inverso al Men6n, de diálogo continuo con un científico tradicionalista ignorante, es decir, con el historiador de su propia ciencia, con un doxógrafo de lo que supera la doxa, por un olvido del saber y un recuerdo de 10 no sabido preliminar, para una elección decisiva entre reactivaciones y ocultamientos. Asimismo, es indiferente que Pascal. haya reinventado a Euclides, como se dice -lo que al menos dos veces es un mito de historia-

25 Desde luego, esa puesta entre paréntesis de la tradici6n comprende las geometrías no euclidianas como realizaci6n última de la métrica en general.

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dor-; no así que haya reengendrado la geometría a partir de prioridades más profundas, que eran apolíneas y debían volverse argosianas: de ahí la elección entre varios olvidos y varios recuerdos. Así, todo terreno ganado ilumina u oculta la histor.ia de las ciencias, a ritmos casi afeatorios: la invención corriente inventa precursores, o sedimenta confu­siones. No sorprende que la historia tradicional sea indeterminista, ya que proviene de una ordenación a posteriori de una teleología imprevisible. Más aún, se ordena posteriormente a la indeterminación señalada más arriba: porque la complejidad del sistema que es la referencia ve­rídica del juicio de recurrenciahace que sea difícil distinguir las tradiciones y los orígenes que es vital ocultar, de los orígenes y de la tradición de los que urge acordarse. Me gustaría designar esta dificultad como el hogar viviente de la historicidad matemática en general, el lugar en que se traban las conexiones, donde se cortan las adherencias impuras destinadas a sedimentar, en suma, el punto lu­minoso de la invención.2G El matemático no deja de sus­pender la tradición y de volver al origen (a la vez lógico y constitutivo), o de tapar el origen y reactivar la tradición, de cortar y (o) conectar diacronÍas alternadas de todas las maneras concebibles. El matemático inventor es amo del

26 La invenci6n matemática es lo que queda de una apuesta a la imaginaci6n y de contra ejemplos que se le suscitan. Es el residuo de la conjetura y la crítica, del sueño y del error. Esta descripción no es psicologista: las lógicas modales analizan admirablemente ese estado de cosas. Ahí la necesidad está dada como una posibilidad por cada dos negaciones: lo que no puede no ser. Si se expone desde su génesis la definición 1 6¡,>i ca, queda por establecer lo posible, y por destruir los contraejemplos que destruyen lo posible. Claro está, la imaginaci6n desempeña el posible inicial. Es CUl~OSo ver a Leibniz, por ejemplo, inventa¡' un arte de inventar en el centro de una metafísica basada en la l6gica modal, es decir, en el cuadro l6gico­metafísico: posible, imposible, necesario, contingente. Hay así una génesis de la necesidad, que es arte de inventar con y por rigurosidad.

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tiempo JI de la historia, inventa el tiempo de su ciencia y, por eso mismo, el tiempo de la historia que buscamos recuperar después de él. Como el dios de Leibniz, lee sobre una idealidad formal en formación el pasado oculto, el presente activo y los posibles, aplica la teleología sobre la recurrencia al punto focal del que yo hablaba; en un sistema que es una red en la que cada elemento es entrecruzamiento de diacronÍas anacrónicas, él es libre de cortar o de renovar: del Diálogo de los muertos al Reino de las Parcas. El hacerse cargo de la matematicidad, la responsabilidad asumida de la pureza como devenir vivo, implican rula actitud original, excepcional y libre frente a la historicidad. No sólo toda promoción de una forma es reforma de la temporalidad o constitución de un nuevo modo de la historia, sino sobre todo el carácter antihistórico de la forma pura hace que evolu­cione en un tiempo que es la proyección de todas las moda­lidades imaginables de la temporalidad. La ahistoricidad es descubierta no como la ausencia de tiempo sino como la fusión de todos los tiempos posibles: imprevisible, determi­nado y sobredeterminado, irreversible y reversible, finaliza­do y recurrente, conexo y siempre cortado, referido a uno, dos, mil orígenes, muerto, olvidado, continuado, acelerado de manera fulminante y así sucesivamente.27 Una historia de las idealidades ahistóricas sólo se entiende si se concibe una pan historicidad, una temporalidad compleja, finamente hojaldrada. En cierto modo, los lineamientos tematizados por Husserl en la Krisis son envueltos por las matemáticas como un caso particular o simplificado: necesariamente, las matemáticas siempre están en crisis, y siempre resolvién­dose. Sin duda estoy obligado a volver sobre este punto.

Es preciso saltear los ejemplos y ahora intentar

27 Incluida la posibilidad de reescribir numerosas veces la Ucronía de las matemáticas: una conversaci6n sobre la pluralidad de los mundos olvidados.

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reconstituir, partiendo de lo simple, el enmarañamiento complejo de los distintos modos de temporalidad que se presentan. Sólo puedo consagrarme a este examen -se me perdonará la ingenilldad- a través del método de Los mo­delos. Asimismo, en presencia de la complejidad espacio­temporal de nuestras informaciones sobre el mundo -ese mundo que los griegos consideraron justamente como eter­no-, el cosmologista trata de forjar modelos que den cuenta del máximo de los fenómenos.

Hasta el presente encontramos cuatro conceptos de base: la historicidad propia de las ciencias (matemáticas) podía ser conexa y (o) discontinua; podía ser leída (hecha la reserva de la pregunta acerca de quién la lee de talo cual modo) en el sentido directo de la teleología o en el sentido inverso de la recurrencia. En una primera aproximación habría cuatro tipos de modelos elementales: conexos directos y recurrentes, inconexos recurrentes y directos. ¿De qué estados de cosas dan cuenta esos modelos?

CONEXOS INCONEXOS

DIRECTOS conexos inconexos

directos directos

RECURRENTES conexos inconexos

recurrentes recurren tes

1. Los modelos conexos directos son a la vez modelos tradicionales y los de la tradición.

Su interés radica en expresar bastante bien: a) la temporalidad de la deducción o del encadenamiento

riguroso, a la manera de Descartes. Sobre el camino lineal sin corte, es imposible saltar la

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red; de cualquier manera que se lo tome, "ese camino ya no puede perderse de vista". La velocidad de propagación sobre esa cadena es variable, y puede ser fulminante como se ve en el razonamiento por recurrencia. Pero no es la forma de esta temporalidad lo que aquí nos interesa directamente.

b) la forma de la comunicac.ión maestra, de la trasmisión perfecta de la información.

El término matemáticas adquiere aquí su sentido pri­mero de Jla.v8avElv: aprender, haber aprendido. Es que las matemáticas proporcionan el ejemplo de una comunicación casi perfecta, de una información unívoca desde la emisión a la recepción. Tan verdadero es esto que nada impide pensar que su origen mismo resida en un diálogo en el que los dos interlocutores disputan juntos contra las potencias del ruido. Las matemáticas se adquieren desde el momento en que aquellos obtienen la victoria. De manera que es natural que el platonismo presente una filosofía del mathématon puro y simultáneamente lila dialécti.ca, to­mando el último término en el sentido de Benoít Mandelbrojt. Más arriba intenté se11a1arlo, al definir el papel de un tercer hombre, o de un tercero enturbiador del diálogo, al que apuntaría la exclusión platónica. La desmaterialización que describe Mugler se reduciría enton­ces a esa exclusión, que sería una condición del pensamiento puro, en la intersubjetividad trascendental. Que nadie entre aquí si no es geómetra. Planteado esto, las matemáticas se definen fácilmente como el mundo de la comunicación purgada al máximo de ruido y, en consecuencia, de la tradicionalidad sometida al mínimo de pérdidas: la vía de comunicación está, por esencia, conectada por todas partes y sin cortes; caso límite, excepcional y sin duda paradojal de la historicidad en el sentido corriente. El camino continuo que designa el modelo ya no puede faltar porque es esencial que la informac.ión se conserve en su totalidad significante, porque es imposible que la comunicación se enturbie o se rompa, salvo por una caída en la no-matematicidad. Dicho de otra mantera, las matemáticas se trasmiten enteramente

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o no se trasmiten. La rem1l11scencia del }.t[enón es una reconexión, o la responsabilidad integral del heredero, que ha aprendido una tradición no susceptible de contra-sentido, de equívoco o lagwla. A la inversa, una concepción corriente de la historia que tuviera como base un modelo conexo es una ilusión de la razón pura, proveniente de la forma excepcional o límite de la tradicionalidad matemática.

cl se sigue que el modelo expresa una [arma de historicidad con tinua, polarizada de manera irreversible por un fin, y que deja para siempre de lado su origen: el acto ele nacimiento o ele constitución a partir ele los arcaísmos prehistóricos sería un punto de no retorno.

Naturalmente, la extensión progresiva del campo ma­temático, la purificación continua de sus conceptos, el poder siempre reforzado de sus métodos, el movimiento avanzado hacia unas matemáticas concebidas como horizonte, hacen pensar en una forma evolutiva conexa, puntuada por esta­dios o etapas, para decirlo con Brunschvicg, o mejor de crisis, como seüaJan los conjuntistas de comienzos de siglo. Esos estadios o crisis no serían más que reorganizaciones globales de un saber trasmitido sin pérdidas, por lo tanto, ince­santemente a.cumula.do. El call1ino, una vez más, no podrá faltar porque es acumulativo, porque cada etapa, como punto notable de acumulación, no sería más que una reor­ganización de un conglomerado demasiado disperso, una sistematización de elementos sueltos. El camino se desvía porque se hace sustentar la matematización no ya en Jos átomos sino en la totalidad d.istributiva de las disciplinas. Cada punto de inflexión es Wl punto de inflación y de reconstrucción. Así, Euclides, Leibniz, Cauchy, etcétera, recuperan la totalidad de la historia en un sistema totali­zador: condensación y consistencia. Un buen sistema mate­mático, es decir, un sistema universal, se daría como un corte sincrónico en un momento de inflexión de la diacronía. Bachelard había visto muy bien ese estado de hecho; "Cuando Wl concepto cambia de sentido es cuando más sentido tiene". La verdad de esos destellos de sentido está

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dada, en cierta forma, por la filosofía misma: Platón y los irracionales, Descartes y la geometría algebraica, Leibniz y el cálculo infinitesimal, Husserl y la crisis de los fWlda­mentos.

El modelo de partida se afina: ya no es lineal, sino que esquematiza una diacronía a través de grados, intervalos o diast~mas, reunidos por momentos de sistema, de reorga­nización global. Un corte sincrónico cualquiera en los in­tervalos revela el sistema precedente, más capas nuevas que no forman parte de él y que no se le pueden integrar. Es la torre de Babel que indefinidamente queda por reconstruir y que es urgente reconstruir desde el momento en que las nuevas promociones ya no pueden utilizar entre ellas, ni con el sistema precedente el mismo lenguaje. Se vuelve nece­sario entonces remlificar por medio de mI sistema, que no es más que un diccionario forjado por una nueva comW1i­cación perfecta. Trabajando sobre un zócalo sistemático común, Gergonne, Cauchy, Abel, Galois, Cantor, etcétera, lo superan, crean una confusión de lenguas tal que en de­terminado momento se puede pensar que las matemáticas han muerto, lo cual conduce a reconstituir un nuevo zócalo que condense la etimología común a su lenguaje, haciendo así renacer la matematicidad, y así sucesivamente, hasta la reunificación de Groethendyck, etcétera. De manera que Platón, Leibniz, los contemporáneos, crearon lenguas, carac­terísticas m1iversales nuevas. A principios de siglo, nos hemos encontrado con mla situación leibniziana.

2. Modelos conexos recurrentes. Este análisis tiende a mostrar que las matemáticas no estuvieron de una vez para siempre en situación de origen. La edificación de un lenguaje nuevo para una nueva comunicación perfecta, la constitu­ción de nuevas idealidades, la necesidad de hacerse cargo de la totalidad del edificio conducen al científico, negado el momento de las grandes empresas sistemáticas, a retomar la integralidad del camino recorrido. Por eso el juicio de recurrencia no cabe sólo a la práctica histórica, sino sobre todo a la práctica epistemológica. La puesta en duda, el

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cuestionamiento de los fundamentos y el análisis en detalle de las idealidades elementales primitivas, percibidas retroactivamente como nociones hojaldradas, estratificadas, como casos particulares complejos de idealidades todavía más primitivas, son actitudes comunes del matemático. Más arriba vimos el triple regreso a formas espaciales euclidianas seudo elementales o seudo primitivas. No se terminaría nunca de decir cuántas veces se ha vuelto a examinar la cuestión sobre la recta real, el cero, los números enteros, la igualdad, la diagonal, el círculo; cm'intas veces la respuesta a esa cuestión terminó siendo una idealidad que ftLnclaba efectivamente la idealidad cuestionada, no sólo por su estructura axiomáticamente definida, sino en su cons­titución misma (por ejemplo, la recta R, sobre la que durante mucho tiempo se preguntó si tenía una topología natural o si se la proporcionaban ciertas topologías).

Todo sucede como si hubiera que conjugar el movimiento directo de la teleología y el movimiento invertido de la recurrencia en un diagrama circular o, mejor aún, espiralado, como si la amplificación de la teoría sólo ob­tuviese su eficacia a partir de la reiteración indefinida de los pasajes por el origen, en sí misma reconsiderada a través de las armas metódicas fOljadas en el curso de la extensión. Habría en eso una forma de modelo de feecl-back, de retroalimentación (de la amplificación por la fuente y de la fuente por la amplificación). Si no es con Anteo, que obtenía su fuerza al apoyar su pie sobre la Tierra, al menos nos encontramos tres veces con la anécdota del "A1enón: por la conjugación del progreso directo y de la anamnesis; por la ejemplaridad matemática que revela su carácter esencial, ya que sólo las matemáticas proporcionan el camino de una comunicación fulminante y sin equívoco con el origen, co­municación de la que ninguna otra experiencia histórica puede dar idea; por último, por la reiteración indefinida­mente posible del proceso.

Como indica Leibniz, sería posible hacer practicar a un esclavo del mundo olvidado la anamnesis de un mundo dos

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veces olvidado, et ita porro. El origen de las matemáticas es puesto al desnudo en cada gran momento de reconstitución (históricamente esto es visible desde el exterior) y con cada reconstitución (el movimiento es perceptible desde el inte­rior). Repito: la recurrencia no es en principio Ull movi­miento historiográfico; no basta con decir que cada avance impone reescribir la ucronía de lo que antecedió, dirigir toda la perspectiva río arriba en términos de "lo que se hubiera debido pensar". No basta con decir que la historia de las matemáticas tiene una escala de datación análoga a la del mármol de Paros. En primer Jugar, es un movimiento propio de la temporalidad matemática como tal, en la medida en que se presenta como reestructuración sistemática continua. La recurrencia propiamente histórica no es más que la segunda consecuencia de ese movimiento interior y original. Los Eléments d' histoire de Bourbaki son el retrato especular de los Elementos de matemáticas, la proyección en una diacronía de lb que -de hecho- sucede en el sistema, la exposición en una génesis histórica de la génesis sistemá­tica. Tales promociones -la del cálculo infinitesimal, de la teoría de los grupos, de los conjuntos, de las categorías­tienen una resonancia global en la totalidad del edificio, y se propagan de manera fulminante hasta sus fUlldamentos primitivos, como si el último constituido hiciera replantear el conjUllto de la constitución. Y de nuevo no se trata sólo de condiciones lógico-axiomáticas, sino también de condi­ciones de constitución: en los albores del cálculo infinitesimal, lo que era cuestionado no era sólo lo verdadero o lo falso; y el rigor del encadenamiento era la matematicidad completa, y más todavía su fundación en un mundo. Lo que se ponía en tela de juicio era la Tierra y las estrellas fijas. Ese movimiento recurrente, propagado ver­ticalmente en el sistema a partir de esas promociones, manifiesta que existe una arqueología contemporánea de los progresos decisivos, mejor aún, que un progreso no es decisivo sino cuando descubre los arcaísmos primitivos, en el momento mismo en que se produce. Hay simultaneidad

l

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de la aceleración teleológica y de la recurrencia arqueológica. De ahí la originalidad de la temporalidad matemática que en un mismo momento se dirige hacia su '!ÉAOC; y su co­mienzo. Se sigue, prácticamente, que si quiero estudiar la cuestión histórica, o lógica, o gnoseológica, o trascendental, del origen de las matemáticas, puedo interrogar a Tales o a Pitágoras en el mito, a Desargues y a Descartes en la historia, a Bourbaki o a Groethendyck en el presente vivo. Un or.igen cualquiera es el origen mismo.28 Más aún, ese estudio pone en evidencia estructuras comunes a cada uno de ellos, estructuras que responden a la cuestión.

De ahí la simpleza del modelo siguiente: observo que el primer esquema no es diferente de un cono -modelo que no es nuevo desde Bergson o Einstein-, que cada corte sincrónico o sistemático es un corte de ese cono, como diría Desargues, que en el intervalo entre esos cortes se dibujan todas las geodésicas convenientes, trazadas en hélice sobre su casco. El interés de este modelo reside en que esas geodésicas progresan de modo indiferente de adelante hacia atrás, o de atrás hacia adelante: lo que conjuga la teleología y la recurrencia. Además, el conjunto de la figura se proyecta en dos nuevos esquemas, según el punto de vista. Se puede afirmar sobre ellos la amplificación progresiva de la teoría, su cierre y la conjunción de la extensión y del pasaje indefinidamente reiterado por el origen. El segundo punto de vista es tal vez más interesante en la medida en que muestra que a toda amplificación corresponde una profundización arqueológica continua: hemos visto, por ejemplo, cómo la geometría nueva había fundado las idealidades espaciales de Euclides a través de las ideali­dades constitutivamente más profundas: estructura de grupo, espacio vectorial, variedad topológica. Por otra parte,

28 De ahí la pregunta: ¿el origen mítico de Tales y de Pi tágoras es verdademmente (hist6ricamente) el primero? Nada es menos segul"O.

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uno se puede preguntar si hace falta leer el esquema en progresión o en regresión, hasta tal punto el análisis preciso de las condiciones basta para ampliar inmediatamente el campo. Porque el método axiomático casi nunca abandona ciertos orígenes. De esa manera, el origen de las mate­máticas está presente en todo el curso de su historia, es un origen perCllrrente. El retorno a las condiciones originarias es histórico (recurrencia), lógico (axiomática), trascendental (constitución).29

3.1vlodelos inconexos. Los modelos precedentes no tienen en cuenta un fenómeno esencial. El movimiento teleológico es un movimiento hacia las especificaciones elementales de las matemáticas en general, concebidas como horizonte: hacia el rigor, la pureza, el refinamiento analítico, etcétera. Por lo tanto, todo corte sincrónico-sistemático es más ma­temático que el precedente; se podría llegar a decir que éste es no matemático para el juicio recurrente, que es un juicio de verdad: es impuro, confuso, poco riguroso -confuso en la medida en que con[wlde, en una sola, estructuras di­sociadas-. El juicio recurrente se vuelve así juicio de aplicación. Para nosotros, la geometría de Tales es una métrica de maestro mayor de obras, la de Desargues es la de un experto en labra de piedras, en trompas, la geometría cartesiana es la de un ingeniero, la de Monge de arquitecto en su aguada (fue llamada descriptiva), las geometrías llamadas no euclidianas son métricas de físico, las matemá-

29 Como veremos, el modelo que se puede instaurar de la ciencia se aproxima al modelo que la ciencia se hace del mundo. Aquí no está en tela de juicio el cielo imperecedero, sino la incorruptibilidad de los átomos. Infinitamente duros e indivisibles, escapaban a la historia, a la usura del uso. Ahora sabemos que pueden partirse pero sobre todo que se regeneran en caso de vuelta a las condiciones iniciales. De manera que el modelo de una "primera creación", relativamente estable de Epicuro a Newton, no puede sino ser abandonada en provecho de un modelo donde la constitución ol"Í­ginaria es un acontecimiento corriente, percurrel1te, que tiene "lugar" en todas partes y en todo momento del "tiempo".

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ticas de Lorentz y de Einstein son matemáticas aplicadas al mundo cósmico o electrónico. A veces, en broma, los matemáticos dicen que son geografías -término que tiene sentido para nosotros, los filósofos. Significa que se trata de matemáticas sedimentadas, reducidas a la tecnología por el movimiento de purificación: más artefactos resultan, cuando más antigua es la sedimentación.30 Es en este sentido que son olvidadas: se recupera al Menón, y un modo necesario de recubrimiento,* el corte, la discontinuidad del tiempo matemático-o De manera que la historia de la diagonal y el cuadrado, que conté más arriba, es una historia lalsa e infiel, desprovista ele significación para el matemático: es un catálogo proyectado ele plano, donde es imposible ver la superposición de las capas de senti.do, la estratificación de épocas diferentes, el relieve exasperado de los mundos olvidados. Habría que leerlo como una superficie compleja, con "corredores" de aceleración fuerte, "pasos" de detención en ascensos, zonas de valores estacionarios, de rupturas y así sucesivamente, como las superficies que concebían Euler y Riemann.31 Porque un sistema dado no recupera todos los sedimentos antiguos, no presentifica la integralidad de la tradición: por el contrario, opera una elección, una selección en su movimiento recurrente, deja fosilizar conceptos como desechos tecnológicos. En el modelo precedente, hay geodésicas ausentes, rupturas de conexión, adherencias definitivamente marcadas: el sistema funciona como un

30 Habría que plantear la pregunta:¿el origen tecnológico de las matemáticas es una ilusión de la recurrencia, o un descubrimiento a través de la recurrencia?

* Ambos sentidos de la palabra reCOlwrement (provenientes de dos vel·bos distintos, reCOllUrer y recolwrir), recuperación y recubl~miento, caben en este caso. (N. de la T.)

31 Incluso sería interesante tomar como modelos superficies no orientables, en la medida en que necesitamos evocar una historicidad con un desarrollo indistinto en dos sentidos, a veces conexo y a veces quebrado. La topología más elemental ofi"ece de aquellos, como todos saben, una superabundancia.

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filtro; el filtrado teleológico de la pureza, el rigor, etcétera, elimina los fósiles. La corriente es más transparente mientras más se descarga de aluviones cada vez más finos. A partir de que se descompone el espacio euclidiano en espacio topológico, espacio vectorial, espacio métrico, grupo de desplazamientos, etcétera, de él no queda más que el triedro de las paredes y el techo que me protege en mi casa .. No conozco técnica más lúcida para seI"ialar los arcaísmos que el filtrado de pureza que realiza el mismo movimiento matemático. En cualquier punto de su curso, es fácil en­contrar pruebas del origen anastradas hasta ahí y dejadas de lado por el filtrado contemporáneo, testimonios de la prehistoria: la situación es igual que en la astronomía donde se pueden recibir informaciones de mundos que ya no existen.

Esto designa dos arqueologías distintas: por un lado, la que es propia del movimiento matemático como tal, que no deja de reactivar sus orígenes y profundizar sus funda­mentos, por la reiteración de su recurrencia interna; que pone en evidencia las idealidades primitivas que no eran matemáticas y que llegan a serlo; que historiza poco a poco la prehistoria y da un lenguaje a lo que no lo tenía: así la topología emplea y tematiza la susodicha morfología. Por otra parte, la que consiste en leer la prehistoria sobre los conceptos dejados de lado que fueron matemáticos y que ya no lo son, en leer la prehistoria muerta en los fósiles acarreados por la historia y abandonados por ella. La primera es la arqueología intrínseca a la ciencia, la segunda es extr.ínseca; reconstituye la génesis perdida de una idealidad perdida: como la del espacio euclidiano. La pri­mera es regresiva y, a la vez, progresiva, porque se entrega al doble movimiento de la teleología y de la recurrencia; la segwlda no puede ser más que regresiva: esa es la razón del poder para descubrir estratos anteriores, incapaz de dar cuenta del fundamento efectivo, es decir, para volver sobre sí misma adaptándose al movimiento progresivo; ese mo­vimiento le está prohibido, ese camino le ha sido cortado

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porque la idealidad de la que trata ya no es matemática. Por el contrario, como la primera conjuga los dos movimientos, es fácil definir las matemáticas mismas como técnica autóctona de investigación arqueológica. Lo que ya se dijo, almque involuntariamente, en el ]vfenón.

En cierto modo, hay una solución continua al viejo problema del origen de las matemáticas, y esa solución es indefinidamente legible en el interior del proceso mate­mático: por eso entiendo que una formación cultural sólo es accesible como prematemática en y por el proceso autóctono de las matemáticas. Cuando la teoría topológica de los grafos matematizó nudos, laberintos y caminos, entonces, y sólo entonces, se pudo comprender que el tejedor era un técnico prematemático más antiguo todavía que el agrimensor, que el hilo de plomo extendido no es más que rula modalidad métrica del hilo plegado de mil maneras diferentes; entonces y sólo entonces se pudo entender a Gordium y Minos como esquemas míticos prematemáticos, más profundamente enterrados que los mitos de constructores. Ninguna otra técnica arqueológica hubiera tenido poder de conducir más acá de la agrimensura tradicional. De donde se sigue que el cuadrado tembloroso dibujado sobre la arena, el grafo dubitativo e inexacto que Platón se negaba a ver, es a la vez de estatuto sensible y puramente matemático. Resulta así que el mundo del grafo tembloroso es el mundo olvidado por Platón mismo, anterior a la métrica inteligible, y entonces, veinticinco siglos después de él, terminamos por acordarnos. De donde resulta que la matematización de lo inexacto me hace descubrir cualquier grafismo en general como la manipulación prematemática de variedades topológicas en general. La matematización me conduce a lo prematemático .

. El problema del origen de las matemáticas es un problema indefinidamente resuelto y replanteado por la matematicidad en general, concebida como temporalidad recurrente y teleológica. Estudiando la dinámica de la co­rriente se entienden los procesos de sedimentación y la existencia de meandros olvidados. Paso directamente del

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cuadrado en la arena a la variedad topológica, dejanelo ele laelo el meandro ellclidiano: cortocircuito flllminante con un peqlw10 esclavo hijo de la tierra. Y, de nuevo, la situación es la misma que en la astronomía, donde indefinidamente sé esperar del porvenir informaciones provenientes de los mundos más remotos.

Leibniz y más tarde Engels, entre otros, pusieron en circulación el temor de que la acumulación del saber con­duzca tan fatalmente a la barbarie como su ausenc.ia. La ciencia se desplomaría bajo su propia proliferación. Esto hace pensar que el avance progresivo de los conocimientos es una recuperación recomenzada de la totalidad distributiva del saber anterior: proceso acumulativo de una enciclopedia convertida en bola de nieve sobre sí misma; lo cual devuelve la confianza en los modelos conexos de la historia. Con respecto a las matemáticas, está claro que las cosas no suceden de la misma manera.32 Más bien filtran su herencia que asumirla en su integralidacl; o mejor, la asu­men filtrándola. Por eso mismo, las matemáticas se sinte­tiza,n al aumentar, se reabsorben al acul7wlarse. Determi­nado teorema sobre el triángulo aritmético vuelve inúti1es tres volúmenes de cálculo sobre la Harmonie de R.P.Mersenne, una página de De Arte Combinatoria su­prime las diversas técnicas del tipo de Lulle, tal o cual estructura asume ele golpe toda una galería de moelelos. Entonces, la historia de las matemáticas es una historia cle la teoría ele las teorías: la ciencia de la ciencia substituye indefinidamente a la ciencia misma, como si la síntesis sucediera a la dispersión para aniquilarla de Wl plumazo, como si se accediera a la posibilidad de decir en una palabra tocio el trabajo de Sísifo. El juicio recurrente descubre así

32 Desde luego, el temor leibniziano todavía debe atormentar­nos, si es verdad -y es verdad-, para retomar la [rase de Auguste COlute, que la ciudad cultural está constituida ahol"8 más pOI' vivos que por muertos.

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una ciencia de la repetición, la reiteración aquí y allá de una palabra que no se sabía decir y que, a partir del momento en que es dicha, interrumpe la aventura. Es en este sentido que Descartes decía que Desargues había planteado "la metafísica de la geometría", que Leibniz reprochaba a los científicos de su época "hacer rodar siempre la misma piedra", que Gallois recomendaba "saltar por encima de los cálculos", que Bachelard aconsejaba no errar en el negro revoltijo del gralismo. Es decir que una gran invención científica es tanto anulación, supresión de un campo del sabel~ como promoción del saber: cierra con su sésamo todo un dominio que apenas se comprende después de aquélla, como el infierno donde se desvelan las hijas de Danao. El progreso se hace posible por la supresión de ciertas repe­ticiones, y el juicio recurrente indica los estancamientos. La historia de las ciencias aparece así como una serie de cortocircuitos, una serie de puestas fuera de circuito. De ahí la comunicación fulminante con el origen en el momento mismo en que la invención introduce la erIOX1í de su he­rencia. De ahí los puntos de ruptura, de detención y de reanud ación en un mod elo no conexo.

De ahí las rupturas de conexión y el camino que siempre falta: por un lado, dispongo de informaciones tradicionales provenientes de mundos desaparecidos; por otro, descubro informaciones nuevas provenientes de millldos ajenos a la tradición, llegados a mí por el camino más corto. Las ma­temáticas son arqueología, pero arqueología por el camino más corto, por abandono continuo de los meandros tradicio­nales. Esta situación define los límites extremos del filtro: 10 que el presente dE\ja y descubre, lo que la arqueología reencuentra y abandona, el todo de un mismo movimiento, de nacimiento y de renacimiento, y de muerte sin retorno. Dicho esto, hay que examinar el filtro en el interior de esos límites. Dados dos cortes sincrónicos, la lengua matemática A es anterior a la lengua B, en la diacronía corriente. Es casi siempre posible traducir A a B; inversamente, es raro poder traducir B a A. Por ejemplo, el espacio euclidiano puede

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traducirse al lenguaje topológico, métrico, vectorial: es un modelo de tales y tales estructuras; a la inversa, en el repertorio euclidiano no hay término correspondiente a "va­riedad topológica" ... Mientras que el camino de la recurrencia es considerado como la inversión de la diacronía, ese camino es cortado --en la mayoría de los casos; la co­municación se corta porque la intersección de dos reper­torios puede estar vacía.33 Y ya que el camino presenta puntos de no retorno, se mide la inanidad de una ar­queología regresiva que se limitara a invertir la diacronía, una arqueología que no tuviera en cuenta el movimiento original de la ciencia. Este, por el contrario, al designar estratos más profundos, reinterpreta de vuelta las idealidades superadas o, mejor todavía, define un sistema de traducciones. Cada corte sincrónico comporta sus con­diciones de traductibilidad. El juicio de recurrencia no va del espacio topológico al espacio euclidiano, va de los presu­puestos topológicos del espacio euclidiano a la reinterpretación global del corpus de Euclides. La nueva lengua es anterior y simultáneamente posterior a la pre­cedente, la hace explotar, la parte, la filtra, elimina lo impuro, no guarda de aquélla más que el oro de la matemati.cidad. Cada reestructuración es una suerte de temblor terrestre que descubre bruscamente capas arcaicas y oculta los sedimentos recientes. Si mantengo comunicación fulminante con el origen, no es por el canal histórico tradi­cional, es por el esfuerzo de fundación de las matemáticas mismas. Mi regresión no sigue el camino de la tradición, indefinidamente fuera de circuito, sino el camino vertical de profundización matemática: es a partir de ahí donde reinterpreto la tradición histórica.

33 Esto se agrava d~sde el momento en que se reitera el razonamiento: la intersecci6n no es transitiva. Que la intersecci6n de los repertorios Ay B no esté vacía, así como la de los repertorios By C, no implica que la intersecci6n de los repertorios Ay C no esté vacía.

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Observamos que el sistema de Leibniz era susceptible de autoexplicación, por aplicación de él mismo sobre sí. Acabamos de señalar las posibilidades de traducir una lengua matemática a otra, de manera que el desarrollo de esta ciencia pueda ser enfrentado como una serie de fracasos y logros en tal emprendimiento de traducción: el logro mayor se definiría naturalmente como la instauración de una lengua común frente a una pluralidad de dialectos anterior­mente diferenciados y en lo sucesivo referidos a una lengua­madre, cuyo ejemplo más reciente es el lenguaje matemático contemporáneo, en el terreno algebraico. La invención sería así una aplicación exitosa de una región sobre otra o varias y, en un punto extremo, una autoaplicación del sistema sobre sí mismo.

Por el contrario, las matemáticas estarían en crisis si fuesen a parar a una aplicación de. ese tipo. Esto conduce a la idea recíproca de que todo sistema matemático tomado globalmente -como el de Leibniz- es un al's inveniendi indefinidamente. Su historia es una traducción, retomada a cada instante, historia de los descubrimientos o de los recubrimientos.

Volvamos ahora a ese milagro griego que, decidida­mente, ya no es más que una palabra que escapó aRenan en un momento de alegría. ¿No estamos en presencia, aquí como en todas partes, es decir como en todo momento de origen, de una aplicación de cierta lengua matemática sobre otra, de cierto procedimiento gráfico sobre otro? Las formas geométricas -cuadrado, triángulo, círculo, tetraedro ... -, de las que en ad elante sólo conocemos la "perfección" métrica, no es una condición necesaria de matematicidad; estas formas eran conocidas y utilizadas mucho antes de Tales, como lo testimonian abundantemente las artes decorativas y las tecnologías -alfarería, compuertas, transporte, construcción- de las civilizaciones precedentes, de Egipto a Sumer. Ningún monumento podría informarnos sobre la actitud gnoseológica de los contemporáneos con respecto a estas formas. Pero, de lo que estamos seguros, es de que los

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griegos se pusieron a hablar de ellas, tomán'dolas como objetos de su discurso; de que inventaron llillogos apropiado a su análisis Ca cierto tipo de análisis), que se pusieron a traducirlas a llil lenguaje universalmente comunicable; comenzaron a decodifi.carlas, a descifrarlas; pasaron del esquematismo espacial enrollado sobre sí mismo, inmóvil y comllilicable por el secreto de la habilidad manual, a una lengua que designaba parte de su sentido. En otras pala­bras, sustituyeron la escritura ideográfica de las formas geométricas por llila escritura descriptiva, letras y signos que se aplicaban mejor que la primera: el rigor era el rigor de la aplicación de esa traducción. El milagro griego es ese milagro, tan corriente en matemáticas, que consiste en reconocer en una forma llila ideografia, llil sentido o varios en llil símbolo, en saber traducirlos a un grafismo des­criptivo y comunicable, de manera que las dos lenguas, las dos escrituras mantengan la relación más exacta. De tal modo, se inventa una correspondencia entre un esquema­tismo simbólico y llila característica analítica -como, en la primera aritmética, entre las cosas y los nombres, es decir, las letras del alfabeto-o Pero, como el análisis por carac­teres no llega en término a agotar el sentido compacto del esquema; como, a la inversa, la escritura por signos revela absurdos secretos que la ideografía geométrica no exhibe directamente -contraprueba más bien infligida a la con­ciencia pitagórica por la crisis de los irracionales-, la correspondencia de la traducción es más fallida que exitosa: se vuelve urgente proseguir hacia el horizonte siempre diferido de las aplicaciones perfectas. El milagro griego no designa ya el origen de la geometría, sino un punto de partida para la historia de una cierta matemática: abre la historicidad de la ciencia. La idea -aquí regional- de traducir un esquema a caracteres inaugura una serie in­definida de aplicaciones del mismo orden, sembrada de fracasos y triunfos; desenclava los ideogramas de su inmovilidad prehistórica (y no ahistórica o transhistórica, como intenta señalar cierto platonismo); los desengaña del

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cierre de su sentido, de la comunicación por traspaso inva­riable de que eran objeto en el arte y la técnica; en adelante, la histor.ia está abierta, ahí donde la característica va a poder sacar partido indefinidamente, a través de miles y miles de lenguas, encadenados los sentidos en el esquema.

Desde que Sócrates da al ignorante la posibilidad de hablar, éste se acuerda de su prehistoria muda como de un mundo olvidado: la anamnesis es el recuerdo, a través de un lenguaje comunicable, de lo que sólo está estructurado como un esquema. 34 En la prehistoria, se transmitía como un símbolo hierático, invariante, inaudible, manual. Así recomienza el origen de la historia, con cada traducción a una lengua nueva: instauración, por ejemplo, de una ca­racterística que tiene poder de traducir, de descifrar nudos, caminos, lazos y laberintos; que libera el sentido de es­quemas trasmitidos, de mano en mano, por los tejedores, los decoradores, los escribas y los timoneles, en la prehistoria del lagos. Desde luego, la aplicación inversa es también familiar al matemático, cuando envuelve en un esquema una pluralidad de sentido proveniente de la característica. El milagro griego es el de la historia de las ciencias, sin que los filósofos geómetras hayan tenido otra conciencia de ella que la mítica: el mundo olvidado no es más que una imagen del cielo, mientras que el cielo no es más que el mito de la prehistoria. La historia de las matemáticas es la de los milagros del mismo orden.

Resulta entonces indispensable rectificar los modelos conexos -que seguirían siendo válidos en los casos excep­cionales donde hubiera siempre un repertorio común-o De manera que habría que leer la última proyección como

3·1 Esa estructuración esquemática de la prehistoria en general -científica en particular- o del inconsciente no consciente de su saber o de su logos, de su ciencia, en particular, da cuenta, volviendo a los aforismosde moda, de muchos de los trabajos contemporáneos en el orden de la interpretación y de la arqueologia (Leroy­Gourhanl.

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, una serie de cortes geológicos donde el último es siempre más profundo y da a entender los precedentes, pero por eso

. mismo designa su falta de interés, su carácter superficial y " problemático, su naturaleza prehistórica y prematemática. , Todo lo cual implica un resultado considerable: si no hay

continuidad entre los cortes propiamente matemáticos, porque cada uno pone al precedente en cortocircu.ito, ¿cuánto menor es la continuidad que hay entre las formaciones

. culturales como tales y las formaciones que se diferencian de las primeras en que llevan con ellas la verdad?35

y de nuevo es a partir de las segundas que hay que reinterpretar las primeras. Hasta el presente, veo sólo posibilidades de desprender los basamentos crónicos de las matemáticas si se sigue el movimiento autóctono de las

, matemáticas mismas, porque precisamente la puesta fuera de circuito de la ciencia se efectúa rigurosamente en el interior mismo de su historicidad. Hay una búsqueda de tipo trascendental que es propia de la historicidad matemática; mejor aún, la historicidad matemática es también tras­cendental. Las matemáticas como órgano sistemático formal y en formación son un campo trascendental objetivo e intersubjetiva. Las matemáticas son simultáneamente una ontología formal y una lógica trascendental.

Esta puesta fuera de circuito incesante da cuenta en profundidad del principio de indeterminismo seüalado an­teriormente: o se entra de nuevo por las formaciones cultu­rales y nunca se vuelve a encontrar la ciencia como mo­vimiento original y verídico, o se entra de nuevo por la ciencia misma y se rein terpretan sin cesar las formaciones culturales, difiriendo siempre más en el proceso de

35 En Krisis GIl' parte,parágrafo 31), Husserl habla de "f01'ma­ciones espirituales de cierto tipo que llamamos te6ricas": un estrato te6rico sería una especie singular del género formaci6n. Esto su­pone que el movimiento de la ciencia distendi6 indefinidamente el vínculo del pensamiento te6l'Íco con lo vivido, pero no lo rompi6. Toda la cuesti6n estriba en si lo rompi6 o no.

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excavación lo cultural como tal. Al dirigirse indefinidamente hacia la matematicidad, las matemáticas (y la ciencia en general) se dirigen para atrás hacia otro 'tÉAOr; el de la prehistoria de las prehistorias.

En cierto modo, la ciencia tiende a sllprimir las ca­racterísticas tradicionales de] modelo del tiempo: su carácter direccional, irreversible, la flecha y las plumas (la estabilización) de su vector,3' su carácter continuo, sus ol­vidos y su acumulación mnémica; por su elección reiterada entre una comunicación fulminante y una puesta fuera de circuito, aquella juega tanto el juego de Sócrates, como el de un esclavo. En una palabra, es ama de un nuevo tiempo, inventa un nuevo tiempo, constituyéndolo históricamente a partir de los elementos dispersos por el estallido del modelo antiguo. Ya no se trata de tiempo o eternidad, de tangencia entre el tiempo y lo que está fuera del tiempo, sino de la constitución de Ulla historicidad que recompone a gusto sus antiguas características: por eso hablé de pancronismo y de ucronía, y de no-orientabilidad.

¿Es posible determinar un principio de elección entre los modelos considerados? Observemos, en primer lugar, que el proceso de sedimentación propio del curso de las mate­mc1ticas no deja detrás suyo formaciones lo bastante con­cretas como para que cualquier. otro saber que no sea matemático quede como reservorio del sentido: lección in­augural de la anamnesis el el lvlenón. Sin embargo, la sedimentación prosigue a través de la concreción de lo abstJ:acto. En esas concreciones, cierta matematicidael se conserva y permanece invariante, de manera que la historicidad guarda su punto de referencia, en el interior del organon en general, ele manera que la experiencia histórica resulta -como parte integrante- experiencia matemática

36 Los modelos más recientes de la física intentan explicar, por simetrías, los casos de retomo a las condiciones iniciales, como si la primera creación tuviese lugar en cada momento del tiempo.

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y, a veces, a la inversa. En otras palabras, la historia de las matemáticas presenta un modo original de sedimentación de lo que es claro -sin duda, no de lo distinto- y de lo que es verdadero. Lo verdadero permanece invariante por las transformaciones diacrónicas; lo que cambia, es el concepto de la verdad. La verdad matemática, index slli et lalsi, la esencia automática de esa verdad queda estable -estable por lo automático-- y las matemáticas son estables, o mejor dicho, la matematicidad; lo que varía, con perdón por la expresión, es la filosofía de las matemáticas, es decir el modo de ser de 10 verdadero: pero, como esa filosofía es a.utóctona, de nuevo las matemáticas se transforman. Son entonces la invariancia de lo verdadero en una diacronía siempre conexa, y la variancia de la modalidad de lo verdadero en un recorrido siempre quebrado.

Veamos el campo de las historias muertas: la geometria griega, el análisis clásico, las matemáticas modernas que dejaTon de ser contemporáneas. Muertas y no falsas: ¿qué significa esta .muerte de lo verdadero que nunca vira hacia el error? Muerte singular de sublevados, claridad de una luz inextinguible que se volvió negra y fría, los conceptos se­dimentados no dejan de ser claros y siguen siendo verídicos: desde el fondo de los tiempos, el llamado Pitágoras habla todavía rigurosamente en una lengua todavía audible y no podría ni engaiíarse ni engaiíarnos; y, no hace mucho, el llamado Bourbaki profesa la verdad indestructible. Pero los conceptos claros son semiconcretos, están sedimentados, enrollados en una materia desechable que sólo la nueva verdad sabe disolver para revelar la auténtica verdad de lo antiguo. La única historicidad válida es entonces la de los sistemas (y, en los intervalos, la de su constitución): el modo de ser de lo verdadero reside precisamente en su relación con el sistema. Este es el que vive y muere, como apertura fecunda, luego como materia extinguida. La historicidad quebrada es la de las aletologías, la historicidad conexa es la de una alética.

Creo encontrar en esta encrucijada la más antigua y

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siempre reiniciada de las tradiciones filosóficas, según la cual el más riguroso de los paradigmas del pensamiento teórico reside en la contemplación del cielo. Todo sucede como si los modelos que la filosofía puede hacerse de la ciencia fuesen isonwlfos a los modelos que la ciencia se hace del mundo. No quiero insistir en la herencia que, de los jónicos al Timeo y De Caelo, de Tolomeo a Bruno, de Tycho­Brahe a Pascal y Leibniz, de Copérnico a Newton y Kant, de Laplace a Comte, de William Thompson a Nietzsche, y hasta el gran texto de Husserl sobre la inmovilidad de la tierra, no se ha desmentido. ¿Qué ha sido hoy de ese filosofema? Se ha conservado invariante, por las variaciones de la teoría del mundo y de la teoría de la teoría.

Al principio, llevamos la historia al terreno del modelo ideal al mismo tiempo que al del modelo del universo. Si los objetos del cielo parecían a nuestros precursores tan esta­bles y puros como las idealidades del pensamiento teórico, sabemos hoy que el rigor y la pureza están en devenir como las estrellas que nacen, env~iecen y mueren en su nova, dejando residuos que pueblan los universos residuales. La teoría es una historia, la pureza tiene un tiempo propio, como la cosmología tiene de ahora en más su cosmogonía: no hay reposo, movimiento, desplazamientos ordenados, sino origen, evolución y desaparición. Es una revolución astrofísica que conduce el rigor a variancia sin variación de rigor, como en un momento la revolución copernicana cambió las referencias del pensamiento.

De inmediato, observo el cielo como observo el sistema del saber. Aquí y ahora, las ondas visibles o hertzianas se dan para leer informaciones incoherentes o aleatorias con respecto a mi tiempo, al tiempo de mi historia. Una me informa sobre un acontecimiento reciente, otra sobre un acontecimiento de hace millones de años, otra sobre un acontecimiento que no tiene sentido alguno en la escala histórica. Ya no es la eternidad lo que aquí descubro, sino la interferencia infinita de las pistas cronológicas. Simul­táneamente, tengo, reactivo en un mismo pensamiento elos,

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tres, n elementos anacrónicos. Ese cielo de hoy, constitu5do en el presente ante mi vista, ese pensamiento puro del que quiero hacer la histqria, esos dos sistemas, del mundo y del saber, me ponen simultáneamente en comunicación fulmi­nante con los acontecimientos cuya fecha se ha dispersado de todas las maneras imaginables. Y , sin embargo, si quiero entender, debo entender el pW1to de contacto entre mi presente vivo y ese espectáculo teórico-concreto que des­garra, interfiere y complica de manera casi aleatoria todas las secuencias temporales, el punto de contacto entre un cronema y un número enorme de anacronemas, entre un tiempo y una pancronía distributiva. Es sabido que, con respecto a esa indeterminación, se propone un cierto número de modelos del mW1do. Sin duda, hay otros tantos modelos de la historia de las ciencias: Leibniz lo percibió y tomó como orden la teoría relativista del tiempo. Así que también hay .una revolución relativista por realizar en lo que concierne a nuestra visión del universo teórico. Si Bachelard hubiera analizado como tal la esencial complejidad de la ciencia -en lugar de servirse de ese concepto como atributo descrip­tivo-, hubiera llegado necesariamente a la .idea de Revo­lución astrofísica.

En contra de Husserl, diría entonces con gusto que no es la tierra el terreno originario en que agota su constitución el pensamiento teórico; no es la tierra la que da sentido al movimiento y al reposo, porque esos conceptos ya son su­perficiales y residuales. Es la totalidad del universo, a la vez en evolución y en anacronía, 10 que da su sentido al tiempo

. y a la ausencia de tiempo, al tiempo y a a la multitud de los tiempos. El mundo como siempre anacrónico y ucrónico (acrónico y pancrónico) es otra vez el paradigma de la filosofía, el modelo que funda la posibilidad del lugar de tangencia entre nuestro tiempo y la ausencia de tiempo,

:. entre nuestro tiempo y la totalidad de los tiempos posibles. Kant describía una historia de las ciencias que era una

. historia de la pureza. Yhallaba en esa historia la revolución copernicana como acontecimiento que se repetiría en lo

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sucesivo para la metafisica rigurosa. Husserl describe una historia vacía de ciencia, con riesgo de confundir un estrato precien tífico con uno científico, error cometido en su teoría de las idealidades morfológicas, y descubre la tierra como punto fijo originario y referencia trascendental. En lo su­cesivo, hay que escribir la historia de la ciencia como tal, es decir, de las temporalidades interferidas y complicadas en una temporalidad única totalizadora. y para eso activar una Revolución que no tiene epónimo. Es el retorno al mundo mismo, es decir, al Nuevo M~undo.

y de nuevo nos encontramos en el origen, in quodam mundi infantia. Como en cada momento de la historia, tenemos que asumir un deber nuevo, descubrir un nuevo mundo cuya historia incoativa reenvía nuestra cultura ya no a la his toria sino a la prehistoria. Pareciera que estamos por olvidar estratos arcaicos y a comprender idealidades nuevas. Bajo la apariencia de matemáticos contemporáneos, de astrofísicos y bioquímicos, Tales está de nnevo entre nosotros, para invitarnos a nuevas traducciones, a nuevas anamnesis.