SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE SENAafaosenaceet.scienceontheweb.net/slides/Three-Phase...
58
SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE SENA REGIONAL DISTRITO CAPITAL CENTRO DE ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES SISTEMAS TRIFÁSICOS Anderson Ardia Ordoñez
Transcript of SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE SENAafaosenaceet.scienceontheweb.net/slides/Three-Phase...
SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE
SENA
REGIONAL DISTRITO CAPITAL
CENTRO DE ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
SISTEMAS TRIFÁSICOS Anderson Ardia Ordoñez
Agenda
Introducción
Fuentes trifásicas
Cargas trifásicas
Transformaciones ∆ − 𝒀 y 𝐘 − ∆
Sistema 𝒀 − 𝒀
Sistema 𝒀 − ∆
Potencia en sistemas trifásicos Potencia instantánea
Potencia compleja, real y reactiva
Mediciones de potencia en sistemas 3
Introducción
La generación trifásica de energía eléctrica es
la forma más común y la que provee un uso
más eficiente de los conductores.
La utilización de electricidad en forma
trifásica es común mayoritariamente para uso
en industrias donde muchas de las máquinas
funcionan con motores para esta tensión.
El sistema trifásico presenta una serie de
ventajas como son la economía de sus líneas
de transporte de energía (hilos más finos que
en una línea monofásica equivalente).
Introducción
Para transportar tres tensiones monofásicas
necesitamos 6 conductores, frente a los 3 de la
corriente trifásica. Se ahorra en conductor y se
reducen las perdidas de transporte y de los
transformadores utilizados.
En un sistema trifásico balanceado los
conductores necesitan ser el 75% del tamaño
que necesitarían para un sistema monofásico
con la misma potencia en VA por lo que esto
ayuda a disminuir los costos y por lo tanto a
justificar el tercer cable requerido.
Introducción
Elevado rendimiento de los receptores,
especialmente motores, permite el
funcionamiento de motores eléctricos muy
simples, duraderos y económicos, de campo
rotatorio, como los motores asíncronos de
rotor en cortocircuito (motores de "jaula de
ardilla"), que son los empleados en la mayoría
de las aplicaciones de baja y mediana
potencia.
Introducción
Otra ventaja es la posibilidad de disponer de
dos tensiones, una más elevada o de línea y
otra más reducida o de fase. Las tensiones
normalizadas para la distribución a los
usuarios finales para aplicaciones generales,
son de 220V y 380V. Ambas tensiones, se
pueden transportar utilizando las 3 fases y el
neutro, conectando el generador en estrella.
Introducción
La potencia proporcionada por un sistema
monofásico cae tres veces por ciclo. La
potencia proporcionada por un sistema
trifásico nunca cae a cero por lo que la
potencia enviada a la carga es siempre la
misma. La línea trifásica alimenta con
potencia constante y no pulsada, como en el
caso de la línea monofásica.
Introducción
Sistema trifásico balanceado
𝑣𝑎 = 𝑉𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 0°
𝑣𝑏 = 𝑉𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 120°
𝑣𝑐 = 𝑉𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 120°
Introducción
Carga resistiva
balanceada consiste de
3 resistencias iguales
𝑝𝑎 =𝑣𝑎
2
𝑅 𝑝𝑏 =
𝑣𝑏2
𝑅
𝑝𝑐 =𝑣𝑐
2
𝑅
Cada componente oscila
entre 0 y 𝑉𝑚2 𝑅 y su
promedio es 1/2 𝑉𝑚2𝑅
𝑝 = 𝑝𝑎 + 𝑝𝑏 + 𝑝𝑐 = 1.5𝑉𝑚
2
𝑅
Introducción
La potencia es constante
también para otras
cargas balanceadas,
tales como motores
eléctricos 3
Por esta razon, los motores o
generadores 3 experimentan un
torque uniforme y operan mas
suave y eficientemente
Fuentes trifásicas
Un generador 3 consiste de:
• Un estator con 3 devanados distribuidos simétricamente
alrededor de su periferia.
• Un rotor electromagnético manejado a una velocidad
sincrónica por un turbina de gas o vapor, una turbina
hidráulica ó, un motor diesel.
Al rotar se induce en cada devanado un voltaje senoidal
llamado voltaje de fase. Estos 3 voltajes tienen igual frecuencia y amplitud y sólo se
diferencian de su fase por 120º, y se dice que forman un
conjunto de voltaje balanceado.
Fuentes trifásicas
Hay dos formas de conectar los devanados del generador
para formar una fuente 3 balanceada:
Configuración 𝒀 Configuración ∆
Fuentes trifásicas
Configuración 𝒀
Los 3 devanados comparten un nodo común n llamado nodo
neutral 𝑽𝒂𝒏 = 𝑉𝜙∠0°
𝑽𝒃𝒏 = 𝑉𝜙∠ − 120°
𝑽𝒄𝒏 = 𝑉𝜙∠120°
𝑉𝜙 =𝑉𝑚
2
𝑣𝑎𝑛 = 2𝑉𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 0°
𝑣𝑏𝑛 = 2𝑉𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 120°
𝑣𝑐𝑛 = 2𝑉𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 120° Secuencia de
fase positiva o abc
Fuentes trifásicas
Configuración 𝒀
Los 3 devanados comparten un nodo común n llamado nodo
neutral 𝑽𝒂𝒏 = 𝑉𝜙∠0°
𝑽𝒃𝒏 = 𝑉𝜙∠120°
𝑽𝒄𝒏 = 𝑉𝜙∠ − 120°
𝑉𝜙 =𝑉𝑚
2
𝑣𝑎𝑛 = 2𝑉𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 0°
𝑣𝑏𝑛 = 2𝑉𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 120°
𝑣𝑐𝑛 = 2𝑉𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 120° Secuencia de fase
negativa o acb
Fuentes trifásicas
𝑽𝒂𝒏 + 𝑽𝒃𝒏 + 𝑽𝒄𝒏 = 0
𝑣𝑎𝑛 + 𝑣𝑏𝑛 + 𝑣𝑐𝑛 = 0
La suma de voltajes de fase
instantáneos de una fuente
balanceada siempre cero
Voltaje de fase = voltaje línea a neutro
𝑽𝒂𝒃 = 𝑽𝒂𝒏 − 𝑽𝒃𝒏 = 𝑉𝜙∠0° − 𝑉𝜙∠ − 120° = 3𝑉𝜙∠30°
𝑽𝒃𝒄 = 𝑽𝒃𝒏 − 𝑽𝒄𝒏 = 𝑉𝜙∠ − 120° − 𝑉𝜙∠120° = 3𝑉𝜙∠ − 90°
𝑽𝒄𝒂 = 𝑽𝒄𝒏 − 𝑽𝒂𝒏 = 𝑉𝜙∠120° − 𝑉𝜙∠0° = 3𝑉𝜙∠150°
Voltajes de línea a línea o Voltajes de línea
Fuentes trifásicas
𝑽𝒂𝒏 + 𝑽𝒃𝒏 + 𝑽𝒄𝒏 = 0
𝑣𝑎𝑛 + 𝑣𝑏𝑛 + 𝑣𝑐𝑛 = 0
La suma de voltajes de fase
instantáneos de una fuente
balanceada siempre cero
Voltaje de fase = voltaje línea a neutro
Voltajes de línea a línea o Voltajes de línea
𝑽𝒂𝒃 = 3∠30° 𝑽𝒂𝒏
𝑽𝒃𝒄 = 3∠30° 𝑽𝒃𝒏
𝑽𝒄𝒂 = 3∠30° 𝑽𝒄𝒏
Fuentes trifásicas
𝑽𝒂𝒏 + 𝑽𝒃𝒏 + 𝑽𝒄𝒏 = 0
𝑣𝑎𝑛 + 𝑣𝑏𝑛 + 𝑣𝑐𝑛 = 0
La suma de voltajes de fase
instantáneos de una fuente
balanceada siempre cero
Voltajes de línea a línea o Voltajes de línea
𝑽𝒂𝒃 = 3∠ − 30° 𝑽𝒂𝒏
𝑽𝒃𝒄 = 3∠ − 30° 𝑽𝒃𝒏
𝑽𝒄𝒂 = 3∠ − 30° 𝑽𝒄𝒏
Voltaje de fase = voltaje línea a neutro
Fuentes trifásicas
𝑽𝒂𝒃 + 𝑽𝒃𝒄 + 𝑽𝒄𝒂 = 0
Fuentes trifásicas
Relación entre voltajes de línea y de fase de una fuente conectada
en 𝒀
• La amplitud de un voltaje de línea es 3 = 1.732 veces el voltaje
de fase
• Los voltajes de linea forman un conjunto balanceado
• Para una secuencia de fase positiva, el conjunto de voltajes de
línea adelanta el conjunto de voltajes de fase en 30; para una
secuencia de fase negativa, el conjunto de voltajes de línea se
atrasan del conjunto de voltajes de fase en 30
Ejercicio 1 Si una fuente conectada en Y balanceada tiene 𝑉𝑏𝑛 =110∠60° 𝑉, encontrar 𝑉𝑐𝑎 para el caso de una secuencia de
fase positiva.
Respuesta 𝑉𝑐𝑎 = 190.5∠ − 30° 𝑉
Fuentes trifásicas
Configuración ∆
Los 3 devanados se conectan de manera adyacente
formando un lazo
Esta conexión es pocas veces usada en la practica, ya que
cualquier desbalance en el conjunto de voltajes provocarían
unas corrientes alrededor del lazo.
Cargas trifásicas
Conectada en 𝒀 Conectada en ∆
Sin importar el tipo de carga, los voltajes y corrientes en las
cargas son llamados voltajes de fase y corrientes de fase
de la carga respectivamente.
Cargas trifásicas
Conectada en 𝒀 Conectada en ∆
Para una secuencia de fase positiva, los voltajes de fase de
una carga conectada en Y son 𝑽𝑨𝑵, 𝑽𝑩𝑵 y 𝑽𝑪𝑵, y las
correspondientes corrientes de fase son 𝑰𝑨𝑵, 𝑰𝑩𝑵 y 𝑰𝑪𝑵 .
Cargas trifásicas
Conectada en 𝒀 Conectada en ∆
Para una secuencia de fase positiva, los voltajes de fase de
una carga conectada en ∆ son 𝑽𝑨𝑩, 𝑽𝑩𝑪 y 𝑽𝑪𝑨, y las
correspondientes corrientes de fase son 𝑰𝑨𝑩, 𝑰𝑩𝑪 y 𝑰𝑪𝑨 .
Cargas trifásicas
Conectada en 𝒀 Conectada en ∆
Una carga se dice que esta balanceada si sus tres
impedancias son iguales
𝒁𝑨𝑵 = 𝒁𝑩𝑵 = 𝒁𝑪𝑵 = 𝒁𝒀 𝒁𝑨𝑩 = 𝒁𝑩𝑪 = 𝒁𝑪𝑨 = 𝒁∆
Transformación ∆ − 𝒀 y 𝒀 − ∆
Transformación ∆ − 𝒀 Transformación 𝒀 − ∆
𝒁𝑨𝑵 =𝒁𝑪𝑨𝒁𝑨𝑩
𝒁𝑨𝑩 + 𝒁𝑩𝑪 + 𝒁𝑪𝑨
𝒁𝑩𝑵 =𝒁𝑨𝑩𝒁𝑩𝑪
𝒁𝑨𝑩 + 𝒁𝑩𝑪 + 𝒁𝑪𝑨
𝒁𝑪𝑵 =𝒁𝑩𝑪𝒁𝑪𝑨
𝒁𝑨𝑩 + 𝒁𝑩𝑪 + 𝒁𝑪𝑨
𝒁𝑨𝑩 =𝒁𝑨𝑵𝒁𝑩𝑵 + 𝒁𝑩𝑵𝒁𝑪𝑵 + 𝒁𝑪𝑵𝒁𝑨𝑵
𝒁𝑪𝑵
𝒁𝑩𝑪 =𝒁𝑨𝑵𝒁𝑩𝑵 + 𝒁𝑩𝑵𝒁𝑪𝑵 + 𝒁𝑪𝑵𝒁𝑨𝑵
𝒁𝑨𝑵
𝒁𝑪𝑨 =𝒁𝑨𝑵𝒁𝑩𝑵 + 𝒁𝑩𝑵𝒁𝑪𝑵 + 𝒁𝑪𝑵𝒁𝑨𝑵
𝒁𝑩𝑵
Si las cargas son balanceadas, estas ecuaciones se
simplifican a
𝒁𝑨𝑵 = 𝒁𝑩𝑵 = 𝒁𝑪𝑵 = 𝒁𝒀 =𝟏
𝟑𝒁∆
𝒁𝑨𝑩 = 𝒁𝑩𝑪 = 𝒁𝑪𝑨 = 𝒁∆ = 𝟑𝒁𝒀
Transformación ∆ − 𝒀 y 𝒀 − ∆
Ejercicio 2 La siguiente figura muestra la conexión paralelo de una
carga conectada en ∆ con una carga conectada en 𝒀. Asumir
que 𝒁∆ = 20 + 𝑗25Ω , y 𝒁𝒀 = 5 + 𝑗10Ω , encontrar tanto la
carga equivalente ∆ como la carga equivalente 𝑌
Transformación ∆ − 𝒀 y 𝒀 − ∆
Ejercicio 2 La siguiente figura muestra la conexión paralelo de una
carga conectada en ∆ con una carga conectada en 𝒀. Asumir
que 𝒁∆ = 20 + 𝑗25Ω , y 𝒁𝒀 = 5 + 𝑗10Ω , encontrar tanto la
carga equivalente ∆ como la carga equivalente 𝑌
Respuestas
𝒁∆𝒆𝒒 = 16.47∠57.25° = 8.910 + 𝑗13.85Ω
𝒁𝒀𝒆𝒒 = 5.491∠57.25° = 2.790 + 𝑗4.618Ω
Sistema 𝒀 − 𝒀
Nodo neutral de la fuente se designa como nodo referencia
para el circuito
Sistema 𝒀 − 𝒀
𝑽𝒏 = 0
Sistema 𝒀 − 𝒀
Aplicando LKC en N tenemos
𝑰𝑵𝒏 = 𝑰𝒂𝑨 + 𝑰𝒃𝑩 + 𝑰𝒄𝑪
𝑉𝑁𝑍𝑁𝑛
=𝑉𝑠𝑎 − 𝑉𝑁
𝑍𝑠𝑎 + 𝑍𝑎𝐴 + 𝑍𝐴𝑁+
𝑉𝑠𝑏 − 𝑉𝑁𝑍𝑠𝑏 + 𝑍𝑏𝐵 + 𝑍𝐵𝑁
+𝑉𝑠𝑐 − 𝑉𝑁
𝑍𝑠𝑐 + 𝑍𝑐𝐶 + 𝑍𝐶𝑁
En un sistema Y–Y balanceado se dan las siguiente
condiciones
𝑽𝒔𝒂 + 𝑽𝒔𝒃 + 𝑽𝒔𝒄 = 0
𝒁𝒔𝒂 = 𝒁𝒔𝒃 = 𝒁𝒔𝒄 = 𝒁𝒅𝒆𝒗𝒂𝒏𝒂𝒅𝒐
𝒁𝒂𝑨 = 𝒁𝒃𝑩 = 𝒁𝒄𝑪 = 𝒁𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂
𝒁𝑨𝑵 = 𝒁𝑩𝑵 = 𝒁𝑪𝑵 = 𝒁𝒀
Entonces, la impedancia neta por fase es
𝒁𝝓 = 𝒁𝒅𝒆𝒗𝒂𝒏𝒂𝒅𝒐 + 𝒁𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 + 𝒁𝒀
Sistema 𝒀 − 𝒀
𝑉𝑁𝑍𝑁𝑛
=𝑉𝑠𝑎 − 𝑉𝑁
𝑍𝑠𝑎 + 𝑍𝑎𝐴 + 𝑍𝐴𝑁+
𝑉𝑠𝑏 − 𝑉𝑁𝑍𝑠𝑏 + 𝑍𝑏𝐵 + 𝑍𝐵𝑁
+𝑉𝑠𝑐 − 𝑉𝑁
𝑍𝑠𝑐 + 𝑍𝑐𝐶 + 𝑍𝐶𝑁
𝑉𝑁𝑍𝑁𝑛
=𝑉𝑠𝑎 + 𝑉𝑠𝑏 + 𝑉𝑠𝑐
𝑍𝜙− 3
𝑉𝑁𝑍𝜙
= 0 − 3𝑉𝑁𝑍𝜙
𝑉𝑁1
𝑍𝑁𝑛+
3
𝑍𝜙= 0
𝑽𝑵 = 0
Sistema 𝒀 − 𝒀
Como 𝑰𝑵𝒏 = 𝑽𝑵 𝒁𝑵𝒏 , entonces
𝑰𝑵𝒏 = 0
En otras palabras, en un sistema Y – Y balanceado no hay
diferencia de voltaje entre los nodos neutrales de la fuente y
la carga , y no hay corriente a través de la conexión entre
neutros.
De hecho, podemos eliminar dicha conexión sin afectar la
operación del sistema, permitiéndonos ahorrar costos en
alambre.
Sistema 𝒀 − 𝒀
Las corrientes de fase en un sistema Y – Y son
𝑰𝒂𝑨 =𝑽𝒔𝒂
𝒁𝒔𝒂 + 𝒁𝒂𝑨 + 𝒁𝑨𝑵=𝑽𝒔𝒂
𝒁𝝓
𝑰𝒃𝑩 =𝑽𝒔𝒃
𝒁𝒔𝒃 + 𝒁𝒃𝑩 + 𝒁𝑩𝑵=𝑽𝒔𝒃
𝒁𝝓
𝑰𝒄𝑪 =𝑽𝒔𝒄
𝒁𝒔𝒄 + 𝒁𝒄𝑪 + 𝒁𝑪𝑵=𝑽𝒔𝒄
𝒁𝝓
Las corrientes de fase de un sistema balanceado
𝐼𝑎𝐴 + 𝐼𝑏𝐵+ 𝐼𝑐𝐶 = 0
Sistema 𝒀 − 𝒀
Gracias a la propiedad de sistema balanceado, el análisis de
sistemas Y – Y puede ser simplificado significativamente.
Adaptamos los resultados
de la fase a a las otras 2
fases, al aplicar el desfase
de 120° sobre las corrientes
y voltajes.
Para una secuencia de fase positiva, rotamos los fasores
de la fase a 120° (restamos 120°) en sentido del reloj, para
obtener los fasores de la fase b. Por otro lado, rotamos los
fasores de la fase a 120° (sumamos 120°) en sentido
contrario del reloj, para obtener los fasores de la fase c.
Sistema 𝒀 − 𝒀
Gracias a la propiedad de sistema balanceado, el análisis de
sistemas Y – Y puede ser simplificado significativamente.
Adaptamos los resultados
de la fase a a las otras 2
fases, al aplicar el desfase
de 120° sobre las corrientes
y voltajes.
Para una secuencia de fase negativa, rotamos los fasores
de la fase a 120° (sumamos 120°) en sentido contrario del
reloj, para obtener los fasores de la fase b. Por otro lado,
rotamos los fasores de la fase a 120° (restamos 120°) en
sentido del reloj, para obtener los fasores de la fase c.
Sistema 𝒀 − 𝒀
Ejercicio 3 Un sistema Y – Y balanceado en secuencia de fase positiva
consiste de un generador con un voltaje por fase de
120Vrms y una impedancia por devanado de 0.1 + 𝑗0.2 Ω;
una carga con una impedancia por fase de 15 + 𝑗10 Ω; y una
línea de transmisión de potencia por fase con impedancia de
0.5 + 𝑗1 Ω. Encontrar:
a. Las corrientes de línea 𝐼𝑎𝐴, 𝐼𝑏𝐵, y 𝐼𝑐𝐶
b. Los voltajes de fase 𝑉𝐴𝑁, 𝑉𝐵𝑁, y 𝑉𝐶𝑁 en la carga
c. Los voltajes de fase 𝑉𝑎𝑛, 𝑉𝑏𝑛, y 𝑉𝑐𝑛 en la fuente
d. Los voltajes de línea 𝑉𝐴𝐵, 𝑉𝐵𝐶, y 𝑉𝐶𝐴 en la carga
e. Los voltajes de línea 𝑉𝑎𝑏, 𝑉𝑏𝑐, y 𝑉𝑐𝑎 en la fuente
Sistema 𝒀 − 𝒀
Respuestas a. 𝐼𝑎𝐴 = 6.249∠ − 35.68° 𝐴𝑟𝑚𝑠
𝐼𝑏𝐵 = 6.249∠ − 155.68° 𝐴𝑟𝑚𝑠 𝐼𝑐𝐶 = 6.249∠84.32° 𝐴𝑟𝑚𝑠
b. 𝑉𝐴𝑁 = 112.6∠ − 1.99° 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝑉𝐵𝑁 = 112.6∠ − 121.99° 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝑉𝐶𝑁 = 112.6∠118.01° 𝑉𝑟𝑚𝑠
c. 𝑉𝑎𝑛 = 118.8∠ − 0.31° 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝑉𝑏𝑛 = 118.8∠ − 120.31° 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝑉𝑐𝑛 = 118.8∠119.69° 𝑉𝑟𝑚𝑠
d. 𝑉𝐴𝐵 = 195.0∠28.01° 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝑉𝐵𝐶 = 195.0∠ − 91.99° 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝑉𝐶𝑁 = 195.0∠148.01° 𝑉𝑟𝑚𝑠
Sistema 𝒀 − 𝒀
Respuestas e. 𝑉𝑎𝑏 = 205.8∠29.69° 𝑉𝑟𝑚𝑠
𝑉𝑏𝑐 = 205.8∠ − 90.31° 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝑉𝑐𝑎 = 205.8∠149.69° 𝑉𝑟𝑚𝑠
Ejercicio 4 Un sistema Y – Y balanceado en secuencia de fase positiva
consiste de 𝒁𝒅𝒆𝒗𝒂𝒏𝒂𝒅𝒐 = 0.2 + 𝑗0.5Ω , 𝒁𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 = 1 + 𝑗1.5Ω y
𝒁𝒀 = 20 + 𝑗15Ω. Si se desea tener 𝑉𝐴𝑁 = 120∠0° 𝑉𝑟𝑚𝑠, ¿cuales deben ser los voltajes de fase de la fuente 𝑽𝒔𝒂, 𝑽𝒔𝒃,
y 𝑽𝒔𝒄?
Respuestas 𝑽𝒔𝒂 = 130.4∠1.86° 𝑉 , 𝑽𝒔𝒃 = 130.4∠ − 118.14° 𝑉 y 𝑽𝒔𝒄 =130.4∠121.86° 𝑉
Sistema 𝒀 − ∆
Los voltajes de línea de la fuente conectada en Y son los
mismo voltajes de fase de la carga ∆
Sistema 𝒀 − ∆
Las corrientes de línea de la fuente conectada en Y NO son
las mismas corrientes de fase de la carga ∆
Sistema 𝒀 − ∆
Aplicando LKC en los nodos de la carga tenemos
𝑰𝒂𝑨 = 𝑰𝑨𝑩 − 𝑰𝑪𝑨
𝑰𝒃𝑩 = 𝑰𝑩𝑪 − 𝑰𝑨𝑩
𝑰𝒄𝑪 = 𝑰𝑪𝑨 − 𝑰𝑩𝑪
Entonces, las relaciones entre las corrientes de línea y las
corrientes de fase de una carga ∆ son
𝑰𝒂𝑨 = 3∠ − 30° 𝑰𝑨𝑩
𝑰𝒃𝑩 = 3∠ − 30° 𝑰𝑩𝑪
𝑰𝒄𝑪 = 3∠ − 30° 𝑰𝑪𝑨
En otras palabras, en una carga ∆ las corrientes de línea son
3 = 1.732 veces las corrientes de fase
Sistema 𝒀 − ∆
Aplicando LKC en los nodos de la carga tenemos
𝑰𝒂𝑨 = 𝑰𝑨𝑩 − 𝑰𝑪𝑨
𝑰𝒃𝑩 = 𝑰𝑩𝑪 − 𝑰𝑨𝑩
𝑰𝒄𝑪 = 𝑰𝑪𝑨 − 𝑰𝑩𝑪
Entonces, las relaciones entre las corrientes de línea y las
corrientes de fase de una carga ∆ son
𝑰𝒂𝑨 = 3∠ − 30° 𝑰𝑨𝑩
𝑰𝒃𝑩 = 3∠ − 30° 𝑰𝑩𝑪
𝑰𝒄𝑪 = 3∠ − 30° 𝑰𝑪𝑨
Asimismo, la corriente de línea se atrasa de la corriente de
fase en 30º, para una secuencia positiva, y se adelanta 30º
para una secuencia negativa.
Sistema 𝒀 − ∆
Ejercicio 5 Un sistema Y – ∆ balanceado en secuencia de fase positiva,
encontrar 𝑰𝑪𝑨 si 𝑰𝒃𝑩 = 12∠90°𝐴𝑟𝑚𝑠.
Respuesta 𝑰𝑪𝑨 = 6.928∠0° 𝐴𝑟𝑚𝑠
Ejercicio 6 Un sistema Y – ∆ balanceado en secuencia de fase positiva,
encontrar 𝑰𝒂𝑨 si 𝑰𝑩𝑪 = 25∠60°𝐴𝑟𝑚𝑠.
Respuesta 𝑰𝒂𝑨 = 43.3∠150° 𝐴𝑟𝑚𝑠
Sistema 𝒀 − ∆
El análisis de un sistema Y-∆ puede ser similar que el de uno
Y-Y, si conectamos la carga conectada en ∆ en una
equivalente conectada en Y.
Para una carga balanceada, esta transformación es
𝒁𝒀 =𝟏
𝟑𝒁∆
Sistema 𝒀 − ∆
Ejercicio 7 Un sistema Y – ∆ balanceado en secuencia de fase positiva
consiste de un generador con un voltaje interno por fase de
120Vrms y una impedancia por devanado de 0.2 + 𝑗0.3 Ω;
una carga con una impedancia por fase de 90 + 𝑗60 Ω; y una
línea de transmisión de potencia por fase con impedancia de
1 + 𝑗2 Ω. Encontrar:
a. Las corrientes de línea 𝐼𝑎𝐴, 𝐼𝑏𝐵, y 𝐼𝑐𝐶
b. Las corrientes de fase 𝐼𝐴𝐵, 𝐼𝐵𝐶, y 𝐼𝐶𝐴 en la carga
c. Los voltajes de fase 𝑉𝐴𝐵, 𝑉𝐵𝐶, y 𝑉𝐶𝐴 en la carga
Sistema 𝒀 − ∆
Respuestas a. 𝐼𝑎𝐴 = 3.129∠ − 35.56° 𝐴𝑟𝑚𝑠
𝐼𝑏𝐵 = 3.129∠ − 155.56° 𝐴𝑟𝑚𝑠 𝐼𝑐𝐶 = 3.129∠84.44° 𝐴𝑟𝑚𝑠
b. 𝐼𝐴𝐵 = 1.807∠ − 5.56° 𝐴𝑟𝑚𝑠 𝐼𝐵𝐶 = 1.807∠ − 125.56° 𝐴𝑟𝑚𝑠 𝐼𝐶𝐴 = 1.807∠114.44° 𝐴𝑟𝑚𝑠
c. 𝑉𝐴𝐵 = 195.5∠28.14° 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝑉𝐵𝐶 = 195.5∠ − 91.86° 𝑉𝑟𝑚𝑠 𝑉𝐶𝑁 = 195.5∠148.14° 𝑉𝑟𝑚𝑠
Sistema 𝒀 − ∆
Ejercicio 8 Al realizar las mediciones de un sistema Y – ∆ balanceado
se encuentra que 𝑉𝐵𝐶 = 220𝑉𝑟𝑚𝑠 e 𝐼𝑎𝐴 = 10𝐴𝑟𝑚𝑠 .
Asimismo, se encuentra que 𝐼𝑎𝐴 se adelanta a 𝑉𝐵𝐶 en 60°. ¿Cuál es la impedancia de la carga?
Respuesta 33 + 𝑗19.05Ω
Potencia en sistemas trifásicos
Teniendo en cuenta que para un sistema balanceado, los
voltajes de fase rms y corrientes de fase rms en la carga son
𝑉𝜙 e 𝐼𝜙, y los voltajes de línea rms y corrientes de línea rms
en la carga son 𝑉𝐿 e 𝐼𝐿, entonces
𝑉𝜙 = 𝑽𝑨𝑵 = 𝑽𝑩𝑵 = 𝑽𝑪𝑵
𝐼𝜙 = 𝑰𝑨𝑵 = 𝑰𝑩𝑵 = 𝑰𝑪𝑵
Asimismo, podemos escribir para una carga 𝑌
Para una carga 𝑌
𝑉𝜙 = 𝑽𝑨𝑩 = 𝑽𝑩𝑪 = 𝑽𝑪𝑨
𝐼𝜙 = 𝑰𝑨𝑩 = 𝑰𝑩𝑪 = 𝑰𝑪𝑨 Para una carga ∆
𝑉𝐿 = 𝑽𝑨𝑩 = 𝑽𝑩𝑪 = 𝑽𝑪𝑨 = 3𝑉𝜙
𝐼𝐿 = 𝑰𝑨𝑵 = 𝑰𝑩𝑵 = 𝑰𝑪𝑵 = 𝐼𝜙
Potencia en sistemas trifásicos
Teniendo en cuenta que para un sistema balanceado, los
voltajes de fase rms y corrientes de fase rms en la carga son
𝑉𝜙 e 𝐼𝜙, y los voltajes de línea rms y corrientes de línea rms
en la carga son 𝑉𝐿 e 𝐼𝐿, entonces
𝑉𝜙 = 𝑽𝑨𝑵 = 𝑽𝑩𝑵 = 𝑽𝑪𝑵
𝐼𝜙 = 𝑰𝑨𝑵 = 𝑰𝑩𝑵 = 𝑰𝑪𝑵
Asimismo, podemos escribir para una carga ∆
Para una carga 𝑌
𝑉𝜙 = 𝑽𝑨𝑩 = 𝑽𝑩𝑪 = 𝑽𝑪𝑨
𝐼𝜙 = 𝑰𝑨𝑩 = 𝑰𝑩𝑪 = 𝑰𝑪𝑨 Para una carga ∆
𝑉𝐿 = 𝑽𝑨𝑩 = 𝑽𝑩𝑪 = 𝑽𝑪𝑨 = 𝑉𝜙
𝐼𝐿 = 3 𝑰𝑨𝑩 = 3 𝑰𝑩𝑪 = 3 𝑰𝑪𝑨 = 3𝐼𝜙
Potencia instantánea
La potencia instantánea total entregada a la carga
conectada ∆ en un sistema 3 balanceado con secuencia de
fase positiva es 𝑝𝑇 = 𝑣𝐴𝐵𝑖𝐴𝐵 + 𝑣𝐵𝐶𝑖𝐵𝐶 + 𝑣𝐶𝐴𝑖𝐶𝐴
𝑖𝐴𝐵 = 2𝐼𝜙𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑖𝐵𝐶 = 2𝐼𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 120°
𝑖𝐶𝐴 = 2𝐼𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 120°
𝑣𝐴𝐵 = 2𝑉𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙
𝑣𝐵𝐶 = 2𝑉𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 − 120°
𝑣𝐶𝐴 = 2𝑉𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 + 120°
donde se ha tomado el ángulo de fase de 𝑖𝐴𝐵 como
referencia y, teniendo en cuenta que 𝑣𝐴𝐵 + 𝑣𝐵𝐶 + 𝑣𝐶𝐴 = 0
𝑝𝑇 = 3𝑉𝜙𝐼𝜙𝑐𝑜𝑠𝜙
Potencia compleja, real y reactiva
La potencia compleja por fase 𝑺𝝓 asociado con la carga
es 𝑆𝜙 = 𝑃𝜙 + 𝑗𝑄𝜙
donde 𝑃𝜙 es la potencia real por fase y 𝑄𝜙 es la potencia
reactiva por fase
𝑃𝜙 = 𝑉𝜙𝐼𝜙𝑐𝑜𝑠𝜙𝜙 =𝑉𝐿𝐼𝐿
3𝑐𝑜𝑠𝜙𝜙
𝑄𝜙 = 𝑉𝜙𝐼𝜙𝑠𝑖𝑛𝜙𝜙 =𝑉𝐿𝐼𝐿
3𝑠𝑖𝑛𝜙𝜙
donde 𝜙𝜙 es la diferencia de fase entre el voltaje y corriente
de la misma fase o de la misma línea.
𝑆𝜙 = 𝑉𝜙𝐼𝜙 = 𝑉𝐿𝐼𝐿 3
Potencia compleja, real y reactiva
La potencia compleja total 𝑺𝑻 absorbida por la carga es la
suma de las 3 componentes por fase
𝑺𝑻 = 𝟑𝑺𝝓 = 𝑃𝑇 + 𝑗𝑄𝑇
donde 𝑃𝑇 es la potencia total real y 𝑄𝑇 es la potencia total
reactiva 𝑃𝑇 = 3𝑉𝜙𝐼𝜙𝑐𝑜𝑠𝜙𝜙 = 3𝑉𝐿𝐼𝐿𝑐𝑜𝑠𝜙𝜙
𝑄𝜙 = 3𝑉𝜙𝐼𝜙𝑠𝑖𝑛𝜙𝜙 = 3𝑉𝐿𝐼𝐿𝑠𝑖𝑛𝜙𝜙
La potencia aparente total es 𝑆𝑇 = 3𝑉𝜙𝐼𝜙 = 3𝑉𝐿𝐼𝐿
La potencia instantánea total es 𝑝𝑇 coincide con la potencia
real total 𝑃𝑇
Potencia compleja, real y reactiva
Ejercicio 9 Para el sistema 𝑌 − 𝑌 del ejercicio 3,
a. La potencia compleja total absorbida por la carga, la
líneas de transmisión y los devanados de la fuente
b. La potencia compleja total entregada por la fuente
c. Verificar que 𝑆𝑇(𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜) = 𝑆𝑇(𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑖𝑑𝑜)
d. Encontrar la eficiencia del sistema
Respuestas a. 𝑆𝑇(𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎) = 1757.0 + 𝑗1170.6 𝑉𝐴,
𝑆𝑇(𝑙í𝑛𝑒𝑎) = 58.6 + 𝑗117.1 𝑉𝐴,
𝑆𝑇(𝑑𝑒𝑣𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜) = 11.7 + 𝑗23.4 𝑉𝐴
b. 𝑆𝑇(𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒) = 1827.3 + 𝑗1311.1 𝑉𝐴
Potencia compleja, real y reactiva
Ejercicio 10 Verificar la conservación de la potencia compleja total para
el sistema 𝑌 − ∆ del ejercicio 7
Respuestas d. 𝜂 = 96.2%
Respuesta 𝑆𝑇(𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎) = 𝑆𝑇(𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑖𝑑𝑎) = 917 + 𝑗665 𝑉𝐴
Potencia compleja, real y reactiva
Ejercicio 11 Los dos sistemas balanceados de la figura están
interconectados a través de unas líneas cuya impedancia
por fase 𝒁𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 = 1 + 𝑗2Ω. Si 𝑽𝒂𝒃 = 10∠0° 𝑘𝑉𝑟𝑚𝑠 y 𝑉𝐴𝐵 =10∠6° 𝑘𝑉𝑟𝑚𝑠
Potencia compleja, real y reactiva
Ejercicio 11 a. ¿Cuál sistema es la fuente y cuál es la carga? ¿cuál es
la potencia suministrada por la fuente y la potencia
absorbida por la carga?
b. Verificar la conservación de potencia
Respuesta a. 𝑃2 = −4291 𝑀𝑊, 𝑃1 = 4072 𝑀𝑊. Sistema 2 es la fuente,
sistema 1 es la carga
b. 𝑃𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 = 0.219 𝑀𝑊
BIBLIOGRAFÍA
Franco Sergio. ELECTRIC CIRCUITS
FUNDAMENTALS. Oxford University Press,
1999.
GRACIAS POR SU ATENCIÓN
