Matemtica AplicadaTercer Ciclo (2010-1)

Para qu sirven las matemticas?

Sin matemticas las ciencias no pueden ser entendidas, ni explicadas, ni enseadas, ni aprendidas. (Roger Bacon)

Roger Bacon Doctor Mirabilis/Oxford Fraile Franciscano (1214 1292)

Para qu sirven las matemticas en la vida cotidiana ?Por paradjico que resulte, la respuesta a esa pregunta no debera ser responsabilidad de los maestros de matemticas, sino de los maestros de las otras disciplinas.

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Objetivos del cursoSeleccionar, formular, desarrollar y utilizar herramientas de matemtica aplicada para soluciones de problemas de tecnologa mecnica. Formular y utilizar derivadas e integrales en la solucin de problemas de tecnologa mecnica y de ingeniera. Formular y utilizar ecuaciones diferenciales para la solucin de problemas de resistencia de materiales, termodinmica y mecnica de fluidos entre otros. Solucionar y utilizar modelos probabilsticos discretos y continuos utilizados fundamentalmente en la solucin de problemas de mantenimiento. Graficar e interpretar funciones matemtica y probabilsticas.

Resultados al que aporta b) Los estudiantes aplican conocimientos actuales y emergentes de ciencia, matemtica y tecnologa. f) Los estudiantes identifican y analizan problemas, proponen y desarrollan soluciones.

Contenido del curso Aplicaciones mecnicas de la derivada Aplicaciones mecnicas de la integral Energa Potencia

Ecuaciones diferenciales Distribucin de probabilidades discretas Distribucin binomial Distribucin de Poisson Distribucin hipergeomtrica

Distribucin de probabilidades contnuas Distribucin normal Distribucin exponencial Distribucin Weibull

Sesin 01Derivada: Aplicaciones Mecnicas

Conceptos Tasa de cambio promedio Pendiente de la recta secante

Tasa de cambio instantnea Pendiente de la recta tangente

Derivada de y con respecto de x Indica que tan rpido est cambiando y con respecto de x. Siendo x la variable bsica

APLICACIONES MECNICAS Cinemtica: v = TC de la distancia con respecto al t

Fluidos: Caudal = TC del V de un fluido con respecto del t Termodinmica: Potencia= TC de la energa con respecto del t Electricidad: C. elctrica = TC de la carga elctrica con respecto al t Economa: Ingreso marginal = TC del ingreso con respecto del # de artculos producidos

Biologa: TC del volumen de un organismo con el t (crecimiento)

Ejercicio resuelto 01 (ER-01)Se suelta un pequeo globo en un punto a 150 pies alejado de un observador, quien se encuentra en el nivel del piso. Si el globo se eleva en lnea recta hacia arriba a una velocidad de 8 pies/s, Qu tan rpido est aumentando la distancia del observador al globo cuando este se encuentra a 50 pies de altura.

ER-02 La altura de un tringulo crece a 1cm/min y su rea 2cm2/min. Con qu razn cambia la base del tringulo cuando la altura es de 10 cm y el rea de 100cm2?.

ER-03 Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petrleo. Calcula con qu rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m, si el espesor disminuye a razn de 10 cm/hora en el instante en que R = 50 m .

Ejercicio Propuesto (EP-01)Una escalera que tiene una longitud 10 m se encuentra poyada en una pared, si su punto de apoyo con el suelo resbala alejndose de ella con una rapidez de 0,6 m/s Con que rapidez descansara el punto de poyo de la pared cuando el extremo en el piso este a 1,5 m de la pared?.

EP-02 Desde un cerro aledao a una mina de tajo abierto, un supervisor, ubicado a 75m de altura observa que un camin minero se acerca con una velocidad de 10 m/s. A qu velocidad est cambiando el ngulo de los binoculares (usados por el supervisor) cuando el camin se encuentra a 75m del punto de observacin?.

Sesin 02Derivada: Aplicaciones Mecnicas

ER-04 La caja de un camin transportador de granos est siendo llenada con el grano proveniente de un silo a razn de 2m3/min. El grano forma un cono circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del radio de la base. Calcula:a) A qu velocidad est subiendo el vrtice del cono cuando la altura es de 1,50 m? b) Cul es el radio de la base del cono en ese momento y a qu velocidad est variando?

ER-05El dimetro y la altura de un cilindro circular recto son, en cierto instante 10 y 20 cm, respectivamente. Si el dimetro aumenta a razn de 1 cm/min, qu alteracin de la altura mantendr el volumen constante?.

ER-06La arista de un cubo regular mide 10 cm, si esta aumenta a razn de 0,1 cm/min calcule la rapidez de aumento del volumen.

ER-07 En un tanque de combustible tipo cilindro vertical recto de 8m de dimetro y 12m de altura, es vaciado a razn de 0,005m3/min (alimentacin de un caldero), el jefe de planta de la central trmica busca determinar: La velocidad de vaciado del tanque para determinar cada cuanto tiempo deber ser llenado con una bomba desde el tanque principal de combustible para evitar el desabastecimiento de la caldera de vapor.

ER-08 A cono circular invertido le entra agua a razn de 2cm3/min. La altura del cono es tres veces su dimetro. con qu rapidez sube la superficie del agua, en cm/min, cuando la misma alcanza una altura de 15 cm en el cono?.

EP-a Una piscina es de 40 pies de largo, 20 pies de ancho, 8 pies de profundidad en el extremo ms hondo y 3 pies en el extremo menos profundo. Si la piscina se llena al bombear agua a razn de 40pies/cbicos por minuto, con qu rapidez se eleva el nivel del agua cuando la profundidad es de 3 pies en el extremo ms hondo.

EP-b Un aeroplano que vuela horizontalmente a una altitud de una milla pasa directamente sobre un observador. Si la velocidad constante del aeroplano es de 400 millas por hora, qu tan rpido aumenta su distancia respecto del observador 45 segundos ms tarde?.

EP-c Un aeroplano que vuela hacia el oeste a 300 millas por hora pasa por arriba de la torre de control al mediodia, y un segundo aeroplano que vuela hacia el norte, a la misma altitud, pero a 400 millas por hora, pasa por la torre una hora despus. Qu tan rpido est cambiando la distancia entre los aeroplanos a las 2 p.m.?

EP-03 Un foco de luz est colocado a una altura de H metros sobre el nivel del suelo. Una persona de altura h metros pasa por la vertical del foco movindose a velocidad constante (m/s). a) Calcula la velocidad con que se mueve el extremo A de su sombra. b) Cul es esa velocidad si el foco luminoso est situado a 4m del nivel de la calle, la persona mide 1,75 de altura y camina a una velocidad de 1 m/s?

EP-04Una lmpara-proyector situada sobre el piso ilumina una pared que estaba a 12 metros de distancia. Si un hombre de 2 metros de alto camina desde la lmpara hacia la pared del edificio a una velocidad de l,6m/s con qu rapidez decrece su sombra proyectada sobre el edificio cuando esta sea de 4 metros?.

EP-05A medio da, un velero A esta a 150km al oeste del velero B, la nave A navega a hacia el este a 35km/h y el B hacia el norte a 25km/h con qu rapidez cambia la distancia entre las embarcaciones a las 4 pm?.

EP-06 Un auto se desplaza segn la ecuacin: Siendo x el desplazamiento en metros y t el tiempo en segundos. cul ser la aceleracin del mvil y cul su velocidad instantnea para t=5s?

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