Dinmica 2015-0

Sesin 2

Tema:

Cinemtica de la Partcula en

Movimiento Relativo 1

DERIVADA DE UN VECTOR RELATIVO RESPECTO DE UN SISTEMA INERCIAL DE REFERENCIA

Sea A un vector relativo dentro de un sistema mvil de referencia:

x y zA A i A j A k

Sea la velocidad angular absoluta del sistema mvil con respecto al sistema inercial de referencia:

XYZ xyz

A A A

Se cumple:

x y zA A i A j A k

x y zxyz

A A i A j A k

x y z x y zXYZ

A A i A j A k A i A j A k

i i

j j

k k

( ) ( ) ( )x y z x y zXYZ

A A i A j A k A i A j A k

( )x y zXYZ xyz

A A A i A j A k XYZ xyz

A A A

/B A B Ar r r

/A B A BR R R

/B A B Ar r r Al derivar respecto al tiempo el nico vector relativo es: /B A

r

/B A B Ar r r XYZ xyzA A A recordando:

/ / /B A B A B AXYZ xyz

r r r

Bv

/relB Av

Av

/ / /B A relB A B AXYZ

r v r

/ /B A relB A B Av v v r

/ /B A B A relB Av v r v

/ /A B A B relA Bv v R v

/ / / / /B A B A relB A B A relB A relB Axyz xyza a r v r v v

/ /B A B A relB Av v r v

/ / / / /B A B A relB A B A relB A relB Axyz

a a r v r v v

/ / /B A relB A B AXYZ

r v r

/ / / /A2B A B A B A relB A relBa a r r v a

Aa

Ba

/ / /relB A relB A relB AXYZ xyz

v v v

Se observa que hay dos vectores relativos:

A/B / / /2A B A B relA B relA Ba a R R v a

En la figura, los pasadores en A y B estn obligados a moverse en los carriles verticales y horizontales como se muestra. La partcula A se mueve hacia abajo con una rapidez de 20 m/s y aceleracin de 10 m/s2. Si d = 3 m, y = 4 m, h = 8 m. Para dichas condiciones determine: a.- La velocidad angular de la barra doblada.(rad/s) b.- La magnitud de la velocidad de B.(m/s) c.- La magnitud de la aceleracin angular de la barra doblada.(rad/s2) d.- La magnitud de la aceleracin de B.(m/s2) e.- La magnitud de la aceleracin relativa de B respecto de la barra doblada.(rad/s2)

PROBLEMA 1 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular antihoraria de 10 rad/s y una aceleracin angular horaria de 20 rad/s2. Determine: La velocidad lineal del punto C.(m/s) La velocidad angular de la barra BC.(rad/s) la aceleracin angular de la barra BC.(rad/s2) La aceleracin lineal del punto C.(m/s2) Si la velocidad angular cambiara en 5 rad/s en el mismo sentido, cual seria la velocidad lineal del punto C.(m/s)

8 m

8 m 4 m 6 m

12 m

PROBLEMA 2

En e l mecanismo, el bloque A tiene una rapidez de 0,4 m/s hacia la izquierda y una aceleracin de 1,4 m/s2 hacia la derecha, determine: a.- La velocidad angular de la gua ranurada.(rad/s) b.- La magnitud de la velocidad relativa de E respecto de la gua ranurada.(cm&) c.- La magnitud de la velocidad angular de CD.(rad/s) d.- La aceleracin angular de la gua ranurada.(rad/s2) e.- La magnitud de la aceleracin relativa de E respecto de la gua ranurada.(cm/s2) f.- La magnitud de la aceleracin angular de la barra CD.(rad/s2)

BLOQUE B (5 puntos)

El sistema motriz O2B tiene 2= 5 rad/s, cte. Calcule:

a.- La velocidad del bloque C.(m/s)

b.- La velocidad relativa de B respecto de la barra 4.(m/s)

c.- La aceleracin del bloque A.(m/s2)

d.-. La aceleracin del bloque C.(m/s2)

e.- La aceleracin relativa de B respecto de la barra 4.(m/s2)

ab

c

200 110( 30 30 ) 170j Cos i Sen j c i

200 110(0,866 0,5 ) 170j i j c i

74,74 255c i j

74,74 255 0,2812 0,9596265,7274

C

i ji j

Del Polgono OO2BA:

O

Del Polgono O2PCB:

P

250 110( 30 30 )j a b Cos i Sen j

95,26 195a b i j

0,866 0,5 0,2812 0,9596 95,26 195ai aj bi bj i j

( 30 30 ) 95,26 195Ca Cos i Sen j b i j

0,866 0,2812 95,26a b

0,5 0,9596 195a b

52,9791

175,6048

a cm

b cm

C

/ 1,2412 4,2351 ( )A CR i j m /

0,4938 1,6851 ( )B CR i j m

22 / 5 (0,9526 0,55 )B B Ov R k i j

Anlisis de velocidades: 2,75 4,798Bv i j

4 /A C A Cv v R

Soldando el sistema mvil en C CA:

4 (0,866 0,5 ) ( ) (1,2412 4,2351 )A Cv i v i j k i j

4 4 0,866 0,5 4,2351 1,2412 .......(1)A C Cv i v i v j i j

Utilizando el concepto de movimiento relativo

entre B y C, donde C CA:

4 / /B C B C relB Cv v R v

4 2,75 4,798 0,866 0,5 ( ) (0,4938 1,6851 ) (0,2812 0,9596 )C C reli j v i v j k i j v i j

40,866 4,2351A Cv v De las ecuaciones vectoriales (1) y (2) obtenemos 4 ecuaciones lineales:

40 0,5 1,2412Cv

4 4 2,75 4,798 (0,866 1,6851 0,2812 ) (0,5 0,4938 0,9596 ) .....(2)C rel C reli j v v i v v j

42,75 0,866 1,6851 0,2812C relv v

44,798 0,5 0,4938 0,9596C relv v

41 0,866 4,2351 0 0A C relv v v

40 0,5 1,2412 0 0A C relv v v

40 0,866 1,6851 0,2812 2,75A C relv v v

40 0,5 0,4938 0,9596 4,798A C relv v v

2,3732 /Av m s 0,9227 /Cv m s 4 0,3717 /rad s 4,7104 /relv m s

40,3717k / 1,3245 4,52relB Cv i j

Av

Cv

4

BvY

X

22 2

2 / ( ) (5) .(0,9526 0,55 )B B Oa R i j

Anlisis de aceleraciones:

4 / 4 4 / 4 / /( ) 2A C A C A C relA C relA Ca a R R v a

Soldando el sistema mvil en C CA:

2

4 (0,866 0,5 ) ( ) (1,2412 4,2351 ) (0,3717) (1,2412 4,2351 )A Ca i a i j k i j i j

Utilizando el concepto de movimiento relativo entre B y C, donde C CA:

2

4

/

23,815 13,75 0,866 0,5 (0,4938 1,6851 ) (0,3717) (0, 4938 1,6851 )

2(0,3717 ) ( 1,3245 4,5202 ) (0,2812 0,9596 )

C C

relB C

i j a i a j k i j i j

k i j a i j

23,815 13,75Ba i j

2

4 / 4 / 4 / /( ) 2A C A C A C relA C relA Ca a R R v a

/ 0relA Cv / 0relA Ca

4 4 (0,866 4,2351 0,1714) (0,5 1,2412 0,5851) .....(3)A C Ca i a i a j

4 / 4 4 / 4 / /( ) 2B C B C B C relB C relB Ca a R R v a

2

4 / 4 / 4 / /( ) 2B C B C B C relB C relB Ca a R R v a

24

/

23,815 13,75 0,866 0,5 (0,4938 1,6851 ) (0,3717) (0, 4938 1,6851 )

(0,7434 ) ( 1,3246 4,5202 ) (0,2812 0,9596 )

C C

relB C

i j a i a j k i j i j

k i j a i j

4 4

/ /

23,815 13,75 0,866 0,5 0,4938 1,6851 3,2921 1,2175

0,2812 0,9596

C C

relB C relB C

i j a i a j j i i j

a i a j

4 /

4 /

27,1071 14,9675 (0,866 1,6851 0,2812 )

(0,5 0,4938 0,9596 ) ........(4)

C relB C

C relB C

i j a a i

a a j

De las ecuaciones vectoriales (3) y (4) obtenemos 4 ecuaciones lineales:

40,866 4,235 0,1714A Ca a

40 0,5 1,241 0,5851Ca

4 /27,1071 0,866 1,6851 0,2812C relB Ca a

4 /14,9675 0,5 0,4938 0,9596C relB Ca a

4 /1 0,866 4,2351 0 0,1714A C relB Ca a a

4 /0 0,5 1,2412 0 0,5851A C relB Ca a a

4 /0 0,866 1,6851 0,2812 27,1071A C relB Ca a a

4 /0 0,5 0,4938 0,9596 14,9675A C relB Ca a a

256,2559 /Aa m s 221,0271 /Ca m s

2

4 8,9426 /rad s 2

/ 21,953 /relB Ca m s

RESULTADOS BLOQUE B

Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES EVALUACION

a VC 0,9227 m/s

b VrelB/4 4,7104 m/s

c aA 56,2559 m/s2

d aC 21,01271 m/s2

e arelB/4 21,953 m/s2

BLOQUE C (4 puntos)

La gua ranurada se mueve con 2k (rad/s) y 6k (rad/s2). El pasador P es parte de la varilla OB, si 60 , BO = 1,2 PO = 18 cm, siendo el radio de curvatura de la

gua ranurada es de 12,5 cm. Si la lnea definida por es tangente a la gua ranurada, determine: a.- La magnitud de la velocidad relativa de P respecto de la gua ranurada.(cm/s) b.- La magnitud de la aceleracin angular de la varilla OB.(rad/s2) c.- La magnitud de la aceleracin relativa de P respecto de la gua ranurada.(m/s2) d.- La magnitud de la aceleracin absoluta del extremo B.(m/s2)

60

60

relv

X

Y

12,5cm

/ ( 7,5 12,99 ) 12,99 7,5 ......(1)P OB P O OB OB OBv R k i j i j

Utilizando el concepto de movimiento circular de una particula:

60

12,5i

7,5 12,99i j /P CR

Calculo de velocidades:

OC

P

/ 5 12,99P CR i j

/C ( 0,5 0,866 )P C sm P relv v R v i j

( 2 ) (5 12,99 ) ( 0,5 0,866 )P relv k i j v i j

( 0,5 25,98) (0,866 10) .........(2)P rel relv v i v j

Utilizando el concepto de movimiento relativo de una particula en el plano:

( 0,5 25,98) (0,866 10) 12,99 7,5P rel rel OB OBv v i v j i j

0,5 12,99 25,98rel OBv

0,866 7,5 10rel OBv

43,3038 /relv cm s

3,6668 /OB rad s

Igualando las ecuaciones (1) y (2):

43,3038( 0,5 0,866 )

21,6519 37,5019rel

relv i j

v i j

22 21875,219 /rel cmv s

60

60

t

rela

X

Y

12,5cm

2 2

/ / ( ) . ( 7,5 12,99 ) (3,6668) .( 7,5 12,99 )P OB P O OB P O OBa R R k i j i j

Calculo de aceleraciones:

n

rela

a (12,99 100,8406) ( 7,5 174,656) .............(3)P OB OBi j

Utilizando el concepto de movimiento circular de una particula:

Utilizando el concepto de movimiento relativo de una particula: 2

2

/C /C

( ) ( ) . 2 (0,5 0,866 ) (0,866 0,5 )t relP C sm P sm P sm rel relv

a a R R v a i j i j

2

2

( 6 ) (5 12,99 ) (2) .(5 12,99 )

( 4 ) ( 21,6519 i 37,501 j) (0,5 0,866 )

(43,3038) (0,866 0,5 )12,5

P

t

rel

a k i j i j

k a i j

i j

181,9791 183,5763 (0,5 0,866 )tP rela i j a i j

Igualando las ecuaciones (3) y (4):

(0,5 181,9791) ( 0,866 183,5763) ..(4)t tP rel rela a i a j

(12,99 100,8406) ( 7,5 174,656) (0,5 181,9791) ( 0,8666 183,5763)t tOB OB rel reli j a i a j

12,99 100,8406 0,5 181,9791tOB rela

7,5 174,656 0,8666 183,5763tOB rela

12,99 0,5 81,1385tOB rela

7,5 0,866 8,9203tOB rela

29,9643 /OB rad s

296,5969 /trela cm s

Luego determinaremos la aceleracin total relativa:

96,5969(0,5 0,866 ) 150,0175(0,866 0,5 ) 178,2136 8,6441t nrel rel rela a a i j i j i j

2 (9,9643 ) ( 9 15,588 ) (3,6668) .( 9 15,588 )t nB B Ba a a k i j i j

2 (9,9643 ) ( 9 15,588 ) (3,6668) .( 9 15,588 )t nB B Ba a a k i j i j

276,3257 119,8971Ba i j 2301,2162 /Ba cm s

RESULTADOS BLOQUE C

Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES EVALUACION

a VrelP/C 0,433 m/s

b OB 9,9643 rad/s2

c arelP/C 1,7842 m/s2

d aB 3,0121 m/s2

2178,4231 /rela cm s

BLOQUE B (4 puntos) En el mecanismo, si 2 = 210, O2A = 10 cm y 2 = 10K rad/s constante. Determine: a.- La magnitud de la velocidad relativa de A respecto de la barra 4.(m/s) b.- La magnitud de la velocidad del bloque B.(m/s) c.- La magnitud de la aceleracin relativa de B respecto de la barra 4.(m/s2) d.- La magnitud de la aceleracin del bloque B.(m/s2)

RESULTADOS BLOQUE B

Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES EVALUACION

a VrelA/4 m/s

b VB m/s

d arelB/4 m/s2

e aB m/s2