Series Temporales

Por:Esp. John Chuke Yepes L

jjchukeestadistico@gmail.com

«El problema de la humanidad es que los estúpidos están seguros de todo y los inteligentes están llenos de dudas. B.R

La buena vida es una vida inspirada por el amor y guiada por el conocimiento". B.R

John Chuke Yepes L

1. FUNDAMENTOS DE SERIES TEMPORALES

1.1. ¿Qué son las Series Temporales?

1.2. Tipos de Series de Tiempo

1.3. Componentes de una Serie de Tiempo

1.4. Modelos de Pronósticos1.5.1. Método de medias móviles1.5.2. Método de alisado exponencial1.5.3. Modelo autorregresivo de media móvil

 (ARMA)1.5.4. Modelo ARIMA

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2. COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO

2.1. Contextualización

2.2. Componentes de la Serie Temporal2.1.1. Tendencia. 2.1.2. Ciclos. 2.1.3. Estacionalidades. 2.1.4. Irregularidades

2.3. Medidas de evaluación Errores de predicción

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Peña, Daniel. (2005). Análisis de Series Temporales. Alianza editorial.

Box, G and Jenkins, G. (2013). “Time Series Analysis: Forecasting and Control”, Revised Edition, Holden-DayFuller, W. A. (1996) - “Introduction to Statistical Time Series”, Second Edition, John Wiley and Sons.

Bibliografía

“Muchos hombres cometen el error de sustituir el conocimiento por la afirmación de que es verdad lo que ellos desean

” ―Bertrand Russell“La percepción, sin fundamento teórico y sin

validación estadística, no es garantía suficiente de verdad”

Chuke Yepes

John Chuke Yepes L

Definición

Una serie temporal es una variable estadística (estocástica) cuyas observaciones están ordenadas

temporalmente.

SERIES TEMPORALES

Es decir,

{𝐘 𝐭 }={𝐲𝟏 ,𝐲𝟐 ,𝐲𝟑 , 𝐲𝟒 ,…,𝐲𝐓 };∀ 𝐭=𝟏 ,𝟐 ,𝟑 ,… ,𝐓

recibe el nombre de serie temporal o serie cronológica

Tiempo Ytt1 y1t2 y2t3 y3t4 y4. .. .. .. .. .. .

tn yT

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SERIES TEMPORALES

Pronóstico es el proceso de estimación del patrón de evolución de la serie temporal en el futuro en

situaciones de incertidumbre o volatilidad.

El término predicción es similar, pero más general, y usualmente se refiere a la estimación de series

temporales o datos instantáneos.

Describir la Serie

Estimar el Modelo

Pronosticar

Esquema

Identificar Patrón

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VARIABLES INDEPENDIENTES: MODELOS ECONOMÉTRICOS

PROCESO ARIMA(p,d,q)MODELOS SERIES TEMPORALES

Pruebas estadísticasEstacionariedad: Dickey-Fuller, Correlograma

Homoscedasticidad: Normalidad de Residuales, White, ARCHAutocorrelación: Durbin-Watson, Breush-Godfrey

Filtro Modelo

ESQUEMA

$ -

$ 10.000,0

$ 20.000,0

$ 30.000,0

$ 40.000,0

$ 50.000,0

$ 60.000,0

$ 70.000,0

$ 80.000,0

$ 90.000,0

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

PROYECCIONES

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Concepto: Pronóstico

El pronóstico de una serie de tiempo consiste en hacer una estimación de los futuros valores de las variables (como los rendimientos, los precios de las

acciones, demanda y oferta de productos, indicadores macroeconómicos entre otras) para un periodo de

tiempo determinado.

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1.  Pronósticos a corto plazo: Este tipo de pronóstico se efectúa cada mes o menos, y su tiempo de planeación tiene vigencia de un año.

2.  Pronósticos a mediano plazo: Abarca un lapso de seis meses a tres años.

3.  Pronósticos a largo plazo: El tiempo de duración es de tres años o más.

Tipos de Pronósticos

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Sobre una serie temporal {Yt} se puede identificar una serie de componentes básicos que se denominan respectivamente como:

COMPOSICIÓN DE SERIES

• TENDENCIA: Tt:• CICLO: Ct:• ESTACIONALIDAD: St• IRREGULARIDAD: It

Se consideran modelos estructurales porque el conjunto de observaciones {Yt} con t = 1; 2,…., T; se descompone en una tendencia; un componente cíclico y un

término residual "

𝒀 𝒕= 𝒇 (𝑻 𝒕 ;𝑪𝒕;𝑺𝒕 ; 𝑰 𝒕)

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1. Componente Tendencial

COMPONENTES DE LAS SERIES

• Es una componente de la serie temporal {Yt} que refleja su patrón de evolución de tendencia a largo plazo.

• Es de naturaleza lineal (creciente o decreciente),

Estimación

𝐘 𝐭=𝐓𝐭+𝐈𝐭

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2. Componente Cíclico

• Es una componente de la serie que recoge las oscilaciones periódicas a lo largo de la tendencia.

• Su amplitud es superior a un año.

Estimación

𝐘 𝐭=𝐓𝐭+𝐂𝐭+𝐈𝐭

COMPONENTES DE LAS SERIES

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3. Componente Estacional

Estimación

𝐘 𝐭=𝐒𝐭+𝐈𝐭

Es una componente de la serie que recoge las oscilaciones que se producen en períodos iguales o inferiores a un año y que se repiten de forma regular en los diferentes años.

550

600

650

700

750

800

850

900

950

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04

ESTACIONAL

COMPONENTES DE LAS SERIES

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4. Componente Irregular

Estimación

𝐘 𝐭=𝐒𝐭+𝐈𝐭

Es una componente de la serie temporal que recoge las fluctuaciones erráticas que se dan por la ocurrencia de fenómenos imprevisibles.

• Se denominan INNOVACIONES.

-150

-100

-50

0

50

100

150

500

600

700

800

900

1,000

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04

Residual Actual Fitted

COMPONENTES DE LAS SERIES

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COMPOSICIÓN DE SERIES

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COMPOSICIÓN DE SERIES

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COMPOSICIÓN DE SERIES

Forma en que se combinan dichos componentes para estimar el patrón de evolución de las series temporales {Yt} observadas.

1. Esquema aditivo

Los valores observados de cualquier serie temporal son el resultado de la suma de sus cuatro componentes

𝐘 𝐭=𝐓𝐭+𝐂𝐭+𝐒𝐭+𝐈𝐭

2. Esquema multiplicativo

Los valores observados de cualquier serie temporal son el resultado de la multiplicación de los cuatro componentes

𝐘 𝐭=𝐓𝐭∗𝐂𝐭∗𝐒𝐭+𝐈𝐭

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IDENTIFICACIÓN DEL PATRÓN DE EVOLUCIÓN

Las funciones de autocorrelación miden la relación lineal entre los valores de las variables aleatorias separadas de una cierta distancia en

el tiempo.

La Estimación de estas funciones permiten determinar la forma del patrón del proceso

estocástico.

Para determinar el patrón de evolución de una serie se emplea la

función de autocorrelación

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La función de Autocovarianza

tk

YYEYYCov tktttttt

,....,2,1

)])([(),(,

Función de autocorrelación simple –FAC- (FAS)

ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN

2kt

2t

tkttt

tk,t

k,tk,t

)Y(E)Y(E

)]Y)(Y[E

o

20

, )()])([(

t

kttkkt YE

YYE

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IDENTIFICACIÓN DEL PATRÓN DE EVOLUCIÓN

El Correlograma

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ANÁLISIS DEL CORRELOGRAMA

Una serie de datos  tendrá TENDENCIA si r1 es cercana a 1 y las sucesivas r2,......rk  caen lentamente a cero en forma exponencial.

Correlograma de una serie de datos con TENDENCIA

Correlograma de una serie de datos ESTACIONARIA

 Una serie de datos será ESTACIONARIA si la primera r1 presenta un valor próximo a 1, y a partir de la segunda caen drásticamente (rápidamente) a cero. 

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Correlograma de una serie de datos ESTACIONAL

 Una serie de datos será ESTACIONAL si la autocorrelación r1, se repite en periodos de secuencias de igual amplitud, por ejemplo 12 periodos, r12.

ANÁLISIS DEL CORRELOGRAMA

 Una serie de datos será ALEATORIA si las autocorrelaciones r1,r2,......rk son cercanas estadísticamente a cero y su comportamiento se encuentra dentro de los límites.

Correlograma de una serie de datos ALEATORIA

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Se basan en el juicio y

experiencia

Se basan en el análisis de

datos

MÉTODOS DE PRONÓSTICOS

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EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

ttt

tt

t

YYˆ

residuo o pronósticodelError

Ypara pronósticodel valorY

tperiodoelentiempodeserieunadevalorY

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2. Error Cuadrático Medio = ECM

n

)YY(

n

ˆECM

n

1t

2tt

n

1t

2t

tˆ

Error Cuadrático = (t)2 = (Yt -Ŷt)2

FÓRMULA DE MEDICIÓN DEL ERROR EN EL PRONÓSTICO

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Intervalo de Confianza del 95%

EVALUACIÓN DEL MODELO ESTIMADO

𝟎±𝒁 𝜶𝟐∗ 𝟏

√𝒏

−𝟏 ,𝟗𝟔∗ 𝟏√𝒏 ≤ ≤+𝟏 ,𝟗𝟔∗ 𝟏

√𝒏

𝐇𝐨 :𝐋𝐨𝐬𝐫𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐬𝐨𝐧 𝐀𝐥𝐞𝐚𝐭𝐨𝐫𝐢𝐨𝐬𝐇𝟏 :𝐋𝐨𝐬𝐫𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐍𝐎𝐬𝐨𝐧 𝐀𝐥𝐞𝐚𝐭𝐨𝐫𝐢𝐨𝐬

Si los residuales se encuentran dentro del intervalo del 95% Se Acepta Ho.

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Prueba de Normalidad JARQUE BERA-JB

EVALUACIÓN DEL MODELO ESTIMADO

Prueba Jarque-Bera(1987). Utiliza un estadístico en prueba que involucra la asimetría y la curtosis .

El coeficiente de asimetría (A) es el tercer momento respecto a la media.

El coeficiente de curtosis (K) es el cuarto momento respecto a la media.

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Prueba de Normalidad JARQUE BERA-JB

Si la estadística JB ≥ 5,99 Se Rechaza Ho.

Si la Pr(JB) ≤ 0,05 Se Rechaza Ho

= 5,99 Punto Crítico

EVALUACIÓN DEL MODELO ESTIMADO

Regla de Decisión

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MODELOS DE SERIES DE TIEMPO

1. Métodos de Promedio Móvil = PM

2. Método de Suavizamiento Exponencial = SE

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1. Métodos de Promedio Móvil = PMLa utilización de esta técnica supone que la serie de tiempo es estable, esto es, que los datos que la componen se generan sin variaciones importantes entre un dato y otro.

Esto es, que el comportamiento de los datos aunque muestren un crecimiento o un decrecimiento lo hagan con una tendencia constante.Cuando se usa el método de promedios móviles se está suponiendo que todas las observaciones de la serie de tiempo son igualmente importantes para la estimación del parámetro a pronosticar.

De esta manera, se utiliza como pronóstico para el siguiente periodo el promedio de los n valores de los datos más recientes de la serie de tiempo.

Este método no considera la media de todos los datos, sino solo los más recientes.

Se puede calcular un promedio móvil de n periodos.

El promedio móvil es la media aritmética de los n periodos más recientes

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1. Métodos de Promedio Móvil = PM

Pronóstico Promedio Móvil

��𝐓+𝟏=∑𝐭=𝟏

𝐓 𝐘 𝐭

𝐧��𝟏𝟑=

𝐘𝟏𝟎+𝐘𝟏𝟏+𝐘𝟏𝟐

𝐧 =𝟔𝟒 ,𝟖+𝟔𝟓 ,𝟐+𝟔𝟓 ,𝟕𝟑

��𝟏𝟑=𝟔𝟓 ,𝟐Periodos n = 3 Periodos n = 5

Periodo

Retornos, miles

YtPronósticos

Yt+1 Yt+1 Yt+11 42,0 - -2 52,0 - -3 54,0 - -4 65,0 (42+52+54)/3 49,3 -5 51,0 (52+54+65)/3 57,0 -6 64,0 (54+65+51)/3 56,7 52,8 7 63,0 . 60,0 57,2 8 63,9 . 59,3 59,4 9 64,5 . 63,6 61,4 10 64,8 . 63,8 61,3 11 65,2 . 64,4 64,0 12 65,7 (64,5+64,8+65,2)/3 64,8 64,3

13=t+1 (64,8+65,2+65,7)/3 65,2 64,8

Pronóstico Promedio Móvil con n=3

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1. Método de Suavizamiento Exponencial = SE El cálculo correspondiente al método de suavización exponencial requiere de dos componentes:

1. El primero es el valor real del período más reciente y 2. El segundo es el pronóstico más reciente obtenido por

este mismo método, es decir el dato pronosticado.

Por esta razón el primer dato se pierde y solo pronostica del período dos en adelante.

Modelo del método de pronóstico=

��𝐓+𝟏=𝛌𝐘 𝐭−𝟏+(𝟏−𝛌)��𝐭−𝟏Donde: : Coeficiente de

Suavización1. 12. Si = 1

Propiedades:

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