U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística

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Sesión 2.c

MODELIZACIÓN DEL TIEMPO DE VIDA

1. Definición de proceso de Renovación. Función de renovación. Caso exponencial. Distribución k-Erlang

2. Teorema Elemental de Renovación.

3. Función de Fiabilidad y función de tasa de fallos. Distribuciones importantes.

4. Concepto de Vida Residual y Condicional. Caso exponencial. Ausencia de memoria.

76 CAPITULO 3. PROYECTO DOCENTE PARA LAS ASIGNATURAS DE I.O. EN LA D.E.

1-CADENAS DE MARKOV Y MODELOS DE REEMPLAZAMIENTO

Semana 1

1. Sesion de teorıa. 2h.- (1.a) El Concepto de Investigacion Operativa. Presentacion y desarrollo del curso. Nor-mas de evaluacion de la asignatura. Introduccion a la I.O. y ciclo metodologico. Presentacionde un caso de estudio.

2. Sesion de teorıa y problemas. 1+1h.

- 1a hora. (2.a) Cadenas de Markov. Introduccion. Procesos estocasticos discretos ypropiedad Markoviana. Cadenas homogeneas y cadenas finitas. Matriz de probabilidades detransicion y diagrama de estados.- 2a hora. Sesion de problemas. Obtencion de la matriz de probabilidades de transicion para unmodelo de inventario con demanda semanal poissoniana sin retencion de demanda. Verificacionde las hipotesis markoviana y de homogeneidad.

Semana 2

1. Sesion de teorıa. 2h.- (2.b) Clasificacion de cadenas. Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. Clases de unacadena de Markov y periodicidad. Tiempos de 1er paso. Probabilidades de absorcion.

2. Sesion de problemas + laboratorio 1+1h.- 1a hora. Para el problema de la sesion anterior se calculan tiempos de primer paso.- 2a hora. Introduccion al uso del paquete CdM de analisis de cadenas de Markov.

Semana 3

1. Sesion de teorıa. 2h.- (2.b) Estado estacionario en cadenas de Markov. Esperanza del numero de visitas a unestado en un numero fijo de transiciones. Cadenas irreducibles y aperiodicas. Probabilidadesde estado estacionario. Coste medio por perıodo en estado estacionario.

2. Sesion de problemas. 2h.- Se desarrollaran y se resolveran cadenas de Markov mediante enunciados que obliguen a lamodelizacion de sistemas de inventario y modelos de tiempos de vida.

Semana 4

1. Sesion de teorıa. 2h.- (2.c) Modelizacion del tiempo de vida. Procesos de renovacion. Teorema elemental.Vida residual y disponibilidad. Funcion de fiabilidad y funcion de intensidad o tasa de fallosinstantanea de un componente. Distribuciones importantes de probabilidad del tiempo devida: exponencial, hipoexponencial, hiperexponencial, k-Erlang, Weibull. Funcion empırica deintensidad de tasa de fallos y fases de la vida de un componente: adaptacion, vida util, deceso.Tiempo de vida exponencial: consecuencias de la ausencia de memoria.

2. Sesion de laboratorio. 2h. Entrega de cuestionario

- Practica 1. Utilizacion del software CdM para modelizar el tiempo de vida de un componentey determinacion de la funcion de fiabilidad.

Semana 5

1. Sesion de teorıa. 2h.- (2.d) Estrategias de reemplazamiento. Sistemas en serie, paralelo y redundantes. Mode-lo con una unidad en reserva. Tipos de costes asociados a los fallos: coste de reemplazamiento,costes de averıa. Reemplazamiento preventivo segun optimizacion de costes economicos. Otroscriterios: disponibilidad y fiabilidad. Modelos de tiempo de vida discretos y modelos de reem-plazamientos mediante cadenas de Markov.

2. Sesion de problemas. 2h.

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística Estado Estacionario en C. de M. SEMANA 3

ESTADO ESTACIONARIO

Definición: Se presenta estado estacionario cuando para cualquier estado j:

( ) ( ) jnj njXPnp π →

∞→==

independientemente de les probabilidades de estado inicial pj(0) .

Si el e.e. existe para la cadena, el vector [ ]Mπππ L1=T

se denomina

distribución de probabilidades de los estados en régimen estacionario.

Verifican:

0 ,11

≥=∑=

i

M

ii ππ

.

= → ∞

∞→

M

M

nn

ππ

ππ

L

MM

L

1

1

P P(

No depende de i

jn

ij np π →

∞→(

Equivalentemente:

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CADENAS ERGÓDICAS (ejemplo)

=

−

−

π

πππ

π

πππ

kkk

k

p

pp

qqqqq

M

M

M

M

M

M

LL

MOLL

MOOMMM

MOOMMM

L

LL

L

2

1

0

2

1

0

1

1

0

13210

000000

0000000001

→

=

−−

−−

− 0

001

1000100

000100001111111

2

1

0

1

1

0

M

M

M

M

M

M

LL

MLL

MOOMMM

MOOMMM

L

LL

L

π

πππ

kkp

pp

pppp

p

kk

kk

010

0201

001

L

L

L

−

−−

==

=

ππππ

ππ

1)1( 102101000 =+++++ Π −

= ppppppp jkjLπ ,

Π+= ∑

−

= =

−1

0 0

1

0 1k

ij

i

jpπ

kipj

i

ji L,2,1,

1

00 == Π

−

=ππ

0 1 2 3 k-1 k k+1

Averíasegura

3k-1

kkkk

…

q0

0 1 2 p0 p1 p2 pk-1 (pk=0)

q1 q2 q3 qk-1 qk=1

FUNCIÓN DE FIABILIDAD. FUNCIÓN DE TASA DE FALLOS

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística Cadenas de Markov. Introducción

Definición de proceso estocástico.

Es una colección indexada de variables aleatories { }TtXt ∈ ,

t pertenece a un conjunto T conocido.

Espacio de Estados I : Conjunto de valores que puede tomar cada Xt

Conjunto de Índices T

Discreto Continuo

Discreto Cadena de parámetro discreto

Cadena de

parámetro continuoEspacio

deEstados I

Continuo Proceso estocástico deparámetro discreto y deestados continuo

Proceso estocástico deparàmetre continuo yestados continuo

Clasificación de los procesos estocásticos

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I.O.E. Diplomatura de Estadística Definición de Proceso de Renovación

Sesión 2.c MODELIZACIÓN DEL TIEMPO DE VIDA

Proceso de Renovación.

Definición: Colección de variables aleatorias {τn } (discretas o continuas) con índice discreto. Indep. Mútuamente Función de densidad fτ Función de distribución Fτ Idénticamente distrib.

Variables aleatorias importantes: Tiempo hasta el suceso k :

Número de renovaciones N(t) Función de renovación:

τ1 τ2 τ3 τk-1 τk … …

t

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística Proceso de Renovación. Caso exponencial

Caso τn ~ exp de par. α , E[τn] = 1/α

( )

<≥⋅

=−

000

tte

tftα

τα

( ) ( ) ( )

<≥−

=⋅=≤=−

∞−∫

0001

tte

dttftTPtFtt α

ττ

[ ] ( ) ( )∫∫

∞+ −∞+

∞−==⋅⋅⋅=⋅⋅=

0

1α

α α LdtetdttftTE tT

[ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ] ( )∫∫

∞+ −∞+

∞−==−⋅⋅⋅=−=⋅⋅−=

0 222222 11

ααα α LdtetTETEdttfTEtTVar t

T

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística Proceso de Renovación. Caso exponencial

Número de renovaciones en [0,t] Distribución de Poisson.

Función de renovación:

Tiempo hasta el suceso k : Tk

Define una variable k-Erlang

[ ] [ ] [ ]µαααττ111

1 ==++=++= kEETE kk LL

[ ] [ ] [ ] 22

22

1111

µττααα ⋅

==++=++=

kkVarVarTVar kk LL

[ ]( )[ ] )

/

/

11121

21

><== (kTET

k

kVar

k

θ

µ = 1, k = 1, 2, 5, 20

PROPIEDAD 1

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TEOREMA ELEMENTAL DE RENOVACIÓN

• Caso τ k-Erlang Se define un nuevo proceso de renovación {τ'n } con τ' = Tk para k fijado.

• Caso τ Weibull ( )( )bt atF −−= exp)( 1τ

… τ τ τ τ τ

t τ

τ'1 τ'2 τ'k

m(t)

m(t)t

d m(t)dt

k=2 etapas,E[τ ]=20

1/E[τ ']=0,028

d m(t)dt

m(t)t m(t)

a=2 , b=40E[τ ]= 35,4

Máquina 1

Máquina 2τ1

τ2

τN=2 N=3 N=5

N=20 N=50Palm(1943)

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística FUNCIÓN DE FIABILIDAD. FUNCIÓN DE TASA DE FALLOS

FUNCIÓN DE FIABILIDAD. FUNCIÓN DE TASA DE FALLOS

FUNCIÓN DE FIABILIDAD. FUNCIÓN DE TASA DE FALLOS

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística FUNCIÓN DE FIABILIDAD. FUNCIÓN DE TASA DE FALLOS

Distribución exponencial. τn ~ exp de par. α

( )

<≥⋅

=−

000

tte

tftα

τα

E[τn] = 1/α, Var[τn] = 1/α2

Función empírica de tasa de fallos.a) Etapa de muerte precoz. Fallos ocasionados por

defectos de fabricación. El componente es másvulnerable a las solicitaciones exteriores.

b) Etapa de vida útil. Fallos debidos a causasexteriores. Las solicitaciones que no ocasionanfallo del componente no ocasionanenvejecimiento.

c) Etapa de desgaste. Las solicitaciones exterioresocasionan envejecimiento. Cada vez más, elcomponente es más vulnerable.

Tasa constante. Las solicitaciones queno ocasionan fallo del componente noocasionan envejecimiento.

a) b) c)

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Distribución Hipoexponencial

λ1=1, λ2=5

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exp λ1

exp λ2

exp λk

. . .

α1

α2

αk

Distribución Hiperexponencial

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Distribución Weibull

a=1/2, 1, 2, 3

b=2

a=1/2

a=1

a=2

a=3

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Distribución Lognormal

fτ(t)

Fτ(t)

hτ(t)

(m=1)

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CONCEPTO DE VIDA RESIDUAL.

θ r

τi-1 τi w v.a. tiempo entre sucesos observado al escoger instante al azar.

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CONCEPTO DE VIDA RESIDUAL.

θ r

τi 1 τi

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CONSECUENCIAS: ES INÚTIL REEMPLAZAR UNIDADES "VIEJAS":

TIENEN IGUAL TIEMPO RESIDUAL DE VIDA QUE LAS NUEVAS.

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TIEMPO DE VIDA CONDICIONAL

PROPIEDAD 2. Caso exponencial. Ausencia de memoria

θ s

τi-1 τi

Práctica 1. Aproximación del tiempo de vida mediante cadenas de Markov.

El objetivo de la práctica es la evaluación de la distribución de probabilidades para el tiempo de vidaresidual y la esperanza del tiempo de vida residual para una distribución de tiempo de vida Weibull, conparámetros especificados.

Para la realización de la práctica se utilizan las macros Pm1_1.mtb, P1m_2.mtb y el programaCdM.exe

Se supone una función de distribución de probabilidad del tipo:

( )( )bt atF −−= exp)( 1

Se proporcionarán los parámetros a, b.

Preparación inicial: (por ejemplo para a=2, b=40)

1. Copiar en el directorio de trabajo el fichero sample_IOEP1.MPJ y abrirlo.2. Guardar en las constantes K5 y K6 los parámetros a,b: MTB> let K5 = 2 MTB> let K6 =40,0

3. Con la ayuda de MINITAB, calcular el tiempo T tal que: P(t ≤ T)=0.998 MTB > InvCDF 0,998; SUBC> Weibull 2 40.

4. Tomar como longitud del subintervalo de tiempo T/20 (para una cadena de Markov con 21 estados del 0 al20); almacenar T/20 en la constante K4:

MTB> let K4 = T/20,0

5. Fijar un número de componentes iniciales determinado (p.ej. 1000) y almacenarlo en la constante K1: MTB> let K1 = 1000,0

EJECUCIÓN de la PRÁCTICA

Tras la preparación inicial:

Editar convenientemente la macro P1m_1.mtb indicar el "path" del fichero de con las probabilidades de la matrizde probabilidades de transición.

Ejecutar la macro P1m_1.mtb mediante:

MTB > exec "P1m_1.mtb"

Tras la acción de esta macro se llenarán las columnas de la hoja de cálculo MINITAB y:

a) Se mostrará por terminal la esperanza E[t] (valor aproximado)b) Se creará el fichero trans_mat.dat:

1 1 : 0.01600 2 : 0.984000 2 1 : 0.04573 3 : 0.954268 3 1 : 0.07455 4 : 0.925453 4 1 : 0.10357 5 : 0.896433 5 1 : 0.13094 6 : 0.869063 6 1 : 0.15805 7 : 0.841950 7 1 : 0.18421 8 : 0.815789 8 1 : 0.20860 9 : 0.791398 9 1 : 0.23370 10 : 0.76630410 1 : 0.25532 11 : 0.744681

11 1 : 0.28095 12 : 0.71904812 1 : 0.30464 13 : 0.69536413 1 : 0.32381 14 : 0.67619014 1 : 0.33803 15 : 0.66197215 1 : 0.36170 16 : 0.63829816 1 : 0.40000 17 : 0.60000017 1 : 0.38889 18 : 0.61111118 1 : 0.45455 19 : 0.54545519 1 : 0.33333 20 : 0.66666720 1 : 0.50000 21 : 0.50000021 1 : 1.00000 22 : 0.000000

Añadir a este fichero la cabecera y el carácter de final de fichero en la última linea:

CC Matriu de probabilitats. de transicio. 21 estatsC21 1 1 : 0.01600 2 : 0.984000 2 1 : 0.04573 3 : 0.954268 3 1 : 0.07455 4 : 0.925453 4 1 : 0.10357 5 : 0.896433 5 1 : 0.13094 6 : 0.869063 6 1 : 0.15805 7 : 0.841950 7 1 : 0.18421 8 : 0.815789 8 1 : 0.20860 9 : 0.791398 9 1 : 0.23370 10 : 0.766304 10 1 : 0.25532 11 : 0.744681 11 1 : 0.28095 12 : 0.719048 12 1 : 0.30464 13 : 0.695364 13 1 : 0.32381 14 : 0.676190 14 1 : 0.33803 15 : 0.661972 15 1 : 0.36170 16 : 0.638298 16 1 : 0.40000 17 : 0.600000 17 1 : 0.38889 18 : 0.611111 18 1 : 0.45455 19 : 0.545455 19 1 : 0.33333 20 : 0.666667 20 1 : 0.50000 21 : 0.500000 21 1 : 1.00000#

Utilizad este fichero como matriz de probabilidades de transición para el programa CdM.exe, el cual osproporcionará las probabilidades de estado estacionario de la cadena de Markov que modeliza el tiempo de vida.

Entrad en la columna 'pi(i)' las probabilidades de estado estacionario proporcionadas por CdM.exe yejecutad entonces la macro P1m_2.mtb

MTB > exec "P1m_2.mtb"

En la columna C25 os aparecerán las probabilidades aproximadas del tiempo de vida residual y ladiferencia entre éstas y las que aparecen en la columna C17, 'p(t)' ,

Descripción de la Macro P1m_1.mtb

Objetivo:

Calcula en una hoja de cálculo MINITAB la función de densidad, de probabilidad acumulada y de tasa de fallospara una distribución del tiempo de vida.

Genera la matriz de probabilidades de transición de una cadena de Markov de 21 estados (20 periodos) queaproxima esta distribución del tiempo de vida:

Parámetros de entrada:

K1 = Número de componentes inicial M0K4 = Longitud del Intervalo de tiempo.K5 , K6 = parámetros de la distribución del tiempo de vida.

Resultados:

K2 = Aproximación de E[t]

Densidad de probabilidad: Probabilidad acumulada: Función de tasa de fallos:

En la hoja de cálculo MINITAB aparecen:

't' Instante de tiempo 'f(t)' Valores de la función densidad de probablidad 'Fdis(t)' Valores de la función de probablidad acumulada F(t) 'h(t)' Valores de la función de tasa de fallos 'R(t)' Valores de la función de fiabilidad R(t) = 1-F(t) 'plteo' Probabilidades pl de la Cadena de Markov sin redondear 'qlteo' Probabilidades ql de la Cadena de Markov " " 'Mlteo' Número de componentes supervivientes " " 'Ml' Id. Pero redondeado. 'Mlmenos1' 'pl' Probabilidades pl de la Cadena de Markov 'ql' Probabilidades ql de la Cadena de Markov

'ql-hdt' Diferencias C13-C5 'tf(t)' Valores t*f(t) 'p(t)' Valores para la densidad de prob. Del tiempo de vida

residual

Resultado de la ejecución del programa CdM.exe:

pi(1) = 0.131787pi(2) = 0.129678pi(3) = 0.123748pi(4) = 0.114523pi(5) = 0.102662pi(6) = 0.089220pi(7) = 0.075119pi(8) = 0.061281pi(9) = 0.048498pi(10) = 0.037164pi(11) = 0.027675pi(12) = 0.019900pi(13) = 0.013838pi(14) = 0.009357pi(15) = 0.006194pi(16) = 0.003954pi(17) = 0.002372pi(18) = 0.001450pi(19) = 0.000791pi(20) = 0.000527pi(21) = 0.000264

Tiempo de vida residual obtenido mediante la cadena de Markov:

Error entre el tiempo de vida residual (CdM.exe) y el teórico:

UP

C I

.O.E

. D

iplo

mat

ura

de E

stad

ístic

aU

PC

I.O

.E.

Dip

lom

atur

a de

Est

adís

tica

(3.c

) ES

TRA

TEG

IAS

DE

REE

MP

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• SI

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IE, P

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P1