GDS_0311846_D_v5 1 Sesión D – Práctica Clínica Casos de Estudio.
Sesión 6.3 Libro digital_Clase Práctica(2).pdf
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UPC rea de Ciencias Matemtica Bsica (MA420)
Eduardo Quincho 1
SESIN 6.3
CLASE PRCTICA
1. OPERACIONES CON FUNCIONES
1.2. Ejercicios
2. CEROS DE UNA FUNCIN
2.1. Ejercicios
3. RAZONES TRIGONOMTRICAS
3.1. Ejercicios
4. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y GRAFICAS DE FUNCIONES SINUSOIDALES
4.1. Ejercicios
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1. OPERACIONES CON FUNCIONES
1. Indique el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones justificando claramente sus respuestas:
a. Si )3ln()( xxf , se puede afirmar que f tiene una asntota vertical de ecuacin .4x
Solucin:
Falso.
En la grfica se observa que la asntota vertical tiene
por ecuacin .3x
b. La funcin )(sen)( xxf es siempre uno a uno (inyectiva).
Solucin:
Falso.
La funcin seno no es uno a uno (inyectiva)
por el criterio de la recta horizontal.
2. Determine la regla de correspondencia de la funcin inversa de g con regla de correspondencia
,3
23)(
x
x
xg
si existe.
3x
)(xfy
2
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Solucin:
xxxx
x
xg 3213
21
3
2
3
3)(
R)Dom( g
;1)Ran(g
Por el criterio de la recta horizontal (CRH) concluimos que
la funcin g es uno a uno (inyectiva). Por lo tanto, existe
inversa de .g
Regla de correspondencia de la funcin inversa:
xxgy 3.21)(
Intercambiando x por y
yx 3.21
Ahora despejamos y
2
1log
2
1log
2
133
2
133
xy
xy
xx yy
Por lo tanto, la regla de correspondencia de la funcin inversa es:
2
1log)( 3
1 xxg
;1)Ran()Dom( 1 gg
3. Sean las funciones f y g con reglas de correspondencia 4)( xexf y
42
2)(
xxg
a. Determine fg y su dominio.
Solucin:
Componiendo se tiene la regla de correspondencia:
42
2))(()(
44
xeegxfgxfg x
2ln4R/
2ln4R/
2R/
042R/Dom
4
4
xx
xx
ex
exfg
x
x
2ln4RDom fg
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b. Si se sabe que la funcin f es uno a uno, determine regla de correspondencia de 1 f .
Solucin:
Se tiene por dato que la funcin f es uno a uno. Por lo tanto existe .1 f
Regla de correspondencia de la funcin inversa:
4)( xexfy
Intercambiando x por y 4 yex
Ahora despejamos y
xyxyxey ln4ln44
Por lo tanto, la regla de correspondencia de la funcin inversa es: xxf ln4)(1
4. Se desea disear una caja, cuyas longitudes (en cm) se muestra en la figura.
Determine:
a. una funcin V para el volumen, en trminos de la altura x . Indique la restriccin.
Solucin:
Sea x : la altura de la caja en cm.
De la figura, se tiene una funcin para el volumen:
xxxxxx 8484712V(x) 22
Restriccin: 7;070070 xxxxx
x
x7
12
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b. las dimensiones de la caja para que el volumen sea el mximo posible.
Solucin:
De la parte a. se tiene que: xxx 8412)V( 2
Como 012a entonces V tiene mximo.
Luego xa
bh
5,3
2
7
)12(2
84
2
Por lo tanto, las dimensiones de la caja son 3,5 cm de altura; 3,5 de ancho y 12 cm de largo para que
el volumen sea mximo posible.
1.1.1. Ejercicios
1. Siendo las funciones f y g con reglas de correspondencias: 4)( 2 xexf y
,5
)(
x
xxg determine la regla de correspondencia y el dominio de:
a. g
f
b. fg
2. Dada la funcin f , cuya regla de correspondencia es .2)( 2 xexf Determine la regla de correspondencia de la funcin inversa si existe, dominio
y grafique ).(1 xfy
3. Un agricultor tiene 800 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que bordea a un ro. Determine una funcin para el rea A del campo rectangular en funcin del lado x , sabiendo que no necesita cercar la parte que colinda con el ro (vea la figura). Adems indique el dominio.
x
Ro (No necesita cercar)
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2. CEROS DE UNA FUNCIN
1. Determine los ceros de f cuya regla de correspondencia es: .1)1(log)12(log)( 33 xxxf
Solucin.
12/1R/
01012R/)Dom(
xxx
xxxf
Por lo tanto: ;1)Dom( f
Ceros de f : 0)( xf entonces
2
12
0232
3132
33)1)(12(
1)1)(12(log
1)1(log)12(log
01)1(log)12(log
2
2
1
3
33
33
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
22/1020120212 xxxxxx ;
)Dom(2/1 f
Por lo tanto, el nico cero de f ocurre en 2.
1 1/2
Si: BAAB logloglog
Si: 000 baab
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2. En cada caso desarrolle segn la indicacin:
a. Determine los ceros de la funcin f cuya regla de correspondencia es .53 11 xxxf
Solucin.
R)Dom( f
Ceros de f : 0)( xf
15log
3/5log
3/5log15log
3log5log)5log3(log
5log5log3log3log
5log)1(3log)1(
5log3log
53
053
x11x
x11x
x11x
x
x
x
xx
xx
Por lo tanto, el nico cero de f ocurre en 15log
)3/5log(
b. Dada la siguiente funcin f con regla de correspondencia: .18)( xx eexf Cul es el valor
de x para 1)( xf ?
Solucin.
R)Dom( f
028
028
118)(
2
xx
xx
xx
ee
ee
eexf
xcx bc
b loglog
BAB
A
BAAB
logloglog
loglog)log(
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242040)2)(4(
0822
xxxxxx
xx
eeeeee
ee
R;0 :porque solucin existe no4 :Como xee xx ;
2ln2 xex
Por lo tanto, el valor de x para que )(xf sea igual a 1 es .2ln
2.1.1. Ejercicios
1. Determine los ceros de la funcin f con regla de correspondencia
.1
42log165
22
xe
xxxf
2. Determine los ceros de la funcin f con regla de correspondencia
.18log1log xxxf
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3. RAZONES TRIGONOMTRICAS
1. Sabiendo que es la medida de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo. A partir de la razn trigonomtrica dada, calcule las otras cinco razones si:
a. 11
5cos
Solucin.
Se construye un tringulo rectngulo con un ngulo agudo y como la razn dada nos establece
una relacin entre sus lados aplicando el Teorema de Pitgoras determinamos el lado que falta.
b. 3
11cot
Solucin.
Se construye un tringulo rectngulo con un ngulo agudo y como la razn dada nos establece
una relacin entre sus lados aplicando el Teorema de Pitgoras determinamos el lado que falta.
2. En los siguientes ejercicios, calcule los valores solicitados sin usar calculadora.
a. cotycos si 0tany4
1sen .
5
x
11
11
3
x
64115 222 xx
64
5cot
64
11csc
5
64tan
5
11se
11
64sen
c
13053 222 xx
11
3tan
11
130csc
130
11cos
3
130se
130
3sen
c
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Solucin.
Usando la Circunferencia Trigonomtrica, cuya
ecuacin es 122 yx ( 1r ) y de donde cosx
e4
1sen y se tiene.
4
151
4
12
2
xx
Adems,
4
1
1sen
y
r
y y 000tan xy
x
y
luego el punto final es
4
1;
4
15
Por lo tanto:
4
15cos x y .15
4
14
15
cot
y
x
b. cscysec si .0cosy3
4cot
Solucin.
Usando la Circunferencia Trigonomtrica, cuya
ecuacin es 122 yx ( 1r ) y de donde cosx
e .seny
Dato:
00cos xr
x y
kykxyk
k
y
x3400
3
4
3
4cot
5
3
5
4
5
11251 222 yxkkyx
luego el punto final es
5
3;
5
4
Por lo tanto:
4
51sec
x y
3
51csc
y
cosx
4/1;2x
4/1;1x
seny
4/1
cosx
5/3;2x
5/3;1x
seny
5/3
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4. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y GRAFICAS DE
FUNCIONES SINUSOIDALES
1. Grafique las siguientes funciones, indicando el perodo, la amplitud, el desfasamiento y el desplazamiento vertical cuyas reglas de correspondencia son:
a. 32
cos2
xxf
Solucin:
kxbaxxf
cos3
2cos2
Amplitud: 22 aA
Periodo:
21
22
bT
Traslacin Horizontal: 2
(hacia la izquierda) (desfasamiento)
Traslacin vertical: 3k (3 unidades hacia abajo)
2
0
2
2
3
-
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b. 14
33sen2
xxg
Solucin:
kxbaxxxf
cos1
43sen21
4
33sen2
Amplitud: 22 aA
Periodo: 3
2
3
2
T
Traslacin Horizontal: 4
(hacia la derecha) (desfasamiento)
Traslacin vertical: 2k (2 unidades hacia arriba)
4.1.1. Ejercicios
1. Grafique )(xfy siendo 23
2cos3
xxf , indicando el perodo, la
amplitud, el desfasamiento y el desplazamiento vertical.
12
11
12
7
12
5
4
34
4
12
5
12
7
4
3
12
11