Líneas de Espera ó ColasLíneas de Espera ó Colas

Escuela de Ingeniería de Sistemas

Optimización y Simulación Optimización y Simulación Ing. Lourdes Roxana Díaz Amaya

TEORIA DE COLAS

• Las LINEAS DE ESPERA,FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidadescotidianas:

•Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja enun banco,

•Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora,

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•Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar sucamino, ante un semáforo en rojo,

•Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda delservicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

Ejemplo de Colas

IntroducciónIntroducción

La espera ocurre porque las instalaciones de servicio operan en forma aleatoria: La llegada del cliente y su tiempo de servicio no se conocen con anticipación. De conocerse, la operación de la instalación se podría programar en forma tal que se eliminaría “la espera” por completo. Definitivamente las colas están relacionadas con procesos que tienen variabilidad en las llegadas de los clientes, productos o trabajos al sistema. Los problemas son de 2 tipos : Los problemas son de 2 tipos : PROBLEMA DE ANALISIS .- Relacionados con el saber si un sistema dado está funcionando satisfactoriamente. Se identifican preguntando : a) Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser atendido? b) Cuánto demora el Servidor en atender al cliente o en procesar un producto? c) Cuáles son el número promedio y el máximo de clientes que esperan en la fila?

PROBLEMAS DE DISEÑO.- Relacionados a las características de diseño del sistema.

a) Cuántas personas o estaciones deben emplearse para proporcionar un servicio aceptable? b) Los clientes esperaran en una fila o en varias filas? c) Qué tanto espacio se necesita para que los clientes o productos puedan

IntroducciónIntroducción

c) Qué tanto espacio se necesita para que los clientes o productos puedan esperar?

TEORIA DE COLAS

• Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.

• Los Análisis de Colas relacionan:

La longitud de la línea de espera, el promedio de tiempo de

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La longitud de la línea de espera, el promedio de tiempo deesperay otros factores como:La conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,

Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamientode estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de unbanco, actividades de mantenimiento y reparación demaquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).

TEORIA DE COLAS

• Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, lospacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o lasprensas dañadas esperando reparación, tienen mucho encomún.

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• Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos yrecursos materiales como equipos para que se los cure o selos haga funcionar nuevamente.

TEORIA DE COLASCostos de Servicio y Costos de Espera

• Los Administradores reconocen el equilibrio que debe haber entre elCOSTO DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA

del cliente o de la máquina que deben ser atendidos.

• Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortascon la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin

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con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sinllegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más.

• Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de colarazonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorrossignificativos en el COSTO DEL SERVICIO

TEORIA DE COLAS

Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio

Costo

COSTO TOTAL ESPERADO

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Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

Costo por TIEMPO DE ESPERA

Costo por proporcionar el SERVICIO

Costo Total Mínimo

TEORIA DE COLASCostos de Servicio vs Nivel de Servicio

• Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE

SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio puedenvariar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que sonasignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente losclientes.

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En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario.

En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personaladicional para atender en ciertas épocas del día o del año.

TEORIA DE COLAS• Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo

perdido en las líneas de espera.

• Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los

I.G. Andrade D. I.O. II - I.S. - U.D.A. 11

equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas.

• En ciertos servicios el costo de la espera puede ser intolerablemente alto.

TEORIA DE COLAS

COLAS MAS COMUNES

SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO

Supermercado Compradores Pago en cajas

Peaje Vehículos Pago de peaje

Consultorio Pacientes Consulta

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Consultorio Pacientes Consulta

Sistema de CómputoSistema de Cómputo Programas a ser Programas a ser corridoscorridos

Proceso de datosProceso de datos

Compañía de teléfonos Llamadas Efectuar comunicación

Banco Clientes Depósitos y Cobros

Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación

Muelle Barcos Carga y descargaImpresora Tareas a Imprimir Impresiones

TEORIA DE COLASCaracterísticas de una LINEA DE ESPERA

• Una cola de espera está compuesta de tres elementos:

1. Arribos o ingresos al sistema

2. Disciplina en la cola

3. Servicio

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• Estos tres componentes tienen ciertas características quedeben ser examinadas antes de desarrollar el aspectomatemático de los modelos de cola.

TEORIA DE COLASCaracterísticas de una LINEA DE ESPERA

1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para el servicio tiene tres características principales:

a. Tamaño de la población que arriba

b. Patrón de llegada a la cola

c. Comportamiento de las llegadas.

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c. Comportamiento de las llegadas.

1.a.Tamaño de la Población:

El tamaño de la población puede ser:

infinito (ilimitado) o limitado (finito).

TEORIA DE COLASCaracterísticas de una LINEA DE ESPERA - 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

1.a. Tamaño de la Población:

Infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribos en un momentodado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Para propósitosprácticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehículos que seacercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial deFútbol, clientes en un supermercado.

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Fútbol, clientes en un supermercado.

LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO.

Población de arribo limitada o finita: cuando se tienen muy pocos servidores y elservicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consutorio médico

TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

• 1.b. Patrón de arribo al sistema:

Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (unpaciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria.

Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son

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Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos sonindependientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecidaexactamente.

Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por unidadde tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribución dePoisson que es una distribución discreta de probabilidad.

TEORIA DE COLASCaracterísticas de una LINEA DE ESPERA1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

• DISTRIBUCION DE POISSON:

( ) ,...4,3,2,1,0_!

==−

xparax

exP

xλλ

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• P(x) = Probabilidad de x arribos

• x= número de arribos por unidad de tiempo

• λ = ratio promedio de arribo

� e = 2.78182

!x

TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO λλλλ = 2

0,2500

0,3000

18

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

PROBABILIDAD

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,0002

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO λ λ λ λ = 4

0,2500

19

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

PROBABILIDAD

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

TEORIA DE COLASCaracterísticas de una LINEA DE ESPERA.

1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

1.c. Comportamiento de los arribos:

La mayoría de los modelos de colas asume que los clientes son pacienteso sea que esperan en la cola hasta ser servidos y no se pasan entre colas.Desafortunadamente, la vida es complicada y la gente se reniega.Aquellos que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sin

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Aquellos que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sincompletar su transacción.

Esta situación sirve para acentuar el estudio de la teoría de colas y elanálisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un clienteperdido y hace mala propaganda de ese negocio.

TEORIA DE COLAS2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:

• La LINEA DE ESPERA es el segundo componente de un sistemade colas. La longitud de la cola puede ser también LIMITADA oILIMITADA.

- Cola LIMITADA es aquella que por aspectos físicos nopuede incrementarse a tamaños infinitos. Puede ser el

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puede incrementarse a tamaños infinitos. Puede ser elcaso de una peluquería que tiene pocos barberos y sillaspara atender.

- Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas delongitud infinita. Una cola es ILIMITADA cuando sutamaño no tiene restricción como es el caso de una casetade peaje que sirve a los vehículos que arriban.

TEORIA DE COLAS2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:

• Una segunda característica de las líneas de espera se refiere a laDISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual los clientes reciben el servicio.La mayoría de los sistemas usan la regla Primero En Entrar Primero En Salir(First In First Out) [PEPS (FIFO)]. Se denomina también FIFS (First In FirstServed).

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Served).

• En las áreas de emergencia de hospitales sin embargo se omite esta regladependiendo de la gravedad de las lesiones de las personas que arribanpor auxilio médico.

• En supermercados, personas con menos de 10 artículos tienen la cajaexpress que atiende a este tipo de clientes. Pero en la cola se les atiendecon la política PEPS.

TEORIA DE COLASCARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA

3. Características del Servicio

El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En él sonimportantes dos propiedades básicas:1. La configuración del sistema de servicio.2. El patrón de tiempos de servicio

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3.1. CONFIGURACIONES BASICAS PARA EL SERVICIO:Los sistemas para el servicio son clasificados en función delnumero de canales (servidores) y el número de fases (número deparadas que deben hacerse durante el servicio).

Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor.Ejemplos de ello son los cajeros para automovilistas o losestablecimientos de comida rápida.

TEORIA DE COLASCARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA

3.1. Configuraciones básicas para el Servicio

– Sistema de cola multi-canal: Son principalmente loscajeros de un banco en los cuales hay una sola cola yvarias personas atendiendo a los clientes en diversas cajas.

– Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el clienterecibe el servicio de una sola estación y luego abandona el

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recibe el servicio de una sola estación y luego abandona elsistema. Un restaurant de comida rápida en el cual lapersona que toma la orden también le entrega el alimentoy cobra, es un sistema de una sola fase

– Sistema multifase: cuando se pone la orden en unaestación, se paga en una segunda y se retira lo adquiridoen una tercera

TEORIA DE COLAS

Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas

3.1. Configuraciones básicas para el Servicio

SERVIDOR

COLA

ARRIBOS SALIDAS

Proceso de Espera Proceso de Servicio

25

SERVICIOFASE 2

COLASERVICIOFASE 1 SALIDAS

SISTEMA UN CANAL, UNA FASE

ARRIBOS

UN SOLO CANAL, MULTIFASE

Proceso de Espera

Proceso de llegada

Proceso de Servicio

En el sistema Las llegadas deben estar con distribución poisson y los tiempos de servicio deben estar distribuidas exponencialmente.

“ La condición para que exista cola es cuando La condición para que exista cola es cuando

el número de personas supera el numero de el número de personas supera el numero de

servidores".servidores".

Proceso de llegada

Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Cada llegada ocurre aleatoriamente e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuando ocurrirá[2]. La distribución que proporciona una buena descripción del patrón de llegadas es la de Poisson. La función de probabilidad es:

Donde:• λ= La cantidad de llegadas en el periodo.• x= La cantidad promedio de llegadas por periodo.

Proceso de Servicio

El proceso de servicio de un sistema de líneas de espera se especifica una distribución de probabilidad la cual rige el tiempo de servicio a un cliente. La distribución de probabilidad para el tiempo de servicio es la exponencial[3]. La probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo de duración t es:duración t es:

Donde:µ= La cantidad de unidades que pueden servirse por periodo.

Clasificación del sistema de colas

Clasificación del sistema de colas

Clasificación del sistema de colas

Notación Kendall Lee

Sistema M/M/1

FÓRMULAS PARA COLASMODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

λµλ

µλ

−==

===

sistema elen (clientes) unidades de promedio Número

sistema elen unidades de número

tiempode períodopor servidos cosas o gente de promedio Número

tiempode períodopor arribos de promedio Número

SS LL

n

34

λµ

µλρ

λµ

−=

+==

==

−==

1

servicio) de tiempo espera de (tiempo

sistema elen permanece unidad una que promedio Tiempo

sistema deln utilizació deFactor

sistema elen (clientes) unidades de promedio Número

S

S

SS

W

W

LL

FÓRMULAS PARA COLASMODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

( )

( )

2

sistema elen estén clientes "n" que de adProbabilid

cola laen espera unidad una que promedio Tiempo

cola laen unidades de promedio Número

==

∗=−

==

∗=−

==

n

Sq

Sq

P

WW

LL

ρλµµ

λ

ρλµµ

λ

35

( )

( )

1

sistema elen estén unidades k"" de más que de adProbabilid

11

vacía)está servicio de unidad (la sistema elen unidades cero de adProbabilid

11

sistema elen estén clientes "n" que de adProbabilid

+

⟩

⟩

=

==

−=−=

==

∗−=

∗

−=

==

k

kn

kn

o

o

n

n

n

n

P

P

P

P

P

P

µλ

ρµλ

ρρµλ

µλ

Sistema M/M/K

Sistema M/M/K

FÓRMULAS PARA COLASMODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S

λµ

µλ

⟩=

=====

MP

P

M

o

para 1

sistema elen unidades o personas CEROexistan que de adProbabilid

canal cadaen servicio de promedio tasa

arribo de promedio tasa

abiertos canales de número

38

( ) ( ) µλ

λµµ

λλµ

λµ

λµµ

µλ

µλ

+−−

=

=

⟩

−

+

=

∑−=

=

PoMM

L

L

M

M

M

Mn

P

M

S

s

MMn

n

no

2

1

0

.!.1

:sistema elen unidades o personas de promedio número

para

!

1

!

1

FÓRMULAS PARA COLASMODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S

( ) ( ) λµλµµ

λµS

M

S

s

LPo

MMW

W

=+−−

=

==

1

! 1

)(atendida) servida siendoy cola la(en

sistema, elen permanece unidad una que promedio Tiempo

2

39

( ) ( )

λµ

ρµλ

λµλµ

q

Sq

q

SSq

q

LWW

W

LLL

L

MM

=−=

==

−=−=

==−−

1

serviciopor esperando cola laen da tar

se unidad o persona una que promedio Tiempo

servicio de esperaen cola, o línea laen unidades o personas de promedio Número

! 1

FÓRMULAS PARA COLASMODELO C: SERVICIO CONSTANTE O MODELO

M/D/1

( )

( )λ

λµµλ

cola, laen espera de promedio Tiempo

2 cola, la de promedio Longitud

2

=

−=q

W

L

40

( )

µ

µλ

λµµλ

1 sistema, elen espera de promedio Tiempo

sistema, elen clientes de promedio Número

2 cola, laen espera de promedio Tiempo

+=

+=

−=

qS

qS

q

WW

LL

W

Ecuaciones de little

• Little muestra que: el número promedio de unidades en la línea de espera (Lq), el número de unidades en el sistema (Ls), el tiempo promedio que cada unidad pasa en la línea de espera (Wq) y el tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema (Ws) estanrelacionadas en toma general y se aplican a diversos modelos de líneas de espera independiente.

Primera Ecuación: El número de unidades en el sistema es igual a la tasa promedio de llegadas por el tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:

• Igualmente, el número promedio de unidades en la cola es igual a la tasa promedio de llegadas por el tiempo promedio que una unidad pasa en la cola:

Ecuaciones de little

Segunda Ecuación: El tiempo promedio en el sistema es igual al tiempo en espera mas el tiempo promedio de servicio:

La importancia de las ecuaciones de little es que se aplican a cualquier modelo de espera independientemente de que si las llegadas siguen una distribución poisson o no y si los tiempos de servicios siguen una distribución exponencial o no.

RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS

MODELO NOMBRE N° DE CANAL

ES

N° DE FASES

PATRÓN DE

ARRIBO

PATRÓN DE

SERVICIO

TAMAÑO DE LA POBLACIÓN

DISCIPLINA DE COLA

A SIMPLEM/M/1

UNO UNA POISSON EXPONENCIAL

INFINITA PEPS

43

B MULTI-CANALM/M/S

MULTICANAL

UNA POISSON EXPONENCIAL

INFINITA PEPS

C SERVICIOCONSTANTE (M/D/1)

UNO UNA POISSON CONSTANTE

INFINITA PEPS

D POBLACIONLIMITADA

UNO UNA POISSON EXPONENCIAL

FINITA PEPS