Sexto Matemáticas

Nombre:

Curso:

Escuela o Liceo:

INICIALES 21x27 31/12/08 12:13 Página 1

El material didáctico Matemática 5º, para Quinto Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de:

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DEL PROYECTO:EUGENIA ÁGUILA GARAY

COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA:VIVIANA LÓPEZ FUSTER

EDICIÓN:VIVIANA LÓPEZ FUSTERÁNGELA BAEZA PEÑAMARCIA VILLENA RAMÍREZ

AUTORAS: FRANCISCA MARÍN RODRÍGUEZMARÍA ANTONIETA CASTILLO CHIPON

REVISIÓN DE ESPECIALISTA:JAVIERA SETZ MENA

CORRECCIÓN DE ESTILO:ISABEL SPOERER VARELAASTRID FERNÁNDEZ BRAVO

DOCUMENTACIÓN:PAULINA NOVOA VENTURINOJUAN CARLOS REYES LLANOS

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:VERÓNICA ROJAS LUNA

COORDINACIÓN GRÁFICA:CARLOTA GODOY BUSTOS

COORDINACIÓN LICITACIÓN:XENIA VENEGAS ZEVALLOS

DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN:MARIELA PINEDA GÁLVEZPATRICIA LÓPEZ FIGUEROA

ILUSTRACIONES:MARTÍN OYARCE GALLARDO

FOTOGRAFÍAS:ARCHIVO SANTILLANA

CUBIERTA:XENIA VENEGAS ZEVALLOS

PRODUCCIÓN:GERMÁN URRUTIA GARÍN

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o

parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella

mediante alquiler o préstamo público.

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por Quebecor World Chile S.A.

ISBN: 978 - 956 - 15 - 1485 - 0Inscripción N° 176.848

www.santillana.cl


FRANCISCA MARÍN RODRÍGUEZ

PROFESORA DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA

CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,LICENCIADA EN EDUCACIÓN,

ESPECIALISTA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

MARÍA ANTONIETA CASTILLO CHIPON

PROFESORA DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA

CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,LICENCIADA EN EDUCACIÓN,

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE


4 Matemática 5

PRESENTACIÓN DEL TEXTO

Páginas de inicio

• ¿QUÉ DEBES RECORDAR?Encontrarás el resumen de los principalesconceptos trabajados en años anteriores y que teservirán como apoyo para los aprendizajes quese espera que logres en la unidad.

• CONVERSEMOS DE…Encontrarás preguntasrelacionadas con la imagen ycon los contenidos de launidad que te permitiránexponer tus ideas, daropiniones y argumentar apartir de tus experiencias.

• EN ESTA UNIDAD PODRÁS…En esta sección conocerás losprincipales objetivos que seespera que logres con eldesarrollo de la unidad.

• ¿CUÁNTO SABES?Podrás resolver ejerciciosy problemas que teayudarán a recordar tusconocimientos que seránla base para el desarrollode la unidad.

Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar. El texto Matemática 5º te invita acomprender que la Matemática es parte del mundo que te rodea. A través de sus 7 unidadeste enfrentarás a diversas situaciones en las que podrás explorar, aprender y construirconceptos relacionados con los números y las operaciones, geometría, datos y azar, y álgebra.En ellas encontrarás las siguientes páginas y secciones:

Te invitamos a ingresar alhipertexto donde encontrarás recursos yactividades interactivasque complementarán tuaprendizaje.


5Presentación del texto

En estas páginas podrás explorar yconstruir nuevos conceptos y aplicarlospara resolver diversas situaciones,actividades y problemas.

Páginas de desarrollo

• PARA DISCUTIRPor medio de preguntas,explorarás el contenidomatemático queaprenderás, pondrás enpráctica lo que ya sabes,compartirás tus ideas yextraerás conclusiones.

• EN TU CUADERNOResolverás variadasactividades para irconstruyendo losconceptos y reforzarasí tu aprendizaje.

• NO OLVIDES QUE…Encontrarásexplicaciones,descripciones odefiniciones quedestacan y precisan loque vas aprendiendo.

• EN EQUIPODesarrollarás en grupoentretenidas e interesantesactividades que te permitiránprogresar en tu aprendizaje.

• DATO INTERESANTEConocerás algunasrelaciones oaplicacionesinteresantes delcontenido que se estádesarrollando.


6 Matemática 5

• MI PROGRESOResolverásactividades quete permitiránevaluar tuprogreso en ellogro de losaprendizajes.

• ESTRATEGIA MENTAL

Encontrarás diversasestrategias de cálculomental e imaginaciónespacial.

• AYUDATe recuerda uncontenido oprocedimiento.

• HERRAMIENTASTECNOLÓGICASAprenderás aocupar lacalculadora pararesolver diversosejercicios y autilizar planillas decálculo oprogramascomputacionales.


7Presentación del texto

Páginas de cierre

Además, en el texto se incluyen tres talleres de evaluación con actividades que integran loscontenidos trabajados y que permitirán evaluar el progreso de tu aprendizaje.

• CONEXIONESA partir de unanoticia o temadesarrollarásen equipo unaactividad quete permitiráaplicar lo queaprendiste enla unidad.

• BUSCANDO ESTRATEGIASObservarás un problemaresuelto paso a paso através de una determinadaestrategia, podrásaprender y practicar laestrategia utilizada ybuscar otras que tepermitan encontrar lasolución.

• SÍNTESISPodrás organizar ysintetizar loaprendidoutilizando unatécnica de estudio.Además, aclararáslos conceptostrabajadosrespondiendopreguntas sobreellos y susrelaciones.

• ¿QUÉ APRENDÍ?En estas dospáginasresponderáspreguntas deselección múltipley actividades dedesarrollo paraevaluar lo que hasaprendido en launidad.

• ¿QUÉ LOGRÉ?

Evaluarás yreflexionarássobre losaprendizajesque adquiristeen esta unidad.


40

8 Matemática 5

ÍNDICE

Unidad 1: Números naturales

¿Cuánto sabes?

10

12 Lectura y escritura de números14

Valor posicional16

Descomposición aditiva18

Números en la recta numérica20

Orden y comparación de números22

Redondeo y estimación24

Adición y sustracción26

Propiedades de la adición30

Unidad 2: Múltiplos, divisores y operaciones

¿Cuánto sabes?

38

Múltiplos42

Factores y divisores44

Factores primos48

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor50

Multiplicación y división54

Multiplicación y sus propiedades58

Buscando estrategias60

Conexiones62

Síntesis63

¿Qué aprendí?64


Conexiones34

Síntesis35

¿Qué aprendí?36

Unidad 3: Fracciones

¿Cuánto sabes?

68

70 Lectura y escritura de fracciones72

Tipos de fracciones74

Fracciones equivalentes76

Orden y comparación de fracciones78

Fracciones y números naturales en la recta numérica80

Adición y sustracción de fracciones con igualdenominador82

Adición y sustracción de fracciones con distintodenominador

84


Conexiones88

Síntesis89

¿Qué aprendí?90

Taller de evaluación 166


Unidad 5: Perímetros y áreas

¿Cuánto sabes?

116

118 Unidades de medida de longitud y de superficie120

Perímetro de triángulos124

Perímetro de cuadrados y rectángulos126

Perímetro y área de cuadrados y rectángulos128

Área de figuras compuestas130


Conexiones134

Síntesis135

¿Qué aprendí?136

Unidad 6: Ángulos

¿Cuánto sabes?

138

140 Clasificación de ángulos142

Medición de ángulos usando el transportador144

Ángulos entre paralelas146

Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros150


Conexiones156

Síntesis157

¿Qué aprendí?158

Unidad 7: Datos y azar

¿Cuánto sabes?

160

162 Lectura e interpretación de información164

Construcción de gráficos168

Tipos de variables172

Probabilidad de ocurrencia de un evento(seguro, posible, imposible)174

Probabilidad de ocurrencia de un evento(probable, improbable)

176


Conexiones180

Síntesis181

¿Qué aprendí?182

Unidad 4: Decimales

¿Cuánto sabes?

92

94 Lectura y escritura de decimales96

Relación entre decimales y fracciones98

Decimales, fracciones y números naturalesen la recta numérica

102

Orden y comparación104

Adición y sustracción de números decimales106


Conexiones110

Síntesis111

¿Qué aprendí?112



Solucionario186

Bibliografía205

Ángulos exteriores de triángulos y cuadriláteros152

9Índice

Decimales finitos e infinitos100


UNIDAD

1

10

Números naturales

Unidad 1

• Leer, escribir, estimar y redondear números naturales de másde 6 dígitos para interpretar y comunicar información.

• Representar números naturales en la recta numérica yestablecer relaciones de orden entre ellos.

• Resolver situaciones aplicando procedimientos de cálculo deadiciones y sustracciones.

• Reconocer propiedades de la adición y utilizarlas parasimplificar los cálculos.

• Interpretar expresiones matemáticas en las que se empleanletras para representar números o cantidades.

EN ESTA UNIDAD PODRÁS...

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11Números naturales

Nuestro planeta tiene aproximadamente 6134 millones dehabitantes, según datos de la Organización de las Naciones Unidas(ONU). Solo en América habitan cerca de 900 000 000 de personasen alrededor de 45 000 000 km2. Es decir, por cada 1 km2, vivencerca de 20 personas. En cambio, en 1 cm2 de piel humana existenaproximadamente 3 millones de células.

• ¿Alguna vez te imaginaste la cantidad de habitantes que vive ennuestro planeta o la cantidad de células hay en 1 cm2 de pielhumana?

• ¿Qué opinas de los datos anteriores?• Comenta acerca de la posibilidad de utilizar números de más de

6 cifras para nombrar la cantidad de:- personas que viven en un edificio,- estrellas en nuestra galaxia,- personas que asisten a un concierto en un estadio,- litros de agua en los océanos,- pelos de la cabeza.

• ¿En qué otras situaciones ocupamos números con más de 6 cifras?

CONVERSEMOS DE...

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¿CUÁNTO SABES?

12 Unidad 1

5 5 6 3 9

– 0 4 1

7 5 4 8

¿?

Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve lossiguientes ejercicios en tu cuaderno.

1. Descubre los números correspondientes a las pistas dadas. Luegoescríbelos en tu cuaderno.

a)

b)

c)

d)

Es un número de 4 cifras formado por 9 unidades,7 centenas, 4 decenas y 3 unidades de mil.

Es un número de 6 cifras formado por 5 unidades de mil,7 decenas y 8 centenas de mil.

El mayor número que se puede formarcon los dígitos 2, 3, 5, 6 y 8.

El menor número que se puede formarcon los dígitos 2, 0, 4, 7, 5 y 9.

2. Completa con , o , según corresponda.

a) 943 005 495 099 d) 490 493 940 943

b) 209 843 208 934 e) 628 481 682 418

c) 439 840 284 048 f) 966 999 966 345

< > =

3. Busca los dígitos que faltan en los siguientes ejercicios.

5 3 4 5 1

+ 6 9 0 2

0 6 1 6

4. Según el último censo poblacional realizado en nuestro país (año 2002), enPuerto Montt hay aproximadamente 153 118 habitantes. Determina cuálde las siguientes descomposiciones expresa la cantidad mencionada.

A. 1 • 100 000 + 5 • 10 000 + 3 • 1000 + 1 • 100 + 8

B. 100 000 + 50 000 + 3000 + 100 + 10 + 8

C. 5 DM + 1 C + 1 D + 8 U + 1 CM

D. 1 CM + 5 DM + 3 UM + 1 C + 1 D + 1 U

¿?

¿?

¿?

¿?

¿?¿?

¿?

¿?

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• Nuestro sistema de numeración es decimal, porque utiliza agrupaciones de 10 en 10. Enél, una centena de mil equivale a 10 decenas de mil y a 100 000 unidades; una decenade mil equivale a 10 unidades de mil y a 10 000 unidades; una unidad de mil equivale a10 centenas y a 1000 unidades.

• En una recta numérica los números están ordenados. Al construir una recta numérica sedebe elegir el número de inicio y de término asimismo decidir la graduación, según losdatos que se desean representar.

• Los símbolos < (menor que), > (mayor que) e = (igual a) se utilizan para compararnúmeros.

• La adición es una operación aritmética cuyos términos se llaman sumandos y suresultado, suma.

• La sustracción es una operación aritmética cuyos términos se llaman minuendo ysustraendo, y su resultado, resta o diferencia.

5. Resuelve las siguientes actividades redondeando los números destacados,según estimes conveniente. Luego, explica el criterio que usaste parahacer el redondeo.

a) Don José se ganó $ 790 000 en un concurso. Si ya ha gastado$ 310 000, ¿cuánto dinero le queda aproximadamente del premio adon José?

b) Andrés desea comprar un CD que cuesta $ 8970 y un DVD a $ 13 540. Aproximadamente, ¿cuánto dinero necesita Andrés paracomprar el CD y el DVD?

c) Según el censo del año 2002, en Chile 169 776 hombres y 200 458mujeres nunca asistieron a alguna institución educacional.Aproximadamente, ¿cuántas personas en Chile nunca han asistido auna institución educacional?

6. Lee la situación, inventa dos preguntas que se puedan responder a partirde los datos y luego respóndelas en tu cuaderno.

Según datos publicados en el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) en laregión del Maule hay 946 722 habitantes. De ellos, 168 251 presentanalguna discapacidad. Del total de discapacitados, 5803 corresponden amenores de 15 años.

Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Teequivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR?

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14 Unidad 1

PARA DISCUTIR

• ¿Tienes cédula de identidad?, ¿cuál es tu RUN?• Si no tienes cédula todavía, ¿en qué situaciones crees que la vas a

necesitar?• Averigua el RUN de tres personas y escríbelos en tu cuaderno en una

tabla como la siguiente:

1. Busca en diarios o revistas 10 noticias o anuncios que contengan números mayores que un millón,en un contexto determinado. Pégalos en tu cuaderno y escribe cómo se lee cada número.

2. Reúnete con un compañero o compañera, compartan la información que recogieron anteriormentey clasifíquenla según la cantidad de cifras de los números y el tipo de información que comunican(distancias, precios, pesos, habitantes, etc.).

Lectura y escritura de númerosLa cédula de identidad es un documento de registro que identifica atodas las personas del país. El RUN (Rol Único Nacional) es unnúmero único que identifica a cada chilena y chileno.

Toda persona mayor de 18 años tiene la obligación de tener sucédula. Esta contiene la foto, firma e impresión dactilar, y algunosdatos como el nombre completo, RUN, sexo, nacionalidad, fecha denacimiento, entre otros.

“Mi RUN es: 15.432.978–1 y se lee:“quince millones cuatrocientos treinta y dos mil

novecientos setenta y ocho, guión uno”.

RUN Se lee

Los números sirven para expresar distinto tipo de información y pueden usarse paraidentificar, ordenar o cuantificar.Para leer los números lo hacemos empezando por la cifra de la izquierda. Por ejemplo, elnúmero 397 147 332 se lee: trescientos noventa y siete millones ciento cuarenta y sietemil trescientos treinta y dos.

NO OLVIDES QUE...

EN TU CUADERNO

responde en tu cuaderno


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4. Escribe con palabras las siguientes cantidades:

a) 3 791 468 c) 27 434 654 e) 436 053 999

b) 9 037 586 d) 59 000 371 f) 888 888 888

5. Escribe el número que corresponda en cada caso.

a) Treinta y cinco millones doscientos ochenta y tres mil ciento nueve.

b) Ocho millones cuatrocientos noventa y uno.

c) Seiscientos veintiocho millones trescientos noventa y nueve mil ciento cuarenta y cinco.

d) Doscientos ocho millones cuatrocientos setenta y seis mil veinticuatro.

e) Novecientos nueve millones noventa y nueve mil novecientos nueve.

f) Novecientos noventa millones setecientos mil quinientos sesenta y ocho.

g) Novecientos noventa y nueve millones ochocientos mil setenta y tres.

6. Forma cinco números distintos con los siguientes dígitos: 4, 8, 0, 2, 5, 6, 7 y 1.

a) Escribe cómo se lee cada uno.

b) ¿Cuál es el mayor número que podrías haber formado?, ¿cómo lo supiste?

3. Observa la siguiente tabla con datos de los últimos dos censos realizados en Chile,y luego responde.a) ¿Cómo se lee la población de hombres en el

país, según el censo de 1992?b) ¿Cómo se lee la población de mujeres, según

el censo de 2002?c) La población de hombres registrada en el

censo de 2002, ¿es mayor o menor que laregistrada en 1992?, ¿cómo lo supiste? Fuente: http://www.ine.cl

(consultado en septiembre de 2007).

Censo Hombres Mujeres

1992 6 533 254 6 795 147

2002 7 447 695 7 668 740

P O B L A C I Ó N S E G Ú N S E X O

En esta actividad deberán construir una tabla con la población y la superficie de cinco países.Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones:

1. Investiguen en diversas fuentes (enciclopedias, Internet, etc.) acerca de la población mundial.

2. Escriban en una tabla la cantidad de habitantes y la superficie de al menos 5 países, de uncontinente elegido por ustedes.

3. Escriban cómo se leen los datos anteriores.

4. Discutan sobre la cantidad de habitantes de cada uno de los países escogidos con relación a susuperficie.

5. Expongan sus opiniones al resto de sus compañeros y compañeras.

EN EQUIPO

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16 Unidad 1

Valor posicionalSegún datos de la Organización de las Naciones Unidas (ONU), en elaño 2006 el continente asiático tenía una población aproximada de3 950 600 000 habitantes.Se estima que en el año 2050, la población de Asia será deaproximadamente 5 217 200 000 habitantes.

CMMi DMMi UMMi CMi DMi UMi CM DM UM C D U

Cent

enas

de m

iles

de m

illon

es

Dec

enas

de

mile

s de

mill

ones

Uni

dade

s

Uni

dade

s de

mile

s de

mill

ones

Cent

enas

de m

illón

Dec

enas

de m

illón

Uni

dade

sde

mill

ón

Cent

enas

de m

il

Dec

enas

de m

il

Uni

dade

sde

mil

Cent

enas

Dec

enas

5 00

0 00

0 00

0

200

000

000

10 0

00 0

00

7 00

0 00

0

200

000 0 0 0 0 0

El valor posicional de cada dígito en el número 5 217 200 000 (cincomil doscientos diecisiete millones doscientos mil), lo puedes observaren la siguiente tabla:

Por ejemplo, el dígito 5 en el número anterior está en la posiciónde las unidades de miles de millones y representa 5 000 000 000(cinco mil millones).

PARA DISCUTIR

• ¿Cómo se leen los números anteriores?• En el número 3 950 600 000, ¿qué valor representa el dígito 5?• En el número 5 217 200 000, ¿qué valores representa el dígito 2,

según sus posiciones?• En el número correspondiente a la población de Asia en el año 2006,

¿qué valor representa el dígito 6?, ¿y el dígito 9?

5 2 1 7 2 0 0 0 0 0

Se estima que en elaño 2050 nuestroplaneta estaráhabitadoaproximadamentepor 9 075 900 000habitantes.

Fuente:http://www.un.org

(consultado enseptiembre de 2007).

D ato interesante

El valor que representa cada dígito que forma un número, según la posición que ocupa,se denomina valor posicional. Por ejemplo, en el número 3 467 862 000 el dígito 4 está enla posición de las centenas de millón y su valor posicional es 400 000 000.

NO OLVIDES QUE...

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3. Escribe la posición y el valor posicional del dígito 2 en cada caso.

a) El diámetro del Sol es 1 392 000 km.

b) América tiene aproximadamente 902 700 000 habitantes.

c) La distancia de Saturno al Sol es 1 427 034 400 km.

4. Escribe el valor que representa el dígito destacado en cada número.Ejemplo: 3 457 000 el dígito destacado representa 400 000.

a) 36 456 754

b) 23 345 600

c) 19 567 789

5. Señala, en cada caso, qué ocurre con el número si intercambiamos los dígitos indicados.

Ejemplo: 1 394 678 intercambiando el 9 y el 3. El número aumenta en 540 000 unidades.

a) 9 126 807 intercambiando el 1 y el 6.

b) 805 156 412 intercambiando el 6 y el 4.

c) 23 461 089 intercambiando el 3 y el 8.

6. Escribe, en cada caso, tres números que cumplan las siguientes condiciones:

a) Tiene 5 cifras, 3 unidades de mil y 7 decenas.

b) Tiene 8 cifras, 4 unidades de millón y 9 decenas de mil.

c) Tiene 9 cifras, 2 decenas de millón, 8 unidades de mil y 1 centena.

d) Tiene 9 cifras, 2 centenas de millón y más de 5 unidades de millón.

e) Tiene 9 cifras, 6 decenas de mil y no tiene decenas de millón.


2. Los siguientes números corresponden a la distancia aproximada que hay entre el Sol y los planetasmencionados. Identifica la posición y el valor que representa el dígito 9 en cada caso. Luego, escribecómo se leen esas distancias.

1. Averigua la cantidad de habitantes de Chile y escríbelo en una tabla como la de la página anterior.

EN TU CUADERNO

Mercurio Marte Neptuno

57.895.000 km 227.990.000 km 4.496.976.000 km

d) 300 453 123

e) 524 834 967

f) 125 982 000

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18 Unidad 1

1 CM = 10 DM1 DM = 10 UM1 UM = 10 C

A yudaPARA DISCUTIR

• ¿Es correcta la cantidad de dinero que entregó el cajero?• ¿Cómo representarías esa cantidad de dinero utilizando otras

cantidades de billetes y monedas?• ¿Cómo cambiaría el cajero un cheque por $ 873 105 utilizando la

menor cantidad de billetes y monedas?

La señora Teresa fue al banco a cobrar el chequecorrespondiente a su pensión.El cajero le cambió su cheque por los siguientesbilletes y monedas:

Descomposición aditiva

$ 80 000 $ 7 000 $ 300 $ 10 $ 5

SERIE 08C-529721134OFICINA BANDERA

Bandera 312 - Stgo.

32-127627-01

Cecilia González Pérez

$012-0230

012

dedel año 20

O AL PORTADORPAGUESE ALA ORDEN DE

LA CANTIDAD DEPESOS M/L

BANCO DEL MUNDO

*0956754* 1845*34567*987* 01

87 315

Stgo. 24 septiembre 09

ochenta y siete mil trecientos quince

Cecilia González P.

EN TU CUADERNO

5 monedasde $ 1

8 billetes de $ 10 000 7 billetes de $ 1000 3 monedasde $ 100

1 monedade $ 10

$ 2 485 031

$ 7 083 172

$ 11 197 391

2. Completa con la menor cantidad de monedas y billetes que se puedan pagar las siguientes cantidades.

1. Escribe el número que corresponde a las siguientes descomposiciones.

a) 70 000 000 + 3 000 000 + 100 000 + 80 000 + 4000 + 500 + 60 + 9

b) 5 000 000 + 500 000 + 50 000 + 5000 + 500 + 50

c) 3 000 000 000 + 60 000 000 + 300 000 + 700 + 2



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3. Completa la tabla con el dígito ubicado en la posición indicada y su valor posicional correspondiente.Observa el ejemplo.

4. Escribe el número que corresponde a cada descomposición.

a) 7 UMi + 6 CM + 3 DM + 2 UM + 8 D + 7 U

b) 9 UMi + 8 C + 5 U

c) 7 DMi + 3 CM + 3 DM + 3 UM + 1 C + 9 D + 9 U

d) 9 CMi + 7 DM + 9 UM + 6 D + 8 U

5. Encuentra el error en cada una de las siguientes descomposiciones. Luego, corrígelas en tu cuaderno.

a) 58 780 200 = 5 CMi + 8 UMi + 7 CM + 8 DM + 2 C

b) 92 652 860 = 90 DMi + 2 UMi + 6 CM + 5 DM + 2 UM + 8 C + 6 D

c) 609 792 003 = 6 CMi + 9 DMi + 7 CM + 9 DM + 2 UM + 3 U

Número Escribe el dígito de: Su valor posicional es:

234 645 376 DMi: 3 30 000 000

798 300 577 UMi:

926 834 582 DM:

12 309 867 UM:

Descomponer aditivamente un número consiste en expresar ese número como unaadición de dos o más términos.Una forma de descomponer aditivamente un número es expresarlo como una adiciónen que los términos corresponden a la multiplicación de cada uno de sus dígitos por 1,10, 100, 1.000, etc., según su valor posicional. Por ejemplo:130 407 560 = 1 • 100 000 000 + 3 • 10 000 000 + 4 • 100 000 + 7 • 1000 + 5 • 100 + 6 • 10El signo “•” se usa para expresar una multiplicación.

La señora Isabel pagó $ 49 017 por el último dividendo de su casa. En totalpagó $ 13 840 738 por su casa.1. Señala ¿cómo se pagaría la última cuota, utilizando la menor cantidad de

billetes de $ 10 000 y $ 1 000, y de monedas de $ 10 y de $ 1.2. Escribe, con palabras, el valor total de la casa.3. Señala las posiciones del dígito 8 en el valor total de la casa, y el valor

posicional, en cada caso.

MI PROGRESO

NO OLVIDES QUE...


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20 Unidad 1

Un número natural que está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica essiempre menor que él.Un número natural que está ubicado a la derecha de otro en la recta numérica essiempre mayor que él.Para construir una recta numérica debemos:• Elegir el número de inicio y de término.• Decidir la graduación (de 10 en 10, de 100 en 100, de 1000 en 1000, etc.), según los

datos que se desean representar.

PARA DISCUTIR

• El número 12 450 801, ¿lo ubicaste más cerca del 12 000 000 o del13 000 000?, ¿y el 12 734 083?, ¿por qué?

• ¿Qué número es mayor: 12 450 801 ó 12 734 083?, ¿cómo puedesutilizar la recta numérica para comparar números?

• ¿Qué puedes deducir sobre la cantidad de abonados a teléfonosmóviles? En el año 2012, ¿crees que habrá mayor o menor cantidad deabonados que en el año 2007?, ¿cuál o cuáles podrían ser las causas?

Números en la recta numéricaLa tabla muestra la cantidad total de abonados a teléfonos móvilesen Chile desde el año 2000 al 2007.

Fuente: http://www.subtel.cl(consultado en septiembre de 2007).

3 000 000 5 000 000 7 000 000 9 000 000 11 000 000 13 000 000

Ubica, aproximadamente, estas cantidades en la recta numérica y luegocontesta:

NO OLVIDES QUE...

AñoAbonados

a nivel nacionalMes

2000 3 401 525 diciembre

2001 5 100 783 diciembre

2002 6 244 310 diciembre

2003 7 268 281 diciembre

2004 9 261 385 diciembre

2005 10 569 572 diciembre

2006 12 450 801 diciembre

2007 12 734 083 marzo

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

20000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Abonados anivel nacional

Abonados a teléfonosmóviles en Chile

Año

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1. Andrés desea comprarse un vehículo por la menor cantidad de dinero posible y cotizó algunosmodelos. Observa.

a) Construye una recta numérica y ubica los precios en ella.

b) Decide qué tipo de vehículo debe comprar.

c) Si ese modelo estuviese agotado, ¿cuál debería comprar?, ¿por qué?

d) Comenta con tus compañeros y compañeras las respuestas e identifiquen las semejanzas ydiferencias entre las rectas construidas.


EN TU CUADERNO

En esta actividad construirás una recta numérica para representar las superficies aproximadas dealgunos países de América. Para esto reúnete con dos compañeros o compañeras y utilicen lasiguiente tabla:

EN EQUIPO

Fuente: Almanaque mundial 2006.

País Superficie (km2)Argentina 3 761 000

Bolivia 1 099 000Brasil 8 512 000Chile 2 006 000

Ecuador 256 000Paraguay 406 000

Perú 1 285 000Uruguay 176 000

1. Construyan una recta numérica con los datos de la tabla.

2. Conversen acerca de los beneficios de comunicar datos empleando la recta numérica.

3. Respondan las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el país con mayor superficie?, ¿y cuál es el con menor superficie?

b) ¿Cómo es la distribución de las superficies en la recta construida?

$ 4 459 000VVeennddoo CCaammiioonneettaa $ 4 250 000

VVeennddoo VVaann

$ 4 990 000VVeennddoo SSttaattiioonn $ 4 780 000

VVeennddoo SSeeddaann

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22 Unidad 1

Orden y comparación de números

Fuente: diario

El Mercurio, cuerpo C,

20 de diciembre de

2006

Región Habitantes

Arica-Parinacota 189 692

Tarapacá 238 902

Antofagasta 493 984

Atacama 254 336

Coquimbo 603 210

Valparaíso 1 539 852

Metropolitana 6 061 185

O’Higgins 780 627

Maule 908 097

Biobío 1 861 562

Araucanía 869 535

Los Ríos 356 396

Los Lagos 716 739

Magallanes 150 826

Aisén 91 492

Con las reformas constitucionales aprobadas en 2005, el Gobiernoinició la redacción de los proyectos de ley para crear dos nuevasregiones: región de Los Ríos y región de Arica-Parinacota.Observa la tabla que indica la población de Chile por regiones.

Para saber qué región tiene mayor cantidad de habitantes (sinconsiderar la región Metropolitana), Paulina comparó la cantidad dehabitantes de Valparaíso y Biobío, y dijo que el número mayor era el1 861 562. ¿Por qué crees que comparó solo estas regiones y nootras?

Para estar segura de su respuesta, los escribió en el siguiente cuadroy comparó los dígitos según su posición, comenzando por los demayor valor.

UMi CM DM UM C D U

1 5 3 9 8 5 2

1 8 6 1 5 6 2

PARA DISCUTIR

• ¿Qué región tiene la menor cantidad de habitantes?, ¿y cuál la mayorcantidad?, ¿cómo lo supiste?

• ¿De qué otra forma podrías presentar estos datos?• Si tuvieses que representar la cantidad de habitantes de la región del

Biobío en la recta numérica, ¿la ubicarías más cerca de 1 800 000 o de1 900 000?, ¿por qué?

Arica

Iquique

Antofagasta

Copiapó

La Serena

ValparaísoSantiago

Rancagua

Talca

Concepción

Temuco

Valdivia

Puerto Montt

Coyhaique

Punta Arenas

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a) ¿Cuáles son los planetas cuya distancia al Sol está entre 200 000 000 y 800 000 000 kilómetros?

b) Nombra los planetas que están a una distancia del Sol mayor que mil millones de kilómetros.

c) ¿Cuál es el planeta que se encuentra más cerca del Sol?, ¿cómo lo supiste?

d) Ordena en una tabla los planetas, de menor a mayor, según su cercanía al Sol.

1. Utiliza el procedimiento anterior para comparar las siguientes parejas de números. En cada casocoloca >, < o =, según corresponda.

a) 780 627 780 937 b) 48 286 607 48 268 607 c) 908 346 987 908 364 987

2. Utilizando los dígitos dados forma los números que se especifican:

a) Forma el mayor número de 8 cifras con: 0 - 1 - 4 - 7 - 3 - 5 - 3 - 9

b) Forma el menor número de 9 cifras con: 3 - 6 - 5 - 5 - 0 - 1 - 1 - 0 - 7

c) Forma el mayor número de 9 cifras con: 7 - 6 - 7 - 2 - 4 - 0 - 1 - 8 - 9

3. Observa el cuadro que nos muestra las distancias al Sol (en kilómetros) de los planetas, y luegoresponde en tu cuaderno.

Al comparar dos números naturales podemos decir que es menor el que tiene menorcantidad de cifras. Si tienen igual cantidad de cifras, se comparan los dígitos de ambosnúmeros que están en la misma posición, partiendo del que se ubica en la posición demayor valor.

NO OLVIDES QUE...

EN TU CUADERNO

Planetas Distancia al Sol (km)

Marte 228 000 000

Mercurio 58 000 000

Venus 108 000 000

Urano 2 870 000 000

Tierra 149 000 000

Neptuno 4 497 000 000

Júpiter 778 000 000

Saturno 1 427 000 000

Fuente: Atlas de Chile y el mundo. 2007

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Al redondear, lo hacemos aproximando a los múltiplos de 10, 100, 1000, 10 000, etc. queestén más cercanos. Ejemplo: podemos redondear a la decena de millón más cercana.

• Según el censo de 1992, la cantidad de bicicletas eraaproximadamente 1 000 000. ¿A qué número aproximarías la cantidadde bicicletas del censo de 2002?, ¿por qué?

• La diferencia de automóviles y stations entre ambos censos es deaproximadamente 400 000. ¿Cómo se obtiene ese valor?

• Entre 1992 y el 2002, la cantidad de motos o motonetas en loshogares aumentó aproximadamente en 200 000 vehículos. ¿Estás deacuerdo con la afirmación?, ¿por qué?

• ¿Por qué crees que aumentó la cantidad de personas con vehículo enlos últimos años?

24 Unidad 1

Redondeo y estimaciónObserva la tabla que contiene datos de los últimos dos censosrealizados en Chile. En ella se muestra la cantidad de vehículos deuso personal en cada vivienda.

V E H Í C U L O S D E U S O P A R T I C U L A R E N E L H O G A R

Censo 1992 Censo 2002

Bicicleta 1 147 629 1 922 693

Moto o motoneta 38 263 65 553

Automóvil, station 519 724 915 961

Camioneta, van, jeep 149 734 353 470

Sin vehículo 1 814 155 1 680 387

300 000 350 000 400 000

353 470

PARA DISCUTIR

NO OLVIDES QUE...

Si ubicamos la cantidad de camionetas, vans y jeeps, según el censo de2002, en la recta numérica podemos observar que 353 470 seencuentra entre 300 000 y 400 000, pero más cerca de 400 000.

870 000 000 880 000 000

872 632 345

2 050 000 000 2 060 000 000

2 058 000 512

Entonces, podemos aproximar 353 470 a 400 000. En este caso, hemosredondeado a la centena de mil más cercana.

2 058 000 512 2 060 000 000872 632 345 870 000 000

Fuente: http://www.ine.cl (consultado en septiembre de 2007).

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1. Redondea a la unidad de mil los datos de la tabla de la página 24. Dibuja una tabla similar paraello.

2. Redondea cada número a la unidad de millón más cercana y calcula el resultado aproximado. Luego,con ayuda de una calculadora obtén el resultado exacto.

a) 12 315 960 + 4 000 000 =

b) 5 127 463 + 82 400 002 =

3. Compara el resultado aproximado con el exacto de cada ejercicio anterior. ¿Qué ventajas tieneredondear números?, ¿y qué desventajas? Explícalas.

4. Redondea el precio de cada casa, según el valor que consideres adecuado.

a) ¿Más o menos cuánto dinero se necesita para comprar la casa A?, ¿y para la B?b) Aproximadamente, ¿cuánto más cara es la casa C que la casa B?c) ¿En cuánto calculas la diferencia de precio entre la casa B y la casa A?d) ¿Alrededor de cuánto dinero se necesita para comprar las tres casas?


La tabla muestra la cantidad de turistasque ingresaron a Chile desde el 2001 al 2005.

1. Responde:

a) ¿Cómo ha variado la cantidad de turistas queingresaron a Chile entre el año 2001 y el 2005?

b) ¿En cuál de estos años ingresó a Chile mayorcantidad de turistas?, ¿y en cuál la menor cantidad?

2. Redondea cada una de las cantidades a la centena demil y luego estima la cantidad total de turistas desde el año 2001hasta el 2005.

3. Representa en una recta numérica todas las cantidades aproximadas.

MI PROGRESO

EN TU CUADERNO

Año N° de turistas

2001 1 723 107

2002 1 412 315

2003 1 613 523

2004 1 785 024

2005 2 027 082

$ 17 150 123 $ 28 120 300 $ 49 823 000

CASA A CASA B CASA C

Fuente: Compendioestadístico 2006. INE.

c) 77 375 760 + 4 220 500 =

d)193 016 019 + 1 078 080 =

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26 Unidad 1

• ¿Cuál es el resultado de 380 300 + 149 200? Entonces, ¿cuál es lasuma de 380 300 000 y 149 200 000?

• ¿Cuál es resultado de 380 300 + 149 200 + 333 700?, ¿cómo localculaste?

• Según los datos de la tabla, ¿a qué corresponde el valor 863 200 000?• ¿Cuál es el resultado de 380 300 – 333 700? ¿Qué número obtenemos

al hacer la sustracción de 380 300 000 y 333 700 000?

PARA DISCUTIR

Adición y sustracciónLa siguiente tabla de datos presenta la cantidad aproximada dehabitantes de cada región de América en el año 2006.

Región Año 2006

América del Sur 380 300 000

América central 149 200 000

América del Norte 333 700 000

Fuente: http://www.un.org(consultado en septiembre de 2007).

Observa cómo calculamos con los datos anteriores la cantidad dehabitantes que había en total en América del Norte y América central.Al realizar la adición:

333 700 000 habitantes de América del Norte+ 149 200 000 habitantes de América central

482 900 000

En América del Norte y central había 482 900 000 habitantes en el año2006.

Si quisiéramos saber cuántos habitantes más había en América del Surque en América central, en el año 2006, podemos realizar la siguientesustracción:

380 300 000 habitantes de América del Sur– 149 200 000 habitantes de América central

231 100 000

América del Sur tenía aproximadamente 231 100 000 habitantes másque América central.

U1 26 - 37 7/1/09 11:59 Página 26


1. Observa los siguientes ejercicios. ¿Están bien resueltos?, ¿por qué?

a) 6 346 538 b) 10 098 011 c) 136 854 123+ 5 673 402 – 1 309 932 – 7 976 234

11 020 030 8 799 079 122 877 889

• Resuélvelos correctamente y explica paso a paso las estrategias que utilizaste.

2. Completa cada cuadro con el dígito que falta.

EN TU CUADERNO

2

7 3 2 8 4

1 15 9

6 9 1 2b)

–

6 9 1 2 3

1 2 5 5 1 3

5 3 2 4a)

+

5. Resuelve los siguientes problemas y compara tus estrategias con tus compañeros y compañeras.

a) El volcán más alto de Chile es el nevado Ojos del Salado de 6893 m de altura, sobrepasandopor 1343 m al volcán Tupungato. ¿Cuál es la altura de este volcán?

b) Si el total de una adición es 89 570 648 y uno de los sumandos es 26 047 216, ¿cuál es el otrosumando?

c) Si el sustraendo es 7 423 548 y la diferencia es 8 579 026, ¿qué valor tiene el minuendo?

d) Si la diferencia en una sustracción es de 1 312 575 y el minuendo es 8 658 020, ¿cuál es el valordel sustraendo?

e) La suma de 3 números es 38 659 542. El primer sumando es 11 912 346 y el segundo es4 825 650 unidades mayor que el primero. ¿Cuál es el tercer sumando?

4. Encuentra el término que falta para que se cumpla cada igualdad.

a) 1 528 089 – = 703 423

b) + 68 570.000 = 123 600 000

3. Completa el término que falta en cada caso. Explica paso a paso el procedimiento utilizado.

3 497 819+

14 079 615

a)

– 2 579 6883 605 605

c)

+ 29 047 61646 902 857

b) 53 198 014–

41 492 348

d)

6. Resuelve primero la operación que está entre paréntesis y luego calcula el resultado.

a) (920 400 – 123 155) + 48 273 =

b) (6 000 000 – 9295) + (5 218 324 – 8649) =

c) (375 418 + 94 219) – (215 327 – 695) =

c) – 2 973 931 = 10 000 000

d) 9 503 270 + = 148 000 952

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• Como la adición y sustracción son operaciones inversas, a cada adición se le puedenasociar dos sustracciones.

• En una adición, cuando se conoce solo un sumando y la suma, para encontrar el otrosumando se resta a la suma el sumando conocido.

• En una sustracción, cuando se conoce solo el sustraendo y la diferencia, para encontrarel minuendo se suman el sustraendo con la diferencia.

• En una sustracción, cuando se conoce solo el minuendo y la diferencia, para encontrarel sustraendo se resta al minuendo la diferencia.

28 Unidad 1

NO OLVIDES QUE...

En esta actividad realizarán cálculos y comparaciones con números de más de seis cifras.Para esto formen un grupo de tres integrantes y lean la siguiente información:

Según datos de la ONU, se estima que en América del Sur el año 2050 habrá 526 900 000habitantes; en América del Norte, 438 000 000 habitantes y en América central, 209 600 000habitantes. En Chile, la cantidad de habitantes registrada en el 2006 fue de aproximadamente16 500 000 y se proyecta que en el año 2050 será de aproximadamente 20 700 000 habitantes.

1. Según esta información y los datos de la tabla de la página 26, respondan.

a) ¿Cuántos habitantes más tendrá Chile en el año 2050?

b) ¿Qué consecuencias podría traer el aumento de habitantes en Chile, si consideramos que lasuperficie se mantiene?

2. Cada integrante elija una de las tres regiones de América. Calcule la diferencia de habitantesque tendrá la región escogida en el año 2050, respecto del año 2006.

a) Considerando los datos de la página 26, ¿en qué región aumentará mayormente lapoblación?

b) Conversen sobre el aumento de población en esas regiones. Para realizar ese análisis,supongan que su curso es la población de América del Sur en 2006 y su sala de clase es lasuperficie de la región.

EN EQUIPO

sumandos

a + b = c

sumasustraendo

a – b = c

resta o diferenciaminuendo

a + b = cc – b = a

c – a = b

Los términos de una adición se llamansumandos y su resultado, suma.

Los términos de una sustracción se llaman minuendo,sustraendo y su resultado, resta o diferencia.

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Observa las estrategias para resolver algunas adiciones y sustracciones mentalmente.

2 000 000 + 3 000 000 2 + 3 = 5 2 000 000 + 3 000 000 = 5 000 000

7 000 000 – 4 000 000 7 – 4 = 3 7 000 000 – 4 000 000 = 3 000 000

1. Practica la estrategia anterior para resolver las siguientes adiciones:

a) 2 000 000 + 5 000 000 2 + 5 = 2 000 000 + 5 000 000 =

b) 3 000 000 + 7 000 000 + = 3 000 000 + 7 000 000 =

c) 4 000 000 + 9 000 000 + = 4 000 000 + 9 000 000 =

d) 6 000 000 + 9 000 000 + = 6 000 000 + 9 000 000 =

2. Practica la estrategia anterior para resolver las siguientes sustracciones:

a) 5 000 000 – 3 000 000 5 – 3 = 5 000 000 – 3 000 000 =

b) 8 000 000 – 2 000 000 – = 8 000 000 – 2 000 000 =

c) 10 000 000 – 9 000 000 – = 10 000 000 – 9 000 000 =

d) 11 000 000 – 5 000 000 – = 11 000 000 – 5 000 000 =

3. Calcula mentalmente:

a) 15 000 – 5000 = e) 54 000 000 – 16 000 000 =

b) 24 000 + 25 000 = f) 99 000 000 + 32 000 000 =

c) 220 000 + 500 000 = g) 105 000 000 – 4 000 000 =

d) 350 000 – 250 000 = h) 873 000 000 – 773 000 000 =

4. Redondea los siguientes números a la unidad de mil más cercana y estima mentalmente cadasuma y resta.

a) 13 140 + 12 927 = d) 92 800 + 15 100 =

b) 24 060 – 14 080 = e) 38 555 – 26 140 =

c) 18 990 + 3999 = f) 97 980 – 36 249 =

5. Redondea los siguientes números a la decena de millón más cercana y luego calculamentalmente los resultados aproximados.

a) 58 113 140 + 90 512 927 = d) 92 765 800 + 15 075 100 =

b) 22 100 039 – 17 055 780 = e) 38 555 192 – 26 209 140 =

c) 456 224 060 – 214 909 080 = f) 45 976 000 – 21 457 000 =

ESTRATEGIA MENTAL


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30 Unidad 1

Propiedades de la adiciónAndrea, Carmen, Raúl y Guillermo trabajan en una corredora depropiedades. En la siguiente tabla aparecen los valores de los tiposde departamentos que ellos venden.

El viernes, Andrea y Carmen vendieron igual cantidad de viviendas:un departamento de un dormitorio y otro de tres dormitorios.Raúl ha vendido un departamento de cada tipo.Guillermo, la primera semana, vendió un departamento de dosdormitorios, pero en la segunda, no ha vendido nada.

• Para calcular el total de su venta del viernes, Andrea planteó lasiguiente adición: 24 851 044 + 39 028 098, y Carmen resolvió39 028 098 + 24 851 044. ¿Quién planteó bien la adición para obtenerla venta del viernes?, ¿por qué? ¿Qué resultado obtuvo cada una?

• Carmen hizo una nueva venta y realizó el siguiente cálculo:(39 028 098 + 24 851 044) + 31 749 673. ¿Qué tipo de departamentovendió ahora Carmen? ¿Cuánto es el total de las ventas de Carmencon este departamento?, ¿cómo lo calculaste?

• Raúl plantea el siguiente ejercicio para calcular sus ventas:39 028 098 + (24 851 044 + 31 749 673). ¿Qué departamentos vendióRaúl? ¿Cuánto es el total de las ventas de Raúl? ¿En qué se parece elcálculo que hizo Raúl con el que hizo Carmen?, ¿en qué se diferencia?

• ¿Cómo representarías las ventas de Guillermo con una adición?,¿cuánto dinero obtuvo por sus ventas?

PARA DISCUTIR

1. Sustituye los valores correspondientes y completa con el resultado en cada caso.

EN TU CUADERNO

Tipo de departamento Precio (en pesos)

Un dormitorio 24 851 044

Dos dormitorios 31 749 673

Tres dormitorios 39 028 098

a b c a + b b + a (a + b) + c a + (b + c) a + 0 0 + b 0 + c

4 9 11

38 51 90

600 492 222

1973 7100 5000 responde en tu cuaderno


• ¿Qué observas en los resultados de las columnas de igual color?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?

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Con ayuda de una calculadora, realiza las siguientes operaciones:

a) 9 041 343 + 3 905 782 = c) (40 035 876 + 73 082 991) + 5 295 381 =3 905 782 + 9 041 343 = 40 035 876 + (73 082 991 + 5 295 381) =

b) 80 486 023 + 79 638 288 = d) (805 399 + 29 400 581) + 11 111 111 =79 638 288 + 80 486 023 = 805 399 + (29 400 581 + 11 111 111) =

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

• En una adición, al cambiar el orden de los sumandos, la suma no cambia.En general, si a y b son dos números naturales: a + b = b + aEsta es la propiedad conmutativa de la adición.

• En una adición, al agrupar los sumandos de diferentes maneras, la suma no cambia.En general, si a, b y c son dos números naturales: (a + b) + c = a + (b + c)Esta es la propiedad asociativa de la adición.

• La adición entre un número y cero da como resultado el mismo número.El elemento neutro en la adición es el cero. En general, si a es un número natural:a + 0 = 0 + a = a

La familia Miranda está participando en un programa de concursos entelevisión. El animador les muestra los siguientes ejercicios y pregunta: ¿en cuálse obtiene el mayor resultado?

MI PROGRESO

NO OLVIDES QUE...

2. Resuelve las siguientes adiciones:

a) 597 391 000 + 0 = b) 0 + 6 891 999 666 = c) 0 + 2 784 391 013 =

Luego, la madre de la familia responde que todos tienen igual resultado.

1. ¿Estás de acuerdo con la respuesta de la mamá?, ¿por qué?

2. Determina en cuáles ejercicios se pueden observar las propiedadesaprendidas y explica cómo las identificaste.

3. Si en la primera parte del concurso llevaban ganados $ 1 250 000 y altérmino de este se ganaron $ 4 100 000, ¿cuánto dinero ganaron después dela primera parte del concurso?, ¿cómo lo calculaste?

6 839 235 + 6 000 840

7 191 284 + (4 566 730 + 1 082 061)

12 840 075 + 0

(7 191 284 + 4 566 730) + 1 082 061

6 000 840 + 6 839 235

• ¿Qué ocurre con los resultados en cada caso?

U1 26 - 37 7/1/09 11:59 Página 31

BUSCANDO ESTRATEGIAS

32 Unidad 1

La superficie de Brasil es 7 755 014 km2 mayor que la de Chile. Si la superficie de Chile es756 950 km2, entonces, ¿cuál es la superficie de Brasil?

Comprender

• ¿Qué sabes del problema?

La superficie de Chile es 756 950 km2

La superficie de Brasil es 7 755 014 km2

mayor que la de Chile.

• ¿Qué debes encontrar?

La superficie de Brasil.

Planificar

• ¿Cómo puedes resolver el problema?

Calculando la suma de la superficie de Chile con la diferenciaentre la superficie de Brasil y la de Chile.

• ¿Qué operación puedes utilizar?

Una adición.

Resolver

7 755 014 Diferencia entre la superficie de Brasil y la de Chile+ 756 950 Superficie de Chile

8 511 964 Superficie de Brasil

Responder

La superficie de Brasil es 8 511 964 km2

Revisar

• ¿Cómo puedes comprobar tus resultados?

8 511 964 Superficie de Brasil– 756 950 Superficie de Chile7 755 014 Diferencia entre la superficie de Brasil y de Chile.

U1 26 - 37 7/1/09 11:59 Página 32

Unidad 1


1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior.

a) La población de una ciudad aumentó en 17 892 su número de habitantes el año pasado,tomando en cuenta el número de nacimientos y defunciones. Si hubo 929 fallecimientos,¿cuántos nacimientos se registraron?

b) Francisca compró un refrigerador por $ 195 870, es decir, $ 29 530 menos de lo que lo habíavisto en otra tienda. ¿Cuál era el precio del refrigerador en la otra tienda?

c) La señora Carmen había ahorrado $ 4 394 509 para poder comprar su casa. Ella ganó unpremio en un juego de azar de $ 750 000, y enseguida lo depositó en su cuenta de ahorropara la vivienda. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado ahora para adquirir su casa?

d) Andrés compró un auto usado que costaba $ 1 590 000, pero gastó $ 1 389 000 en pintarloy desabollarlo. ¿Cuánto gastó en total en el auto?

e) La familia de Nicolás ganó $ 45 875 000 en un juego de azar. Si con esa cantidad de dinerodeciden comprar una casa que cuesta $ 33 872 000 y el resto ahorrarlo, ¿cuánto dineropodrán ahorrar?

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución, explícalapaso a paso y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras.

3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia que tú quieras. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,¿por qué?

a) Un avión ha pasado de una altitud de vuelo de 4391 metros a otra de 8025 metros. ¿Cuántosmetros se ha elevado?

b) Para un recital se han vendido 39 048 entradas y aún quedan 10 952 entradas sin vender.Entonces, ¿cuál es la capacidad del estadio?

c) Hernán, papá de Laura, recibió una herencia por $ 97 873 452. Lo primero que hizo Hernánfue comprar una casa que costaba $ 42 000 000. Laura y sus hermanos le pidieron a su padreque comprara un auto. Él gastó $ 3 800 000 en una camioneta usada. ¿Cuánto ha gastado elpapá de Laura?, ¿cuánto dinero de la herencia le queda a Hernán? ¿Cuántas casas deaproximadamente $ 12 000 000 se podrían comprar con el total de la herencia?

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CONEXIONES

34 Unidad 1

El masivo uso de teléfonos celulares

Después de ser

considerado por

varios años como

un producto “de

lujo” y al alcance

de unos cuantos

ejecutivos, hoy en

día los nuevos

planes de pago y lo accesible de los aparatos

ha hecho que sea un objeto al alcance de todo

el que requiera comunicación instantánea

desde cualquier lugar.

Según cifras entregadas por la SUBTEL

(Subsecretaría de Telecomunicaciones), en el

año 2004 había nueve millones doscientos

sesenta y un mil trescientos ochenta y cinco

celulares en nuestro país; en el año 2005 esta

cifra llegó a diez millones quinientos sesenta y

nueve mil quinientos setenta y dos

equipos; a su vez, en el 2006, la

cantidad aumentó en un millón

ochocientos ochenta y un mil

doscientos veintinueve, en

comparación con el año anterior.

Se estima que en el 2010, la

cantidad de celulares será

equivalente a la cantidad de habitantes.

El celular tiene bastantes ventajas, pero la

proliferación masiva de estos ha generado

nuevos tipos de problemas que nadie

imaginaba hace algunos años. Riesgos al

manejar, radiaciones peligrosas e

interrupciones indeseadas en lugares públicos

suelen verse ahora con frecuencia cuando se

abusa de la tecnología y de los teléfonos

celulares.

ACTUALIDAD

Cuando caminamos por las calles de nuestra ciudad, generalmente vemos a muchas personas

hablando por celular. La ajetreada vida de algunas ciudades en Chile ha hecho que el teléfono

celular sea indispensable para facilitar el diario vivir.

Formen un equipo de trabajo, y desarrollen las siguientes actividades:

1. Examinen la información e identifiquen la idea central.

2. Extraigan las afirmaciones u opiniones que se expresan en torno a la idea central.

3. Construyan una tabla de datos y un gráfico de barras que represente el aumento en lacantidad de celulares a partir del año 2004, incluyendo la proyección hacia el 2010.

4. Aproximadamente, ¿cuántos equipos celulares habrá el año 2010?

5. Averigüen tres planes para contratar un servicio de telefonía celular, de compañías diferentes.Comparen los datos e indiquen cuál de los planes elegirían y por qué.

Fuente: http://www.subtel.cl (consultado en septiembre de 2007, adaptación).

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Unidad 1SÍNTESIS

Durante esta unidad has aprendido a entender y comunicar números tan grandes comolos miles de millones. A continuación te presentamos un modelo de una técnica deestudio, llamada resumen, que consiste en reproducir un texto leído o la materia deestudio, utilizando tu vocabulario y tu estilo.

MODELO:

Lectura y escritura: para escribir números se hacen grupos de 3 cifras, empezando por laderecha y separándolos por un punto, y para leerlos lo hacemos empezando por la cifrade la izquierda.

Ejemplo:

1. Realiza un resumen de los siguientes conceptos, siguiendo el modelo anterior.

• Valor posicional.

• Descomposición aditiva.

• Orden de números.

• Comparación de números.

2. Compara tu resumen con el de tus compañeros y compañeras. ¿Te faltó alguna ideaimportante?, ¿cuál?

3. Comenta en tu curso las siguientes preguntas, según lo realizado anteriormente:a) ¿En qué contextos pueden utilizar números de más de seis cifras?b) ¿Qué reglas conocen acerca de la escritura y lectura de números?c) ¿Cómo se puede descomponer un número?d) ¿De qué depende el valor de cada uno de los dígitos de un número?e) ¿En qué debemos fijarnos al construir una recta numérica?f) ¿Qué utilidad tiene ubicar los números en una recta numérica?g) ¿Qué procedimientos podemos realizar para comparar y ordenar dos o más cantidades?h) ¿Qué significa redondear un número?, ¿en qué situaciones es conveniente redondear

una cantidad?, ¿cómo la redondeamos?i) ¿En qué deben poner atención al sumar y restar dos o más números?j) ¿Cuáles son las propiedades de la adición?, ¿en qué consiste cada una

de ellas?k) ¿Qué pasos deben realizar en un ejercicio de planteamiento de

problema?

Tres mil novecientos diez millonestrescientos noventa y nueve milcuatrocientos tres.

• Redondeo y estimación.

• Adición y sustracción.

• Propiedades de la adición.

3 910 399 403

U1 26 - 37 7/1/09 11:59 Página 35

36 Unidad 1

1. Joaquín ganó $ 13 456 901 en un juego de azar.Este número se lee:

A. trece mil millones cuatrocientos cincuenta yseis mil novecientos uno.

B. trece millones cuatrocientos mil novecientosuno.

C. trece millones cuatrocientos cincuenta y seismil novecientos uno.

D. trece mil cuatrocientos cincuenta y seisnovecientos uno.

2. El número que tiene un 9 en la posición de launidad de mil es:

A. 48 799 125

B. 24 893 912

C. 196 791

D. 7916

3. El número 9 239 557 015 corresponde a:

A. 9 UMMi + 2 CMi + 3 DMi + 9 UMi + 5 CM+ 5 DM + 7 UM + 1 D + 5 U

B. 9 UMMi + 2 CMi + 3 DMi + 9 CM + 5 DM+ 7 UM + 1 D + 5 U

C. 9 UMMi + 2 CMi + 3 DMi + 9 UMi + 5 CM+ 5 DM + 7 UM + 1 C + 5 U

D. Ninguna de las anteriores.

4. Felipe recorre 878 000 metros el primer día desu viaje y 297 000 metros el segundo día. ¿Cuáles la mejor estimación de los kilómetros totalesrecorridos por Felipe?

A. 1000 km

B. 1100 km

C. 1200 km

D. 1400 km

5. Al ordenar los números 49 967 274, 49 975 834y 49 976 274, de mayor a menor, se obtiene:

A. 49 976 274 > 49 975 834 > 49 967 274

B. 49 967 274 > 49 975 834 > 49 976 274

C. 49 975 834 > 49 967 274 > 49 976 274

D. 49 975 834 > 49 976 274 > 49 967 274

6. Si al número 5 691 208 le agregamos tresunidades de mil, se obtiene:

A. 5 693 208

B. 5 694 000

C. 5 694 208

D. 5 991 208

7. Si en una casa comercial se vendió $ 17 934 071en una semana, y a la semana siguiente,$ 21 734 893. ¿Cuánto más se vendió en lasegunda semana? Puedo resolver esta situacióncon una:

A. adición.

B. sustracción.

C. adición y sustracción.

D. Ninguna de las anteriores.

8. Si redondeamos 8 247 406 a la decena de milmás próxima se obtiene:

A. 8 000 000

B. 8 250 000

C. 8 300 000

D. 8 500 000

¿QUÉ APRENDÍ?

Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en lasactividades 1 a la 8.

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Unidad 1

9. Los datos presentados en la tabla corresponden a las llamadas desde el extranjero,recibidas en nuestro país, durante los años 2000 al 2005.

Fuente: http://www.subtel.cl (consultado en septiembre de 2007).

a) Ubica en una recta numérica los datos de la tabla.

b) Compara y calcula en cuánto aumentaron o disminuyeron las llamadas recibidascada año.

c) Calcula el total de minutos de llamadas recibidas en nuestro país desde elextranjero durante los años 2000 al 2005.

10. Si a = 235 830, b = 569 012 y c = 1 679 012, verifica si se cumplen las igualdades.

a) a + b = b + a

b) (c + b) + a = c + (b + a)

1. Marca según tu apreciación.

2. Reflexiona y responde.a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?

b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?

c) Vuelve a la página 10 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”,¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta.

¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Lectura y escritura de números.

Valor posicional.

Descomposición aditiva.

Números en la recta numérica.

Orden y comparación de números.

Redondeo y estimación.

Adición y sustracción.

Propiedades de la adición.

Resolución de problemas.

c) b + 0 = b

d) 0 + c = c

Año

Minutos

2000 2001 2002 2003 2004 2005

288 388 362 106 395 584 471 710 572 385 561 442



Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo yresuelve correctamente el ejercicio.

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UNIDAD

2

38 Unidad 2

Múltiplos, divisoresy operaciones

• Reconocer múltiplos, divisores y factores primos de númerosnaturales.

• Formular y verificar algunas propiedades de los númerosnaturales.

• Calcular multiplicaciones y divisiones de números naturales.• Resolver problemas usando adiciones, sustracciones,

multiplicaciones y divisiones de números naturales.


U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 38

39Múltiplos, divisores y operaciones

CONVERSEMOS DE...

Daniel visitó al doctor porque se sentía cansado. Luego de hacerlealgunas preguntas, el doctor le comentó que todos los sereshumanos necesitamos alimentarnos adecuadamente y, queprobablemente, si aumentaba el consumo de frutas y verduras,carnes blancas, lácteos, legumbres y líquido, disminuiría lacantidad de grasas y se sentiría mejor.

Daniel, considerando la sugerencia del doctor, fue a la feria que semuestra en la imagen y compró: 3 kg de manzanas, 2 kg denaranjas, 1 kg de papas, 3 kg de tomates, 4 lechugas y 6 pepinos.Luego fue a un supermercado y compró 12 L de leche, 7 L de aguamineral y 1 kg de lentejas.

Según los datos anteriores y la información de la imagen,responde:

• ¿Cuánto dinero gastó Daniel en la feria?, ¿cómo lo calculaste?• Si en el supermercado el litro de leche estaba a $ 649, el de agua

mineral a $ 519 y el kilogramo de lentejas a $ 759, ¿cuántodinero gastó Daniel aproximadamente en el supermercado?,¿cómo lo calculaste?

• De los alimentos que consumes habitualmente, ¿cuáles crees queno favorecen tu salud?, ¿por qué?

• ¿Qué alimentos debieras incluir en tu alimentación diaria?• Elabora una lista con los alimentos saludables que comprarías en

una feria, almacén o supermercado, estima sus valores y calculacuánto gastarías aproximadamente.

U2 38-65 9/1/09 13:52 Página 39

¿CUÁNTO SABES?

40 Unidad 2

Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientesejercicios en tu cuaderno.

1. Expresa en forma de multiplicación las siguientes adiciones:

2. Calcula mentalmente y escribe el resultado en tu cuaderno:

4. Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones. Explica los procedimientosutilizados.

a) 3 + 3 + 3

b) 5 + 5 + 5 + 5

a) 5 • 9

b) 7 • 8

c) 15 • 4

d) 130 • 3

e) 95 • 100

3. Completa las tablas con los términos que faltan:

f) 5125 : 5

g) 567 : 3

h) 2580 : 9

i) 6712 : 4

j) 32 136 : 6

5. Catalina fue al cine. Tenía $ 6300 y gastó de ida $ 380 en locomoción. Si despuésde pagar la entrada al cine, le quedan $ 3520, ¿cuánto le costó la entrada?

Factor Factor Producto5 4500

9 721000 36 000

12 1446 42

9 90009 6

a) 230 • 5

b) 1569 • 9

c) 9546 • 25

d) 13 242 • 34

e) 25 438 • 50

Dividendo Divisor Cociente Resto47 7

540 672 2

104 8105 9

16 300 10100 000 100

c) 9 + 9 + 9 + 9 + 9

d) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10

f) 120 : 6

g) 250 : 2

h) 1800 : 3

i) 8500 : 10

j) 56 000 : 100

resp

onde en tu

cuad

erno

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 40


• Los términos de la multiplicación se llaman factores y su resultado, producto.

• En una división de números naturales, sus términos se llaman dividendo y divisor y suresultado, cociente. Si la división no es exacta, se obtiene un resto que es menor que eldivisor y distinto de cero.



6. Pedro y su familia entraron a comer a un lugar en el que había elsiguiente cartel:

a) ¿Cuánto deben pagar por 3 pasteles rellenos con manjar, 2 flanes de caramelo y 3 helados dobles?

b) Si contaban con $ 5000, ¿les alcanzó para pagar lo queconsumieron?, ¿cuánto les sobró o les faltó?

c) Si la familia de Pedro está compuesta por 8 personas y todosquisieran pedir un pastel relleno con manjar, ¿les alcanza con eldinero que tenían?

Pasteles Postres HeladosPastel relleno con manjar $ 850 Flan de vainilla $ 390 Simples $ 550

Pastel con crema $ 790 Flan de caramelo $ 210 Dobles $ 735

Pastel con mermelada $ 645 Mouse de manjar $ 420

Mouse de chocolate $ 670

10 • 8 = 80

Factores Producto

15 : 5 = 3– 15

0

Dividendo

Divisor

Cociente

RestoDivisión exacta

18 : 7 = 2– 14

4

Dividendo

Divisor

Cociente

División inexactaResto

• La multiplicación y la división son operaciones inversas. A una multiplicación se lepueden asociar dos divisiones. Ejemplo: 15 • 4 = 60 60 : 4 = 15 60 : 15 = 4

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 41

42 Unidad 2

MúltiplosPedro vende choclos en la feria y los guarda en sacos para llevarlos asu puesto. Él echa cada vez tres choclos en el saco y los va contando.

En esta actividad deberán trabajar con material concreto y contar coleccionesde objetos haciendo diferentes agrupaciones.Para esto formen un grupo de 3 intregantes y sigan las instrucciones.

1. Pongan todos los palos de helado sobre la mesa.

2. Uno de los integrantes los guarda, echando cada vez dos palos de helado en la bolsa, mientrasotro integrante va contando cuántos palos hay en total en la bolsa cada vez que se echa unnuevo grupo.

3. El tercer integrante anota la secuencia que se forma con los números que va contando sucompañero o compañera.

4. Repitan estos pasos, pero echando a la bolsa grupos de 4, 5 y 10 palos de helado cada vez.

5. Observen las secuencias que escribieron y respondan:a) ¿En qué se parecen las secuencias que escribieron?b) ¿Cuál podría ser la regla de formación de cada una de estas secuencias?c) Si hubiesen trabajado con 100 palitos de helado más, ¿cuáles serían los números que

seguirían en cada secuencia?

EN EQUIPO Materiales:• 60 palos de

helado• 1 bolsa

PARA DISCUTIR

• ¿Cuántos choclos hay dentro del saco después de echar 5 grupos dechoclos?, ¿y después de echar 6 grupos? ¿Cómo lo calculaste?

• Si él está contando el total de choclos que va teniendo en el saco cadavez y lleva 12 veces, ¿cuáles serán los próximos cinco números quedirá?

• Si siempre echa de a 3 choclos, ¿puede haber en algún momento 38choclos en el saco?, ¿y 39 choclos? ¿Cómo lo supiste?

• Si el saco tiene capacidad para 100 choclos, ¿cuántas veces echará losgrupos de a 3 choclos, 33 ó 34?, ¿por qué?

3, 6, 9, 12…

Para representar unamultiplicación de dosnúmeros cualesquieraaa y bb, utilizamos laexpresiónaa • bb y se lee aa ppoorr bb.

A yuda

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 42

7, 14, 21, 28, 35, 42,… Múltiplos de 3

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,… Múltiplos de 6

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,… Múltiplos de 8

8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,… Múltiplos de 7


Cuando un número lo multiplicamos por cada uno de los números naturales,obtenemos los múltiplos del número. Por ejemplo:

3 • 1 = 3 3 • 2 = 6 3 • 3 = 9 3 • 4 = 12 3 • 5 = 15 3 • 6 = 18 …

Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,…

Para obtener múltiplos de un número también podemos formar una secuenciasumando el mismo número al término anterior. Por ejemplo:

NO OLVIDES QUE...

EN TU CUADERNO

+ 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3

1. Une cada secuencia con el recuadro que indica a los múltiplos de qué número corresponde.

2. Completa cada afirmación. Guíate por el ejemplo.

24 es múltiplo de 6, porque 6 • 4 = 24

a) 56 es múltiplo de 7, porque 7 • = 56

b) 25 es múltiplo de 5, porque 5 • = 25

3. Escribe en tu cuaderno los primeros 10 múltiplos de 9, 10, 11 y 12.

4. Escribe los múltiplos que se indican en cada caso.

a) Múltiplos de 4 que sean menores que 48 y mayores que 8.

b) Múltiplos pares de 5 que sean menores que 50 y mayores que 25.

c) Múltiplos de 8 que sean menores que 120 y mayores que 80.

5. En la semana del colegio, Matilde ayuda a llenar bolsas con chocolates para entregar en los distintosconcursos. En cada bolsa debe colocar 5 chocolates.

c) 20 es múltiplo de10, porque 10 • = 20

d) 72 es múltiplo de 8, porque 8 • = 72

a) ¿Cuántos chocolates ha repartido en total si ha llenado 16 bolsas?, ¿y si ha llenado 65 bolsas?b) ¿En algún momento, Matilde podría haber ocupado 46 chocolates para llenar cierta cantidad de

bolsas? Explica.

3 6 9 12 15 18 21 24

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 43

44 Unidad 2

Factores y divisores

En esta actividad deberán descomponer números en formamultiplicativa, identificando sus factores.Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones:

1. Calquen en el papel lustre la tarjeta de muestra, según las indicaciones y recórtenlas.• 15 de color amarillo• 10 de color verde• 6 de color rojo

2. Cada integrante elige un color de tarjetas y escribe en la cara de color lossiguientes números:• En las tarjetas amarillas: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26,

28 y 30.• En las tarjetas verdes: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 y 30.• En las tarjetas rojas: 5, 10, 15, 20, 25 y 30.

3. Al reverso de las tarjetas, escriban todas las multiplicaciones posibles de dos factorescuyos productos sean los números escritos en la cara de color. Por ejemplo:

4. Intercambien sus tarjetas y revisen si las multiplicaciones que escribieron sus compañeros ycompañeras son correctas y si están todas las posibles.

5. Recuerden que los divisores de un número son aquellos que dividen en forma exacta a dichonúmero. Considerando esta afirmación, respondan: ¿Los factores en los que se puededescomponer un número son también divisores de dicho número?, ¿por qué?

EN EQUIPO

PARA DISCUTIR

• ¿El 1 es múltiplo o divisor de todos los números escritos en lastarjetas?, ¿por qué?

• ¿Qué números tienen como factor el 2?, ¿en qué se parecen estosnúmeros?

• ¿Qué números tienen como divisor el 5?, ¿en qué se parecen estosnúmeros?

• ¿Cuántos divisores tiene el número 12?, ¿y cuántos múltiplos?, ¿cómolo supiste?

61 • 62 • 33 • 26 • 1

Materiales:• 3 pliegos de papel lustre

(amarillo, verde, rojo)• Tijeras• Plumón delgado

tarjeta

de muestra

Los números que escribieron al reverso:1, 2, 3 y 6, corresponden a los divisoresdel número 6.

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 44


2. Pablo está haciendo un álbum del verano. En total tiene 72 fotografías y está pensando en lacantidad de páginas que debe tener su álbum para poner exactamente la misma cantidad de fotos encada una de ellas.

1. Escribe todas las multiplicaciones posibles de dos factores cuyos productos sean los siguientesnúmeros.

EN TU CUADERNO

• Los factores de un número son los términos en que se puede descomponermultiplicativamente el número.

Ejemplo: Los factores de 27 son: 1 y 27 ó 3 y 9, porque:

1 • 27 = 27 ó 3 • 9 = 27

• Todo factor de un número es divisor de él.

• Los divisores de un número son aquellos que lo dividen en forma exacta.

Ejemplo: Los divisores de 27 son: 1, 3, 9 y 27, porque:

27 : 1 = 27 27 : 3 = 9 27 : 9 = 3 27 : 27 = 1

De esta forma, 27 es divisible por 1, 3, 9 y 27.

• Todo número natural tiene siempre como divisores el 1 y sí mismo.

NO OLVIDES QUE...

a) 100

b) 122

a) 36

b) 45

c) 48

d) 50

e) 60

f) 90

a) ¿Puede hacer un álbum de 72 páginas?, ¿cuántas fotografías quedarían en cada página?

b) Si el material que compró le alcanza para hacer un álbum de un máximo de 30 páginas,¿cuál es la cantidad de páginas que debería tener su álbum? ¿Cuántas fotografías irían encada página?

3. Francisca colecciona postales y para mantenerlas ordenadas las guarda en sobres, colocando lamisma cantidad de postales en cada uno. Si no pone una postal en cada sobre ni todas en uno, sololas puede guardar en cada sobre grupos de 3, de 5 y de 25, ¿cuántas postales tiene Francisca?

4. Escribe todos los divisores de los siguientes números. Puedes utilizar calculadora.

g) 168

h) 189

c) 143

d) 144

e) 155

f) 156

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 45

46 Unidad 2

5. Copia la tabla en tu cuaderno y marca un si los números de la primera columna son divisiblespor 2, 3, 5, 6 ó 10 y una en caso contrario. Guíate por el ejemplo.

6. Observa la tabla anterior, comenta y responde:

a) ¿En qué se parecen los números que son divisibles por 2?

b) Suma los dígitos que forman los números que son divisibles por 3, ¿cómo serelacionan los resultados?

c) Si un número es divisible por 2 y por 3, ¿por cuál otro número es divisible siempre?

d) ¿En qué se parecen los números que son divisibles por 5?, ¿y los números que sondivisibles por 10?

7. Escribe cinco números que sean divisibles por:

a) 2

8. Completa los espacios con el dígito que corresponda, para que se cumpla la afirmación. Puedesencontrar más de una respuesta.

a) 3 5 es divisible por 3

b) 123 es divisible por 2

c) 19 es divisible por 5

Es divisible por 2 3 5 6 10

24

50

65

73

85

96

102

189

234

390

1208

2000

2555

3600

4236

c) 5

d) 212 es divisible por 10

e) 6 891 es divisible por 3

f) 12 56 es divisible por 6

b) 3 d) 10



• Compara tus respuestas con tus compañeras y compañeros.

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 46


9. Los siguientes números son múltiplos de 9. Obsérvalos y luego responde:

a) Suma los dígitos que los forman, ¿qué observas?

b) ¿Son divisibles por 3?, ¿ocurrirá siempre?

c) Si un número es divisible por 3, ¿es siempre divisible por 9?, ¿por qué?

10. Los siguientes números son múltiplos de 4. Obsérvalos y luego responde:

a) Observa los dígitos ubicados en las posiciones de las decenas y unidades de los númerosdestacados con rojo, ¿qué números forman?, ¿de cuál número son múltiplos?

b) ¿En qué se parecen los números destacados con azul?c) Si un número es divisible por 4, ¿es siempre divisible por 2?, ¿por qué? d) Si un número es divisible por 2, ¿es siempre divisible por 4?, ¿por qué?

11. Completa los espacios con el dígito que corresponda, para que se cumpla la afirmación. Puedesencontrar más de una respuesta.

a) 7 6 es divisible por 6.

b) 32 4 es divisible por 9.

12. Utilizando las regularidades que descubriste en las actividades anteriores acerca de la divisibilidad,encuentra todos los divisores de los siguientes números:

a) 63b) 124

Un número es divisible por 2 cuando el dígito ubicado en la posición de las unidades es 0, 2,4, 6 u 8, es decir, si es 0 o un número par.

Un número es divisible por 3 cuando la suma de los dígitos que lo forman es múltiplo de 3.

Un número es divisible por 4 cuando los dígitos ubicados en las posiciones de las decenas yunidades forman un múltiplo de 4 o ambos son 0.

Un número es divisible por 5 cuando el dígito ubicado en la posición de las unidades es 0 ó 5.

Un número es divisible por 6 cuando cuando lo es por 2 y por 3.

Un número es divisible por 9 cuando la suma de los dígitos que lo forman es múltiplo de 9.

Un número es divisible por 10 cuando el dígito ubicado en la posición de las unidades es 0.

NO OLVIDES QUE...

112 452 1360 2080 6948

300 500 7000 10 000

135 396 1233 2070 9756

342 522 1899 3690

c) 145d) 250

c) 192 es divisible por 4.

d) 230 es divisible por 4.

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48 Unidad 2

PARA DISCUTIR

• ¿Las posibles cantidades de integrantes por cada grupo corresponden alos múltiplos o a los divisores de 45?

• ¿Cuántos divisores tiene el número 45?, ¿y el 36?, ¿cómo lo supiste?• Si en otro curso hay 37 estudiantes, ¿cuántas posibilidades existen para

formar grupos?, ¿y cuántos divisores tiene el número 37?• ¿En qué se parecen los números 45 y 36?, ¿y en qué se diferencian de

los números 37 y 23?• Si quisieran formar grupos en tu curso con igual cantidad de

integrantes cada uno, ¿cuáles serían las posibilidades?

Factores primosEn un curso de 45 estudiantes se requiere formar grupos con igualcantidad de integrantes para realizar un trabajo en equipo.

Si revisamos todas las posibles cantidades de integrantes quepueden tener los grupos, se puede obtener las siguientescombinaciones:1 solo grupo de 45 integrantes 1 • 45 = 453 grupos de 15 integrantes 3 • 15 = 455 grupos de 9 integrantes 5 • 9 = 459 grupos de 5 integrantes 9 • 5 = 4515 grupos de 3 integrantes 15 • 3 = 4545 grupos de 1 integrante 45 • 1 = 45

Luego, los grupos pueden tener 1, 3, 5, 9, 15 y 45 integrantes.

Los números primos son aquellos números mayores que 1 que tienen solo 2 divisores ydistintos entre sí, el 1 y el mismo número. Aquellos números que tienen más de dosdivisores se llaman números compuestos. Por ejemplo: el número 25 es un númerocompuesto porque sus divisores son 1, 5 y 25, en cambio, el 43 es un número primoporque sus divisores son 1 y 43.

NO OLVIDES QUE...

EN TU CUADERNO

1. Escribe, en orden, los números del 1 al 100 y sigue las indicaciones.

a) Encierra en una circunferencia el número 2 y tacha sus múltiplos.

b) Encierra el número siguiente, que aún no se ha tachado, o sea el 3, y tacha sus múltiplos.

c) Encierra el número siguiente, que aún no se ha tachado, o sea el 5, y tacha sus múltiplos.

d) Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números.

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2. Comenta y responde, según lo que obtuviste en el ejercicio anterior.

a) ¿En qué se parecen los números encerrados en una circunferencia?, ¿son números primos ocompuestos?

b) ¿En qué se parecen los números tachados?, ¿son números primos o compuestos?c) ¿Cuál o cuáles no son ni primos ni compuestos?, ¿por qué?

3. Completa con el factor que falta para que se cumpla cada igualdad.

a) 8 = 2 • 2 •

b) 10 = • 5

c) 26 = • 2

4. ¿En qué se parecen los factores de los números del ejercicio anterior? Comenta.

5. Paula dice que los números compuestos se pueden descomponer en factores primos. ¿Estás deacuerdo con ella? Da 3 ejemplos.

6. Observa y comenta las siguientes estrategias para descomponer un número en sus factoresprimos.

Escribe la descomposición en factores primos de los siguientes números, utilizando una de lasestrategias anteriores.

j) 100k) 120l) 144

Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más númerosprimos, esta se llama descomposición en factores primos.

NO OLVIDES QUE...

a) 13b) 15c) 18

d) 25e) 27f) 32

g) 35h) 42i) 90

Busco dos números cuyo producto sea elnúmero que deseo descomponer. Repito elprocedimiento con los factores que seannúmeros compuestos, hasta obtener solonúmeros primos.

Divido el número que deseo descomponer por el menornúmero primo que sea factor, en este caso el 2, y escriboel cociente debajo. Repito lo anterior cuántas veces seaposible y luego continúo, pero con los siguientesnúmeros primos hasta obtener 1 como cociente.

12

2 • 6

2 • 3

12 26 23 3

1

d) 28 = • 2 • 7

e) 30 = • 2 • 3

f) 66 = 3 • • 2

En ambas estrategias se obtiene que los factores primos de 12 son 2 y 3.

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50 Unidad 2

Mínimo común múltiploy máximo común divisorDos colegios se organizaron para ayudar a un jardín infantil deescasos recursos. Uno le entrega alimentos no perecibles cada 2 meses y el otro, materiales escolares cada 3 meses.El primer colegio recolectó 24 kg de arroz, 40 kg de fideos y 72 kg deleche en polvo mientras que el segundo reunió 90 cartulinas decolores, 45 barras de pegamento y 30 paquetes de plasticina. Laentrega de estas donaciones se distribuyó en cajas y bolsas tal comose observa en las imágenes.

PARA DISCUTIR

• ¿Cuántas cajas se pueden armar para que contengan la mismacantidad de cada uno de los alimentos y no sobre nada? Y si tuvieranque armar la mayor cantidad, ¿cuántas cajas necesitarían?, ¿cómo localculaste?

• ¿Los alumnos del segundo colegio cuántas bolsas pueden armar paraque contengan la misma cantidad de cada uno de los materialesescolares y no sobre nada? Y si tuvieran que armar la mayor cantidad,¿cuántas bolsas necesitaría?

• Si ambos colegios entregaron juntos en marzo, ¿en cuántos meses másvolverán a coincidir en el mes que entregan?, ¿cómo lo supiste?

Una manera de encontrar todas las posibilidades de colocar lamisma cantidad de cada uno de los alimentos no perecibles en lascajas es calculando los divisores de 24, 40 y 72.

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

Divisores de 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40.

Divisores de 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.

Como puedes observar, los divisores comunes entre los números 24,40 y 72 son el 1, 2, 4 y 8.

Ahora veamos qué significan estos números en la situación.

1 caja con 24 kg de arroz, 40 kg de fideos y 72 kg de leche en polvo.

2 cajas con 12 kg de arroz, 20 kg de fideos y 36 kg de leche en polvo.



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EN TU CUADERNO

1. ¿Cuánto es el máximo de bolsas con materiales escolares que puede armar el colegio para quecontengan la misma cantidad de cada uno de los materiales escolares y no sobre nada? Respondeutilizando la estrategia anterior.

2. Responde si estás o no de acuerdo con cada una de las siguientes afirmaciones. Explica el porqué.

a) El mcm entre 4 y 8 es 8. c) El mcm entre 6, 12 y 24 es 48.

b) El mcd entre 4 y 8 es 8. d) El mcd entre 6, 12 y 24 es 6.

3. Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre los siguientes números.

a) 5 y 7 d) 4 y 20 g) 5 y 15 j) 24, 32 y 48

b) 7 y 13 e) 6 y 48 h) 7 y 49 k) 21, 42 y 63

c) 11 y 17 f) 9 y 36 i) 11 y 121 l) 20, 30 y 40

El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor de los múltiplos comunes entre dos o másnúmeros.El máximo común divisor (mcd) es el mayor de los divisores comunes entre dos o másnúmeros.

NO OLVIDES QUE...

Luego, la cantidad máxima de cajas es 8. Observa que el 8corresponde al mayor de los divisores comunes de 24, 40 y 72 yrecibe el nombre de máximo común divisor (mcd).

Una manera de saber en cuántos meses más coincidirán en laentrega es calcular los múltiplos de 2 y 3.

Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,…

Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15,…

Como puedes observar, los múltiplos comunes entre los números 2 y3 son el 6, 12,…Ahora veamos qué significan estos números en la situación.6 meses después de la primera entrega (marzo) volverán a coincidiren la entrega, es decir, en septiembre.12 meses después de la primera entrega (marzo) volverán acoincidir en la entrega, es decir, en marzo del año siguiente.

Luego, la primera vez que volverán a coincidir en la entrega es en6 meses después de marzo. Observa que el 6 corresponde al menorde los múltiplos comunes de 2 y 3 y recibe el nombre de mínimocomún múltiplo (mcm).

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52 Unidad 2

Para calcular el mcm, Daniel considera todos los factores primos que estánen alguna de las descomposiciones: 2, 3 y 5.Luego, revisa en cuál de las descomposiciones se repite la mayor cantidadde veces cada uno de estos factores y los multiplica por sí mismo esacantidad de veces:

- El 2 aparece solo una 1 vez 2

- La mayor cantidad de veces que aparece el 3 es tres veces 3 • 3 • 3

- La mayor cantidad de veces que aparece el 5 es una vez 5

El mcm entre 45, 90 y 135 es 270.

Para calcular el mcd, Andrea considera todos los factores que se repiten:3 y 5.Luego, revisa en cuál de las descomposiciones se repite la menor cantidadde veces cada uno de estos factores y los multiplica por sí mismo esacantidad de veces:

- La menor cantidad de veces que aparece el 3 es dos veces 3 • 3

- La menor cantidad de veces que aparece el 5 es una vez 5

El mcd entre 45, 90 y 135 es 45.

a) ¿Es correcto el cálculo del mcm realizado por Daniel? Verifica utilizandootra estrategia.

b) ¿Es correcto el cálculo del mcd realizado por Andrea? Verificautilizando otra estrategia.

c) ¿Qué opinas de las estrategias utilizadas por Daniel y Andrea?, ¿cuándosería conveniente utilizarlas?, ¿por qué?

4. Daniel y Andrea deben calcular el mcm y el mcd entre los números 45, 90 y 135. Observa cómo lohacen y luego responde.Primero descomponen los números en sus factores primos:

90 245 315 3

5 5

1

45 315 35 5

1

135 345 315 3

5 5

1

5. Calcula el mcm y el mcd entre los siguientes números utilizando la estrategia de Daniel.

a) 12 y 27

b) 45 y 63

c) 28, 42 y 70

d) 25, 50 y 60

e) 32, 48 y 64

f) 27, 54 y 81

g) 15, 25 y 30

h) 140, 210 y 280

El producto de

2 • 3 • 3 • 3 • 5

es igual a 270.

El producto de

3 • 3 • 5

es igual a 45.

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Resuelve de dos maneras distintas la siguiente situación y explica paso a pasocómo la resolviste.Los cursos de 5° Básico de un colegio van a campamento cada 6 meses y loscursos 6° Básico cada 4. Este año los cursos 5° y 6° Básico se van decampamento a la montaña juntos. El profesor decide hacer con ellos gruposcon igual cantidad de estudiantes para ocupar cada carpa.

1. Si el 5° A tiene 24 estudiantes, el 5° B, 36; el 6° A, 25; 6° B, 30. Y cada carpatiene una capacidad para 8 personas ¿cuántas carpas utilizarán en los cursosde 5° Básico?, ¿y cuántas en los cursos 6° Básico?, ¿cómo lo supiste?

2. Si los cursos de 5° y 6° Básico coincidieron este año, ¿en cuántos años másvolverán a coincidir?

MI PROGRESO

6. Resuelve los siguientes problemas, explica paso a paso cómo llegaste a la solución.

a) Don José tiene 2 listones de madera, uno de 72 cm y otro de 48 cm. Si deseaobtener de los dos listones trozos más pequeños pero todos de la mismamedida, ¿de cuánto deberían ser los cortes para que no sobre nada?

b) El médico da la siguiente receta a Vicente: cada 8 horas tomar las gotas para eldolor de cabeza, cada 6 horas tomar el remedio para el malestar estomacal, ycada 4 horas el antibiótico. Si Vicente comienza a las 14:00 horas a tomar lostres medicamentos, ¿a qué hora volverá a tomar los tres medicamentosjuntos?

c) Andrea y Guillermo trabajan en una florería y hoy deben hacer ramos con lamisma cantidad de claveles y rosas. Si tienen 12 claveles y 18 rosas, ¿cuántosramos podrán hacer?, ¿cuántos claveles y rosas tendrá cada ramo?

7. Francisco asiste a una escuela de fútbol y tiene entrenamiento a las 16:00 horas. Sientre cada entrenamiento tiene 2 días de descanso y su primer entrenamiento fueel 31 de mayo, anota 9 fechas posibles en que Francisco va a la escuela de fútbol.a) Si Francisco está de cumpleaños el 21 de junio y decide celebrarlo en su casa a

partir de las 15:30 horas, ¿podrá asistir a su entrenamiento?, ¿por qué?

b) Si el entrenador se enferma los días 13, 14 y 15 de junio, ¿Franciscoperderá días de entrenamiento?, ¿cuántos?

8. Piensa, comenta y responde:

a) Daniela dice que el mcm entre dos o másnúmeros primos es el producto entre ellos ysu mcd es 1. ¿Estás de acuerdo?, ¿por qué?Escribe 3 ejemplos.

b) Carlos dice que cuando calcula el mcm entredos números se fija si uno es múltiplo del otroy, si es así, el mcm es el que es múltiplo delotro. ¿Qué opinas tú? Da 5 ejemplos.

JUNIO 2009

12

34

56

7

89 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30 12

34

5

LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SÁBADO DOMINGO

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 53

54 Unidad 2

Multiplicación y división

En una pastelería se hacen galletas caseras y se venden en bolsitas quecontienen 12 galletas cada una. Observa.

Los datos de la situación anterior los podemos registrar en la siguientetabla:

N° de bolsas 1 2 3 4 5

Cantidad de galletas 12 24 36 48 60

Observa que la cantidad de galletas que se necesita para llenar ciertacantidad de bolsas aumenta en forma proporcional, es decir, sidividimos la cantidad de galletas por el número de bolsas obtenemosun valor constante, en este caso 12.

Si conocemos el número de bolsas que queremos llenar, bastaría concalcular el producto entre este número y 12 para conocer cuántasgalletas debemos hacer:

Si conocemos el número de galletas que tenemos, bastaría con calcularel cociente entre este número y 12 para conocer cuántas bolsasdebemos llenar:

Para llenar 500 bolsas

500 • 12 = 6000

Necesitamos 6000 galletas


1000 • 12 = 12 000

Necesitamos 12 000 galletas


100 • 12 = 1200

Necesitamos 1200 galletas

Tenemos 6000 galletas

6000 : 12 = 500

Podemos llenar 500 bolsas


9000 : 12 = 750



300 : 12 = 25


PARA DISCUTIR

• ¿Cuántas galletas deben hacer para entregar un pedido de 7 bolsitas?,¿cómo lo resolviste?

• ¿Cuántas galletas deben hacer para entregar un pedido de 14 bolsitas?,¿y de 28?

• Al aumentar al doble la cantidad de bolsas de galletas, ¿qué ocurre conla cantidad de galletas?, ¿y al aumentar al triple la cantidad de bolsitas?

• Si se hacen 324 galletas, ¿cuántas bolsitas se pueden llenar?, ¿sobraalguna galleta?, ¿cómo lo calculaste?

• Si se hacen 330 galletas, ¿se pueden armar más bolsitas que con las324 galletas?, ¿por qué?

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 54

41 309 • 12654

18006000

240 000180

600020 000

800 000+ 4 130 900

5 204 934


EN TU CUADERNO

1. Paulina y Manuel tienen una fábrica de muebles y hoy vendieron 126 sillas por $ 41 309 cada unapara un restaurante nuevo. Observa los procedimientos que utilizan para calcular el total de su ventay responde.

40 000 + 1000 + 300 + 9

4 000 000800 000240 000

100 00020 000

6 000

30 00060001800

900180

54

5 040 000 126 000 37 800 1134

• 100 • 20 • 6

+

5 204 934

a) Si tuvieras que explicarle los procedimientos anteriores a un compañero o compañera, ¿cómo loharías?

b) ¿Cuál de los procedimientos anteriores te parece más simple?, ¿por qué?

c) ¿Conoces otro procedimiento para resolver esta multiplicación? Explícalo, paso a paso ycompártelo con tus compañeros y compañeras.

2. Observa cómo resuelve Felipe la multiplicación anterior:

41 309 • 126

247 854826 180

4 130 900+

• 6• 20

• 100

5 204 934

a) ¿Qué opinas del procedimiento que utiliza Felipe?,¿por qué?

b) ¿Cómo calcularías el producto de 13 420 • 231,utilizando el procedimiento de Felipe? Explícalo,paso a paso.

3. Resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando los tres procedimientos anteriores y decidecuál es más simple.

a) 12 560 • 13 b) 45 390 • 25

4. Resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando el procedimiento que desees.

a) 112 003 • 32

b) 11 • 234 500

c) 13 987 • 54

d) 65 • 240 070

e) 125 • 1351

f) 112 003 • 112

g) 298 700 • 345

h) 111 111 • 1111

+ + +

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 55

5350 : 13 = 411– 52

15– 13

20– 13

7

56 Unidad 2

5. Carolina y sus amigos se organizan para la preparación de una cena a beneficio del curso. El menúcontempla entrada (ensalada surtida o crema de verduras), plato de fondo (lasagna o cazuela de aveo pollo asado con puré) y postre (macedonia o helado o flan). Para saber cuántas combinaciones decena diferentes pueden servir Carolina hace el siguiente diagrama:

a) Si cuentas todas las posibilidades, te darás cuenta que hay 18 posibles combinaciones, ¿cómopodrías realizar este cálculo utilizando una multiplicación?

b) Si en un restaurante ofrecen un menú que contempla 3 opciones para la entrada, 8 para el platode fondo y 5 para el postre, ¿cuántas combinaciones diferentes de menús pueden servir? ¿Cómolo resolviste? Comenta con tus compañeros y compañeras.

6. En una campaña en contra del cigarrillo se repartirán 5350 volantes informativos en 13 colegioscercanos. Para saber cuántos volantes recibirá cada colegio, si a todos se les reparte la mismacantidad, se puede resolver la división 5350 : 13. Observa dos maneras diferentes de resolverla.

a) ¿Cómo le explicarías los procedimientos anteriores a un compañero o compañera?

b) ¿Cuál de los procedimientos anteriores te parece más simple?, ¿por qué?

c) ¿Conoces otro procedimiento para resolver esta división? Explícalo, paso a paso y compártelo contus compañeros y compañeras.

Menú

Ensalada surtida

Crema de verduras

Lasagna

Cazuela de ave

Pollo con puré

Lasagna

Cazuela de ave

Pollo con puré

5350 : 13 = 400 + 10 + 1 = 411– 5200

150– 130

20– 13

7

MacedoniaHelado

Flan

MacedoniaHelado

Flan

MacedoniaHelado

Flan

MacedoniaHelado

Flan

MacedoniaHelado

Flan

MacedoniaHelado

Flan

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 56


7. Resuelve las siguientes divisiones utilizando el procedimiento que desees.

a) 4826 : 12 =

b) 7800 : 24 =

g) 1 026 325 : 5 =

h) 4 568 974 : 20 =

8. Completa el factor que falta para que se cumpla la igualdad.

a) 36 • = 216

b) 4 • = 2080

e) • 10 = 5210

f) • 24 = 61 512

9. Resuelve las siguientes situaciones:

a) Si tienes 3864 manzanas y las quieres colocar en 56 cajas con igual cantidad de manzanas cadauna, ¿cuántas manzanas puedes poner en cada caja?, ¿quedan cajas por llenar? ¿Cuántasmanzanas necesitarías para llenar 80 cajas? Explica los procedimientos utilizados.

b) Un computador tiene un valor de $ 550 000. Un colegio desea comprar 16 para la sala decomputación. ¿Cuánto tendrá que pagar el colegio por los computadores? Si el en taller decomputación asisten 48 estudiantes y se ubica la misma cantidad de estudiantesen cada computador, ¿cuántos estudiantes habrá por computador? Explica losprocedimientos utilizados.

Algunas divisiones las puedes resolver suprimiendo ceros. Observa.

Calcula mentalmente utilizando la estrategia anterior.

ESTRATEGIA MENTAL

a) 2100 : 300 =

b) 3500 : 500 =

e) 1600 : 20 =

f) 7200 : 90 =

g) 900 : 30 =

h) 42 000 : 600 =

1200 : 2001200 : 200

12 : 2 = 6

2800 : 702800 : 70

280 : 7 = 40

c) 132 320 : 10 =

d) 485 535 : 25 =

e) 630 901 : 9 =

f) 909 909 : 16 =

c) 18 • = 4680

d) • 12 = 7080

c) 1800 : 600 =

d) 440 : 40 =

En la calculadora si quieres calcular el producto de 14 • 10 • 10 • 10 basta con digitar lassiguientes teclas:


1 4 x 1 0 = = =

x 1 0 = = = = =

14000y en la pantalla aparecerá el producto buscado .

1. Elige un número menor que 100, digítalo en la calculadora y luego digita:

2. ¿Se repite lo anterior si en vez de digitar digitas ?, ¿y si calculas por

? Verifícalo con la calculadora.

Registra en una tabla los números que vas obteniendocada vez que digitas . ¿Qué ocurre con losproductos obtenidos?

=

x 1x 1 0

x 0

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 57

58 Unidad 2

En esta actividad deberán realizar multiplicaciones con calculadora paradescubrir regularidades.Reúnete con un compañero o compañera y sigan las instrucciones.

1. Copien en sus cuadernos las siguientes tablas.

EN EQUIPO Materiales:• Calculadora

2. Cada integrante elige una tabla de un color, calcula los productos usando la calculadora y losregistra en la tabla.

3. Comparen los factores y los productos de cada fila.

a) ¿En qué se parecen los factores?, ¿en qué se diferencian?

b) ¿Cómo son los productos?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?

4. Repitan los pasos anteriores con las siguientes tablas.

Factores Producto123 562 • 5 =89 671 • 7 =6 778 916 • 4 =

Factores Producto5 • 123 5627 • 89 6714 • 6 778 916

Factores Producto(651 • 16) • 487 =(629 • 81) • 299 =(15 • 292) • 584 =

Factores Producto651 • (16 • 487) =629 • (81 • 299) =15 • (292 • 584) =

PARA DISCUTIR

• ¿Qué sucede con el producto al cambiar el orden de los factores?• ¿Cuál es el producto de las multiplicaciones si se cambian las

agrupaciones de los factores?

En la multiplicación se cumplen las siguientes propiedades:• Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el valor del producto. Si a y b

son números naturales, entonces a • b = b • a.• Propiedad asociativa: En el producto de varios factores, no importa cómo los

agrupemos, el valor del producto no varía.Si a y b son números naturales, entonces (a • b) • c = a • (b • c).

NO OLVIDES QUE...

Multiplicación y sus propiedades

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 58


EN TU CUADERNO


• ¿Qué observas en los resultados de las columnas de igual color?, ¿qué propiedades de lamultiplicación se cumplen en cada caso?

2. Javiera y Francisco conoce la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de laadición y la utiliza para resolver multiplicaciones. Observa cómo resuelven 12 • 25 570.

a) Si ambos procedimientos son distintos y están correctos, ¿cuál de ellos te parece más sencillo?

b) Calcula el producto entre 17 894 y 21, utilizando uno de los procedimientos anteriores.

3. Calcula los siguientes productos, utilizando el procedimiento anterior.

a) 15 • 17 = c) 17 • 14 =b) 11 • 19 = d) 16 • 11 =

En la multiplicación se cumplen también las siguientes propiedades:• Distributividad de la multiplicación respecto de la adición: Si se tienen los números

naturales a, b y c, siempre se cumple que: a • (b + c) = a • b + a • c.• El elemento neutro en la multiplicación es el uno. En general, si a es un número natural:

a • 1 = 1 • a = a

NO OLVIDES QUE...

a b c a • b b • a a • c c • a (a • b) • c a • (b • c)

38 51 90

600 492 222

1200 3100 2000responde en tu cuaderno


Javiera descompone 25 570. Francisco descompone 12.

12 • (20 000 + 5000 + 500 + 70) (10 + 2) • 25 570

= 12 • 20 000 + 12 • 5000 + 12 • 500 + 12 • 70 = 10 • 25 570 + 2 • 25 570

= 240 000 + 60 000 + 6000 + 840 = 255 700 + 51 140

= 306 840 = 306 840

1. Si sabes que un jugo cuesta $ 370, ¿cuánto cuestan 4, 8, 12 y 24 jugos?,¿cuántos jugos se compró María si pagó $ 11 100 por ellos?

2. Identifica qué propiedad está presente en cada expresión y verifícalausando números. Luego, explica con tus palabras esa propiedad.

a) m • n = n • m b) x • (y • z) = (x • y) • z c) p • (q + r) = p • q + p • r

MI PROGRESO

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 59


60 Unidad 2

Observa la estrategia que se utiliza para resolver la siguiente situación.La familia Serrano compró para el invierno 2 frazadas eléctricas por $ 12 000 cada una,1 estufa eléctrica por $ 9750 y 4 chaquetas por $ 15 590 cada una. Si pagaron con 10billetes de $ 10 000, ¿cuánto recibieron de vuelto?

Comprender• ¿Qué sabes del problema?

Compró: 2 frazadas eléctricas a $ 12 000 cada una; 1 estufa eléctrica a $ 9750 cada una;4 chaquetas a $ 15 590 cada una.Pagó con 10 billetes de $ 10 000

• ¿Qué debes encontrar?¿Cuánto recibieron de vuelto?

Planificar• ¿Cómo puedes resolver el problema?

Calcula el dinero gastado en los productos. Luego, la suma del dinero gastado en losproductos comprados por la familia Serrano y, por último, la diferencia entre la cantidadde dinero con que pagaron y la suma del dinero gastado en los productos comprados.

Resolver

ResponderRecibieron $ 3890 de vuelto.

RevisarPuedes comprobar el resultado sumando el dinero gastado con el vuelto recibido.96 110 + 3890 = 100 000

12 000 • 224 000

dinero gastado en2 frazadas eléctricas

15 590 • 462 360

dinero gastado en4 chaqueta

24 0009 750

62 36096 110

dinero gastado en 2 frazadas eléctricasdinero gastado en 1 estufa eléctricadinero gastado en 4 chaquetassuma del dinero gastado en los productos comprados

9 750 • 19 750

dinero gastado en1 estufa eléctrica

+

100 00096 1103 890

dinero con que se pagósuma del dinero gastado en los productos compradosdiferencia entre la cantidad de dinero con que pagaron y el gastado

–

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 60

Unidad 2



a) Antonio tiene una florería en la cual venden distintos tipos de arreglos. Un ramo de 6 rosastiene un valor de $ 1200 y un ramo de 9 lilium tiene un valor de $ 2100. Si vendió 5 ramos de rosas y 4 ramos de lilium, ¿cuánto dinero reunió con la venta?

b) Paulina tiene ahorrados cinco billetes de $ 5000 y diez billetes de $ 2000. ¿Cuánto dinero tieneahorrado Paulina?

c) Por la compra de 15 litros de leche de frutilla y 12 litros de leche de chocolate se canceló untotal de $ 15 210. Si un litro de leche de frutilla cuesta $ 550, ¿cuánto costó el litro de leche dechocolate?

d) Felipe tiene $ 12 000 para comprar azulejos de 20 cm por 20 cm. Si los azulejos se venden porunidad a un valor de $ 970, ¿le alcanzará el dinero para comprar 12 azulejos?

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explícalapaso a paso y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras.

3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,¿por qué?

a) En el almacén de don Juan hay 632 sacos de yeso. Si compra cada saco por $ 1350 y lo vendepor $ 3500, ¿cuál es su ganancia por la venta de todos los sacos del almacén?

b) En un campo, de 3689 manzanas se han podrido 689. El resto se debe ubicar en cajas de10 manzanas cada una. ¿Cuántas cajas se necesitan?

c) En una pastelería se producen diariamente 1272 alfajores y 1704 berlines. Cada alfajor sevende en $ 152 y cada berlín en $ 258. Si se deben envasar en cajas de 12 unidadesrespectivamente, ¿cuántas cajas se necesitan para envasarlos? ¿Cuánto dinero recaudandiariamente si se venden todos los alfajores y todos los berlines?

d) En un vivero de salmones había 1 248 570 salmones. Si se vendieron 648 273, murieron123 516 y nacieron 213 500, ¿cuántos salmones quedaron en el vivero?

e) Un grupo de papás se organizó para comprar libros para la biblioteca de un colegio. Ellosdecidieron comprar 30 libros de cuentos latinoamericanos por $ 3350 cada uno y 30 libros dejuegos matemáticos por $ 3000 cada uno. ¿Cuánto gastaron en total?

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 61

CONEXIONES

62 Unidad 2

Nuevas patentes

Entonces, la cantidad de combinaciones posibles

para las patentes se obtenía al calcular:

22 • 22 • 9 • 10 • 10 • 10, es decir, existían

4 356 000 de patentes. A partir del 3 de septiembre

de 2007 se comenzaron a utilizar nuevas patentes

entregadas por el Registro Civil.

Estas nuevas patentes son similares a las

anteriores, pero están formadas por cuatro letras y

dos dígitos. En estas no se usan vocales, para

impedir palabras que puedan ser consideradas

burlas o menoscabo de su usuario y, al igual que

las anteriores, no se utilizan la Ñ ni la Q, para no

confundirlas con la N y la O, respectivamente.

Si se mantiene el ritmo actual de 250 mil patentes

anuales en promedio, no habrá necesidad de crear

otra patente por los próximos 38 años. Su costo

será de $ 15 570 y se debe pagar $ 6000 para

reponerla por extravío o daño.

NACIONAL

Desde 1985 hasta el año 2007, en Chile, las

patentes de los automóviles tenían dos letras

(excluyendo las letras I, M, Ñ, O y Q) y cuatro

dígitos (excluyendo la combinación de

números desde el 0001 al 0999). ¿Cuántas

patentes crees que existían?

Fuente: http://www.emol.com/especiales/infografias/patentes/index.htm

Reúnete con 2 compañeros o compañeras, comenten y luego redacten una respuesta:

1. ¿Por qué fue necesario la creación de nuevas patentes?

2. ¿Qué opinan del aumento de la cantidad de automóviles?, ¿en qué nos puede afectar?

3. ¿Qué ventajas y desventajas tiene el nuevo sistema de patentes, respecto del antiguo?

4. ¿Cuántas nuevas patentes se crearon en el año 2007?

5. Si sumáramos las patentes antiguas y las creadas el 2007, ¿cuántas habría?

6. Si se necesitara crear un sistema con mayor cantidad de patentes, ¿qué recomendarían:agregar una letra más o un número?, ¿por qué?, ¿cuántas patentes más se crearían?

22 22 9 10 10 10

Cant

idad

de

letra

s po

sible

s

Cant

idad

de

letra

s po

sible

s

Cant

idad

de

dígi

tos

posib

les

Cant

idad

de

dígi

tos

posib

les

Cant

idad

de

dígi

tos

posib

les

Cant

idad

de

dígi

tos

posib

les

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 62

Unidad 2


SÍNTESIS

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior,comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes preguntas:a) ¿Cuándo un número es múltiplo de otro?, ¿cuál es el primer múltiplo de un número?,

¿cuántos múltiplos puede tener un número?b) ¿Cómo se calcula el mcm entre dos o más números? ¿Es posible calcular el máximo común

múltiplo?, ¿por qué?c) ¿Cómo resuelves la multiplicación 13 415 • 67? Explícalo, paso a paso.d) ¿Cuándo un número es divisor de otro?, ¿cuál es el número que es divisor de todos los

números?e) ¿Cómo se calcula el mcd entre dos o más números? ¿Es posible calcular el

mínimo común divisor?, ¿cuál sería?f) ¿Cómo resuelves la división 5678 : 19? Explícalo, paso a paso.

A continuación se presenta un esquema que relaciona los principales conceptostrabajados en la unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con los siguientestérminos:

• Multiplicación• Factores• Múltiplos

• Mínimo común múltiplo• Dividendo• Divisor

• Máximo común divisor

Números naturales

Operaciones aritméticasFactores primos

División

Divisores

Producto Cociente

Resolución de problemas

ALGUNAS SE PUEDEN

DESCOMPONER EN

TIENEN

SON

SON OPERACIONES INVERSAS

SE UTILIZAN EN LA

Máximocomúndivisor

SUS TÉRMINOS SONSUS TÉRMINOS SONSU RESULTADO

SE LLAMA

SU RESULTADO

SE LLAMA

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 63

64 Unidad 2

¿QUÉ APRENDÍ?

1. Dos veces el mínimo común múltiplo entre 12 y 18 es:

A. 24B. 36C. 48D. 72

2. ¿Cuál de estos números no es divisor de 28?

A. 4B. 7C. 8D. 14

3. ¿Con cuál de estos dígitos se debe completarel número 52_ para que sea divisible por 3?

A. 0B. 4C. 5D. 7

4. Una fábrica de chocolates debe empacar1050 unidades en cajas iguales. Si en cadacaja caben 70 unidades, ¿cuántas cajas conchocolates se tendrán en total?

A. 14B. 15C. 17D. 18

5. Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada20 años y otro cada 45 años. Si seaproximaron juntos el año 1980, ¿en qué añose aproximarán juntos otra vez?

A. 1860B. 2045C. 2160D. 2880

6. ¿Cuáles son los números primos entre 2 y 20?

A. 3, 5, 7, 11, 13, 17B. 2, 3, 5, 7, 11, 13C. 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19D. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

7. La factorización prima de 30 es:

A. 2 • 15B. 3 • 10C. 5 • 6D. 2 • 3 • 5

8. Valentina quiere comprar 15 bebidas para unafiesta. Si cada una de ellas cuesta $ 980,¿cuánto gastará en total?

A. $ 4900B. $ 9800C. $ 11 300D. $ 14 700

Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en laspreguntas 1 a la 8.

U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 64


Unidad 2

9. Descompón en factores primos los siguientes números, utilizando una de lasestrategias vistas en la unidad.

10. Calcula el mcm y el mcd entre los siguientes números:a) 20, 70 y 110 b) 33, 77 y 231

11. En la casa de Catalina compraron 3 juegos de loza para 4 personas por$ 9990 cada uno, 4 sets de 6 vasos por $ 1490 cada uno y 2 juegos decuchillería para 6 personas por $ 14 990 cada uno. Si pagaron con 14billetes de $ 5000, ¿cuánto dinero les sobró?

12. Andrés tiene 50 CD de música: 10 de rock, 15 de pop y 25 de salsa. Si quiereguardarlos en cierta cantidad de cajas de manera que en cada una quede lamisma cantidad de CD de cada tipo de música, ¿cuántos CD puede guardaren cada caja?, ¿cuántas cajas necesita en total?


Múltiplos.

Factores y divisores.

Factores primos.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

Multiplicación y división de números naturales.

Multiplicación y sus propiedades.





¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

a) 48

b) 60

c) 125

d) 243



U2 38-65 7/1/09 12:00 Página 65

1. El último cómputo de la Teletón, que es el eventomás grande de solidaridad de nuestro país, el año2007 fue $ 13 255 231 970. Este número seescribe en palabras:

A. Trece mil millones doscientos cincuenta ycinco millones doscientos treinta y un milnovecientos setenta.

B. Trece mil doscientos cincuenta y cincomillones doscientos treinta y un milnovecientos setenta.

C. Trece mil doscientos cincuenta y cincodoscientos treinta y un mil novecientossetenta.

D. Trece mil doscientos cincuenta y cincomillones doscientos treinta y un milsetecientos noventa.

2. Si en el número 925 061 266 el cinco se cambiapor un tres, el número:

A. aumenta en 2 000 000.B. disminuye en 2 000 000.C. aumenta en 200 000.D. disminuye en 200 000.

3. Isabel fue al banco a cobrar una herencia y leentregaron 19 billetes de $ 10 000, 7 billetes de$ 1000 y 9 monedas de $ 100, 8 monedas de $ 10y 5 monedas de $ 1. Entonces la herencia era de:

A. $ 97 985B. $ 197 085C. $ 197 985D. $ 1 907 985

4. Si (5 208 990 + 13 470 000) + 1 000 003 =z + (13 470 000 + 1 000 003), el valor de z es:

A. 5 208 990B. 14 470 003C. 18 678 990D. 19 678 993

5. ¿Qué número no es múltiplo de 9?

A. 135B. 450C. 560D. 783

6. ¿Cuántos divisores tiene 48?

A. 8B. 9C. 10D. 12

7. El número que es divisible por 6 y 9 es:

A. 3467B. 5782C. 28 890D. 30 506

8. La descomposición prima de 36 es:

A. 2 • 2 • 2 • 3B. 2 • 2 • 2 • 2 • 2C. 2 • 2 • 3D. 2 • 2 • 3 • 3

9. El mcm entre 32 y 48 es:

A. 8B. 16C. 48D. 96

10. El mcd entre 18, 39 y 75 es:

A. 3B. 4C. 5D. 9

66 Matemática 5

I. Recuerda lo que aprendiste en las unidades 1 y 2. Contesta, escribiendo en tu cuaderno laalternativa correcta.


Taller 1 21 x 27 31/12/08 12:23 Página 66

67Taller de evaluación 1

II. Desarrolla, en tu cuaderno, paso a paso, las siguientes actividades.

1. En una encuesta, a cierto número de personas se les preguntó acerca de su estilo de vida. Observa losdatos de la tabla y luego contesta:

a) Construye una recta numérica y ubica las cantidades en ella.

b) Ordena de mayor a menor las cantidades.

c) Calcula la diferencia entre la cantidad de personas con estilo de vida mala y muy buena.

d) Realiza un cálculo aproximado sobre la cantidad de personas que contestaron la encuesta. Explicacómo lo realizaste.

e) Pedro resolvió (567 037 + 2 933 337) para hallar la cantidad de personas con estilo de vida malay regular. Andrea calculó (2 933 337 + 567 037). ¿Qué resultado obtuvo cada uno?, ¿por qué?


a) Este año, la familia Pérez cosechó de su huerto 81 lechugas, 99 ciruelas y 27 tomates. Si deseanhacer cajas con la misma cantidad de lechugas, ciruelas y tomates para regalarlas a sustrabajadores, ¿cuál es la mayor cantidad de trabajadores que se pueden beneficiar?

b) Un estudiante está ordenando los libros que hay en la biblioteca de su escuela. Él coloca120 libros en cada estante y 40 libros en cada repisa. Si hay 23 estantes y 15 repisas, ¿cuántoslibros hay en la biblioteca?

c) Un trabajador ahorra $ 15 977 el primer mes, $ 23 940 el segundo y $ 5671 el tercero. Al cabodel tercer mes, el trabajador decide repartir el dinero ahorrado entre sus tres hijos. ¿Cuántorecibió cada uno?

d) Mi madre tuvo sus hijos cada tres años y mi tía cada cinco, a partir del año 1990. Si mi madretuvo 6 hijos y mi tía 4, ¿es posible afirmar que estuvieron embarazadas al mismo tiempo despuésde 1990?, ¿en qué año?

Estilo de vida N° de personas

Malo 567 037

Regular 2 933 337

Bueno 7 932 053

Muy bueno 536 589

Taller 1 21 x 27 31/12/08 12:23 Página 67

UNIDAD

3

68 Unidad 3

Fracciones

• Leer y escribir fracciones para comunicar e interpretarinformación.

• Representar números naturales y fracciones en la rectanumérica y establecer relaciones de orden entre ellos.

• Resolver adiciones y sustracciones de fracciones, utilizando laamplificación o simplificación de fracciones.

• Resolver problemas, aplicando procedimientos de cálculo deadición y sustracción de fracciones.


U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 68

69Fracciones

CONVERSEMOS DE...

Don Pedro tiene un pequeño almacén en el barrio donde vive.Ofrece muy buenos precios a sus clientes para competir con lossupermercados y con los negocios que hay en el sector.Todos los días abre de 8:00 a 13:00 horas y de 14:00 a 21:00 horas,ya que entre las 13:00 y las 14:00 horas cierra para almorzar juntoa su familia.

• Cuando compras en un almacén kilogramo de queso, ¿qué

entiendes por kilogramo de queso?, ¿un medio es más o

menos que un cuarto?

• Mira la imagen del negocio de don Pedro, ¿qué fracciones

aparecen?, ¿qué representa cada una de ellas? Compara tus

respuestas con las de tus compañeros y compañeras.

• Mira el reloj que hay dentro del almacén, ¿cuánto tiempo falta

para que don Pedro cierre el almacén para ir almorzar?

• ¿Qué significa un cuarto de hora?, ¿cuántos minutos equivalen a

un cuarto de hora?

• ¿En qué otras situaciones se pueden utilizar fracciones?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras.

12

12

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 69

¿CUÁNTO SABES?

70 Unidad 3


1. ¿Qué fracción representa la parte pintada en cada caso?

2. ¿Cómo se leen las siguientes fracciones? Escríbelas con palabras.

4. Dibuja una recta numérica como la que aparece a continuación y ubica en ella lassiguientes fracciones.

3. Escribe con cifras las siguientes fracciones:

5. Observa la siguiente imagen y responde las preguntas.

a)

b)

c)

d)

a) 25

a) Tres cuartos. b) Siete décimos. c) Cuatro octavos. d) Dos sextos.

b) 36

c) 49

d) 78

e) 57

0 1

34

14

12

24

• ¿En qué te fijaste para encontrar su ubicación correcta?

a) ¿Cuántos cuadrados rojos son necesarios para completar elrectángulo?

b) ¿Qué fracción del rectángulo representa un cuadrado rojo?

c) ¿Qué fracción del rectángulo representa tres cuadrados rojos?

d) ¿Qué fracción del rectángulo representa dos cuadrados rojos?

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 70

71Fracciones

• En una fracción se distingue numerador y denominador, donde a es el numerador

y b, el denominador.

• El numerador es el número de partes que se considera de la unidad o total.• El denominador es el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad o total.



6. Observa las siguientes imágenes, responde y explica tus respuestas.

• Recuerda cómo se leen algunas fracciones:

a) ¿Qué fracción representa la parte de la torta que se han comido?

b) ¿Qué fracción representa la parte del litro de jugo que se han tomado?

35

partes pintadaspartes en que se dividió el entero

12

se lee “un medio”.

13

se lee “un tercio”.

14

se lee “un cuarto”.

15

se lee “un quinto”.

16

se lee “un sexto”.

17

se lee “un séptimo”.

18

se lee “un octavo”.

19

se lee “un noveno”.

110

se lee “un décimo”.

ab

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 71

72 Unidad 3

Lectura y escritura de fraccionesMuchas veces hablamos de fracciones o las vemos escritas en algúnlugar. Lo importante es saber qué representa cada fracción endeterminados contextos.

Una fracción se puede representar gráficamente como partes consideradas de un entero

(o unidad) o como partes consideradas de una colección de objetos iguales.

Por ejemplo, la fracción se puede representar:

NO OLVIDES QUE...

PARA DISCUTIR

• ¿En qué situaciones has visto, escuchado o utilizado la fracción ?,

¿cómo leerías esta fracción?

• Si Marcela se hubiese comido la mitad del chocolate, ¿qué fracción

representa lo que se hubiese comido?, ¿qué fracción representa lo que

le quedaría de chocolate?

• ¿Qué fracción representa la cantidad de flores rojas?, ¿cómo se lee esa

fracción?

• La fracción que representa la parte del chocolate que se comió Marcela

y la parte del ramo de rosas que son rojas es , pero ¿en ambas

situaciones representa lo mismo?, ¿por qué?

Observa las siguientes situaciones, en cada una aparece la misma fracción.

Partes consideradasde una región,entero o unidad.

Partes consideradasde una colección deobjetos iguales.

410

18

18

Marcela se comió

del chocolate

que le regalaron.

18

Un ramo de 8 flores

tiene una amarilla,

es decir, de ellas

es amarilla.

18

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 72

73Fracciones

EN TU CUADERNO

1. Copia el cuadro en tu cuaderno y luego completa según corresponda.

2. Piensa, relaciona y responde:

3. Escribe la fracción correspondiente en cada caso.

a) Tres novenos.

b) Cinco doceavos.

a) Si se lee “un séptimo”, ¿cómo se lee la fracción ?, ¿y la fracción ?

b) Si se lee “un décimo”, ¿cómo se lee la fracción ?, ¿y la fracción ?

c) La fracción se lee “un onceavo”, entonces, ¿cómo se leen las fracciones , y ?

d) La fracción se lee “cinco veinteavos”, entonces, ¿cómo se leen las fracciones , y ?

17

110

1100

11000

57

111

311

411

1011

520

720

1920

2320

Dibujo Numerador Denominador Fracción Se lee…

68

7 10

c) Doce dieciochoavos.

d) Treinta y seis cuarentavos.

e) Diez centésimos.

f) Quince milésimos.

• Para leer fracciones se lee primero el numerador y luego el denominador.

• Las fracciones con denominador menor que 10 se leen como: medios, tercios, cuartos,quintos, sextos, séptimos, octavos y novenos, respectivamente.

• Las fracciones con denominador mayor que 10 se leen agregando la terminación “avo”.

Ejemplo: se lee: cinco treinta y cuatroavos.

• Un caso particular son las fracciones con denominador 10, 100 y 1000.

Ejemplo: se lee: cuatro décimos; se lee: dos centésimos y se lee: tres

milésimos.

NO OLVIDES QUE...

410

2100

31000

534


responde en tu cuadernoresponde en tu cuaderno

157

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 73

74 Unidad 3

Tipos de fracciones

PARA DISCUTIR

• ¿Qué fracción representa lo que comió don Marcos, la señora Inés yEsteban?, ¿de qué otra forma se pueden expresar estas cantidades?

• Ignacia se comió menos de dos marraquetas. Don Marcos dice que

Ignacia comió 1 marraquetas y la señora Inés dice que comió

marraquetas, ¿quién está en lo correcto?, ¿por qué?

• ¿Quién comió menos de una marraqueta?, ¿el numerador de la fracciónque representa esta cantidad es menor o mayor que el denominador?

• ¿Quiénes comieron más de una marraqueta?, ¿el numerador de lasfracciones que representan estas cantidades es mayor o menor que eldenominador respectivo?

Existen distintos tipos de fracciones:

• Fracción igual a la unidad: es aquella fracción donde el numerador y el denominador

son iguales. Por ejemplo: , , , .

• Fracción propia: es una fracción menor que la unidad, es decir, el numerador es menor

que el denominador. Por ejemplo: , , , .

• Fracción impropia: es una fracción mayor que la unidad, es decir, el numerador es

mayor que el denominador. Por ejemplo: , , , .

• Una fracción impropia se puede escribir como un número natural, si el númerador es

múltiplo del denominador, o bien como número mixto, que se forma con un número

entero y una fracción propia.

NO OLVIDES QUE...

Don Marcos y su familia son felices a la hora del té, porque es elmomento en que comparten, conversan y disfrutan de una deliciosaonce con unas ricas marraquetas (pan francés o pan batido).

Las marraquetas están divididas en cuatro trozos similares. Sisuponemos que estos trozos son exactamente iguales, podemosrepresentar gráficamente lo que come cada integrante de la familia.Observa.

22

55

66

1010

12

14

34

38

32

52

82

152

123

2

42

832

232

Don Marcos Señora Inés

Esteban Ignacia

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 74

75Fracciones

1. ¿Qué tipo de fracción está representada en cada caso? Escribe la fracción correspondiente.

2. Representa gráficamente las siguientes fracciones en tu cuaderno y clasifícalas en propias,impropias o iguales a la unidad.

3. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala, guiándote por el ejemplo.

EN TU CUADERNO

a)

b)

c)

d)

e)

f)

a) 35

c) 55

e) 154

g) 99

h) 211

b) 63

d) 126

f) 710

Representación gráfica Fracción impropia Número mixto

73

13

85

2

14

1



U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 75

76 Unidad 3

Fracciones equivalentes

En esta actividad descubrirán fracciones equivalentes a partir de surepresentación gráfica. Formen grupos de 3 integrantes y sigan lasinstrucciones:

1. Cada integrante divide una hoja en 4 rectángulos iguales haciendo dobleces como se muestraen la figura, y luego pinta uno de los rectángulos obtenidos. ¿Quéfracción de la hoja representa la parte pintada?

2. Un integrante hace un doblez más para que la hoja quede divididaen 8 partes iguales.

3. Otro integrante hace dos dobleces más para que la hoja quededividida en 16 partes iguales.

4. El otro integrante hace tres dobleces más para que la hoja quede dividida en 32 partes iguales.

5. Cada uno escribe la fracción de la hoja que representa ahora la parte pintada.

EN EQUIPO Materiales:• 3 hojas blancas

tamaño oficio• Lápices de

colores

PARA DISCUTIR

• ¿En qué se parecen las fracciones , , y ?, ¿y en qué se

diferencian?

• ¿Podrías decir que las fracciones y son fracciones equivalentes?,

¿por qué?

Las fracciones equivalentes se escriben de forma distinta, pero representan la mismacantidad, parte o medida. Por ejemplo, = .

NO OLVIDES QUE...

12

24

1. Escribe las fracciones equivalentes que se han representado por cada par de figuras. Encuentra otrafracción equivalente en cada caso y explica el procedimiento utilizado.

EN TU CUADERNO

a) b) c)

14

28

416

832

14

416

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 76

77Fracciones

a)

2. Marcela obtiene fracciones equivalentes a amplificando, y Felipe, simplificando. Observa susprocedimientos.

3. Encuentra tres fracciones equivalentes en cada caso, amplificando o simplificando. Luego, responde.

Marcela multiplica el numerador ydenominador por el mismo número:

a) ¿Qué opinas de los procedimientos que utilizan Marcela y Felipe?, ¿cuál es más simple?,¿por qué?

b) ¿Puedes aplicar el procedimiento de Marcela siempre?, ¿y el de Felipe?, ¿por qué?

c) Para encontrar fracciones equivalentes de , , , ¿utilizarías el procedimiento de

Marcela o Felipe?, ¿por qué?

, y

Son fracciones equivalentes.

812

1624

4872

Felipe divide el numerador y eldenominador por el mismo número:

, y

Son fracciones equivalentes.

812

46

23

15

23

47

37

b) 25

c) 1236

d) 1525

e) 1824

f) 1648

• ¿En qué casos amplificaste?, ¿y en cuáles simplificaste? Comenta.

• Amplificar una fracción consiste en multiplicar por el mismo número el numerador ydenominador, para obtener una fracción equivalente.

• Simplificar una fracción consiste en dividir por el mismo número el numerador ydenominador, para obtener una fracción equivalente. Para esto se debe encontrar unnúmero que sea divisor del numerador y del denominador.

• Una fracción que no se puede simplificar se llama fracción irreductible.

NO OLVIDES QUE...

Claudia todos los meses distribuye su sueldo de la siguiente manera: en

alimentación, en luz, agua y teléfono, en dividendo, para otros gastos

y los ahorra.

1. Escribe en tu cuaderno cómo se lee cada una de las fracciones de dinero quegasta Claudia e indica qué tipo de fracción es.

2. Según los datos de la situación, responde. (Puedes ayudarte representandoen un diagrama cómo distribuye Claudia su sueldo).a) ¿En qué gasta más dinero?, ¿y en qué menos? ¿Con qué fracciones se

representan?b) ¿En qué gasta la misma cantidad de dinero?, ¿qué fracciones representan

esa misma cantidad de dinero?, ¿cómo son esas fracciones entre sí?,¿cómo podrías verificar tu respuesta?

MI PROGRESO162

813

1122

12

812

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 77

78 Unidad 3

PARA DISCUTIR

• ¿En qué se parecen los diagramas que están pintados con amarillo?,

¿en qué se parecen las fracciones y ?

• Imagina que colocas el diagrama que representa la fracción sobre el

que representa , ¿cuál tiene una mayor superficie pintada?

• Si comparas los diagramas que representan y , ¿cuál tiene una

mayor superficie pintada?, ¿qué fracción es mayor, ó ?

• Manuel dice que es mayor que , ¿qué opinas tú?

• Claudia dice que es equivalente a 1 , ¿estás de acuerdo con ella?,

¿por qué?

Orden y comparación de fraccionesLos siguientes diagramas son de igual forma y tamaño, y están divididosen partes iguales. Observa las fracciones que representa cada uno.

• Al comparar fracciones de igual numerador, es mayor la que tiene menor denominador ymenor la que tiene mayor denominador.

• Al comparar fracciones de igual denominador, es mayor la que tiene el numerador mayor,y menor la que tiene el numerador menor.

• Para comparar fracciones que tienen distintos denominadores y distintos numeradores,puedes seguir los siguientes pasos:

1º Encontrar fracciones equivalentes a las fracciones dadas, donde ambas tengan el mismodenominador.

2º Comparar los numeradores de las fracciones encontradas.

Ejemplo: Para comparar las fracciones y , obtenemos el mínimo común múltiplo entre

los denominadores que es 35 y amplificamos cada una de las fracciones para que tengan

este denominador:

NO OLVIDES QUE...

49

69

69

43

48

49

43

48

39

23

43

39

25

37

• = 1435

77

25

• = 1535

55

37

Como < , entonces, < .37

25

1535

1435

49

43

23

69

48

391

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 78

79Fracciones

2. Observa el siguiente procedimiento para comparar fracciones.

Para comparar y

calcula los productos cruzados: 5 • 8 = 40 6 • 7 = 42

Como 40 < 42

entonces < 78

56

78

56

3. Resuelve los siguientes problemas y compara tus respuestas con el curso.

a) ¿Qué opinas del procedimiento?, ¿es correcto?, ¿por qué?

b) Utiliza este procedimiento para comparar los siguientes pares de fracciones:

1. Compara las siguientes fracciones, usando los signos <, > o =, según corresponda.

EN TU CUADERNO

69

68

a)

59

49

b)

311

511

c)

812

89

d)

97

36

e)

1016

58

f)

48

69

y 17

28

y 210

12

y

a) En la pastelería de doña Julia se venden tartas. Todas son del mismo tamaño y se venden por

trozos. El lunes se vendieron de la tarta de frutilla y de la tarta de frambuesa, ¿qué tipo de

tarta fue la más vendida ese día?

b) Martín se demoró tres cuartos de hora en terminar su tarea y Pablo se demoró media hora enterminar la misma tarea, ¿quién se demoró menos tiempo en terminarla?

4. En un curso de gimnasia hay 20 personas, de las cuales usan malla, usan buzo y usanpantalones cortos.

a) ¿Cuántas personas del curso usan malla?, ¿y cuántas usan buzo?, ¿cómo lo calculaste?

b) ¿La mayoría de las personas del curso usan malla, buzo o pantalones cortos?, ¿cómo lo supiste?

28

56

24

15

310

5. Una caja tiene 36 lápices, de los cuales son azules, son rojos y son verdes. ¿Hay más lápices

azules, rojos o verdes? Compara tu procedimiento con el de tus compañeros y compañeras.

19

26

12

Para calcular la fracción de un número n, puedes dividir n por el denominador de la fracción

y luego multiplicarlo por el numerador, o bien multiplicar el numerador de la fracción por n

y el resultado dividirlo por el denominador. Por ejemplo: de 8 = • 8 = 4.

NO OLVIDES QUE...

12

12

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 79

80 Unidad 3

Fracciones y números naturales en larecta numéricaEn las siguientes rectas

numéricas se han ubicado

las fracciones y .

Observa.

34

43

0 114

24

34

0 113

23

43

53

44

33

2

63PARA DISCUTIR

• ¿En cuántas partes se dividió la distancia entre el 0 y el 1 en cada

recta?, ¿con qué se relaciona esta cantidad de partes?

• Si es una fracción propia y es impropia, ¿cómo se distingue esto

en cada recta?

• Si cada unidad de la recta en la que se representó la fracción

estuviese dividida en 8 partes iguales, ¿qué fracción ubicarías en la

misma posición que ?, ¿y si estuviese dividida en 12 partes iguales?

• Si quisiéramos representar las fracciones y en una sola recta, ¿en

cuántas partes debiéramos dividir una unidad?, ¿por qué?

• ¿ es mayor o menor que ?, ¿cómo se observa esta relación en la

recta numérica?

34

43

34

34

34

43

34

43

• Al igual que ocurre en los números naturales, una fracción que esté ubicada a la izquierdade otra en la recta numérica es siempre menor que ella; y una fracción que esté ubicada ala derecha de otra en la recta numérica es siempre mayor que ella.

• Como las fracciones propias son menores a la unidad, siempre se ubican entre 0 y 1.

• Para ubicar una fracción en la recta numérica primero se divide la distancia entre dosnúmeros naturales consecutivos (0 y 1, 1 y 2, 2 y 3, etc.)en tantas partes iguales como indica el denominadorde la fracción. Luego, debes avanzar desde el cero elnúmero de veces que indica el numerador.

Ejemplo: Para ubicar la fracción , como es una

fracción propia, divido en 5 partes iguales la distancia

entre 0 y 1. Luego, avanzo 3 lugares desde el 0.

NO OLVIDES QUE...

0 135

5 partes iguales

35

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 80

81Fracciones

EN TU CUADERNO

1. Escribe en tu cuaderno la fracción que representa la posición destacada con color rojo en cada rectanumérica.

2. Copia en tu cuaderno cada recta numérica y ubica en ella la fracción o número mixto correspondiente.

Carolina es una niña muy organizada y programa su tiempo de la siguientemanera para realizar distintas actividades después del colegio:

• 1 hora para practicar su deporte favorito

• de hora para estudiar y hacer sus tareas

• de hora para jugar con sus amigos y amigas

• 1 de hora para ver televisión

1. Ordena de menor a mayor las fracciones mencionadas.

2. Dibuja una recta numérica y ubica en ella estas fracciones.

3. Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

a) ¿En qué actividad ocupa más tiempo?, ¿y en cuál menos tiempo?

b) ¿Ocupa más tiempo en jugar o estudiar?, ¿cómo lo supiste?

c) ¿Ocupa más tiempo en ver televisión o en estudiar y hacer sus tareas?

MI PROGRESO

12

2334

14

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

1

0 1

0 21

0 21

a)

b)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

0 2c)

10 2d)

0 1 2 3e)

0 1 2 3 4f)

25

33

47

1

83

16

1 12

3

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 81

82 Unidad 3

Adición y sustracción de fracciones conigual denominador En el 5º A, del curso se inscribieron en el taller científico y del

curso se inscribieron en el taller de pintura. Los talleres se realizan

en el mismo horario, por lo que los alumnos y alumnas no pueden

inscribirse en ambos.

El resto del curso no se inscribió en ningún taller.

Observa el diagrama que representa la situación:

PARA DISCUTIR

• En el diagrama, ¿qué representa la parte pintada de verde?, ¿y la denaranja?

• ¿Qué fracción representa la parte del curso que participará en algunode los talleres?, ¿y cuál la que no se inscribió en ningún taller?, ¿cómolo calculaste?

• Si el curso tiene 45 alumnos y alumnas, ¿es correcto decir que 9 no seinscribieron en ningún taller y que 21 en el taller científico?, ¿por qué?

415

715

• Para resolver una adición de dos o más fracciones con igual denominador se suman los

numeradores y se conserva el denominador. Por ejemplo: + = = .

• Para resolver una sustracción de dos fracciones con igual denominador se restan los

numeradores y se conserva el denominador. Por ejemplo: – = = 49

NO OLVIDES QUE...

17

27

37

79

39

Para obtener la fracción del curso que se inscribió en algún tallerpodemos sumar las fracciones que representan a los inscritos en cadauno.

Luego, del curso se inscribió en algún taller.

Si consideramos que el total del curso se puede representar por la

fracción , para saber qué parte del curso no participó en ningún

taller podemos restarle la parte del curso que se inscribió en alguno.

Luego, del curso no se inscribió en los talleres.

1115

415

415

715

4 + 715

1115

1515

1515

1115

15 – 1115

415

– = =

+ = =

1 + 27

7 – 39

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 82

83Fracciones

EN TU CUADERNO

1. Escribe las fracciones que representan las partes pintadas de cada color. Luego, calcula la fracciónpintada en cada figura usando una adición, y la fracción sin pintar, con una sustracción.

2. Calcula el resultado y simplifica hasta obtener una fracción irreductible.

3. En cada caso, descubre la fracción incógnita para que se cumpla la igualdad.

4. Resuelve los siguientes ejercicios.

5. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas, mostrando el desarrollo de cada paso.

a) El huerto de don Hugo está dividido en 8 partes iguales. del huerto está sembrado con

acelgas, del huerto está sembrado con tomates y el resto aún no está sembrado. ¿Qué

fracción del huerto está sembrada?, ¿qué fracción del huerto falta por sembrar?

b) En el cumpleaños de Martín había una bandeja con 20 pasteles. Si los invitados primero comieron

y luego comieron de los pasteles, ¿qué fracción de los pasteles quedó?

384

8

920

820

a)

a)

+ = 1425

525

b) + = 1218

1718

c) + = 1630

2330

d) – = 910

410

e) – = 732

1732

f) – = 1213

1013

a) + =17

37

b) + =615

615

c) + =48

38

d) + =25

15

e) – =59

19

f) – =1220

220

g) – =1510

910

h) – =3060

3060

Fracción pintada: + = 724

924

1624

Fracción sin pintar: – = 2424

1624

824

b)

Para resolver ejercicioscon operacionescombinadas de adicionesy sustracciones, primerodebes desarrollar losparéntesis y luego, lasadiciones y sustraccionesde izquierda a derecha.

A yuda

a) – + =810

310

310

b) – + =1825

725

925

c) + – + =218

218

1418

718

Ejemplo:

( )

( )

( ( ))

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 83

84 Unidad 3

Adición y sustracción de fracciones condistinto denominadorLos abuelitos de Camila le hicieron en su cumpleaños una gran torta.

Con su familia se comieron de la torta y cuando se reunió con sus

amigos y amigas se comieron más.

PARA DISCUTIR

• Si la torta estaba dividida en 30 porciones iguales, ¿cómorepresentarías en un diagrama cuánta torta se comieron en total?

• ¿Cuánto es + ?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Cuál es la fracción de la torta que representa lo que queda despuésde que Camila, sus amigos, amigas y familiares comieron torta?,¿cómo obtuviste el resultado?

• ¿Cómo resolverías – + ?, ¿a qué corresponde el resultado de

este ejercicio en el contexto del problema?

25

1330

3030

25

1330

Para sumar o restar fracciones con distinto denominador puedes:

1º Amplificar o simplificar todas o algunas de las fracciones dadas, para obtener fraccionescon igual denominador.

2º Sumar o restar los numeradores, según corresponda, y conservar el denominador.Recuerda que para expresar los resultados obtenidos como fracción irreductible debessimplificarlos.

NO OLVIDES QUE...

EN TU CUADERNO

1. Resuelve los siguientes ejercicios amplificando o simplificando para igualar denominadores. Expresatus resultados como una fracción irreductible.

a) + =14

26

b) – =712

26

c) + =45

210

d) – =1010

45

e) + =79

23

f) – =79

23

g) + =115

13

h) – =13

115

25

1330

( )

Ejemplo: + = + = + = 1115

615

515

2 • 35 • 3

1 • 53 • 5

25

13

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 84

85Fracciones

2. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:

a) Esteban se demora de hora en almorzar y Matías se demora de hora. ¿Cuánto tiempo más

ocupa Matías en almorzar?

b) Un agricultor cosecha primero del total de sus plantaciones de lechuga y luego cosecha del

total de sus plantaciones. ¿Qué fracción del total de las plantaciones de lechuga ha cosechado?,

¿cuánto le falta por cosechar?

14

58

15

12

Usando una planilla de cálculo, resuelve adiciones y sustracciones de fracciones. Sigue lasinstrucciones.

1º En A1 escribe “Fracción 1”, en B1 “Fracción 2”, en C1 “Operación” y en D1 “Resultado”.

En las celdas A2 y B2 anota y , respectivamente.

2º Para que las fracciones anotadas aparezcan como fracción propia o número mixto, selecciona

todas las celdas (A2 a D3), haz clic en el botón derecho y elige Formato de celdas. Luego,

elige Fracción y Hasta tres dígitos.3º En las celdas correspondientes a “Operación” escribe la operación que se realizará. Para esto

observa la pantalla. Ejemplo: suma de fracción 1 y fracción 2.

4º Luego, marca la celda D2, haz doble clic en ella y anota =A2+B2. Presiona enter. Así aparecerála suma de la “Fracción 1” con la “Fracción 2”.

5º En D3 escribe =A2–B2. Esto te arrojará el valor de la diferencia entre la “Fracción 1” y la“Fracción 2”. Así, se obtiene:


Escribe una fracción en A2 y otra menor en B2, y observa los resultados que obtienes.

Andrea tiene dinero ahorrado, pero ha gastado una parte. Si gastó en un

regalo para su mejor amiga, luego gastó para comprarse una polera y para

ir al cine.

1. ¿Qué fracción del total del dinero ahorrado representa lo que gastó Andrea?

2. ¿Qué fracción del dinero le quedó después de estos gastos?

3. Explica los procedimientos utilizados.

MI PROGRESO14

18

38

23

32

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 85


86 Unidad 3

En la sala del 5º B hay un diario mural. En el curso acordaron que la información que pondríanen él se distribuirá de la siguiente manera:

• del diario mural para informaciones del curso.

• del diario mural para noticias nacionales e internacionales.

• del diario mural para informaciones del colegio.

• El resto para la exposición de trabajos de los alumnos y alumnas del curso.

RevisarPara comprobar la respuesta, suma las fracciones que corresponden a cada una de lassecciones; verifica que el resultado obtenido es 1.


La fracción del diario mural destinada a información del curso, información del colegio ynoticias.

• ¿Qué debes encontrar?La fracción del diario mural destinada a la exposición de trabajos de los alumnos.


Para resolver el problema debo conocer la fracción total utilizada por las secciones: noticias,informaciones del curso y del colegio, para eso se suman las fracciones asignadas a estassecciones. Luego, este resultado se resta al entero o unidad, que representa todo el diariomural y se obtiene la fracción que corresponde a la sección para la exposición de trabajos delos alumnos y alumnas.

ResolverPrimero:

Segundo: Representamos el diario mural entero con la fracción y le restamos el resultadoanterior.

+ + = + + = = 29

13

19

29

39

19

69

23

– = 33

23

13

33

ResponderUn tercio del diario mural de la sala del 5º B está destinado a la exposición de los trabajos desus alumnos y alumnas.

291319

¿Qué fracción del diario muralestá destinada a la exposiciónde trabajos de los alumnos yalumnas?

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 86

Unidad 3

87Fracciones


a) En una de las repisas de la biblioteca de un colegio, del total de libros que hay, son de

Lenguaje y Comunicación, son de Educación Matemática, son de Ciencias y lo que

queda es de Inglés. ¿Qué fracción de los libros que hay en la repisa son de Inglés?

b) Para realizar un proyecto de Educación Tecnológica, Pablo y Carlos deben utilizar género.

Pablo tiene de un metro de género y Carlos tiene de un metro de género. ¿Cuál de los

dos aportará más género para la realización del proyecto?

c) Francisca compró de kilogramo de pan y su vecina, Martina, compró de kilogramo de

pan. ¿Cuánto pan compraron entre las dos?, ¿quién compró más pan?, ¿cuánto más?

2. Ahora resuelve el problema anterior, utilizando otra estrategia de resolución, explícala, paso apaso, y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras.


312

412

28

610

35

56

23

34

13

a) Juan Carlos y su hermano, después de jugar en la plaza, sacaron

del refrigerador una botella que contenía de litro de bebida. Si

Juan Carlos tomó de litro de bebida y su hermano tomó de

litro de bebida, ¿qué fracción tomaron en total los dos?, ¿qué

fracción de litro de la bebida queda ahora?

b) Para el cumpleaños de Tadeo dividieron la torta en 10 partes

iguales. Si se comieron del total y le enviaron a sus primos

del total, ¿qué fracción de la torta les quedó?

c) Doña Lucía pesaba kg y perdió kg después de una enfermedad. Cuando se recuperó,

aumentó kg. ¿Cuánto pesa al final?

d) Un día, Juan durmió horas, leyó durante horas y vio televisión horas. ¿Cuánto

tiempo invirtió en estas tres actividades?, ¿cuántas horas del día le quedan a Juan para otras

actividades?

112

2434

15

410

26 Una fracción impropia

se puede escribir comonúmero mixto.

D ato interesante

= + = 3 45

45

155

195

338

253

114

4312

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 87

CONEXIONES

88 Unidad 3

¡La mitad de los escolares de 10 años hacelas tareas con la TV encendida!

Un estudio de la Universidad de Alicante,

en España, realizado con niños y niñas entre

10 y 12 años, arrojó que más de 1/2 de ellos

hace las tareas, estudia, juega y come, con

la televisión encendida.

Según esta investigación, la mayoría de los

que estudian con la televisión encendida

son las niñas, posiblemente debido a que

ellas son capaces de realizar con eficacia

varias tareas simultáneamente, y a que

tienden a estudiar y a realizar sus tareas en

espacios donde hay otros familiares, como

el living o la cocina. Los niños, en cambio,

prefieren espacios con mayor soledad o

aislamiento.

TENDENCIAS

Fuente: http://www.tercera.cl/medio/articulo/0,0,38035857_165317001_266608341,00.html

(consultada marzo de 2008, adaptación).

En grupos de tres integrantes, desarrollen la siguiente actividad.

1. Realicen un estudio sobre si los niños y niñas entre 10 y 12 años hacen sus tareas con latelevisión encendida.

2. Para esto pregunten a 10 niños y 10 niñas del colegio o que vivan cerca de sus casas yque tengan entre 10 y 12 años si hacen sus tareas viendo televisión. Las opciones derespuesta son SÍ o NO. Registren las respuestas en una tabla como la siguiente para lasniñas y otra para los niños:

A partir de los datos obtenidos, respondan:a) ¿Cuántos niños hacen sus tareas viendo televisión?, ¿qué fracción del total de los

niños representa esta cantidad?, ¿y del total de los encuestados?b) ¿Cuántas niñas hacen sus tareas viendo televisión?, ¿qué fracción del total de las niñas

representa esta cantidad?, ¿y del total de los encuestados?c) ¿Qué fracción del total de los niños y niñas hace sus tareas viendo televisión?d) ¿Quiénes ven más televisión cuando hacen sus tareas, los niños o las niñas?e) ¿De qué manera podrían ayudar a disminuir las cifras mencionadas en el reportaje?

¿Haces tus tareas viendo TV? SÍ NO1. Nombre: X2. Nombre: X

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Unidad 3

89Fracciones

SÍNTESIS

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior,comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes respuestas.a) Cuando lees una fracción, ¿qué es lo primero que nombras?

b) ¿Cómo se nombran las fracciones que tienen denominador mayor que 10?

c) ¿De qué otra forma se puede expresar una fracción impropia? Escribe un ejemplo.

d) Si dos fracciones tienen igual numerador, ¿cuál sería la mayor?

e) Si dos fracciones tienen igual denominador, ¿cuál sería la menor?

f) ¿Para qué nos sirve amplificar y simplificar fracciones?

g) ¿Cómo representas una fracción menor que la unidad en la recta numérica?

h) ¿Cuál es el procedimiento para resolver una adición de fracciones con distintodenominador? Inventa un ejemplo.

A continuación se presenta un esquema que relaciona los principales conceptostrabajados en la unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con los siguientestérminos:

• Fracción propia: menor que la unidad• Fracción impropia: mayor que la unidad

• Número mixto• Fracción igual a la unidad

• Recta numérica• Adición y sustracción

FRACCIONES Lecturay escritura

Orden ycomparación

Representacionesgráficas

Cálculos

Fraccionesequivalentes

Amplificacióny simplificación

Con distintodenominador

Con igualdenominador

Clasificación

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 89

90 Unidad 3

¿QUÉ APRENDÍ?

1. ¿Qué fracción del conjunto de pelotas son decolor verde?

A.

B.

C.

D.

2. La fracción se puede representar de la

siguiente manera:

A. 1

B. 2

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es

equivalente a ?

A.

B.

4. ¿Qué fracción está representada en el punto A?

A.

B.

5. “Diez diecisieteavos” corresponde a la lecturade la fracción:

A.

B.

C.

D.

6. ¿Cuál fracción es mayor que ?

A.

B.

7. ¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones soncorrectas?

8. ¿Cuál es el resultado de la siguiente adición?


49364629

54

5444

1414

Y como número mixto se escribe:

36

2319

1239

2434

1323

1710107

712

31224

912512

C. 2

D. 1

C.

D.

C.

D.

0 1A

C.

D.

C. II.

D. Ninguna.

10171027

A. I.

B. I y II.

C.

D.

A.

B.

46

47

< 48

49

<I. II.

14

14

6884

7874

+ 38

+

U3 66-91 7/1/09 11:42 Página 90

91Fracciones

Unidad 3

9. Amplifica para encontrar dos fracciones equivalentes a cada fracción dada.

10. Simplifica para encontrar la fracción irreductible de cada una de lasfracciones dadas.

11. Resuelve los siguientes ejercicios combinados.


Lectura y escritura de fracciones.

Tipos de fracciones.

Fracciones equivalentes.

Orden y comparación de fracciones.

Fracciones y números naturales en la recta numérica.

Adición y sustracción de fracciones con igual denominador.

Adición y sustracción de fracciones con distintodenominador.





¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

a)



Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocasteen alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

34

b) 27

c) 45

d) 23

a) 612

b) 1224

c) 315

d) 1824

a) + – b) + + – c) + – 612

212

26

25

615

45

15

1724

36

13

12. Alicia y Carolina fueron a una confitería y compraron gomitas. Alicia

compró kilogramo de gomitas y Carolina compró kilogramo de

gomitas. ¿Cuál de las dos compró más gomitas?, ¿cuántos más?

26

18

( ) ( ) ( ) )(

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UNIDAD

4

92 Unidad 4

Decimales

• Leer y escribir números decimales para interpretar y comunicarinformación.

• Expresar el resultado de una división no exacta como unnúmero decimal.

• Transformar una fracción en un número decimal, y viceversa.• Representar números naturales, fracciones y números decimales

en la recta numérica, y establecer relaciones de orden entreellos.

• Utilizar diversos procedimientos para el cálculo de adiciones ysustracciones de números decimales.

• Resolver problemas de distintos contextos, utilizando númerosdecimales.


U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 92

93

CONVERSEMOS DE...

El sobrepeso y la obesidad pueden causar en niñas y niños muchosproblemas de salud: problemas con sus huesos y articulaciones,dificultad para respirar y cansancio al realizar deportes. Las niñasobesas pueden entrar antes en la pubertad, como asimismo tener uncolesterol alto. Además, pueden presentar desánimo, depresión,baja autoestima, y ser discriminadas.Para prevenir este y otros problemas de salud es importante visitarperiódicamente al pediatra. Como parte del control, el doctor odoctora medirá tu estatura y tu peso, pudiendo determinar si estosvalores son normales o si tienes, por ejemplo, sobrepeso.

Según la información de la imagen, responde:• ¿Quién es más alto, Valentina o Cristóbal?• ¿Cuál es la diferencia entre sus estaturas?• ¿Quién pesa más?• Si Cristóbal y Valentina pesan 37 kg cada uno, ¿es lo mismo decir

que pesan 37,5 kg?, ¿por qué?• En el control, el doctor dice que Valentina está muy bien, pero

Cristóbal tiene sobrepeso. ¿Por qué ocurre esto si ambos pesan lomismo?, ¿qué puede hacer Cristóbal para tener un peso adecuadoa su edad?

• ¿En qué otras situaciones ocupamos números decimales?

Decimales

Valentina tiene 11 años,mide 142 cm y pesa 37,5 kg,y Cristóbal tiene 10 años,mide 135,5 cm y pesa también37,5 kg.

12

U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 93

¿CUÁNTO SABES?

94 Unidad 4


1. Escribe en tu cuaderno cómo se leen las siguientes fracciones.

a)

2. Compara en tu cuaderno las siguientes fracciones, usando los signos <, > o =.

3. Observa el cuadrado y luego responde en tu cuaderno.

4. Escribe en tu cuaderno la fracción indicada en la recta numérica.

5. Amplifica por un número apropiado para encontrar una fracción decimalequivalente en cada caso.

a) ¿Qué fracción del cuadrado es naranja?

b) ¿Qué fracción del cuadrado es morada?

c) ¿Qué fracción del cuadrado es moradao verde?

d) ¿Qué fracción del cuadrado es verde onaranja?

a)

b)

45

b) 310

c) 24100

d) 501000

a) 45

b) 72

c) 925

d) 310

610

510

a)

45

1215

b)

23

74

c)

105

109

d)

0 1

0 1

U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 94

95Decimales

• Las fracciones que tienen denominadores 10, 100, 1000, etc. se llaman fraccionesdecimales.

• El décimo ycentésimo se llamanunidades decimalesy pueden serrepresentadas confracciones.

• Amplificar una fracción es multiplicar el numerador y denominador de una fracción por elmismo número natural.

• Simplificar una fracción es dividir el numerador y denominador de una fracción por elmismo número natural.

• Las fracciones irreductibles son aquellas que no se pueden seguir simplificando.• Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la fracción con menor denominador.• Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la fracción con mayor numerador.• Para comparar dos fracciones con distinto numerador y denominador, debes encontrar

fracciones equivalentes a las dadas, que tengan el mismo denominador y así podercomparar los numeradores.

• Para ubicar fracciones en la recta numérica, debes dividir los segmentos de la recta enpartes iguales, como indica el denominador. Luego, debes avanzar desde el cero las vecesque indique el numerador.



6. Simplifica por un número apropiado para encontrar una fracción decimalequivalente en cada caso.

7. Resuelve los siguientes problemas y explica el procedimiento queutilizaste en cada caso.

a) En una convivencia del colegio, Luis se tomó de litro de jugo y

Carlos se tomó 0,3 de litro de jugo. ¿Quién tomó más jugo?

b) Adriana se compró un chocolate. Si se comió 0,2 del chocolate y

repartió a su familia, ¿qué fracción del chocolate se comieron?,

¿qué fracción del chocolate quedó?

a) 3550

e) 28280

f) 128400

h) 1688000

b) 3660

d) 45300

c) 1550

g) 120600

14

35

Unidad decimal Fracción decimal Número decimal

Un décimo 0,1

Un centésimo 0,01

1101

100

U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 95

96 Unidad 4

Lectura y escritura de decimalesAlgunos estudiantes del colegio están postulando a un programa paraniños y niñas con talentos académicos. Rindieron varios exámenes paramedir sus habilidades y también su motivación por aprender. Lospuntajes que obtuvieron en total se muestran en la tabla.

PARA DISCUTIR

• Su profesora sabe que están preseleccionados si el puntaje es igual omayor que 24. ¿Quién está preseleccionado?

• ¿Qué indican las cifras que se encuentran antes de la coma?, ¿ydespués de la coma?

• ¿Por qué las cifras después de la coma no siempre se leen igual?• ¿En qué hay que fijarse para leer la parte decimal de un número?

Un número decimal tiene una parte entera y una parte decimal.Por ejemplo, en el número decimal 2,38: el 2 indica la parte entera y el38 indica la parte decimal.

Para leer números decimales es muy importante la ubicación de lacoma decimal, porque separa la parte entera de la parte decimal.

Observa los siguientes ejemplos:308 Trescientos ocho.

30,8 Treinta enteros, ocho décimos.

3,08 Tres enteros, ocho centésimos.

0,308 Trescientos ocho milésimos.

Si te fijas, las cifras son las mismas, solo cambia la posición en que estála coma decimal en cada número.

La parte decimal de un número se lee completa (no por cifras) yusando la unidad decimal correspondiente a la posición de la últimacifra decimal.

Por ejemplo, 2,38 se lee “dos enteros treinta y ocho centésimos”.

Centena Decena Unidad , Décimos Centésimos Milésimos

Parte entera Parte decimal

Estudiante Puntaje Se lee

Laura 21,15 21 enteros 15 centésimos

Ignacio 22,97 22 enteros 97 centésimos

Antonia 26,004 26 enteros 4 milésimos

Gabriel 24,7 24 enteros 7 décimos

Valentina 22,2 22 enteros 2 décimos

Carlos 23,684 23 enteros 684 milésimos

U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 96

97Decimales

EN TU CUADERNO

1. Copia la siguiente tabla y complétala, guiándote por los ejemplos.

2. Escribe con palabras los siguientes números decimales:

3. Escribe en tu cuaderno qué valor representa el dígito 3 en los siguientes números decimales. Guíatepor el ejemplo.

4. Escribe con cifras los siguientes números decimales:

Númerodecimal C D U , Décimos Centésimos Milésimos Se lee

3,7 3 , 73 enteros,7 décimos.

14,65 1 4 , 6 514 enteros,

65 centésimos.

50,239 5 0 , 2 3 950 enteros, 239

milésimos.

125,25 ,

34,017 3 4 , 0 1 7

, 286 enteros,7 décimos.

5 3 , 0 0 5

a) 0,649

b) 4,054

e) 20,02

f) 125,125

c) 12,308

d) 2,005

g) 64,46

h) 10,042

a) 3,05

b) 31,7

e) 8,3

f) 5,139

c) 0,387

d) 7,183

g) 342,908

h) 2,035

a) 11 enteros 12 centésimos

b) 28 centésimos.

e) 45 enteros 8 milésimos.

f) 100 enteros 4 décimos.

c) 8 enteros 123 milésimos.

d) 2 enteros 45 milésimos.

• Las cifras que se encuentran antes de la coma decimal indican la parte entera y lasque se encuentran después de la coma indican la parte decimal del número.

• Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y luego la partedecimal, con la unidad correspondiente a la posición de la última cifra decimal.

NO OLVIDES QUE...

U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 97

98 Unidad 4

Relación entre decimales y fracciones

PARA DISCUTIR

• ¿La fracción es mayor o menor que 0,35?

• ¿Dé qué otra forma podríamos expresar la fracción ?

• ¿Es correcto decir que es equivalente al número decimal 0,25?, ¿por

qué?, ¿cómo podríamos saberlo?

• ¿Cómo podría comparar Constanza las medidas de las botellas paratomar una decisión?

Constanza necesita una botellita que le sirva para llevar leche al

colegio. Con su mamá buscan en casa y encuentran varias, de

distintos tamaños: de litro, de litro, de 0,35 litros, y de

0,45 litros.

14 1

414

14

12

Las fracciones y los números decimales son dos formas de representarun mismo tipo de número: los números que no son naturales. Si senecesita comparar fracciones y decimales, hay que transformar algunosde los números, de modo de tenerlos todos expresados en decimales otodos expresados en fracciones.

La fracción es equivalente al resultado de la división 1 : 4. Al

resolverla, determinaremos cuál es el número decimal correspondiente

a la fracción . Pero al dividir 1 : 4, el resultado es 0 y el resto es 1.

¿Cómo se puede resolver?La idea es amplificar el resto para poder seguir dividiendo. Elprocedimiento es el siguiente:

14

14

1 : 4 = 0,2510– 8

20– 20

0//

1º Como 1 es menor que 4, el resultado es 0 y elresto es 1.

2º Para continuar dividiendo se agrega una comadecimal a continuación (del 0 en este caso) y un0 al lado del resto, en este caso 1. Entonces setransforma en 10 y ahora se divide 10 : 4. Elresultado es 2 y el resto es 2.

3º Ahora se agrega un 0 al lado del 2, se

transforma en 20 y se divide

20 : 4. El resultado es 5 y el resto es 0. Es decir,

la división ya está terminada, 1 : 4 = 0,25. Y la

fracción es equivalente a 0,25.14

U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 98

99Decimales

1. Transforma las siguientes fracciones a número decimal.

2. Descubre qué número es y compara tu resultado con el de tus compañeros y compañeras.“Soy un número decimal, mi parte entera es impar, mayor que 2 y menor que 4,5. En la posición delos décimos tengo un número natural mayor que 7 y menor que 9. En la posición de los centésimostengo un número natural mayor que 5,2 y menor que 6,3”.

EN TU CUADERNO

• Toda fracción se puede transformar en un número decimal, calculando la divisiónentre su numerador y su denominador.

NO OLVIDES QUE...

a)

b)

e)

f)

i)

j)

Observa la siguiente estrategia para transformar una fracción decimal en el número decimalcorrespondiente:

• Se escribe solo el numerador de la fracción y se mueve la coma decimal (de derecha aizquierda) tantas veces como ceros tenga el número del denominador y, en esa posición,ubicar la coma decimal.

• Si la coma se debe mover más lugares que las cifras que tiene el número, se completanlos lugares faltantes con ceros.

ESTRATEGIA MENTAL

Ahora, si quieres transformar un número decimal finito (es decir, con una cantidadlimitada de cifras decimales) a fracción, puedes utilizar la siguiente estrategia:

• Se escribe en el numerador el número decimal (sin la coma) y en el denominador, elnúmero formado por un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga elnúmero decimal.

• Si es posible, se simplifica la fracción.

Ejemplos: 43,8 = 0,028 =

1. Transforma las siguientes fracciones decimales a número decimal.

a)

2. Transforma los siguientes decimales a fracción decimal.

a) 0,027

Ejemplos: = 5,62 = 0,06534562100

6534100 000

45

104

12600

78

624

38

1120

37100

910

48100

c)

d)

g)

h)

43810

281000

e)b) c) d)910

6100

895100

781000

341000

e) 1,48b) 0,006 c) 0,0064 d) 0,895

U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 99

100 Unidad 4

En las calculadoras,algunos númerosperiódicos parecen queno fueran periódicos,porque cambia una desus cifras. Por ejemplo,11 : 3 = 3,66…; sinembargo, al ingresarloen una calculadora seobtiene el número3,6666667, que solotiene 7 cifras decimales,y además la última cifraes 7 en lugar de 6. Estoes porque en losnúmeros decimales lacalculadora siempreaproxima la última cifra.

D ato interesante

Decimales finitos e infinitos Claudia estaba revisando las funciones de las teclas de su calculadora ydescubrió que algunas fracciones se transformaban en númerosdecimales con muchas cifras decimales. Observa:

= 0,3333333… = 0,3_

= 0,26666...= 0,26_

= 0,2857142857142…

PARA DISCUTIR

• ¿Qué significan los puntos suspensivos?, ¿y la línea sobre los números?• ¿Las cifras decimales de estos números son limitadas?• ¿Las partes decimales de cada número decimal tienen dígitos

repetidos?, ¿qué cifra crees que seguiría a continuación en cada caso?• ¿A qué fracción corresponde 0,555555…? ¿Cómo se podría calcular?• ¿Todos los números decimales se podrían escribir como fracción?

Cuando un número decimal tiene una cantidad limitada de cifrasdecimales, se llama número decimal finito.En un número decimal:• Se llama período a la o las cifras que se repiten infinitamente en la

parte decimal, siguiendo siempre la misma secuencia. Serepresenta dibujando una línea sobre las cifras que lo conforman.

• Se llama anteperíodo a la o las cifras que se encuentran entre lacoma decimal y el período del número.

Los números decimales que tienen anteperíodo se llamansemiperiódicos y los que tienen período, pero no anteperíodo sellaman periódicos.

Ejemplos: 0,7222222… el período es 2 y el anteperíodo 7

4,565656... el período es 56 y no tiene anteperíodo.

39

415

27

1,3_

= = = 13 – 19

129

43

18,16 = = 1816 – 1899

179899

Ahora, para escribir un número decimal periódico como fracción, elprocedimiento es el siguiente:• Se escribe en el numerador: la resta entre el número decimal sin la

coma y la parte entera del número.• Se escribe en el denominador: un número formado por tantos 9

como cifras tenga el período. Por ejemplo:

Observa el siguiente desarrollo:Si x = 0,444444… entonces multiplicando por 10, se obtiene10x = 4,444444…y se pueden restar: 10x = 4,444444…

– x = 0,444444…9x = 4,000000… luego, x =

¿Es cierto? Compruébalo realizando la división entre 4 y 9 para escribirla fracción como decimal.

m+ m- mc mr :

x

–

+

=c.

1

0

2 3

4 5 6

7 8 9

0.3333333

49

U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 100

c) 0,24

d) 1,23

101Decimales

1. Clasifica los siguientes números decimales (finitos, infinitos periódicos, infinitos semiperiódicos).

2. Expresa como fracción los siguientes números decimales.

EN TU CUADERNO

a) 1,5

b) 2,5

e) 0,12444…

f) 6,111…

a) 2,15

b) 0,15

e) 4,05–

f) 2,145

• Los números decimales infinitos que se pueden escribir como fracción son solo losnúmeros periódicos y semiperiódicos.

• Hay números decimales infinitos que no se pueden expresar como fracción, porque suscifras decimales no siguen una secuencia, como, por ejemplo, el número π = 3,141592…

NO OLVIDES QUE...

c) 0,1666…

d) 126,014

g) 4,3232…

h) 6,21333…

g) 14,52

h) 10,125

Para realizar cálculos con números decimales, a veces, es necesario realizar

aproximaciones. Esta operación resulta bastante más sencilla con la utilización de una

planilla Excel.

En la barra de herramientas de Excel puedes encontrar los íconos y , los cuales

sirven para agregar o quitar cifras decimales de un número, respectivamente.

Ejemplo: Ingresaremos el número 23,7654 y disminuiremos el número de cifras decimales

haciendo clic en . Observa que al disminuir cada cifra decimal, el programa aproxima

por redondeo.A las milésimas: 23,765 A las centésimas: 23,77 A las décimas: 23,8

Aproxima por redondeo los siguientes números a las milésimas, centésimas y décimas, luego,ingresa los números en Excel y comprueba tus resultados: 34,6578; 13,24001; 7,5824; 8,9870;6,009; 234,6277; 45,6568; 4,4; 0,9999.


––

––

––

7,43_

= = = 743 – 7490

66990

22330

0,514_= = 514 – 51

900463900

––

000 0

00

000

Los pasos para escribir como fracción un número decimal semiperiódicoson los siguientes:• Se escribe en el numerador la resta entre el número decimal (sin la

coma) y el anteperíodo.• Se escribe en el denominador: un número formado por tantos 9

como cifras tenga el período y tantos ceros como cifras tenga elanteperíodo.Ejemplos:

U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 101

102 Unidad 4

PARA DISCUTIR

• ¿Quién lanzó la pelotita más lejos?, ¿quién la lanzó más cerca?

• Javier está lesionado, pero dice que él lanza la pelotita por lo menos

56 metros. ¿Dónde se ubicaría esa cantidad?, ¿está en la misma

posición que otra cantidad?• ¿Dónde ubicarías 52,4 metros?, ¿más cerca del 53 o más cerca del

54?, ¿por qué?• El lanzamiento de Iván ¿está más cerca de 53,4 o de 53,3?, ¿por qué?• ¿Antonio lanzó su pelotita aproximadamente a 52 metros?• ¿Quién lanzó su pelotita más lejos, Luis o Marcos?

Decimales, fracciones y númerosnaturales en la recta numérica En el lanzamiento de la pelotita, los atletas disponen de un sectorcircular donde está permitido realizar sus lanzamientos. Cadalanzamiento se mide por separado, desde el punto de partida. Los lanzamientos obtenidos esta jornada por los niños son:

Como cada uno lanza la pelotita en distintas direcciones, para decidirquién ganó no basta con ver dónde quedaron las pelotitas. Entonces,el juez del campeonato ordena los valores obtenidos en una rectanumérica.

Para construir una recta numérica debemos elegir el número de inicioy de término, y decidir la graduación según los datos que se deseanrepresentar.Según las magnitudes de los números que se están representando enla recta numérica, en ocasiones se puede aproximar un númerodecimal antes de ubicarlo en la recta numérica. Por ejemplo, 54,38 sepuede aproximar a 54,4 y 54,32 se puede aproximar a 54,3.

Marcos 48,28 mAntonio 51,5 mMiguel 56,5 mIván 53,37 mLuis 48,82 m

12

U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 102

103Decimales

1. Dibuja para cada caso, una recta numérica y ubica en ella los números que se presentan acontinuación. Luego, compara los resultados con tus compañeros y compañeras.

2. La siguiente tabla muestra los promedios de 10 estudiantes en Matemática.

EN TU CUADERNO

0,75 5 4,8 1,2 2,4 3 0,6410

5710

Carolina Denisse Rodrigo Natalia Martín Joaquín Sofía Cristóbal Valentina Andrés

5,7 6,8 4,2 3,8 6,6 6,3 5,5 4,8 5,2 4,0

Dibuja una recta numérica en tu cuaderno, ubica en ella los promedios de estos alumnos y alumnas,y luego responde.

a) ¿Cuántos estudiantes sacaron nota entre 5,0 y 6,0?

b) ¿Cuál fue el promedio más bajo y el promedio más alto?

c) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron promedio sobre 6?, ¿y quién estuvo máscerca de obtener promedio 7?

• Todo número (naturales, fracción o decimal) puede ser ubicado y asociado con unpunto de la recta numérica.

• Un número que está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica siempre esmenor que él, y si está ubicado a la derecha, es mayor que él.

NO OLVIDES QUE...

1. Identifica el error en cada una de las equivalencias y corrígelas en tu cuaderno.

2. Representa en una recta numérica los números decimales y las fracciones de laactividad anterior. Luego, responde en tu cuaderno.

a) ¿Qué números decimales se ubican entre el 0 y el 1?, ¿y qué fracciones?

b) ¿Entre qué números naturales se ubica el número 4,567?, ¿a qué fraccióncorresponde este número?

MI PROGRESO

a) 1 entero 5 centésimos se escribe 1,005

b) 2 enteros 7 décimos corresponden al número mixto 2

c) 4,567 se lee 4 enteros 567 décimos

d) 0,89 =

7100

891000

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104 Unidad 4

Orden y comparación

PARA DISCUTIR

• Si observas en la tabla la estatura de los niños y niñas, podemos ver que

todos miden más de un metro. ¿Quiénes miden más de 1 metro?

• ¿Hay algún alumno o alumna en la tabla que mida 1 metro?

• ¿Cuál de los niños o niñas tiene más masa y cuál tiene menos masa?• ¿Quién tiene más masa, Nicolás o Juan Pablo? Justifica tu respuesta.• Si tuvieras que ordenar a los alumnos y alumnas de la tabla, desde el

más alto hasta el más bajo, ¿cuál sería el orden?• Si tuvieras que ordenar a los niños y niñas de la tabla, desde el que

tiene más masa hasta el que tiene menos masa, ¿cuál sería el orden?

Todos los años, al comenzar el año escolar, la profesora de EducaciónFísica mide la estatura y la masa de sus alumnos y alumnas, para tenerun registro de su crecimiento y determinar los ejercicios adecuados. Losdatos de algunos de sus alumnos y alumnas son:

• Para comparar números decimales puedes comparar las partes enteras de los númerosdecimales entre sí y luego las cifras decimales según su posición, comenzando por la demayor valor (décimos), hasta que una de ellas sea menor o mayor que la otra.Por ejemplo, comparar 4,36 y 4,32.

• Otra forma de comparar números decimales finitos einfinitos periódicos o semiperiódicos, estransformando cada número decimal en una fracción yluego comparar las fracciones como aprendiste en launidad anterior.

NO OLVIDES QUE...

Nombre del alumno Estatura en metros Masa en kilogramos

Nicolás 1,67 60,8

Belén 1,55 48

Paula 1,45 47,4

Juan Pablo 1,5 60,25

Marcelo 1,4 54,5

4,36 4,32

4 = 4 3 = 36 > 2

Por lo tanto, 4,36 > 4,32.

12

12

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d) 3,57 3,56–

e)

f) 11,99 12

105Decimales

EN TU CUADERNO

1. Completa en tu cuaderno con >, < o =, según corresponda.

2. Ordena los siguientes números de menor a mayor.

3. Escribe un número que se encuentre entre los siguientes pares de números.

4. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.

Fuente: http://www.economiaynegocios.cl/mercados/monedas.asp (consultado en abril de 2008)

a) 0,5– 1,5

b) 1,4–

c) 8,0 0,8

35100

28100

1410

g) 0,003 0,030

h) 5,06

i) 2,3– 3,2

505100

a) 14,2; 15,02–; 14,02; 1,52–; 14,32 c) 10,04–; 10,044; 10,404; 10,004_; 10,444

b) 8,05; 8,005–; 8,5–; 8,055; 8,55

a) 4 y 5 b) 3,2 y 3,6 c) 1,25 y 1,27 d) 4,357 y 4,365

a) En la clase de Educación Física los alumnos y alumnas deben dar siete vueltas alrededor de unacancha. Si Marcela se demoró 9,5 minutos, Carlos se demoró 8,9 minutos, Felipe se demoró 9,9minutos y Victoria se demoró 10,3 minutos, ¿quién se demoró menos tiempo en dar las sietevueltas?, ¿quién fue el último en llegar?, ¿cuál fue el orden de llegada a la meta?

b) Determina el número decimal que cumpla con las siguientes condiciones.

• Es menor que 15,9 y mayor que 15,3.

• El dígito de los décimos es el número entero que se encuentra entre 4,25 y 5,2.

• El dígito de los centésimos es par y es divisible por 3.

La siguiente tabla muestra la variación deldólar entre abril de 2007 y marzo de 2008.Con esta información responde.

1. ¿En qué fecha el dólar alcanzó su mayorvalor?

2. ¿En qué fecha el dólar alcanzó su menorvalor?

3. ¿Hay meses en que el dólar alcanzó elmismo valor?

4. ¿Por qué en la práctica el dólar se expresaen cantidades exactas como $ 529?Comenta tu respuesta con el curso.

MI PROGRESO

Fecha Valor (pesos)Abril - 2007 527,08Mayo - 2007 527,52Junio - 2007 527,46Julio - 2007 523,08Agosto - 2007 524,63Septiembre - 2007 511,72Octubre - 2007 494,64Noviembre - 2007 508,47Diciembre - 2007 495,82Enero - 2008 465,30Febrero - 2008 458,02Marzo - 2008 435,60

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106 Unidad 4

Adición y sustracción de númerosdecimalesAlicia pesaba 56,5 kilogramos y durante su embarazo subió 12,3 kg.Cuando nació su hijo perdió 6,8 kilogramos.

PARA DISCUTIR

• ¿Cuántos kilogramos pesaba Alicia al término de su embarazo?, ¿ycuántos después de nacer su hijo?, ¿cómo lo supiste?

• Si 2,3 + 4,5 es igual a 6,8, ¿cómo se sumaron estos números?, ¿cuál esentonces el resultado de 5,3 + 4,6?, ¿cómo lo calculaste?

• Si 4,25 + 1,64 es igual a 5,89, ¿cómo se sumaron estos números?,¿cuál es entonces el resultado de 3,41 + 2,46?, ¿cómo lo calculaste?

• Siguiendo el procedimiento anterior, ¿cuántos kilogramos pesaba Aliciaal término de su embarazo?

• Si 7,89 – 4,32 es igual a 3,57, ¿cómo se restaron estos números?,¿cuál es entonces el resultado de 8,64 – 1,23?, ¿cómo lo calculaste?

• Siguiendo el procedimiento anterior, ¿cuántos kilogramos pesaba Aliciacuando nació su hijo?

• Para sumar o estar números decimales, ¿se pueden sumar o restarpartes enteras con partes decimales?

EN TU CUADERNO

1. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios.

Para sumar o restar números decimales debes escribir los númerosen forma vertical, de modo que las comas queden en la mismacolumna. Si los números no tienen la misma cantidad de cifrasdecimales, se añaden a la derecha los ceros necesarios, para quetengan la misma cantidad de cifras decimales. Luego, se suma o restacomo si fueran números naturales, manteniendo la coma delresultado en la misma columna.

Observa los siguientes ejemplos:

Adición

0,81 0,8100+ 0,3222 + 0,3222

1,1322

a) 0,09 + 1,99 =

b) 4,79 + 12,5 =

c) 3,45 + 7,8 =

d) 3,67 – 2,24 =

e) 24,5 – 23,62 =

f) 9,06 – 3,47 =

Sustracción

7,698– 5,324

2,374

g) (57,3 + 23,15) – 36,29 =

h) (5,008 – 2,078) + 10,06 =

i) 31,025 – (3,17 + 17,38) =

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107Decimales

2. Copia en tu cuaderno las siguientes secuencias de operaciones y luego complétalas.

3. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.

a) 20,4

a) En una competencia de natación, el primer lugar se demoró 2,43 min y el último lugar se demoró3,89 min. ¿Cuántos minutos de diferencia hubo entre el primer y el último lugar de la competencia?

b) Si Ricardo compró en la feria 1,5 kg de manzanas, 0,8 kg de cerezas, 2,3 kg de naranjas y 1,5 kgde plátanos, ¿cuántos kilogramos de fruta compró en total?

c) La diferencia entre la estatura de Claudia y su papá es 0,19 m. Si el papá deClaudia mide 1,78 m y es más alto que su hija, ¿cuál es la estatura de Claudia?

Pablo es un deportista muy esforzado. Sale a correr tres veces a la semana. Ellunes corrió 24,5 km, el miércoles 37,2 km y el viernes 28,6 km.

1. ¿Qué día corrió más y qué día corrió menos kilómetros?, ¿cómo lo supiste?

2. ¿Cuál es la diferencia de kilómetros entre el miércoles y el viernes?, ¿entre ellunes y miércoles?, ¿y entre el lunes y viernes?

3. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total?

MI PROGRESO

En esta actividad deberán construir una tabla con sus estaturas ymasas. Formen grupos de 5 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Midan la estatura y masa de cada uno de los integrantes.

2. Escriban en una tabla los resultados obtenidos.

3. Ordenen las estaturas y masas de menor a mayor. ¿Son similares las medidas?, ¿por qué creenque existen similitudes y/o diferencias entre los alumnos y alumnas de un mismo curso?Expliquen.

4. Si todos los integrantes del grupo se subieran juntos a una pesa, ¿cuánto marcaría la pesa?

5. Averigüen cuál es la estatura y masa recomendada para los niños y niñas de su edad. Luego,comparen con las medidas de cada uno de ustedes. ¿Qué pueden concluir?

6. Averigüen de qué factores dependen las medidas de estatura y masa de una persona, yrelacionen con los resultados obtenidos.

EN EQUIPO Materiales:• Huincha de medir• Pesa

+ 3,5 + 3,5 + 3,5 + 3,5

b) 12,5– 0,7 – 0,7 – 0,7 – 0,7

c) 1– 0,25 – 0,25 – 0,25 – 0,25

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108 Unidad 4

Fernanda midió 48,5 centímetros cuando nació y cadames crece aproximadamente 2,7 centímetros.¿Cuántos centímetros, aproximadamente, mediráFernanda cuando tenga seis meses?


Fernanda midió 48,5 centímetros cuando nació ycada mes crece aproximadamente 2,7 centímetros.

• ¿Qué debes encontrar?La estatura aproximada de Fernanda cuando tengaseis meses.


Sumando la cantidad de centímetros que crece cada mes (seis veces) y el resultado obtenidosumarlo a la estatura que tenía Fernanda cuando nació.

• ¿Qué operación puedes utilizar?Una adición.

Resolver2,7 centímetros que crece aproximadamente por mes2,72,72,72,7

+ 2,7

16,2 centímetros que crece aproximadamente en seis meses.

48,5 centímetros que midió al nacer+ 16,2 centímetros que crece aproximadamente en seis meses.

64,7 centímetros que medirá aproximadamente a los seis meses.

ResponderFernanda medirá aproximadamente 64,7 centímetros cuando tenga seis meses.

Revisar• ¿Cómo puedes comprobar tus resultados?

Puedes comprobar el resultado restando los centímetros que medirá aproximadamente a losseis meses con los centímetros que crece aproximadamente en seis meses.

64,7 centímetros que medirá aproximadamente a los seis meses.– 16,2 diferencia entre la estatura a los seis meses y los 48,5 de

48,5 estatura de Fernanda cuando nació.

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Unidad 4

109Decimales


a) El diámetro de una naranja en determinado momento es 5,6 cm. Si crece 0,7 cm porsemana, ¿cuál será el diámetro de la naranja al cabo de un mes?

b) El cabello de Andrea mide aproximadamente 38 centímetros y el cabello de las personascrece aproximadamente 1,5 centímetros por mes. Si no se corta el cabello, ¿cuánto medirádespués de tres meses?

c) Una persona con problemas de obesidad siguió el tratamiento indicado por su nutricionista ybajó 1,6 kilogramos en una semana. Si al comenzar el tratamiento pesaba 120,78 kg,¿cuánto pesaba a las cinco semanas de tratamiento?

2. Ahora resuelve el problema anterior, utilizando otra estrategia de resolución, explícala, paso apaso, y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras.


a) La estatura de un bebé, después de un año de vida, aumentó en 0,32 metros. El añosiguiente, en 0,14 metros. Si su estatura al final de este período es de 0,96 metros, ¿cuántomidió al nacer?

b) La mamá de Fernando compró frutas y las colocó en una canasta. Si la canasta, incluyendo1,2 kg de naranjas, 2,5 kg de manzanas y 1,4 kg de plátanos, tiene una masa de 5,85 kg,¿cuál es la masa de la canasta vacía?

c) Francisca anduvo en bicicleta desde su casa hasta la de su prima y juntas se dirigieron a lacasa de su tía Paula, que se encontraba a 4,2 kilómetros de ahí. Si en total recorrió 12,9 km,¿cuántos kilómetros anduvo desde su casa hasta la de su prima?

d) De un cordel que mide 7,5 m de largo se corta un trozo de 2,05 m. ¿Cuánto mide el otrotrozo de cordel?

e) En una competencia de atletismo los tiempos de llegada fueron los siguientes:Claudio: 11,24 segundos Paula: 11,2 segundos Martín: 11,27 segundos- ¿Cuál es el orden de llegada a la meta?- Si Martín se hubiese demorado 9 décimas de segundo menos, ¿cuál habría sido el orden

de llegada a la meta?

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CONEXIONES

110 Unidad 4

600 atletas se inscribieron para estar enforma en el Ironman 70,3 de Pucón

No cabe duda que el deporte de moda en

verano es el triatlón, más aún si la prueba,

que se va a correr en Pucón, dio uno de sus

mayores pasos al convertirse en el nuevo

Ironman 70,3, perteneciendo así a una fecha

de circuito mundial.

Tanto es el éxito de esta competencia, que

son 600 los atletas que se inscriben para

participar, tanto nacionales, como

extranjeros. Han participado atletas

destacados como el australiano Chris

Mc Cormack, campeón del Ironman Hawai

2006 y el argentino Óscar Galíndez, cuatro

veces campeón de esta prueba.

La primera vez que se corrió esta

competencia fue en el año 1986 y ya van 23

versiones de la competencia. La prueba

considera un recorrido de 1,2 millas de

natación, 56 millas de ciclismo y 13,1

millas de trote.

NACIONAL

Fuente: El diario Austral de la Araucanía, deporte y recreación, viernes 11 enero 2008, Carlos

Inostroza http://www.australtemuco.cl/ (consultado en abril de 2008).

Reúnete con dos compañeros o compañeras y desarrollen las siguientes actividades.

1. Ordenen las millas recorridas de cada deporte de menor a mayor.

2. Comenten y luego respondan:

a) ¿Qué parte del triatlón es la más larga?, ¿y cuál es la más corta?

b) ¿Cuántas millas se recorren en total en este triatlón?

c) ¿Por qué el triatlón se llama Ironman 70,3?

d) ¿Por qué creen que es necesario hacer deporte?

e) ¿Por qué creen que Pucón es un buen lugar para realizar competencias de triatlón?,¿en qué otros lugares de Chile se podría hacer un triatlón?

3. Investiguen nombres de atletas chilenos que han participado en algún triatlón de Pucón,y cuáles han sido sus mejores resultados.

4. Comenten en su curso:

a) ¿Qué fue lo más difícil de estas actividades?

b) ¿Cómo lo resolvieron?

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Unidad 4

111Decimales

SÍNTESIS

A continuación se presentan frases incompletas referidas a los principales conceptostrabajados en la unidad. Copia las frases en tu cuaderno y complétalas con los siguientestérminos.

• Comas

• Fracciones decimales

• Parte entera

• Periódicos

• Recta numérica

• Posiciones decimales

• Números decimales

• Semiperiódicos

• Unidades decimales

• Parte decimal

• Las fracciones que tienen denominador 10, 100, 1000, etc. se llaman .

• El décimo, centésimo y milésimo son .

• Toda unidad decimal puede representarse como una fracción decimal y como un

.

• Los números decimales se pueden ubicar en una .

• Los números decimales se clasifican en finitos, infinitos e infinitos .

• Para leer un número decimal, primero se lee la y luego, la .

• Para comparar números decimales se comparan las partes enteras entre sí y luego, las

correspondientes.

• Para sumar y restar números decimales es importante ordenar los números de manera vertical,

dejando en la misma columna las .

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en las frases anteriores,comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes preguntas:

a) ¿En qué situaciones utilizas los números decimales?

b) ¿Qué utilidad crees que tiene el uso de números decimales?

c) ¿Qué relación existe entre los números decimales y las fracciones?

d) ¿Existen equivalencias entre las unidades decimales? Nombra algunas.

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112 Unidad 4

¿QUÉ APRENDÍ?

1. De un bidón de cinco litros de agua, primero setomaron 2,3 litros y luego 1,8 litros. ¿Cuántoslitros de agua quedan en el bidón?

A.4,1 litros

B. 4,3 litros

C. 0,9 litros

D. 0,8 litros

2. El número decimal 0,08 es igual a la fracción:

A.

B.

C.

D.

3. ¿Cuál de estos números decimales correspondea 3 enteros, 52 milésimos?

A.0,352

B. 52,003

C. 3,052

D. 3,52

4. Tres amigos midieron sus estaturas. Gabrielmide 1,67 metros, Pedro mide 1,76 metros yAntonio mide 1,61 metros. ¿En cuál de lassiguientes alternativas los amigos estánordenados de menor a mayor estatura?

A.Gabriel - Pedro - Antonio

B. Antonio - Pedro - Gabriel

C. Antonio - Gabriel - Pedro

D. Pedro - Antonio - Gabriel


5. El número decimal 2,05 se lee:

A. 2 enteros, 5 décimos.

B. 205 milésimos.

C. 2 enteros, 5 centésimos.

D. 2 enteros, 5 milésimos.

6. ¿Cuál de los siguientes números decimalespodría estar en el recuadro? 4,307 < < 4,37

A. 4,378

B. 4,70

C. 4,306

D. 4, 36

7. ¿Cuál de los siguientes números decimales

es mayor que ?A. 0,24

B. 2,30

C. 4,306

D. 0,23

8. Unos gemelos al nacer pesaron muypoquito, el mayor pesó 2,845 kilogramos yel menor 2,735 kilogramos. ¿Cuál es ladiferencia entre el peso de amboshermanos?A. 0,11 kilogramos.

B. 0,1 kilogramos.

C. 0,011 kilogramos.

D. 0,01 kilogramos.

988

10898

1002310

U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 112

113Decimales

Unidad 4



Lectura y escritura de decimales.

Relación entre decimales y fracciones.

Decimales finitos e infinitos.

Decimales, fracciones y números naturales en la rectanumérica.

Orden y comparación.

Adición y sustracción de números decimales.





¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo


11. La suma de tres números es 50. Si uno de ellos es 15,4 y el otroes 3,7 unidades mayor que el primero, ¿cuál es la diferenciaentre el tercer número y el primero?

10. Un número aumentó en 2,3, luego en 5,4 y, después, disminuyó 3,1. Si finalmenteel número obtenido es 10,7, ¿cuál es el número inicial?

a b c a + b a – b b + c c – b (a + b) – c

38,5 18,91 27,18

12,407 7,05 11,508 responde en tu cuaderno



U4 92-113 7/1/09 11:43 Página 113

114 Matemática 5

1. La representación de la fracción “siete doceavos”es:

A.

B.

2. La fracción se puede clasificar como:

A. fracción propiaB. fracción impropiaC. igual a la unidadD. fracción decimal

3. La fracción corresponde al número mixto:

A.

B.

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es

equivalente a ?

A.

B.

5. ¿Cuál de las siguientes alternativas está ordenadade menor a mayor?

A. , , , ,

B. , , , ,

C. , , , ,

D. , , , ,

6. La fracción equivale a:

A. 0,35B. 0,32C. 0,32D. 0,35

7. ¿Cuál de estos números decimalescorresponde a 2 enteros 25 milésimos?

A. 2,25B. 20,25C. 2,025D. 2,0025

8. ¿Cuál de estos números decimales es menorque 6,93?

A. 6,952B. 6,96C. 6,929D. 6,942

9. El resultado de la adición 1,02 + 4,56 es:

A. 1,476B. 3,54C. 4,458D. 5,58

10. Un atleta debe recorrer 46,8 kilómetros.Si lleva recorrido 21,06 kilómetros, ¿cuántoskilómetros le faltan por recorrer?

A. 25,74B. 44,694C. 48,906D. 67,86

I. Recuerda lo que aprendiste en las unidades 3 y 4. Contesta, escribiendo en tu cuaderno laalternativa correcta.


17127

12

12772

C.

D.

118

297

37

7

47

1

14

7

17

4

C.

D.

75

28153525

1410

C.

D. 25

1

19

29

49

89

69

39

59

79

99

119

99

119

109

89

79

109

99

89

79

69

3290

Taller 2 21 x 27 31/12/08 12:23 Página 114



1. Rodrigo, Luisa, Fernando, Marcela y Andrés compiten en una carrera desde la sala de clases al quioscoque se encuentra en el patio del colegio. Los tiempos (en segundos) que ellos demoraron fueron lossiguientes:

a) Ordena estos tiempos de menor a mayor.

b) ¿Quién ganó la carrera? ¿Quién obtuvo el último lugar?

c) Si Luisa se hubiese demorado 8 segundos menos, ¿cuál será el orden desde el primeral último lugar?

d) ¿Cuál es la diferencia de segundos entre el primer y el último lugar?


a) Claudia le encargó a una amiga que viajaba fuera del país, que le comprara algunos libros. Si entotal compró 3 libros a US$ 40,5 (40,5 dólares) y dos de ellos le costaron US$ 11 (11 dólares) yUS$ 13,8 (13,8 dólares), respectivamente, ¿cuánto le costó el tercer libro?

b) Felipe recorre 1,3 kilómetros más que Andrés, mientras que Ignacio recorre 0,7 kilómetros más

que Felipe. Si Ignacio recorre 2,5 kilómetros, ¿cuántos kilómetros recorre Andrés?

c) Alicia leyó un libro. Primero leyó del libro, después del libro. ¿Qué fracción le falta por leer?

d) Ignacio gastó de sus ahorros en libros, en juegos para su computador y el resto lo guardó

para regalos de cumpleaños. ¿Qué fracción de sus ahorros gastó? ¿Qué fracción de sus ahorros

guardó para los regalos?

e) Carolina y Alejandra rindieron una prueba de Matemática. Si Carolina demoró del tiempo total

y Patricia del tiempo, ¿quién demoró más tiempo en rendir la prueba? ¿Cuánto tiempo más

se demoró?

Rodrigo Luisa Fernando Marcela Andrés

28,5 31,2 26,4 21,8 30

18

12

110

310

812

23

Taller 2 21 x 27 31/12/08 12:23 Página 115

UNIDAD

5

116 Unidad 5

Perímetros y áreas

• Interpretar fórmulas para calcular el perímetro de un triángulo,de un cuadrado o de un rectángulo.

• Determinar y aplicar fórmulas para calcular áreas de cuadradoso de rectángulos.

• Determinar y aplicar fórmulas para calcular áreas de figuras quepueden ser descompuestas en cuadrados y rectángulos.

• Identificar y usar el milímetro, centímetro y metro comounidades de longitud; y el milímetro cuadrado, centímetrocuadrado y metro cuadrado como unidades de superficie.

• Resolver problemas en situaciones variadas que implican elcálculo de perímetros y de áreas.


U5 116-137 7/1/09 11:44 Página 116

117Perímetros y áreas

CONVERSEMOS DE...

Al planificar una nueva vivienda, el arquitecto debe considerar:• las dimensiones del terreno disponible.• los requerimientos de la familia a la que está destinada la

vivienda: cuántos dormitorios se necesitan, cuántos baños, o sise considera un escritorio, terrazas, etc.

• las dimensiones de los distintos sectores de la vivienda:dormitorios, baños, sala de estar, comedor, cocina, clóset, etc.

En consecuencia, el arquitecto debe asegurarse de que la viviendasea confortable para vivir, es decir, tenga un tamaño adecuado,proteja a la familia de la lluvia, el viento, la humedad, los cambiosde temperatura, la luz del sol, etc. A su vez debe decidir qué tipode materiales puede adquirir, considerando el presupuestoestimado para la construcción.

Observa el plano de la página 116 y responde:

• ¿Cuál es el largo total de la vivienda?

• ¿Cuál es el ancho de la vivienda?

• ¿Cuál es la superficie de los dormitorios?

• Si la alfombra que se piensa utilizar en los dormitorios cuesta$ 1250 por metro cuadrado, ¿cuál sería el costo de alfombrarlos?

• ¿Cuál es la superficie del baño más grande?

• Si con 16 baldosas se cubre 1 metro cuadrado, ¿cuántas baldosasse necesitan para cubrir el piso del baño?

• ¿Cuál es la superficie total de la vivienda, aproximadamente?

U5 116-137 7/1/09 11:44 Página 117

¿CUÁNTO SABES?

118 Unidad 5


1. Escribe en tu cuaderno la unidad de medida que utilizarías para expresar:

a) el largo de una pestaña.

b) las dimensiones de tu sala de clases.

c) la longitud de un lápiz.

d) la distancia entre Santiago y Puerto Montt.

e) la cantidad de harina necesaria para un pastel.

f) la cantidad de líquido en una botella.

g) la masa de dos marraquetas.

2. Completa, en tu cuaderno, las siguientes equivalencias:

3. Piensa y responde:

4. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala, marcando una X dondecorresponda.

a) ¿Qué tipos de triángulos conoces?, ¿qué características tiene cada uno?

b) ¿Qué tipos de cuadriláteros conoces?, ¿qué características tiene cada uno?

a) 1 m equivale a cm.

b) 1 L equivale a mL.

c) 1 kg equivale a g.

d) 1 km equivale a m.

Figurageométrica

NombreTodos sus

lados son deigual medida

Sus ladosopuestos son

de igualmedida

Todos susángulos son

rectos

No tieneángulosrectos

a) ¿En qué se diferencia un cuadrado y un rombo?

b) ¿Cuál es la diferencia entre un rectángulo y un romboide?

c) ¿Qué semejanzas existen entre un cuadrado y un rectángulo?, ¿y entre unrombo y un romboide?



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• Los triángulos son polígonos de 3 lados y se puedenclasificar según:- la medida de sus lados en: equiláteros, isósceles yescalenos.- la medida de sus ángulos en: rectángulos, acutángulos yobtusángulos.- el número de ejes de simetría que tenga: 0, 1 ó 3 ejes desimetría.

• Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados y se clasifican enparalelogramos, trapecios y trapezoides.

• Los paralelogramos son polígonos que tienen sus ladosopuestos paralelos y de igual medida. Se clasifican encuadrados, rectángulos, rombos y romboides.

• Un cuadrado es un paralelogramo que tiene todos sus ladosde igual medida y todos sus ángulos interiores son rectos.

• Un rectángulo es un paralelogramo que tiene sus ladosopuestos de igual medida y todos sus ángulos interiores sonrectos.

• Los cuadriláteros pueden tener 0, 1, 2 ó 4 ejes de simetría.

• Algunas equivalencias entre unidades de medida son:



5. Resuelve las siguientes multiplicaciones.

Un kilómetro (1 km) 1000 metrosUn metro (1 m) 100 centímetrosUn centímetro (1 cm) 10 milímetrosUna tonelada (1 t) 1000 kilogramosUn kilogramo (1 kg) 1000 gramosUn metro cuadrado (1 m2) 10 000 centímetros cuadradosUn litro (1 L) 1000 centímetros cúbicos

UNIDADES DE LONGITUD

UNIDADES DE MASA

UNIDADES DE SUPERFICIE

UNIDADES DE VOLUMEN

g) 238,1 • 1000

h) 400,01 • 10 000

i) 5 • 10 000

a) 0,03 • 10

b) 60,5 • 100

c) 54,32 • 100

d) 101,43 • 100

e) 26,03 • 1000

f) 0,05 • 1000

Triánguloisósceles

Triánguloequilátero

Triánguloescaleno

Cuadrado

Rombo

Rectángulo

Romboide

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120 Unidad 5

Los alumnos y alumnas de 5° Básico se harán una polera con losnombres de todos los integrantes del curso. Para saber de qué tamañodeben ser, la profesora les pidió que midieran con una cinta métrica ellargo de sus brazos, de su tronco y el contorno a la altura del pecho.

• El sistema métrico decimal, también llamado sistema métrico, es un conjunto de patronesde medida que permiten comparar lo que se desea medir con una unidad básica. En estesistema hay unidades de longitud, superficie y masa, entre otras.

• La unidad de medida universal que se utiliza para las longitudes es el metro (m), peroexisten múltiplos que son el kilómetro (km), hectómetro (hm) y decámetro (dam) y losusamos para expresar longitudes más grandes; y los submúltiplos, como el decímetro (dm),centímetro (cm) y milímetro (mm), que usamos para medir longitudes más pequeñas.

• La unidad de medida universal que se utiliza para las superficies es el metro cuadrado (m2).Sus múltiplos son: kilómetro cuadrado (km2), hectómetro cuadrado (hm2) y decámetrocuadrado (dam2); y los submúltiplos son: decímetro cuadrado (dm2), centímetro cuadrado(cm2) y milímetro cuadrado (mm2).

NO OLVIDES QUE...

PARA DISCUTIR

• ¿Cuánto mide el brazo de Javiera?, ¿podrías expresarlo de otra forma?• ¿Es correcto decir que el brazo de Andrea mide 420 mm?, ¿por qué?• ¿Cuántos centímetros más mide el brazo del Miguel que el de Javiera?,

¿cómo lo calculaste?• ¿Cuántos milímetros más mide el contorno del pecho de Miguel que el

de Javiera?, ¿cómo lo calculaste?

Unidades de medida de longitudy de superficie

El largo de tu

brazo mide 45 cm

y el contorno de

tu pecho, 84 cm.

El largo de tu

brazo mide

42 cm y el

contorno de

tu pecho,

78 cm.

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EN TU CUADERNO

1. Encierra en un círculo la medida más adecuada, según la longitud que estimes convenienteen cada caso.

2. Estima y completa con las palabras mayor o menor.

3. Indica qué unidades (mm2, cm2 y m2) te parecen más apropiadas para medir:

4. Considerando las siguientes equivalencias entre medidas de longitud, completa.

• ¿Qué procedimiento utilizaste para completar las igualdades? Compáralo con el de tus compañeros ycompañeras.

a) La medida del largo de mi cuaderno es que un centímetro.

b) La medida de mi estatura es que un metro.

c) La medida de mi zapato es que un milímetro.

d) La medida del largo de un camión es que un metro.

e) La medida del largo de mi regla es que un centímetro.

a) El largo de una llave es: 1 m 6 cm 20 mm

b) El ancho de mi escritorio mide: 60 cm 5 mm 3 m

c) El alto de un poste de luz es: 10 cm 10 m 10 mm

a) La superficie de tu escritorio.

b) La superficie de una fotografía tamaño carné.

c) La superficie de una frazada.

d) La superficie de una pared de tu pieza.

Medida Equivalencia en metros

1 km 1000 m

1 hm 100 m

1 dam 10 m

1 m 1 m

1 dm 0,1 m

1 cm 0,01 m

1 mm 0,001 m

a) 13 m = cm

b) 200 dm = m

c) 32 m = cm

d) 500 cm = m

e) 2 hm = cm

f) 50 mm = cm

g) 5 m = cm

h) 12 dam = cm

i) 9000 m = km

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122 Unidad 5

5. Considerando las siguientes equivalencias entre medidas de superficie, completa.

6. Completa la tabla con las equivalencias entre las unidades de medida de longitud.

7. Completa la tabla con las equivalencias entre las unidades de medida de superficie.

Medida Equivalencia en metros

1 km2 1 000 000 m2

1 hm2 10 000 m2

1 dam2 100 m2

1 m2 1 m2

1 dm2 0,01 m2

1 cm2 0,0001 m2

1 mm2 0,000001 m2

a) 5 m2 = cm2

b) 40 cm2 = mm2

c) 17 m2 = cm2

d) 12 m2 = mm2

e) 0,032 hm2 = m2

f) 0,32 dam2 = m2

g) 35 km2 = m2

h) 46 m2 = cm2

i) 36 000 mm2 = cm2

j) 1,5 mm2 = m2

• ¿Qué procedimiento utilizaste para completar las igualdades? Compáralo con el de tuscompañeros y compañeras.

Milímetros (mm) Centímetros (cm) Metros (m)

12,5

4 500

0,27

10,8

3 750

25

Milímetrocuadrado (mm2)

Centímetro cuadrado(cm2)

Metrocuadrado (m2)

1 600

720

0,25

9,6

196

22 500



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8. Resuelve las siguientes situaciones y explica, paso a paso, el procedimiento utilizado en cada una.

a) Adriana mide el largo de su pierna y dice: “Mi pierna mide 60 mm”. ¿Crees que es correcto loque dice Adriana?, ¿por qué?

b) El juez de una competencia le dio el primer lugar a Felipe porque corrió 35 metros y 45 cm en1 minuto, el segundo lugar a Cristóbal que corrió 35 metros y 750 mm, y el tercer lugar se lo dioa Pablo que corrió 35 metros, 40 cm y 70 mm. ¿El juez de la competencia distribuyócorrectamente los lugares? Explica por qué.

c) Javier se compró un departamento que tiene en total una superficie de 48 m2 y Andrea uno con2 dormitorios de 12 m2 cada uno, un baño de 6 m2, una cocina de 8 m2, una terraza de 10 m2 yuna loggia de 22 500 cm2. ¿Cuál de los dos departamentos es más grande?, ¿cuánto más?

d) La superficie de la cancha del Estadio Nacional es 7140 m2. ¿A cuántos kilómetros cuadradoscorresponde esta superficie?

Si te fijas, las unidades de longitudaumentan o disminuyen de 10 en10, y las de superficie de 100 en 100,como se muestra en los diagramas.

ESTRATEGIA MENTAL

300 cm = (300 : 10 : 10) m = 3 m

0,25 m = (0,25 • 10 • 10) cm = 200 cm

500 m2 = (500 : 100 : 100 : 100) mm2 = 0,0005 mm2

8,16 m2 = (8,16 • 100 • 100) cm2 = 81 600 cm2

Longitud• 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10

km hm dam m dm cm mm

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

Superficie• 100 • 100 • 100 • 100 • 100 • 100

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

: 100 : 100 : 100 : 100 : 100

1. Calcula mentalmente y completa la tabla con las equivalencias de longitudes correspondientes.

Utilizando los diagramasanteriores podemos encontrarequivalencias fácilmente.Observa:

mm 2500 32 22 500cm 250 75m 2,5 0,000125 1,4

2. Calcula mentalmente y completa la tabla con las equivalencias de superficies correspondientes.

mm2 32 22 500cm2 160 000 75m2 0,000125 1,4

: 100

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124 Unidad 5

Perímetro de triángulos

PARA DISCUTIR

• ¿Cómo podemos saber cuántos metros de malla necesitará don Hugo?,¿qué operación debemos realizar?, ¿por qué?

• Don Hugo sumó 6 m + 8 m + 10 m, ¿es correcto lo que realizó?, ¿porqué?, ¿cuál es el resultado de esa operación?

• Entonces, ¿cuántos metros de malla necesitará para cercar la huerta?• Si su huerta triangular tuviera lados que miden 7 m, 7 m y 9 m, ¿cuál

sería el resultado?, ¿qué operación realizaste?, ¿de qué otra forma sepodría calcular?

• Si todos los lados de la huerta midieran 5 m, ¿cuál sería el resultado?,¿qué operación realizaste?, ¿de qué otra forma se podría calcular?

• En el último caso, ¿sería correcto multiplicar 3 • 5 para conocer lacantidad de metros que necesita para cercar su huerta?, ¿por qué?

• El perímetro de una figura es la medida total de su frontera o contorno, expresadaen la misma unidad de longitud. Lo simbolizamos con la letra P.

• Para expresar el perímetro de figuras pequeñas utilizamos generalmente elmilímetro o el centímetro; cuando son figuras más grandes (como el ancho de unapared) utilizamos el metro y cuando son más grandes aún (como la distancia entredos ciudades) utilizamos el kilómetro. Pero recuerda que no son las únicas.

NO OLVIDES QUE...

• Un triángulo equiláterotiene todos sus lados deigual medida.

• Un triángulo isóscelestiene dos lados de igualmedida.

• Un triángulo escalenotiene todos sus lados dedistinta medida.

A yuda

EN TU CUADERNO

1. Observa la figura formada por triángulos equiláteros y responde.

a) ¿Cuánto mide el perímetro de uno de los triángulos pequeños?

b) ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo más grande?

c) ¿Cuántos triángulos equiláteros puedes contar en la figura?,¿cuáles son sus perímetros?

Don Hugo tiene una huerta de forma triangular donde tiene plantadosdiferentes tipos de verduras para el consumo familiar. Para protegerlaquiere cercarla con una malla. ¿Cuántos metros de malla necesitarápara cercar su huerta?

2 m

10 m8 m

6 m

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2. Observa los siguientes triángulos:

3. Si a, b y c son los lados de un triángulo, responde:

4. Dos lados de un triángulo miden 17 mm cada uno y su perímetro mide 50 mm, ¿cuánto mide el tercerlado? ¿A qué tipo de triángulo corresponde? Explica, paso a paso, cómo lo resolviste.

a) Expresa el perímetro de cadatriángulo como la suma de lamedida de sus lados.

b) ¿Cómo son las medidas de loslados de los triángulos de colorrojo?, ¿y las de los de colorverde?, ¿y los de color azul?¿Qué tipo de triángulos son?

c) ¿Podrías expresar el perímetro de los triángulos de color rojo y verde de otra manera?, ¿cómo?,¿y el de los triángulos de color azul?, ¿por qué?

d) Si una persona calcula el perímetro de un triángulo equilátero de lado 7 cm, multiplicando3 • 7, ¿estaría correcto su procedimiento?, ¿cómo lo supiste?

e) ¿Cómo expresarías el perímetro de los siguientes triángulos?

a) Si a = 4 cm, b = 6 cm y c = 70 mm, ¿cuál es su perímetro?

b) Si a = b = 20,6 cm y su perímetro es 71,15 mm, ¿cuál es la medida de c?

c) Si a = 9 mm, c = 11 mm y su perímetro es 25 mm, ¿cuál es la medida de b?

d) Si a = 16 m, b = 21 m y c = 29 m, ¿cuál es su perímetro?

• El perímetro de un triángulo escaleno de lados a, b y c se puede calcular utilizando lasiguiente fórmula:

P = a + b + c

• El perímetro de un triángulo isósceles de lados a y base b se puede calcular utilizando lasiguiente fórmula:

P = a + a + b, es decir, P = 2 • a + b

• El perímetro de un triángulo equilátero de lado a se puede calcular utilizando la siguientefórmula:

P = a + a + a, es decir, P = 3 • a

NO OLVIDES QUE...

aa

b

ab

c

a

a

a

4 cm

4 cm

4 cm

3 cm 3 cm

3 cm

4 cm

3 cm

3 cm 3 cm

2 cm

2 cm

3 cm

4 cm

5 cm

6 cm

3 cm5 cm

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• El perímetro de un cuadrado, cuyos lados miden a, se puede calcular utilizando lasiguiente fórmula:

• El perímetro de un rectángulo, cuyos lados miden a y b, se puede calcular utilizandola siguiente fórmula:

NO OLVIDES QUE...

126 Unidad 5

PARA DISCUTIR

• ¿Cuántos metros de reja se necesitan para cerrar la piscina cuadrada?,¿cómo lo calculaste?, ¿de qué otra forma se podría calcular?

• ¿Cuántos metros de reja se necesitan para cerrar la piscina rectangular?,¿cómo lo calculaste?, ¿de qué otra forma se podría calcular?

• ¿Cuántos metros de reja se necesitan para cerrar las dos piscinas?,¿qué operación matemática realizaste?

• Para saber cuántos metros de reja se necesitan para cerrar la piscinacuadrada se puede calcular 6 + 6 + 6 + 6. ¿De qué otra forma sepodría calcular?, ¿y cómo calcularías los metros de reja que senecesitan para la piscina rectangular?

• La empresa encargada de cerrar las piscinas afirma que necesita 24 mde reja para cerrar la piscina cuadrada y 52 m de reja para cerrar lapiscina rectangular. ¿Estás de acuerdo con ellos?, ¿por qué?

Perímetro de cuadrados y rectángulos El municipio de la comuna donde vive Patricia quiere inaugurar uncentro recreacional con juegos y dos piscinas: una con forma cuadradade 6 m por lado y otra con forma rectangular de dimensiones 9 m y 4 m.Por seguridad se quiere colocar rejas alrededor de las piscinas. Observa.

P = a + a + a + a, es decir, P = 4 • aa

P = a + a + b + b, es decir, P = 2 • a + 2 • ba

b

6 m

9 m

6 m4 m

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1. Calcula el perímetro de las siguientes figuras, utilizando las fórmulas dadas anteriormente.

2. Si a y b son las medidas de los lados de rectángulos, responde:

EN TU CUADERNO

3. Si el perímetro de un cuadrado es 49 cm, ¿cuánto miden sus lados?

4. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas y explica, paso a paso, el procedimiento utilizado.

a) Si a = 170 mm y b = 12 cm, ¿cuál es el perímetro del rectángulo?

b) Si a = 18 m y el perímetro del rectángulo es 60 m, ¿cuál es la medida de b?

c) Si a = 50 mm y b = 2a, ¿cuál es el perímetro del rectángulo?

a) El perímetro de un terreno cuadrado mide 100 m, ¿cuánto miden sus lados?

b) Calcula el perímetro de una mesa cuadrada cuyos lados miden 1,4 m.

c) Se quiere cercar un terreno de forma rectangular de 50 m de ancho y 75 m de largo. Si se debe dejarun portón de 4 m de ancho, ¿cuántos metros de malla se necesitan para cercar todo el terreno?

d) Si la medida del lado de un cuadrado se duplica, ¿el perímetro también se duplica? Justifica turespuesta con un ejemplo.

Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas y explica el procedimintoutilizado en cada uno.

1. El perímetro de un triángulo equilátero es igual al perímetro de un cuadrado.Si este es igual a 36 cm, ¿cuál es la medida de los lados del triángulo equiláteroy del cuadrado?

2. El perímetro de un cuadrado es 16 cm. Si el ancho de un rectángulo mide lomismo que el lado del cuadrado y su perímetro es 34 cm, ¿cuánto mide el largodel rectángulo?

3. Las canchas de básquetbol tienen dimensiones máximas de 29 m de largo y15 m de ancho; y dimensiones mínimas de 22 m de largo y 13 m de ancho.

a) ¿Cuál es el máximo y mínimo perímetro que puede tener la cancha?

b) Si en la etapa de calentamiento un jugador debe dar 4 vueltas alrededor dela cancha, ¿qué distancia recorre si esta cancha tiene las dimensionesmáximas?

MI PROGRESO

a) b) c) d)2 cm 3 cm

5 cm

6 cm4 cm

7 cm

2 cm

6 cm

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NO OLVIDES QUE...

128 Unidad 5

Perímetro y área de cuadrados yrectángulosDon Humberto trabaja colocando cerámicas. Para calcular cuántascerámicas necesita, antes de hacer cada trabajo, él hace un dibujo ycuenta las cerámicas. Ahora debe colocar cerámicas en una cocina encuatro sectores diferentes. Observa lo que dibujó.

PARA DISCUTIR

• ¿Cuántas cerámicas necesita para cubrir cada superficie? Si cadacerámica es cuadrada y mide 1 dm2, ¿cuánto mide cada una de lassuperficies en las que debe colocar cerámicas?, ¿y si midieran 1 cm2?,¿cómo lo calculaste?

• ¿Qué relación observas entre las medidas de los lados de las figuras A yB y las medidas de sus superficies?, ¿ocurre lo mismo en las figuras C yD?, ¿por qué?

• Si sabes que el ancho de la superficie C es 50 cm y el largo 70 cm,¿cuánto mide su perímetro?, ¿cómo puedes calcular la medida de estasuperficie?

• Los lados de un cuadrado miden a, ¿cómo podrías expresar la medidade la superficie?

• El largo y ancho de un rectángulo miden a y b cm, respectivamente,¿cómo podrías expresar la medida de la superficie?

Recuerda que1 dm = 10 cm.

A yuda

AB

C

D

• El área es la medida de la superficie de una figura.

• Para expresar el área de superficies pequeñas utilizamos generalmente el milímetrocuadrado o el centímetro cuadrado; cuando son superficies más grandes (como la deuna pared) utilizamos el metro cuadrado y cuando son más grandes aún (como la deuna ciudad) utilizamos el kilómetro cuadrado. Pero recuerda que no son las únicasque existen.

• El área de un cuadrado de lado a es igual al producto de la medida de su lado por símismo.

Á = a • a

• El área de un rectángulo de lados a y b es igual al producto de la medida de su largopor su ancho.

Á = a • b

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EN TU CUADERNO

1. Completa las siguientes tablas utilizando las fórmulas aprendidas para el cálculo de perímetros y deáreas. Luego responde:

2. Resuelve los siguientes problemas y explica paso a paso el procedimiento que utilizaste.

a) ¿Cómo puedes calcular el perímetro de un cuadrado sabiendo que la medida de su lado es a?, ¿yla de un rectángulo de lados a y b?

b) ¿Cómo puedes calcular el área de un cuadrado sabiendo que la medida de su lado es a?, ¿y la deun rectángulo de lados a y b?

c) Si el área de un cuadrado es 64 cm2, ¿cuánto mide su lado?

d) Si el área de un rectángulo mide 64 cm2, ¿cuánto mide su lado?, ¿existe solo una posibilidad?

a) El área de un cuadrado es de 81 cm2. ¿Cuánto mide cada lado?

b) Determina la medida de los lados de un rectángulo, sabiendo que su área es 180 cm2 y superímetro es 54 cm.

c) Si el área de un rectángulo es 28 cm2 y el ancho es 3 cm más corto que su largo, ¿cuál es lamedida del largo y del ancho?

3. ¿Cuántos cuadrados o rectángulos diferentes de área 36 cm2 se pueden encontrar? Dibújalos ycomenta con tu compañera o compañero.

4. Si en un cuadrado la medida de su lado se duplica, ¿cómo varía su perímetro?,¿y su área?, ¿y si se triplica? Compara tu respuesta.

En esta actividad deberán calcular áreas en su sala de clases.Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones:

1. Con la cinta métrica, cada uno mide las dimensiones de una pared y el piso de la sala declases.

2. Cada integrante calcula el área de cada pared y del piso de su sala. Luego, comparen losprocedimientos utilizados.

EN EQUIPO Materiales:• Cinta

métrica

Cuadradode lado a Perímetro Área

6 mm

9 cm

10 m

Rectángulo de lados:Perímetro Área

a b

7 cm 3 cm

9 mm 2 mm

5 cm 4 cmresponde en tu cuaderno


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130 Unidad 5

Área de figuras compuestasEn un edificio se venden dos tipos de departamentos con lasdimensiones que se muestran en los siguientes planos.

PARA DISCUTIR

• Observando los planos anteriores, ¿qué departamento crees que tienemayor área?, ¿por qué?

• ¿Cómo podrías calcular el área de cada departamento?• Descompón el plano del departamento A en cuadrados y rectángulos.

¿Cuántos cuadrados y rectángulos hay?, ¿cuál es el área de cada uno?,¿cuál es el área total?

• Ahora, descompón el plano del departamento B y calcula su área.¿Qué departamento tiene mayor área?, ¿cuánto más?

Para calcular el área de una figura compuesta podemos seguir los siguientes pasos:

1° Descomponer la figura en cuadrados y/o rectángulos.

2° Calcular el área de cada una de estas nuevas figuras.

3° Sumar las áreas de las nuevas figuras. La suma corresponde al área total de lafigura original.

NO OLVIDES QUE...

EN TU CUADERNO

1. Calcula el área de las siguientes figuras, considerando que el área de cada equivale a 1 a2:

3 m

3 m

9 m

8 m

12 m

4 m

4 m4 m

3 m

4 m3 m

1 m

A B

a) b) c) d)

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2. Calcula el área de las siguientes figuras:

Los pentominos son figuras que se forman con 5 cuadrados que van unidos uno a uno por al menosun lado. Las siguientes figuras son algunos pentominos:

Ingresa a la página de Internet www.educacionmedia.cl/proyecto/enlaces.htm. Encontrarás ungeoplano que te ayudará a realizar la siguiente actividad.


a) ¿Cómo son entre sí las áreas de tus pentominos? Justifica.

b) ¿Qué pentomino tiene el mayor perímetro? Fundamenta.

3. Imprime y recorta tus figuras. Utiliza todos tus pentominos para construir rectángulos, sin quequeden espacios vacíos entre ellos.

En un centro deportivo se quiere construir unapiscina de 36 m2.

1. Si la piscina fuera rectangular, ¿cuál puede ser ellargo y ancho de la piscina? Nombra todas lasposibilidades.

2. ¿Es posible que la piscina sea cuadrada?, ¿cuálsería la medida de su lado?

3. Si finalmente deciden hacer una piscina con unsector más profundo para los adultos y otro conmenor profundidad para los niños y niñas comose muestra en la figura, ¿cuánto mide lasuperficie que necesitarían para construir de estamanera la piscina?

MI PROGRESO

a) b) c)2 cm 2 cm

2 cm 2 cm 2 cm2 cm

1. Construye todos los pentominos que puedas (existen 12 pentominos diferentes).

2. Una vez construidas las figuras, responde las siguientes preguntas considerando que:

1 unidad

1 unidad

Sectorniños y niñas

Sectoradultos

9 m

4 m

4 m

4 m

4 cm

1 cm

3 cm

4 cm

6 cm

5 cm

2 cm

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132 Unidad 5


El piso de la habitación es un rectángulo de 5 metros delargo y 3 metros de ancho. Las baldosas son cuadrados de25 cm de lado.

• ¿Qué debes encontrar?El número de baldosas necesarias para cubrir el piso.

ResponderDon Carlos necesitará en total 240 baldosas.

RevisarPuedes utilizar una calculadora para comprobar si los cálculos están bien realizados.

500 : 25 = 20 300 : 25 = 12

cantidad de baldosas a lo largo cantidad de baldosas a lo ancho

20 • 12 = 240 baldosas

25 cm25 cm25 cm25 cm

3 m

5 m

Observa la estrategia que se utiliza para resolver la siguiente situación.

Don Carlos quiere poner baldosas en el piso de una habitación. La superficie que debe cubrires un rectángulo de 5 metros de largo por 3 metros de ancho y las baldosas son cuadrados de25 cm de lado. ¿Cuántas baldosas necesitará?


Como la longitud del largo y ancho de la habitación están dadas en metros y la longitud delas baldosas en centímetros, primero debemos expresar todas las medidas en la mismaunidad. Por lo tanto, calculamos a cuántos centímetros corresponden 5 y 3 metros,respectivamente.

Luego, calculamos cuántas baldosas cuadradas, de 25 cm, caben a lo largo y ancho de lahabitación.

Resolver1 metro equivale a 100 cm.

3 metros equivalen a 300 cm.

5 metros equivalen a 500 cm.

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Unidad 5



a) En un colegio le pidieron a los alumnos que tejieran cuadrados de lana de 20 cm de lado.Juntando los cuadrados que traen los alumnos se pueden confeccionar frazadas que luegose regalarán a los abuelitos. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para tener una frazada de2 metros de largo y 1 metro y 40 centímetros de ancho?

b) La superficie de un terreno es de 144 m2. Si cada baldosa tiene una medida de 30 cm porlado, ¿cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo el terreno?

c) Jaime compró 60 baldosas cuadradas de 20 cm de lado para el baño de su casa. Si el bañomide 2 metros y 20 cm de largo, y 1 metro y 60 cm de ancho, ¿son suficientes las baldosasque compró Jaime?, ¿cuántas faltan o sobran?

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución,explícala, paso a paso, y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras.


a) La familia Pérez tiene su casa alfombrada. Aburridos de la suciedad, los Pérez decidieroncambiar la alfombra por azulejos. Si la casa tiene 100 m2, ¿cuántos azulejos cuadrados de25 cm de lado deben comprar?

b) Sofía quiere cubrir una pared de su pieza con papeles de colores de 10 cm de lado. Si supared tiene 4 metros de ancho, y 2 metros y 30 cm de largo, ¿con cuántos papeles cubriráSofía la pared de su pieza?

c) En un marco de fotos de 30 cm de largo por 20 cm de ancho quiero colocar fotoscuadradas de 10 cm de lado. ¿Cuántas fotos me caben en el marco?

d) Con 20 baldosas cuadradas de 30 cm de lado se cubrió la cocina de una casa. ¿Cuántosmetros cuadrados tiene la cocina?

e) ¿Cuántas cerámicas cuadradas de 40 cm de lado se necesitan para cubrir una terraza de8 metros y 40 cm de largo, y 4 metros y 80 cm de ancho?

f) Se ha unido un cuadrado a un rectángulo de tal manera que forman una figura similar auna L. Si la medida del lado del cuadrado es 4 cm y las medidas del ancho y largo delrectángulo son, respectivamente, 6 cm y 10 cm, ¿cuál es el área de la figura que falta paraque se forme un cuadrado de lado 10 cm?

U5 116-137 7/1/09 11:44 Página 133

CONEXIONES

134 Unidad 5

El fútbol, deporte más popularen nuestro país

En Chile, el fútbol es sin duda el deporte

más importante y el que goza de mayor

popularidad. Cada fin de semana, miles y

miles de personas asisten a estadios a lo

largo de todo Chile para ver en acción a sus

equipos y jugadores favoritos. En nuestro

país existen dos divisiones profesionales: la

Primera A (que cuenta con 20 equipos) y la

Primera B (que tiene 12).

Entre los estadios más importantes de Chile

están el Estadio Nacional de Santiago, el

Sausalito de Viña del Mar, el Carlos

Dittborn de Arica y El Teniente de

Rancagua, que fueron las sedes donde se

jugaron los partidos del único mundial que

ha organizado nuestro país en su historia, el

de 1962.

A nivel internacional existen reglas y

medidas oficiales preestablecidas. Una

cancha de fútbol debe ser un rectángulo que

mida: un mínimo de 100 metros y un

máximo de 110 metros de largo y un

mínimo de 64 metros y un máximo de 75

metros de ancho.

DEPORTE

Fuente: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/proyectos/algolritmo_pri2006/01activ_e5_a2.htm

Reúnete con 2 compañeros o compañeras, comenten yluego redacten una respuesta:

1. Calculen el área máxima y mínima de una cancha defútbol.

2. Piensen, comenten y respondan:a) ¿Cuántos metros cuadrados hay de diferencia entre

el área máxima y mínima de una cancha de fútbol?b) ¿Cuál es el largo y ancho del “área grande o

penal” de una cancha de fútbol?, ¿qué sucede enesta área?

c) ¿Cuál es el largo y ancho del “área chica o demeta” de una cancha de fútbol?, ¿qué sucede enesta área?

d) ¿Cuál es la superficie del “área grande o penal”?,¿y la del “área chica o de meta”?

e) ¿Cuál es la diferencia entre el área grande y lachica?

f) ¿Cuánto mide el área de la cancha que no es niárea grande ni área chica?

90 m

40,32 m

11 m 16,5 m

9,15 m 120 m

11 m

9,15 m

5,5 m

U5 116-137 7/1/09 11:44 Página 134

Unidad 5


SÍNTESIS

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el resumen anterior,comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes preguntas:

a) ¿Qué unidades de medida de longitud conoces?, ¿y de superficie?, ¿cuáles usas comúnmente?

b) ¿Cuántos milímetros hay en un centímetro?, ¿y en un metro?

c) ¿Cuántos centímetros hay en un metro?

d) ¿Cuántos milímetros cuadrados hay en un centímetro cuadrado?, ¿y en un metro cuadrado?

e) ¿Cuántos centímetros cuadrados hay en un metro cuadrado?

f) ¿Qué entiendes por perímetro de una figura?, ¿y por área?

g) ¿Qué fórmulas conoces para calcular el perímetro de triángulos, cuadrados yrectángulos?, ¿y para calcular el área de cuadrados y rectángulos?

h) ¿Cómo calculas el área de figuras compuestas por cuadrados y rectángulos?

A continuación te presentamos otra manera de hacer un resumen. Se trata de que seascapaz de explicar con tus palabras a un compañero o compañera los conceptos y darejemplos. Copia la tabla en tu cuaderno y complétala utilizando lo que has aprendido enla unidad. Luego, compártela con un compañero o compañera.

Concepto Explicación Ejemplo

Unidades de medida delongitud.

Las medidas de longitud másutilizadas son: milímetro (mm),centímetro (cm)y metro (m).1 m = 100 cm1 cm = 10 mm1 m = 1000 mm

El largo de mi camatiene 2 m.Mi lápiz mide 15 cm.

Unidades de medida desuperficie.

Perímetro de triángulos.

Perímetro de cuadrados yrectángulos.

Área de cuadrados yrectángulos.

Área de figuras compuestaspor cuadrados y rectángulos.



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136 Unidad 5

¿QUÉ APRENDÍ?

1. El perímetro de un triángulo isósceles se puedeexpresar como:

A. (a + b) cm

B. (a + c) cm

C. (2a + b) cm

D. 3a cm

2. Se va a cercar un terreno rectangular con 74 mde malla. Si el largo del terreno mide 25 m,¿cuánto mide el ancho?

A. 12 m

B. 24 m

C. 25 m

D. 49 m

3. Cierto terreno rectangular tiene una superficiede 700 m2. Si uno de sus lados mide 20 m,¿cuánto mide el otro lado?

A. 17 m

B. 35 m

C. 330 m

D. 340 m

4. El perímetro de un cuadrado es 20 cm. Entoncessu área es:

A. 16 cm

B. 16 cm2

C. 25 cm

D. 25 cm2

5. El área de una región rectangular es 24 cm2.Si el largo mide 6 cm, su perímetro es:

A. 4 cm

B. 12 cm

C. 20 cm

D. 30 cm

6. ¿Cuál es el perímetro de la figura?

A. 12 cm

B. 16 cm

C. 20 cm

D. 30 cm

7. El patio del colegio tiene forma cuadrada y suárea es de 144 m2. ¿Cuál es la medida de suslados?

A. 14 m

B. 12 m

C. 10 m

D. 9 m

8. El perímetro y área de la figura son:

A. 40 cm y 80 cm2

B. 46 cm y 84 cm2

C. 84 cm y 46 cm2

D. 96 cm y 126 cm2


3 cm

2 cm

50 mm

30 mm

120 mm

8 cm

4 cm 40 mm

30 mm

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Unidad 5

9. Completa las siguientes equivalencias:

a) 30 cm = mm e) 8 m2 = cm2

b) 15m = cm f) 15 cm2 = mm2

c) 900 mm = cm g) 60 000 cm2 = m2

d) 1700 cm = m h) 59 m2 = cm2

10. Doña Ester quiere cercar su jardín para que los conejos no se coman sus plantas.¿Cuántos metros de alambre necesitará para cercarlo si el jardín tiene formarectangular y mide 15 m de largo y 7 m de ancho?, ¿cómo lo resolviste?

11. Si una cancha mide 30 m de largo y 12 m de ancho, ¿cuántos metros cuadrados depasto se necesitan para cubrir la mitad de su superficie?

12. Si un bosque de forma rectangular mide 7 km de largo y 3 kmde ancho, ¿cuál es el área del bosque?


Unidades de medida de longitud y de superficie.

Perímetro de triángulos.

Perímetro de cuadrados y rectángulos.

Perímetro y área de cuadrados y rectángulos.

Área de figuras compuestas por cuadrados y rectángulos.





¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo



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UNIDAD

6

138 Unidad 6

Ángulos

• Medir ángulos con transportador o herramientas tecnológicas,empleando el grado como unidad de medida.

• Identificar los ángulos internos y externos en triángulos, ycuadriláteros.

• Verificar los teoremas relativos a la suma de los ángulosinternos y externos de triángulos, y cuadriláteros.

• Identificar las igualdades de medida que se dan en ángulosopuestos por el vértice en rectas que se cortan, ánguloscorrespondientes, alternos internos y alternos externos.

• Resolver situaciones que implican formular y verificar lasmedidas de ángulos en figuras geométricas, utilizandomediciones o teoremas.


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139Ángulos

CONVERSEMOS DE...

En sus inicios, la ciudad de Santiago (1541) se organizó de maneraque la mayoría de sus calles eran paralelas o perpendiculares entresí, formando entre ellas cuadrados o rectángulos.• Si observas el plano actual de un sector de Santiago, ¿qué sucede

con la organización de las calles?, ¿qué figuras se forman entreellas?

• ¿A qué crees que se debe el cambio en la distribución de las calles?• Si observas las calles principales del plano del sector de Santiago,

¿cuáles de ellas son paralelas?• ¿Qué calles se intersectan formando un ángulo recto?• ¿Qué calles se intersectan formando un ángulo mayor o menor

que un ángulo recto?

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¿CUÁNTO SABES?

140 Unidad 6


1. Copia los siguientes polígonos en tu cuaderno y luego marca con verde los lados,con rojo los vértices y azul los ángulos interiores.

2. Observa los siguientes pares de rectas e identifica aquellas que son paralelas yaquellas que son perpendiculares.

3. Dibuja en tu cuaderno los siguientes ángulos y explica cómo los hiciste.

a) Un ángulo recto.

b) Un ángulo mayor que uno recto.

c) Un ángulo extendido.

d) Un ángulo menor que uno recto.

a) c) e)

b) d) f)

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141Ángulos

• Un ángulo es la porción de un plano limitada por dos semirrectas que comparten un mismoorigen llamado vértice.

• Una recta se representa indicando dos puntos que pertenecen a ella, por ejemplo, lasiguiente recta se puede nombrar como recta AB, o bien AB.



4. Observa el siguiente dibujo e identifica:

a) 2 pares de rectas paralelas.

b) 2 tipos diferentes de cuadriláteros y clasifícalos.

c) 2 tipos diferentes de triángulos y clasifícalos.

A B C D

F

E

I

HG

N

LM K J

A B

Rectas paralelas Secantes Perpendiculares

vértice

No se intersecan enningún punto.

Se cortan en un únicopunto.

Secantes que alintersecarse forman

cuatro ángulos rectos.

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142 Unidad 6

Clasificación de ángulos

En esta actividad deberán clasificar ángulos, según sus medidas.Formen parejas y luego, sigan las instrucciones:

1. Observen los siguientes ángulos:

EN EQUIPO Materiales:• Escuadra

2. Utilizando la escuadra, clasifiquen los ángulos y registren en sus cuadernos la información enuna tabla como la siguiente.

A B C D

E F G H

Tipos de ángulos Ángulos

Ángulos menoresque el ángulo recto.

Ángulos rectos.

Ángulos mayoresque el ángulo recto.

PARA DISCUTIR

• ¿Entre qué valores se hallan las medidas de los ángulos menores que elángulo recto?

• ¿Entre qué valores se hallan las medidas de los ángulos mayores que elángulo recto?

• Un ángulo mayor que el recto ¿puede medir 91,5°?• Un ángulo ¿puede medir 193°? Justifica.• Si un ángulo mide 90,2°, ¿es recto o mayor que el ángulo recto?• Si un ángulo que mide 17° aumenta su amplitud en 66°, ¿sigue siendo

menor que el ángulo recto?

Los ángulos puedennombrarse utilizandoletras griegas. Porejemplo:

α: alfa

β: beta

γ: gamma

δ: delta

ε: épsilon

Así, el ángulo interior sepuede nombrar como�BAC o bien, α.

A yuda

B

A

C

α

responde e

n tu cu

ader

no

U6 138-159 7/1/09 11:45 Página 142

143Ángulos

EN TU CUADERNO

1. Clasifica los siguientes ángulos, según sus medidas.

2. Observa los siguientes ángulos y luego, responde:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

67° 93°

172°135°

22° 180°

a) ¿Podrías clasificar alguno de estos ángulos en agudos, rectos u obtusos?, ¿por qué?

b) ¿Cómo son sus medidas respecto a los ángulos anteriores?

c) ¿Existe la posibilidad de representar ángulos de más de 360°?

• Los ángulos que miden más de 180° y menos que 360° se denominan ángulos cóncavos.

• Los ángulos que miden 360° se denominan ángulos completos.

NO OLVIDES QUE...

• Los ángulos que miden más de 0º y menos de 90º se denominan ángulos agudos.

• Los ángulos que miden 90º se denominan ángulos rectos.

• Los ángulos que miden más de 90º y menos de 180º se denominan ángulos obtusos.

• Los ángulos que miden 180º se denominan ángulos extendidos o llanos.

NO OLVIDES QUE...

197°

220°

315°

360°

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144 Unidad 6

Medición de ángulos usandoel transportador

PARA DISCUTIR

• ¿Cuál de los dos niños está en lo cierto?, ¿cómo lo supiste?• ¿Por qué crees que se produjo la diferencia entre los valores de los

ángulos obtenidos por cada uno?• ¿En qué debes fijarte para no cometer errores al medir ángulos?

Un transportador es uninstrumento de formacircular o semicircular ygraduado angularmente.

A yuda

Felipe tiene un transportador circular e Ismael uno semicircular. Ellosmidieron algunos ángulos con sus transportadores. Observa.

Para medir ángulos utilizando el transportador semicircular debes:1º Colocar el trazo recto del transportador sobre uno de los lados del ángulo.2º Hacer que el punto medio de ese trazo coincida con el vértice del ángulo.3º Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador. Si el

ángulo está abierto hacia la izquierda debes fijarte en la escala externa y si está abiertohacia la derecha en la escala interna.

Para medir ángulos utilizando el transportador circular debes:1º Colocar uno de los lados del ángulo frente al 0°.2º Hacer coincidir el centro de la circunferencia con el vértice del ángulo.3º Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador.

NO OLVIDES QUE...

Medir un ángulosignifica determinar suamplitud y, para hacerlo,generalmente se utilizael transportador.

A yuda

No, ambos son

obtusos porque

miden 130 .

El primero es agudo

porque mide 50 y el

segundo obtuso

porque mide 130 .

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145Ángulos

En esta actividad deberán construir ángulos de diferentes medidas,utilizando el transportador.Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones:

EN EQUIPO Materiales:• Hojas• Lápiz mina• Transportador

1. Cada uno de los integrantes dibuje una recta.

2. Sobre cada una de ellas marquen un punto A, que será el vértice del ángulo.

3. Coloquen el transportador de manera que su trazo recto coincida con la recta y el puntomedio de ese trazo con el punto A.

4. Dibujen tres ángulos de diferentes medidas: 60°, 110° y 90°.

5. Si desean que el ángulo se “abra” hacia la izquierda, deben buscar la medida en la escalaexterna, de lo contrario, deben buscarla en la escala interna.

6. Ahora, cada integrante debe construir los siguientes ángulos: 34°, 71°, 118° y 156°, y luegocomparar su construcción con la del resto del equipo.

Puedes construir ángulos dada su amplitud, para esto ingresa al sitiohttp://www.geogebra.at/webstart y realiza los siguientes pasos.

1º Activa las opciones del siguiente botón .

2º De ellas selecciona “Ángulo dada su amplitud”.

3º Haz clic en la hoja de trabajo para determinar dos puntos: el punto lateral y el vértice.

4º En la sección ángulo de la ventana “Ángulo dada su amplitud”, ingresa 65° (sentidoantihorario) y luego aplica.

5º Luego, activa las opciones del siguiente botón y selecciona “Semi–recta que pasa por

dos puntos”.

6º En la hoja de trabajo, haz clic en el vértice y uno de los puntos laterales, después realiza lamisma acción con el vértice y el otro punto lateral.

Puedes construir ángulos con otras medidas, para esto, en el paso 4º, ingresa la medida quedesees.


a

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146 Unidad 6

Ángulos entre paralelas

PARA DISCUTIR

• ¿Qué tienen en común el ángulo de 140º y α?• Si el ángulo que muestra la figura mide 140°, entonces ¿cuánto mide el

ángulo α?• ¿Qué tienen en común el ángulo de 140º y γ?• Con el transportador mide el ángulo γ. ¿Qué relación hay entre el

ángulo γ y el ángulo de 140°?, ¿ocurrirá lo mismo en el caso de losángulos α y β?

• Ahora, mide con el transportador el ángulo δ. ¿Qué relación hay entreel ángulo de 140º y el ángulo δ?, ¿por qué crees que se cumple esto?Justifica.

• ¿Qué relación existe entre el ángulo γ y el ángulo δ?, ¿ocurrirá lomismo en el caso de los ángulos β y ε?

• Si dos paralelas (L1 y L2) son cortadas por una tercera recta (transversal), se forman8 ángulos, los cuales reciben nombres según su posición relativa.

NO OLVIDES QUE...

Ángulos correspondientes (tienen igual medida)�1 = �5; �2 = �6; �4 = �8 y �3 = �7

Ángulos alternos externos (tienen igual medida)�2 = �8 y �1 = �7

Ángulos alternos internos (tienen igual medida)�3 = �5 y �4 = �6

123 4

567 8

L1

L2

L

Observa la siguiente figura, considera que L1 // L2:

αβ

γ140º

εδ

ϕμ

L1 L2

L3

U6 138-159 7/1/09 11:45 Página 146

147Ángulos

EN TU CUADERNO

1. Considerando que L1 // L2 // L3, escribe los pares de ángulos pedidos.

2. Marca en cada letra un par de ángulos que tengan igual medida. Indica a qué ángulos corresponden.

1 23 4

L1

L2

L3

5 6

7 8

9 1011

12

a) Ángulos alternos internos: .

b) Ángulos correspondientes: .

c) Ángulos adyacentes: .

d) Ángulos alternos externos: .

a) b) c)

a) b) c)

3. Calcula el valor de los ángulos x, z e y.

156º 88º43º

15º

34º

x x yz

x

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L1

L2

L3

L4

x y

z128º

148 Unidad 6

4. Encuentra la medida de cada ángulo indicado, sabiendo que L1 // L2. L3 es transversal.

5. Obtén la medida de los ángulos indicados en cada caso.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

a) b)

α L1

L2

L3

55º

148,2º

ε

80º

μ

53º

δ

32,1º

βL1

L2

L3

L1

L2

L3

L3

L1

L2

L3

L1

L2

L1 // L2 // L3 L1 // L2 y L3 // L4

L1 L2

L3

L4

110,5º

x

y

73,25º χ

L1

L2

L3

α =

χ =

ε =

μ =

δ =

β =

�x =

�y =

�z =

�x =

�y =

U6 138-159 7/1/09 11:45 Página 148

1. Observa y mide los siguientes ángulos. ¿Cuál o cuáles de ellos están malconstruidos?

A. Solo I

B. II y IV

C. II y III

D. I, II, III

2. En la figura, L1 // L2 // L3 y L4 // L5 // L6. Si α = 3� , ¿cuál o cuáles de las siguientesrelaciones son verdaderas?

A. � = �

B. � = �

C. � = 60º

D. � = 45º

MI PROGRESO

149Ángulos

6. Observa la siguiente ilustración. Luego, determina si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F).Justifica tu respuesta.

a) Los ángulos 1 y 2 son opuestospor el vértice.

b) Los ángulos 7 y 12 son alternosinternos.

c) Los ángulos 6 y 14 soncorrespondientes.

d) Los ángulos 4 y 13 tienendistintas medidas.

e) Los ángulos 5 y 16 son alternosexternos.

f) Los ángulos 7 y 5 son de igualmedida.

g) Los ángulos 12 y 15 no sonopuestos por el vértice.

86° 25° 58° 77°

I. II. III. IV.

L1

L2

L3

L4 L5 L6

�

� �

1 2

5 6

3 4

7 8

11 12

15 16

9 10

13 14

U6 138-159 7/1/09 11:45 Página 149

150 Unidad 6

Ángulos interiores de triángulos ycuadriláteros Observa el siguiente triángulo y cuadrilátero:

α, β y γ son ángulos interiores del triángulo ABC cualquiera.

L1 // L2 son rectas paralelas.

PARA DISCUTIR

Con respecto al triángulo ABC:• ¿Qué pares de ángulos son congruentes por ser alternos internos?• Los ángulos ε, γ y μ forman un ángulo extendido, entonces, ¿cuál es

la suma de ε + γ + μ?• Si remplazamos ε por α y μ por β, ¿cuál es la suma de α + β + γ?• ¿Qué puedes concluir respecto a la suma de los ángulos interiores

de cualquier triángulo?

Con respecto al cuadrilátero ABCD:• ¿Qué pares de ángulos son congruentes por ser alternos internos?• ¿Qué pares de ángulos de la figura son adyacentes?, ¿cuánto suman?• Si remplazamos α` por δ, ¿cuánto resulta α + δ ?• Y si remplazamos β` por γ, ¿cuánto resulta β + γ?• Entonces, ¿cuánto resulta α + β + γ + δ?• ¿Qué puedes concluir respecto a la suma de los ángulos interiores de

un cuadrilátero cualquiera?

α, β, γ y δ son ángulos interiores del cuadrilátero ABCD cualquiera.

α`, β`, γ`y δ` son ángulos exteriores del cuadrilátero ABCD cualquiera.

L1 // L2 son rectas paralelas.

L1

L2A B

C

α β

γε μ

L1

L2A B

CD

αα` β β`

γ γ`δδ`

• Si dos ángulos tienenun vértice y un ladoen común y los otroslados forman unarecta, entonces sellaman áánngguulloossaaddyyaacceenntteess y suman180°.

• Si dos ángulos tienenen común el vérticeformado por dosrectas que se cortan,entonces se llamanáánngguullooss ooppuueessttoosspor el vértice y son deigual medida.

A yuda

α β

α α`

En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°.

En todo cuadrilátero, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 360°.

NO OLVIDES QUE...

U6 138-159 7/1/09 11:45 Página 150

151Ángulos

EN TU CUADERNO

1. Calca las figuras y recórtalas por la línea punteada. Luego, ubica los ángulos interiores recortados demanera que coincidan los vértices. ¿Qué se forma en cada caso?

2. Completa cada recuadro con la medida que debe tener el ángulo desconocido, según sea el caso.

3. Completa cada tabla y luego, responde.

Ángulos interiores del triángulo

20,2° 60°

55° 25°

101° 12°

Ángulos interiores del cuadrilátero

115,25° 67° 89°

145° 59,75° 123°

105,7° 105,7° 75°

Medida de los ángulos interiores de un triángulo ¿Es posible construir un triángulo?

45° 90° 90°

76° 24° 80°

120° 23° 100°

Medida de los ángulos interiores de un cuadrilátero ¿Es posible construir un cuadrilátero?

167° 86° 90° 45°

176° 103° 87° 34°

76° 81° 128° 75°

a) La medida de los ángulos basales de un triángulo isósceles es 67°, ¿cuánto mide el tercerángulo?, ¿cómo lo calculaste?

b) La suma de tres de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 256º, ¿cuánto mide el cuartoángulo?, ¿cómo lo averiguaste?

c) ¿Es posible que las medidas de los ángulos interiores de un triángulo acutángulo sean 89°, 45° y50°?, ¿cómo lo supiste?

d) ¿Es posible que las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero sean 90°, 81°, 53° y136°?, ¿qué pasos realizaste?



U6 138-159 7/1/09 11:45 Página 151

152 Unidad 6

Ángulos exteriores de triángulos ycuadriláteros

PARA DISCUTIR

• Sabemos que los ángulos α y α`, β y β` , γ y γ` son adyacentes, por lotanto: α + α` = 180º; β + β` = 180º; γ + γ` = 180º. Entonces, ¿cuál es elresultado de α + α` + β + β` + γ + γ`?

• Si la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, ¿cuál es lasuma de los ángulos exteriores de un triángulo?

• ¿Qué puedes concluir respecto a la suma de los ángulos exteriores deun triángulo cualquiera?

• Sabemos que los ángulos α y α`, β y β` , γ y γ`, δ y δ` son adyacentes,entonces, ¿cuál es el resultado de α + α` + β + β` + γ + γ` + δ y δ`?

• Si la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°, ¿cuál esla suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero?

• ¿Qué puedes concluir respecto a la suma de los ángulos exteriores deun cuadrilátero cualquiera?

Observa el triángulo y el cuadrilátero:

α, β, γ , δ son ángulos interiores del cuadrilátero ABCD.

α`, β`, γ`, δ` son ángulos exteriores del cuadrilátero ABCD.

α, β, γ son ángulos interiores del triángulo ABC.

α`, β`, γ` son ángulos exteriores del triángulo ABC.

En todo triángulo y cuadrilátero la suma de sus ángulos exteriores es 360°.

NO OLVIDES QUE...

A B

C

αα` β β`

γγ`

A

B

C

D

αα`

β β`

γ γ`

δδ`

U6 138-159 7/1/09 11:45 Página 152

153Ángulos

EN TU CUADERNO

1. Calca las figuras y recórtalas por la línea punteada. Luego, ubica los ángulos exteriores recortados demanera que coincidan los vértices, ¿Qué se forma en cada caso?

2. Completa el valor que debe tener el tercer ángulo, según sea el caso.

3. Determina el valor del ángulo x en los siguientes triángulos y cuadriláteros, sin medir.

Ángulos exteriores del triángulo

100° 150°

83,5° 174,25°

90° 115°

Ángulos exteriores del cuadrilátero

78,8° 135° 98º

90° 90° 90°

156,75° 89,5° 65°

a) c)

b) d)

Si L1 // L2 // L3, calcula la medida de los ángulos x, z e y.

MI PROGRESO

100°

60°A B

C

78° 65°

79°

23°

136°

x

129°

73°

91°

65°

64°

72°L1

L2

L3

x

x

x

y

z

x

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154 Unidad 6

Observa la estrategia que se utiliza para resolver la siguiente situación.Don Ernesto plantó tomates y lechugas en su huerta, la cual tiene forma similar a un trapecio:

¿Cuál es la medida del ángulo EFA en el terreno donde se plantaron lechugas?


La huerta tiene forma similar a un trapecio ACDF, donde AC // FD.En el terreno representado por el cuadrilátero ABEF se plantaron lechugas y en el terrenorepresentado por el cuadrilátero BCDE, tomates.El ángulo DEB mide 47°.El ángulo FAB mide 73°.Los ángulos alternos internos tienen igual medida.La suma de los ángulos adyacentes es 180°.La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°.

• ¿Qué debes encontrar?La medida del ángulo EFA del terreno en el cual se plantó lechugas.


Como los ángulos FEB y DEB son adyacentes, podemos calcular la diferencia entre 180° y 47°para conocer la medida del ángulo FEB.La medida del ángulo EFA corresponde a la diferencia entre 360º y la suma de los ángulosABE, BEF y FAB (por ser ángulos interiores de un cuadrilátero).

Resolver

ResponderEl ángulo EFA del terreno en que don Ernesto plantó lechugas mide 107°.

RevisarPuedes comprobar sumando los ángulos interiores del cuadrilátero que representa el terrenodonde se plantaron lechugas, el resultado debe ser 360º.

180 133 360– 47 + 47 – 253133 73 107

253Suma de losángulos ABE,

BEF y FAB

Medida delángulo EFA

Medida delángulo FEB

A B C

DEF

73°

47°

Lechugas Tomates

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Unidad 6

155Ángulos


a) Una empresa de ferrocarriles desea construir una línea de tren desde Temuco a Osorno. Al

diseñarla se dieron cuenta de que se cruzaría con otra línea de tren. Observa cómo se

intersectan las dos líneas:

¿Qué error están cometiendo en el diseño?

b) Observa la distribución de las siguientes calles y comprueba si hay al menos un par de ellas

que sean paralelas.

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución,explícala, paso a paso, y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras.

3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimientoque utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?

a) Un agricultor desea sembrar dos filas paralelas de zanahorias y otra fila que las atraviesa de

betarragas. ¿Cuánto debe medir el ángulo x para que las filas de las zanahorias sean

realmente paralelas?

122°

x

78°

138°

51° 42°

Calle 1

Calle 2

Calle 3 Calle 4

56°

Betarragas

Zanahorias

Zanahorias

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CONEXIONES

156 Unidad 6

Geometría y arte

El pintor ruso Vasily Kandinsky es

considerado el pionero del arte abstracto y

uno de los artistas más influyentes del siglo

XX. Uno de sus períodos más importantes

comienza en 1922, cuando se une a la

afamada escuela Bauhaus, de Alemania,

incorporando en sus obras formas

puramente geométricas que lo hicieron

famoso en todo el mundo. Así, en sus

cuadros más célebres podemos ver desde

círculos que monopolizan telas, hasta

triángulos, cuadrados, rectas y ángulos que

adornan sus trabajos más aplaudidos.

TENDENCIAS

http://www.babab.com/no07/wassily_kandinsky.htm

http://www.ibiblio.org/wm/paint/auth/kandinsky/

Formen un equipo de trabajo y desarrollen las siguientes actividades:

1. ¿Qué elementos geométricos estudiados durante esta unidad observas enesta obra de Kandinsky? Anótenlos en una hoja. Describan cada uno deellos en cuanto a los ángulos que se forman.

2. Elijan otras 2 obras de Kandinsky e identifiquen en ellas al menos tres figuras geométricasque haya utilizado.

3. Creen una obra propia, que contenga: ángulos, ángulos entre paralelas, triángulos ycuadriláteros.

Wassily Kandinsky, Composición VIII. Detalle.

U6 138-159 7/1/09 11:45 Página 156

Unidad 6

157Ángulos

SÍNTESIS

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad, responde en tu cuaderno las siguientespreguntas:

a) ¿Qué unidad de medida se utiliza para expresar la amplitud de los ángulos?

b) Si las medidas de tres ángulos son 17°, 89,3° y 151°, ¿qué tipo de ángulos es cada uno deellos?

c) ¿Cómo se construyen ángulos?, ¿qué elementos son necesarios conocer para construirlos?

d) ¿Qué ángulos se forman entre rectas paralelas cortadas por una transversal? Realiza un dibujoexplicativo.

e) Si dos de los ángulos interiores de un triángulo miden 64° y 39°, ¿cuánto mide el ánguloexterior del tercer ángulo? Justifica.

A continuación te invitamos a realizar un trabajo colaborativo, en el cual aplicarán losprincipales contenidos estudiados en la unidad. Para esto sigan las instrucciones:

1. Formen grupos de tres integrantes.

2. A partir de los siguientes temas, inventen 15 preguntas relacionadas con el trabajorealizado durante la unidad.

a) Clasificación de ángulos.

b) Medición de ángulos usando transportador.

c) Medición de ángulos usando herramientas tecnológicas.

d) Cálculo de ángulos entre paralelas cortadas por una transversal.

e) Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros.

f) Ángulos exteriores de triángulos y cuadriláteros.

3. Las preguntas deben escribirlas en pequeñas tarjetas de cartulina de 10 cm • 5 cm. Alreverso de las tarjetas escriban las respuestas de cada una de las preguntas.

4. Cuando hayan finalizado, deben entregar las tarjetas al profesor (o profesora) para que lasrevise. Luego, deben intercambiarlas con otro grupo y hacerse las preguntas entreustedes.

5. Es importante que anoten la cantidad de preguntas contestadas de manera correcta eincorrecta. En caso de que hayan respondido incorrectamente, vuelvan a contestar,revisando los apuntes del cuaderno o del libro.

f) Si dos de los ángulos interiores de un cuadrilátero miden 129° y 102°,respectivamente, y el ángulo exterior del tercer ángulo mide 95°,¿cuánto mide el ángulo interior del cuarto ángulo? Justifica.

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158 Unidad 6

¿QUÉ APRENDÍ?

1. ¿Cuál de los siguientes tríos de ángulos NOpueden corresponder a las medidas de los ángulosinteriores de un triángulo?A. 27°, 35°, 118°

B. 80°, 60°, 40°

C. 75°, 75°, 30°

D. 28°, 49°, 102°

2. Si dos ángulos exteriores de un triángulo miden

65° y 100°, ¿cuánto mide el tercer ángulo

exterior?A. 15°

B. 105°

C. 165°

D. 195°

3. Si las medidas de los ángulos interiores de un

cuadrilátero son 90º, 75° y 65°, ¿cuánto mide el

ángulo interior restante?A. 30°

B. 50°

C. 130°

D. 180°

4. Determina en qué caso NO siempre son iguales las

medidas de los ángulos.A. Ángulos adyacentes

B. Ángulos opuestos por el vértice

C. Ángulos alternos internos

D. Ángulos alternos externos

Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta enlas actividades 1 a la 8.

5. Un ángulo que mide 200º es:

A. un ángulo extendido.

B. un ángulo obtuso.

C. un ángulo cóncavo.

D. un ángulo completo.

Para las preguntas 6, 7 y 8 utiliza la siguientefigura:

6. ¿Cuál es la medida del ángulo α?

A. 33°

B. 47°

C. 80°

D. 100°

7. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A. 33°

B. 47°

C. 80°

D. 100°

8. ¿Cuál es la medida del ángulo y?A. 33°

B. 47°

C. 80°

D. 100°

L1

L2

L3

33°x

y

α47°

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159Ángulos

Unidad 6

9. Mide los siguientes ángulos, usando el transportador. Luego, clasifícalos.

10. Construye en tu cuaderno ángulos con las siguientes medidas.





¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

a)



b)

c)

d)

a) 73°

b) 107°

Clasificación de ángulos.

Medición de ángulos usando el transportador.

Ángulos entre paralelas.

Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros.

Ángulos exteriores en triángulos y cuadriláteros.


c) 216°

d) 25°

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UNIDAD

7

160 Unidad 7

Datos y azar

• Leer e interpretar información entregada en tablas.• Leer e interpretar información entregada en gráficos de barras

comparadas y en gráficos de líneas.• Construir gráficos de barras comparadas y de líneas.• Usar tablas y gráficos, y analizar las variables.• Conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento.


U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 160

161Datos y azar

CONVERSEMOS DE...

La lectora de las noticias está hablando de un tema muy común enestos días: el precio de algunos productos de consumo básico en loshogares chilenos. Ya habrás escuchado hablar sobre el alza de lamayoría de los precios, principalmente de productos alimenticios ycombustibles. Los factores que afectan estas alzas de los precios sonvariados.

Analiza la información entregada por la imagen y luego responde:

• En la pantalla que acompaña a la lectora de noticias aparece ungráfico, ¿qué información está entregando ese gráfico?, ¿es fácilde comprender?

• ¿Consideras que el gráfico es una buena forma de presentar algúntipo de información?

• Da ejemplos de temas que hayan sido explicados con gráficos,puedes buscar en revistas o diarios.

• La lectora de noticias dice que los expertos afirman que es muyprobable que las alzas de los precios sigan en aumento. ¿Quéentiendes, cuando se dice que algo es muy probable?, ¿en qué sebasarán para decir que algo es muy probable o improbable?

• Da un ejemplo de algo que sea improbable que ocurra.• ¿Por qué crees que el alza de los precios es un tema tan importante

para nuestra sociedad?

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 161

¿CUÁNTO SABES?

162 Unidad 7

Recuerda lo que aprendiste anteriormente y resuelve los siguientes ejercicios en tucuaderno.

1. La siguiente tabla muestra el número de salas de cine y el número de funcionesdadas en algunas regiones durante el año 2004. Analiza los datos y luegoresponde.

2. De la tabla de datos presentada en la pregunta anterior, construye en tucuaderno un gráfico de barras que represente el número de salas de cine porregión.

3. A partir de la siguiente tabla de datos construye un gráfico de barras.

Región Nº de salas Nº de funciones

Antofagasta 12 18 273

Coquimbo 7 9418

Valparaíso 41 44 069

Maule 13 12 501

Biobío 24 32 580

Araucanía 11 10 621

Metropolitanade Santiago 175 277 443

Fuente: http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/encuestas_consumo_cultural/pdf/cutura2004.pdf (consultado en abril de 2008)

De las regiones presentadas en la tabla:

a) ¿Cuál es la que tiene el menor número de salas de cine?

b) ¿Cuál es la que tiene el mayor número de salas de cine?

c) ¿Cuáles son las dos que tienen el menor número de funciones de cine?

d) ¿Puedes afirmar que mientras mayor es el número de salas de cine, mayorserá el número de funciones? Justifica tu respuesta.

AñoPrecio promedio kilogramo

de pan corriente ($)

2007 676

2006 597

2005 578

2004 573

2003 571

2002 526

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 162

163Datos y azar

• Todo tipo de información puede organizarse en una tabla de datos y ser representada enalgún tipo de gráfico.

• El gráfico de barras se utiliza para representar información recogida desde una tabla dedatos.

• El gráfico de barras nos permite analizar información numérica y comparar categorías.



4. El siguiente gráfico de barras nos muestra los valores promediosalcanzados por el litro de leche líquida durante los meses del año 2007.

5. El siguiente gráfico de barras fue construido a partir deuna encuesta realizada a 45 niños de un 5º Básico, en laque se les preguntó por la actividad que más les gustarealizar cuando están en sus casas. Los resultados semuestran en el siguiente gráfico de barras. A partir de él,completa en tu cuaderno la tabla de datos.

Valor promedio litro deleche líquida

Precio promedio del litro de leche

0

100

200

300

400

500

600

700

ener

o

febr

ero

mar

zo

abril

may

o

juni

o

julio

agos

to

sept

iem

bre

octu

bre

novi

embr

e

dici

embr

e

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

salir

ala

cal

le ver

tele

visi

ón

escu

char

mús

ica

leer

a) ¿Cuál o cuáles son los meses en que el litro de leche estuvo más caro?

b) ¿Cuál o cuáles son los meses en que el litro de leche estuvo más barato?

c) ¿Entre qué meses ocurrió la mayor alza en el valor de la leche?

d) En relación al precio de la leche en el año 2007, ¿qué podrías concluir?

Actividad Nº de niños

Actividades preferidas porlos niños del 5º Básico A


Valor en pesos

Meses

Actividades

Númerode niños

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164 Unidad 7

En una escuela ubicada en el norte de Chile, hay dos 5º Básicos. Amboscursos se propusieron juntar dinero realizando diferentes actividades,como vender queques en los recreos y hacer bingos, entre otras, parahacer una fiesta de fin de año en conjunto. A continuación podrán ver un gráfico de barras comparadas quemuestra el dinero reunido por cada curso en cada mes.

Lectura e interpretación de información

Ahora podrán ver para cada curso un gráfico de líneas que muestra laevolución del dinero reunido durante el año 2008.

0

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

30 000

35 000

mayo junio julio agosto septiembre octubre

5º A

5º B

Dinero reunido durante el año 2008por el 5º Básico A y el 5º Básico B

0

5000

40 000

20 000

15 000

10 000

35 000

30 000

25 000

may

o

juni

o

julio

agos

to

sept

iem

bre

octu

bre

Dineroreunido ($)

Meses

Dinero reunido durante elaño 2008 por el 5º Básico A dinero

reunidoen el mes

0

5000

40 000

20 000

15 000

10 000

35 000

30 000

25 000

may

o

juni

o

julio

agos

to

sept

iem

bre

octu

bre

Dineroreunido ($)

Meses

Dinero reunido durante elaño 2008 por el 5º Básico B

Dineroreunido ($)

Meses

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 164

165Datos y azar

PARA DISCUTIR

• Según la información que se presenta en el gráfico de barrascomparadas, ¿en qué meses, el 5º Básico A reunió más dinero que el 5ºBásico B?, ¿y en qué meses, el 5º Básico B reunió más dinero que el 5ºBásico A?

• ¿En qué mes se presenta la mayor diferencia de dinero entre amboscursos?, ¿cómo puedes determinar esto a partir del gráfico de barrascomparadas?

• Si observan la tabla de datos, ¿cuál de los dos cursos reunió másdinero?, ¿cómo lo calcularon?

• Si observan el gráfico, ¿pueden saber con exactitud el total del dineroreunido por cada curso?

• Si analizan los gráficos y comparan la cantidad de dinero ganadorespecto del mes anterior, ¿en qué meses hubo un aumento?, ¿y encuáles hubo una baja?, ¿cómo lo averiguaron?

• ¿En qué mes se reunió menos dinero en ambos cursos?, ¿por qué creenque ocurrió esto?

• El gráfico de barras comparadas es también conocido como gráfico de barras doble, nospermite relacionar y comparar dos o más categorías de datos similares.

• El gráfico de líneas se utiliza para mostrar la tendencia de una variable en un determinadoperíodo de tiempo.

NO OLVIDES QUE...

EN TU CUADERNO

1. La doctora Gabriela recibió cuatropacientes de 11 años, para ayudarlos abajar de peso. Observa en el gráficolos resultados que obtuvo.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Domingo Tomás Francisco Pedro

Peso inicial

Peso final

Resultados entratamiento para bajar

de pesoPesoen kg

Pacientes

a) ¿Cuál o cuáles de los pacientes pesaba alinicio del tratamiento más de 100 kg?, ¿ycuál logró bajar más de peso durante eltratamiento?, ¿cómo puedes saberlo?

b) ¿Cuál de los pacientes bajó menos depeso durante el tratamiento?

c) Según los datos del gráfico, construyeuna tabla de datos y compárala con la detus compañeros y compañeras.

d) ¿Se puede representar esta informaciónen un gráfico de barras simples? Justifica.

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 165

166 Unidad 7

a) Al analizar este tipo de gráficos en el tratamiento de cada niño, ¿qué tendencia observas en cadauno de ellos?

b) Si una persona se somete al tratamiento y en vez de bajar de peso, sube, ¿cómo sería la gráfica?

c) ¿Para representar los datos entregados en cada gráfico, se podría haber utilizado un gráfico debarras simple?, ¿por qué?

d) Para ver claramente cómo varía el peso de cada paciente, de un mes a otro, qué será mejor: ¿ungráfico de barras o de líneas?

a) ¿Qué semejanzas hay entre un gráfico de barras comparadas y uno de líneas? Justifica.

b) ¿En qué se diferencian los tipos de gráficos trabajados en estas páginas?

2. Los siguientes gráficos representan la evolución que tuvo cada paciente en el transcurso deltratamiento.

3. Piensa y responde según lo que observaste en el desarrollo de las actividades anteriores.

0

50

100

150

ener

o

febr

ero

mar

zo

abril

Pesoen kg

Meses entratamiento

Evolución de Domingo

0

20

80

60

40

100

ener

o

febr

ero

mar

zo

abril

Pesoen kg

Meses entratamiento

Evolución de Tomásregistrodel peso

0

20

80

120

100

60

40

ener

o

febr

ero

mar

zo

abril

Pesoen kg

Meses entratamiento

Evolución de Francisco

0

20

80

60

40

100

120

ener

o

febr

ero

mar

zo

abril

Pesoen kg

Meses entratamiento

Evolución de Pedroregistrodel peso

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 166

167Datos y azar

4. Observa el gráfico de líneas y luego responde.

10 11 12 13 14 15Tiempo (horas)

Temperatura (ºC)

30

25

20

15

10

5

TEMPERATURAS REGISTRADAS DURANTE 6 HORAS

14

12

10

8

6

4

2

0

21/0

7

22/0

7

Índ

ice

Días

23/0

7

24/0

7

25/0

7

26/0

7

27/0

7

28/0

7

29/0

7

30/0

7

5 5 5 5 5 5 56

4

Extremo

Muy alto

Alto

Moderado

Bajo

5. Observa el siguiente gráfico que muestra el índice de radiación UV (ultravioleta) en Iquique durante10 días y luego, responde:

a) ¿Qué temperatura se registró a las 11 de la mañana?

b) ¿A qué hora se registraron 25 grados?

c) ¿A qué hora se registró la temperatura más baja?

d) ¿Cuál es la temperatura promedio de las últimas 5 horas?

e) Construye una tabla de frecuencias que resuma la información del gráfico.

a) ¿Qué día se registró el mayor índice UV?

b) ¿A qué tipo de gráfico corresponde?

c) ¿En qué valor del índice se mantiene la tendencia?

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 167

168 Unidad 7

Construcción de gráficos

PARA DISCUTIR

• ¿Cuál sería el tipo de gráfico más apropiado que utilizarías para graficarla información entregada en la tabla?

• Según lo revisado en la unidad, júntate con dos compañeros ycompañeras y elijan el tipo de gráfico que consideren más adecuado.Constrúyanlo.

• ¿Cómo construyeron el gráfico?, ¿en qué cosas se fijaron para hacerlo?• Presenten al curso sus gráficos y comparen lo que hicieron con el resto

de sus compañeros y compañeras.

En un colegio se realizaron las elecciones para el centro de alumnos. Las listas presentadas fueron: lista A1 y lista B2. El equipo encargado de contar, ordenar y presentar el conteo final,está muy complicado en dar a conocer los resultados en un gráfico, porlo que inicialmente construyeron la siguiente tabla de datos.

EN TU CUADERNO

1. Observa el siguiente gráfico y luego responde.

Lista 8º Básico 1º Medio 2º Medio 3º Medio Total

A1 44 47 58 37 186

B2 36 33 22 43 134

En una encuesta que fue realizada a niños, jóvenes y adultos, se les preguntó: ¿Le gusta la comidachatarra? Los resultados fueron ordenados en la siguiente tabla, y luego, presentados en un gráfico.

a) ¿Fue construido correctamente? Justifica.

b) ¿Puedes representar estos datos en un gráfico circular? Explica.

c) ¿Qué puedes decir de la tendencia de la cantidad de personas que les gusta la comida chatarra?Justifica.

d) ¿Qué elementos faltan en este gráfico? Justifica por qué son necesarios para interpretarcorrectamente el gráfico.

¿Le gusta la comida chatarra?

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 168

169Datos y azar

3. El uso del computador, se ha hecho cada vez más necesario y acceder a él es ahora más fácil. Acontinuación, podrás ver una tabla de datos que muestra el promedio del precio de un computadoren el transcurso de 5 años.

4. En la siguiente tabla, se muestran los resultados sobre el tiempo destinado a las vacaciones por losjóvenes chilenos el verano de 2003.

a) ¿Cuál sería el gráfico que utilizarías para representar los datos de la tabla anterior?

b) Construye el gráfico y luego, compáralo con los realizados por tus compañeros.

a) ¿Qué tipo de gráfico es el más adecuado pararepresentar esta información?

b) Construye el gráfico. Recuerda incluir todoslos elementos necesarios para interpretarlocorrectamente.

Año 2003 2004 2005 2006 2007

Precio promediode un computador

250 000 222 000 208 000 186 000 157 000

2. Observa la siguiente tabla y el gráfico correspondiente, y luego responde:

En una encuesta que fue realizada a niños, jóvenes y adultos, se les preguntó: ¿Cuál es su lugarfavorito para pasar las vacaciones? Los resultados fueron ordenados en la siguiente tabla, y luegopresentados en un gráfico.

a) Según los datos de la tabla, ¿el gráfico fue construido correctamente? Justifica.

b) ¿Faltan elementos en este gráfico? Explica.

c) Construye en tu cuaderno un gráfico de barras que represente los datos de la tabla. ¿En qué sediferencia del gráfico construido aquí?

d) ¿Qué se necesita corregir en el gráfico para que represente fielmente los datos de la tabla?

Lugar Frecuencia absoluta

Mar 240

Lago 120

Campo 200

Montaña 160

Desierto 80 0

50

100

150

200

250

mar

lago

cam

po

mon

taña

desi

erto

Lugares favoritos paralas vacaciones

Duración de las vacaciones CantidadMenos de una semana 46Una semana 83Dos semanas 112Tres semanas 54Un mes 58Más de un mes 62

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 169

170 Unidad 7

Para la construcción de cualquier tipo de gráfico, podemos utilizar un programa computacional quetiene múltiples aplicaciones. A continuación aprenderemos a utilizar una de ellas:

Construcción de gráficos.

PASOS PARA CONSTRUIR UN GRÁFICO DE BARRAS COMPARADAS EN EL PROGRAMA EXCEL:

1º Al ingresar a esta planilla de cálculo, copia los datos entregados en la tabla de la página 168.

2º Selecciona los datos de tu tabla y luego presiona el ícono , el cual te llevará a una pantallaque te pedirá elegir el tipo de gráfico, en este caso elegiremos el primero: Columnas.

3º Luego presiona la opción Siguiente, ingresarás a una pantalla que te mostrará el Rango dedatos que has seleccionado. Puedes elegir la Serie que sea mostrada, haciendo clic enSiguiente.

4º Pasarás así a la nueva pantalla que te permitirá escribir el Título del gráfico, y nombrar el Ejevertical y Eje horizontal. Esta pantalla te permitirá eliminar o añadir Líneas de división,disponer la Leyenda en distintas posiciones, Rotular los datos y poner o no la Tabla dedatos en la gráfica.

5º Por último, al presionar Siguiente tendrás la opción de elegir si el gráfico se inserta dentro deldocumento donde tienes tus datos como un objeto, o bien agregarlo a una nueva hoja.


U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 170

171Datos y azar

Para construir un gráfico de barras comparadas o lineal, puedes seguir estos pasos:Paso 1: Escribir el título del gráfico. Paso 2: Dibujar el eje horizontal y vertical. Luego, nombrarlos. Paso 3: Indicar la escala de las cantidades correspondientes (eje vertical) y los valores de las

variables (eje horizontal). Paso 4: En un gráfico de barras comparadas: simbolizar las subcategorías, con algún color.

En un gráfico de líneas: marcar con un punto la posición que corresponda. Paso 5: En un gráfico de barras comparadas: representar los datos de una tabla en un

gráfico.En un gráfico de líneas: unir con líneas rectas cada uno de los puntos en forma consecutiva.Por ejemplo,

NO OLVIDES QUE...

La siguiente tabla muestra la cantidad vendida de 2 tipos de cuadernos por cuatrotiendas.

MI PROGRESO

1. ¿Qué tipo de gráfico es el más apropiado para representar esta información?Justifica y luego construye el gráfico.

2. ¿Qué tienda fue la que vendió más cuadernos en total?, ¿cuál fue la que vendióla mayor cantidad de cuadernos cuadriculados?, ¿y la que vendió la menorcantidad de cuadernos de composición?

Tipo de cuaderno Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4

Cuadriculado 35 20 40 35

Composición 30 30 20 10

0

10

20

30

40

50

60

8ºBásico

1ºMedio

2ºMedio

3ºMedio

votos lista A1

votos lista B2

0

100 000

200 000

300 000

2003

2004

2005

2006

2006


AñoCursos

votosGráfico de barras comparadas Gráfico de líneas

preciopromedio

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172 Unidad 7

Tipos de variablesEl centro de alumnos del colegio de David realizará una encuesta paraobtener algunos datos sobre los y las estudiantes. Para tener losresultados más rápidamente, elegirán al azar solo algunos alumnos decada curso. En la encuesta las preguntas se organizaron en dos grupos.

PARA DISCUTIR

Respondan las preguntas anteriores. Y luego, lean atentamente lassiguientes preguntas para responderlas.• ¿Qué características tienen en común las respuestas que dieron al

primer grupo?• ¿Qué características tienen en común las respuestas que dieron al

segundo grupo?

Como puedes observar, las respuestas del primer grupo corresponden aatributos o categorías. En cambio, las respuestas del segundo grupo secaracterizan por ser valores numéricos. En general, las variables estadísticas se pueden clasificar en:

• Variables cualitativas (o categóricas): son aquellas que responden aun atributo o categoría.

• Variables cuantitativas (o numéricas): son aquellas que se puedenexpresar mediante números. Además, las variables cuantitativas sepueden clasificar en dos grupos distintos:- Variables discretas: son aquellas que provienen del resultado decontar, por ejemplo, la cantidad de hermanos, el número de vecesque toma agua al día, etc. (no pueden tomar valores intermedioscomo “1,5 hermanos”).

- Variables continuas: son aquellas que provienen del resultado demedir, por ejemplo, la estatura, el peso, el tiempo defuncionamiento de un artefacto, etc. (pueden tomar valoresintermedios).

El nombre que más te gusta: .

Tu color preferido: .

El mejor compañero del curso: .

La asignatura que más te gusta: .

Horas diarias que estudias: .Número de hermanos: .Número de veces que tomas agua al día: .Peso: . Estatura: .

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173Datos y azar

EN TU CUADERNO

1. Indica si las siguientes variables son cualitativas o cuantitativas. En el caso de ser cuantitativas,clasifícalas en discretas o continuas.

2. Para cada tipo de variable escribe un ejemplo.

a) Sexo de una persona.

b) Tiempo de espera en una fila.

c) Color de ojos.

a) Cualitativa

Una de las primeras tareas que realizó una bibliotecaria fue clasificar todos lostextos literarios en: cuentos, novelas, drama, acción. Como resultado de su ordenobtuvo lo siguiente:

MI PROGRESO

1. La bibliotecaria ¿graficó correctamente los datos registrados en la tabla?, ¿por qué?

2. ¿Cuál es la variable que se podría estudiar en esta situación? Justifica.

3. ¿Qué tipo de variable es?, ¿por qué?

4. Si es cuantitativa, ¿es discreta o continua? Justifica.

Tipo de texto literario Nº de libros

Cuento 85

Novela 70

Drama 43

Acción 280

20

40

60

80

100

Cue

nto

Nov

ela

Dra

ma

Acc

ión

nº delibros

Nº de libros en labiblioteca

c) Cuantitativa continuab) Cuantitativa discreta

d) Nivel socioeconómico.

e) Duración de una llamada telefónica .

• En el siguiente esquema se muestra la clasificación de las variables estadísticas.

NO OLVIDES QUE...

Variables Discretas

Continuas

si es una categoríao clasificación

si es unconteo

si es unamedición

si se puedecontabilizar

Cualitativas

Cuantitativas

Númerode libros

Tipo detexto literario

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174 Unidad 7

Probabilidad de ocurrencia de un evento(seguro, posible, imposible)

En el colegio de Mariana se celebró una kermés familiar, donde hubodiferentes entretenciones. A Mariana le gustó el local en el que habíajuegos de azar (juegos en los cuales no se puede predecir el resultado). El juego que atrajo a más personas fue la ruleta de colores. Consistía enun círculo dividido en 4 partes iguales. Cada parte estaba pintada deun color distinto: amarillo, azul, verde y rojo. Mariana jugó mucho rato en la ruleta, ganando distintos tipos depremios.

PARA DISCUTIR

• ¿Conoces juegos de azar? Menciona aquellos que conozcas.• Si Mariana juega una vez en la ruleta, ¿qué color es más probable que

acierte?• ¿Es posible que Mariana acierte al color blanco en la ruleta? Justifica. • Si las cuatro partes de la ruleta son de color rojo, ¿podemos afirmar

que con seguridad que acertará en ese color?, ¿por qué?

EN TU CUADERNO

1. Dibuja la siguiente ruleta en tu cuaderno, con sus respectivos colores, y luego responde.

a) ¿Cuántos son los resultados posibles al tirar la ruleta?¿Cuáles son estos?

b) ¿Se puede afirmar que al lanzar la ruleta una primeravez, la flecha atinará en el color azul?

c) Al lanzar la ruleta una vez, ¿podemos decir que esseguro, posible o imposible que la flecha atine en elcolor amarillo? Justifica.

d) ¿Es posible que la flecha acierte en el color rojo?, ¿porqué?

e) Compara tus respuestas con las de tus compañeros ycompañeras.

2. Dibuja tres ruletas similares a esta, en tu cuaderno. Píntala, según lopedido en las claves, de modo que al lanzar una vez la flecha acierte en elcolor rojo.

a) seguro

b) imposible

c) posible

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175Datos y azar

4. Una bolsa contiene 5 bolitas rojas, 6 verdes y 7 amarillas. Determina en cada caso si el evento esseguro, posible o imposible.

3. Copia las siguientes afirmaciones en tu cuaderno y complétalas con alguna de las siguientes palabras:seguro, posible o imposible, según corresponda.

a) Al lanzar un dado, es que el resultado sea un número par.

b) Al lanzar un dado, es que el resultado sea 6.

c) Al lanzar un dado, es que el resultado sea 7.

d) Al lanzar una moneda, es que el resultado sea cara.

e) De una bolsa con 10 fichas rojas y 5 fichas verdes, es sacar una ficha café.

f) De una caja donde hay solo tiza blanca, es sacar tiza blanca.

g) En un partido de fútbol entre Colo–Colo y U. de Chile, es que gane el Colo–Colo.

h) En una prueba de Matemáticas, es que te saques un 7,5.

i) Si juegas al loto es que ganes.

• Cuando se habla de probabilidad, nos referimos a la posibilidad de que una situación,suceso o evento ocurra.

• Cuando un suceso o evento es seguro, quiere decir que ese resultado siempre ocurrirá.

• Cuando se habla de un suceso o evento posible, quiere decir que ese resultado puedeocurrir como no.

• Cuando un suceso o evento es imposible, quiere decir que ese resultado nunca ocurrirá.

NO OLVIDES QUE...

a) Sacar dos bolitas del mismo color.

b) Sacar tres bolitas rojas.

c) Sacar una bolita azul.

d) Sacar una bolita de cualquier color.

e) Sacar dos bolitas de distinto color.

f) Sacar una bolita que no sea negra.

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176 Unidad 7

En un concurso de televisión, que regala un auto cero kilómetros, elfinalista tiene dos posibilidades de escoger de entre 10 llavesnumeradas en un tablero. Su nerviosismo es grande y el público delestudio le dice que elija la llave 5. Él la elige y lamentablemente pierde.En su segunda opción, angustiado, le pide al animador que lo ayude. Elanimador solo le dice que el número de la llave ganadora es unnúmero par. El concursante elige la llave número 2 y se juega su últimaposibilidad de ganar el automóvil.

PARA DISCUTIR

• ¿Qué “tan probable” es que el concursante se gane el auto? Justifica turespuesta.

• Si el concursante elige un número impar, en vez de elegir el número 2,¿es probable que gane el auto?

• Una vez que el concursante eligió la llave número el 5, y no acertó, si elanimador le hubiera dicho que la llave correcta era un número impar,¿era más o menos probable que ganara el auto?

EN TU CUADERNO

1. Al lanzar un dado tienes 6 diferentes posibilidades de resultados, es decir, te puede salir 1, 2, 3, 4, 5 ó6. Determina si es “improbable”, “más probable”, “menos probable” o “igualmenteprobable”, en cada caso.

a) Obtener un número menor que 6.

b) Obtener el 1.

c) Obtener un número impar.

Probabilidad de ocurrencia de un evento(probable, improbable)

d) Obtener un número par.

e) Obtener un número mayor que 0.

f) Obtener el 8.

• La probabilidad de que ocurra un evento, también se puede interpretar como que elevento es probable, improbable o imposible.

• Se dice que un evento o suceso es imposible, cuando no puede ocurrir.

• Se dice que un evento es probable, cuando existe la probabilidad de que ocurra.

• Cuando se habla que un suceso o evento es probable, podemos decir que es más probable,cuando hay más posibilidades de que ocurra; que es menos probable, cuando hay menosposibilidad de que ocurra, o que es igualmente probable, cuando existe la mismaposibilidad de que ocurra como de que no ocurra.

NO OLVIDES QUE...

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177Datos y azar

En esta actividad deberán describir y fundamentar laprobabilidad de un evento o suceso. Formen grupos de 3integrantes y sigan las siguientes instrucciones.

EN EQUIPO

1. Recorten siete cuadraditos de 2 cm de lado de color rojo,cuatro de color azul y una de color verde (cada cuadraditocorresponde a una ficha).

2. Introduzcan las fichas recortadas dentro de la bolsa y muévanla, para que las fichas se mezclen.

3. Cada uno, en orden, saca una ficha, anota el resultado y luego la devuelve a la bolsa. Repetireste procedimiento 5 veces cada uno. Analicen los resultados y luego respondan:

Materiales:• Hojas de papel lustre

color rojo, azul y verde• Tijeras• Pegamento• Una bolsa pequeña de

color oscuro.

a) ¿Cuál de las fichas es la que tiene más posibilidades de ser extraída de la bolsa?, ¿y la quetiene menos posibilidad? Justifica en cada caso.

b) ¿Se puede afirmar que existe la misma posibilidad de sacar una ficha roja, azul o verde de labolsa?

c) Escriban un suceso en el que extraer una ficha sea improbable.

d) Escriban un suceso en el que sacar una ficha sea seguro.

e) ¿Cómo debería ser el juego de fichas, para que sea igualmente probable sacar una ficha decada color?

Responde en tu cuaderno.

1. ¿Cuál de los siguientes eventos es imposible? Justifica en cada caso.

a) Que una persona que juega ajedrez gane.

b) Que al lanzar una moneda, dé como resultado cara.

c) Que de una caja con fichas rojas se saque una ficha verde.

2. Se tiene una bolsa con 3 pelotitas amarillas, 2 pelotitas moradas y 3 pelotitasrojas. Dada esta situación, escribe:

a) un suceso improbable.

b) un suceso probable.

c) un evento que tenga igual posibilidad de ocurrir.

d) un evento seguro.

MI PROGRESO

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 177

Pedro, un estudiante de Geografía, necesita saber el número aproximado de habitantes decada región, para lo cual decidió ordenar la información en una tabla.


El número aproximado de habitantes de cada región diferenciado por sexo.

• ¿Qué debes encontrar?El número aproximado de habitantes de cada región.


Calcular el número aproximado de hombres y mujeres por región (te puedes ayudar conel uso de una regla). Ordenar los datos en una tabla y luego, sumar el número dehombres y mujeres para obtener el número total de habitantes en cada caso.

ResolverNúmero de habitantes aproximado:

Responder• El total aproximado de habitantes de cada región es: Antofagasta: 495 000; Valparaíso:

875 000; La Araucanía: 870 000; Los Lagos: 1 075 000

Revisar• Puedes comprobar ingresando al sitio web http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/censos

_población_vivienda/censo2002/mapa_interactivo/mapa_interactivo.htm (consultado enmayo de 2008) y verificar los valores obtenidos.


178 Unidad 7

Observa la estrategia que seutiliza para resolver la siguientesituación.

La siguiente tabla muestra lapoblación según el censo del2002 en cuatro regiones denuestro país, dividida por sexo.

Antofagasta0

100 000

200 000

300 000

400 000

500 000

600 000

700 000

Valparaíso LaAraucanía

Los Lagos

Población (censo 2002)Habitantes

Regiones

Hombres

Mujeres

Fuente: http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/censos_población_vivienda/censo2002/mapa_interactivo/mapa_interactivo.htm

Región Hombres Mujeres Total

Antofagasta 255.000 240.000 495.000

Valparaíso 420.000 455.000 875.000

La Araucanía 430.000 440.000 870.000

Los Lagos 540.000 535.000 1.075.000

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 178


a) El siguiente gráfico muestra el número de alumnos y alumnas que entró a la universidad el año

2007 y 2008 de un colegio de Santiago que tenía cuatro cuartos medios. Determina el número

total de alumnos y alumnas del colegio que ingresaron a la universidad en cada año.

b) El siguiente gráfico muestra los kilos de pan corriente y especial que venden en una panadería

de lunes a viernes. Determina el total de kilos de pan que se venden en una semana.

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución,explícala, paso a paso, y compárala por las usadas por tus compañeros y compañeras.

3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimientoque utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?

El siguiente gráfico muestra el número de asistentes a una obra de teatro en la función de la

mañana y de la noche, los días martes, jueves y viernes, en los que se representa la obra.

Determina el número total de asistentes en una semana.

Unidad 7

179Datos y azar

0

10

20

30

40

4º A 4º B 4º C 4º D

2007

2008

Nº de alumnos y alumnas que ingresó a la universidad

0

10

20

30

40

lunes martes miércoles jueves viernes

corriente

especial

Kilogramo de pan que vende la panadería

Número de alumnosy alumnas

Cuartos medios

Kilos de pan

Días

0

20

40

60

80

martes jueves viernes

tarde

noche

Asistentes a una obra

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 179

CONEXIONES

180 Unidad 7

Recomendaciones para disminuir elconsumo de agua en la casa

En tiempos en que los factores climáticos

están afectando la disponibilidad y acceso

al agua, tomar conciencia de que cada uno

debe aportar al cuidado de este recurso, es

vital para nuestra sociedad. Por esta razón,

aplicar algunas medidas tales como:

reutilizar el agua, “duchas cortas”, no dejar

“correr el agua” al regar o lavar la loza,

entre otras, son medidas que ayudarían a

reducir el consumo de agua doméstico,

aliviarían el presupuesto familiar y sería un

real aporte para nuestro país.

De acuerdo a cifras entregadas por la

Comisión Nacional del Medio Ambiente,

CONAMA, el consumo de agua de Chile es

el más alto de América Latina, con 15 000

litros diarios por persona.

La siguiente tabla, muestra el consumo

diario de agua potable de una persona que

vive en ciudad.

TENDENCIAS

Fuente: Miércoles 5 de marzo de 2008, La Segunda Internet.

Reúnete con 2 compañeros y compañeras, comenten y luego respondan.

a) ¿Qué medidas se podrían tomar para ayudar al cuidado del agua potable?

b) Construyan un gráfico de barras con los datos que se presentan en la tabla anterior, y luegorespondan: ¿en qué actividades consumimos más agua potable?, ¿cómo podemoscontribuir a que este nivel de consumo disminuya?

c) Si analizan una cuenta de agua potable, en ella podrán observar un gráfico de barras queindica los niveles de consumo mensual, comparen al menos dos cuentas. ¿En qué meses seconsume más agua potable?, ¿por qué creen que ocurre esto?

d) ¿Consideran probable o improbable que el agua potable en los próximos años sea unrecurso muy escaso? Justifiquen.

Fuente: http://www.explora.cl/otros/agua/consumo2.html (consultado en abril de 2008).

En la ducha (cinco minutos) 100 litrosEn la descarga del baño 50 litrosEn lavado de ropa 30 litrosEn lavado de loza 27 litrosEn el jardín 18 litrosEn lavar y cocinar alimentos 15 litrosOtros usos (como beber o lavarse las manos) 10 litros

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 180

Unidad 7

181Datos y azar

SÍNTESIS

Utilizando los conceptos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior,comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes preguntas:

a) ¿Puedes construir un gráfico a partir de una tabla?

b) ¿Puedes construir una tabla de datos a partir de un gráfico? Justifica.

c) ¿Qué diferencias se dan entre un gráfico de barras comparadas y un gráfico lineal?

d) Si deseas graficar la variación de un dato a lo largo del tiempo, ¿qué tipo de gráfico esconveniente construir?

e) Explica los pasos que seguirías para construir un gráfico de barras comparadas en el programaExcel.

f) ¿Un evento puede ser seguro e imposible a la vez?, ¿por qué?

g) ¿Qué características debe tener un suceso para que sea seguro?

A continuación se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos trabajados enesta unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con los siguientes términos:

DATOS Y AZAR

• Probable• Líneas

• Excel• Computador

• Barras comparadas

Tablas Gráficos

Papel, regla y lápiz

Seguro

Imposible

Improbable

LA INFORMACIÓN

PUEDE SER EXPRESADA EN

ESTOS PUEDEN SER

SE PUEDEN CONSTRUIR CON

UTILIZANDO EL PROGRAMA

SE ESTUDIA LA

QUE PUEDE SER

Probabilidadde un evento

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 181

1. ¿Quién obtuvo el mejor promedio en Lenguaje?

A. Paula.

B. Vania.

C. Natalia.

D. Verónica.

2. ¿Quién obtuvo mejor promedio en

Matemática?A. Paula.

B. Vania.

C. Natalia.

D. Verónica.

3. ¿Quién tiene el más bajo rendimiento?A. Paula.

B. Vania.

C. Natalia.

D. Verónica.

4. Para graficar la variación del precio de la bencina

en los últimos cinco años, ¿qué tipo de gráfico es

conveniente utilizar?A. Circular.

B. De barras comparadas.

C. De líneas.

D. De barras simples.

182 Unidad 7

¿QUÉ APRENDÍ?

Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta enlas actividades 1 a la 8.

5. ¿A qué tipo de variable estadísticacorresponde la estatura de una persona?

A. Cuantitativa discreta.

B. Cuantitativa continua.

C. Cualitativa.

D. Cualitativa discreta.

6. Al lanzar un dado, es más probable quesalga:

A. Un número par.

B. El número 6.

C. Un número menor que 7.

D. Un número menor que 6.

7. Si lanzas una moneda, se podría decir que laprobabilidad que dé como resultado cara es:

A. Seguro.

B. Improbable.

C. Igualmente probable que salga sello.

D. Imposible.

8. Tienes en una bolsa con diez caramelos.Cinco de ellos son rojos, tres son verdes ydos amarillos. ¿Qué tendría que ocurrir paraque sea seguro que salga un caramelo rojo?

A. Nada, porque hay más cantidad.

B. Que 8 sean de color rojo.

C. Que todos sean rojos.

D. Que ninguno sea rojo.

0

1

2

3

4

5

6

7Pa

ula

Vani

a

Nat

alia

Veró

nica

Lenguaje

Matemática

Promediode notas

Alumnas

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 182

183Datos y azar

Unidad 7

9. Don Ricardo tiene un taller mecánico. Su especialidad son autos ycamionetas. Necesita saber cuántos autos y camionetas ha arreglado en losúltimos seis meses, para así determinar los meses de más ganancias ytrabajo.A continuación observa la tabla que elaboró don Ricardo con la información:





¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo



Lectura e interpretación de información.

Construcción de gráficos.

Tipos de variables.

Probabilidad de ocurrencia de un evento (seguro,posible, imposible).

Probabilidad de ocurrencia de un evento (probable,improbable).


a) Construye en tu cuaderno un gráfico de barras comparadas con los datospresentados en la tabla.

b) ¿En qué mes se repararon más autos y camionetas en total?, ¿y menos?

c) Ordena los meses de menor a mayor, según la cantidad de arreglos de autosen total (autos y camionetas).

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Nº de autos 15 8 28 22 20 18

Nº de camionetas 9 3 25 17 18 12

U7 160-183 7/1/09 11:46 Página 183

184 Matemática 5

1. ¿Qué opción corresponde al perímetro de untriángulo equilátero?

A. a + b + cB. a + 2bC. a + a + cD. 3a

2. El rectángulo 1 mide 5 cm de largo y 9 cm deancho, y el rectángulo 2 mide 15 cm de largo y3 cm de ancho. ¿Qué relación existe entre susáreas?

A. El área del rectángulo 1 es mayor que la del 2.B. El área del rectángulo 1 es menor que la del 2.C. Son igualesD. No existe relación

3. Si el área de un rectángulo es 56 cm2 y superímetro 30 cm, ¿cuál es la medida de suslados?

A. 6 cm y 9 cmB. 7 cm y 8 cmC. 3,5 cm y 4 cmD. 5 cm y 6 cm

4. En la figura, L1 // L2 y el triángulo ABC es

equilátero. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A. 26°B. 51°C. 52°D. 103°

5. Tres de los ángulos interiores de uncuadrilátero miden: 89°, 76° y 156°. ¿Qué tipode ángulo es el cuarto?

A. Agudo.B. Recto.C. Obtuso.D. Cóncavo.

6. Para graficar los datos recogidos en unaencuesta sobre preferencias de programas deTV de hombres y mujeres, ¿qué tipo de gráficoes conveniente utilizar?

A. De líneas.B. Circular.C. De barras comparadas.D. De barras simples.

7. En una reunión de apoderados se vendieron 40números para una rifa. Si el señor Pérez fue elque compró más números, compró un total de 10,la probabilidad de que gane el señor Pérez es:

A. Segura.B. Igualmente probable que los demás

apoderados.C. Imposible.D. Muy probable.

8. ¿Qué porcentaje falta en el siguiente gráficocircular?

A. 38%B. 28%C. 35%D. 23%

I. Recuerda lo que aprendiste en las unidades 5, 6 y 7, y marca en tu cuaderno la alternativacorrecta.


28% 22%

15%

L1

L2A

B

C

Taller 3 21 x 27 31/12/08 12:24 Página 184



1. Mide con el transportador y clasifica los siguientes ángulos, según su medida:

2. La siguiente tabla de datos muestra el número de chalecos y mantas que vendió la señora Yolanda ensu negocio de La Ligua durante un fin de semana largo.

a) Construye un gráfico de barras comparadas con los datos presentados en la tabla.

b) ¿Qué día se vendieron más prendas (chalecos y mantas) en total?

c) ¿Qué día se vendieron menos prendas (chalecos y mantas) en total?

d) Ordena de menor a mayor los días, según la cantidad de ventas de chalecos.

e) Ordena de menor a mayor los días, según la cantidad de ventas de mantas.

3. Matilde quiere cambiar el piso de su sala de juegos por baldosas de forma cuadrada que miden 20 cmpor lado. El piso tiene forma rectangular cuyo ancho mide 2,2 m y el largo mide 3 m.

a) ¿Cuál es el área del piso en cm2?

b) ¿Cuántas baldosas debe utilizar para cubrir todo el piso?, ¿cómo lo calculaste?

c) Si se utilizan baldosas de forma cuadrada de 30 cm de lado, ¿se cubre todo el piso? Explica.

Días Chalecos Mantas

Jueves 7 5

Viernes 8 7

Sábado 15 12

Domingo 10 8

Taller 3 21 x 27 31/12/08 12:24 Página 185

5 3 4 5 9 1

+ 6 9 0 2 5

6 0 3 6 1 6

5 5 6 3 8 9

– 8 1 0 4 1

4 7 5 3 4 8

Página 12¿CUÁNTO SABES?1. a) 3749 c) 86 532

b) 805 070 d) 204 579

2. a) > c) > e) <b) > d) < f) >

3.

4. B

Página 135. a) $ 500 000. Cada número fue redondeado a la centena

de mil más próxima.b) $ 22 500. $ 8970 fue redondeado a la unidad de mil

más próxima y $ 13 450 fue redondeado a la centenamás próxima.

c) 370 000. 169 776 fue redondeado a la decena de milmás próxima y 200 458 fue redondeado a la centenade mil más próxima.

6. Pregunta abierta

Página 141. y 2. Preguntas abiertas

Página 153. a) Seis millones quinientos treinta y tres mil doscientos

cincuenta y cuatro.b) Siete millones seiscientos sesenta y ocho mil

setecientos cuarenta.c) Mayor, porque 7 000 000 es mayor que

6 000 000

4. a) Tres millones setecientos noventa y un mil cuatrocientossesenta y ocho.

b) Nueve millones treinta y siete mil quinientos ochenta yseis.

c) Veintisiete millones cuatrocientos treinta y cuatro milseiscientos cincuenta y cuatro.

d) Cincuenta y nueve millones trescientos setenta y uno.e) Cuatrocientos treinta y seis millones cincuenta y tres

mil novecientos noventa y nueve.f) Ochocientos ochenta y ocho millones ochocientos

ochenta y ocho mil ochocientos ochenta y ocho.

5. a) 35 283 109 e) 909 099 909b) 8 000 491 f) 990 700 568c) 628 399 145 g) 999 800 073d) 208 476 024

6. a) Pregunta abiertab) 87 654 210. Los números se deben ubicar de mayor a

menor, porque los valores de las posiciones disminuyen de izquierda a derecha.

EN EQUIPO1. a 5. Preguntas abiertas

Página 171. La cantidad de habitantes de Chile, según el último censo

es 15 116 435 (pueden encontrar otro dato, pero debencitar la fuente).

2. Mercurio: decena de mil; 90 000; cincuenta y sietemillones ochocientos noventa y cinco milMarte: centena de mil; 900 000; decena de mil;90 000; doscientos veintisiete millones novecientosnoventa milNeptuno: centena de mil; 900 000; decena de millón;90 000 000; cuatro mil cuatrocientos noventa y seismillones novecientos setenta y seis mil.

3. a) unidad de mil; 2000b) unidad de millón; 2 000 000c) decena de millón; 20 000 000

4. a) 6 000 000 d) 300 000 000b) 300 000 e) 20 000 000c) 10 000 000 f) 100 000 000

5. a) aumenta 495 000 unidadesb) disminuye 1800 unidadesc) aumenta 4 999 950 unidades

6. a) a e) Preguntas abiertas

Página 181. a) 73 184 569 b) 5 555 550 c) 3 060 300 702

Unidad 1: Números naturales

186 Matemática 5

Solucionario

Solucionario 21 x 27 31/12/08 12:22 Página 186

Planetas Distancia al Sol (km)

Mercurio 58 000 000

Venus 108 000 000

Tierra 149 000 000

Marte 228 000 000

Júpiter 778 000 000

Saturno 1 427 000 000

Urano 2 870 000 000

Neptuno 4 497 000 000

Fuente: Atlas de Chile y el mundo. 2007

Valoresaproximadoscenso 1992

Valoresaproximadoscenso 2002

Bicicleta 1 148 000 1 923 000

Moto o motoneta 38 000 66 000

Automóvil, station 520 000 916 000

Camioneta, van,jeep

150 000 353 000

Sin vehículo 1 814 000 1 680 000

b) Debe comprar la Van que cuesta $ 4 250 000.c) Debería comprar la camioneta que cuesta

$ 4 459 000.d) Pregunta abierta.

Página 231. a) < b) > c) <

2. a) 97 543 310 c) 987 764 210b) 100 135 567

3. a) Marte y Júpiterb) Saturno, Urano y Neptunoc) Mercurio, porque es el que tiene menos cifras, y por lo

tanto es el menor.d)

Página 251.

2. a) 16 000 000; 16 315 960b) 87 000 000; 87 527 465c) 81 000 000; 81 596 260d) 194 000 000; 194 094 099

3. Una ventaja es que puedes realizar un cálculo rápido, yuna desventaja es que el valor no es exacto.

Número Escribe eldígito de:

Su valorposicional es:

234 645 376 DMi: 3 30 000 000

798 300 577 UMi: 8 8 000 000

926 834 582 DM: 3 30 000

12 309 867 UM: 9 9 000

187Solucionario

$ 2 485 031

$ 7 083 172

$ 11 197 391

176 000406 000

2 066 0008 512 000

256 0001 099 000

3 761 000

248

708

1119

5

3

7

0

1

3

3

7

9

1

2

1

2.

Página 193.

4. a) 7 632 087 c) 70 333 199b) 9 000 805 d) 900 079 068

5. a) 5 DMi b) 9 DMi c) 9 UMi

MI PROGRESO1. 4 billetes de $ 10 000, 9 billetes de $ 1000,

1 moneda de $ 10, 7 monedas de $ 1.2. Trece millones ochocientos cuarenta mil setecientos

treinta y ocho.3. 8 centenas de mil = 800 000 y 8 unidades = 8

Página 21EN EQUIPO1. Pregunta abierta.

2.

3. Pregunta abierta.

4. a) El país con mayor superficie es Brasil y el con menor superficie es Uruguay.b) La superficie de Uruguay se encuentra a la izquierda de

la superficie de Brasil, porque es menor.

1. a)4 250 000

4 459 0004 780 000

4 990 000


2. a) América del Sur. b) Pregunta abierta.

Página 30

- Los resultados en las columnas de igual color son iguales.

- Siempre ocurre lo mismo, porque son propiedades de la

adición de números naturales.

Página 31

2. a) 597 391 000

b) 6 891 999 666

c) 2 784 391 013

MI PROGRESO

1. Sí, porque el resultado de todos los ejercicios es

12 840 075

2. La propiedad conmutativa de la adición:

6 839 235 + 6 000 840 = 6 000 840 + 6 839 235

La propiedad asociativa de la adición:

(7 191 284 + 4 566 730) + 1 082 061 =

7 191 284 + (4 566 730 + 1 082 061)

La propiedad del elemento neutro de la adición:

12 840 075 + 0 = 12 840 075

3. $ 2 850 000.

Se calcula restando $ 4 100 000 – $ 1 250 000.

Página 33


1. a) 16 963 nacimientos d) $ 2 979 000

b) $ 225 400 e) $ 12 003 000

c) $ 5 144 509


3. a) 3634 m

b) 50 000 personas.

c) El papá de Laura ha gastado $ 45 800 000. Le queda

$ 52 073 452. Podría comprar 8 casas.

Página 36

¿QUÉ APRENDÍ?

1. C 3. A 5. A 7. B

2. A 4. C 6. C 8. B

5 7 3 6 2 8 4

+ 1 2 5 5 1 3 9

6 9 9 1 4 2 3

6 9 9 1 4 2 3

– 1 2 5 5 1 3 9

5 7 3 6 2 8 4

4. a) Para comprar la casa A se necesita aproximadamente$ 17 000 000 y para comprar la casa B se necesita aproximadamente$ 28 000 000.

b) La casa C es aproximadamente $ 22 000 000 más caraque la casa B.

c) La diferencia de precio aproximada es$ 11 000 000.

d) Para comprar las tres casas se necesitaaproximadamente $ 95 000 000

MI PROGRESO1. a) Aumentó en 300 000 turistas.

b) mayor cantidad de turistas en 2005 y menor en 2002.

2. 1 700 000; 1 400 000; 1 600 000; 1 800 000;2 000 000. En total 8 500 000

3.

Página 271. a) 12 019 940 c) 128 877 889

b) 8 788 079

2.

3. a) 10 581 796. Se realizó una sustracción entre14 079 615 y 3 497 819.

b) 17 855 241. Se realizó una sustracción entre46 902 857 y 29 047 616.

c) 6 185 293. Se realizó una adición entre3 605 605 y 2 579 688.

d) 11 705 666. Se realizó una sustracción entre53 198 014 y 41 492 348.

4. a) 824 666 c) 12 973 931b) 55 030 000 d) 138 497 682

5. a) 5550 m. d) 7 345 445b) 63 523 432 e) 10 009 200c) 16 002 574

6. a) 845 518 b) 11 200 380 c) 255 005

Página 28EN EQUIPO1. a) 4 200 000 b) Pregunta abierta.

188 Matemática 5

1 400 000

1 600 000

1 700 000 2 000 000

1 800 000

a + b b + a (a + b) + c a + (b + c) a + 0 0 + b 0 + c

13 13 24 24 4 9 11

89 89 179 179 38 51 90

1092 1092 1314 1314 600 492 222

9073 9073 14 073 14 073 1973 7100 5000


Dividendo Divisor Cociente Resto

47 7 6 5

540 6 90 0

72 2 36 0

104 8 13 0

105 9 11 6

16 300 10 1630 0

100 000 100 1000 0

Factor Factor Producto

5 900 4500

8 9 72

36 1000 36 000

12 12 144

7 6 42

9 1000 9000

9 6 54

Página 40¿CUÁNTO SABES?1. a) 3 • 3 c) 5 • 9

b) 4 • 5 d) 6 • 10

2. a) 45 c) 60 e) 9500 g) 125 i) 850b) 56 d) 390 f) 20 h) 600 j) 560

3.

4. a) 1150 f) 1025b) 14 121 g) 189c) 238 650 h) 286 y resto 6d) 450 228 i) 1678e) 1 271 900 j) 5356

5. $ 2400

Página 416. a) $ 5175

b) no les alcanza para pagar, les falta $ 175c) no les alcanza porque deberían pagar $ 6800 y sólo

tienen $ 5000.

Página 42EN EQUIPO5. a) Todas tienen una regularidad: 2 en 2, 4 en 4, 5 en 5 ó

10 en 10. Además los grupos de 2 y 4 así como losgrupos de 5 y 10, tienen elementos comunes.

b) 2 • 1, 2 • 2, 2 • 3, 2 • 4, 2 • 5, 2 • 6, ...4 • 1, 4 • 2, 4 • 3, 4 • 4, 4 • 5, 4 • 6, ...5 • 1, 5 • 2, 5 • 3, 5 • 4, 5 • 5, 5 • 6, ...10 • 1, 10 • 2, 10 • 3, 10 • 4, 10 • 5, 10 • 6, ...La regla sería multiplicar el tipo de grupo (2, 4, 5 ó 10)por cada uno de los números naturales. Como losnúmeros naturales son infinitos, estas secuenciastambién son infinitas.

c) 102, 104, 106, 108, 110, ...104, 108, 112, 116, 120, ...105, 110, 115, 120, 125, ...110, 120, 130, 140, 150, ...

Página 431.

7, 14, 21, 28, 35, 42,... son múltiplos de 7.3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,... son múltiplos de 3.6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,... son múltiplos de 6.8, 16, 24, 32, 40, 58, 56,... son múltiplos de 8.

2. a) 7 • 8 = 56 c) 10 • 2 = 20b) 5 • 5 = 25 d) 8 • 9 = 72

3.9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 9010, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 10011, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 11012, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120

4. a) 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44b) 30, 40c) 88, 96, 104, 112

5. a) 80 chocolates; 325 chocolatesb) No podrá haber ocupado 46 chocolates, porque 46 no

es múltiplo de 5.

Página 44EN EQUIPO5. Los factores de un número también sus divisores, porque

dividen al número en forma exacta.

189Solucionario

Página 379. a)

b) Aumentaron en 73 718 minutos; aumentaron en33 478 minutos; aumentaron en 76 126 minutos;aumentaron en 100 675 minutos; disminuyeron en10 943 minutos.

c) 2 651 615 minutos.

10. a) 804 842b) 2 483 854c) 569 012d) 1 679 012

268 388

326 106471 710

561 442

395 584572 385

Unidad 2: Múltiplos, divisores y operaciones


Es divisible por 2 3 5 6 10

24 x x

50 x x

65 x x x x

73 x x x x x

85 x x x x

96 x x

102 x x

189 x x x x

234 x x

390

1208 x x x x

2000 x x

2555 x x x x

3600

4236 x x

6. a) El dígito que está ubicado en la posición de lasunidades es 0 ó un número par.

b) La suma de los dígitos es un múltiplo de 3.c) Un número divisible por 2 y por 3, siempre es divisible

por 6.d) El dígito que está ubicado en la posición de las

unidades es 0 ó 5; el dígito que está ubicado en laposición de las unidades es 0.

7. a) Algunas opciones podrían ser: 2, 4, 6, 8 y 10.b) Algunas opciones podrían ser: 3, 6, 9, 12 y 15.c) Algunas opciones podrían ser: 5, 10, 15, 20 y 25.d) Algunas opciones podrían ser: 10, 20, 30, 40

y 50

8. a) 315, 345, 375b) 1230, 1232, 1234, 1236, 1238c) 190, 195d) 2120e) 60 891, 63 891, 66 891, 69 891f) 12 564

Página 479. a) La suma de los dígitos es un múltiplo de 9.

b) Sí, son divisibles por 3. Siempre un número que es divisible por 9 es divisible por 3, porque todos los múltiplos de 9 son múltiplos de 3.

c) No todos los números divisibles por 3 son divisibles por 9, porque no todos los múltiplos de 3 son múltiplos de 9.

10. a) 12, 52, 60, 80, 48. Son múltiplos de 4.b) Los dígitos ubicados en las posiciones de las decenas y

unidades son 0.c) Sí, porque todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2,

y por lo tanto son divisibles por 2.d) No, porque no todos los múltiplos de 2 son múltiplos

de 4, por lo tanto, no todos son divisibles por 4.

11. a) 726, 756, 786b) 3204, 3294c) 1920, 1924, 1928d) 2300, 2304, 2308

12. a) 1, 3, 7, 9, 21, 63b) 1, 2, 4, 31, 62, 124c) 1, 5, 29, 145d) 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250

190 Matemática 5

Página 451. a) 1 • 36, 2 • 18, 3 • 12, 4 • 9, 36 • 1, 18 • 2,

12 • 3, 9 • 4, 6 • 6b) 1 • 45, 3 • 15, 5 • 9, 45 • 1, 15 • 3, 9 • 5c) 1 • 48, 2 • 24, 3 • 16, 4 • 12, 6 • 8, 48 • 1,

24 • 2, 16 • 3, 1 • 24, 8 • 6d) 1 • 50, 2 • 25, 5 • 10, 50 • 1, 25 • 2, 10 • 5e) 1 • 60, 2 • 30, 3 • 20, 4 • 15, 5 • 12, 6 • 10,

10 • 6, 12 • 5, 15 • 4, 20 • 3, 30 • 2, 60 • 1f) 1 • 90, 2 • 45, 3 • 30, 5 • 18, 6 • 15, 9 • 10,

10 • 9, 15 • 6, 18 • 5, 30 • 3, 45 • 2, 90 • 1

2. a) Sí, en cada página quedarían los divisores de 72: 1, 2,3, 4, 6, 8, 7, 12, 18, 24, 36, 72.

b) 24 páginas; 3 fotos por página.

3. Francisca tiene 75 postales.

4. a) 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100b) 1, 2, 61, 122c) 1, 11, 13, 143d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144e) 1, 5, 31, 155f) 1, 2, 3, 4, 6, 26, 39, 52, 78, 156g) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168h) 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189

Página 465.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Página 492. a) Los números encerrados en una circunferencia son

primos.b) Los números tachados son compuestos.c) El 1, porque sólo tiene un factor

3. a) 2 • 2 • 2 d) 2 • 2 • 7b) 2 • 5 e) 2 • 3 • 5c) 13 • 2 f) 2 • 3 • 11

4. Todos los factores de los números del ejercicio anteriorson números primos.

5. La afirmación de Paula es correcta. Algunos ejemplospodrían ser:70 = 2 • 5 • 750 = 2 • 5 • 5165 = 3 • 5 • 11

6. a) 1 • 13 g) 5 • 7b) 3 • 5 h) 2 • 3 • 7c) 2 • 3 • 3 i) 2 • 3 • 3 • 5d) 5 • 5 j) 2 • 2 • 5 • 5e) 3 • 3 • 3 k) 2 • 2 • 2 • 3 • 5f) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 l) 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3

Página 511. El máximo sería 15 bolsas.2. a) De acuerdo, porque 8 es el primer múltiplo en común

que tienen 4 y 8.b) En desacuerdo, porque 8 no es divisor de 4.c) En desacuerdo, porque el mínimo común múltiplo

es 24.d) De acuerdo, porque 6 es el mayor divisor en común

que tienen 6, 12 y 24.

191Solucionario

3. a) mcm = 35, mcd = 1b) mcm = 91, mcd = 1c) mcm = 187, mcd = 1d) mcm = 20, mcd = 4e) mcm = 48, mcd = 6f) mcm = 36, mcd = 9g) mcm = 15, mcd = 5h) mcm = 49, mcd = 7i) mcm = 121, mcd = 11j) mcm = 96, mcd = 8k) mcm = 126, mcd = 21l) mcm = 120, mcd = 10

Página 524. a) Es correcto el cálculo del mcm realizado por Daniel.

b) Es correcto el cálculo de mcd realizado por Andrea.c) Es conveniente utilizar estas estrategias cuandonecesitamos calcular el mcm y el mcd de númerosgrandes, porque hacer listas de múltiplos y de divisoresrequiere mucho tiempo.

5. a) mcm = 108, mcd = 3 b) mcm = 315, mcd = 9c) mcm = 420, mcd = 14d) mcm = 300, mcd = 5e) mcm = 192, mcd = 16f) mcm = 162, mcd = 27g) mcm = 150, mcd = 5h) mcm = 840, mcd = 70

Página 536. a) 24 cm

b) A las 14:00 horas del día siguiente.c) 6 ramos, con 2 claveles y 3 rosas.

7. Las fechas en que Francisco va a la escuela de fútbol son:3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 y 30 de junio.a) No, porque el entrenamiento comienza a las

16.00 horas y no alcanzará a llegar.b) Sí, perderá un día: el 15 de junio.

8. a) Es correcto lo que dice Daniela.b) Es correcto lo que dice Carlos.

MI PROGRESO1. El 5º A utilizará 4 carpas, el 5º B, 6 carpas, el 6º A, 5

carpas y el 6º B, 6 carpas.2. Volverán a coincidir en un año más.

Página 551. y 2. Preguntas abiertas.

3. a) 163 280 b) 1 134 750

Página 481. a) a

d)


Factores Producto

651 • (16 • 487) 5 072 592

629 • (81 • 299) 15 233 751

15 • (292 • 584) 2 557 920

c • a (a • b) • c a • (b • c)

3240 174 420 174 420

109224 65 534 400 65 534 400

2 400 000 7 440 000 000 7 440 000 000

a • b b • a a • c

1938 1938 3240

295 200 295 200 109 224

3 720 000 3 720 000 2 400 000

Página 591.

• En las columnas de igual color los resultados soniguales. Se cumple la propiedad conmutativa y lapropiedad asociativa de la multiplicación.

2. a) Pregunta abiertab) 375 774

3. a) 255 c) 238b) 209 d) 176

MI PROGRESO1. $ 1480, $ 2960, $ 4440, $ 8880, compró 30 jugos2. a) Conmutativa

b) Asociativac) Distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

Página 61BUSCANDO ESTRATEGIAS1. a) $ 14 400

b) $ 45 000c) $ 580d) Le alcanza el dinero para comprar 12 azulejos, porque

cuestan $ 11 640.

3. a) Gana $ 1 358 800b) Se necesitan 300 cajasc) 106 cajas para los alfajores y 142 cajas para los

berlines. Recaudan diariamente $ 632 976d) 690 281 salmonese) $ 190 500

Página 64QUÉ APRENDÍ

1. D 3. C 5. C 7. D2. C 4. B 6. D 8. D

Factores Producto

(651 • 16) • 487 5 072 592

(629 • 81) • 299 15 233 751

(15 • 292) • 584 2 557 920

Factores Producto

123 562 • 5 617 810

89 671 • 7 627 967

6 778 916 • 4 27 115 664

Factores Producto

5 • 123 562 617 810

7 • 89 671 627 967

4 • 6 778 916 27 115 664

4. a) 3 584 096 e) 168 875b) 2 579 500 f) 12 544 336 c) 755 298 g) 103 051 500d) 15 604 550 h) 123 444 321

Página 565. a) 2 • 3 • 3 = 18 combinaciones

b) 3 • 8 • 5 = 120 combinaciones

6. Preguntas abiertas

Página 577. a) 402 y resto = 2 e) 70 100 y resto = 1

b) 325 y resto = 0 f) 56 869 y resto = 5c) 13 232 y resto = 0 g) 205 265 y resto = 0d) 19 421 y resto = 10 h) 228 448 y resto = 14

8. a) 6 d) 590b) 520 e) 521c) 260 f) 2563

9. a) 69 manzanas en cada caja y no quedan cajaspor llenar.Para llenar 80 cajas se necesitarían 5520 manzanas.

b) $ 8 800 000 y habrá 3 estudiantes por computador

Página 58EN EQUIPO1.

2. Instrucciones de la actividad3. a) Son iguales, pero están en distinto orden.

b) Los productos son iguales. Siempre ocurre lo mismo,porque son propiedades de la multiplicación.

4.

192 Matemática 5


1. B 3. C 5. C 7. C 9.D2. B 4. A 6. C 8. D 10.A

Página 67II.1. a)

b) 536 589, 567 037, 2 933 337, 7 932 053c) 30 448 personasd) 12 000 000 personas aproximadamentee) Ambos obtuvieron 3 500 374, porque aplicaron la

propiedad conmutativa de la adición.

2. a) 9 trabajadoresb) 3360 librosc) Cada uno recibe $ 15 196.d) Ambas estuvieron embarazadas en el año 2005

Página 659. a) 2 • 2 • 2 • 2 • 3 c) 5 • 5 • 5

b)2 • 2 • 3 • 5 d) 3 • 3 • 3 • 3 • 3

10. a) mcm = 1540, mcd = 10b)mcm = 231, mcd = 11

11. Le sobró $ 4090

12. Puede guardar 10 CD: 2 CD de rock, 3 CD de pop y5 CD de salsa. Necesita en total 5 cajas.

Página 66

193Solucionario

3. a) c)

b) d)

4.

5. a) 6 c)

b) d)

Página 716. a) b)

Página 73

2. a) Cinco séptimos, quince séptimosb) Un centésimo, un milésimo.c) Tres onceavos, cuatro onceavos, diez onceavos.d) Siete veinteavos, diecinueve veinteavos, veintitrés

veinteavos.

3. a) c) e)

b) d) f) 151000

3640

512

10100

1218

39

23

34

13

16

12

26

710

48

34

536 589

567 037 7 932 053

2 933 337

Unidad 3: Fracciones


0 14

24

34

1

Página 70

1. a) c)

b) d)

2. a) Dos quintosb) Tres sextosc) Cuatro novenosd) Siete octavose) Cinco séptimos

88

58

34

36

Dibujo Numerador Denominador Fracción Se lee…

4 4Cuatrocuartos

6 8Seis

octavos

4 8Cuatrooctavos

7 10Siete

décimos

44

68

48

710

12


Representación gráficaFracciónimpropia

Númeromixto

7

3

1

38

5

5

2

2

3

51

1

22

5

3

2

31

5

4

1

41

6

23

194 Matemática 5

Página 772. a) Pregunta abierta.

b) El de Marcela sí, el de Felipe no siempre, porque a veces las fracciones no se pueden simplificar más.

c) Utilizaría el procedimiento de Marcela, porque estas fracciones no se pueden simplificar más.

3. a) , , , por ejemplo

b) , , , por ejemplo

c) , , , por ejemplo

d) , , , por ejemplo

e) , , , por ejemplo

f) , , por ejemplo

MI PROGRESO1. Un sexto, fracción propia; dos octavos, fracción propia;

un tercio, fracción propia; un doceavo, fracción propia;dos doceavos, fracción propia.

2. a) Gasta más dinero en dividendo. Gasta menos dineroen otros gastos.

b) En alimentación y en ahorro. y . Son fraccionesequivalentes.

Página 791. a) < c) < e) >

b) > d) < f) =

2. a) Pregunta abierta.

b) < ; < ; <

3. a) La tarta de frambuesab) Pablo

4. a) 10 personas usan malla. 6 personas usan buzo.b) La mayoría de las personas usan malla.

5. Hay más lápices verdes.

Página 81

1. a) c) e)

b) d) f) 311

311

67

43

48

15

12

210

28

17

69

48

212

16

68

912

34

68

912

34

4575

3050

35

26

612

49

1025

1230

410

3070

921

614

Página 75

1. a) Fracción propia, .

b) Fracción impropia, .

c) Fracción igual a la unidad, .

d) Fracción impropia, .

e) Fracción igual a la unidad, .

f) Fracción impropia, .

2. a) Fracción propia.b) Fracción impropia.c) Fracción igual a la unidad.d) Fracción impropia.e) Fracción impropia.f) Fracción propia.g) Fracción igual a la unidad.h) Fracción propia.

3.

Página 76

1. a) , , , por ejemplo.

b) , , , por ejemplo.

c) , , , por ejemplo.410

25

615

24

48

510

23

46

1218

116

66

62

88

106

23


23

0 1 234

14

12

1 1

2.

MI PROGRESO

1. , , 1 , 1

2.

3. a) Ocupa más tiempo en practicar deporte y menostiempo en estudiar.

b) En jugar.c) En practicar deporte.

Página 83

1. a) En morado: , en celeste: , fracción pintada:

, fracción sin pintar:

b) En morado: , en celeste: , fracción pintada: ,

fracción sin pintar:

2. a) c) e) g)

b) d) f) h) 0

3. a) c) e)

b) d) f)

4. a) b) c)

5. a) del huerto está sembrado. del huerto falta por

sembrar.

b) Quedó de los pasteles.320

18

78

718

2025

210

213

510

518

2432

730

1925

12

35

45

35

49

78

47

28

68

38

38

414

1014

414

614

195Solucionario

Página 84

1. a) c) 1 e) g)

b) d) f) h)

Página 85

2. de hora.

3. Ha cosechado , falta por cosechar del total de las

plantaciones de lechuga.

MI PROGRESO

1.

2.


Página 87

1. a)

b) Ambos aportarán lo mismo

c) Entre las dos compraron 1 de kilogramo de pan.

Francisca compró más, de kilogramo más.


3. a) Entre los dos tomaron , queda de la bebida

ahora.

b) Quedó de la torta. c) 59 Kg.

d) 14 horas; 9 horas

Página 901. A 3. C 5. C 7. D2. D 4. B 6. C 8. C

Página 91

9. a) , , por ejemplo.

b) , , por ejemplo.

10. a)

11. a)

12. Alicia compró más gomitas, de kilogramo más.

38

310

710

38

415

19

15

14

25

139

712

23

34

14

12

3414

212

12

16

46

410

112

68

1216

414

621

4050

2025

69

812

c) , , por ejemplo.

d) , , por ejemplo.

d)c)b)12

12

13

15

c)b) 75

78

34

524

23

13

0 1

0 1

1

a)

b)

0 2c)

10 2d)

0 1 2 3e)

0 1 2 3 4f)

25

33

47

1

83

16

1 12

3


Númerodecimal

C D U , Décimos Centésimos Milésimos Se lee

3,7 3 , 73 enteros,7 décimos.

14,65 1 4 , 6 54 enteros,

65 centésimos.

50,239 5 0 , 2 3 950 enteros, 239

milésimos.

125,25 1 2 5 , 2 5125 enteros

25 centésimos.

34,017 3 4 , 0 1 734 enteros

17 milésimos.

286,7 2 8 6 , 7286 enteros,7 décimos.

53,005 5 3 , 0 0 553 enteros

5 milésimos.

196 Matemática 5

Unidad 4: Decimales

Página 941. a) Cuatro quintos c) Veinticuatro centésimos

b) Tres décimos d) Cincuenta milésimos

2. a) > c) <b) = d) >

3. a) c)

b) d)

4. a) b)

5. a) c)

b) d)

Página 95

6. a) c) e) g)

b) d) f) h)

7. a) Carlos

b) Se comieron del chocolate, quedó .

Página 971.

15

45

2. a) Seiscientos cuerenta y nueve milésimos.b) Cuatro enteros, cincuenta y cuatro milésimos.c) Doce enteros, trescientos ocho milésimos.d) Dos enteros, cinco milésimos.e) Veinte enteros, dos centésimos.f) Ciento venticinco enteros, ciento venticinco milésimos.g) Sesenta y cuatro enteros, cuarenta y seis centésimos.h) Diez enteros, cuarenta y dos milésimos.

3. a) 3 unidades. e) 3 décimos.b) 3 decenas. f) 3 centésimos.c) 3 décimos. g) 3 centenas.d) 3 milésimos. h) 3 centésimas.

4. a) 11,12 d) 2,045b) 0,28 e) 45,008c) 8,123 f) 100,4

Página 991. a) 0,8 e) 0,25 h) 0,37

b) 2,5 f) 0,375 i) 0,9c) 0,02 g) 0,55 j) 0,48d) 0,875

2. 3,86

310

8103510

710610

31015100

11032100

21021

1000

30100

36100

825

1210052100

8810048100


a + b a – b b + c c – b (a + b) – c

57,41 19,59 46,09 8,27 30,23

19,457 5,357 18,558 4,458 7,949

Página 1072. a) 23,9; 27,4; 30,9; 34,4

b) 11,8; 11,1; 10,4; 9,7c) 0,75; 0,5; 0,25; 0

3. a) 1,46 minutos.b) 6,1 kilogramos.c) Claudia mide 1,59 m.

MI PROGRESO1. El miércoles corrió más y el lunes corrió menos.2. 8,6 kilómetros, 12,7 kilómetros, 3,1 kilómetros.3. 90,3 kilómetros.

Página 1091. a) 8,4 cm b) 42,5 cm c) 112,78 cm


3. a) 0,50 m d) 5,45 mb) 0,75 kg e) Paula, Claudio, Martín; Martín,c) 8,7 km Paula, Claudio.

Página 1121. C 3. C 5. C 7. C2. D 4. C 6. D 8. A

Página 1139.

10. 6,1 11. 0,1

Página 114

197Solucionario

Página 1011. a) Finito. e) Semiperiódico.

b) Finito. f) Periódico.c) Semiperiódico. g) Periódico.d) Finito. h) Semiperiódico.

2. a) c) e) g)

b) d) f) h)

Página 1031. a) Tres alumnos.

b) Más abajo: 3,8, más alto: 6,8.c) Tres estudiantes, Denisse.

MI PROGRESO1. a) Se escribe 1,05.

b) Corresponde a 2

c) Se lee 4 enteros, 567 milésimos.

d)

2. a) 0,89; b) Entre 4 y 5;

Página 1051. a) < d) > g) <

b) < e) > h) >c) > f) < i) <

2. a) 14,02; 14,2; 14,32; 15,02_; 1,52

_

b) 8,005_; 8,05; 8,055; 8,55; 8,5

_

c) 10,004_; 10,044; 10,04

_; 10,404; 10,444

3. a) 4,2, por ejemplo. c) 1,26, por ejemplo.b) 3,4, por ejemplo. d) 4,36, por ejemplo.

4. a) Carlos se demoró menos, Victoria fue la última. El orden fue: Carlos, Marcela, Felipe y Victoria.

b)15,56

MI PROGRESO1. En mayo de 2007.2. En marzo de 2008.3. No4. Porque los pesos chilenos actualmente no tienen

centavos.

Página 1061. a) 2,08 d) 1,43 f) 5,59 h) 12,99

b) 17,29 e) 0,88 g) 44,16 i) 10,475c) 11,25

45671000

89100

89100

710

24100

215100

15100

12290

40190

143899

10 024990

2124990


I. 1. B 5. B 8. C2. B 6. D 9. D3. D 7. C 10. A4. A

Página 115II. 1. a) 21,8; 26,4; 28,5; 30; 31,2;.

b) Marcela ganó, Luisa obtuvo el último lugar.c) Marcela, Luisa, Fernando, Rodrigo y Andrés.d) 9,4 segundos.

2. a) US$ 15,7

b) 0,5 km

c)

d) Gastó de sus ahorros, guardó .

e) Son iguales.

38 4

106

10


Milímetrocuadrado

(mm2)

Centímetrocuadrado

(cm2)

Metrocuadrado

(m2)

160 000 1600 0,16

720 7,2 0,00072

250 000 2500 0,25

9 600 000 96 000 9,6

19 600 196 0,0196

22 500 225 0,0225

Milímetros(mm)

Centímetros(cm)

Metros(m)

125 12,5 0,125

4500 450 4,5

270 27 0,27

10 800 1080 10,8

37 500 3750 37,5

25 2,5 0,025

NombreTodos sus

lados son deigual medida

Sus ladosopuestos son

de igualmedida

Todos susángulos son

rectos

No tieneángulosrectos

cuadrado x x

rectángulo x x

rombo x x

romboide x x

198 Matemática 5

Unidad 5: Perímetros y áreas

Página 1181. a) mm c) cm e) kg g) g

b) m d) km f) L

2. a) 100 cm c) 1000 gb) 1000 ml d) 1000 m

3. a) Pregunta abierta.b) Pregunta abierta.

4.

Página 122

5. a) 50 000 cm2 f) 32 m2

b) 4000 mm2 g) 35 000 000 m2

c) 170 000 cm2 h) 460 000 cm2

d) 12 000 000 mm2 i) 360 cm2

e) 320 m2 j) 0,0000015 m2

6.

7.

Página 123

a) No es correcto, porque 60 mm. equivale a 6 cm., y eso

no corresponde a la medida de una pierna.

b) No, el orden correcto de los lugares es Cristóbal, Felipe

y Pablo.

c) El departamento de Andrea es más grande,

2,25 m2 más grande.

d) 0,00714 km2

Página 124

1. a) 6 m

b) 18 m

c) 13 triángulos equiláteros (9 chicos, 3 medianos y

1 grande), 6m los chicos, 12 m los medianos y

18 m los grandes.

a) En la medida de sus ángulos.b) El rectángulo solo tiene ángulos rectos, el

romboide no tiene ángulos rectos.c) En un cuadrado todos sus lados son iguales y en un

rectángulo sus lados opuestos son de igual medida. En un rombo todos sus lados son iguales y en un romboide sus lados opuestos son de igual medida.

Página 1195. a) 0,3 d) 10143 g) 238 100

b) 6050 e) 26 030 h) 4 000 100c) 5432 f) 50 i) 50 000

Página 1211. a) 6 cm b) 60 cm c) 10 m

2. a) mayor c) mayor e) mayorb) mayor d) mayor

3. a) cm2 c) m2

b) mm2 d) m2

4. a) 1300 cm d) 5 m g) 500 cmb) 20 m e) 20 000 cm h) 12 000 cmc) 3200 cm f) 5 cm i) 9 km


199Solucionario

Página 1252. Pregunta abierta.

3. a) 17 cm c) 5 mmb) 29,95 mm d) 66 m

4. El tercer lado mide 16 mm, corresponde a un triánguloisósceles.

Página 1271. a) 8 cm c) 24 cm

b) 16 cm d) 22 cm

2. a) 58 cm b) 12 m c) 300 mm

3. Cada lado mide 12,25 cm

4. a) 25 m c) 246 mb) 5,6 m d) Sí

MI PROGRESO1. El lado del triángulo equilátero mide 12 cm y el del

cuadrado mide 9 cm.2. 13 cm.3. a) máximo 88 m, mínimo 70 m

b) 352 m

Página 1291.

a) Pregunta abierta.b) Pregunta abierta.c) 8 cmd) Una posible respuesta es 16 cm y 4 cm. Existe más de

una posibilidad.

2. a) 9 cmb) 12 cm y 15 cmc) 7 cm y 4 cm


4. Su perímetro se duplica y su área se cuadriplica. Cuandola medida del lado se triplica, su perímetro se triplica y suárea es nueve veces la del área original.

Página 1301. a) 12 a2 c) 10 a2

b) 13 a2 d) 13 a2

Página 1312. a) 20 cm2 b) 14 cm2 c) 12 cm2

MI PROGRESO1. El largo y ancho de la piscina puede ser: 36 m y 1m, 18 m

y 2 m, 12 m y 3 m, 9 m y 4 m, respectivamente (sinconsiderar números decimales para las medidas de loslados de la piscina).

2. Sí, la medida de su lado sería 6 m.3. 52 m2

Página 1331. a) 70 cuadrados

b) 1600 baldosasc) No, faltan 28 baldosas.


3. a) 1600 azulejosb) 1920 papeles de colores.c) 6 fotosd) 1,8 m2

e) 252 cerámicasf) 24 cm2

Página 1361. C 3. B 5. C 7. B2. A 4. D 6. C 8. B

Página 1379. a) 300 mm e) 80 000 cm2 i) 44 m

b) 1500 cm f) 1500 mm2 j) 180 m2

c) 90 cm g) 6 m2 k) 21 km2

d) 17 m h) 590 000 cm2

10. 44 m11. 180 m2

12. 21 km2

Rectángulo de lados:Perímetro Área

a b

7 cm 3 cm 20 cm 21 cm2

9 mm 2 mm 22 cm 18 cm2

5 cm 4 cm 18 cm 20 cm2

Cuadradode lado a

Perímetro Área

6 mm 24 mm 36 m2

9 cm 36 mm 81 m2

10 m 40 mm 100 m2


Ángulos interiores deltriángulo

20,2º 60º 99,8º

55º 100º 25º

101º 67º 12º

Ángulos interiores del cuadrilátero

115,25º 67º 89º 88,75º

145º 32,25º 59,75º 123º

73,6º 105,7º 105,7º 75º

Medidas de los ángulosinteriores del triángulo

¿Es posible construirun triángulo?

45º 90º 90º No

76º 24º 80º Sí

120º 23º 100º No

Medidas de los ángulosinteriores del cuadrilátero

¿Es posible construir uncuadrilátero?

167º 86º 90º 45º No

176º 103º 87º 34º No

76º 81º 128º 75º Sí

200 Matemática 5

Unidad 6: Ángulos

Página 140¿CUÁNTO SABES?1. Pregunta abierta.

2. Solo a) o d) son paralelas. b) o f) son perpendiculares.


Página 1414. a) BL y CK son paralelas, por ejemplo.

b) BCKL es un rectángulo; IKLN es un trapeciorectángulo, por ejemplo.

c) FEJ es un triángulo escaleno; MIK es un triángulorectángulo.

Página 1431. a) Agudo. d) Obtuso.

b) Obtuso. e) Obtuso.c) Agudo. f) Extendido.

2. a) No, porque sus ángulos son mayores que 180º.b) Mayores.c) No.

Página 147EN TU CUADERNO

1. a) � 2 y � 9; � 3 y � 8; � 4 y � 11; � 5 y � 10.b) � 1 y � 3; � 7 y � 9; � 2 y � 4; � 8 y � 10;

� 1 y � 5; � 2 y � 6; � 7 y � 11; � 8 y � 12; � 3 y � 5; � 4 y � 6; � 9 y � 11; � 10 y � 12.

c) � 1 y � 2; � 1 y � 7; � 7 y � 8; � 2 y � 8; � 3 y� 4; � 3 y � 9; � 9 y � 10; � 4 y � 10; �5 y � 6;� 5 y � 11; � 11 y � 12; � 6 y � 12.

d) � 1 y � 10; � 4 y � 7; � 3 y � 12; � 9 y � 6; � 1 y � 12, � 7 y � 6.


3. a) x= 156ºb) x = 88º, y = 49º, z = 43ºc) x = 41º

Página 1484. a) α = 55º d) μ = 80º

b) χ = 106,75º e) δ = 53ºc) ε = 31,8º f) β = 32,1º

5. a) x = 128º, y = 52º, z = 52ºb) x = 110,5º, y = 69,5º

Página 1496. a) No, son adyacentes.

b) Sí.c) Sí.d) No.e) No, no tienen relación.f) Sí, porque son correspondientes.g) No, sí son opuestos por el vértice.

MI PROGRESO1. D2. D

Página 151EN TU CUADERNO1. Pregunta abierta.2.

3.


Ángulos exteriores deltriángulo

100º 150º 110º

83,5º 174,25º 102,25º

155º 90º 115º

Ángulos exteriores del cuadrilátero

78,8º 135º 48,2º 98º

90º 90º 90º 90º

48,75º 156,75º 89,5º 65º

201Solucionario

Unidad 7: Datos y Azar

Página 162

¿CUÁNTO SABES?

1. a) Coquimbo

b) Metropolitana de Santiago

c) Coquimbo y Araucanía

d) Pregunta abierta

2.

3.

Página 163

4. a) Agosto

b) Enero

c) Entre abril y julio

d) Pregunta abierta

020406080

100120140160180200

Ant

ofag

asta

Coq

uim

bo

Valp

araí

so

Mau

le

Biob

ío

Ara

ucan

ía

Met

ropo

litan

a

Núm

ero

de s

alas

Región

0

100

200

300

400

500

600

700

800

2007

2006

2005

2004

2003

2002

Prec

io ($

)

Año

Precio promediode pan corriente ($)

4. a) 46ºb) 104ºc) Nod) Sí

Página 1531. Pregunta abierta2.

3. a) x = 40ºb) x = 122ºc) x = 37ºd) x = 67

MI PROGRESOx = 129ºy = 136ºz = 51º

Página 155BUSCANDO ESTRATEGIAS1. a) Los ángulos señalados deben sumar 180º, para que las

líneas de tren sean realmente paralelas.b) La Calle 1 y la Calle 2 son paralelas.

2. Pregunta abierta3. a) x = 124º

Página 158¿QUÉ APRENDÍ?1. D 3. C 5. C 7. C2. D 4. A 6. A 8. B

Página 1599. a) 40º, agudo

b) 135º, obtusoc) 130º, obtusod) 90º, recto



Tiempo (horas) Temperatura (0º C)

10 15

11 20

12 15

13 25

14 30

15 30

Inicio (kg) Término (kg)

Domingo 97 63

Tomás 92 62

Francisco 104 60

Pedro 110 87

ActividadNúmerode niños

Salir a la calle 12

Ver televisión 17

Escuchar música 10

Leer 6

5.

Página 1651. a) Francisco y Pedro

b) Pedroc)

d) Pregunta abierta.

Página 166

2. a) Las gráficas son descendentes.b) Ascendente.c) Pregunta abierta.d) Pregunta abierta.


Página 1674. a) 20 ºC

b) A las 13 horas.c) A las 10 y a las 12 horasd)

Página 1681. a) No.

b) No.c) Ahora, nada, porque el gráfico no entrega toda la

información necesaria.

202 Matemática 5

d) Falta la escala de las cantidades correspondientes, los

valores de las variables y la indicación de a qué

corresponde cada color.

Página169

2. a) No, porque las alturas de las barras están con errores.

b) Sí, falta nombrar las variables que corresponden a cada

eje.

c) Pregunta abierta.

d) Las alturas de las barras.

3.

a) Pregunta abierta.

b) Pregunta abierta.

0

50

100

150

200

250

300

Mar

Lago

Cam

po

Mon

taña

Des

iert

o

0

50 000

100 000

150 000

200 000

250 000

300 000

2003

2004

2005

2006

2007

Prec

io ($

)

Región



203Solucionario


Página 171

MI PROGRESO1. Pregunta abierta.2. La tienda 1, la tienda 3 y la tienda 4.

Página 1731. a) Cualitativa.

b) Cuantitativa continua.c) Cualitativa.d) Cuantitativa discreta.e) Cuantitativa continua.


MI PROGRESO1. Pregunta abierta.2. La cantidad de textos literarios, según su clasificación.3. Cuantitativa.4. Discreta.

0

40

80

100

120

140

200M

enos

de

una

sem

ana

Una

sem

ana

Dos

sem

anas

Tres

sem

anas

Un

mes

Más

de

un m

es

Duración de lasvacaciones

05

201510

2530354045

Tien

da 1

Tien

da 2

Tien

da 3

Tien

da 4

Cuadernos vendidos

Página 1741. a) Dos, puede acertar en el color azul o en el color

amarillo.b) No, porque también puede acertar en el color amarillo.c) Posible.d) No, porque ningún sector de la ruleta es de color rojo.e) Pregunta abierta.


3. a) Posible. f) Seguro.b) Posible. g) Posible.c) Imposible. h) Imposible.d) Posible. i) Imposible.e) Imposible.

4. a) Posible. d) Seguro.b) Posible. e) Posible.c) Imposible. f) Seguro.

Página 1761. a) Más probable.

b) Menos probable.c) Igualmente probable.d) Igualmente probable.e) Más probable.f) Improbable.

Página 177MI PROGRESO1. a) No

b) Noc) Sí


Página 1791. a) En 2007 entraron a la universidad 131 alumnos y

alumnas. En 2008 entraron a la universidad120 alumnos y alumnas.

b) En una semana se venden 243 kilogramos de pan.2. Pregunta abierta3. Asisten a la obra 296 personas.

Página 1821. B2. D3. C4. C5. B6. C7. C8. C


204 Matemática 5


Página 184

Página 1839. a)

b) En marzo, en febreroc) Febrero, enero, junio, mayo, abril, marzo.

0

5

20

15

10

25

45

Ener

o

Febr

ero

Mar

zo

Abr

il

May

o

Juni

o

Número de autos y camionetasreparados en un taller mecánico.

Númerode autos

Número decamionetas

I.1. D 5. A2. C 6. C3. B 7. D4. C 8. C

Página 185II.1. 90º, ángulo recto, 120º, ángulo obtuso y 50º, ángulo

agudo, respectivamente.

2. a)

b) El día sábado.c) El día jueves.d) Jueves, viernes, domingo, sábado.e) Jueves, viernes, domingo, sábado.

3. a) 66 000 cm2

b) 165 baldosas.c) Exactamente no, porque habría que cortar algunas

baldosas.

02

864

10121416

Juev

es

Vie

rnes

Sába

do

Dom

ingo

Chalecos

Mantas


205Bibliografía

Bibliografía

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• Mineduc. Propuesta Ajuste Curricular. ObjetivosFundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios.Ministerio de Educación de Chile, septiembre 2007.

Material CRA

• Artigue, Michéle y otros. Ingeniería didáctica eneducación matemática. Grupo EditorialIberoamérica, México, 1995, 1ª ed.

Profundiza uno de los aspectos característicos de laescuela francesa de didáctica de las matemáticas: laingeniería didáctica, que desarrolla el área de laeducación matemática con una doble función, lainvestigación que ha utilizado metodologíasexternas a la clase y la metodología de lainvestigación específica.

• Cedillo, Tenoch. Calculadoras: Introducción alÁlgebra. Grupo Editorial Iberoamérica, México,1997.1ª ed. [r. 1996]

Las actividades propuestas están orientadas a laenseñanza del código algebraico como herramientapara expresar generalizaciones y resolver problemas,e introducir la noción de función a partir de laconstrucción e interpretación de gráficas.

• Guzmán, Miguel de. Para pensar mejor. EdicionesPirámide, España, 1995, 2ª ed.

El objetivo de la obra es mostrar cómo laexploración de los propios métodos de pensamientoes una tarea que puede mejorar la calidad delpensar y los aportes de la Matemática en esteámbito.

• Hitt, Fernando. Investigaciones en MatemáticaEducativa. Grupo Editorial Iberoamérica, México,1996, 1ª ed.

Reúne un conjunto de artículos sobre diversasinvestigaciones que tratan la problemática de laenseñanza y el aprendizaje de las matemáticasdesde el nivel básico hasta el universitario.

• Orobio, H. y Ortiz, M. Educación Matemática ydesarrollo del sujeto. Magisterio, Colombia, 1997,1ª ed.

El autor propone una estrategia pedagógica queimplica la comprensión del desarrollo de los sujetos,

el proceso de construcción y estructuración lógicade los conceptos y de los saberes específicosabordados con los alumnos y alumnas.

• Rodríguez, José y otros. Razonamiento matemático.International Thompson Editores, México, 1997, 1ªed.

Organizado en cinco capítulos, el texto trata elmodelo de Polya y presenta estrategias utilizadaspara resolver problemas, conceptos de álgebrarelacionados con ecuaciones de primer grado,interpretación gráfica y las matemáticas definanzas.

• Steen, Lynn. La enseñanza agradable de lasmatemáticas. Editorial Limusa, México, 1998, 1ª ed.

Pretende mostrar que es posible desarrollar elpensamiento matemático mediante experienciasinformales a muy temprana edad, mucho antes deque los niños lleguen al punto de podercomprender fórmulas algebraicas.

• Varios autores. Enseñanza efectiva de lasMatemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México,1995, 1ª ed.

Guía básica que sugiere técnicas y habilidades parala enseñanza de las matemáticas; incluye aspectosque abarcan desde la preparación y desarrollo deuna clase hasta la elaboración y aplicación depruebas y exámenes.

Libros

• Artigue, M. “Una introducción a la didáctica de lamatemática”, en Enseñanza de la Matemática.Selección bibliográfica, traducción para el PTFD,MCyE, 1994.

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• Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividadespara implementar los Objetivos FundamentalesTransversales. Lom Ediciones, 2001.

RECURSOS TECNOLÓGICOS

Software educativos

• SÚPER MIX MAT 3 - 4

Es un programa para apoyar la enseñanza de laMatemática. La metodología que utiliza estesoftware, se sustenta en principios didácticosbasados en la actividad y la libre experimentación.

http://www.enlaces.cl/doc/catalogo_sw/Web_97/Ficha28.html


207Bibliografía

• MATEMATIX

Es una herramienta creada para el estudio ycomprensión de la Matemática. Funciona como unlaboratorio, lo que nos permite organizar, clasificar,cuantificar, analizar y asimilar la informacióndispersa. Pretende dotar y capacitar a losestudiantes de las herramientas que permiten quepuedan desenvolverse satisfactoriamente en elmundo científico y tecnológico.

http://www.enlaces.cl/doc/catalogo_sw/Web_97/Ficha30.html

• ¿CÓMO EVALUAR EL PENSAMIENTO?

Niveles Educativos: NM1 -– NM2 - NM3 - NM4

Desarrolla los OFT.

http://www2.redenlaces.cl/webeducativos/pensamiento/menu.htm

Páginas webs

• Ministerio de Educación de Chile

http://www.mineduc.cl

• La Red Maestros cuyo propósito es fortalecer laprofesión docente, mediante el aprovechamiento delas capacidades de los profesionales previamenteacreditados como docentes de excelencia,contribuyendo así al desarrollo profesional delconjunto de los docentes de aula.

http://www.rmm.cl

• Portal de Centro de PerfeccionamientoExperimentación e Investigaciones Pedagógicas.

http://www.cpeip.cl

• Centro Comenius. Software educativos, en especialde matemáticas, recursos y muchas cosas más.Patrocinado por la USACH.

http://www.comenius.usach.cl

• El Paraíso de las Matemáticas

http://www.matematicas.net

• Enlaces a matemáticas básicas para niños,publicaciones y programas educativos. Debate,entretenimiento (juegos matemáticos) y bibliografía.

http://www.arrakis.es/~mcj

• Entretenimiento, recursos y enlaces. Software,libros, Escher, Fibonacci: el Número de Oro.Problemas: taller de matemáticas. IRC: canal sobreeducación.

http://platea.pntic.mec.es/~aperez4

• Recursos matemáticos Redemat

http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

• Base de datos de documentos para Educación.

http://www.cide.cl/campos/profes/setreduc.htm

• REDUC: Red Latinoamericana de información ydocumentación en educación. Contiene base dedatos sobre investigaciones, textos completos,recortes de prensa.

http://www.reduc.cl

• Sociedad de Matemática de Chile

http://www.mat.puc.cl/~socmat

• Recursos matemáticos Redemat

http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

• La Sociedad Europea de Matemáticas (EMS) ofreceen este web una gran cantidad de informaciónsobre matemáticas, desde congresos a los que tepuedes apuntar por correo electrónico hastamonográficos de autores famosos que tratan sobrela materia.

http://www.emis.de

• Sitio que incluye unidades didácticas, aplicaciones yexperiencias en Matemática respecto de loscontenidos que se trabajan en Enseñanza Media.

http://www.cnice.mecd.es/Descartes

Buscador recomendado

• Sitio educativo con diversos recursos,planificaciones e información de todas las áreas.Incluye buscador.

http://www.educarchile.cl/home/escritorio_docente


208 Matemática 5


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