SFI y los Fractales.pdf

Sistemas de funciones iteradasy los fractales

Edwin Alfonso Adame SarmientoFacultad de Matematicas

Fundacion Universitaria Konrad Lorenz

Junio de 2005

Resumen

Revisaremos como preambulo las transformaciones matriciales en el plano, luego nos in-troduciremos en el tema mostrando algunos fractales famosos, despues se describen losconceptos fundamentales de la teorıa de espacios metricos, luego se revisara la parte deSistemas de Funciones Iteradas (SFI), donde mostraremos los dos algoritmos el determi-nistico y el aleatorio, y por ultimo se construiran dos fractales en hoja de calculo.

Indice general

1. Transformaciones lineales 11.1. Transformaciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Transformaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Transformaciones de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Algunas transformaciones matriciales del plano . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1. Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. Compresiones-expansiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3. Cortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4. Rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Propiedades de las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Matriz de una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5. Transformaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Monstruos Matematicas 252.1. Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3. Curvas de Peano y Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4. Curva de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Conjuntos Autosemejantes 313.1. Conjuntos autosemejantes famosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1. Conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2. Conjuntos de Cantor en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. Curva de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3. Espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1. Espacios metricos completos y compactos . . . . . . . . . . . . . . . 35

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3.3.2. Aplicaciones contractivas en espacios metricos . . . . . . . . . . . . 353.4. Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5. Invarianza respecto a un sistema de semejanzas . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Sistemas de Funciones Iteradas 404.1. El espacio de los fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Aplicaciones contractivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. Obtencion del fractal asociado a un SFI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.1. Algoritmo Determinista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.2. Algoritmo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4. Teorema del Collage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4.1. Aproximacion de imagenes reales mediante SFI . . . . . . . . . . . 57

4.5. Una hoja de helecho fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.6. Fractales en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5. Fractales en Hoja de Calculo 635.1. El triangulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2. Nuevo Triangulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3. El Helecho de Barsnsley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6. Conclusiones 74

A. Medida de Conjuntos 76A.1. La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.2. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78A.3. Dimension de Homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78A.4. Medida de Haussdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.5. Dimension de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.6. Distancia de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

B. Algunas nociones de Hoja de Calculo 82

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Indice de figuras

1.1. Transformacion lineal de una imagen.[NAKOS] . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Dominio, codominio y contradominio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Reflexiones basicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Compresion y estiramiento a lo largo del eje x. . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Escalamiento a lo largo de los ejes x y y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Deslizamiento a lo largo del eje x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7. Deslizamiento a lo largo de la direccion negativa de y. . . . . . . . . . . . . 101.8. Deslizamiento en transformaciones de imagen.[NAKOS] . . . . . . . . . . . 111.9. Rotacion en torno al origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.10. Proyecciones ortogonales sobre los ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.11. Transformacion lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.12. Dilatacion y contraccion por un factor de 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.13. Matriz de una transformacion lineal.[NAKOS] . . . . . . . . . . . . . . . . 201.14. (a)Traslacion,(b)transformacion afın: rotacion y despues traslacion. . . . . 221.15. Traslacion con deslizamiento de un polıgono. . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.16. Tetraedro girado y trasladado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1. El conjunto ternario de Cantor se obtiene de manera inductiva comenzandopor el segmento de unidad y quitando en cada etapa a cada intervalo elsegmento medio resultante de dividirlo entres partes iguales. . . . . . . . . 27

2.2. Primeras etapas de la generacion de la curva de Hilbert. La curva de Hilbertes un ejemplo de curva que llena el plano, por lo que su dimension fractales 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Primeros pasos del proceso de construccion de la curva de Koch. En el lımitedados dos puntos cualesquiera de la curva es imposible llegar a uno de ellosdesde el otro por encima de la curva. La longitud de cualquier tramo decurva es infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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3.1. El conjunto de cantor en R2 es un conjunto autosemejante bajo el sistemade cuatro semejanzas que transforman el cuadrado inicial en cada en cadauno de los cuatro cuadrados de las esquinas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2. La curva de Koch se puede construir sustituyendo el segmento I por lossegmentos I1, I2, I3, I4 y repitiendo en cada uno de ellos este proceso inde-finidamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1. Una aplicacion contractiva f acerca los puntos y contrae, por tanto, losconjuntos sobre los que se aplica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2. Traslacion mediante el vector (α, β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3. Giro de angulo ϕ y centro en el origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4. Simetrıa respecto del eje de abscisas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5. Homotecia centrada en el origen de razon k. . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.7. Cada parte Ti , 1 ≤ i ≤ 3, del triangulo de Sierpinski es semejante al

triangulo total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.8. Cada una de las partes Ki, 1 ≤ i ≤ 4, de la curva de Koch indicadas es

semejante a la curva total K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.9. Intervalos convergentes al conjunto de Cantor obtenidos mediante el SFI

f1(x) = x3

y f2(x) = (x+2)3

a partir del intervalo unidad. . . . . . . . . . . . 504.10. Primeras iteraciones del SFI asociado al triangulo de Sierpinski a partir de

un triangulo de lado unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.11. Triangulo de Sierpinski obtenido tras la aplicacion del algoritmo aleatorio

al SFI del cuadro 4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.12. La hoja de helecho que se intentara aproximar mediante un SFI aplicando

el teorema de collage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.13. Cada una de las cuatro partes de la hoja del helecho aquı indicadas se puede

considerar como el resultado de una aplicacion contractiva sobre la imagencompleta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.14. Para obtener las aplicaciones contractivas que transforman la imagen com-pleta del helecho en cada una de las partes indicadas en la figura 4.13,tenemosque situar la hoja en el plano R2. Si la imagen se centra horizontalmenteen el origen, las transformaciones se obtienen de manera mas comoda. . . . 60

4.15. Un arbol fractal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.16. La hoja de helecho agitada por el viento mediante distintos valores del

parametro α. Los valores dados a α son α = arc sen ω donde ω evolucionasegun se indica bajo cada figura. El movimiento de la hoja se puede observaral seguir las imagenes de izquierda a derecha y de arriba a abajo. . . . . . 62

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5.1. Formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2. Ubicacion de Formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3. Generando los Pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4. Triangulo de Sierpinski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.5. Funcion buscarH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.6. El triangulo de Sierpinski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.7. Construccion helecho de Barnsley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.8. Helecho de Barnsley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A.1. CP (A, δ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81A.2. dH(A, B) = max{δ1, δ2} = δ1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

B.1. Notacion numerica en hoja de calculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83B.2. Formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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Indice de cuadros

4.1. Notacion simplificada del sistema de funciones iteradas asociado al trian-gulo de Sierpinski. La columna marcada con PROB no es util todavıa; susignificado se revisara en el siguiente apartado. . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2. SFI asociado a un triangulo de Sierpinski modificado mediante la variacionde las probabilidades asociadas a cada una de sus transformaciones. . . . . 56

4.3. Aproximacion mediante el teorema de collage a la hoja de helecho. Lasprobabilidades se asignaron en funcion del area generada por cada trans-formacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1. funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2. Tabla para generar el triangulo de Sierpinski. . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3. Formula que calcula el coeficiente e de la funcion f4. . . . . . . . . . . . . 72

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Introduccion

Este trabajo fue editado en LATEX, para lo cual hubo la necesidad de realizar un estudioprofundo del manejo de las sentencias que se usan para la elaboracion de textos, especial-mente matematicos.Basicamente los fractales se caracterizan por dos propiedades: autosemejanza (o autosi-militud) y autorreferencia. La autorreferencia determina que el propio objeto aparece enla definicion de sı mismo, con lo que la forma de generar el fractal necesita algun tipo dealgoritmo recurrente. La autosemejanza implica invarianza de escala, es decir, el objetofractal presenta la misma apariencia independientemente del grado de ampliacion con quelos miremos. Por mas que se amplıe cualquier zona de un fractal, siempre hay estructura,hasta el infinito, apareciendo muchas veces el objeto fractal inicial, contenido en sı mismo.En su citada obra The Fractal Geometry of Nature1 Mandelbrot razono que la naturalezaentiende mucho mas de geometrıa fractal que de geometrıa diferenciable.2 La geometrıafractal aborda el estudio de formas geometricas no diferenciables o quebradas a cualquierescala que se miren.Tambien fue importante la publicacion por Huntchinson en 1981 de un trabajo en el quese desarrolla el concepto de conjunto autosemejante, de gran trascendencia en el desarrolloposterior de la geometrıa fractal.A partir de ahı, muchos cientıficos se han encontrado fractales en sus campos de estudio. Ladistribucion de las galaxias, los procesos fısicos de ramificacion, agregacion y turbulencia,la aparicion de ruido en senales electricas (precisamente una especie de conjunto de Cantoren su distribucion) e incluso los fenomenos economicos o sociologicos son algunos de loslugares en los que se esconde el serpenteo incansable de los fractales.

La dimension fractal

1Editada en castellano en 1997, veinte anos despues de su publicacion original, por la editorial Tusquets.2Es mas correcto contraponer la geometrıa fractal a la geometrıa diferenciable que a la euclidiana,

aunque muchas fuentes la opongan a esta ultima.

vii

La medicion de formas fractales (fronteras, poligonales, etc.) ha obligado a introducirconceptos nuevos que van mas alla de los conceptos geometricos clasicos. El conceptode longitud no esta claramente definido. La longitud de la lınea fractal depende de lalongitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la nocion de longituden estos casos, carece de sentido. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensionfractal, que sea una generalizacion de la dimension euclıdea. Sabemos que en geometrıaclasica un segmento tiene dimension uno, un cırculo tiene dimension dos, y una esferatiene dimension tres. Para que sea coherente con lo dicho una lınea fractal tiene que tenerdimension menor que dos (no llena toda la porcion de plano). En general lo que sucedees que la longitud de la curva fractal es superior a la del segmento de recta que lo genera,y por lo tanto, en general la dimension fractal sera un numero comprendido entre uno ydos. La dimension Hausdorff H(X) de un objeto fractal X mide el numero de conjunto delongitud L que hacen falta para cubrir X por L.

Resena historica

Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1880 por el frances Henri Poincare.Sus ideas fueron extendidas mas tarde fundamentalmente por dos matematicos tambienfranceses, Gaston Julia y Pierre Fatou, hacia 1918. Se trabajo mucho en este campo du-rante varios anos, pero el estudio quedo congelado en los anos 20. El estudio fue renovadoa partir de 1974 en IBM y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la compu-tadora digital. El Dr. Mandelbrot, de la Universidad de Yale, con sus experimentos decomputadora, es considerado como el padre de la geometrıa fractal. En honor a el, uno delos conjuntos que el investigo lleva su nombre. Otros matematicos, como Douady, Hub-bard y Sullivan trabajaron tambien en esta area explorando mas las matematicas quesus aplicaciones. Desde la decada del 70 este campo ha estado en la vanguardia de losmatematicos contemporaneos. Investigadores como el Dr. Robert L. Devaney, de la Uni-versidad de Boston ha estado explorando esta rama de la matematica con la ayuda delas computadoras modernas. M.F.Barnsley, en 1985, estudio una generalizacion del me-todo de J.E.Hutchinson. Mientras que J.E.Hutchinson utilizaba semejanzas contractivas,M.F.Barnsley utiliza aplicaciones contractivas, lo que le permite ampliar notablementela familia de fractales obtenidos. El metodo de M.F.Barnsley descubre la posibilidad deencontrar un fractal que se aproxime, tanto como queramos, a un objeto natural.M.F.Barnsley utiliza el termino fractal para referirse a cualquier conjunto compacto y novacıo.El metodo de M.F.Barnsley para generar conjuntos fractales, se basa en lossistemas de funciones iteradas(SFI).

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Contenido del documento

En el capitulo uno se describen las transformaciones matriciales basicas en el plano, tam-bien se define la transformacion lineal general. Por ultimo se realiza un esbozo de lastransformaciones afines las cuales nos seran muy utiles en la construccion de un objetofractal.En el segundo capitulo Monstruos matematicos nos introduciremos en la tematica mos-trando algunos de los fractales mas famosos, este capitulo se basa en informacion obtenidaen [GUZMAN] y [BARNS.], el objetivo de este capitulo es describir, por lo cual se omitenlas demostraciones.En el capitulo tres se muestra la teorıa de conjuntos auto semejantes, todos estos sonconceptos fundamentales de la teorıa de espacios metricos, en los cuales se sustenta espe-cialmente el teorema del punto fijo.Los sistemas de funciones iteradas son las bases de las tecnicas actuales en la compresionfractal, esos sistemas generalizan la concepcion de autosemejanza del capıtulo 4 constitu-yendo las herramientas basicas para la construccion de objetos fractales.En el capitulo 6 se construyen dos fractales en hoja de calculo, el famoso triangulo deSierpinski y el Helecho de Barnsley esto como la ıdea de usar una herrmienta de usocomun entre las personas.En el apendice A se aborda la medida de Lebesgue, la dimension de Hausdorff, la distanciade Hausdorff; estas nos sirven para medir y comparar fractales. El apendice B presentauna motivacion para trabajar en hoja de calculo.

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Capıtulo 1

Transformaciones lineales

Los vectores y las matrices se relacionan en forma intima a traves de la multiplicacionmatricial. Para una matriz fija A de mxn, cualquier vector n x corresponde al vector mAx. Esta correspondencia definida por el producto matricial Ax es el principal ejemplode una transformacion lineal, cuya definicion actual se debe a Peano1.Las transformaciones lineales desempenan un papel importante en las matematicas, fısica,ingenierıa, procesamiento de imagenes, graficas en computadora y muchas otras areas dela ciencia y de la vida diaria.

Figura 1.1: Transformacion lineal de una imagen.[NAKOS]

El dilema de un caricaturista[NAKOS]

Un caricaturista moderno emplea computadoras y algebra lineal para transformar las

1Guiseppe Peano. Nacio el 27 de agosto de 1858 en Cuneo, Italia. Murio el 20 de abril de 1932 enTurın Italia. Fue uno de los primeros en concebir a las matematicas mas como un Lenguaje, Capaz deexpresar ideas de manera sucinta y sin ambiguedades que como una simbologıa. Su interes por las curvasfractales deviene de sus estudios en el campo de de la logica simbolica y de como una proposicion finitapudiera llegar a generar una expansion infinita de proposiciones no triviales

1

imagenes que dibuja. Supongamos que trata de dar la sensacion de movimiento a la imagende la figura 1.1(a) inclinandola y estirandola (horizontalmente) en forma gradual parallegar a la de la figura1.1 (b). Si el estiramiento gradual necesario, por ejemplo, a lolargo del eje x es de 50 %, ¿como puede modelarlo matematicamente y hacer que lacomputadora trace la imagen inclinada? El metodo deberıa ser independiente de la imagen(cuadro) inicial para poder aplicarlo a otros cuadros. Como veremos en la seccion 1.1,en la respuesta interviene una sencilla multiplicacion de matriz por vector. De hecho,necesitamos multiplicar por la izquierda el vector coordenado de cualquier punto en elplano que deseemos transformar, por la matriz[

1 0,50 1

]

1.1. Transformaciones matriciales

En esta seccion se presentaran las transformaciones de matrices y estudiaremos algunastransformaciones matriciales del plano que desempenan un papel importante en las graficasen computadora.

1.1.1. Transformaciones generales

Con frecuencia se desea conocer como se relacionan los elementos de un conjunto con losde otro. A veces se usa una regla que describa esta relacion. A continuacion presentamosalgunos ejemplos de esas reglas.

(R1) Para cada vector 2 (x, y) se le asigna el vector 3 (x y, 0, y).

(R2) Para cada vector 2

[xy

]se le asigna el vector 3 definido por

1 −10 00 1

[xy

]

(R3) Para cada x > 0 se le asigna la solucion real para y de y2 − x = 0.

(R4) Para cada x real se le asigna la solucion real de x2 + 1 = 0

Hay varias diferencias agudas entre algunas de estas reglas. La regla (R4) no tiene sentido,porque x2 + 1 = 0 no tiene solucion real. (R3) es ambigua, porque y2 − x = 0 implica±√

x. Ası, a cada x le corresponden dos numeros, y no uno. Por otro lado, las reglas (R1)

2

y (R2) no tienen estos problemas. A cada vector 2 se le asigna exactamente un vector3 definido por la regla correspondiente. (R1) y (R2) estan bien definidas, y constituyenejemplos de transformaciones. Una transformacion T mapeo o funcion de un conjuntoA a un conjunto B, representada por T : A → B, es una regla quer asocia a cada elementode A un elemento de b, unico, de B, llamado imagen de a Bajo T . Se escribe T (a) = by se dice que a se mapea a T (a). A se llama dominio de T. B es codominio de T . Elsubconjunto de B formado por todas las imagenes de los elementos de A se llama rango2

o contradominio de T y se representa por R(T ) o por T (A). Es posible que dos o maselementos de A tengan la misma imagen (1.2). Dos transformaciones T1,T2 : A → B soniguales(se escribe T1 = T2) si sus imagenes correspondientes son iguales, es decir, si

T1(a) = T2(a) para todo a en A.

Figura 1.2: Dominio, codominio y contradominio.

Las Reglas (R1) y (R2) definen transformaciones iguales, ya que 1 −10 00 0

[xy

]=

x− y0y

Ejemplo 1.1. Sea T : R3 → R2 la transformacion expresada por T (x, y, z) = (x − t +z, x + y − z)

2Aclaracion: El uso de la palabra rango”de una transformacion es cada vez mas general y se debe a latraduccion indiscriminada de la palabra range 2rank”; pero para tratar de conservar la diferencia entrerangocomo dimension del contradominio, y el contradominio mismo, usaremos aquı las palabras rango 2

contradominio”, respectivamente. Tambien hay que recordar que no es lo mismo range”(contradominio)que rank”(rango) de una matriz.

3

(a) ¿ Por que T es una transformacion? ¿ Cual es su dominio? ¿ Cual es su codominio?

(b) ¿Cual de los vectores (1,−2, 3), (1, 2,−3) y (1, 0, 5) tienen la misma imagen bajo T?

(c) Determine todos los vectores 3 que se aplican a (0, 0).

(d) Describa el contradominio de T .

Solucion 1.1. (a) T es una transformacion porque cada vector 3, como (x, y, z) corres-ponde exactamente a un vector 2, que es (x− y + z, x + y − z). El dominio de T esR3. El codominio es R2.

(b) T (1,−2, 3) = (1− (−2) + 3, 1 + (−2)− 3) = (6,−4). De igual manera, T (1, 2,−3) =(−4, 6) y T (1, 0, 5) = (6,−4). Por consiguiente, (1,−2, 3) y (1, 0, 5) tienen la mismaimagen.

(c) Es preciso conocer todos los vectores (x, y, z) tales que T (x, y, z) = (x− y + z, x + y−z) = (0,0)). Entonces

x− y + z = 0

x + y − z = 0

Cuya solucion general es (0, r, r), r ∈R. Todos ellos son los vectores 3 que aplican a(0, 0).

(d) Para determinar el contradominio se necesitan todos los vectores 2, (a, b), para loscuales existen numeros x, y y z tales que T (x, y, z) = (a, b). Entonces, se necesitantodos los (a, b) que hacen consistente el sistema

x− y + z = a

x + y − z = b

Puesto que la matriz de coeficientes tiene dos pivotes, el sistema es consistente para todasa, b. En consecuencia, el contradominio de T es R2.

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1.1.2. Transformaciones de matrices

Consideremos por ejemplo la matriz determinada A =

[1 −1 11 1 −1

]. Si tomamos los

vectores 3 x y formamos los productos Ax, obtenemos vectores 2 unicos. Por ejemplo,[1 −1 11 1 −1

] 101

=

[20

],

[1 −1 11 1 −1

] 1−23

=

[6−4

]

y en general,

[1 −1 11 1 −1

] xyz

=

[x− y + zx + y − z

]Es claro que podemos definir una transformacion T : R3 → R2 por la regla T (x) = Ax.De hecho, T es el mapeo del ejemplo 1.1. Este es un ejemplo de transformacion ma-tricial , o de matrices. Esta transformacion es la mas importante del algebra lineal.

Definicion 1.1. (Transformacion matricial)Una transformacion matricial T se expresa mediante T : Rn → Rm y a esta le correspondeuna matriz A mxn tal que

T (x) = A(x)

Para todo x ∈ Rn. A se llama matriz(estandar) de T.

Por ejemplo, (R1) y (R2) se definen la transformacion matricial T : R2 → R3, T (x) =A(x), con 1 −1

0 00 0

Ejemplo 1.2. Para la A y T anteriores, compare R(T ) y Col (A). Determine una des-cripcion explıcita de R(T ).

5

Solucion 1.2. Un vector 3 w =

abc

esta en R(T ) si y solo si hay un vector 2

[xy

]tal que

T

([xy

])=

1 −10 00 1

[xy

]=

x− y0y

=

abc

. Esto equivale a decir que el sistema

cuya matriz aumentada es [A : w] es consistente, o tambien que w esta en Col(A). Porconsiguiente, R(T )=Col(A).Como T (x) = w implica que a = x− y, b = 0 y c = y, se tiene x = a +c, b = 0 y y = c.

Ası, a y c pueden ser escalares cualquiera y b = 0. En consecuencia, R(T )=

a

0c

, a, c ∈ R

Teorema 1.1.Si T (x) = Ax es cualquier transformacion matricial, entoncesR(T ) =Col(A).

Demostracion.

w ∈ R(T ) ⇐⇒ T (x) = w para algun x

⇐⇒ Ax = w para algun x

⇐⇒ [A : w] es consistente

⇐⇒ w ∈ Col(A)

El teorema siguiente describe las dos propiedades mas importantes de una transformacionmatricial.

Teorema 1.2. Cualquier transformacion matricial T : Rn → Rm, T (x) = Ax Satisfacelo siguiente

(1.) T (x + y) = T (x) + T (y) para todos x,y en Rn.

(2.) T (cx) = cT (x) para todo x en Rn y todos los escalares c.

6

1.2. Algunas transformaciones matriciales del plano

Ahora estudiaremos algunas transformaciones matriciales geometricas del plano que sonmuy interesantes (R2 → R2): reflexiones, compresiones-expansiones, cortes,rotaciones yproyecciones.

1.2.1. Reflexiones

Figura 1.3: Reflexiones basicas.

Las reflexiones se definen respecto a cualquier recta en el plano. Nos interesan aquellasque estan vinculadas con una recta que atraviesa el origen, en general respecto a los ejescoordenados (Rx y Ry) y a la recta diagonal y = x(Rd). Vease la figura 1.3 Esas reflexionesse definen con las formulas

Ry(x, y) = (−x, y) Rx(x, y) = (x,−y) Rd(x, y) = (y, x)

Y todas estas son transformaciones matriciales; sus matrices correspondientes son[−1 00 1

] [1 00 −1

] [0 11 0

]por ejemplo Ry

([xy

])=

[−1 00 1

] [xy

]:

[−xy

], y ası sucesivamente.

Ademas existe la reflexion basica respecto al origen, cuya formula y matriz son

Ro(x, y) = (−x,−y)

[−1 00 −1

]

7

Esto tambien puede considerarse como rotacion de 180o en torno al origen.

1.2.2. Compresiones-expansiones

Las compresiones y expansiones son escalamientos a lo largo de los ejes coordenados. Conmas precision: para c > 0, la transformacion Cx(x, y) = (cx, y) escala las coordenadas xcon un factor de c, dejando inalteradas a las coordenadas y. Si 0 < c < 1, se trata deuna compresion en la direccion del eje x positivo. Si c > 1, se refiere a una expansion(figura 1.4). Tambien se tienen compresiones y expansiones a lo largo del eje y, expresadaspor Cy(x, y) = (x, cy) para c > 0.

Figura 1.4: Compresion y estiramiento a lo largo del eje x.

Otro tipo son los escalamientos simultaneos a lo largo de los ejes x y y, como Cxy(x, y) =(cx, dy) con factores de escala c > 0 y d > 0 a lo largo de las direcciones x y y (figura 1.5).

Tanto Cx como Cy y Cxy son transformaciones matriciales, con sus respectivas matrices[c 00 1

] [1 00 c

] [c 00 d

]

8

Figura 1.5: Escalamiento a lo largo de los ejes x y y.

1.2.3. Cortes

Un corte o desplazamiento3 a lo largo del eje x es una transformacion de la forma

Sx(x, y) = (x + cy, y)

En otras palabras, cada punto se mueve a lo largo de la direccion x una cantidad

Figura 1.6: Deslizamiento a lo largo del eje x.

proporcional a la distancia al eje x (figura 1.6), tambien hay cortes a lo largo del eje y.

Sy(x, y) = (x, cx + y)

3Aclaracion: Este nombre de transformacion da idea de las deformaciones por esfuerzo cortante y delos deslizamientos de capas cristalinas en los materiales sometidos a esfuerzo cortante

9

Sx y Sy son transformaciones matriciales cuyas matrices son[1 c0 1

] [1 0c 1

]Observe que la constante c en la formula para un corte puede ser negativa. La figura 1.7ilustra este caso para Sy(x, y) = (x,−2x + y).

Figura 1.7: Deslizamiento a lo largo de la direccion negativa de y.

Ejemplo 1.3. Determine la transformacion Sx que se desliza en direccion positiva de xen un factor de 0,5. Para la figura 1.8, obtenga las imagenes de los puntos

(0, 2), (0, 1), (0,5, 0,5), (0, 0), (1, 0), (1, 1), (−1, 1), (−1, 0).

Solucion 1.3. Sx se expresa como Sx(x, y) = (x + ,5y, y), Por consiguiente,

Sx

([xy

])=

[1 0,50 1

] [xy

](1.1)

Las imagenes de los puntos identificados pueden calcularse sustituyendo sus coordenadas

10

Figura 1.8: Deslizamiento en transformaciones de imagen.[NAKOS]

en la ecuacion (1.1). Sin embargo, se ahorra espacio escribiendo los productos matriz porvector en forma de un producto de matrices:[

1 0,50 1

] [0 0 0,5 0 1 1 −1 −12 1 0,5 0 0 1 1 0

]=

[1,0 . 5 . 75 0 1,0 1. 5 −. 5 −1,02,0 1,0 . 5 0 0 1,0 1,0 0

]Las coordenadas de las imagenes son

(1, 2), (0,5, 1), (0,75, 0,5), (0, 0), (1, 0), (1,5, 1), (−0,5, 1), (−1, 0).

1.2.4. Rotaciones

Otro tipo de transformacion en el plano es la rotacion o giro en torno a cualquier puntoen el plano. Nos interesan principalmente las rotaciones en torno al origen.

Ejemplo 1.4. (Rotacion en el plano)La transformacion Rθ : R2 → R2 se define por

Rθ

(xy

)=

[cos θ − sin θsin θ cos θ

] [xy

]y hace girar cada vector x, y θ rad en sentido contrario al de las manecillas del reloj entorno al origen.

11

Solucion 1.4. De acuerdo con la figura 1.9(a),−−→OB es la rotacion de

−→OA un angulo de

θ. Entonces

x = r cos φ y = r sen φ

x′ = r cos(φ + θ) y′ = r sen(φ + θ)

Mediante identidades trigonometricas se llega a

Figura 1.9: Rotacion en torno al origen.

x′ = r cos φ cos θ − r sin φ sin θ y′ = r sin φ cos θ + r cos φ sin θ

x′ = x cos θ − y sin θ y′ = y cos θ + x sin θ

Por consiguiente

[x′

y′

]=

[x cos θ −y sin θx sin θ +y cos θ

]=

[cos θ − sin θsin θ + cos θ

] [xy

]= Rθ

([xy

])Que demuestran que Rθ es una rotacion de θ rad en torno al origen.

Por ejemplo, se calculara la imagen de (1, 1) para θ = π2

(figura 1.9(b)).

Rπ2

([11

])=

[cos π

2− sin π

2

sin π2

cos π2

] [11

]=

[0 −11 0

] [11

]:

[−11

]

12

1.2.5. Proyecciones

Las proyecciones del plano sobre una recta tambien son transformaciones del plano. Nosinteresan las proyecciones ortogonales sobre la recta que pasan por el origen, en especialsobre los ejes coordenados. Las proyecciones Px sobre el eje x y Py sobre el eje y (figura

1.10) se expresan por

Px(x, y) = (x, 0) Py(x, y) = (0, y)

las cuales son transformaciones matriciales con matrices

[1 00 0

] [0 00 1

]

Figura 1.10: Proyecciones ortogonales sobre los ejes.

1.3. Transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son mapeos de importancia fundamental en el algebra linealy en sus aplicaciones. Son transformaciones entre espacios vectoriales que conservan lasuma vectorial y la multiplicacion por escalar. En esta seccion definiremos una transfor-macion lineal y se mostraran varios ejemplos.

Definicion 1.2. (transformaciones lineales)

13

Sea V, W dos espacios vectoriales. Una transformacion lineal (0 mapeo lineal) de V a Wes una transformacion T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquierescalar c,

1. T (u+v)=T (u)+T (v);

2. T (cu)=cT (u).

El signo + en u+v es una suma en V , mientras que el signo + en T (u) + T (v) es unasuma en W . Del mismo modo, las multiplicaciones escalares cu y cT (u) se efectuan enV y W , respectivamente. En el caso especial V = W, la transformacion lineal T : V → Vse llama operador lineal de V.

Figura 1.11: Transformacion lineal.

Ejemplo 1.5. Demuestre que las transformaciones T : R2 → R2 definida por

T

[xy

]=

[2x −3yx +4y

]es lineal

Solucion 1.5.

Sean u =

[x1

y1

]y v =

[x2

y2

]

14

Entonces

T (u + v) = T

([x1

y1

]+

[x2

y2

])= T

[x1 + x2

y1 + y2

]=

[2(x1 + x2)− 3(y1 + y2)(x1 + x2) + 4(y1 + y2)

]=

[2x1 −3y1

x1 +4y1

]+

[2x2 −3y2

x2 +4y2

]= T

[x1

y1

]+ T

[x2

y2

]= T (u) + T (v)

Para todo escalar c,

T (cu) = T

[cx1

cy1

]=

[2cx1 − 3cy1

cx1 + 4cy1

]= c

[2x1 − 3y1

x1 + 4y1

]= cT

[x1

y1

]= cT (u)

Se satisfacen ambas partes de la definicion, de modo que T es lineal.

Ejemplo 1.6. Demuestre que la transformacion T : R3 → R2 es lineal:

T (x, y, z) = (x− z, y + z)

Solucion 1.6.

Sean u = (x1, y1, z1) y v = (x2, y2, z2).

15

Entonces

T (u + v) = T (x1 + x2, y1 + x2, z1 + z2)

= ((x1 + x2)− (z1 + z2), (y1 + y2) + (z1 + z2))

= (x1 − z1, y1 + z1) + (x2 − z2, y2 + z2)

= T (u) + T (v)

demuestra la parte uno de la definicion.

Ejemplo 1.7. (Transformaciones matriciales)Demuestre que toda transformacion matricial es lineal

Solucion 1.7. De acuerdo con el Teorema 1.2 de la seccion 1.1, ambas propiedades dela definicion se cumplen. Practicaremos volviendo a desarrollar la demostracion . Si T :Rn → Rm, entonces T (x) = Ax es una transformacion matricial, y T (x+y) = A(x+y) =Ax + Ay = T (x) + T (y) T (cx) = A(cx) = c(Ax) = cT (x) En consecuencia, T es lineal.

Ejemplo 1.8. (Transformacion lineal geometrica)Demuestre que las reflexiones, cortes o desplazamientos, compresiones-estiramientos, to-dos con respecto a los ejes coordenados, las rotaciones con respecto al origen y alas pro-yecciones sobre los ejes de coordenadas son transformaciones lineales.

Solucion 1.8. Todos estos mapeos4 son transformaciones matriciales, basandose en laseccion 1.1 En consecuencia, segun el ejemplo 1.7, son lineales.

1.3.1. Propiedades de las transformaciones lineales

Teorema 1.3. T : V → W es una transformacion lineal si y solo si para todos los vectoresv1 y v2 ∈ V, y todos los escalares c1 y c2, se cumple

T (c1v1 + c2v2) = T (c1v1) + T (c2v2)

= c1T (v1) + c2T (v2)

Demostracion. Si T es lineal, entonces

T (c1v1 + c2v2) = T (c1v1) + T (c2v2)

= c1T (v1) + c2T (v2)

4Las reflexiones con respecto a cualquier recta que pasa por el origen y las proyecciones sobre cualquierrecta que pasa por el origen son tambien transformaciones matriciales(es decir, lineales).

16

de acuerdo con las partes 1 y 2 de la definicion 1.2A la inversa, si T es una transformacion tal que T (c1v1 + c2v2) = c1T (v1) + c2T (v2) paratodos v1, v2 ∈ Rn y todos c1, c2 ∈ R. entonces si igualamos c1 = c2 = 1 obtenemos la parte1 de la definicion y haciendo c2 = 0 se obtiene la parte 2.

Ası las transformaciones lineales mapean una combinacion lineal de vectores en la mismacombinacion lineal de las imagenes de esos vectores.

Teorema 1.4. T : V → W es una transformacion lineal. Entonces

1. T (0) = 0;

2. T (u− v) = T (u)− T (v).

Demostracion. 1. De acuerdo con la parte 2 de la definicion 1.2,

T (0) = T (0v) = 0T (v) = 0

2. Segun el teorema 1.3, haciendo que c1 = 1 y c2 = −1,

T (u− v) = T (1u + (−1)v) = 1T (u) + (−1)T (v) = T (u)− T (v)

Ejemplo 1.9. ¿Es f : R2 → R2 una transformacion lineal, definida por f(x, y) = (x, 1)?

Solucion 1.9. Si f fuera lineal, entonces f(0, 0) seria (0, 0), con base en la parte 1 delteorema 4. Sin embargo, f(0, 0) = (0, 1), por lo tanto f no es lineal.

Ejemplo 1.10. Compruebe que la transformacion 0 : V → W es lineal.

Solucion 1.10. Si u y v son vectores de V y c es un escalar, entonces0(v + u) = 0 = 0 + 0 = 0(v) + 0(u)y0(cv) = 0 = c0 = c0(v)La transformacion I : V → V que convierte cada vector de V en si mismo se llamatransformacion identidad de V.I(v) = v ∀ v ∈ V.

Ejemplo 1.11. (Homotecia)Para un escalar fijo c, compruebe que T : V → V es lineal.T (v) = cv

17

Solucion 1.11. Sean u, w ∈ V y r ∈ R. T es lineal, porqueT (u + w) = c(u + w) = cu + cw = T (u) + T (w)T (ru) = c(ru) = r(cu) = rT (u)

A la transformacion del ejemplo N se le llama homotecia. Si c > 1, la homotecia es unadilatacion, y su efecto sobre v es estirarlo en un factor de c. Si 0 < c < 1, la homoteciaes una contraccion, y su efecto sobre v es encogerla en un factor de c (figura 1.12). Sic < 0, esta transformacion invierte la direccion de v.

Figura 1.12: Dilatacion y contraccion por un factor de 2.

Ejemplo 1.12. (proyeccion a al recta que pasa por el origen)Si u es un vector fijo distinto de cero en R3, la transformacion T : R3 → R3 definida conla proyeccion ortogonal de cada v ∈ R3 sobre u es lineal (figura 1.13) .

T (v) =v · uu · u

u

Solucion 1.12. Puesto que

T (c1v1 + c2v2) =(c1v1 + c2v2) · u

u · uu =

c1v1 · u + c2v2 · uu · u

u

= c1v1 · uu · u

u + c2v2 · uu · u

u = c1T (v1) + c2T (v2)

Lo anterior se demostro segun el teorema 1.3.

1.4. Matriz de una transformacion lineal

En este numeral se generalizara el concepto de matriz estandar de una transformacionmatricial. Se demostrara que toda transformacion lineal entre espacios vectoriales de di-mensiones finitas puede representarse como una transformacion matricial.

18

Teorema 1.5. (Matriz de una transformacion lineal)Sea T : V → W una transformacion lineal entre dos espacios vectoriales V y W ddedimensiones finitas. Sea B = {v1, ..., vn} una base de V y B′ = {v′1, ..., v′m} una base deW . La matriz A mxn cuyas columnas son

[T (v1)]B′ , ..., [T (vn)]B′

Es la unica matriz que satisface

[T (v)]B′ = A[v]B

Demostracion. Como B genera a V , hay escalares c1, ..., cn tales que v = c1v1 + · · ·+ cnvn.Ası

T (v) = c1T (v1) + · · ·+ cnT (vn)

Porque T es lineal. Por consiguiente

[T (v)]B′ = c1[T (v1)]B′ + · · ·+ cn[T (vn)]B′

= A

c1...cn

= A[v]B

La verificacion de que A es la unica matriz con la propiedad [T (v)]B′ = A{v}B para todo

v ∈ V

Definicion 1.3. La matriz A del teorema 1.5 se llama matriz de T con respecto a B yB′. Si V = W y B = B′, A se llama matriz de T con respecto a B (figura 1.13).

Observaciones

1. El teorema 1.5 es muy util. Si conocemos A es posible evaluar T (v) calculando [T (v)]B′

como A[v]B, lo cual es tan solo una multiplicacion de matrices.

19

Figura 1.13: Matriz de una transformacion lineal.[NAKOS]

2. La matriz de T depende de T, B y B′. Aun cuando se modifica el orden de los vectoresen una de las bases, la matriz T cambiaEl teorema 1.5 tiene la consecuencia importante de que las unicas transformacioneslineales de Rn a Rm son las transformaciones matriciales.

Teorema 1.6. Toda transformacion lineal T : Rn → Rm es una transformacion matricial

Demostracion. Sean B y B′ las bases estandar de Rn y Rm, respectivamente entoncessegun el teorema 1.5, hay una matriz A tal que

[T (v)]B′ = A[v]B

Para todo v ∈ Rn. Pero como T (v) = [T (v)]B′ y A[v]B = Av para bases estandar, tenemos

T (v) = Av

Por consiguiente, T es una transformacion matricial cuya matriz estandar es A.

Ejemplo 1.13. Sea T : R2 → R3 la transformacion lineal definida por[xy

]=

2x + yx− yx + 4y

20

y sean B = {v1, v2} y B′ = {v′1, v′2, v′3} las bases de R2 y R3, donde

v1 = e2 v2 = e1

y

v′1 = e3, v′2 = e2 v′3 = e1

respectivamente,

(a) Determine la matriz A de T con respecto a las bases B y B′.

(b) La matriz estandar de T ¿es igual que A del inciso (a.) ?

(c) Evalue T

[−46

]en forma directa y a partir del inciso (a.).

Solucion 1.13. (a) En este caso,

T (e2) = T

[01

]=

1−14

y T (e1) = T

[10

]=

211

A continuacion necesitamos [T (e2)]B′ y [T (e1)]B′ . Es facil verificar que 1−14

B′

=

4−11

y

211

B′

=

112

Por consiguiente,

A =

4 1−1 11 2

(b) La matriz estandar de T, que tambien es la matriz de T con respecto a la base estandar,

es 2 11 −11 4

que no es igual que A.

(c) Al sustituir en la formula para T, se obtiene

T

[−46

]=

−2−1020

21

Por otro lado, para usar A se necesita

[−46

]B

, que es

[6−4

]. De manera que,

[T

[−46

]]B′

=

4 1−1 11 2

[6−4

]=

20,0−10,0−2,0

Ası, por la definicion de un vector coordenado con respecto a B′.

T

[−46

]= 20

001

− 10

010

− 2

100

=

−2,0−10,020,0

1.5. Transformaciones afines

Definicion 1.4. Sea A una matriz mxn, una transformacion afın T : Rn → Rm

tiene la forma

T (x) = Ax + b

Para algun vector m fijo b. Esta transformacion es no lineal si b 6= 0. Por lo anterior,T(0) 6= 0. En el caso especial en que m = n y A sea la matriz I de identidad , n × n,entonces

T (x) = Ix + b = x + b

A esa T se le llama traslacion por b.

Una traslacion por un vector b 6= 0 desplaza a una figura sumando b a todos sus puntos.Una transformacion afın es una transformacion lineal seguida de una traslacion.

Figura 1.14: (a)Traslacion,(b)transformacion afın: rotacion y despues traslacion.

La figura 1.14(a) muestra la imagen S’ del cuadrado S despues de la traslacion por (2,-1).La figura 1.14(b) muestra la imagen S’ del cuadrado S bajo la transformacion afın.

22

T (x) =

[ √2

2−√

22√

22

√2

2

]x +

[−20

]T consiste en una rotacion de 45◦ seguida de una traslacion por (−2, 0).Las transformaciones afines con n = m = 2 y n = m = 3 son muy utiles para las graficasen computadora.

Ejemplo 1.14. Obtener la transformacion afın T que convirtio la imagen izquierda de lafigura 1.15 en la derecha, puesto que se usaron los puntos siguientes:(1, 0), (0,7, 0,7), (0, 1), (−0,7, 0,7), (−1, 0), (−0,7,−0,7), (0,−1), (0,7,−0,7), (1, 0)cuyas respectivas imagenes fueron:(2,−1), (2,05,−0,3), (1,5, 0), (0,65, 0,3), (0,−1), (0,05,−1,7), (0,5,−2), (1,35,−1,7), (2,−1)

Figura 1.15: Traslacion con deslizamiento de un polıgono.

Solucion 1.14. Sean T (x) = Ax + b con b =

[b1

b2

]y A

[a bc d

]. Entonces

T

[x1

x2

]=

[a bc d

] [x1

x2

]+

[b1

b2

]=

[ax1 + bx2 + b1

cx1 + dx2 + b2

]ya que

T

[01

]=

[a + b1

c + b2

]=

[2−1

]

23

T

[01

]=

[b + b1

d + b2

]=

[1,50

]T

[−10

]=

[−a + b1

−c + b2

]=

[0−1

]llegamos al sistema

a + b1 = 2

c + b2 = −1

b + b1 = 1,5

d + b2 = 0

−a + b1 = 0

−c + b2 = −1

cuya solucion es a = 1, b = 0,5, c = 0, d = 1 y b1 = 1, b2 = −1. De modo que,

T (x) = Ax + b =

[1 0,50 1

]x +

[1−1

]Por lo anterior, T es el deslizamiento en 0,5 a lo largo del eje x seguido de la traslacionpor (1,−1).

Si observamos la figura 1.16, la transformacion afın T se describe con la rotacion de 45◦

en direccion positiva en torno al eje z seguida de una traslacion por (1, 1, 1), esto se aplicoal tetraedro de la izquierda y produjo el tetraedro de la derecha.

T (x) =

√

22

−√

22

0√2

2

√2

20

0 0 1

x +

111

Figura 1.16: Tetraedro girado y trasladado.

24

Capıtulo 2

Monstruos Matematicas

La historia de los fractales comienza a finales del siglo XIX, en el siglo XX permanecen enestado de quietud. En el ultimo cuarto del siglo XX y casi en paralelo a la evolucion de lainvestigacion de los sistemas caoticos, los fractales van cobrando un auge creciente, hastaconvertirse en un concepto cada vez mas extendido en todas las ciencias.En este apartado nos introduciremos en el tema mostrando algunos fractales famosos.

2.1. Fractales

A finales del siglo pasado, el matematico Charles Hermite tildaba de ”plaga lamentable”lafascinacion que algunos otros matematicos sentıan por determinadas curvas que desafiabanlos cimientos de la geometrıa de la epoca. Muchos como el consideraban patologicas aqueltipo de curvas, desentendiendose de sus insolitas propiedades. Uno de aquellos primerosmonstruos geometricos era el denominado conjunto de Cantor. Su definicion es:Se toma un segmento de determinada longitud (por ejemplo el intervalo [0, 1] de la rectareal) y se divide en tres segmentos de igual longitud, se elimina el segmento central y elproceso se repite con los dos nuevos segmentos resultantes. El resultado de repetir esteproceso infinitas veces (paso al lımite) es el conjunto de Cantor.Un espectador infinitesimal que observara la repeticion anterior durante una eternidad,no terminarıa por ver desaparecer la totalidad de los los puntos. El consolidado sistemade de medidas de la epoca (medida de Lebesgue) daba para dicho conjunto medida nula.Tarde o temprano se tuvo que aceptar que aquel sistema de medidas era insuficiente.En 1890, Peano ideo otro de tales rarezas: una curva que rellenaba el plano ¿Como podıauna region cuadrada del plano ser una curva? Anos mas tarde Hilbert ideo una curva conidentica propiedad pero de mas sencilla elaboracion.

25

Otro ejemplo es el de la curva ideada por el Matematico Helge Von Koch en 1904. Unsegmento se divide en tres partes iguales, suplantando la central por los dos segmentosque junto a dicha parte formarıan un triangulo equilatero. El proceso se repite infinitasveces con los cuatro segmentos resultantes. Una caracterıstica sorprendente de la curva deKoch es que un perımetro infinito aloja un area finita.Todas estas formas han terminado por transformar muchos de los conceptos dados porvalidos hasta el siglo pasado, terminando en la denominada teorıa geometrica de la medidadesarrollada en las primeras decadas del siglo XX. Uno de los aspectos mas importantessurgidos de esta teorıa es la redefinicion del concepto de dimension a cargo de Hausdorff,que permite que estas curvas tengan dimension fraccionaria. La curva de Koch tiene unadimension de Hausdorff de 1, 2618 lo cual indica que esta mas cerca de ser una recta(dimension 1) que una area (dimension 2). Los trabajos de Hausdorff fueron continuadosdurante la decada de los anos 20 del siglo XX por Besicovitch derivando la teorıa geometricade la medida.Hoy dıa todas las curvas anteriores estan contenidas dentro de una clase mas amplia deobjetos matematicos denominados fractales. El termino fractal fue acunado por BenoitMandelbrot (descubridor de uno de los mas bellos y complejos conjuntos matematicos,que lleva su nombre) hace apenas unos veintisiete anos como un neologismo derivadode la palabra latina fractus1 estando aun por establecer la definicion exacta y definitivadel termino. Sin embargo, de algo no hay duda: las curvas anteriormente descritas songenuinamente fractales.Resulta curioso que los matematicos que sentaron las bases de la teorıa geometrica dela medida a comienzos de este siglo, lo hicieron desde un punto de vista completamenteteorico, sin intuir los cambios que han propiciado a las matematicas como tal.

2.2. El conjunto de Cantor

El conjunto de Cantor2 es un ejemplo clasico de conjunto no numerable con el mismocardinal que el continuo, pero, a pesar de ello, con medida de Lebesgue unidimencio-nal(longitud)nula. Una breve descripcion de esta medida puede encontrarse en el apendiceA.Para construir el conjunto de Cantor se partira del intervalo unidad E0 = [0, 1] ⊂ R,Dividimos dicho intervalo en tres partes iguales y consideramos los intervalos cerrados de

1Aunque Mandelbrot definio el sustantivo fractal con un genero femenino, son raras las referencias encastellano que se refieren a las fractales y gran mayorıa las que lo hacen a los fractales.

2George Cantor Nacio en San Petersburgo (Rusia). Su madre era rusa y su padre era un comerciantedanes. En 1856 la familia se traslado a Wiesbaden (Alemania),Cantor estudio los conjuntos infinitos

26

los extremos

E11 =[0, 1

3

]E12 =

[23, 1

]cada uno de ellos de longitud 1

3.

El proceso anterior se repite sobre los nuevos conjuntos obtenidos. Cada uno de estosintervalos se divide en tres intervalos de igual longitud para prescindir del intervalo centraly considerar los cuatro intervalos cerrados

E21 =[0, 1

9

]E22 =

[29, 1

3

]E23 =

[23, 7

9

]E24 =

[89, 1

]cada uno de ellos de longitud 1

9.

Si continuamos indefinidamente de esta forma, en la etapa k -esima tendremos 2k intervaloscerrados Ekj con j = 1, 2, . . . , 2k cada uno de ellos de longitud 3−k.

Figura 2.1: El conjunto ternario de Cantor se obtiene de manera inductiva comenzandopor el segmento de unidad y quitando en cada etapa a cada intervalo el segmento medioresultante de dividirlo entres partes iguales.

Consideremos ahora para cada k = 1, 2, . . . el conjunto

Ek =2k⋃

j=1

Ekj

Observemos que los conjuntos Ek, k = 1, 2, . . . , forman una sucesion monotonamentedecreciente, esto es

Ek+1 ⊂ Ek ∀k

El conjunto lımite de este proceso

27

E =∞⋂

k=1

Ek

se denomina conjunto ternario de Cantor. En la figura 2.1 se muestran las primeras etapasde la generacion del conjunto de Cantor.Las propiedades asombrosas de este conjunto son abundantes. Veamos unas cuantas. Enprimer lugar observemos que E no es vacıo ya que en cada Ek estan, como mınimo, losextremos de los 2k intervalos cuya union nos da Ek y, por lo tanto, tambien estan en E.Ademas, el conjunto de Cantor es cerrado por ser interseccion de cerrados.Con todo, estos no son los unicos puntos de E; si ası fuera, se tratarıa de un conjuntonumerable. Pero E es no numerable. Veamoslo.Cada punto de E es representable de forma unica mediante

a = a1

3+ a2

32 + · · ·+ an

3n + · · ·

donde cada ai es 0 o 2. Podemos entonces escribirlo en base tres como

a = 0.a1a2 . . . an . . .

Recıprocamente, cada expresion de este tipo corresponde a un punto de E. Si E fueranumerable3 podrıamos ordenar sus elementos. Supongamos que es cierto lo anterior y queE es numerable

a1 = 0.a11a

12

a2 = 0.a21a

22

a3 = 0.a31a

32

. . . . . . . . . . . .

y formemos un punto 0.b1b2 . . . a partir de la sucesion anterior con la regla siguiente

siann = 0, bn = 2

siann = 2, bn = 0

3Un conjunto es infinito si tiene el mismo cardinal que una parte estricta suya, esto es, si puedeestablecerse una aplicacion biyectiva entre el conjunto y un subconjunto propio suyo. Un conjunto esnumerable si tiene el mismo cardinal que N. Cantor demostro que Q es numerable y que R es no numerable.

28

El numero ası formado no esta en la sucesion anterior y, sin embargo, pertenece claramentea E y, por tanto, E no puede ser numerable.Este procedimiento es muy similar a la famosa tecnica utilizada por Cantor para demostrarla numerabilidad de R.Aun ası el conjunto de Cantor tiene medida de Lebesgue unidimensional nula. Esta medidase discute en el apendice A. Para cualquier etapa k, la familia de intervalos {Ekj}, j =1, . . . , 2k, es un recubrimiento de E formado por intervalos disyuntos. Ası se tiene, por laspropiedades de la medida de Lebesgue, que

L1(E) ≤ L1(2k⋃

j=1

Ekj) =2k∑

j=1

L1(Ekj) = 2k3−k = (2

3)k

Puesto que la desigualdad es cierta para todo k y (23)k tiende a cero cuando k tiende a

infinito, se obtiene L1(E) = 0.Aunque aquı no se demostrara, puede comprobarse, ademas, que el conjunto E no contieneintervalos, es decir, es infinitamente poroso.

2.3. Curvas de Peano y Hilbert

En 1980 Peano construyo una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadradounidad [0, 1]2 Era el primer ejemplo de una curva que llena un espacio. Anos mas tarde,Hilbert construye otra del mismo tipo con una construccion geometrica mas simple dedescribir. La curva de Hilbert se construye iterando el procedimiento que puede observarseen la figura 2.2. En cada etapa cada segmento se sustituye por otros cuatro con la mitadde longitud. La curva Lımite de tales poligonales llena el cuadrado de unidad.

2.4. Curva de Koch

Esta curva fue construida en 1904 por el matematico Helge von Koch, se parte del segmentounidad [0, 1] y se divide en tres partes iguales, sustituyendo la parte central por los dossegmentos que junto con dicha parte formarıan un triangulo equilatero. Con cada uno delos cuatro segmentos que ası queden determinados se repite la operacion anteriormentedescrita.se procede indefinidamente de esta forma obteniendo en cada etapa k una poligonal delongitud (4

3)k. La curva de Koch se define como la curva lımite a que converge la sucesion

29

Figura 2.2: Primeras etapas de la generacion de la curva de Hilbert. La curva de Hilbertes un ejemplo de curva que llena el plano, por lo que su dimension fractal es 2.

cuando k tiende a infinito. Se trata, por tanto, de una curva de longitud infinita pues (43)k

tiende a infinito con k. Mas aun, la longitud de la parte de curva comprendida entre dospuntos cualesquiera de la misma tambien es infinita. El area bajo la curva, por otra parte,viene dada por la serie

1 + (49) + (4

9)2 + (4

9)3 + · · ·

Figura 2.3: Primeros pasos del proceso de construccion de la curva de Koch. En el lımitedados dos puntos cualesquiera de la curva es imposible llegar a uno de ellos desde el otropor encima de la curva. La longitud de cualquier tramo de curva es infinita.

que converge a 93

asumiendo que el area bajo el triangulo de la primera iteracion es 1. Enla figura 2.3 pueden verse las primeras etapas de la generacion de la curva de Koch.

30

Capıtulo 3

Conjuntos Autosemejantes

3.1. Conjuntos autosemejantes famosos

Como muestra de estos conjuntos se abordaran tres conjuntos celebres.

3.1.1. Conjunto de Cantor

Consideremos un sistema Ψ1, Ψ2 de dos contracciones de R de ecuaciones Ψ1 = x3

yΨ2(x) = x

3+ 2

3. La primera transforma I = [0, 1] en el intervalo [0, 1

3], mientras que

Ψ2(I) = [23, 1].

Sabemos que el conjunto de Cantor E construido en el pagina 26 no es otro que el conjuntode los numeros reales incluidos en I tales que en sus expresiones decimales en base tressolo figuran ceros y doses. Observamos que si x es uno de tales numeros, x

3tambien lo es

(la division por 3 en base 3 se efectua corriendo la coma decimal un lugar a la izquierda).Tambien x

3+ 2

3estara en el conjunto de Cantor, ya que ahora tras correr la coma un lugar

a la izquierda sumaremos 0, 2 (en base 3).Los conjuntos Ψ1(E) y Ψ2(E) resultan ser aquı, respectivamente, aquellos puntos del con-junto de Cantor cuyas expresiones decimales comienzan por 0, 0 y aquellos que comienzanpor 0, 2. Entre ambos reunen todos los puntos de E, siendo vacıa su interseccion. He-mos probado que el conjunto de Cantor es autosemejante con arreglo a la definicion dadaanteriormente.

3.1.2. Conjuntos de Cantor en R2

Para obtener el conjunto de cantor en R2 mostrado en la figura partiendo de un cuadradoutilizamos un sistema de cuatro semejanzas: las que transforman el cuadrado inicial en

31

Figura 3.1: El conjunto de cantor en R2 es un conjunto autosemejante bajo el sistema decuatro semejanzas que transforman el cuadrado inicial en cada en cada uno de los cuatrocuadrados de las esquinas.

cada uno de los cuadrados pequenos que ocupan sus cuatro esquinas. Mas concretamente,si Ψ1 y Ψ2 son las semejanzas del ejemplo anterior, nuestras cuatro semejanzas son ahora

Figura 3.2: La curva de Koch se puede construir sustituyendo el segmento I por lossegmentos I1, I2, I3, I4 y repitiendo en cada uno de ellos este proceso indefinidamente

φij = (Ψi(x), Ψj(y)), 1 ≤ i, j ≤ 2

El conjunto E se descompone en la union de cuatro copias semejantes, que son precisa-mente las φij(E).

3.2. Curva de Koch

Consideremos las cuatro semejanzas del plano que transforman el segmento unitario I enlos cuatro segmentos de la figura 3.2.Puede demostrarse que la curva de Koch es autosemejante respecto a estas cuatro seme-janzas, cada una de las cuales tiene razon 1

3. En el capıtulo siguiente se dan las ecuaciones

exactas de tales semejanzas.

32

3.3. Espacios metricos

Antes de profundizar en las caracterısticas de los conjuntos autosemejantes, es necesariomostrar algunos conceptos sobre topologıa y espacios metricos cuya comprension es vital.Aunque en un principio puedan parecer conceptos excesivamente abstractos, se vera suutilidad a la hora de conformar una base teorica solida de la geometrıa fractal.Se dice que d es una metrica o distancia definida en un conjunto X si a cada par de puntosx, y ∈ X se les puede asignar un numero real d(x, y) tal que:

1. ∀x, y ∈ X, d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) = 0 ⇔ x = y

2. ∀x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x)

3. ∀x, y, z,∈ X, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdad triangular)

Al par (X, d) se le denomina espacio metrico. Un ejemplo caracterıstico de espacio metricoes el espacio Rn con la distancia euclıdea habitual

d(x, y) = |x− y| =

√√√√ n∑k=1

(x2k − y2

k)

con x, y ∈ Rn.Si (X, d) es un espacio metrico, todo A ⊂ X admite de forma natural una metrica dA,dada para x, y ∈ A por

dA(x, y) = d(x, y)

lo que convierte (A, dA) en un espacio metrico del que se dice es subespacio metrico deX.En un espacio metrico (X, d), dado un punto x ∈ X y un numero real r > 0 se definebola abierta de centro x y radio r como el conjunto

B(x, r) = {y ∈ X = d(x, y) < r}

Si en esta definicion se cambia < por ≤ se obtiene la definicion de bola cerrada concentro x y radio r.Un subconjunto A de un espacio metrico se dice acotado si esta incluido en alguna boladel espacio metrico.

33

Definicion 3.1. Dado un conjunto acotado A ⊂ R no vacıo, el supremo de A, que repre-sentamos por supA, cumple las dos condiciones siguientes:

1. Para cualquier x ∈ A se verifica x ≤ supA

2. dado ε > 0, por pequeno que sea, existe x ∈ Atal que x > (supA)−ε es decir, un puntox tan proximo al supremo de A como queramos

Si el conjunto A es cerrado (incluye a su frontera), no solo ocurre lo anterior, sino que dehecho existe x ∈ A tal que x = sup A, y entonces sup A = max A, esto es, el supremose convierte en maximo. A partir de esta definicion de supremo es sencillo obtener la deınfimo y mınimo de un conjunto.Dado un subconjunto acotado A en un espacio metrico (X,d) se define diametro de Acomo

|A| = supx,y∈A

{d(x, y)}

Si A y B son conjuntos acotados de X (en particular cuando alguno de ellos se reduce aun punto), se define distancia1 entre A y B como

d(A, B) = infx∈A,y∈B

{d(x, y)}

En un espacio metrico (X, d) un conjunto A se llama abierto si para cada x ∈ A hayuna bola B(x, r) ⊆ A. Un conjunto B se llama cerrado si su complementario X − B esabierto.En un espacio metrico (X, d) dado A ⊆ X se llama adherencia de A al conjunto

A = adh(A) = {x ∈ X : para toda bola B(x, r), B(x, r) ∩ A 6= ∅}

La adherencia de un conjunto es el mınimo conjunto cerrado que lo contiene y tambien

A = adh(A) = {x : d(A, x) = 0}

Un conjunto es cerrado si y solo si coincide con su adherencia.Dado A ⊆ X se llama interior de A al conjunto

1Esta distancia no coincide con la metrica de Hausdorff dH que se vera mas adelante; de hecho, nisiquiera es una metrica segun la definicion anterior ya que no cumple el apartado 1.

34

Int(A) = {x ∈ A : ∃B(x, r) ⊆ A}

El interior de un conjunto es el mayor conjunto abierto contenido en el. Un conjunto esabierto si y solo si coincide con su interior.Una sucesion {xn} de puntos de un espacio metrico (X, d) es convergente si existe unnumero x que verifique que para cualquier ε > 0 existe un natural N tal que si n > N,d(x, xn) < ε. Entonces se escribe x = lımn→∞ xn.Una aplicacion f : X → Y entre dos espacios metricos es continua en x ∈ X si paratodo ε > 0 existe δ tal que

d(x, y) > δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε

Si f es continua en todo punto de X, se dice que es continua en X. Una condicion necesariay suficiente para que f sea continua en x es que, para toda {xn} convergente a x, sea

lım f(xn) = f(lım xn)f(x)

Una condicion necesaria y suficiente para que f sea continua en X es que para todo A ⊆ Xsea

f(adh(A)) ⊆ adh(f(A))

3.3.1. Espacios metricos completos y compactos

En un espacio metrico (X, d) una sucesion {xn} se llama de cauchy si para todo ε > 0existe un N tal que si p, q > N , d(xp, xq) > ε. Toda sucesion convergente es de Cauchy,pero puede haber sucesiones de Cauchy que no sean convergentes. Cuando toda sucesionde Cauchy es convergente a un punto de X, al espacio metrico se le denomina completo.Un espacio metrico es compacto si para toda sucesion {xn} de puntos de X admiteuna subsucesion convergente a un punto de X. Son ejemplos caracterısticos de conjuntoscompactos los conjuntos cerrados y acotados de Rn. La imagen de un conjunto compactopor una aplicacion continua entre espacios metricos es un conjunto compacto.

3.3.2. Aplicaciones contractivas en espacios metricos

Una aplicacion f : X → X, donde (X, d) es un espacio metrico, es contractiva si parax, y ∈ X, d(f(x), f(y)) ≤ k · d(x, y) para cierto 0 < k < 1 llamado constante de lacontraccion, modulo de la contraccion o razon de contractividad. En estascondiciones se verifica la siguiente proposicion.

35

Proposicion 3.1. Si la aplicacion f : X → X sobre el espacio metrico X es contractiva,entonces se cumple:

1. f es continua

2. Si g : X → X es contractiva de modulo k′, entonces g ◦ f es contractiva de modulok · k′

3. fn es contractiva de modulo kn

La demostracion se puede encontrar en [[GUZMAN],pag.150]

3.4. Teorema del punto fijo

Estamos en condiciones de dar un teorema importante para nuestro trabajo, ya que sin ella compresion fractal (al menos tal como hoy se conoce) no seria posible. Se trata, ademas,de un resultado muy util en muchas areas de las matematicas.

Teorema 3.2. (Teorema del punto fijo) Si X es un espacio metrico completo yf : X → X es una aplicacion contractiva de modulo k, entonces existe un unico x ∈ Xdenominado punto fijo de la contraccion tal que f(x) = x.

Demostracion. No puede existir x e y tales que f(x) = x y f(y) = y, ya que en tal caso

d(f(x), f(y)) = d(x, y)

y sin embargo, la contractividad de f impone

d(f(x), f(y)) < d(x, y)

Esto prueba que si x existe, es unico.

Teorema 3.3. Si X es un espacio metrico completo y f : X → X es una aplicacioncontractiva de modulo k, entonces, si x es el punto fijo de la contraccion tal que f(x) = x,se tiene que para cualquier y ∈ X

1. x = lımn→∞ fn(y)2

2. d(x, y) ≤ 11−k

d(y, f(y))

2Nota: donde f1(y) = f(y), f2(y) = f(f(y)), f3(y) = f(f(f(y))) . . .

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Demostracion. Veamos en primer lugar la demostracion de 1. Probaremos a continuacionque, dado un y ∈ X arbitrario, la sucesion cuyo termino general es yn = fn(y) es deCauchy.Para p ≥ 1 arbitrario

d(yp, yp+1) = d(f(yp−1), f(yp)) ≤ k · d(yp−1, yp)

Aplicando esta formula repetidas veces se tiene

d(yp, yp+1) ≤ kpd(y0, y1

para p < q arbitrarios, en virtud de la desigualdad triangular

d(yp, yq) ≤ d(yp, yp+1) + d(yp+1, yp+2) + · · ·+ d(yq−1, yq)

≤∞∑i=p

d(yi, yi+1)

≤ d(y0, y1)∞∑i=p

ki

= d(y0, y1)kp

1−k

y esta ultima expresion se hace mas pequena que un ε arbitrario tomando p suficientementegrande.Como {yn} es de Cauchy en el espacio completo (X, d), debe ser convergente. Si x es sulımite, en virtud de la continuidad de f se tiene

f(x) = f( lımn→∞

yn)

= lımn→∞

f(yn)

= lımn→∞

yn+1

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= x

y esto prueba que x es el punto fijo de la contraccion y concluye la demostracion de 1.Para demostrar 2., tomando p = 0 en

d(yp, yq) ≤ d(y0, y1)kp

1−k

se obtiene

d(y0, yq) ≤ 11−k

d(y0, y1)

Tomando lımites cuando q tiende a infinito

lımq→∞

d(y0, yq) = d(y0, lımq→∞

yq) = d(y0, x) ≤ 1

1− kd(y0, f(y0))

donde y0 ∈ X es arbitrario.

3.5. Invarianza respecto a un sistema de semejanzas

Expondremos ahora un resultado que proporciona un criterio mas eficaz para probar laautosemejanza de conjuntos al permitir su construccion directa a partir de sistemas deautosemejanzas. En los ejemplos de la seccion 3.1 hemos encontrado el sistema de semejan-zas a posteriori basandonos en el conocimiento que tenıamos del proceso de construccionde los conjuntos. Ademas, la demostracion rigurosa de la autosemejanza del conjunto deCantor fue posible porque se disponıa de las expresiones decimales de sus puntos.Conseguiremos ahora, por tanto, un metodo flexible para la construccion y caracterizacionde autosemejantes (con el que se puede probar de forma elemental la autosemejanza detodos los fractales mencionados en el apartado 3.1).

Teorema 3.4. Dado un sistema S = {Ψ1, Ψ2, . . . , Ψm} de semejanzas contractivas de Rn

(esto es, todas ellas de razon menor a la unidad) existe un unico compacto y no vacıoE ⊂ Rn tal que

E =m⋃

i=1

Ψi(E)

38

Observemos que el conjunto E cuya existencia conocemos a partir de cualquier sistemade semejanzas contractivas, dado a priori, satisface la condicion 1. de la definicion deautosemejante, pero nada podemos asegurar respecto de la condicion 2.

39

Capıtulo 4

Sistemas de Funciones Iteradas

4.1. El espacio de los fractales

J. E. Hutchinson fue en 1981 el primer matematico que, estudiando las propiedades co-munes (compacidad, autosemejanza etc.) de los fractales ya conocidos, elaboro una teorıaunificada para la obtencion de una amplia clase de conjuntos fractales: los conjuntos auto-semejantes.En 1985, M. F. Barnsley generalizo el metodo de Hutchinson. Mientras que ´este utilizasemejanzas contractivas, Barnsley utiliza aplicaciones contractivas, lo que permite ampliarnotablemente la familia de fractales obtenidos, de la que ahora los conjuntos autoseme-jantes son un subconjunto.Debe tenerse en cuenta que durante este capıtulo consideraremos fractal en sentido amplioa todo conjunto compacto, es decir, a cualquier conjunto no vacıo acotado y que conten-ga a su frontera. Esta consideracion surge del hecho de poder unificar bajo un nombrecom´un a todos los conjuntos que se pueden derivar de un sistema de funciones itera-das, independientemente de que posean o no estructura fractal. De cualquier modo, losresultados obtenidos seran aplicados ınicamente a los autenticos conjuntos fractales.Llamaremos, por tanto, fractal a cualquier subconjunto compacto y no vacıo de Rn yespacio de los fractales, o espacio donde van a vivir los fractales, de Rn al conjunto detodos los fractales de dicho espacio, es decir, al conjunto:

H(Rn) = {K : K ⊂ Rn, K 6= ∅ y K es compacto}

Puesto que aquı vamos a tratar sobre el problema de aproximar objetos naturales (fracta-les en un cierto espacio Rn) mediante fractales que nosotros podamos generar, es necesario

40

disponer de una metrica que nos de la distancia entre elementos del espacio H(Rn). Noso-tros consideraremos la metrica de Hausdorff dH . dH es una metrica sobre el espacio H(R)n

y el espacio de los fractales (H(Rn) ,dH) es un espacio metrico completo.

4.2. Aplicaciones contractivas

Vamos a estudiar lo que ocurre cuando el conjunto de transformaciones esta formado poraplicaciones de una clase mucho mas amplia: aplicaciones contractivas. Toda aplicacioncontractiva es continua e induce una aplicacion contractiva en el espacio metrico completo(H(Rn), dH)Intuitivamente una aplicacion contractiva f : Rn → Rn es aquella que acerca los puntos ycontrae las figuras como se refleja en la figura 4.1 Entre dos figuras semejantes y distintasdel plano euclıdeo siempre existe una aplicacion contractiva que transforma la mayor en lamenor. Esta aplicacion contractiva es una composicion de isometrıas (traslaciones, giros ysimetrıas) y una homotecia contractiva. A continuacion se muestran las transformaciones

Figura 4.1: Una aplicacion contractiva f acerca los puntos y contrae, por tanto, los con-juntos sobre los que se aplica.

elementales del plano euclıdeo. Cualquier giro, simetrıa u homotecia se puede obtener porcomposicion de las transformaciones elementales siguientes. Si las isometrıas y homoteciasque definen una aplicacion contractiva son faciles de determinar, entonces dicha aplicacionse puede obtener como composicion de las mismas. Si, por el contrario, son difıciles dedeterminar, se puede proceder directamente a calcular la semejanza teniendo en cuentaque toda semejanza es una transformacion afın y que, por tanto, sus ecuaciones son:

f(x, y) = f(ax + by + e, cx + dy + f)

o bien

41

Figura 4.2: Traslacion mediante el vector (α, β)

Figura 4.3: Giro de angulo ϕ y centro en el origen.

f

(xy

)=

(a bc d

) (xy

)+

(ef

)Para determinar los coeficientes a; b; c; d; e y f se procede a determinar las imagenes detres puntos y a resolver el correspondiente sistema de seis ecuaciones con seis incognitasque nos dara sus valores:

f(x1, y1) = (ax1 + by1 + e, cx1 + dy1 + f) = (x′1, y′1)



Cuando la aplicacion contractiva que transforma una figura en otra es una transformacionafın (lo que ocurre cuando una figura se obtiene de la otra mediante giros, traslaciones,

42

Figura 4.4: Simetrıa respecto del eje de abscisas.

Figura 4.5: Homotecia centrada en el origen de razon k.

homotecias, simetrıas y estiramiento o comprension en el sentido de algunos ejes).Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 4.1. Consideremos el triangulo de Sierpinski T ⊂ R2 y la representacion de lafigura 4.7.

Podemos poner T = T1 ∪ T2 ∪ T3, siendo T1,T2 y T3 las partes del triangulo de Sierpinskique caen dentro de los tres triangulos de lado 1/3 en la figura 4.7 se muestran.Cada parte Ti , 1 ≤ i ≤ 3, del triangulo de Sierpinski es semejante al conjunto total T .Luego existiran semejanzas contractivas f1, f2 y f3 tales que fi(T ) = Ti , 1 ≤ i ≤ 3 quehacen que.

T = f1(T ) ∪ f2(T ) ∪ f3(T )

43

Figura 4.6: .

Vamos a determinar esas transformaciones. La semejanza f1 es una homotecia de centroel origen y razon 1/3, luego

f1(x, y) =(

x3, y

3

)o matricialmente

f1

(xy

)=

(13

00 1

3

) (xy

)La semejanza f2 es una homotecia de centro el origen y razon 1

3, seguida de una traslacion

de vector (23, 0), luego

f2

(x, y

)=

(x3, y

3

)+

(23, 0

)o bien

f2

(xy

)=

(13

00 1

3

) (xy

)+

(23

0

)y la semejanza f3 es una homotecia de centro el origen y razon 1

3seguida de una traslacion

de vector (23) cos 60◦, 2

3) sin 60◦, luego

f3

(x, y

)=

(x3, y

3

)+

(23cos 60◦, 2

3sin 60◦

)o en forma matricial

f3

(xy

)=

(13

00 1

3

) (xy

)+ 2

3

(cos 60◦

sin 60◦

)44

Figura 4.7: Cada parte Ti , 1 ≤ i ≤ 3, del triangulo de Sierpinski es semejante al triangulototal.

Es facil observar que cada una de las aplicaciones contractivas fi, 1 ≤ i ≤ 3, tiene razon13.

Ejemplo 4.2. Consideremos la curva de Koch K ⊂ R2. Entonces K = ∪4i=1Ki siendo

Ki, 1 ≤ i ≤ 4, tales que fi(K) = Ki y, por tanto, tales que

K =4⋃

i=1

fi(K)

Vamos a determinar estas transformaciones. La semejanza f1 es una homotecia de centroel origen y razon 1

3, luego

f1

(xy

)=

(13

00 1

3

) (xy

)o es lo mismo

f3

(x, y

)=

(x3, y

3


3, seguida de un giro de

centro el origen y angulo 60◦ y seguida de una traslacion de vector (13, 0), luego

f2

(xy

)=

(cos 60◦ − sin 60◦

sin 60◦ cos 60◦

) (13

00 1

3

) (xy

)+

(13

0

)45

Figura 4.8: Cada una de las partes Ki, 1 ≤ i ≤ 4, de la curva de Koch indicadas essemejante a la curva total K.

y desarrollando

f2 (x, y) =(

x cos 60◦−y sin 60◦+13

, x sin 60◦+y cos 60◦

3


3, seguida de un giro de cen-

tro el origen y angulo −60◦ y seguida de una traslacion de vector(√

33

cos 30◦,√

33

sin 30◦)

=

(12,√

36

), luego

f3 (x, y) =

(cos(−60◦) − sin(−60◦)sin(−60◦) cos(−60◦)

) (13

00 1

3

) (xy

)+

( 12√3

6

)y desarrollando f3 (x, y) =

(x cos 60◦−y sin 60◦

3+ 1

2, −x sin 60◦+y cos 60◦

3+

√3

6

)Por ultimo, la

semejanza f4 es una homotecia de centro el origen y razon 13, seguida de una traslacion

de vector 23, 0, luego

f4

(xy

)=

(13

00 1

3

) (xy

)+

(23

0

)o bien

f4 (x, y) =(

x+23

, y3

)

Todas las aplicaciones fi, 1 ≤ i ≤ 4, son contractivas de razon 13.

Si f : Rn → Rn es una aplicacion contractiva, entonces la aplicacion f : H(Rn) → H(Rn)es tambien contractiva. Aplicando el teorema de punto fijo a la aplicacion f Rn existiraun unico punto xf ∈ Rn tal que f(xf ) = xf y aplicando a f en (H(Rn), dH) existira ununico conjunto Kf ⊂ Rn compacto y no vacıo Kf ∈ H(Rn) tal que f(Kf ) = Kf y

46

lımk→∞

fk(B) = Kf ,∀B ∈ H(Rn)

en la metrica de Hausdorff.Una familia finita de aplicaciones contractivas definidas sobre un mismo espacio Rn es loque llamaremos un sistema de funciones iteradas. Mas concretamente:

Definicion 4.1. Llamaremos sistema de funciones iteradas (SFI) en Rn a cualquierfamilia finita fi

Ni=1 de aplicaciones contractivas fi = Rn → Rn, 1 ≤ i ≤ N . Tal sistema de

funciones iteradas se representara por:

{f1, f2, . . . , fN}

y llamaremos razon de contractividad del SFI a

r = max{r1, r2, . . . , rN}

donde ri, 0 ≤ ri ≤ 1, es la razon de contractividad de fi (obviamente, 0 ≤ r < 1).

Ejemplo 4.3. En R2, sea fi la aplicacion contractiva que transforma el triangulo de Sier-pinski T = T1 ∪ T2 ∪ Te en Ti, 1 ≤ i ≤ 3, segun la figura 4.7 Estas aplicaciones son laspresentadas en la pagina 42.Entonces f1, f2, f3 es un SFI y, puesto que la razon de cada una de las aplicaciones con-tractivas fi, 1 ≤ i ≤ 3, es 1

3, la razon de contractividad de este SFI es 1

3.

Ejemplo 4.4. En R2 sea fi la aplicacion contractiva que transforma la curva de KochK = K1 ∪K2 ∪K3 ∪K4, en Ki, 1 ≤ i ≤ 4, de la figura 4.8. Mas concretamente, cada fi

responde a la forma dada en el ejemplo de la pagina 45Ahora f1, f2, f3, f4 es un SFI y, puesto que la razon de cada una de las aplicaciones con-tractivas fi, 1 ≤ i ≤ 4 es 1

3, la razon de contractividad de este SFI es tambien 1

3.

En los dos ejemplos anteriores existe un conjunto que es igual a la union de sus imagenesobtenidas al aplicarle cada una de las aplicaciones contractivas. En el primer caso, siT ⊂ R2 es el triangulo de Sierpinski, se cumple que T = ∪3

i=1fi(T ); en el segundo, siK ⊂ R2 es la curva de Koch, K = ∪4

i=1fi(K)Lo anterior nos sugiere plantearnos las siguientes cuestiones. Dado un SFI {f1, f2, . . . , fN}en Rn,

1. ¿Existira un conjunto A ⊂ Rn tal que A = ∪Ni=1fi(A)? (invariante respecto del SFI) y,

si la pregunta a esta respuesta es afirmativa,

47

2. ¿ sera unico?, ¿ como se obtendra?

Si {f1, f2, . . . , fN} es un SFI de razon r y K ⊂ Rn es un conjunto compacto no vacıo,entonces fi(K), 1 ≤ i ≤ N , sera tambien, po la continuidad de fi, compacto y no vacıo.Puede demostrarse que la union finita de conjuntos compactos es un conjunto compacto.Con ello se tendra que la aplicacion esta bien definida

F : H(Rn) → H(Rn)

F (K) =N⋃

i=1

fi(K), ∀K ∈ H(Rn)

Las cuestiones planteadas anteriormente se traducen ahora, en el contexto de la funcionF , en el estudio de la existencia y unicidad de algun punto fijo para esta aplicacion, esdecir, de algun conjunto A ∈ H(Rn) tal que

F (A) =N⋃

i=1

fi(A) = A

La aplicacion F es contractiva de razon r en el espacio metrico completo (H(Rn), dH).Aplicando el teorema del punto fijo existira un unico A ∈ H(Rn) tal que

F (A) = A

y, ademas, para todo B ∈ H(Rn) se cumple que

lımk→∞

F k(B) = A

en el espacio metrico (H(Rn), dH).Con todo esto hemos probado el siguiente resultado:

Teorema 4.1. Sea {f1, f2, . . . , fN} un sistema de funciones iteradas en Rn de razon decontractividad r, 0 ≤ r < 1. Entonces existe un unico fractal A ∈ H(Rn) tal que

F (A) =⋃N

i=1 fi(A) = A

48

Ademas, para cualquier fractal B ∈ H(Rn) se cumple

limk→∞F k(B) = A

en el espacio metrico completo H(Rn), dH .

Definicion 4.2. Sea {f1, f2, . . . , fN} un SFI sobre Rn. se llama atractor del SFI al unicofractal A ∈ H(Rn) que verifica

F (A) =N⋃

i=1

fi(A) = A

cuya existencia y unicidad queda asegurada por el teorema anterior.

Si A es el atractor asociado a un SFI f1, f2, . . . fN de razon r, el teorema anterior nossugiere un metodo para la obtencion del conjunto A. Este metodo consiste en partir deun conjunto compacto y no vacıo B ⊂ Rn e iterar la aplicacion F sobre B, hallando losprimeros terminos de la sucesion {F k(B)}∞k=0. El teorema 3.3 nos proporciona tambien unmetodo para calcular en cada paso, una cota de la distancia de Hausdorff entre el atractorA y su aproximacion F k(B). Esta formula es

dH(F k(B), A) ≤ 11−r

· dH(F k(B), F k+1(B))

Veamos a continuacion unos ejemplos de SFI en los que determinaremos el atractor atraves de estas aproximaciones ası como la distancia de Hausdorff entre el atractor y susaproximaciones.

Ejemplo 4.5. Sean fi : R → R, i = 1, 2, las aplicaciones contractivas definidas por

f1(x) = x3

y f2(x) = x+23

ambas de razon 13. Entonces {f1, f2} es un SFI de razon r = 1

3cuyo atractor es el conjunto

clasico de Cantor C ⊂ R, ya que este conjunto, como hemos visto, verifica que C =f1(C) ∪ f2(C).Vamos a aplicar el proceso iterativo de obtencion del atractor, sugerido por el teorema4.1, partiendo del conjunto B = [0, 1] ⊂ R.

49

Entonces

B = [0, 1]

F (B) = f1(B) ∪ f2(B)

= [0,1

3] ∪ [

2

3, 1]

F 2(B) = f1(F (B)) ∪ f2(F (B))

= [0,1

9] ∪ [

2

9,3

9] ∪ [

6

9,7

9] ∪ [

8

9, 1]

Figura 4.9: Intervalos convergentes al conjunto de Cantor obtenidos mediante el SFIf1(x) = x

3y f2(x) = (x+2)

3a partir del intervalo unidad.

que como se puede observar en la figura 4.9, nos va dando los intervalos que generan porinduccion el conjunto clasico de Cantor.Teniendo en cuenta que la distancia de Hausdorff entre dos conjuntos es la maxima dis-tancia entre un punto de un conjunto y el otro conjunto, se puede observar que

dH(B, F (B)) =1

6

dH(F (B), F 2(B)) =1

18

dH(F 2(B), F 3(B)) =1

54

y, en general,

dH(F k(B), F k+1(B)) =1

2 · 3k+1, ∀k ≥ 0

50

Luego una cota de la distancia de Hausdorff entre el conjunto de Cantor C (atractor) ysus aproximaciones es

dH(C, F k(B)) ≤ 1

1− rdH(F k(B), F k+1(B))

=1

1− 13

1

2 · 3k+1

=3

2

1

2 · 3k+1

=1

4 · 3k, k ≥ 0

Lo que nos permite hallar el conjunto de Cantor con la aproximacion deseada. Es obvioque la obtencion del atractor la podıamos haber abordado desde cualquier conjunto B ∈ Rcompacto y no vacıo.

Ejemplo 4.6. Sean fi : R2 → R2, 1 ≤ i ≤ 3, las aplicaciones contractivas definidas por

f1(x, y) = r(x, y)f2(x, y)

= r(x, y) + (1− r, 0)

f3(x, y) = r(x− 1

2, y −

√3

2) + (

1

2,

√3

2)

con 0 < r ≤ 12, siendo r la razon de contractividad de cada una de ellas. Entonces

{f1, f2, f3} es un SFI de razon r, cuyo atractor sera un cierto angulo Tr ∈ H(Rn) conn = 2 tal que

Tr =3⋃

i=1

fi(Tr)

Figura 4.10: Primeras iteraciones del SFI asociado al triangulo de Sierpinski a partir deun triangulo de lado unidad.

51

Conviene observar que si r = 13, entonces el atractor T1/3 es el triangulo de Sierpinski.

Para un r generico, obtendremos el triangulo generalizado de Sierpinski. Vamos a apli-car el proceso iterativo de obtencion del atractor al triangulo con vertices en los puntos

(0, 0), (1, 0) y (12,√

32). Sea B este triangulo. Las primeras iteraciones de este conjunto B

se pueden ver en la figura 4.10.

dH(B, F (B)) =

√(1− 2r

2)2 + (

√3

6)2 − (

r

2)2 =

√3

2(2

3− r)

En general, y por semejanza, se tiene que

dH(F k(B), F k+1(B)) =

√3

2rk(

2

3− r), ∀k ≥ 0

Luego una cota de la distancia de Hausdorff entre el atractor Tr y sus primeras aproxima-ciones es

dH(Tr, Fk(B)) ≤ 1

1− rdH(fk(B), F k+1(B))

=1

1− r

√3

2rk 2− 3r

3

=rk(2− 3r)

2√

3(1− r)

4.3. Obtencion del fractal asociado a un SFI

Solo consideramos aquı el caso de los SFI definidos sobre R2 por ser de mas sencillaelaboracion. Se describiran dos algoritmos distintos, uno determinista y otro aleatorio,Ambos, proporcionan el mismo resultado.

4.3.1. Algoritmo Determinista

Las pautas anteriores para la obtencion del atractor de un SFI pueden resu-mirse en el siguiente algoritmo.

1. Elegir un conjunto arbitrario B ⊂ X compacto y no vacıo

2. Hacer Z = B

3. Representar Z

52

4. Hacer desde i = 1 hasta M

4-1 Borrar Z

4-2 Hallar F (Z) = ∪Ni=1fi(Z)

4-3 Hacer Z = F (Z)

4-4 Representar Z

5. Fin

Cuando este algoritmo termine de ejecutarse habremos obtenido FM(B) que para M = 10nos da, en general, una muy buena aproximacion al atractor A.El SFI asociado al triangulo de Sierpinski de razon r = 1

2construido sobre el triangulo

isosceles cuya base y altura coinciden con la base y altura de una ventana 100X100 es{f1, f2, f3} donde

f1

(xy

)=

(12

00 1

2

) (xy

)+

(11

)f2

(xy

)=

(12

00 1

2

) (xy

)+

(501

)f3

(xy

)=

(12

00 1

2

) (xy

)+

(2550

)que se puede expresar de forma simplificada como en el cuadro 4.1 No debemos fijarnos,por ahora, en la columna marcada PROB.

f A B C D E F PROB1 0,5 0 0 0,5 1 1 0,332 0,5 0 0 0,5 50 1 0,333 0,5 0 0 0,5 25 50 0,33

Cuadro 4.1: Notacion simplificada del sistema de funciones iteradas asociado al triangulode Sierpinski. La columna marcada con PROB no es util todavıa; su significado se revisaraen el siguiente apartado.

Nos vamos ahora a ocupar en la elaboracion de un algoritmo aleatorio para la obtenciondel fractal determinista. Queremos hacer hincapie en el hecho de que el fractal que va-mos a generar es un fractal absolutamente determinista(el SFI que genera el fractal estaunıvocamente determinado) y que la aleatoridad reside unicamente en el algoritmo que logenera.

53

4.3.2. Algoritmo aleatorio

Sea {f1, f2, . . . , fN} un sistema de funciones iteradas planas. Asignamos a cada fi, 1 ≤i ≤ N , una cierta probabilidad pi > 0 tal que ΣN

i=1pi = 1 y realizamos el siguiente procesoiterativo.Se elige x0 ∈ R2 arbitrario. A continuacion se elige aleatoriamente

x1 ∈ {f1(x0), . . . , fN(x0)}

donde fi(x0), 1 ≤ i ≤ N , tiene una probabilidad pi de ser elegido. Analogamente eindependientemente del paso anterior, se elige aleatoriamente

x2 ∈ {f1(x1), . . . , fN(x1)}

Segun la misma distribucion de probabilidades, Cuando tenemos construidos {x0, x1, . . . , xp},se determina xp+1 mediante el mismo proceso anterior, es decir, eligiendo de manera in-dependiente (de los anteriores pasos) y aleatoria

xp+1 ∈ {f1(xp), . . . , fN(xp)}

segun la misma distribucion de probabilidades. Y ası sucesivamente. Entonces con pro-babilidad uno, el conjunto obtenido {xn}∞c=0 ⊂ X converge en la metrica de Hausdorff alatractor A del SFI en el sentido de que dado ε > 0, existe K = K(ε) ∈ N tal que

lımM→∞

dH(A, {xn : K ≤ n ≤ M} < ε

De lo anterior se deduce que los puntos del conjunto {xn}∞n=0 que pueden estar a mayordistancia del atractor son los primeros puntos de la sucesion. Por este motivo, cuando seintenta aproximar el atractor mediante este algoritmo se suelen despreciar los primerosterminos (con despreciar los 50 primeros suele bastar).Si podemos asegurar que el punto inicial considerado pertenece al atractor, x0 ∈ A, ypuesto que las funciones {fi}N

i=1 no pueden sacar los puntos del atractor A(A = ∪Ni=1fi(A)),

entonces podemos asegurar

{x0, x1, . . . , xM} ⊂ A, ∀M ∈ N

y que con probabilidad uno

dH(A, {xn}∞n=0 = lımM→∞

dH(A, {x0, x1, . . . , xM}) = 0

54

o, lo que es lo mismo, que con probabilidad uno la sucesion {xn}∞n=0 es densa en el atractorA:

A = adh({xn}∞n=0)

Cuando se quiere aproximar un atractor mediante este algoritmo, nos interesa obtener lamejor aproximacion con el mejor numero de puntos. Si la masa(medida) acumulada en cadafi(A), 1 ≤ i ≤ N , es aproximadamente la misma, entonces es conveniente elegir pi = 1

N,

1 ≤ i ≤ N . Este es el caso, por ejemplo, del triangulo de Sierpinski (p1 = p2 = p3 = 13). Si

no es ası, conviene elegir las probabilidades aproximadamente proporcionales a la cantidadde la masa que hay en cada fiA.En este ultimo caso se puede elegir un cierto conjunto W ⊂ R2 de area no nula y facil decalcular y elegir

Pi ≈rea(fi(W ))∑N

j=1 rea(fj(W )). 1 ≤ i ≤ N

de tal forma que ΣNi=1pi = 1. En el caso particular de que las aplicaciones contractivas

sean transformaciones afines,(vistas en el numeral 1.5) es decir,

fi

(xy

)=

(ai bi

ci di

) (xy

)+

(ei

fi

)1 ≤ i ≤ N

entonces se puede elegir

pi ≈| aidi − bici |∑N

j=1 | ajdj − bjcj |

donde ≈ significa aproximadamente igual para indicar tambien que si algun pi fuese iguala cero, habrıa que asignarle algun valor pequeno no nulo, por ejemplo pi = 0, 001, ya queen caso contrario nunca se aplicarıa la transformacion correspondiente.Una redaccion mas precisa del algoritmo anterior serıa la siguiente:

1. Elegir un punto arbitrario x ∈ R2

2. Hacer desde i = 1 hasta M

2-1 Elegir j aleatoriamente entre {1, 2, . . . , N} con probabilidades {p1, p2, . . . , pN},pi > 0

2-2 Hallar y = fj(x)

2-3 hacer x = y

2-4 Si i > 50, representar x

55

3. Fin

Para M = 5000 tendremos, en general, una muy buena aproximacion del atractor A.Un cambio en las probabilidades asociadas al SFI va a producir un cambio en la distribu-cion de los M puntos que se representan, lo que producira distintos aspectos de sombrassobre el atractor. Esto puede verificarse con el SFI para la obtencion del triangulo deSierpinski con probabilidades p1 = 0, 6, p2 = 0, 3, p3 = 0, 1 mostrado en el cuadro 4.2 .Elconjunto resultante tras la aplicacion del algoritmo aleatorio a este SFI puede observarseen la figura .

f A B C D E F PROB1 0,5 0 0 0,5 0 0 0,62 0,5 0 0 0,5 0,5 0 0,33 0,5 0 0 0,5 0,25 0,5 0,1

Cuadro 4.2: SFI asociado a un triangulo de Sierpinski modificado mediante la variacionde las probabilidades asociadas a cada una de sus transformaciones.

Figura 4.11: Triangulo de Sierpinski obtenido tras la aplicacion del algoritmo aleatorio alSFI del cuadro 4.2.

4.4. Teorema del Collage

Una imagen I sera un conjunto compacto y no vacio de puntos de Rn, n = 1, 2, 3. SeaI ∈ H(Rn) una imagen real y supongamos que existe un SFI {f1, f2, . . . , fN} de razon r

56

tal que F (I) = ∪Ni=1fi(I) esta suficientemente proximo a I, es decir,

dH(I, F (I)) ≤ ε

Entonces si A ∈ H(Rn) es el atractor de este SFI, se tiene, aplicando el teorema del puntofijo que

dH(A, I) ≤ 1

1− rdH(I, F (I)) ≤ ε

1− r

Es decir, que el atractor A del SFI se aproxima bastante a la imagen real I siempre queε > 0 sea suficientemente pequeno. Tenemos por tanto el siguiente corolario del teoremade punto fijo.

Corolario 4.2. (Teorema del collage)Sea I ∈ H(Rn) una imagen real y dado ε > 0, sea {f1, f2, . . . , fN} un SFI con factor decontractividad r, 0 ≤ r < 1, tal que

dH(I, F (I)) ≤ ε

EntoncesdH(A, I) ≤ ε

1− r

donde A es el atractor del SFI

A la vista del teorema anterior se puede observar que la aproximacion del atractor A a laimagen real I sera mejor cuanto mas pequeno sea el valor del facto de contractividad r yque esta aproximacion no depende del numero de aplicaciones que forman el SFI.La gran importancia de este sencillo resultado estriba en la posibilidad de sustituir laimagen I real por el atractor A, Siempre que la aproximacion sea lo suficientemente buena.Si el SFI correspondiente esta formado por pocas transformaciones, almacenandolo enlugar de la imagen I habremos obtenido una reduccion significativa en el espacio ocupadopor la imagen. Esta fue la idea que abrio la investigacion en la compresion fractal deimagenes.

4.4.1. Aproximacion de imagenes reales mediante SFI

Sea i ∈ H(Rn) una imagen real. El proceso a seguir para aproximarla mediante SFI serıael siguiente:

57

1. Encontrar aplicaciones contractivas fiRn → Rn, 1 ≤ i ≤ N , tales que

dH(I,

N⋃i=1

fi(I))

sea lo mas pequeno posible. Sea, por ejemplo, dH(I,∪Ni=1fi(I)) ≤ ε

EntoncesdH(A, I) ≤ ε

1− r

donde A es el atractor del SFI y esta aproximacion sera mejor cuanto mas pequenossean ε y r. Por ello es conveniente elegir transformaciones contractivas de la mejor razonposible, independientemente del numero de ellas, que puede ser tam grande como sequiera.

2. Generar el atractor A mediante cualquiera de los algoritmos descritos anteriormente.

Una pregunta obvia es por que no hacer que el SFI F comprima muy ligeramente I con loque la distancia dH(I, F (I)) sera muy pequena y quiza dH(A, I) tambien lo sea, Esto nofuncionara porque para tal SFI el termino 1

1−rsera muy grande y no podremos garantizar

que dH(A, I) sea pequena(de hecho, no lo es)

4.5. Una hoja de helecho fractal

Sea I ⊂ R2 la imagen de la figura que vamos a tratar de representar mediante un sistemade funciones iteradas.Para encontrar el SFI tenemos que descomponer esta imagen I en partes de tal forma quecada una de ellas se pueda obtener a partir de la imagen total mediante una aplicacioncontractiva (a ser posible afın). Una Una posible descomposicion se ilustra en la figura4.13 En esta descomposicion utilizamos 4 partes que llamamos Ii, 1 ≤ i ≤ 4, y se cumpleque I = ∪4

i=1Ii. Para hallar las aplicaciones que transforman la imagen total I en Ii,1 ≤ i ≤ 4, tenemos que situar esta imagen en el plano R2, lo que podemos hacer como semuestra en la figura 4.14 , incluyendo I en el cuadrado [−1

2, 1

2] x [0, 1]. De esta forma la

imagen queda centrada horizontalmente en el origen y es mas facil operar.La aplicacion f1 que nos transforma I en I1 es una homotecia centrada en el origen derazon 3

4seguida de un leve giro de angulo π

32y de una traslacion al punto (0, 1

4) luego

f1

(xy

)=

(cos π

32− sin π

32

sin π32

cos π32

) (34

00 3

4

) (xy

)+

(014

)

58

Figura 4.12: La hoja de helecho que se intentara aproximar mediante un SFI aplicando elteorema de collage.

Figura 4.13: Cada una de las cuatro partes de la hoja del helecho aquı indicadas se puedeconsiderar como el resultado de una aplicacion contractiva sobre la imagen completa.

La aplicacion f3 que nos transforma I en I3 es una homotecia centrada en el origen derazon 3

10respecto al eje de abscisas y 2

5respecto al de ordenadas seguida de un giro de π

3,

seguida de una traslacion de vector (0, 18)

f3

(xy

)=

(cos π

3− sin π

3

sin π3

cos π3

) (310

00 2

5

) (xy

)+

(018

)Por ultimo, la aplicacion f4 que transforma I en I4 es una homotecia centrada en el origende razon 3

10respecto al eje de abscisas y 1

2respecto al de ordenadas seguida de un giro de

−π4

y seguida de una traslacion al punto (0, 18

Despues de asignar probabilidades, segunlos criterios establecidos en la seccion anterior, el SFI escrito en forma simplificada serıael de el cuadro 4.3, que ejecutado mediante el algoritmo aleatorio y representando 100000puntos nos darıa precisamente la imagen de la figura 4.12.Como ejercicio el lector puede intentar ahora obtener un SFI que aproxime el arbol mos-trado en la figura 4.15. Pista: un posible SFI tiene cinco transformaciones de las cuales

59

Figura 4.14: Para obtener las aplicaciones contractivas que transforman la imagen com-pleta del helecho en cada una de las partes indicadas en la figura 4.13,tenemos que situarla hoja en el plano R2. Si la imagen se centra horizontalmente en el origen, las transfor-maciones se obtienen de manera mas comoda.

f A B C D E F PROB1 0,746 -0,073 0,073 0,746 0 0,25 0,652 0 0 0 0,25 0 0 0.033 0,15 -0,344 0,258 0,2 0 0,125 0,144 0,212 0,353 -0,212 0,353 0 0,125 0,18

Cuadro 4.3: Aproximacion mediante el teorema de collage a la hoja de helecho. Las pro-babilidades se asignaron en funcion del area generada por cada transformacion.

dos conforman la parte inferior del tronco.

4.6. Fractales en movimiento

Nos vamos a ocupar aquı de la posibilidad de establecer movimiento en los conjuntos frac-tales. Puesto que los conjuntos fractales que hemos considerado en este capıtulo dependendirectamente de una familia de funciones contractivas parece razonable esperar que peque-nas variaciones en estas funciones produzcan pequenas variaciones en el fractal generado.Si esto fuera ası, podrıamos producir con una sucesion de fractales muy proximos entre sıun efecto de movimiento.Supongamos que las aplicaciones contractivas que definen un SFI {f1, f2, . . . , fN} no vie-

60

Figura 4.15: Un arbol fractal.

nen unıvocamente determinadas, sino que estan definidas en funcion de un parametrop ∈ [α, β] ⊂ R del que dependen continuamente. El siguiente teorema determina comoinfluyen en el atractor pequenas variaciones del parametro p.

Teorema 4.3. Para cada p ∈ [α, β] ⊂ R sea {f1(p), . . . , fN(p)} un SFI de razon r(p),0 ≤ r(p) ≤ r < 1, con atractor A(p) ∈ H(Rn). Supongamos que cada transformacionfi(p)(x) = fi(p, x) es continua para todo x respecto de p en [α, β]. Entonces el atractorA(p) depende continuamente de p ∈ [α, β].

La demostracion, algo tecnica, puede encontrarse en [GUZMAN][pag. 201]. Este teoremase puede utilizar para la animacion de imagenes. Aunque no entraremos en mas detalles,se mostrara un ejemplo.

Ejemplo 4.7. Si en la definicion del SFI de la hoja dado en la seccion anterior sustituimosla aplicacion f1 por

f1

(xy

)=

(cos α − sin αsin α cos α

) (34

00 3

4

) (xy

)+

(014

)entonces {f1(α), f2, f3, f4} es un SFI de razon 3

4que depende continuamente del parametro

α ∈ [−π2

, π2]. Luego el atractor A(α) dependera continuamente de α. Al variar continua-

61

mente α se obtiene un efecto de movimiento de la hoja. Variando α segun los valores.

α1 = arc sen 0, 15

α2 = arc sen 0, 1

α3 = arc sen 0, 05

α4 = arc sen 0

α5 = arc sen−0, 05

α6 = arc sen−0, 1

puede obtenerse la sucesion de imagenes mostrada en la figura 4.16

Figura 4.16: La hoja de helecho agitada por el viento mediante distintos valores del pa-rametro α. Los valores dados a α son α = arc sen ω donde ω evoluciona segun se indicabajo cada figura. El movimiento de la hoja se puede observar al seguir las imagenes deizquierda a derecha y de arriba a abajo.

62

Capıtulo 5

Fractales en Hoja de Calculo

A continuacion se hara la representacion de algunos objetos fractales en hoja de calculo,en el apendice B se define una pequena introduccion a la hoja de calculo.

5.1. El triangulo de Sierpinski

Consideremos un triangulo de vertices A, B, CyP0 un punto cualquiera del plano. Elegimosal azar un vertice y hallamos el punto medio del segmento cuyos extremos son el punto P0

y el vertice elegido. A este punto le llamamos P1. Elegimos al azar otro vertice y hallamosde nuevo el punto medio del segmento cuyos extremos son el vertice y el punto P1; estepunto sera el punto P2. Si se repite el proceso unos miles de veces y se representan lospuntos P0,P1,P2,. . . ası obtenidos el grafico se aproximara al triangulo de Sierpinski.En la hoja de calculo ponemos los rotulos y valores iniciales tal como se indica en la figura5.1 A continuacion se escriben las formulas mediante las cuales generaremos la sucesionde puntos P1, P2, . . . En primer lugar los numeros aleatorios: la hoja de calculo obtienenumeros pseudo-aleatorios comprendidos entre 0 y 1 mediante la funcion aleatorio(); paraobtener aleatoriamente los numeros 1, 2 y 3 se utilizara la formula:

= Entero(3 ∗ Aleatorio() + 1)

La funcion entero (x) obtiene la parte entera de x. Esta formula la colocaremos en la celdaA4.Para elegir al azar un vertice del triangulo utilizaremos la funcion de la hoja de calculo

Elegir(ndice; valor1; valor2; . . .)

63

Figura 5.1: Formulas.

Esta funcion utiliza el valor ndice para devolver un valor de la lista de argumentos: siındice=1 devolvera valor1, si ındice=2 devolvera valor2, etc.se utilizara la funcion del siguiente modo: mediante la formula:

= (B3 + Elegir(A4; $E$3; $E$6; $E$9))/2

situada en la celda B4 se calcula la abscisa del punto P1 y a traves de la ‘formula

= C3 + Elegir(A4; $F$3; $F$6; $F$9))/2

situada en la celda C4 calcularemos la ordenada, tal como se indica en la figura5.2Aclaraciones

Figura 5.2: Ubicacion de Formulas.

64

Figura 5.3: Generando los Pi.

? En nuestra formula, la funcion Elegir() utiliza el numero aleatorio generado en la celdaA4 como ındice y las abscisas o las ordenadas de los vertices como argumentos.

? La columna y la fila de las celdas que contienen estas coordenadas van precedidas delsigno $ con el fin de que luego, cuando copiemos las formulas reiteradamente para gene-rar unos miles de puntos Pi, la referencia a dichas a dichas celdas se efectue con caracterabsoluto en todas las formulas, la referencia debe hacerse a estas celdas exactamente yno a su posicion relativa.

Ya se ha obtenido el punto P1. Del mismo modo se obtendran unos miles de puntos Pi,dos o tres mil puntos; para ello, y aquı se muestra la potencia de la hoja de calculo,marcamos las celdas A4, B4, C4 tal como se indica en la figura5.3 Rellenamos hacia abajodos mil o tres mil filas; las formulas se copiaran igual numero de veces pero manteniendola referencia absoluta a las celdas de las coordenadas de los vertices del triangulo graciasal signo $.Ahora representaremos graficamente los puntos cuyas coordenadas acabamos de calcularpara obtener una representacion del Triangulo de Sierpinski. Para ellos seleccionaremos lasceldas que contienen dichas coordenadas y elegimos la opcion Insertar → Diagrama . . .optando por el diagrama XY (Dispersin) el resultado se muestra en la figura 5.4.

65

Figura 5.4: Triangulo de Sierpinski.

66

5.2. Nuevo Triangulo de Sierpinski

Formamos un sistema de funciones iteradas por tres aplicaciones construidas:

f1 ≡

{x′ = 0, 5x + 0y

y′ = 0x + 0, 5y

f2 ≡

{x′ = 0, 5x + 0y + 50

y′ = 0x + 0, 5y

f3 ≡

{x′ = 0, 5x + 0y + 35

y′ = 0x + 0, 5y + 50

Las tres aplicaciones tienen un coeficiente de contraccion de 0, 5; ademas de esto la f2 anadeuna traslacion definida por un vector de componentes (0; 50) y la f3 otra de componentes(35; 50).A continuacion le asignaremos a cada una de las funciones la misma probabilidad, es decir13, todo esto lo podemos recopilar en el cuadro 5.1¡Como representar todo esto en hoja de calculo?

funcion f1 f2 f3

probabilidad 13

13

13

a 0,5 0,5 0,5b 0 0 0c 0 0 0d 0,5 0,5 0,5e 0 50 35f 0 0 50

Cuadro 5.1: funciones

En la hoja de calculo existe una funcion,BUSCARH(valorbuscado; matrizbuscaren; indicadorf ilas; ordenado).V alorbuscado es el valor que se busca en la primera fila de latabla.V alorbuscado puedeser un valor, una referencia o una cadena de texto.

Matrizbuscaren es una tabla de informacion en la que se buscan los datos. Utilice unareferencia a un rango o el nombre de un rango.

67

En consecuencia, el primer paso sera escribir en la Hoja de Calculo la tabla con los coefi-cientes a, b, c, d, e, f de las tres aplicaciones f1, f2, f3; ademas, como la primera fila de dichatabla pondremos el criterio del que se servira la funcion BUSCARH() para optar entreuna de las tres aplicaciones f1, f2, f3. Este criterio debe ser aleatorio, ası que colocaremostres valores, 0, 1

3, 2

3en la primera fila de la tabla.

Situaremos a continuacion la tabla en algun lugar de la hoja de calculo donde no interfieraen nuestro trabajo. Una vez escrita la tabla, y para olvidarnos un poco de ella le pone-

Cuadro 5.2: Tabla para generar el triangulo de Sierpinski.

mos un nombre al rango de valores que contiene, de modo que, cuando se quiera hacerreferencia a esta tabla nos bastara tan solo con citar su nombre; para esto, marcamos elrango de valores de la tabla es decir,L4 : N10, OJO, sin las cabeceras, ni adornos, solo losvalores de las probabilidades y de los coeficientes a, b, c, d, e, f y desde el menu elegimosInsertar → Nombres → Definir . . . , y en la ventana de dialogo escribimos el nombre,por ejemplo ”tabla1”.Procederemos ahora a la construccion del fractal.

Volvemos al principio de la hoja de calculo y colocamos los rotulos y el valor inicial delpunto P0 como lo hicimos en la seccion 5.1; las formulas seran un poco diferentes: el nu-mero aleatorio debe ser un numero comprendido entre 0 y 1, que es lo que nos proporcionadirectamente la funcion Aleatorio() y las coordenadas de los puntos P1, P2, . . . las obten-dremos mediante las funciones de la pagina 41 haciendo uso de la funcion BUSCARH().La abscisa del punto P1 que viene dada por la ecuacion x′ = ax + by + e la escribiremos

68

Figura 5.5: Funcion buscarH.

en la celda B4 como:

BUSCARH(A4; tabla1; 2) ∗B3 + BUSCARH(A4; tabla1; 3) ∗ C3

+BUSCARH(A4; tabla1; 6)

la ordenada la calcularemos en la celda C4 mediante la formula:

BUSCARH(A4; tabla1; 4) ∗B3 + BUSCARH(A4; tabla1; 5) ∗ C3

+BUSCARH(A4; tabla1; 7)

tal y como se muestra en la figura 5.5El paso siguiente sera marcar el rango de celdas A4 : C y rellenar hacia abajo dos milo tres mil filas para obtener otros tantos puntos. Marcando luego las coordenadas de lospuntos representados graficamente haciendo uso de Insertar → Diagrama . . ., o simple-mente elegimos la herramienta Ayudante para graficos utilizando la opcion Diagrama xy(Dispersion). El resultado sera como el que se muestra en la figura 5.6

69

Figura 5.6: El triangulo de Sierpinski.

70

5.3. El Helecho de Barsnsley

Se vera a continuacion un sistema de funcion iterada que genera un helecho y que inclusopodemos simular la inclinacion que produce el viento al introducir en la funcion f4 unparametro angular que al tomar valores en un rango comprendido entre −10o y 10o haceque el helecho se incline a la derecha o a la izquierda.El sistema de funciones es el siguiente:

f1 ≡

{x′ = 0x + 0y + 50

y′ = 0x + 0′25y

f2 ≡

{x′ = 0′3x cos

(−π

4

)− 0′5y sin

(−π

4

)+ 50− 15 cos

(−π

4

)y′ = 0′3x sin

(−π

4

)+ 0′5y cos

(−π

4

)+ 12′5− 15 sin

(−π

4

)f3 ≡

{x′ = 0′3x cos π

3− 0′4y sin π

3+ 50− 15 cos π

3

y′ = 0′3x sin π3

+ 0′4y cos π3

+ 12′5− 15 sin π3

f4 ≡

{x′ = 0′75x cos α− 0′75y sin α + 50− 37′5 cos α

y′ = 0′75x sin α + 0′75y cos α + 25− 37′5 sin α

Necesitamos situar el valor del angulo α en alguna celda accesible para poder modificarlocon facilidad, y para ello se construira ası:Anadiendo una celda D3 en la que pondremos el valor del angulo en grados. Ası, al

Figura 5.7: Construccion helecho de Barnsley.

construir la tabla de coeficientes de las funciones del SFI, para e y f tomaremos los

71

Cuadro 5.3: Formula que calcula el coeficiente e de la funcion f4.

valores del angulo α como referencia a la celda D3 En el cuadro 5.3 se observa la formulaque calcula el coeficiente e de la funcion f4,

= 50− 37, 5 ∗ cos(D3 ∗ PI()/180)

que pasa el valor contenido en la celda D3 de grados a radianes multiplicando por lafuncion incorporada PI() y dividiendo por 180, ya que las funciones circulares de lahoja de calculo solo admiten valores en radianes. El resto de coeficientes de esta funcionse obtienen mediante formulas similares, ya que todos dependen del valor del angulo αsituado en la celda D3. Construida la tabla, le asignamos el nombre Tabla6 de tal forma

como se hizo en la seccion 5.2 y cambiamos los valores del segundo parametro de la funcionBuscarH en las celdas B4 y C4. Rellenamos hacia abajo todas las celdas que contienen lascoordenadas de los puntos Pi y obtendremos un resultado como el mostrado en la figura5.8

72

Figura 5.8: Helecho de Barnsley.

73

Capıtulo 6

Conclusiones

❂ Este tema invita a reflexionar sobre nuestra geometrıa clasica, quiza estamos vivien-do el preambulo del cambio, considero que en unos anos no muy lejanos se estaranrecibiendo cursos de geometrıa Fractal, como recibir cualquier curso de Algebra ele-mental.

❂ Los fractales tienen bastantes propiedades matematicas, las que me impactaron,fueron aquellas que se derivan del analisis matematico, el ver como de la teorıa de lamedida se puede armar todo un respaldo para la construccion de objetos fractales.

❂ Las herramientas computacionales que tenemos a nuestro alcance hoy dıa, nos sonutiles en muchas de nuestras diversas tareas simples, es por eso que hago el merito auna que casi en un 95% usamos todos y es el Excel, quien lo creyera que una hoja decalculo pueda ser utilizada para generar estas hermosas figuras naturales fractales.Considero que la hoja de calculo es un medio con el cual se pueden hacer muchasaplicaciones.

❂ Hay varios temas que derivan de esto y es la invitacion a los que vienen mas atrasde nosotros que profundicen en estos temas, a continuacion se da un listado parafuturas investigaciones.

✍ Aplicaciones en Biologıa, Medicina, Ingenierıa, Economıa y Sociologıa.

✍ Automatas celulares

✍ Estructuras Coherentes

✍ Difusion

✍ Sistemas desordenados

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✍ Superficies y volumenes fractales

✍ Fenomenos de crecimiento

✍ Sistemas de funciones iteradas

✍ Analisis y sıntesis de imagenes

✍ Sistemas L

✍ Multifractales

✍ Sistemas dinamicos no lineales

✍ Formacion de estructuras

✍ Transiciones de fase

✍ Autoorganizacion y fenomenos de cooperacion

✍ Turbulencia

✍ Visualizacion

✍ Ondas e interacciones

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Apendice A

Medida de Conjuntos

A menudo resulta necesario determinar el tamano de un fractal para poder establecer susimilitud con algun otro. Existen distintos numeros asociados con los fractales que nospermiten compararlos. Estos numeros, denominados normalmente dimensiones frac-tales, son un intento de cuantificar nuestra idea subjetiva acerca de la densidad con queun fractal ocupa el espacio al que pertenece.

La mas importante de tales dimensiones es la dimension de Hausdorff.

A.1. La medida de Lebesgue

La medida de conjuntos de puntos en la recta, en el plano o en el espacio tiene tras de s´yuna larga historia. Ya Euclides consider´o el calculo de areas de rectangulos y triangulos.Para otras regiones limitadas por lıneas rectas se procedıa a su triangulacion. Si la regionesta limitada por curvas, la triangulacion no es posible y se hace necesario recurrir entoncesal metodo de exhaucion propuesto por Arquımedes y que es, basicamente, una version delconcepto actual de paso al lımite en el que se van considerando sucesivos triangulos dearea cada vez menor para rellenar adecuadamente la region.Costo dos mil anos abandonar la tradicion griega de la triangulacion que requerıa grandesdosis de ingenio y habilidad para cada caso particular. En la decada de 1890, Peano yJordan consideraron un metodo basado enlosados que, aun siendo mucho mejor que el detriangulacion, producıa resultados erroneos con cierto tipo de conjuntos.No estaba claro como habıa que proceder para encontrar una definicion satisfactoria dearea hasta que Emile Borel sugirio la idea de usar enlosados formados por infinitos rec-

76

tangulos.La idea de Borel fue desarrollada por Henri Lebesgue llegandose ası a la definicion de loque hoy dıa se conoce como medida de Lebesgue y que generaliza la idea de longitud, areay volumen en la recta, plano y espacio, respectivamente. Exponemos la definicion en Rn,aunque puede ser mas sencillo pensar en lo siguiente que n = 2.Consideremos la familia R de los hipercubos (rectangulos) R de Rn de la forma

[a1, b1)x · · ·x[an, bn) = R

Definimos el volumen V (R) de un rectangulo R como

V (R) = (b1 − a1) . . . (bn − an)

Dado ahora E ⊂ Rn consideraremos todos los recubrimientos (enlosados) {Ri} de E, esdecir, tales que E = ∪∞i=1Ri y definimos

Ln(E) = inf{∑∞

i=1 V (Ri) : {Ri} es un recubrimiento de E}Pueden demostrarse las siguientes proposiciones:

(a) Ln(∅) = 0

(b) Ln(A) ≤ Ln(B) si A ⊂ B

(c) Para cualquier familia numerable {Ek}, k = 1, 2, . . . , de subconjuntos de Rn se verifica

Ln(∞⋃

k=1

Ek) ≤∞∑

k=1

Ln(Ek)

propiedad denominada subaditividad

A Ln se le denomina medida exterior de Lebesgue. Sin embargo, no es cierto siempre quedado un E tal que E ⊂ Rn se verifique

Ln(E −B) + Ln(E ∩B) = Ln(E)∀B ⊂ Rn

es decir, que la medida de un conjunto sea siempre igual a la suma de las medidas de dospartes complementarias. Cuando dicha igualdad es cierta para todo B ⊂ Rn diremos queel conjunto E es medible Lebesgue, hecho que afortunadamente ocurrıa para los conjuntosmas usuales hasta que los fractales comenzaron a ser conjuntos usuales.Si E es medible Lebesgue, Ln(E) es una medida del conjunto E que se llama medida deLebesgue. La clase de los conjuntos medibles Lebesgue abarca a una clase de conjuntosmuy amplia.

77

A.2. Dimension

Hay varios conceptos matematicos diferentes que responden al nombre de dimension deun conjunto geometrico. Uno de ellos, el de dimension topologica, hace alusion a la formade ocupar el espacio que tiene el conjunto. Ası, tanto a una curva diferenciable, como ala curva de Koch, o a la de Pea, no, se les asigna dimension topologica igual a uno, y aun punto, a los puntos racionales de la recta real y al conjunto de Cantor se les asignadimension cero.Pero este tipo de dimensiones plantean un serio problema pues resultan ser poco finas alotorgar la misma dimension a un unico punto que a un conjunto no numerable de puntoscomo es el conjunto de Cantor. La medida de Lebesgue Ln(E) proporciona analogasconsecuencias al considerar siempre dimensiones enteras n = 1, 2, 3 . . . Este planteamientollevo a tomar en consideracion la introduccion de categorıas intermedias o dimensiones

A.3. Dimension de Homotecia

Una manera de asignar una dimension fraccionaria a un conjunto parte de una propiedadde la dimension que sirve a Platon en su dialogo Menon para demostrar la doctrina dela reminiscencia a partir de la creencia mıtica en la preexistencia y transmigracion delalma. Socrates mediante el metodo mayeutico consigue que un esclavo iletrado de Menonrecupere de sı mismo el conocimiento acerca de como cuando el lado de un cuadrado seduplica se obtiene una figura equivalente a cuatro, y no a dos, de los cuadrados iniciales.Si en lugar de un cuadrado se tratara de un cubo, el factor de multiplicacion serıa de ochoy no de cuatro.Nos encontramos, por tanto, con un rango distintivo de cada dimension. Precisandolo mas,supongamos que una figura de dimension entera d puede ser descompuesta en n copias aescala r de sı misma (piensese en el ejemplo del cuadrado de Socrates donde d = 2, r = 1

2

y n = 4). Entonces es facil ver que n = (1r)d o tomando logaritmos que

d =log n

log(1r)

=log n

− log r

Si tomamos esta formula como definicion del valor de la dimension de cualquier figura quepueda ser descompuesta en copias a escala de sı misma, obtenemos una manera comodade asignar una dimension a algunos conjuntos fractales clasicos. El conjunto de CantorE, por ejemplo, puede descomponerse en dos copias de sı mismo a escala 1

3o en cuatro

copias de sı mismo a escala 19

lo que nos da

78

dim(E) =log 2

log 3=

log 4

log 9= . 630 93

Este metodo es de muy facil aplicacion, pero exige que el conjunto a medir pueda serdescompuesto en copias de sı mismo a escala, lo cual es una propiedad muy especıfica deciertos conjuntos. Sin embargo, la idea puede aprovecharse para calcular la dimension decualquier tipo de conjunto.

A.4. Medida de Haussdorff

Dado un conjunto E ⊂ Rn y un numero real positivo δ, diremos que una familia {Ai},i = 1, 2, . . . , de subconjuntos de Rn es un recubrimiento-δ de E, si la union de talesconjuntos contiene a E, es decir,

E =∞⋃i=1

Ai

y el diametro de cada uno de los miembros del recubrimiento es menor o igual que δ

|Ai| ≤ δ ∀i = 1, 2, . . .

Dado un conjunto E ⊂ Rn y un numero real s > 0, definimos

Hsδ (E) = inf{

∞∑i=1

|Ai|s : {Ai}es recubrimiento− δ de E}

numero1 que mide el tamano-s del conjunto E, es decir, ignorando las irregularidades deque tienen tamano menor que δ.Si hacemos tender δ a cero, iremos apreciando irregularidades de tamano cada vez menor.Ademas, si δ → 0, Hs

δ (E) aumenta, pues es un ınfimo tomado cada vez sobre una clasemas restringida de recubrimientos y, por tanto existe el lımite

Hs(E) = lımδ→0

Hsδ (E)

1para una definicion precisa de los conceptos de ınfimo y supremo puede consultarse la pagina 34

79

que puede ser finito o infinito. Al numero Hs(E) se le conoce como medida s-dimensionalde Hausdorff.Puede demostrarse que la definicion es equivalente si se supone que los recubrimientosestan formados por abiertos, por cerrados o por conexos, debido a que tales restriccionesno alteran las sumas de lo diametros de los conjuntos del mismo.

A.5. Dimension de Hausdorff

La medida s-dimensional de Hausdorff como funcion de s tiene un comportamiento espe-cial. Su rango esta formado por uno, dos o tres valores. Estos posibles valores son cero,un numero finito e infinito.

Teorema A.1. Sea n un numero entero positivo y sea E un subconjunto acotado de Rn.Sea Hs(E) la medida s-dimensional de Hausdorff tal como se definio mas arriba como0 ≤ DH ≤ n tal que

Hs(E) =

{∞ si s < DH

0 si s > DH

El unico numero real DH que cumple el teorema anterior se conoce como la dimension deHausdorff del conjunto E y se escribe tambien como DH(E). Evidentemente, los conjuntosclasicos conservan su dimension clasica bajo DH , pero los conjuntos fractales estan ahoramucho mejor caracterizados y podemos intentar dar una definicion precisa de ellos.Serıa muy simple afirmar que una fractal es aquel conjunto con dimension fraccionaria.Algunos fractales tienen dimension entera. Un fractal es cualquier conjunto cuya dimensionde Hausdorff sea mayor estrictamente que su dimension topologica.

A.6. Distancia de Hausdorff

Una forma alternativa de entender la distancia de Hausdorff entre dos conjuntos es a partirdel concepto de cuerpo δ − paralelo.El cuerpo δ − paralelo de un conjunto compacto F , CP (A, δ), es la union de todas lasbolas de radio d centradas en puntos del conjunto A. Si x ∈ CP (A, δ) para algun y ∈ A esd(x, y) ≤ d. Por ello, es facil comprobar que, para hallar dH(A, B), basta tomar δ1 y δ2 lomas pequenos posible de forma que A ⊂ CP (B, δ2) y B ⊂ CP (A, δ1). Entonces dH(A, B)es la mayor entre los numeros δ1 y δ2.

80

Figura A.1: CP (A, δ).

Figura A.2: dH(A, B) = max{δ1, δ2} = δ1.

81

Apendice B

Algunas nociones de Hoja de Calculo

La Hoja de Calculo la invento en el ano 1978 un estudiante de la Universidad de Harvardllamado Dan Bricklin, y el programa informatico lo escribio un amigo suyo llamado BobFramkston. Se trataba de una aplicacion para un microordenador muy popular en losambientes universitarios norteamericanos de la epoca, el Apple II. Visicalc -que ası sellamo esa primera Hoja de Calculo— fue todo un exito. Posteriormente Lotus comprolos derechos y, tras sucesivas mejora.s, la convirtio en la Lotus 1-2-3, que representoel paradigma de las Hojas de Calculo durante muchos anos. El programa simula unacuadrıcula parecida a las hojas que se utilizan en contabilidad.Una, Hoja de Calculo aparece en la pantalla del ordenador como una cuadrıcula de celdasordenadas por filas y columnas. Cada celda se identifica por su columna y su fila; lascolumnas se enumeran mediante la sucesion alfabetica (A, B, ..., Y, Z. AA, AB, ...) ,y lasfilas mediante la sucesion natural (1, 2, 3, ...), de modo que la celda G5 estara situada en la5a fila, 7a columna. Tambien podemos identificar un grupo de celdas. lo que denominamosun rango de celdas , del siguiente modo: si estan en la misma fila o en la misma columna,se indicara la primera y la ultima celdas separadas por dos puntos (:); C2:H2 identificael rango de celdas de la segunda fila contenidas entre la tercera y la octava columnas.Cuando el rango de celdas ocupa un rectangulo que abarca varias filas y varias columnas,quedara identificado senalando la celda que ocupa la esquina superior izquierda y la queesta en la esquina inferior derecha, separadas por dos plintos; E5:G8 identifica. ei rango delas doce celdas pertenecientes a las filas quinta, sexta, septima y octava y a las columnasquinta, sexta y septima.

Una celda de una Hoja de Calculo puede contener numeros, formulas o cualquier otracosa que no sean ni numeros ni formulas, lo que denominamos texto con caracter general.En una celda de una hoja de calculo se pueden escribir numeros en:

82

✎ formato decimal normal: 3, 56

✎ notacion cientıfica: −2, 34e− 5

✎ formato de fecha: 03/4/2005

✎ formato de hora: 08:20:12

Figura B.1: Notacion numerica en hoja de calculo.

Figura B.2: Formulas.

Una formula es cualquier expresion algebraica bien construida precedida por el signo igual(=) Se utilizan los siguientes signos:

83

? el signo + para la suma

? el signo − para la resta

? el signo / para la division

? el signo ∗ para la multiplicacion

? el signo ˆ para la potenciacion

? ademas de toda la coleccion de funciones de la hoja de calculo.

En una formula se puede usar, ademas de valores numericos, referencias a otras celdas queactuaran como indeterminadas en la expresion algebraica.

84

Bibliografıa

[NAKOS] Nakos George y Joyner David, Algebra Lineal Con Aplicaciones, In-ternationa Thomson editores, S.A. , 1999.

[G.FRACT.] Estrada William Fernando, Geometria Fractal, Conceptos y procedi-mientos para la construccion de fractales, Cooperativa editorial Magisterio ,2004.

[BARNS.] Barnsley Michael , Fractals Everywhere, Academics Press, 1988.

[MANDEL.] Mandelbrot Benoit B. , La Geometria Fractal de la Naturaleza, TusquesEditores, S.A. , 1997.

[GUZMAN] Guzman Miguel de,Martın Miguel A, Moran Manuel y ReyesMiguel, Estructuras Fractales y sus Aplicaciones, Editorial Labor, S.A. ,1993.

[FRACTUS] Talanquer Vicente, Fractus Fracta Fractal, Impresora y EncuadernadoraProgreso, S.A. , 2002.

[LATEX] Rodrigo de Castro Korgi, El Universo Latex,Panamericana Formas eImpresos, S.A., 2003.

[EXCEL] Vila Fermi, Microsoft Excel2000,Alfaomega grupo editorial S.A.,2000.

[C.FRACT.] Monroy Olivares Cesar, Curvas Fractales,Afaomega grupo Editor,S.A., 2002.

[O.FRACT.] Mandelbrot Benoit, Los Objetos Fractales,Tusquets Editores, S.A.,1988.

[FRACT.] Herren Gustavo, Fractales las Estructuras Aleatorias,Editores Litera-rios,2002.

85

Indice alfabetico

aplicacionespacios metricos

continua, 35

bolaabierta, 33cerrada, 33

conjuntoabierto, 34adherencia, 34cerrado, 34interior, 34

espacio metricocompacto, 35completo, 35

sucesionespacio metrico

Cauchy, 35convergente, 35

transformacionafın, 22matricial, 5

transformaciones matricialescompresiones, 8cortes, 9lineales, 13proyecciones, 13reflexiones, 7

rotaciones, 11

86

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