Simetría y Proporciones - Clase 2b - Mód 2

SIMETRÍA Y PROPORCIONESMÓDULO

II

CLASE 2

el documento

2.1 Simetría axial

TEORIA DE LA SIMETRIA

La palabra simetría tiene dos acepciones:

- Simétrico significa algo bien proporcionado, bien equilibrado. La belleza está ligada con la simetría y elconcepto no se restringe a objetos espaciales; el sinónimo armonía se refiere más bien a su aplicación acústicay musical antes que a la geometría del sistema.

- En el segundo sentido, la palabra simetría se utiliza como sinónimo de simetría bilateral, la simetría deizquierda y derecha.

La simetría bilateral o axial es puramente geométrica:

Una configuración espacial es simétrica respecto de un plano E dado si puede superponersesobre sí misma por reflexión en dicho plano.

Tomando una recta cualquiera r ortogonal al plano y un punto P sobre la recta, existe uno ysólo un punto P’ sobre la recta que está a la misma distancia del plano que P, pero del otrolado del plano.

Esta simetría se llama también simetría heráldica pues fueron los súmeros los primeros pueblos antiguos queusaron el dibujo heráldico, prosiguiendo luego su uso en Persia, Siria y Bizancio.

2.2 Simetría traslatoria o traslación

Una manera de describir el espacio, usada por Newton y Helmholtz, se logra mediante la noción de congruencia:

Dos regiones del espacio son congruentes si pueden ser ocupadas por un mismo cuerpo rígido en dos desus posiciones.

El tipo más simple de congruencias son las traslaciones. Para definir una traslación es necesario conocer:

Para hallar la imagen de una figura mediante una traslación es necesario mover cada punto de la figura originalsegún un vector equipolente al vector traslación.

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2.3 Simetría rotatoria o rotación

Una configuración plana posee simetría rotatoria alrededor de un punto si la iteración de una operación únicade rotación, la lleva a coincidir consigo misma. Para definir una rotación es necesario determinar el centro y elángulo de rotación. Dicho ángulo se indica mediante su amplitud y su sentido.

Centro de giro: o

Amplitud del ángulo de giro: 90°Sentido del ángulo de giro:antihorarioSe indica: +90°

Amplitud del ángulo de giro: 90°Sentido del ángulo de giro:horarioSe indica: –90°

La imagen de un figura por medio de una rotación se realiza moviendo cada punto de la figura original respectodel centro de simetría según el ángulo de giro.

Las figuras más simples que poseen este tipo de simetría son los polígonos regulares.

En el espacio diremos que una figura posee simetría rotatoria en torno a un eje r si todas las rotacionesalrededor de r la llevan a coincidir consigo misma.

Por ejemplo: sea una banda ornamental cuyo motivo repetido es de longitud a y la envolvemos alrededor de uncilindro cuya base sea un múltiplo de a, digamos na. Obtenemos así una configuración que se superpone sobre

sí misma mediante una rotación alrededor del eje del cilindro en un ángulo y sus múltiplos. La rotaciónn-ésima es la rotación en un ángulo de 360° o sea la identidad. Obtenemos así un grupo finito de rotaciones deorden n, esto es, integrado por n operaciones. El cilindro puede reemplazarse por cualquier superficie de


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rotación alrededor de un eje, como por ejemplo un vaso o un ánfora.

2.4 Grupo de simetrías

Una aplicación S del espacio asociaa cada punto P otro punto P’ que es su imagen.

Por ejemplo, la identidad I que aplica cada punto sobre sí mismo.Dadas dos aplicaciones S y T pueden efectuarse una después de la otra:si S aplica el punto P en el P’ y T aplica el P’ en P”, es decir:S: P P’T: P’ P”

entonces la aplicación resultante, que llamaremos composición e indicaremos ST, aplica P en P”, es decir:ST: P P”

Una aplicación S puede tener una inversa S -1 tal que SS -1 = I y también S -1S = I. Por ejemplo: la operaciónbásica de la simetría bilateral, la reflexión en un plano es tal que su iteración SS resulta la identidad I, es decir,es su propia inversa.

Observación: en general, la composición de aplicaciones no es conmutativa. ST no tiene porque serigual a TS. La composición de dos transformaciones ST es otra transformación y su inversa vale:

Cualquier conjunto G de transformaciones se dice que forma grupo si cumple las siguientes condiciones:

1.

2.

3.

Una traslación puede representarse por el vector , comomuestra la figura, y es evidente que las traslaciones forman

grupo ya que la sucesión de dos traslaciones y es

la traslación .


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Una congruencia que deja fijo un punto O es una rotación alrededor de O.

Como es fácil comprobar, las rotaciones alrededor de un punto tambiénforman grupo.

¿Qué relación guarda todo esto con la simetría? La respuesta es que proporciona un lenguaje matemático paradefinirla.

Dada una configuración espacial F, los movimientos del espacio que dejan F invariante forman un grupode simetrías y este grupo describe exactamente las simetrías de F. La simetría de una figura cualquieradel espacio queda descripta por un subgrupo de dicho grupo.

Ejemplo: la estrella pentagonal del Dr. Fausto.

Después de estas consideraciones matemáticas generales, nos ocuparemos de algunos grupos de simetríaespeciales que son importantes en el arte y en la naturaleza, a saber, la simetría traslatoria y la simetríarotatoria.

Una configuración posee simetría traslatoria si es invariante respecto a una traslación.

En arte ornamental, esta simetría se llama razón infinita, esto es, repetición con un ritmo espacial regular.

Esta operación puede combinarse con la simetría reflexiva, como es habitual en las bandas ornamentales.Existen numerosos ejemplos de simetría traslatoria en Arquitectura, como puede verse a continuación en:

Friso de arqueros persas del Palacio de Darío en SUSA (construir link a la foto)Palacio de los Dogos en Venecia (construir link a la foto)


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Friso de arqueros persas del Palacio de Darío en Susa

Palacio de los Dogos en Venecia

En particular, la figura de los arqueros muestra un friso, que se define formalmente del siguiente modo:

Dada una figura F, sea S(F) el grupo de simetrías de F. Se dice que F es un friso si se cumple:

1. existe una recta r que indica la dirección de desarrollo del friso y que debe quedar invariante antetodas las simetrías del grupo S(F);

2. existe una traslación de vector no nulo y dirección igual a la de la recta r, que indica el paso delfriso, tal que cualquier otra traslación que deje invariante al friso debe ser un múltiplo entero del vector

.

Todas las transformaciones anteriores son casos particulares de la afinidad.

La propiedad fundamental de las afinidades es que conservan la razón simple de 3 puntos alineados,esto es, dados tres puntos P, Q y R, conservan la razón PR/QR.

El movimiento rígido más general en el espacio tri-dimensional es el movimiento helicoidal que, como hemosvisto, es la combinación de un movimiento de rotación alrededor de un eje con el de traslación a lo largo delmismo eje.Durante el movimiento uniforme continuo, cualquier punto que no esté sobre el eje, describe una hélice a la quepodría adjudicarse la frase latina:eadem resurgo (siempre resurjo igual).

Los estados por los que pasa un punto en tiempos equidistantes, están distribuidos sobre la hélice como lospeldaños de una escalera caracol.En la Naturaleza, las hojas dispuestas alrededor del vástago de una planta adoptan con frecuencia esteordenamiento en espiral. Goethe ya hablaba de una tendencia de la naturaleza hacia la espiral y este fenómeno


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se llama filotaxia.

2.5 El Número de Oro

Experimentalmente se ha encontrado que las fracciones que representan la disposición helicoidal de las hojas ofilotaxia, forman parte de la llamada sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

en la que cada término que sigue al segundo se obtiene sumando los dos inmediatamente precedentes.

Biografía: Fibonacci

Si llamamos es fácil verificar que:

A este se lo llama Número de Oro ( =1,61803...) y se lo simboliza con la letra griega , inicial de Fidias,escultor griego que usó dicho valor en sus esculturas.

El Número de Oro corresponde matemáticamente a la división de un segmento en media y extremarazón.

En efecto, sea el segmento que se quiere dividir mediante un punto C en dos partes de manera que:

Llamando tenemos la relación :

Esta igualdad se puede escribir, indicando con como:


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Esta ecuación de segundo grado: tiene como solución positiva el valor queno es más que el Número de Oro .

2.6 La sección áurea

Un rectángulo se llama áureo si sus lados están en la relación 1: 1,618...

Un rectángulo áureo puede dividirse en un cuadrado y un rectángulo áureo más pequeño. Y adosando al ladomayor de un rectángulo áureo un cuadrado de lado igual al propio lado mayor, se vuelve a obtener un rectánguloáureo.

El descubrimiento de la sección áurea se atribuye a Pitágoras que creyó haber encontrado una expresiónmatemática de aquel principio de analogía, que es el fundamento de la evolución cultural de nuestra civilización.Se piensa que en la época de la Roma imperial, ya se usaba la sección áurea en los proyectos arquitectónicos.El interés por la sección áurea fue muy intenso en el Renacimiento. Luca Pacioli la llamó proportio divina. Keplernotó su importancia en Botánica y en Cosmología y la llamó sectio divina y finalmente, Leonardo da Vinci le dioel nombre de sección áurea.

Pitágoras Kepler Da Vinci

El declinar del Renacimiento produjo una disminución del interés en la sección áurea y sólo se la citaba a títulode curiosidad matemática. Al comenzar el siglo XX, en razón de las nuevas tendencias artísticas hacia laabstracción, se vuelve a impulsar el interés por la sección áurea.Section d’Or fue el nombre con que se denominó en un principio la escuela cubista, algunos de cuyos miembroseran matemáticos. De allí volvió a la práctica arquitectónica gracias a Le Corbusier.

El sistema proporcional inventado por Le Corbusier se llamó Modulor (derivado de module, unidad de medida ysection d’or, sección áurea) y consiste en dos sucesiones de Fibonacci interrelacionadas, la serie roja y la serieazul.La dimensión básica de la serie roja es 183 centímetros, la altura ideal del hombre y la de la serie azul 226centímetros, la altura del hombre con el brazo levantado. Dividiendo 226 por 2 obtenemos 113 centímetros quees el término inmediatamente precedente a la dimensión básica de 183 de la serie roja. A partir de los dostérminos consecutivos es posible hallar toda la serie roja y los términos de la serie azul se obtienen duplicandolos correspondientes de la serie roja:

Serie roja: 6, 5, 11, 16, 27, 43, 70, 113, 183, 296, ...

Serie azul: 12, 10, 22, 32, 54, 86, 140, 226, 266, ...


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Le Corbusier usó su Modulor en numerosos proyectos: la sede de las Naciones Unidas en Nueva York, unaunidad de vivienda en el Boulevard Michelet en Marsella, etc.

2.7 Los Números Metálicos

El Número de Oro no es el único número importante desde el punto de vista científico y artístico. Es el miembromás notable de una familia de números irracionales cuadráticos positivos, que son soluciones de ecuacionescuadráticas del tipo:

donde n es un número natural. Todos los miembros de esta familia gozan de importantes propiedadesmatemáticas comunes que los convierten en entes fundamentales en un gran número de investigaciones, queabarcan desde la transición del orden al caos hasta su uso como base en distintos sistemas de proporción enDiseño.

La familia ha sido llamada por Spinadel [“From the Golden Mean to Chaos”, Nueva Librería, 1998], la Familia deNúmeros Metálicos (FML). El nombre se debe a que al Número de Oro le siguen el Número de Plata, el Númerode Bronce, el Número de Cobre, el Número de Níquel, etc.

Al ser números irracionales, todos ellos deben ser aproximados por cocientes de números enteros en lasaplicaciones. Ello se logra mediante sus correspondientes desarrollos en fracciones continuas. Así, por ejemplo:

1) El Número de Oro es la solución positiva de la ecuación :


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2) El Número de Plata es la solución positiva de la ecuación :

3) El Número de Bronce es la solución positiva de la ecuación :

4) El Número de Cobre es la solución positiva de la ecuación :

5) El Número de Níquel es la solución positiva de la ecuación :

Obviamente, todos estos desarrollos constan de un número infinito de términos, siendo algunos periódicospuros, como en los casos de los Números de Oro, Plata y Bronce y otros simplemente periódicos, como en loscasos de los Números de Cobre y de Níquel. En cambio, el desarrollo de cualquier número racional es siemprefinito, por ejemplo:

Se puede demostrar que las sucesiones numéricas obtenidas tomando distintas aproximaciones racionalescalculadas mediante la descomposición en fracciones continuas, gozan de propiedades aditivas perosimultáneamente son progresiones geométricas, característica que las convierte en ideales para ser base demuchos sistemas de proporciones.

2.8 Proporciones significativas en Diseño

La proporción áurea se encuentra presente en la historia de la cultura humana, partiendo de la tempranaPrehistoria y siguiendo con el arte sacro en Egipto, India, China, todo el Islam y otras civilizaciones tradicionales,


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hasta el movimiento del Bauhaus y el Modulor de Le Corbusier en pleno siglo XX.

Tras la proporción áurea encontramos la proporción de Plata , que también estuvo presente en el diseñoa toda escala, desde las dimensiones de los atrios hasta las edificaciones individuales de las casas romanas.

Por ejemplo, Carol y Donald Watts [Watts Donald and Carol, “A Roman apartment Complex”, Sc. Amer., vol.255, No. 6, pp. 132-140, 1986], una pareja de arquitectos norteamericanos, ha estudiado con todo detalle lasruinas de las casas – jardín de Ostia, el famoso puerto del Imperio Romano, llegando a la conclusión de que

estaban enteramente diseñadas siguiendo la proporción de Plata . Asimismo, esta proporción se usó ennumerosos ejemplos de música clásica europea (Beethoven, Mozart, Haydn, Béla Bartok, etc.).

Surge inmediatamente la pregunta de por qué, entre los infinitos Números Metálicos, los dos ejemplos de laproporción áurea y de la proporción de Plata son los encontrados con mayor frecuencia. La respuesta es:

1. Porque son los primeros miembros de la Familia de Números Metálicos, basados en dos números cuyosdesarrollos en fracciones continuas son los más simples posibles.

2. está asociado con la geometría pentagonal y con la octogonal.

Quizás el resto de los miembros de la Familia de Números Metálicos estén asociados con algún tipo deconfiguración geométrica, pero ese tema no ha sido desarrollado aún, salvo en el caso de, que resulta ladiagonal de un cubo de aristas iguales a 1.


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