SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL COMPORTAMIENTO A TRACCIÓN …

SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL COMPORTAMIENTO A TRACCIÓN DE UN FIELTRO DE FIBRA DE VIDRIO

Á. Ridruejo1, C. González1,2, J. LLorca1,2

1 Departamento de Ciencia de Materiales, E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Universidad Politécnica de Madrid, C/ Profesor Aranguren s/n,

28040 Madrid, España. E-mail: [email protected]

[email protected] [email protected]

2 Fundación IMDEA Materiales, E.T.S. de Ingenieros de Caminos,

Canales y Puertos, Universidad Politécnica de Madrid, C/ Profesor Aranguren s/n, 28040 Madrid, España.

E-mail: [email protected] [email protected]

RESUMEN

El presente trabajo presenta un modelo numérico que pretende simular el comportamiento en tracción de un fieltro comercial de fibra de vidrio. En primer lugar se han obtenido de muestras reales los parámetros geométricos y microestructurales de las fibras y del fieltro con objeto de generar una malla bidimensional realista apta para el cálculo por el método de los elementos finitos. Una vez generada la malla, se ha optado por elementos viga de Timoshenko para simular los segmentos de fibra y conectores elásticos para simular las uniones entre fibras. La modelización de los procesos de fractura se ha realizado mediante la introducción de daño en dichos conectores elásticos, lo que permite caracterizar el valor máximo de resistencia con un coste computacional moderado. Finalmente, se presenta un modelo de daño por rotura de enlaces que incluye el deslizamiento de las fibras y que es capaz de reproducir el comportamiento en tracción de los fieltros hasta la pérdida completa de la capacidad portante del material

ABSTRACT

This paper presents a numerical model aimed to the modelization of the tensile behavior of a commercially available fiber glass mat. The geometrical and structural parameters of the mat have been obtained from material samples in order to generate a realistic 2D finite element mesh. Timoshenko beam elements are used to simulate the fiber segments and elastic connector elements simulate the fiber-fiber bonds. The modelling of the fracture process has been done by damaging these elastic connectors, which allows the model to capture the maximum strength at a moderate computational cost. The paper finally presents a model which takes into account the fiber sliding and is able to reproduce the mat tensile behaviour until the complete loss of its loading capacity. PALABRAS CLAVE: Fieltros, modelización, elementos finitos

1. INTRODUCCIÓN Los fieltros son materiales constituidos a partir de disposiciones no ordenadas de fibras, que quedan unidas entre sí mediante anclajes de distinta naturaleza, que pueden ir desde la simple imbricación de las fibras hasta la fusión de las mismas, dependiendo del material o de la técnica de procesado. A pesar de que la utilización tecnológica de este tipo de materiales es antigua (el papel, en definitiva no más que un fieltro de fibras de celulosa unidas mediante puentes de hidrógeno, como ejemplo paradigmático), el desarrollo de materiales compuestos tejidos, con gran simplicidad geométrica y mayores propiedades mecánicas relegó a los fieltros a un papel marginal.

Sin embargo, algunas características de los fieltros, como el hecho de no necesitar una matriz que proteja las fibras, con el consecuente abaratamiento de los procesos de producción, han propiciado su aparición en aplicaciones como geotextiles, aislantes, o protección frente a impacto de fragmentos. Desde el punto de vista científico, el estudio de los fieltros ha cobrado interés por su analogía estructural con muchos tejidos biológicos o el descubrimiento de fibras imposibles de tejer con las tecnologías actuales, como los nanotubos de carbono. El estudio de los fieltros a partir de las propiedades mecánicas de las fibras se inició a partir de la investigación de Cox [1] acerca del papel. Cox desarrolló un modelo analítico de deformación afín para

Anales de Mecánica de la Fractura 26, Vol. 2 (2009)

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predecir las constantes elásticas de un fieltro formado por fibras rectas indefinidas perfectamente unidas sin interacción entre ellas. Las limitaciones de este modelo son grandes, puesto que en un fieltro real, las fibras están aleatoriamente depositadas, son de longitud finita, no existe un medio que las soporte y tienen uniones entre sí, pero permite acotar superiormente las propiedades elásticas del material. Autores como Kallmes y Corte [2] estudiaron la geometría de redes bidimensionales idealizadas, y a partir de ella, desarrollaron un modelo estadístico de las propiedades elásticas a partir de tres parámetros: el número de intersecciones totales entre fibras, el número medio de intersecciones por fibra, y una longitud libre media entre intersecciones. En los últimos años han aparecido algunos análisis numéricos [3] basados en las aportaciones de Kallmes y Corte. Sin embargo, las predicciones de estos modelos, como relatan Berhan et al [4], aunque adecuadas para ciertos materiales bien conocidos (Heyden, [5]), predicen rigideces varios órdenes de magnitud superiores a los valores experimentales de manera sistemática en sistemas como los nanotubos de carbono. Estos autores, si bien ofrecen una explicación basada en el número efectivo y tipología de las uniones, no llegan a explicar de forma completamente satisfactoria el fenómeno. En este artículo se tratarán de determinar mediante un modelo de elementos finitos bidimensional las propiedades mecánicas de un fieltro comercial de fibra de vidrio. 2. MATERIAL 2.1 Descripción y estructura El material estudiado es el fieltro Vetrotex M123, fabricado por Saint Gobain. Este fieltro está compuesto de fibras de vidrio de tipo E de 15 µm de diámetro y 50 mm de longitud. Las fibras se agrupan en haces de sección rectangular (300 x 60 µm). Cada uno de estos haces, que contiene 120 fibras, está consolidado por un ligante de poliestireno (PS) que recubre las fibras y constituye la unidad estructural del fieltro. El fieltro se conforma mediante la deposición de los haces de fibras sobre un sustrato plano. Las uniones entre los distintos haces de fibras se deben a las propiedades adhesivas del ligante de poliestireno. Se efectuaron medidas de la masa del fieltro mediante una balanza electrónica (AND HF 1200G) para hallar la densidad del mismo, que resultó ser de 454 ± 6 g/m2, en acuerdo con el valor nominal de 450 g/m2 proporcionado por el fabricante. Las medidas del espesor del fieltro, realizadas mediante un pálmer ofrecieron un valor de 0.54 ± 0.02 mm. La microestructura del fieltro fue observada mediante técnicas de proyección de perfiles (Nikon V12B) y microscopía óptica convencional (microscopio Nikon Metaphot).

Figura 1. Fieltro Vetrotex M123. Escala macroscópica

Figura 2. Fieltro Vetrotex M123. Detalle de los haces de fibras

Como puede apreciarse en las figuras 1 y 2, se trata de una estructura estratificada e isótropa en el plano que deriva del proceso de deposición de las fibras, según el cual los haces quedan apoyados sobre los depositados anteriormente, permaneciendo rectos y sin entrecruzarse en la dirección perpendicular al plano del fieltro. Las imágenes así obtenidas permitían su tratamiento digital y fueron utilizadas para hallar la densidad de entrecruzamientos y la distancia libre entre uniones. Este último parámetro es básico para el modelo numérico, y en el caso que nos ocupa tiene un valor de 0.75 ± 0.02 mm. 2.2 Propiedades mecánicas La validez del modelo se contrastó con ensayos experimentales. Se realizaron ensayos de tracción simple según la norma EN ISO 10319. Los ensayos se llevaron a cabo en una máquina universal electromecánica (Instron 1122) equipada con una célula de carga de 5 kN con control de desplazamiento a una velocidad de 0.2 mm/s. En la figura 3 se puede observar el comportamiento típico en tracción del material

400 m

10 mm


395

0

500

1000

1500

2000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

s (N

/m)

Engineering strain Figura 3.Curva tensión-deformación característica del

fieltro M123 ensayado a tracción. Como puede apreciarse, la carga aumenta de forma lineal hasta alcanzar un máximo en forma de pico muy agudo. Este máximo se corresponde con la localización de daño (habitualmente para una deformación del 2%) por pérdida de adhesión entre los haces de fibras. A partir de este momento los haces comienzan a deslizar entre sí, y por tanto la resistencia remanente es consecuencia de la fricción entre éstos. 3. DESCRIPCIÓN DEL MODELO NUMÉRICO Para la realización de la malla de elementos finitos se comenzó por delimitar un área rectangular de anchura W igual a 200 mm y una altura H igual a 100 mm, de dimensiones idénticas a las muestras reales previamente ensayadas. El programa de generación utiliza como inputs el número de fibras a depositar y la longitud de las mismas. Puesto que las fibras se construyen a partir de pequeños segmentos, es necesario conocer también el número de segmentos y el ángulo máximo entre ellos (lo que permite, en su caso, generar fibras curvas). El algoritmo comienza generando un punto con las coordenadas (x1, y1) aleatorias del primer punto del primer segmento, junto con su orientación θ1, también aleatoria. Conocidas la longitud y orientación del segmento, el programa calcula el segundo punto del primer segmento, que será el punto de partida del segundo segmento. Puesto que en nuestro caso estamos simulando un fieltro de fibras rectas, la orientación se mantiene constante para cada fibra. Se procede, pues, a la colocación sucesiva de segmentos hasta agotar la longitud de la fibra. Una vez completada la primera fibra, de nuevo se generan aleatoriamente las coordenadas (x1´, y1´) del punto inicial de la segunda fibra junto con su orientación θ1´. El proceso se repite hasta el final de la fibra N-ésima. Si durante el proceso de deposición de segmentos de una fibra se alcanzara alguno de los contornos del área del fieltro, la colocación del siguiente segmento se hace en el lado opuesto del recinto. Esto tiene dos ventajas: por un lado,

conocemos exactamente la longitud de fibra depositada y por el otro podríamos imponer de manera inmediata condiciones de contorno periódicas. La estructura estratificada del fieltro supone una complicación, puesto que un modelo puramente bidimensional no puede mimetizar exactamente dicha estructura. Nuestro objetivo es, pues, el de encontrar una capa representativa bidimensional que reproduzca fidedignamente las propiedades mecánicas del fieltro. Posteriormente será preciso escalar la respuesta según el número de capas que contenga nuestro fieltro. Siguiendo a los anteriormente mencionados, Kallmes y Corte [2], si definimos la densidad de fibras como

ρ f fN L=

WH, (1)

donde Nf es el número de fibras y Lf es la longitud de cada una de ellas, si las fibras son rectilíneas el número de intersecciones estará automáticamente dado por:

2f f

C(N L )

N =πWH

(2)

Y la distancia libre entre intersecciones será:

f fs

c

N Ll =

2N (3)

Las anteriores fórmulas han sido comprobadas mediante simulaciones numéricas, en las que el número de intersecciones se apartaba como máximo un 2% respecto de las predicciones de la ecuación (2). Así, el parámetro de distancia libre medido ls= 0.75 ± 0.02 mm, que por su modo de obtención (dispositivos con pequeña profundidad de campo) se refiere a la densidad de una monocapa estructural, nos proporciona una densidad ρ=2.1 mm-1, lo que supone aproximadamente una longitud total depositada de 41900 mm, equivalente a 836 fibras de 50 mm depositadas en un área de 200 x 100 mm. y que nos ofrece una estimación de 27800 uniones totales. Para discretizar la malla identificamos cada segmento como un elemento viga, tomando sus puntos inicial y final como nodos. Se ha optado por elementos viga de Timoshenko (elementos B21 de ABAQUS), ya que la longitud arbitraria de los segmentos no asegura una esbeltez que haga válida la hipótesis de Euler y Bernouilli según la cual se pueden despreciar los esfuerzos cortantes. En la definición de las propiedades de la sección se utilizaron las dimensiones medidas de los haces de fibras. El material del elemento viga sigue una ecuación constitutiva elástica lineal caracterizada a partir de las propiedades del material real (fibra de vidrio): un módulo elástico E = 70 GPa, un coeficiente de Poisson ν = 0.2 y una densidad de 2.5 g/cm3.

Deformación , e

W

H


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En el ámbito del método de los elementos finitos es un fenómeno bien conocido que cuando se utiliza un integrador explícito el tamaño del paso de tiempo está controlado a través de la estabilidad por el tamaño de los elementos. Un cálculo será tanto más rápido cuanto mayor y más homogéneo sea este tamaño. En nuestro caso, nos encontramos con la presencia en la proximidad de las fronteras de elementos muy pequeños, de tamaño inferior a la mitad de un segmento, que reducirían en gran medida el tamaño del paso de tiempo que garantiza la estabilidad del método. Dichos elementos fueron eliminados. Se comprobó que la longitud total sustraída se mantenía por debajo de una diezmilésima parte de la longitud total depositada.

Figura 4. Modelo geométrico del fieltro de fibra de

vidrio. Malla sin deformar. Para la simulación de las uniones entre vigas se han utilizado elementos conectores sin masa (ABAQUS connector elements CONN2D2). Este tipo de elementos permiten implementar un gran número de comportamientos y restricciones de movimiento de forma relativamente sencilla. A modo de resumen, podemos afirmar que permiten relacionar las variables mecánicas (posiciones, desplazamientos, fuerzas y momentos) de pares de nodos mediante distintas ecuaciones constitutivas. Para situarlos, el algoritmo compara las distancias entre nodos correspondientes a distintas fibras y coloca un conector cuando dicha distancia está por debajo de determinado umbral. En las distintas realizaciones, se ha comprobado que su número es próximo al valor proporcionado por la ecuación (2). Dada la arquitectura del fieltro, con haces de fibras muy rígidos y resistentes en comparación con las uniones, podemos descartar a priori la ruptura de los haces de fibras y suponer que la rotura del fieltro se produce por la rotura de las uniones entre ellos. Para modelar este proceso se han utilizado dos tipos de comportamiento de los conectores. En el primer caso, un modelo de daño sencillo (Connector damage en ABAQUS) en el que el conector sigue una curva fuerza-desplazamiento lineal hasta que el deslizamiento alcanza un 40% de la anchura de la fibra. En ese momento, el conector se considera roto y deja de transmitir carga, según se muestra en la figura 5. Este modelo únicamente requiere como entrada la rigidez del conector, tomada del módulo elástico de un

adhesivo estirénico [6] y el desplazamiento de rotura del conector (en nuestro caso, 0.25 mm)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

F (

N)

u (mm)

ABAQUS CONNECTOR DAMAGE

Figura 5. Curva fuerza-desplazamiento de un conector

en el modelo de daño súbito. El segundo modelo, basado en el rozamiento, resulta más complejo. Se supone a las fibras sometidas a una fuerza N normal al plano del fieltro. El programa ABAQUS tiene definido internamente mediante un pseudopotencial un criterio de deslizamiento de tal modo que cuando las fuerzas tangenciales (en el plano del fieltro) son inferiores al producto del coeficiente de fricción por la normal, el conector se comporta de modo análogo al caso anterior, siguiendo una relación lineal entre la fuerza tangencial ejercida sobre el conector y el desplazamiento relativo de sus nodos. Cuando las fuerzas tangenciales superan dicho umbral, los nodos empiezan a deslizar penalizados con una fuerza de valor µN. En el modelo se toma µ = 0.5, correspondiente al deslizamiento poliestireno-poliestireno [7]. El efecto del debilitamiento del enlace ha sido tenido en cuenta mediante una curva de decrecimiento bilineal de la fuerza normal, que se expone en la figura 6.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Fu

erza

nor

ma

l, N

(N

)

u (mm)

ABAQUS CONNECTOR FRICTION

Figura 6. Evolución de la fuerza normal según el desplazamiento relativo de los nodos del conector en el

modelo friccional.


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Este modelo requiere la especificación, junto a la rigidez del conector, del coeficiente de rozamiento entre fibras (necesariamente el estático, opcionalmente el dinámico) además de la fuerza normal y su evolución. Las condiciones de contorno prescritas impedían el movimiento de los nodos de la frontera inferior del fieltro en las direcciones horizontal y vertical e imponían una velocidad de desplazamiento vertical constante en los nodos de la frontera superior de un valor tal que los experimentos virtuales se mantuvieran en régimen cuasiestático, esto es, que la energía cinética fuera despreciable frente al trabajo total, la energía elástica almacenada y la disipada por daño o fricción. Las simulaciones fueron llevadas a cabo con el programa ABAQUS Explicit (versión 6.7) en modo de doble precisión. Se generaron tres mallas para cada caso, las cuales contaban con aproximadamente 120000 nodos, 120000 elementos y 27000 elementos conectores. Los cálculos se ejecutaron en estaciones de trabajo utilizando 4 o 6 procesadores Xeon, y con tiempos de cálculo que variaron entre 6 y 30 horas. 4. RESULTADOS En la figura 7 se puede apreciar el aspecto de la malla al finalizar la simulación numérica. Tanto para el modelo de daño súbito en el conector como para el friccional la apariencia de la malla rota es similar. En ambos casos nos encontramos con que la deformación se localiza en una banda estrecha de la probeta. En sus proximidades se ha producido la decohesión de los enlaces entre fibras, dando así lugar a la fractura del material.

Figura 7. Estado final de la simulación, malla rota

(aumento 5x). Nótese la localización de la deformación. Sin embargo, las diferencias entre ambos modelos se hacen patentes al comparar las curvas tensión-deformación para ambos modelos. En la figura 8 se muestra la curva experimental (figura 3, en un dominio más limitado de deformación) junto con las curvas correspondientes a la simulación numérica de tres mallas distintas. Se puede apreciar que el modelo es capaz de reproducir la parte elástica de la deformación y el valor de la carga de rotura. A partir de ese momento, las curvas provenientes de las simulaciones decaen más

rápidamente que la curva experimental, que mantiene cierta resistencia residual.

0

500

1000

1500

2000

0 0.005 0.01 0.015 0.02

ExperimentalSimulacion 1Simulacion 2Simulacion 3

s (N

/m)

Deformación Figura 8. Curvas tensión-deformación experimental y

simuladas para el modelo de daño súbito en el conector La introducción de la fricción se realizó precisamente para tener en cuenta el efecto del rozamiento entre fibras sobre la resistencia residual del material. En la figura 9 podemos observar que las simulaciones numéricas no sólo son capaces de seguir el comportamiento del material hasta carga máxima, sino que reproducen el comportamiento del fieltro dañado hasta la pérdida completa de su capacidad portante.

0

500

1000

1500

2000

0 0.005 0.01 0.015 0.02

ExperimentalSimulación 1Simulación 2Simulación 3

s (N

/m)

Deformación Figura 9. Curvas tensión-deformación experimental y

simuladas para el modelo friccional. Es conveniente mencionar que la introducción de fricción reduce el tamaño del paso de tiempo estable del método, motivo por el cual este tipo de simulación resulta más costosa en términos de tiempo de cálculo. 5. COMENTARIOS FINALES La estructura interna de los fieltros se traduce en un comportamiento mecánico mucho más complejo que el de sus constituyentes, en el que confluyen factores como su inhomogeneidad, posible anisotropía, no


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linealidades de origen geométrico o material, así como un continuo reajuste durante su deformación. Las simulaciones numéricas constituyen una poderosa herramienta a la hora de obtener una comprensión más profunda de los procesos de deformación y daño. La simulación de un fieltro comercial de fibra de vidrio como el que nos ocupa, aun siendo un objetivo ambicioso, se beneficia de ciertas ventajas que convierten a este material en un buen candidato para los ensayos virtuales. En primer lugar, sus constituyentes primarios, las fibras, tienen un comportamiento elástico y lineal hasta rotura. En segundo lugar, se trata de fibras rectas que se mantienen planas durante la deformación del fieltro. Finalmente, la gran rigidez y resistencia de los haces de fibras nos permiten desacoplar los procesos de daño de haces y enlaces y poder afirmar que la fractura del material se da siempre como consecuencia de la decohesión de los haces de fibras. Un estudio detallado de la microestructura puede proporcionar un número reducido de parámetros tales como la densidad de enlaces y la distancia libre entre ellos con los que es posible construir un modelo bidimensional de elementos finitos basado en elementos viga y elementos conectores sin masa que reproduce adecuadamente el tramo lineal de un ensayo de tracción. En un siguiente paso, con la introducción de un parámetro ad hoc (el desplazamiento relativo de rotura entre fibras) en las uniones simuladas por los conectores se ha conseguido caracterizar (tensión máxima y deformación a la que se produce) el pico de carga de un ensayo de tracción con un coste computacional moderado. Al igual que sucede en los ensayos reales, la deformación se localiza en una banda del material que en último término da lugar a la rotura de la muestra. A partir del máximo de carga, la estructura de los fieltros hace que los procesos de daño estén controlados por mecanismos de naturaleza friccional. El deslizamiento entre sí de los haces de fibras provoca un consumo adicional de energía que se refleja en un decaimiento gradual de la carga desde el máximo y en la persistencia de una capacidad residual de transmisión de carga. Para poder tener en cuenta estos fenómenos, se ha desarrollado un modelo de rozamiento en los elementos conectores en el que la imposición de una curva bilineal de decaimiento de la fuerza normal basta para reproducir satisfactoriamente el comportamiento a tracción de los fieltros a lo largo de todo el proceso de deformación.

AGRADECIMIENTOS Los autores desean agradecer a Saint Gobain Vetrotex el suministro de material y al Gobierno de la Comunidad de Madrid y el Ministerio de Ciencia e Innovación su apoyo financiero a través de los programas ESTRUMAT (MAT/0077) y MAT2006-2602, respectivamente.

REFERENCIAS

[1] H.L. Cox, British Journal of Applied Physics, 3, 72-

79 (1952). [2] O. Kallmes y H. Corte, Tappi, 43, 737-752 (1960). [3] C. A. Bronkhorst, Int. J. of Solids and Structures, 40

(2003) 5441-5454 [4] L. Berhan, Y.B. Yi, A.M. Sastry, E. Munoz, M.

Selvidge and R. Baughman, Journal of Applied Physics, 95-8 (2004) 4335-4345

[5] S. Heyden, Tesis Doctoral. Lund University (2000). [6] J. A. Åström y K.J. Niskanen, Europhys Lett., 21,

557-562 (1993). [5] Vetrotex Chopped Strand Mats. Vetrotex Saint

Gobain. http://www.vetrotexeurope.com/products/ re_chopstrmat.html (2005)

[6] M. Á. Ramos Carpio. Ingeniería de los Materiales

Poliméricos. Fundación para el Fomento de la Innovación Industrial (2007)

[7]http://www.roymech.co.uk/Useful_Tables/Tribology/

co_of_frict.htm


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