Singapur. Trabajo de...
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Centro Universitario Cardenal Cisneros Enseñanza y aprendizaje de la matemática Singapur. Trabajo de investigación Verónica García Molina Beatriz Hidalgo Rodríguez
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Centro Universitario Cardenal Cisneros
Enseñanza y aprendizaje de la matemática
Singapur. Trabajo de
investigación
Verónica García Molina
Beatriz Hidalgo Rodríguez
RESUMEN
En este trabajo de investigación nos centramos en Singapur, siendo uno de los países con
mejores resultados académicos en pruebas como el informe PISA y el informe TIMS.
Trataremos el método Singapur, utilizado para la enseñanza de las matemáticas en este país. A
consecuencia de ser un método manipulativo, lo hemos empleado como base para la creación de
un material que pudiera ser utilizado por alumnos con necesidades educativas especiales, como
es el caso del Síndrome de Down. Hemos empleado este marial para la enseñanza de un
concepto matemático a través de las etapas del acto didáctico de José Antonio Fernández Bravo.
PALABRAS CLAVE
Método Singapur, necesidades educativas especiales, Síndrome de Down, concepto matemático
y José Antonio Fernández Bravo.
ABSTRACT
In this investigation project we focus on Singapore. Being Singapore one of the countries with
the best academic results in studies as Programme for International Student Assessment
(PISA) and Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS). We are going to
deal with Singapore Method, used for the teaching of the mathematics in this country. As a
result of being a manipulative method, we have used it as basis for a material creation that could
be used by pupils with special educational needs, such in the case of Down Syndrome. We have
used this material for the teaching of a mathematical concept through the stages of the didactic
act of José Antonio Fernández Bravo.
KEY WORDS
Singapore Method, special educational needs, Down Syndrome, mathematical concept and José
Antonio Fernández Bravo.
1. PARTE 1
1.1 INTRODUCCIÓN
A continuación se expondrán las principales características del sistema educativo de Singapur
por contraposición al funcionamiento del sistema educativo en España.
El país elegido para llevar a cabo nuestra investigación es Singapur, según se muestra en los
informes PISA (2009) y TIMSS (2007) los estudiantes de este país están clasificados como los
mejores en lectura, matemáticas y ciencias, y matemáticas y ciencias, respectivamente.
Además, según el Foro Mundial Económico (2010-2011) Singapur ocupa el primer puesto en
cuanto a calidad en su sistema educativo. Por todo ello, hemos decidido centrar nuestro trabajo
en este país.
Basándonos en las investigaciones de McKinsey&Company “Cómo hicieron los sistemas
educativos con mejor desempeño del mundo para alcanzar sus objetivos” (2007) diversos
sistemas educativos, entre los que se encuentra Singapur, se basan en tres claves para conseguir
su éxito educativo. Estas son: conseguir a las personas más aptas para ejercer la docencia, es
decir, la calidad del sistema educativo da preferencia a la calidad de los docentes y no tanto a la
cantidad de alumnos por aula; desarrollar a los docentes hasta convertirles en instructores
eficientes; y crear sistemas y mecanismos de apoyo específicos con el objetivo de que todos los
niños sean capaces de beneficiarse de una docencia de excelencia.
Teniendo en cuenta las aportaciones de Sara Joiko en su investigación “Sistema Educativo de
Singapur” (2013), la no existencia de recursos materiales en este país, hace que se deba
potenciar el desarrollo de su recurso más preciado: el humano. Por ello, este país utiliza el
llamado proceso de reclutamiento, esto implica que para ser profesor a diferencia de España no
obtienes un título universitario y después optas a un trabajo como docente, sino que es necesario
en primer lugar, pasar por un proceso de selección, llevado a cabo por el Ministerio de
Educación y el Instituto Nacional de Educación. De esta selección se obtendrán los mejores
candidatos, que serán aquellos que posean unas características susceptibles como son, alto nivel
general de lengua y aritmética, fuertes capacidades interpersonales y de comunicación, deseo de
aprender y motivación para enseñar.
Por último, otros aspectos a destacar, es que durante el proceso de formación que reciben los
estudiantes de magisterio obtienen un salario y la garantía de un empleo en el momento de su
graduación. Además, la profesión de los docentes está muy bien valorada, ya que la opinión de
la sociedad es que estos desempeñan una de las mejores labores con respecto a la mejora de la
misma. Singapur se basa en un sistema meritocrático que da importancia al merito personal y a
las competencias de cada persona, dejando a un lado su posición social y económica. Destaca,
además, la continua formación de los docentes como manera de perfeccionar sus cualidades.
1.2 INVESTIGACIÓN
En este apartado nos centraremos en explicar en qué consiste el método Singapur, utilizado para
la enseñanza de las matemáticas en este país.
Teniendo en cuenta las aportaciones de Ana María Sanhueza en su artículo “Sin miedo a las
matemáticas”, el método Singapur se aplica en las aulas desde 1992, haciendo que los alumnos
sean lideres en pruebas internacionales como la prueba TIMSS.
El sistema de educación en este país, y en concreto la enseñanza de las matemáticas, centran su
atención en el pensamiento, en la compresión conceptual y en la solución de problemas
matemáticos. Las características principales de este método son la utilización de modelos
visuales, utilización de material concreto y la comprensión de los conceptos, el pensamiento
lógico y la creatividad matemática. Dicho método esta abalado por la teoría de descubrimiento
de Jerome Bruner, en la que destaca el currículo en espiral (1972), se basa en que
constantemente se vuelve a los contenidos básicos de cada materia, de esta forma, estos cada
vez serán más amplios y se adaptarán al desarrollo evolutivo de los alumnos.
Los principios metodológicos que subyacen al método Singapur son tres:
Concreto: mediante actividades con material manipulativo se comienza la comprensión
de los conceptos matemáticos.
Pictórico: los alumnos representan las cantidades matemáticas (conocidas y
desconocidas) mediante el dibujo de un modelo ilustrado o pictórico, después son
comparadas en un problema.
Abstracto: dejamos atrás el material manipulativo y los modelos ilustrados y pictóricos
para utilizar signos y símbolos matemáticos.
Estos tres principios se resumen en el enfoque CPA (concreto-pictórico-abstracto) dando
importancia a las siguientes etapas. La primera etapa hace referencia a los conocimientos
previos y a la curiosidad, la segunda etapa, destaca que el alumno investiga y experimenta, en
la tercera etapa, modifican preconceptos y describe resultados de manera científica, en la cuarta
etapa se aplican y transfieren los conocimientos y se refuerzan los conceptos y en la quinta etapa
se resumen las ideas y se resuelve el problema.
Como dicen Ban Har antiguamente se aprendían las matemáticas de memoria y con
complicados procedimientos, pero gracias al método Singapur se puede realizar el aprendizaje
de esta materia a través de la visualización, generalización y el sentido del número. Es decir, se
basa en la resolución de problemas y en el pensamiento adecuado. Enlazando con lo que dice
Pinto “Para Singapur es muy importante que los niños jueguen con los números, eso implica
que los desarmen. La descomposición de los números es vital en el método y este es un
ejemplo”. Lo que demuestra según Tabita Salazar que este método no es mecánico y no se
aprende de memoria, sino que las clases suponen un desafío intelectual.
Por último, dado el éxito que ha supuesto este método y viendo los resultados en la prueba
TIMS, muchos países como Chile, Corea del Sur, Taiwán, EEUU, entre otros, lo han
incorporado en su sistema educativo.
1.3 CONCLUSIONES
Tras haber investigado sobre el sistema educativo de Singapur queremos destacar diversos
aspectos que nos han llamado la atención. El primero y, desde nuestro punto de vista, más
importante es la selección tan rigurosa que realiza el Ministerio de Educación y el Instituto
Nacional de Educación de personas capacitadas para obtener la titulación de maestro. Además,
esta profesión se considera muy importante para el desarrollo de la sociedad, en contraposición
con España. Asimismo, se establece un sistema meritocrático dando importancia a las
competencias de la persona, dejando a un lado el estatus social y económico de la misma. Esto
quiere decir, que se valora más la formación del profesorado.
Por otro lado, la educación es este país está centralizada, es decir, todos los alumnos reciben la
misma formación. En cambio, en España se exigen unos contenidos mínimos pero cada
comunidad autónoma, respetando esos contenidos, puede añadir lo que considere necesario.
Por último, creemos que el Método Singapur es una buena metodología para utilizar en un aula
ordinaria, ya que como se ha visto en pruebas internacionales como PISA y TIMS, los alumnos
obtienen muy buenos resultados académicos en la materia de matemáticas. Además, nos resulta
interesante que las matemáticas sean aprendidas de un modo tan manipulativo y constructivista
como es este. Sin embargo, consideramos que no es un método completo debido a que no se
puede utilizar con alumnos con ciertas necesidades educativas especiales, como es el caso de la
discapacidad visual.
2. PARTE 2
2.1 INTRODUCCIÓN
En el aparatado anterior, se ha expuesto el método Singapur y sus fases. Basándonos en el
articulo Creer tocando (2013), de la revista Tendencias pedagógicas, se considera como una fase
imprescindible en la enseñanza de las matemáticas en ed. Infantil, la manipulación de
materiales. Por ello, para la enseñanza del concepto matemático que pretendemos enseñar,
hemos creado un material fundamentalmente manipulativo. (Consultar Anexo III).
En los siguientes sub apartados se expondrá el proceso llevado a cabo para la selección de los
sujetos, así como la metodología empleada para la enseñanza de dicho concepto. Esta
metodología está basada en las fases del acto didáctico propuestas por José Antonio Fernández
Bravo, ya que, tras una larga investigación, no hemos encontrado una metodología especifica de
cómo enseñar el concepto de asociación numérica con la cantidad a niños con Síndrome de
Down, salvo un libro que trata sobre la estimulación temprana en el desarrollo cognitivo que
nos ha servido para saber cómo actuar con estos alumnos.
Además, se realizará una comparativa entre el dialogo previo (Consultar Anexo I) y el dialogo
real (Consultar Anexo II) que se produjo con ambos sujetos, especificando los “errores
intencionados” cometidos y aquellas situaciones imprevistas que se produjeron y que son
interesantes comentar.
2.2 INVESTIGACIÓN
En un principio, como objetivo nos planteamos trabajar con dos hermanas mellizas de cuatro
años. El concepto matemático que pretendíamos enseñarles era “Asociación del nombre
numérico con la cantidad de elementos y con la representación matemática”. Nos parecía muy
interesante enseñar el mismo concepto a las dos hermanas, ya que, además, de poder comprobar
el estilo de aprendizaje de cada una, podríamos enseñarlo de maneras diferentes y, así poder
comprobar qué método podría resultar más eficaz. De manera paralela nos ofrecieron la
posibilidad de poder realizar este trabajo con un niño con necesidades educativas especiales. Al
entusiasmarnos la idea, pensamos que podríamos trabajar con un niño con discapacidad visual,
de tal manera, que pudiéramos contraponer el método Singapur a la metodología de enseñanza
que se utiliza con niños de estas características. Comenzamos nuestra búsqueda a través de la
ONCE, en la cual nos dijeron que no trabajaban con niños de la etapa de Educación Infantil.
Como una de nosotras es voluntaria en la hípica de la universidad de Alcalá de Henares, allí una
persona de la junta directiva de APHISA, centro de atención temprana de la misma localidad, le
puso en contacto con este centro. Por este motivo, decidimos acudir allí, ya que en ocasiones
anteriores nos han prestado ayuda. Tras acudir al centro en varias ocasiones, nos ofrecieron
trabajar con una niña con discapacidad visual. La idea que pretendíamos trabajar era crear un
puzle con texturas, de tal manera, que las piezas se unieran juntando texturas iguales. Cuando
planteamos esta idea al equipo de APHISA, nos transmitieron que esta era muy buena, pero que
no se ajustaba a las necesidades de la niña, ya que esta no tenía una ceguera profunda y sus
necesidades giraban en torno a nociones espaciales. Dicho esto, nos aconsejaron acudir al centro
público Pablo Picasso, centro de Educación Especial en Alcalá de Henares. Realizamos muchas
llamadas y tuvimos que esperar varias semanas hasta conseguir una cita con la directora.
Cuando esto fue posible, le contamos en qué consistía el trabajo y si podíamos trabajar con un
niño escolarizado en el centro. Nos dieron el visto bueno, pero se volvía a producir un giro en
nuestro trabajo, ya que el niño con el que podíamos trabajar padecía Síndrome de Down. Nos
dieron la oportunidad de acudir un día a clase para conocer al niño y a la profesora, y así poder
elegir el concepto más adecuado y que complementará el proceso de aprendizaje del niño.
Asistimos a una clase en la que conocimos a los seis alumnos y elegimos a uno de ellos para
trabajar, la profesora nos aconsejó enseñar la asociación de los números 1, 2 y 3 con la cantidad
de elementos correspondientes, ya que, se supone que los conceptos de número 1, 2 y 3 los
tenían adquiridos. En apenas cuatro días preparamos el diálogo hipotético a seguir y los
materiales con los que pretendíamos trabajar. Como estábamos desconcertadas por cómo
trabajar con niños de estas características, pedimos ayuda a una conocida de una de nosotras, la
cual nos ofreció ese mismo día acudir a su gabinete para asistir a una sesión y ver cómo
trabajaba con un niño con Síndrome de Down. Tras observar esta sesión y mantener una
conversación con ella y asistir a tutorías con nuestro profesor, empezamos a ver claridad en la
realización del trabajo.
2.2.1 DESCRIPCIÓN DE LOS SUJETOS
Carlos
Es un niño con Síndrome de Down, tiene cinco años, pero su nivel de desarrollo cognitivo es de
tres. Respecto al desarrollo del lenguaje se ve gravemente afectado, dificultando la expresión y
la comprensión del mismo. Acude al colegio de Educación Especial Pablo Picasso, en Alcalá
de Henares. Comparte clase con otros cinco compañeros, dos de los cuales también padecen este
síndrome. Tiene un carácter sociable y cariñoso, tanto con los adultos como con sus iguales, y
tiene buena disposición para el trabajo.
Abel
Es un niño con Síndrome de Down, tiene diez años, pero su nivel cognitivo es de unos tres o
cuatro años. Tiene dificultades al hablar y es ahora cuando se está desarrollando en esta área.
Cada sonido lo acompaña con un signo. En cuanto a su desarrollo motor, se ve afectada tanto la
motricidad fina, como la motricidad gruesa ya que tiene grandes dificultades a la hora de
manipular cosas pequeñas o la hora de saltar o caminar. Acude a un colegio específico de sordos
situado en Madrid, La Purísima. Al igual que Carlos, posee también un carácter sociable y
cariñoso, así como muy buena disposición para el trabajo.
2.2.2 COMPARATIVA ENTRE DIÁLOGOS
Sujeto: Carlos
Antes de realizar la intervención realizamos un dialogo hipotético, basándonos en las etapas de
Fernández Bravo, expuestas en su artículo “Las cuatro etapas del acto didáctico”, elaboración,
enunciación, concretización y abstracción. Queremos destacar que dichas etapas no se pueden
llevar a cabo en un periodo de tiempo tan corto como es una hora, que es el tiempo del que
disponíamos con Carlos. Además, José Antonio Fernández Bravo, expone una metodología para
la enseñanza de las matemáticas en la etapa de educación infantil y primaria, desde nuestro
punto de vista, muy buena, pero centrada sólo en aquellos niños que no tienen necesidades
educativas especiales.
Por ello, a continuación, vamos a exponer los “errores intencionados” que hemos cometido,
además de otros aspectos que nos parece interesante comentar. Con errores intencionados nos
referimos a que, de forma consciente, estuvimos premiando al niño con palabras como: “muy
bien”, “fenomenal”, “sigue así”, entre otras, ya que consideramos que estos alumnos tienen la
necesidad de saber si los están haciendo bien para poder continuar, además, son niños que
suelen tener un nivel de atención más bajo que el resto, por ello creemos que se hace más
necesaria la necesidad de aportarles un refuerzo positivo para captar su interés ; los otros
aspectos que queremos resaltar hacen referencia al acto didáctico. En la etapa de elaboración,
realizando el juego de las cucharillas, se produjeron cambios sobre la marcha. En primer lugar,
se estableció que el número de vasos inicial sería cinco, pero cuando le observamos antes de
empezar la actividad, consideramos necesario reducirlo a tres vasos y seis cucharillas. Al tener
seis cucharillas las utilizó todas, por ello, decidimos reducirlas a tres. A pesar de tener el mismo
número de vasos y cucharillas, metió en un vaso dos y en otro una, dejando un vaso vacío. Esto
nos hizo pensar que no había entendido el juego, aspecto totalmente comprensible debido a los
graves problemas de lenguaje y comprensión del mismo. Al ver que Carlos no comprendía el
juego, la profesora decidió intervenir y mostrarle cómo se hacía. De esta manera, el alumno
consiguió realizar el ejercicio. En este momento nos dimos cuenta de que Carlos o bien no tiene
adquirido el concepto de número 1, o bien, necesita un modelo en el que fijarse ya que no
comprende el lenguaje en su totalidad. Creemos que los contratiempos que se produjeron en la
etapa de concretización, tienen su origen en las razones expuestas anteriormente. En cuanto a la
abstracción, no fue realizada porque consideramos que este alumno necesita dedicar más tiempo
a las etapas anteriores para poder realizar ésta con éxito.
La sensación que nos llevamos tras realizar la intervención, fue de fracaso personal, ya que
pensamos que no conseguimos enseñarle nada, únicamente comprobar lo que sabia y lo que no.
Como bien hemos dicho antes, no disponíamos del tiempo suficiente ni de los conocimientos
necesarios para enseñar matemáticas a un niño con estas características. Si bien queremos
destacar, que esta falta de conocimiento no se debe a una falta de interés por nuestra parte, ya
que hemos hecho todo lo posible por buscar metodologías que se adecuaran a esta situación.
Sujeto: Abel
Como en el caso anterior, hemos cometido de nuevo “errores intencionados”, con la finalidad,
una vez más, de motivar. En el caso de Abel, éste requiere excesiva motivación, ya que se
distrae con facilidad y requiere de un complemento adicional como es la motivación a través de
muñecos.
En el juego de las cucharillas, modificamos el número de vasos y cucharas, poniendo cuatro y
ocho respectivamente. Al comprobar que lo realizó correctamente, nos aventuramos y le
pedimos que metiera dos cucharillas en cada vaso. En esta ocasión no fue capaz de hacerlo, a
pesar de hacerle una demostración previa, lo único que pudo hacer es coger dos cucharillas a la
vez, aunque después depositará sólo una en cada vaso. Nuestro error fue, que al ver que lo
intentó varias veces y no lo conseguía nos dimos por vencidas en vez de seguir explicándoselo
de otra manera. Consideramos que no entendió como un juego independiente el introducir dos
cucharillas en cada vaso, ya que continuaba metiendo una.
En el ejercicio de realizar las bolas de plastilina, cometimos el error de decirle cuantas bolas
tenía que hacer sin darle oportunidad de pensar. Fue un error involuntario causado por los
nervios del momento.
Cuando tuvo que colocar el número dentro del aro en función de las pelotas que había en él, lo
realizo mal, por lo que le hicimos contar el número de pelotas que había dentro y que viese por
sí mismo si efectivamente había correspondencia entre número-cantidad.
En cuanto a la actividad de introducir cuentas en la cuerda queremos resaltar la gran dificultad
que esto le supone debido al poco desarrollo de su motricidad fina. Por ello, con esta actividad
queríamos fomentar el desarrollo de la coordinación óculo-manual.
Por último, queremos destacar que tras haber realizado con dificultad las etapas anteriores es
capaz de realizar de forma muy positiva la abstracción. Es cierto, que ha sido necesario apoyar
de forma visual la pregunta, sacando el número de dedos según la cantidad de elementos que le
estamos preguntando.
2.3 CONCLUSIONES
Tras la realización de este trabajo nos gustaría resaltar varios aspectos. En primer lugar,
queremos resaltar que creemos que no hemos alcanzado el objetivo principal de este trabajo,
que era enseñar un concepto matemático. Pensamos que únicamente hemos comprobado y
reforzado aquello que ya tenían asimilado. Esto consideramos que se debe a varios motivos,
como son la escasa formación de la que disponemos de cómo enseñar conocimientos
matemáticos a niños con NEE, ya que solo disponemos de una metodología centrada en niños
sin dichas necesidades, además, de la escasez de información encontrada sobre una metodología
adecuada a las características de estos alumnos.
Por estos motivos aunque nuestro trabajo está muy lejos de ser extraordinario o de destacar
entre los demás, consideramos que podría ser el inicio de una investigación centrada en
encontrar o crear una metodología que se adecúe a la enseñanza de matemáticas en alumnos con
Síndrome de Down u otro tipo de necesidades educativas especiales.
3. ANEXOS
3.1 ANEXO I. DIÁLOGO TEÓRICO.
Consideramos que los conocimientos previos que se necesitan para el concepto que
pretendemos enseñar son: distinguir las partes del todo, reconocer elementos iguales y
elementos diferentes, establecer relaciones de clasificación, manejar los conceptos “muchos,
pocos” y conocer el concepto de 1, 2 y 3.
Sujeto1: Carlos
Elaboración
La primera actividad que realizaremos será con vasos y cucharillas, consistirá en poner un
número de vasos en un lado y en otro lugar diferente un número superior de cucharillas, la
dificultad del juego aumentará o disminuirá dependiendo de diversos factores, como el número
de viajes que se pueden realizar, el número de vasos y cucharillas que colemos, el número de
cucharillas que haya que introducir en cada vaso, el lugar donde se encuentren las mismas, etc.
V: Hola Carlos, ¿te apetece jugar conmigo?
C: Sí
V: Vamos a jugar a un juego con vasos y cucharillas, ¿vale?
C: Vale
V: Mira, aquí vamos a colocar cinco vasos. Uno, dos, tres, cuatro y cinco. Y en este lado, vamos
a poner todas estas cucharillas (un total de diez cucharillas)
C: Vale
V: Esto es lo que tienes que hacer: tienes que llevar una y sólo una cucharilla a cada vaso. ¿Lo
has entendido?
C: Sí
V: Empezamos a jugar
En el caso de que el ejercicio no este hecho correctamente, se le preguntará si ha terminado y si
está seguro de lo que ha hecho y contaremos juntos las cucharas que hay en cada vaso, para que
se dé cuenta de que hay más de una cucharilla o ninguna en cada uno de ellos. Si después de
realizar esto, sigue sin ser capaz de realizar lo que se le pide en el ejercicio, reduciremos la
dificultad del mismo.
Enunciación
Cuando el niño haya realizado de forma correcta el ejercicio, le preguntaremos:
V: ¿Has terminado?
C: Sí
V: Sí, has metido una y sólo una cucharilla en cada vaso
Concretización
Trabajaremos esta etapa con un material elaborado por nosotras (consultar Anexo III)
V: Carlos, ahora vamos a jugar con los números ¿te apetece?
C: Sí
V: Mira la caja que me he encontrado hoy en casa ¿miramos lo que hay?
C: Sí
Realizaremos esto para saber si conoce los elementos con los que vamos a trabajar.
Actividad 1
Le mostraremos el número 1
V: ¿Conoces este número?
C: Sí
V: ¿Cuál es?
C: Uno
V: Vale Carlos
V: Ahora tienes que sacar de la caja mágica una estrella / Ahora dame un gorro
Si Carlos nos da la cantidad correcta de elementos que le hemos pedido, pasaremos a la
siguiente actividad. En el caso contrario, lo repetiremos hasta alcanzar nuestro objetivo.
Actividad 2
Le enseñaremos una tarjeta dividida en dos, a la derecha aparecerá el número 1 y a la izquierda
un hueco en el que deberá pegar un elemento que nosotras le pidamos, en este caso, una nube.
V: Carlos que número es este?
C: Uno
V: ¿Cuántas nubes tenemos que pegar aquí?
C: Uno
Actividad 3
Le mostraremos al niño una tarjeta en la que aparecerá en la parte izquierda un sol, y en la parte
derecha un hueco en el que tendrá que pegar el número correspondiente, en este caso el número
uno.
V: Carlos ¿cuántos soles ves aquí?
C: Uno
V: Entonces ¿qué número tenemos que pegar aquí?
C: Uno
En el caso que haya salido de forma correcta el trabajo realizado con el número uno, pasaremos
a trabajar con el número dos.
Actividad 1
Le mostraremos el número 2
V: ¿Conoces este número?
C: Sí
V: ¿Cuál es?
C: Dos
V: Vale Carlos
V: Ahora tienes que sacar de la caja mágica dos estrellas / Ahora dame dos gorros
Si Carlos nos da a cantidad correcta de elementos que le hemos pedido, pasaremos a la siguiente
actividad. En el caso contrario, lo repetiremos hasta alcanzar nuestro objetivo.
Actividad 2
Le enseñaremos una tarjeta dividida en dos, a la derecha aparecerá el número 2 y a la izquierda
un hueco en el que deberá pegar dos elementos que nosotras le pidamos, en este caso, dos
nubes.
V: Carlos que número es este?
C: Dos
V: ¿Cuántas nubes tenemos que pegar aquí?
C: Dos
Actividad 3
Le mostraremos al niño una tarjeta en la que aparecerá en la parte izquierda dos soles, y en la
parte derecha un hueco en el que tendrá que pegar la tarjeta del número correspondiente, en este
caso el número dos.
V: Carlos ¿cuántos soles ves aquí?
C: Dos
V: Entonces ¿qué número tenemos que pegar aquí?
C: Dos
En el caso que haya salido de forma correcta el trabajo realizado con el número dos, pasaremos
a trabajar con el número tres.
Actividad 1
Le mostraremos el número 3
V: ¿Conoces este número?
C: Sí
V: ¿Cuál es?
C: Tres
V: Vale Carlos
V: Ahora tienes que sacar de la caja mágica tres estrellas / Ahora dame tres gorros
Si Carlos nos da la cantidad correcta de elementos que le hemos pedido, pasaremos a la
siguiente actividad. En el caso contrario, lo repetiremos hasta alcanzar nuestro objetivo.
Actividad 2
Le enseñaremos una tarjeta dividida en tres, a la derecha aparecerá el número 3 y a la izquierda
un hueco en el que deberá pegar tres elementos que nosotras le pidamos, en este caso, tres
nubes.
V: ¿Carlos que número es este?
C: Tres
V: ¿Cuántas nubes tenemos que pegar aquí?
C: Tres
Actividad 3
Le mostraremos al niño una tarjeta en la que aparecerá en la parte izquierda tres soles, y en la
parte derecha un hueco en el que tendrá que pegar el número correspondiente, en este caso el
número tres.
V: Carlos ¿cuántos soles ves aquí?
C: Tres
V: Entonces ¿qué número tenemos que pegar aquí?
C: Tres
Sujeto 2: Abel
Consideramos que los conocimientos previos que se necesitan para el concepto que
pretendemos enseñar son: distinguir las partes del todo, reconocer elementos iguales y
elementos diferentes, establecer relaciones de clasificación, manejar los conceptos “muchos,
pocos” y conocer el concepto de 1, 2 y 3.
Elaboración
La primera actividad que realizaremos será con vasos y cucharillas, consistirá en poner un
número de vasos en un lado y en otro lugar diferente un número superior de cucharillas, la
dificultad del juego aumentará o disminuirá dependiendo de diversos factores, como el número
de viajes que se pueden realizar, el número de vasos y cucharillas que colemos, el número de
cucharillas que haya que introducir en cada vaso, el lugar donde se encuentren las mismas, etc.
V: Hola Abel, ¿te apetece jugar conmigo?
A: Sí
V: Vamos a jugar a un juego con vasos y cucharillas, ¿vale?
A: Vale
V: Mira, aquí vamos a colocar cinco vasos. Uno, dos, tres, cuatro y cinco. Y en este lado, vamos
a poner todas estas cucharillas (un total de diez cucharillas)
A: Vale
V: Esto es lo que tienes que hacer: tienes que llevar una y sólo una cucharilla a cada vaso. ¿Lo
has entendido?
A: Sí
V: Empezamos a jugar
En el caso de que el ejercicio no este hecho correctamente, se le preguntará si ha terminado y si
está seguro de lo que ha hecho, contaremos juntos las cucharas que hay en cada vaso, para que
se dé cuenta de que hay más de una cucharilla o ninguna en cada uno de ellos. Si después de
realizar esto, sigue sin ser capaz de realizar lo que se le pide en el ejercicio, reduciremos la
dificultad del mismo.
Enunciación
Cuando el niño haya realizado de forma correcta el ejercicio, le preguntaremos:
V: ¿Has terminado?
A: Sí
V: Sí, has metido una y sólo una cucharilla en cada vaso
Concretización
Trabajaremos esta etapa con un material elaborado por nosotras (consultar Anexo)
V: Abel, ahora vamos a jugar con los números ¿te apetece?
A: Sí
V: Mira la caja que me he encontrado hoy en casa ¿miramos lo que hay?
A: Sí
Realizaremos esto para saber si conoce los elementos con los que vamos a trabajar.
Actividad 1
Le enseñaremos una tarjeta dividida en dos, a la derecha aparecerá el número 1 y a la izquierda
un hueco en el que deberá pegar un elemento que nosotras le pidamos, en este caso, una nube.
V: Abel que número es este?
A: Uno
V: ¿Cuántas nubes tenemos que pegar aquí?
A: Uno
Actividad 2
Le mostraremos al niño una tarjeta en la que aparecerá en la parte izquierda un sol, y en la parte
derecha un hueco en el que tendrá que pegar el número correspondiente, en este caso el número
uno.
V: Abel ¿cuántos soles ves aquí?
A: Uno
V: Entonces ¿qué número tenemos que pegar aquí?
A: Uno
En el caso que haya salido de forma correcta el trabajo realizado con el número uno, pasaremos
a trabajar con el número dos.
Actividad 1
Le enseñaremos una tarjeta dividida en dos, a la derecha aparecerá el número 2 y a la izquierda
un hueco en el que deberá pegar dos elementos que nosotras le pidamos, en este caso, dos
nubes.
V: Abel que número es este?
A: Dos
V: ¿Cuántas nubes tenemos que pegar aquí?
A: Dos
Actividad 2
Le mostraremos al niño una tarjeta en la que aparecerá en la parte izquierda dos soles, y en la
parte derecha un hueco en el que tendrá que pegar la tarjeta del número correspondiente, en este
caso el número dos.
V: Abel ¿cuántos soles ves aquí?
A: Dos
V: Entonces ¿qué número tenemos que pegar aquí?
A: Dos
En el caso que haya salido de forma correcta el trabajo realizado con el número dos, pasaremos
a trabajar con el número tres.
Actividad 1
Le enseñaremos una tarjeta dividida en tres, a la derecha aparecerá el número 3 y a la izquierda
un hueco en el que deberá pegar tres elementos que nosotras le pidamos, en este caso, tres
nubes.
V: ¿Abel que número es este?
A: Tres
V: ¿Cuántas nubes tenemos que pegar aquí?
A: Tres
Actividad 2
Le mostraremos al niño una tarjeta en la que aparecerá en la parte izquierda tres soles, y en la
parte derecha un hueco en el que tendrá que pegar el número correspondiente, en este caso el
número tres.
V: Abel ¿cuántos soles ves aquí?
A: Tres
V: Entonces ¿qué número tenemos que pegar aquí?
A: Tres
3.2 ANEXO II. DIÁLOGO DEL VIDEO (TRASCRIPCIÓN).
Sujeto 1: Carlos
Elaboración
V: hola Carlos, ¿te apetece jugar conmigo?
C: sii
V: vale pues vamos a jugar con vasos (le muestro los vasos de plástico) y con cucharas (también
se las muestro), mira aquí vamos a colocar tres vasos, uno, dos y tres, ¿vale? (el niño asiente) Y
ahora, ¿dónde colocamos las cucharillas? . Carlos me coge de la mano y me lleva al banco de
clase.
C: aquí
V: vale. Justo en este momento decidió cambiarlas al otro extremo del banco
C: no, aquí
V: ah, ¿prefieres allí?
C: sí
Una vez colocadas las cucharas, le cojo suavemente la cara para que me preste atención:
V: ahora tienes que meter una cucharilla en cada vaso, ¿vale?
C: sí
V: pues venga
Carlos coge la primera cucharilla y la lleva a uno de los vasos, le felicito por hacerlo
correctamente. Le invito a que continúe, Carlos coge la segunda cucharilla y la mete en el
mismo vaso, yo no le digo nada y le dejo que continúe. Cuando coge la tercera cucharilla, la
deposita en el segundo vaso. Como ya se han terminado las cucharilla le pregunto que si ha
terminado y me responde que sí. En ese momento, se le orienta para que él mismo se dé cuenta
de que no ha metido una cucharilla en cada vaso. Al ver esto, la profesora interviene para
decirnos que el problema puede ser que no haya entendido bien lo que tiene que hacer, ya que
Carlos tiene graves problemas de lenguaje. La profesora le hace una demostración de cómo lo
tiene que hacer y lo repetimos con él hasta que lo consiguió hacer correctamente, aunque
tuvimos que reducir el número de vasos a dos y el número de cucharillas a dos.
Enunciación
V: ¿has terminado?
C: sí
V: muy bien, has metido una cucharilla en cada vaso
Concretización
Una vez terminado este ejercicio pasamos a trabajar con los números 1, 2 y 3.
V: Mira que caja tengo, qué bonita. ¿Quieres que la abramos?
C: No (y da un golpe en la tapa para cerrarla?
V: ¿No? Venga sí, vamos abrirla juntos (abro la caja)
V: Ala, qué de cosas, a ver si sabes lo que es (saco las nubes)
V: ¿Esto qué es?
C: Nube (mientras hace el signo de nube, basándose en la lengua de signos)
V: Claro son nubes
V: ¿Esto qué es? (sacando los gorros)
C: Gorro (mientras hace el signo del gorro, basándose en la lengua de signos)
V: Claro son gorros, qué bonitos
V: ¿Esto qué es? (sacando las estrellas)
C: Estrella (mientras hace el signo del gorro, basándose en la lengua de signos)
A continuación pasamos a realizar las actividades con los números, le muestro una de las
tarjetas, en la que hay un sol:
V: ¿cuántos soles hay aquí Carlos?
C: sol
V: sí, es un sol, pero, ¿Cuántos hay aquí?
C: uno
V: Muy bien, y, ¿cuál es el número uno? (mostrándole el uno, dos y tres)
C: este (cogiendo el dos)
V: no Carlos míralo bien, ¿Cuál es el uno?
C: este, dice cogiendo el uno
V: fenomenal pues pégalo al lado del sol
C: sol
V: ahora, ¿cuántos soles ves aquí Calos?
C: sol
V: sí, son soles, ¿cuántos hay?
C: (no dice nada)
V: venga vamos a contarlos juntos, uno, dos..
C: uno, dos (dice Carlos a la vez que yo)
V: entonces, ¿qué numero pegamos al lado de los dos soles?
C: sol
V: si dos soles, uno y dos, ¿qué numero pegamos?
C: dos
V: muy bien, pues coge el dos y pégalo
C: este (dice Carlos cogiendo el tres)
V: ¿estás seguro que ese es el dos? míralo bien
C: tres
V: eso es, ese es el tres, pero ¿cuántos soles hay?
C: dos
V: entonces coge el dos
C: dos (dice cogiendo el dos y pegándolo al lado de los soles)
V: fenomenal Carlos, ahora, ¿cuántos soles hay aquí? Le pregunto mostrándole una tarjeta con
tres soles
C: sol
V: sí son soles, vamos a contarlos juntos, uno, dos, tres..
C: uno, dos tres. Dice Carlos a la vea que yo
V: entonces, ¿qué número pegamos aquí?
C: tres
V: ¡fenomenal¿ venga coge el tres y pégalo
C: sí
Una vez terminadas las tarjetas de los soles, pasamos a trabajar con las tarjetas de los números,
le muestro una tarjeta en la que aparece el número 1:
V: ¿qué numero es este?
C: uno
V: muy bien, entonces, ¿Cuántas nubes pegamos aquí?
C: nube
V: sí tenemos que pegar nubes, si este es el número uno, ¿Cuántas nubes pegamos aquí?
C: uno
V: muy bien, pues coge una nube y pégala
C: ya esta
V: ahora, ¿qué numero es este? Le pregunto mostrándole la tarjeta del número dos
C: tres
V: ¿seguro? Míralo bien
C: dos
V: fenomenal Carlos, entonces, ¿Cuántas nubes tienes que pegar?
C: dos
V: muy bien, pues venga, cógelas y pégalas
V: ¿qué numero es este? Le pregunto enseñándole la tarjeta con el número tres
C: tres
V: ¡muy bien¡ ¿Cuántas nubes tenemos que pegar aquí?
C: no dice nada
V: ¿qué numero hemos dicho que es este?
C: tres
V: entonces, ¿Cuántas nubes pegamos?
C: ¡tres¡
V: muy bien, venga cógelas y pégalas.
V: fenomenal Carlos, has trabajado muy bien, ¿te ha gustado?
C: siii
Tras trabajar con Carlos los demás alumnos también querían “jugar con nostras” por lo que
llevamos a cabo diversas actividades de las que llevábamos preparadas con ellos. Con Silvia,
que tiene nivel de cuatro años, trabajamos la actividad de las cucharillas, en primer lugar
pusimos tres vasos con tres cucharillas. Le dimos la consigna y Silvia realizó la actividad de
manera correcta a la primera. Esto nos sorprendió bastante por lo que, decidimos aumentar el
número de cucharillas a dos por vaso, manteniendo el numero de vasos del principio, tres.
Cuando le dimos la segunda consigna, “ahora tienes que meter dos cucharillas en cada vaso” no
fue capaz de realizar la actividad, volvió a meter una en cada vaso y cuando le decíamos que
debían ser dos se quedaba paralizada sin entender lo que la pedíamos. Creo que tras asimilar la
primera consigna, no era capaz de modificarla para llevar a cabo la segunda correctamente.
Después, trabajamos con Ezequiel, este alumno tenía nivel de cinco años, manejaba bastante
bien los números, pero aun así quisimos comprobarlo. La actividad de las cucharillas la
realizamos con cinco vasos y diez cucharillas, y salió bastante bien. Después, decidimos trabajar
con él las tarjetas, las cuales realizó muy bien y sin ninguna dificultad. De hecho, para que
viéramos el manejo de los números que posee este alumno, la profesora le puso a contar coches
hasta el número diez. Al finalizar con Ezequiel, nos pusimos a trabajar con Toni, este alumno
tenía nivel de tres años y apenas tenía asimilados los conceptos de uno, dos y tres, como el resto
de compañeros. Comenzamos con el juego de cucharillas, a Toni le pusimos tres vasos y tres
cucharillas, le dimos la consiga de “una cucharilla para cada vaso”, pero Toni no fue capaz de
realizar la actividad con Éxito. Por último, trabajamos con Belinda, otra alumna con Síndrome
de Down, con nivel de cinco años. Belinda también conocía los números a la perfección al igual
que Ezequiel. Con ella trabajamos las tarjetas. En un principio, cuando la preguntábamos que
numero aparecía en la tarjeta (era el tres), nos decía que el diez, lo hacía aposta, ya que conocía
el numero a la perfección. Al final, conseguimos que realizara la actividad correctamente y sin
gastar bromas.
Sujeto 2: Abel
Elaboración y enunciación
B: vamos a jugar a un juego muy divertido
A: divertido
B: mira que esto
A: vaso
B: un vaso. Un vaso, dos vasos, tres vasos y cuatro vasos. Abel cuenta a la vez que yo.
B: y, ¿qué tenemos aquí?
A: cuchara
B: unas cucharas
A: bum
B: vamos a dejarlas en otro sitio. ¿Dónde quieres que las dejemos?
A: aquí. (Señalando un banco que hay detrás de la mesa donde están los vasos.
B: ¡mira cuantas cucharas vamos a dejar!
B: ¿las ponemos en fila?
A: sí. (Ayuda a colocarlas).
B: y, ¿Cuál es el juego?
A: juego
B: mira, tenemos que llevar una cuchara a un vaso
A: Cuchara, vaso
Abel coge una cuchara y la mete en un vaso, seguidamente va a por otra.la mete en el segundo
vaso.
B: una cucharilla a un vaso
Realiza la misma operación hasta llevar una cucharilla a cada vaso, cuando termina levanta los
brazos en señal de victoria.
B: ¿ya has terminado?
A: bien!!
B: bien
B: ¡que guay! ¿te ha gustado el juego?
A: si
B: ¿juagamos otra vez?
A: Si
B: vamos a colocar otra vez las cucharillas en el banco
B: mira, ahora tenemos que llevar dos cucharillas a cada vaso, dos
A: cuchara, vaso
B: a cada vaso, ¿vale? ¿Empezamos?
A: si
B: dos cucharillas
A: dos
Abel realiza el ejercicio metiendo una cucharilla en cada vaso, cuando acabe vuelve a levantar
los brazos en señal de victoria
B: dos a cada vaso, dos. ¿ya has terminado?
A: si
B: ¿sí? Vale
Intentamos que cuente las cucharillas que hay en cada vaso:
B: ¿Cuántas cucharas hay aquí? Señalando el primer vaso
A: una
B: y, ¿aquí?, señalando el segundo vaso
A: dos (solo hay una)
B: aquí cuantas hay, volviendo a señalar el segundo vaso
A: una
B: y, ¿aquí? Señalando el tercer vaso
A: dos. (Solo hay una)
B: y, ¿aquí?
A: una
Repetimos el ejercicio con la misma consiga, “dos cucharillas a cada vaso”. Abel vuelve a meter
una en cada vaso, cuando ya las tiene todas, mete otras dos en el último vaso, por lo que habría
tres cucharillas en un vaso y una en los otros tres.
B: ¿Cuántas hay en este vaso?
A: una, dos, tres
B: claro pero, tiene que haber dos, sólo dos. Sólo dos aquí.
Abel decide sacar todas las cucharillas de los vasos. Además, recoge las que le quedaban en el
banco para juntarlas con las demás, las pone todas en la mesa, junto a los vasos.
B: Abel, mírame. Dos cucharillas aquí (señalando el primer vaso). Dos aquí (señalando el
segundo), dos en este vaso (señalando el tercero) y dos en este (señalando el cuarto).
Vuelve a meter una en cada vaso
B: ¿ya hemos terminado?
A: sii. (Aplaude).
Al ver que no era capaz de realizar la actividad con cucharillas, decidimos cambiar de material:
B: Vamos a coger tres aros, cógelos y ponlos aquí. Tres.
A: Tres
B: Sí tres (mientras coge los aros los vamos contando). ¿Dónde los pones?
A: Aquí
B:Venga en el suelo (según los va colocando los cuenta, pero al llegar al aro tres repite el
número dos, por eso los volví a contar hasta que dijo: uno, dos y tres)
B: Tienes que poner una pelota dentro del aro
A: Vale.
B: Una (cuando las ha cogido vuelto a repetir: una en cada aro)
Lo realiza correctamente.
B: Muy bien. Y ahora pon dos pelotas en cada aro. Dos.
Coge dos pelotas y las mete en uno de los aros en el que ya había una pelota.
B: ¿Ya has terminado?
A: Sí (aplaude)
B: Vamos a contarlas
A: Una, dos, tres
B: Pero tiene que haber dos. Dos, sólo dos (Abel va a la caja a coger otras dos pelotas)
Sacamos las tres pelotas del aro y enseñándoselas le decimos
B: Coge dos y ponlas dentro de un aro. Dos (Abel mete una y le vuelvo a repetir dos, y coge las
dos pelotas que me quedaban en la mano)
B: Cuéntalas
A: Una, dos
B: Ya estaría. Y con esta tres, solo quiero que metas dos (Abel vuelve a coger una pelota y la
mete y seguidamente coge dos y las mete)
Concretización
A continuamos pasamos a trabajar con las tarjetas, para ello le enseñamos la caja donde están
los materiales.
B: Una caja
A: Ala
B: ¿Qué hay? Mira, ¿esto qué es? (voy cogiendo cada uno de los elementos y el va
respondiendo correctamente). ¿Jugamos con los números? (Abel empieza a ordenar la caja y el
papel que hay en ella)
Comenzamos a mostrarle las tarjetas. En primer lugar, le mostramos la que tienen el número a la
derecha.
B: ¿Qué número es este?
A: El uno (no nos da tiempo a explicarle que entonces debe pegar una nube al lado del uno, y se
adelanta y pega el número uno. Actuando de la misma manera con los otros números)
Le mostramos de nuevo las tres tarjetas pidiéndole el número de nubes correspondientes al
número que aparezca, haciéndolo de manera satisfactoria.
Después, le pedimos que haga bolas de plastilina en función del número que le enseñamos.
B: Ahora tenemos que jugar con la plastilina. ¿Te gusta la plastilina?
A: Si. Oh. Bum
B: tenemos que hacer bolitas así (le muestro cómo tiene que mover las manos)
B: El número uno, hacemos una bolita. Cuando la tengas, la colocas al lad del número uno. ¿Ya
la tienes?
A: Sí (la coloca al lado del número uno)
Esto se realiza con gran dificultad con los siguientes números, ya que Abel no tiene un buen
desarrollo de la motricidad fina.
Tenemos en el suelo tres aros, en los que hay, una, dos y tres pelotas, respectivamente. Le
pedimos que coloque en cada aro el número que corresponde.
B: Mira tenemos que colocar los números en los aros. Si hay tres aros, pondremos el número
tres.
Abel comete algunos errores, pero al hacerle contar las pelotas lo soluciona correctamente.
Le mostramos las tarjetas en las que hay uno, dos y tres soles, respectivamente, y le pedimos
que acuda a los aros para coger el número que corresponde y pegarlo en cada tarjeta.
Abstracción
V: Dime un color. Venga piensa un color. ¿Qué color te gusta?
A: Rojo
V: El rojo, muy bien. Ahora dime otro color, uno. ¿Cuál te gusta?
A: Verde
V: Ahora quiero que me digas dos animales (señalando los dedos)
A: Elefante
V: Venga otro mas
A: (hace el sonido de un tigre)
V: Un tigre. Fenomenal.
V: Ahora quiero que me digas, una, dos y tres juguetes
A: (hace un gesto como si fuera un coche)
V: Un coche. Fenomenal
A: (hace el gesto de un mono)
V: Un mono. Fenomenal
A: (hace el gesto de un peluche)
V: Un peluche. Genial
Para finalizar le pedimos que reconociera el número tres e introdujese en una cuerda tres
cuentas rojas.
3.3 ANEXO III. MATERIAL CREADO
A continuación se presentan las fotos del material creado:
- Caja con materiales elaborados con goma eva: gorros, nubes y estrellas:
- Tarjetas para trabajar los números 1, 2 y 3:
En estas tres primeras, el niño debe contar la cantidad de soles que hay en la parte izquierda de
la tarjeta, y pegar, en la parte derecha el número correspondiente.
En estas tres, el niño debe reconocer el número que se presenta en la parte derecha de la tarjeta y
pegar, en la parte izquierda, la cantidad de nubes correspondientes.
4. BIBLIOGRAFÍA.
4.1 LIBROS
Fernández Bravo, J.A. (2008) Didáctica de la Matemática en Educación Infantil. Madrid:
Grupo Mayéutica Educaión.
Damián, M. (2005) Estimulación temprana para niños con Síndrome de Down. Manual de
desarrollo cognoscitivo. Sevilla: Trillas.
4.2 ARTÍCULOS DE REVISTAS
Fernández bravo, JA. (1995). Las cuatro etapas del acto didáctico. Revista El rincón de la
didáctica, vol. 228, pp.36-40.
4.3 DOCUMENTOS ELECTRÓNICOS
Alonso Tello, C.; López Barriga, P.; y De la Cruz Vicente, O. (2013). Creer tocando.
Tendencias Pedagógicas, nº21, pp. 249-262. Recuperado del sitio web: http://digitool-
uam.greendata.es//exlibris/dtl/d3_1/apache_media/L2V4bGlicmlzL2R0bC9kM18xL2FwYWNo
ZV9tZWRpYS82MDE5Ng==.pdf
Leonardo Herrera delhams. EL TIEMPO. La fórmula mágica para aprender matemáticas.
(2012). Recuperado el día 17 de Septiembre de 2013, del sitio web
http://www.eltiempo.com/vida-de-hoy/educacion/la-frmula-mgica-para-aprender-
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McKisey&Company (2007). Como hicieron los sistemas educativos con mejor desempeño del
mundo para alcanzar sus objetivos. Recuperado de: http://www.cna.gov.co/1741/articles-
311056_McKensey.pdf
Sanhueza, AM. (2011). Sin miedo a las matemáticas. Qué pasa. Recuperado del sitio web:
http://www.quepasa.cl/articulo/actualidad/2011/07/1-6171-9-sin-miedo-a-las-matematicas.shtml
4.4 DOCUMENTOS OFICIALES
Ministery of education (2012). Nurtiring Early Learners- A Curriculum Framework for
Kindergartens in Singapore: A Guide for Parents. Singapore.
Ministery of education (2012). Nurtiring Early Learners- A Curriculum Framework for
Kindergartens in Singapore.
4.5 OTROS RECURSOS
http://prezi.com/lhx7wuegokid/metodo-singapur/
http://www.singapur.cl/Metodo_Singapur_Matematicas.html
http://www.singapur.cl/Metodo_Singapur_Ciencias.html
http://matematicas-maravillosas.blogspot.com.es/2012/04/exposiciontaller-metodo-singapur-
21.html
http://blogs.uahurtado.cl/sarajoiko/files/2011/01/Joiko-S.-2013.-Sistema-Educativo-de-
Singapur1.pdf
