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Contenido Contenido ............................................................................................................................... 2

1. Sintaxis ............................................................................................................................... 3

2. Semántica ........................................................................................................................... 4

3. Equivalencia de fórmulas CTL ........................................................................................... 8

4. Formas Normales para CTL ............................................................................................. 10

5. Referencias ....................................................................................................................... 12

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1. Sintaxis

CTL tiene una sintaxis de dos etapas donde las formulas en CTL son clasificadas en

fórmulas de estado y de camino. Las fórmulas de estado son aserciones sobre una proposición

atómica en los estados y su estructura de enramado, mientras que las fórmulas de camino

expresan propiedades temporales en los caminos.

Definición 6.1 Sintaxis de CTL

Las fórmulas de estado CTL sobre un conjunto 𝐴𝑃 de proposiciones atómicas están

formadas de acuerdo a la siguiente gramática:

Φ ∷= 𝑡𝑟𝑢𝑒 | 𝑎 | Φ1 ∧ Φ2 | ¬Φ | ∃𝜑 | ∀𝜑

Donde 𝑎 ∈ 𝐴𝑃 y 𝜑 es una fórmula de camino. Las fórmulas de camino CTL están

formadas de acuerdo a la siguiente gramática:

𝜑 ∷=○ Φ | Φ1 𝑈 Φ2

Donde Φ, Φ1, Φ2 son fórmulas de estado.

Para diferenciar fórmulas de estado y fórmulas de camino, las primeras se escribirán

con letras griegas mayúsculas y las segundas con letras griegas minúsculas. Las fórmulas de

estado expresan propiedades de estado, mientras que las segundas expresan propiedades del

camino. El operador temporal ○ representa que una propiedad Φ debe cumplirse en el

siguiente estado del camino, mientras que el operador 𝑈 representa que la Φ1 debe cumplirse

hasta que la propiedad Φ2 se cumpla. Los operadores que cuantifican los caminos preceden

a los operadores temporales. El cuantificador ∃ nos indica que la fórmula de camino tiene

que cumplirse en algún camino desde el estado actual, mientras que el cuantificador ∀ nos

dice que cada camino debe cumplir la fórmula de camino.

Los operadores Booleanos 𝑡𝑟𝑢𝑒 , 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒 , ∨, → y ⟺ se definen de la forma usual,

mientras que las modalidades temporales se pueden derivar de la siguiente manera:

Formula Descripción

∃ ◊ Φ = ∃(𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑈 Φ) Potencialmente se mantiene Φ

∀ ◊ Φ = ∀(𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑈 Φ) Es inevitable que Φ

∃□Φ = ¬∀ ◊ ¬Φ Potencialmente siempre Φ

∀□Φ = ¬∃ ◊ ¬Φ Invariantemente Φ

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2. Semántica

Las fórmulas de CTL son interpretadas sobre los estados y caminos de un sistema de

transiciones 𝑇𝑆. Formalmente, dado un sistema de transiciones 𝑇𝑆, las semánticas de las

formulas CTL están definidas por dos relaciones de satisfacción: Una para las fórmulas de

estado y otras para las fórmulas de caminos. La primera relación es entre los estados en 𝑇𝑆

y una formula de estado: 𝑠 ⊨ Φ, esto es, Φ se mantiene en el estado 𝑠. La segunda relación

es entre un fragmento de camino máximo en 𝑇𝑆 y una fórmula de camino: 𝜋 ⊨ 𝜑, esto es el

camino 𝜋 satisface la formula 𝜑.

Definición 6.4

Sea 𝑎 ∈ 𝐴𝑃 una proposición atómica, 𝑇𝑆 = (𝑆, 𝐴𝑐𝑡, →, 𝐼, 𝐴𝑃, 𝐿) un sistema de

transiciones sin estados terminales, 𝑠 ∈ 𝑆, Φ, Ψ formulas CTL de estados, y 𝜑 una

formula CTL de camino. La relación de satisfacción ⊨ está definida para fórmulas de

estados por:

Formula Condición

𝑠 ⊨ 𝑎 ⟺ 𝑎 ∈ 𝐿(𝑠) 𝑠 ⊨ ¬Φ ⟺ No se cumple 𝑠 ⊨ Φ 𝑠 ⊨ Φ ∧ Ψ ⟺ (𝑠 ⊨ Φ) y (𝑠 ⊨ Ψ) 𝑠 ⊨ ∃𝜑 ⟺ 𝜋 ⊨ 𝜑 para algún 𝜋 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ𝑠(𝑠) 𝑠 ⊨ ∀𝜑 ⟺ 𝜋 ⊨ 𝜑 para todo 𝜋 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ𝑠(𝑠)

Para caminos 𝜋, la relación de satisfacción ⊨ para caminos está definida por:

Formula Condición

𝜋 ⊨○ Φ ⟺ 𝜋[1] ⊨ Φ 𝜋 ⊨ Φ 𝑈 Ψ ⟺ ∃𝑗 ≥ 0, ( 𝜋[𝑗] ⊨ Ψ ∧ (∀0 ≤ 𝑘 < 𝑗, 𝜋[𝑘] ⊨ Φ))

Donde para el camino 𝜋 = 𝑠0𝑠1𝑠2 … y enteros 𝑖 ≥ 0, 𝜋[𝑖] denota el estado (𝑖 + 1)-

esimo de 𝜋, es decir, 𝜋[𝑖] = 𝑠𝑖.

Definición 6.5

Dado un sistema de transiciones 𝑇𝑆, el conjunto de satisfacción 𝑆𝑎𝑡(Φ), para una

formula CTL de estados Φ esta definido por:

𝑆𝑎𝑡(Φ) = { 𝑠 ∈ 𝑆 | 𝑠 ⊨ Φ}

El sistema de transiciones 𝑇𝑆 satisface la formula CTL Φ si y solo si Φ se mantiene en

todos los estados iniciales de 𝑇𝑆:

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𝑇𝑠 ⊨ Φ ⟺ ∀𝑠0 ∈ 𝐼, 𝑠0 ⊨ Φ

Esto es equivalente a 𝐼 ⊆ 𝑆𝑎𝑡(Φ).

Otras semánticas útiles de CTL son las siguientes:

Formula Condición

𝑠 ⊨ ∃□Φ ⟺ ∃𝜋 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ𝑠(𝑠), 𝜋[𝑗] ⊨ Φ para todo 𝑗 ≥ 0.

𝑠 ⊨ ∀□Φ ⟺ ∀𝜋 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ𝑠(𝑠), 𝜋[𝑗] ⊨ Φ para todo 𝑗 ≥ 0.

𝑠 ⊨ ∃ ◊ Φ ⟺ ∃𝜋 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ𝑠(𝑠), 𝜋[𝑗] ⊨ Φ para algún 𝑗 ≥ 0. 𝑠 ⊨ ∀ ◊ Φ ⟺ ∀𝜋 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ𝑠(𝑠), 𝜋[𝑗] ⊨ Φ para algún 𝑗 ≥ 0.

Ilustración 1: Visualización de la semántica de algunas fórmulas básicas de CTL1

1 Ilustración tomada de [1].

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La ilustración 1 visualiza gráficamente en qué consisten varias de estas fórmulas,

siendo de color negro los estados que satisfacen la proposición 𝑏𝑙𝑎𝑐𝑘 y grises los que

satisfacen la proposición 𝑔𝑟𝑎𝑦.

Observación 6.8 Frecuencia Infinita

Es cuando un estado es visitado una cantidad de veces infinita dentro de un camino.

Esto sirve para comprender la siguiente proposición y formula de CTL:

𝑠 ⊨ ∀□∀ ◊ 𝑎 si y solo si ∀𝜋 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ𝑠(𝑠), 𝜋[𝑖] ⊨ 𝑎 para una cantidad 𝑖 infinita.

Observación 6.9 Weak Until

Es un operador de camino denotado por 𝑊. La intuición en este operador es que un

camino 𝜋 satusface Φ 𝑊 Ψ , para las fórmulas de estado Φ y Ψ , si se cumple

cualquiera de Φ 𝑈 Ψ o □Φ. La diferencia con el operador “Until” (𝑈) es que Ψ no

requiere ser alcanzada eventualmente. En lógica CTL, este operador se define de la

siguiente manera:

∃(Φ 𝑊 Ψ) = ¬∀((Φ ∧ Ψ) 𝑈 (¬Φ ∧ ¬Ψ))

∀(Φ 𝑊 Ψ) = ¬∃((Φ ∧ Ψ) 𝑈 (¬Φ ∧ ¬Ψ))

Observación 6.10 La semántica de la negación

Para un estado 𝑠, tenemos que 𝑠 ⊭ Φ si y solo si 𝑠 ⊨ ¬Φ, sin embargo, esto no se

mantiene en general para un sistema de transiciones. Podemos tener enunciados para

los cuales se cumpla tanto que 𝑇𝑆 ⊭ Φ como que 𝑇𝑆 ⊭ ¬Φ . Esto se debe a que

podemos tener dos estados iniciales, 𝑠0 y 𝑠′0, tal que 𝑠0 ⊨ Φ y 𝑠′0 ⊭ Φ. Por lo tanto:

𝑇𝑆 ⊭ ¬∃𝜑 si y solo si existe un camino 𝜋 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ𝑠(𝑇𝑆) con 𝜋 ⊨ 𝜑.

Esta equivalencia es justificada por el hecho de que la interpretación de una formula

CTL de estados sobre un sistema de transiciones está basada en una cuantificación

universal sobre los estados iniciales. Por otro lado, 𝑇𝑆 ⊨ ∃𝜑 requiere que 𝑠0 ⊨ ∃𝜑

sobre todos los 𝑠0 ∈ 𝐼.

Observación 6.11 Semántica CTL para Sistemas de Transiciones con estados

Terminales

Para un fragmento de camino máximo finito 𝜋 = 𝑠0𝑠1𝑠2 … 𝑠𝑛 de longitud 𝑛, con 𝑠𝑛

como estado terminal, sea:

Formula Condición

𝜋 ⊨○ Φ ⟺ 𝑛 > 0 y 𝑠1 ⊨ Φ.

π ⊨ Φ 𝑈 Ψ ⟺ Existe un índice 𝑗 ∈ ℕ con 𝑗 ≤ 𝑛 y 𝑠𝑖 ⊨ Φ, para

𝑖 = 0,1,2 … , 𝑗 − 1 y 𝑠𝑗 ⊨ Ψ

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Entonces, 𝑠 ⊨ ∀ ○ 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒 si y solo si 𝑠 es un estado terminal. Por los operadores derivados ◊

y □ obtenemos que

Formula Condición

𝜋 ⊨◊ Φ ⟺ Existe un índice 𝑗 ≤ 𝑛 con 𝑠𝑗 ⊨ Φ

𝜋 ⊨ □Φ ⟺ Para todo 𝑗 ∈ ℕ con 𝑗 ≤ 𝑛 tenemos que 𝑠𝑗 ⊨ Φ

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3. Equivalencia de fórmulas CTL

Ilustración 2: Algunas reglas de equivalencia para CTL2

2 Ilustración tomada de [1].

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Las formulas CTL Φ y Ψ se dice que son equivalentes siempre que estas sean

semánticamente idénticas, esto es, cualquier estado 𝑠 mantendrá que 𝑠 ⊨ Φ si y solo si 𝑠 ⊨

Ψ.

Definición 6.12 Equivalencia de fórmulas CTL

Las formulas CTL Φ y Ψ (sobre 𝐴𝑃) se dice que son equivalentes, denotado por Φ ≡

Ψ, si 𝑆𝑎𝑡(Φ) = 𝑆𝑎𝑡(Ψ) para todos los sistemas de transición 𝑇𝑆 sobre 𝐴𝑃.

Incluyendo todas las reglas de equivalencia estándar para la los fragmentos de lógica

proposicional en CTL, también existen reglas de equivalencia para reglas con modalidades

temporales en CTL, descritas varias en la ilustración 2.

En CTL, tenemos reglas de expansión para ∃(Φ 𝑈 Ψ) y para ∀(Φ 𝑈 Ψ). En el caso

de ∃(Φ 𝑈 Ψ), esta expresión es equivalente al hecho de que el estado actual satisface Ψ, o

este satisface Φ, y para algún estado sucesor directo, ∃(Φ 𝑈 Ψ) se mantiene. La regla de

expansión para ∃ ◊ Φ y ∃□Φ puede ser simplemente derivadas de las reglas de expansión

para ∃𝑈. La idea básica detrás de estas reglas es expresar la valides de una formula por medio

de un predicado sobre el estado actual y un predicado sobre los sucesores directos de este

estado. Por ejemplo, ∃□Φ es valida en el estado 𝑠 si Φ es valido en 𝑠 (un predicado sobre el

estado actual) y se mantiene por todos los caminos a través de un camino que empiece de 𝑠

(un predicado sobre los estados sucesores).

La expresión ∃ ◊ (Φ ∨ Ψ) es equivalente a ∃ ◊ Φ ∨ ∃ ◊ Ψ , sin embargo las

expresiones ∀ ◊ (Φ ∨ Ψ) y ∀ ◊ Φ ∨ ∀ ◊ Ψ no son equivalentes. Esto debido a que la primera

expresión obliga a que alguna de las dos, Φ o Ψ, se cumplan dentro del mismo camino,

mientras que la segunda solo obliga a que se cumpla alguna de esas dos fórmulas CTL, no

importa si están en caminos diferentes.

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4. Formas Normales para CTL

Las reglas de dualidad para ∀ ○ Φ muestran que ∀ ○ puede ser tratado como un

operador derivado de ∃ ○. Esto nos dice que, los operadores básicos ∃ ○, ∃𝑈, y ∀𝑈 podrían

ser suficientes para definir la sintaxis de CTL. Se puede omitir el cuantificador universal de

caminos y definir todas las modalidades temporales en CTL.

Definición 6.13 Forma Normal Existencial para CTL (ENF)

Para 𝑎 ∈ 𝐴𝑃, un conjunto de fórmulas de estado CTL en ENF es dado por:

Φ ∷= 𝑡𝑟𝑢𝑒 | 𝑎 | Φ1 ∧ Φ2 | ¬Φ | ∃ ○ Φ | ∃( Φ1𝑈Φ2 ) | ∃□Φ

Teorema 6.14 Existencia de Formulas Equivalentes en ENF

Para cada formula CTL existe una formula CTL equivalente en ENF.

Las equivalencias de las formulas con cuantificadores universales de camino están

dadas en la siguiente tabla:

Formula con Cuantificador

Universal Formula en ENF

∀ ○ Φ ≡ ¬∃ ○ ¬Φ

∀(Φ 𝑈 Ψ) ≡ ¬∃(¬Ψ 𝑈 (¬Φ ∧ ¬Ψ)) ∧ ¬∃□¬Ψ

∀ ◊ Φ ≡ ¬∃□¬Φ

∀□Φ ≡ ¬∃ ◊ ¬Φ = ¬∃( 𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑈 Φ )

Debido a que la regla ∀𝑈 triplica las ocurrencias de Ψ en la fórmula de la derecha, la

traducción de fórmulas CTL en forma ENF puede causar una explosión exponencial en el

tamaño de la fórmula.

Otra forma normal con importancia dentro de CTL es la forma normal positiva. Una

formula CTL se dice que está en forma normal positiva (o PNF) siempre que las negaciones

solo aparezcan adyacentes a proposiciones atómicas. Para asegurar que cada formula CTL es

equivalente a una formula en PNF, por cada operador se requiere un operador dual. En el

caso de la conjunción y la disyunción, estos son duales entre ellos, mientras que el operador

○ es dual consigo mismo, y el operador 𝑊 es el dual de 𝑈.

Definición 6.15 Forma Normal Positiva para CTL (PNF)

El conjunto de fórmulas de estado de CTL en PNF está dado por:

Φ ∷= 𝑡𝑟𝑢𝑒 | 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒 | 𝑎 | ¬𝑎 | Φ1 ∧ Φ2 | Φ1 ∨ Φ2 | ∃𝜑 | ∀𝜑

Donde 𝑎 ∈ 𝐴𝑃 y las formulas de camino 𝜑 están dadas por:

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𝜑 ∷= ○ Φ | Φ1𝑈Φ2 | Φ1 𝑊 Φ2

Teorema 6.16 Existencia de Formulas equivalentes en PNF

Por cada formula CTL existe una formula equivalente CTL en PNF.

Formula con Negaciones en

Formulas no Atómicas Formula en PNF

¬𝑡𝑟𝑢𝑒 ≡ 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒

¬¬Φ ≡ Φ

¬(Φ ∧ Ψ) ≡ ¬Φ ∨ ¬Ψ

¬∀ ○ Φ ≡ ∃ ○ ¬Φ

¬∃ ○ Φ ≡ ∀ ○ ¬Φ

¬∀(Φ 𝑈 Ψ) ≡ ∃((Φ ∧ ¬Ψ) 𝑊 (¬Φ ∧ ¬Ψ))

¬∃(Φ 𝑈 Ψ) ≡ ∀((Φ ∧ ¬Ψ) 𝑊 (¬Φ ∧ ¬Ψ))

Debido a que las reglas para ∀𝑈 y ∃𝑈 duplican el numero de ocurrencias para Ψ y Φ,

la longitud de la formula CTL equivalente en PNF puede llegar a ser exponencialmente más

grande que la fórmula original.

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5. Referencias [1] Christel Baier and Joost-Pieter Katoen. 2008. Principles of Model Checking

(Representation and Mind Series). The MIT Press.