FUNCION DE DNSIDAD CONJUNTO

Definicin.La funcin de densidad de unavariable aleatoriaXpermite trasladar la medida de probabilidad o "suerte" de realizacin de los sucesos de una experiencia aleatoria a la caracterstica numrica que define la variable aleatoria.Designando porfa la funcin de densidadX,distinguiremos el casodiscreto, donde los posibles valores deXforman unconjunto discreto(finito o numerable), delcontinuo, donde el recorrido de la variable aleatoria es unintervalode la recta real : SiX es discretasu funcin de densidad se define por

En el caso de queX sea continuasu funcin de densidad debe permitir expresarF, lafuncin de distribucin de probabilidaddeX, en forma integral:

FUNSION DE DENSIDAD MARGINAL

2.3FUNCIN DE DENSIDAD MARGINAL PARA VARIABLES DISCRETASAl hablar de funcin de densidad conjunta podemos definir la funcin de densidad marginal deXo de Y .

Llamemos entoncesf1(x)la funcin de densidad marginal paraXyf2(y)la funcin de densidad marginal paraY.

En el caso del ejemplo de las bolas negras y azules, tenemos:

Para:X = 1, 2, ---- 4 ; Y = 1, 2, ---- 5

Observamos que la funcin de densidad marginal deX, la calculamos utilizando el recorrido de la otra variable, con el fin de que la conjunta nos quede en trminos de una sola variable.

Ahora:

FUNCION DE DENSIDAD CONDICIONAL

FMP Conjunta: Cuando dos o mas variables tienen comportamientos conjuntos

lo cual es igual a

FMP Marginal: Comportamiento de una variable sin considerar otra.

Para la variable aleatoria Y:

lo cual es igual a

Similarmente se hace para la variable aleatoria X

FMP Condicional: Si se conoce el valor de una de las variables aleatorias Y=y0, las probabilidades relativas de los diferentes valores de la otra variable estn dados por , se tiene una fmp condicional de X dado Y

, lo cual equivale a

.

Se cumple adems lo sealado anteriormente

.

Idem para Y dado X

FMP Conjunta a partir de las probabilidades Marginales y Condicionales

funcin de distribucin de probabilidad:

La Funcin de distribucin de probabilidad satisface:

y para todo el intervalo

Y la cumulada,

de donde,

Funcin de distribucin de probabilidad marginal y Condicional. Densidad conjunta se integra sobre valores de Y y se tiene funcin de distribucin de probabilidad marginal de X:

o sea,

Y para la Condicional:

por lo cual,

Variables Independientes. Si Funcin distribucin condicional es igual a Funcin distribucin marginal, entonces, X y Y son variables aleatorias independientes

, entonces, X y Y son independientes.

Por lo tanto, lo siguiente es vlido:

Variable Aleatoria Independiente

-Discreta: Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional, Y y Y son independientes, si y solo s, p(xi,yj)=p(xi)q(yj), para todo i,j

-Continua: f(x,y)=g(x)h(y), para todo (x,y), f es la funcin de distribucin de probabilidad conjunta y g y h son las funciones de probabilidad marginales de X y Y respectivamente

(X,Y) es variable aleatoria discreta, X y Y son independientes si y solo s,

Y si (X,Y) es continua, entonces,

07. ESPERANZA MATEMATICAVALOR ESPERADO

Valor Medio. Sea X una Variable Aleatoria discreta o continua. Se denomina esperanza matemtica de X o valor esperado, o bien , a la cantidad que se expresada como,

respectivamente.

Ahora bien, ello es vlido para transformaciones de la variable aleatoria, de forma que

En el caso continuo y similarmente para el caso discreto

Por las analogas existentes entre la definicin de media aritmtica y esperanza matemtica, las propiedades de linealidad de la primera se trasladan a la segunda, de forma que se puede obtener,

Ejemplo. Si X es el nmero de puntos obtenidos al lanzar un dado de seis caras, encontremos el valor esperado de la variable aleatoria Y = X2 .

La funcin de probabilidad de X es f(x) = 1/6 si x{1,2,3,4,5,6}. La funcin de probabilidad

de Y = X2 es entonces f(y) = 1/6 si y{1,4,9,16,25,36}, as E(Y) = 1/*1 + 1/*4 + 1/*9 + 1/*16 + 1/*25 + 1/*36 = *P(X=1) + 22*P(X= 2) + 32*P(X= 3) + 42*P(X= 4) + 52*P(X= 5) + 62*P(X= 6) = X2*P(X=x)Ejemplo. Supongamos ahora que X es una v.a. que tiene funcin de probabilidad f(x) = 1/6 si x{-2,-1,0,1,2,3}y Y = X2 . La funcin de probabilidad de Y es f(y) = 2/6 si y{1, 4} y f(y) = 1/6 si y{0, 9}. Entonces E(Y) = 2/*1 + 2/*4 + 1/*0 + 1/*9. Esta ecuacin puede escribirse de la siguiente manera: E(Y) = 2/*1 + 2/4 + 1/*0 + 1/*9 = *P(Y=1) + *P(Y=4) + *P(Y=0) + *P(Y=1) = 12*P(X=1 X=-1) + 22*P(X=2 X=-2) + 02*P(X=0) + 32*P(X=3) = X2*P(X=x)

A travs de estos ejemplos vemos que no es necesario calcular la funcin de probabilidad de Y, slo tenemos que usar la funcin de probabilidad de X y los valores obtenidos al aplicar la

funcin Y = g(X) = X2 . Esto es cierto an en el caso en que la funcin no es uno-uno.

LA VARIANZA

La varianza la denotamos mediante V(X) o VAR(X) o 2, y se calcula como,

Obsrvese que del mismo modo en que se demuestra la relacin se comprueba que

V(X)=E(X2)-(E(X))2

Similarmente, V(a+bX)=b2.V(X)=b22

Ejemplo. Consideramos una variable aleatoria discreta con funcin de probabilidad,

Obtener el valor de la constante c para que sea una funcin de probabilidad, los valores de las funciones de probabilidad y distribucin para todos los valores de x, y P(x=3), y P(x3).

Solucin: Para ello consideramos,

,

ya que tenemos la suma de una progresin geomtrica de razn menor que la unidad:

Calculemos sucesivos valores de f(x) y F(x),

x2345

f(x)3/43/163/643/256

F(x)0.750.940.9870.999.

Y como se observa que: si x crece, f(x) decrece y F(x) crece hasta llegar a su mximo valor 1

P(X=3)=f(3)=0.047

P(X3)=0.987

Ejemplo para la variable aleatoria continua, funcin de densidad

Hallar: El valor de la constante c para que sea una funcin de densidad, la funcin de distribucin, el valor medio, y la probabilidad de que la variable este comprendida entre 0,2 y 0,7

Solucin. Consideremos,

La cual debe ser de valor 1, entonces c/4=1, esto es, c=4

luego, la funcin de distincin acumulada es F(x)=x4 para 0