SINTONIZACIÓN TAREA

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA

Control

Métodos de Sintonización

Presenta: Sánchez Aguilar Andre Isaí

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INTRODUCCIÓN.

El diseño de controladores se realiza en función del conocimiento del proceso, es decir, a partir del modelo del proceso, del esquema del control y de las restricciones que se le imponen al mismo. A diferencia de ello, la sintonización de los controladores se realiza sin que se disponga de dicha información y resulta sumamente útil en los casos en que la obtención del proceso es muy engorrosa. Los métodos de sintonización están basados en estudios experimentales de la respuesta escalón de diferentes tipos de sistemas, razón por la cual, los parámetros del controlador que se determinan utilizando estas metodologías podrían dar como resultado una respuesta medianamente indeseable. Es por ello que dichos parámetros se utilizan como punto de partida para la definitiva sintonización de los mismos, lo cual se realizará ajustándolos firmemente de tal forma que se logre obtener la respuesta deseada. Los métodos de sintonización, propuestos por Ziegler y Nichols, los cuales se presentan a continuación, son muy convenientes cuando no se conocen los modelos matemáticos de la planta.

1) Curva de reacción. Condiciones de Aplicación.

En este método, la respuesta de la planta debe tener el aspecto de una curva en forma de S (Fig. 1) al aplicársele un escalón unitario. De no poseer dicha forma entonces no es posible aplicar este método. También, si la planta incluye integrador(es) o polos dominantes complejos conjugados, la respuesta al escalón unitario no será la requerida y tampoco podrá aplicarse este método.

Figura 1.- Forma deseada de la planta.


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Procedimiento. La respuesta escalón se obtiene de manera experimental, y a partir de allí, el modelo del proceso puede ser aproximado a una función de transferencia tal cómo:

𝐺𝑝(𝑠) = 𝐾 𝑒𝑥𝑝−𝐿𝑠

𝜏𝑠 + 1

En donde K corresponde a la ganancia, τ es la constante de tiempo y L es el tiempo de retardo. Estos deben ser identificados a partir de dicha respuesta. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje de tiempo y la línea c(t)= K Habiendo identificado los parámetros anteriormente mencionados, se fijarán los parámetros del controlador utilizando la Tabla 1.

TIPO DE CONTROLADOR

KP Ti Td

P 𝜏

𝐿 ∞

0

PI 0.9𝜏

𝐿

𝐿

0.3

0

PID 1.2𝜏

𝐿 2𝐿 0.5𝐿

Tabla 1.- Parámetros del controlador.

Diseño y Simulación.

Ejemplo:

Suponiendo que la ecuación característica de la planta es 𝐺(𝑠) = 4

2𝑠2+5𝑠+4 al aplicar este

método, obtenemos la gráfica de la respuesta en lazo abierto para una entrada escalón unitario y con la ayuda de la tabla 1 se determina el valor de las constantes para las diferentes acciones de control. La figura 2 muestra el diagrama de la función de transferencia.

Figura 2.- Planta.


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La figura 3 muestra la gráfica de la F.T. Vemos que tiene forma de S, por tanto, el método sí se puede aplicar.

Figura 3.- Gráfica de G(s).

Apreciando la gráfica, se observan los siguientes valores: 𝐿 = 0.28 𝜏 = 2.72

Ahora, se calculan las constantes para:

Proporcional:

𝐾𝑝 = 2.72

0.28= 9.71

RESULTADOS: La acción de control Proporcional logra que la respuesta transitoria sea más rápida. Esto es aumentando el valor de Kp. La figura 4 muestra el diagrama a bloques aplicando la ganancia proporcional y también cómo al aplicar dicha acción se incrementa la velocidad de respuesta (línea morada) en comparación con G(s) antes de aplicarle esta acción (línea azul). La línea amarilla representa la entrada escalón que se le da a la planta. Recordemos también que el Control Proporcional disminuye el error en estado estable, mas nunca lo elimina.


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Figura 4.- Acción de Control Proporcional.

Proporcional Integral:

𝐾𝑝 = 0.92.72

0.28= 8.74

𝑇𝑖 = 0.28

0.3= 0.93

Resultados: La siguiente acción a aplicar es la Proporcional Integral, la cual cuenta con las ventajas de ambas acciones por separado. Esto es, elimina el error en estado estable (Integral) y hace más rápida la velocidad de la respuesta transitoria. Si Kp permanece constante, y Ti disminuye, la respuesta se sub-amortigua. La figura 5 muestra el diagrama de bloques aplicando esta acción de control, y la gráfica de la planta para cuando se tiene la acción PI (línea morada) y para cuando G(s) (línea azul).


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Figura 5.- Aplicación del Control PI.

PID:

𝐾𝑝 = 1.22.72

0.28= 11.65

𝑇𝑖 = 2(0.28) = 0.56

𝑇𝑑 = 0.5(0.28) = 0.14


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Resultados: Este tipo de control es el más efectivo y el más utilizado en cuanto a técnicas de Control Clásico se refiere. Cuenta con las ventajas de las tres acciones de control, haciéndola ser la mejor opción para el control de una planta. La figura 6 muestra el diagrama a bloques de dicha acción y también se ve en la gráfica la diferencia entre la salida de la planta cuando se aplica la técnica de control (línea morada) y sin aplicársele (línea azul).

Figura 6.- Acción de control PID.


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2) Oscilación Continua. Condiciones de aplicación.

Este método sólo se puede aplicar cuando se tiene un proceso en lazo cerrado, ya que el controlador permanece en la trayectoria directa como elemento activo. Para poder aplicar este método, se debe entender, cuando se refiere a oscilación continua, que dicho sistema cuenta con una ganancia crítica, la cual corresponde al límite de la estabilidad en lazo cerrado. La figura 7 muestra el diagrama a bloques y la respuesta del sistema.

Figura 7.- Oscilación Continua.

Procedimiento.

Al igual que en el método anteriormente visto, también existen parámetros para la realización y solución de este método. Estos son la Ganancia Crítica (Kcr) y el periodo crítico. Estos se pueden calcular de manera experimental mediante el segundo método de Ziegler-Nichols. La tabla 2 muestra cómo se calculan las constantes a aplicarse en las diferentes acciones de control.

TIPO DE CONTROLADOR

KP Ti Td

P 0.5 𝐾𝑐𝑟 ∞ 0

PI 0.45 𝐾𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟

0.3

0

PID 0.5 𝐾𝑐𝑟 0.5 𝑃𝑐𝑟 0.125 𝑃𝑐𝑟 Tabla 2.- Parámetros de las acciones de control.


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Diseño y Simulación. Ejemplo:

Dado el siguiente sistema, aplicar el segundo método de sintonización para obtener las constantes de las acciones de control y simular los resultados.

𝐺(𝑠) = 𝐾

𝑠3 + 6𝑠2 + 5𝑠

La función de transferencia en lazo cerrado es:

𝐺(𝑠) = 𝐾

𝑠3 + 6𝑠2 + 5𝑠 + 𝐾

Se aplica el método de Routh-Hurwitz para encontrar el valor Kcr.

𝒔𝟑 1 5

𝒔𝟐 6 K

𝒔𝟏 30 − 𝐾

6

0

𝒔𝟎 K 0 Al despejar K de la expresión de la fila 3 y la columna uno, encontramos que el valor Kcr = 30. Conociendo el valor crítico, podemos graficar el sistema y de ahí obtener el valor de Pcr. Esto se observa en la figura 8.

Figura 8.- Respuesta marginal del sistema con Kcr.


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De la figura apreciamos que Pcr = 3.8. Teniendo dichos parámetros, ya es posible calcular las constantes para las acciones de control utilizando las expresiones dadas en la tabla 2.

PROPORCIONAL. 𝐾𝑝 = 0.5 (30) = 15

RESULTADOS. La acción de control Proporcional logra que la respuesta transitoria sea más rápida. Esto es aumentando el valor de Kp. La figura 9 muestra el diagrama a bloques aplicando la ganancia proporcional y también cómo al aplicar dicha acción se incrementa la velocidad de respuesta (línea morada). Como se mencionó en el método anterior, este no elimina el error en estado estable, sólo lo disminuye.

Figura 9.- Control Proporcional.


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PROPORCIONAL INTEGRAL.

𝐾𝑝 = 0.45 ∗ 30 = 13.5

𝑇𝑖 = 3.8

0.3= 12.66

RESULTADOS. La figura 10 muestra el diagrama a bloques y la gráfica del sistema aplicando la acción de control.

Figura 10. Acción PI


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PID. 𝐾𝑝 = (0.5)(30) = 15 𝑇𝑖 = (0.5)(3.8) = 1.9

𝑇𝑑 = 0.125(3.8) = 0.475 RESULTADOS. La figura 11 muestra el diagrama a bloques y la gráfica del sistema al aplicársele dicha acción de control.

Figura 11.- Acción PID

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