Sintonización de Controladores PID

Sintonización de Controladores PID 1

Sistemas de Control II Prof. César González

Controladores PID La estructura de control universalmente utilizada en la industria son los controladores PID. Estos controladores han mostrado ser robustos y muy beneficiosos en muchas aplicaciones. Históricamente, ya las primeras estructuras de control usaban las ideas del control PID. Sin embargo, no fue sino hasta los trabajos publicados por Minorsky en 1922, sobre conducción de barcos, que el control PID cobró verdadera importancia teórica. Hoy en día, a pesar de la abundancia de sofisticadas herramientas y métodos avanzados de control, el controlador PID sigue siendo la estructura de control más ampliamente utilizada en la industria moderna, estando presente en más del 95% de los procesos a lazo cerrado. Si en un sistema de control a lazo cerrado se define la señal de error actuante como E(s) y la acción de control como m(s), entonces la función de transferencia de un Controlador con acción PID es la siguiente:

PID

m(s)

PID



Kp es la ganancia proporcional o sensibilidad del controlador. En ocasiones se expresa a través de un parámetro llamado Banda Proporcional (BP). (BP = 100%/Kp). La banda proporcional es la variación de entrada requerida por el controlador, expresada en porcentaje, para producir un cambio del 100% en su salida. La acción proporcional es la acción de control lineal más importante, pero se ve imposibilitada para corregir totalmente los errores estacionarios (off-set). El aumento de la ganancia proporcional Kp en forma exagerada, con el fin de eliminar el off-set, puede hacer que polos de la función de transferencia, transformen al sistema automático en inestable. Ti se conoce como el tiempo integral, a su inverso (1/Ti) se le denomina frecuencia de reposición ó reset, y no es más que la cantidad de veces que se acumula la acción proporcional por la presencia de la acción integral, si el error persiste la acción integral sigue actuando hasta eliminarlo. Así la acción integral elimina el corrimiento u off-set que no puede corregir la acción proporcional. No obstante, la presencia de la acción integral puede originar respuestas transitorias largas y muy oscilatorias, dando lugar a sistemas automáticos con pobre estabilidad relativa. TD es el tiempo derivativo, más comúnmente expresado en términos de la ganancia derivativa KD = Kp TD. En este tipo de control la acción es proporcional a la derivada del error, por lo que apenas este varía, se produce una reacción que será de mayor valor cuanto más violenta sea la variación del error; confiriéndole al controlador la capacidad de anticipar la acción de control, aumentando su velocidad de respuesta. La acción derivativa puede efectuar correcciones antes que la magnitud del error sea significativa, ya que actúa en forma proporcional a la velocidad de variación del error. Esto se traduce en mayor amortiguación de las oscilaciones transitorias, mejorando la estabilidad relativa.



Acciones Básicas en Control de Procesos Industriales Aunque cada sistema de control automático debe ser analizado, tomando en cuenta sus características dinámicas particulares. A continuación se presenta una lista de correspondencia entre sistemas y acciones de control preferidas, según la experiencia:

Sistema Automático de: Acción de Control: Control de Presión de líquidos P+I Control de Presión de gases P Control de Caudal P+I Control de Temperatura P+I+D Control de Nivel P Control de Presión de Vapores P+I+D

REGLAS DE SINTONIZACIÓN PARA CONTROLADORES PID El proceso de seleccionar los parámetros del controlador para que el sistema cumpla con las especificaciones de diseño, se conoce como afinación, entonación o sintonización del controlador. Si se puede obtener un modelo matemático de una planta, es posible aplicar diversas técnicas de diseño con el fin de determinar los parámetros del controlador que cumplan con las especificaciones en estado transitorio y en estado estacionario del sistema de control automático. Sin embargo, si la planta es muy complicada y no es fácil obtener su modelo matemático, tampoco es posible un enfoque analítico para el diseño del controlador. Ziegler y Nichols desarrollaron dos reglas experimentales para sintonizar controladores PID, lo que significa establecer los valores adecuados de los parámetros Kp, Ti y TD, sin necesidad de conocer analíticamente los modelos matemáticos de las plantas.



En ambas reglas de sintonización se pretende obtener, en una primera aproximación, un sobre impulso máximo igual o menor de un 25%, en la respuesta al escalón del sistema automático.

Primer Método: Método de Lazo Abierto (Curva de Reacción) Si la planta no contiene integradores en el origen, ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de reacción ante una entrada escalón en lazo abierto, debe tener forma de S, como se observa en la figura. Si la respuesta no tiene forma de S, este método no es pertinente.

La curva con forma de S se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T, los cuales se determinan dibujando la recta tangente en el punto de inflexión de la curva, como se aprecia en la figura. En este caso, la función de transferencia C(s)/U(s) se aproxima mediante un sistema de primer orden con un retardo de transporte.



Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y TD de acuerdo con las fórmulas que aparece en la siguiente tabla:

Controlador Kp Ti TD

P

0

PI

0

PID

2L 0.5L

Se observa que el controlador PID sintonizado mediante el primer método de las reglas de Ziegler y Nichols produce el siguiente resultado:

El controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s=-1/L. Segundo Método: Método de Lazo Cerrado (Ganancia Crítica) Con el sistema en modo automático y usando sólo la acción de control proporcional, se incrementa Kp hasta un valor crítico Kcr en donde la salida exhiba oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para ningún valor de Kp, no se aplica este método. Por tanto, la ganancia crítica Kcr y el período crítico Pcr correspondiente, se determinan experimentalmente. Ziegler y Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros Kp, Ti y TD de acuerdo con las fórmulas que aparece en la siguiente tabla:



Controlador Kp Ti TD

P 0.5Kcr

0

PI 0.45Kcr

0

PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr

Se observa que el controlador PID sintonizado mediante el segundo método de las reglas de Ziegler-Nichols produce el siguiente resultado:

El controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s=-4/Pcr. Comentarios. Las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols son usadas ampliamente, junto con otras reglas, para sintonizar controladores PID en aquellos sistemas de control de procesos en los que no se conoce con precisión la dinámica de la planta. Por supuesto, que también se aplican a las plantas cuya dinámica se conoce: calculando la respuesta escalón unitario (en lazo abierto) o la ganancia y el período crítico (en lazo cerrado). Sin embargo, la utilidad real de estas reglas se vuelve evidente cuando no se conoce la dinámica de la planta y no se cuenta con enfoques analíticos o gráficos para el diseño del controlador.



Si la planta tiene un integrador en el origen es posible que estas reglas no se puedan aplicar. Por ejemplo, si se considera el caso donde un sistema de control con realimentación unitaria tiene una planta cuya función de transferencia es la siguiente:

Debido a la presencia de un integrador no se aplica el primer método, ya que la curva de reacción al escalón de esta planta no tiene forma de S. Asimismo, si se intenta el segundo método, el sistema en lazo cerrado con un controlador proporcional no exhibirá oscilaciones sostenidas, para ningún valor de Kp. (Verificar). Ejemplo: Dado un sistema con realimentación unitaria y cuya función de transferencia en lazo abierto es:

Se desea sintonizar los parámetros de un controlador PID puesto en cascada con G(s). Se sabe la función de transferencia del controlador es:

Como la planta tiene un integrador en el origen, se prueba con el segundo método de sintonía de Ziegler-Nichols, en el que Ti se hace infinito y TD se hace cero. Entonces, la función de transferencia en lazo cerrado del sistema es:



El valor de Kp que hace al sistema críticamente estable con oscilaciones sostenidas, se obtiene mediante el criterio de Routh:

Al examinar los coeficientes de la primera columna de la tabla de Routh, se tiene que el valor crítico es: Kcr = Kp =30. Entonces, la ecuación característica queda ahora:

Para hallar la frecuencia de la oscilación mantenida, se hace s=jw en la ecuación característica anterior y se despeja el valor de w:

Por tanto, el período de la oscilación mantenida es:

Los valores de los parámetros se obtienen directamente de la tabla para el segundo método de Ziegler-Nichols:

Finalmente, sólo queda llevar estos valores a la función de transferencia del controlador PID:

rad/seg

seg

seg

seg



Evaluación del método de oscilación de Ziegler y Nichols Para analizar el efecto de la sintonía proporcionada por el método de oscilación de Ziegler y Nichols, se considera una planta cuya función de transferencia es: En la figura se muestra la respuesta del sistema a lazo cerrado con un controlador PID ajustado con este método, para distintos valores de x=L/T. El eje de tiempos se representa normalizado como t/L.

Se observa que la sintonía es muy sensible al cociente L/T, lo cual no es tomado en cuenta por el método. Por otro lado, existe una limitación importante al forzar en la planta una oscilación que puede ser peligrosa, inconveniente o imposible, en muchos casos. Evaluación del método de la curva de reacción de Ziegler y Nichols Al considerar nuevamente la planta genérica anterior G(s) y analizar su desempeño, con la sintonía proporcionada por el método de la curva de reacción de Ziegler y Nichols; vuelve a verificarse, según los resultados mostrados en la figura siguiente, que las respuestas del sistema a lazo cerrado son extremadamente sensibles o dependientes del cociente L/T. Para lo cual, el método no da ninguna solución.

G(s) = K e-Ls 1+Ts

x=L/T

t/L



Método de la curva de reacción de Cohen y Coon Este método es similar a la primera regla de Ziegler y Nichols, está basado en la denominada curva de reacción en lazo abierto. Cohen y Coon centraron sus investigaciones en tratar de mejorar los resultados de Ziegler y Nichols. Al finalizar sus trabajos obtuvieron muy buenos resultados al sintonizar controladores PID usando la siguiente tabla mejorada, tomando más en cuenta el cociente L/T: Controlador Kp Ti TD

P

∞

0

PI

0

PID

La siguiente figura muestra la respuesta de lazo cerrado con la sintonía de Cohen-Coon. Aunque aún es sensible al cociente L/T, la respuesta se observa mucho más homogénea que con la sintonía de Ziegler-Nichols.

T K L

( + L

4T ) 4

3

T K L

(1 + L 3T

)

L ( ) 30+3(L/T) 9+20(L/T)

T K L

(0,9 + L 12T

)

L ( ) 32+6(L/T) 13+8(L/T)

4 L 11+2(L/T)

x=L/T

t/L



Ajuste y Optimización de Controladores Convencionales Una vez que se ha decidido el tipo de controlador que se va a emplear en la estructura de control deben decidirse, cuáles serán los criterios para el ajuste de los parámetros del mismo. Existen varias aproximaciones en distintas plataformas de trabajo que pueden emplearse, pero los objetivos que conllevan todas ellas pueden resumirse en las siguientes pautas:

Respuesta rápida. Eliminación del efecto de las perturbaciones. Insensibilidad a errores de modelación y parámetros internos. Evitar una excesiva acción del controlador. Amplio rango de condiciones operativas.

Primera aproximación: considera las especificaciones de respuesta transitoria como el tiempo de establecimiento, máximo sobreimpulso, tiempo de crecimiento, etc. El criterio de lograr un mínimo tiempo para alcanzar la banda de tolerancia de ±2% del valor final, y minimizar el error, puede implementarse con facilidad. Se han propuesto varios métodos basados en obtener menos del 25% de sobreimpulso, tales como las reglas de Cohen-Coon y Ziegler-Nichols.

x=L/T

t/L



Segunda aproximación: emplea criterios de optimización basados en la integral del error ISE, IAE o ITAE que son fácilmente realizables, empleando algún método de integración numérica que forma parte de los paquetes de software de simulación dinámica. Teniendo en cuenta la evolución del error tanto para cambios de set point como para perturbaciones de carga, según se muestra en la figura, puede observarse que la evolución del error toma magnitudes positivas y negativas. Entonces, para tener una idea más realista del impacto que el error tiene en la respuesta, se recurre a una medida independiente del signo, como lo es la integral o área bajo la curva. Los índices de optimización típicamente usados son: Integral del error cuadrático ISE (Integral Square Error). Se usa siempre que la magnitud del error no sea << 1. Integral del valor absoluto del error IAE (Integral of Absolute value of Error). Se emplea con buenos resultados aún cuando la magnitud del error sea << 1. Integral del valor absoluto del error ponderado en el tiempo ITAE (Integral of Timeweighted Absolute value of Error). Se usa cuando la magnitud del error es << 1, pero perdura en el tiempo, tal que éste se vuelve un factor de peso variable. El controlador se diseña eligiendo los parámetros que minimizan la integral correspondiente al índice de optimización seleccionado. Las respuestas ante cambios de carga, se muestran a continuación:



El IAE presenta menor sobreimpulso que el ISE. El ISE presenta mayor tiempo de establecimiento. El ITAE penaliza con mayor peso aquellos errores que ocurren cuando a mayor tiempo. En la siguiente Tabla se presenta la forma de cálculo de los parámetros del controlador con un ajuste óptimo, basado en el índice ITAE, para un modelo de primer orden (T) con retardo (L) y ganancia (K).

Entrada Controlador Modo A B C=A(L/T)B

Perturbación de Carga

PI P 0,859 -0,977 KKp I 0,674 -0,680 T/Ti

PID P 1,357 -0,947 KKp I 0,842 -0,738 T/Ti D 0,381 0,995 TD/T

Cambio de Set-Point

PI P 0,586 -0,916 KKp I 1,03 -0,165 (*)

PID P 0,965 -0,850 KKp I 0,796 -0,1465 (*) D 0,308 -0,929 TD/T

(*) T/Ti = A + B(L/T)



Conclusiones Los controladores PID se usan ampliamente en control industrial. Desde una perspectiva moderna, un controlador PID es simplemente un controlador de segundo orden con integración. Históricamente, los controladores PID se ajustaban en términos de sus componentes P, I y D. La estructura PID ha mostrado empíricamente ofrecer suficiente flexibilidad para dar excelentes resultados en muchas aplicaciones. El término básico en el controlador PID es el proporcional P, que origina una actuación de control correctiva proporcional al error. El término integral I brinda una corrección proporcional a la integral del error. Esta acción tiene la ventaja de asegurar que, en última instancia se aplicará suficiente acción de control para reducir el error de regulación a cero. Sin embargo, la acción integral también tiene un efecto desestabilizador debido al corrimiento de fase agregado. El término derivativo D da propiedades predictivas a la actuación, generando una acción de control proporcional a la velocidad de cambio del error. Tiende dar más estabilidad al sistema pero suele generar grandes valores en la señal de control, ocasionando saturación en la salida. Varios métodos empíricos pueden usarse para determinar los parámetros de un PID para una dada aplicación. Sin embargo, el ajuste obtenido debe tomarse como un primer paso en el proceso de diseño.

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