Sistema de Control Predictivo y Cascada
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Universidad Nacional de Trujillo
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DESISTEMAS
“SISTEMAS DE CONTROL PREDICTIVO Y DE CASCADA”
CURSO : Control Automático
DOCENTE : Ing. César Arellano Salazar.
INTEGRANTES:
1. Alayo Pacheco, Petter Steven.
2.
Burgos Gonzales, Miluska Geraldine.3. Chávez Gonzales, Grecia.4. Cortez Valderrama, Edgar Orlando.5. Guzmán Pasco, Fabiola Ruth.
CICLO: 6° & 8° ciclo.
TRUJILLO - PERÚ
2013
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Índice
I. Sistema de control Predictivo…………………………………………………2
1. Introducción……………………………………………………………2
1.1 Definición…………………………………………………….…2
1.2 Elementos del control predictivo………………..…….…..4
1.3 Formulación del control predictivo………………………..4
1.4 Ventajas e inconvenientes del MPC…………………..….5
1.4.1 Ventajas……………………………………………..5
1.4.2 Desventajas………………………………….…….6
1.5 Aplicaciones…………………………………………………….6
2. Estabilidad y robustez del control predictivo basado en
modelo……………………………………………………………………7
2.1 Introducción……………………………………………………..7
2.2 Controladores predictivos en la industria………………….8
2.3 El problema de la estabilidad: optimalidad no implica
estabilidad..………………………………………………………...10
2.3.1 Un Ejemple ilustrativo……………..……………….15
2.4 Controladores predictivos con estabilidad
garantizada...............................................................................17
2.5 Formulación general del MPC: necesidad de la región
terminal y el coste terminal…………………………………………18
II. Sistema de control Cascada………………………………………………..19
1. Definición……………………………………………………………….19
2. Estructura…………………………………………………………….….20
3. Ventajas…………………………………………………………………20
4. Diseño……………………………………………………………………21
5. Implementación…………………………………………………….…21
6. Tipos de Sistemas de control en cascada…………….…………22
6.1 Serie…………………………………………………………22
6.2 Paralelo………………………………………………….…27
7. Comparación con control por retroalimentación…………..…29
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I. Sistemas de Control Predictivo
1. Introducción
El problema de la predicción y del control es un único problema. Si se es capaz
de saber lo que va a pasar en el futuro, se puede forzar la dinámica para que
ese futuro sea como se desee. Implica un conocimiento preciso de la
dinámica.
Este trabajo se centra en la estabilidad y robustez de una técnica denominada
genéricamente control predictivo basado en modelo o MPC. Esta estrategia
también se conoce como control por horizonte deslizante, por ser ésta la forma
en la que se aplican las actuaciones.
El MPC se enmarca dentro de los controladores óptimos, es decir, aquellos en
los que las actuaciones responden a la optimización de un criterio. El criterio a
optimizar, o función de coste, está relacionado con el comportamiento futuro
del sistema, que se predice gracias a un modelo dinámico del mismo,
denominado modelo de predicción (de ahí el término predictivo basado en
modelo). El intervalo de tiempo futuro que se considera en la optimización se
denomina horizonte de predicción.
1.1 Definición
Son sistemas de control desarrollados e implementados en la década
del 1990, aunque sus principios metodológicos ya habían sido
introducidos en la década del 1970.
Permite manipular las variables para establecer una trayectoria
deseada a futuro. Además de las variables que están siendo
controladas, una vez manipuladas las variables se procede a su cálculo
optimizándolas con la función objetivo y siguiendo métodos de
horizonte móvil.
Para muchos el control predictivo no es una estrategia de control
específica, sino que se trata más bien de un campo muy amplio de
métodos de control desarrollados en torno a ciertas ideas comunes.
El control predictivo utiliza un modelo explícito para predecir la salida
del proceso en instantes futuros, mediante el uso de algoritmos para el
cálculo de señales de control minimizando una cierta función objetivo.
Una de las propiedades más atractivas del sistema de Control Predictivo
es su formulación abierta, que permite la incorporación de distintos tipos
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de modelos de predicción, sean lineales o no lineales, monovariables o
multivariables, y la consideración de restricciones sobre las señales del
sistema. Esto hace que sea una estrategia muy utilizada en diversas
áreas del control. Además, es una de las pocas técnicas que permiten
controlar sistemas con restricciones incorporando éstas en el propio
diseño del controlador.
Estas características han hecho del control predictivo una de las
escasas estrategias de control avanzado con un impacto importante en
problemas de ámbito industrial, por tal motivo es importante resaltar que
el control predictivo se ha desarrollado en el mundo de la industria, y ha
sido la comunidad investigadora la que se ha esforzado en dar un
soporte teórico a los resultados prácticos obtenidos.
Merece la pena destacar que el control predictivo es una técnica muy
potente que permite formular controladores para sistemas complejos y
con restricciones. Esta potencia tiene un precio asociado: el costecomputacional y la sintonización del controlador. Recientes avances en
el campo del Control Predictivo proveen un conocimiento más
profundo de estos controladores, obteniéndose resultados que permiten
relajar estos requerimientos. Así por ejemplo, se han establecido
condiciones generales para garantizar la estabilidad del controlador.
Existen muchos algoritmos de control predictivo que han sido aplicados
con éxito: GPC, IDCOM, DMC, APC, PFC, EPSAC, RCA, MUSMAR, NPC,
UPC, SCAP, HPC, etc.
El control por realimentación es análogo a manejar un auto mirando porel espejo retrovisor, el control predictivo es hacerlo mirando hacia
adelante.
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1.2 Elementos del control predictivo
La utilización de un modelo matemático de predicción.
La estructuración de las variables a manipular.
El cálculo de estas variables.
La aplicación de control.
1.3
Formulación del control predictivo
a. Modelo de predicción: Es el modelo matemático que describe el
comportamiento esperado del sistema. Este modelo puede ser lineal
o no lineal, en tiempo continuo o en tiempo discreto, en variables
de estado o en entrada salida.
El hecho de que el problema de optimización implicado se resuelva
mediante el computador, así como la técnica de horizonte
deslizante con la que se aplica la solución, hace que sea más
natural considerar modelos discretos que continuos. Por ello, en lo
que sigue se consideran modelos en tiempo discreto 2. Asimismo,
dado que los modelos en el espacio de estados son más generales
que los modelos entrada-salida, en lo que sigue se adopta dicha
formulación. Se considera además que el origen es el punto de
equilibrio en el que se quiere regular el sistema, lo cual no resta
generalidad pues se puede conseguir con un cambio de variables
adecuado. Así el modelo de predicción considerado tiene la forma:
Siendo x k pertenece a IRn el estado y u k pertenece a IRm las
actuaciones sobre el sistema en el instante k .
b. Función de coste: es la función que indica el criterio a optimizar. Es
una función definida positiva que expresa el coste asociado a una
determinada evolución del sistema a lo largo del horizonte de
predicción N . Esta función suele tener la forma
Siendo L (.,.) la función de coste de etapa y V (.) la función de coste
terminal.
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Estas funciones son definidas positivas.
c. Restricciones: indican los límites dentro de los cuales debe discurrir la
evolución del sistema. La evolución de las señales de un sistema no
debe exceder determinadas restricciones que, ya sea por límites
físicos o bien por motivos de seguridad, se imponen al sistema. Por
ejemplo, los límites de los actuadores forman parte de estas
restricciones. La necesidad, generalmente por motivos económicos,
de trabajar en puntos de operación cercanos a los límites físicos
admisibles del sistema han provocado la necesidad de incorporar
dichas restricciones en la síntesis de los controladores.
Estas restricciones se suelen expresar como conjuntos X y U ,
generalmente cerrados y acotados, en los cuales deben estar
contenidos los estados del sistema y las actuaciones en cada
instante, de forma que:
1.4 Ventajas e inconvenientes del MPC
Los controladores predictivos han tenido un notable éxito en el
campo de la industria así como en la comunidad investigadora. Esto
se debe a las propiedades que tienen estas técnicas de control, no
exentas, por otro lado, de desventajas.
1.4.1
Ventajas
- Formulación en el dominio del tiempo, lo cual le permite
ser una técnica flexible, abierta e intuitiva.
- Permite tratar con sistemas lineales y no lineales,
monovariables y multivariables utilizando la misma formulación
para los algoritmos del controlador.
- La ley de control responde a criterios de optimización.
- Permite la incorporación de restricciones en la síntesis oimplementación del controlador.
- Brinda la posibilidad de incorporar restricciones en el
cálculo de las actuaciones.
De todas estas ventajas, sin duda la más importante es la
posibilidad de incorporar restricciones en el cálculo de las
actuaciones, aspecto que las técnicas clásicas de control no
permiten.
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1.4.2 Desventajas
- Requiere el conocimiento de un modelo dinámico del sistema
suficientemente preciso.
- Requiere un algoritmo de optimización, por lo que solo se podría.- Implementarse por medio de una computadora.
- Requiere un alto coste computacional, lo que hace difícil su
aplicación a sistemas rápidos.
- Hasta hace relativamente poco, no se podía garantizar la
estabilidad de los controladores, especialmente en el caso con
restricciones. Esto hacía que el ajuste de estos controladores fuese
heurístico y sin un conocimiento de cómo podían influir los
parámetros en la estabilidad del sistema.
1.5 Aplicaciones
a.
Industria
Se introducen en primer lugar los conceptos fundamentales y las
metodologías de amplia implantación en la industria para pasar
posteriormente a la modificación de los algoritmos básicos, de forma
que puedan incorporar situaciones encontradas comúnmente en la
industria como perturbaciones medibles o restricciones.
b.
Química
Sirve para predecir la reacción de compuestos y reactivos a los que se
pueden, mediante el modelo matemático, variar las cantidades o
alguna otra propiedad medible, y observar los resultados posibles
obtenidos por el sistema; así se pueden utilizar mejor los recursos
químicos, que pueden ser o muy costosos o muy caros (en términos de
dinero y tiempo) o muy peligrosos de manipular.
c. Física
Al igual que en la química es costoso comprobar experimentalmente
teorías, modelos, etc. Es por eso que los sistemas de control predictivo
juegan un papel muy importante al permitir saber con cierto grado de
certeza la reacción o el comportamiento futuros de los fenómenos.
d. Marketing
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El control predictivo es muy aplicado para el análisis y predicción del
comportamiento de un sector del mercado, un claro ejemplo es
predecir, con cierto grado de confianza y teniendo en cuenta la
información histórica (valores que en algún momento tuvieron las
variables), el comportamiento del mercado en función de la demanda
de leche para el año 2011.
e.
Robótica
Un ejemplo son los brazos manipuladores, que al estar compuestos por
varias articulaciones unidas entre sí, poseen una dinámica altamente no
lineal, con un fuerte acoplamiento entre sus respectivas articulaciones.
Esto complica la utilización de sistemas de control tradicionales, en
especial por la sintonización ante altas velocidades o aceleraciones.
Una de las mejores soluciones es utilizar un control predictivo, mediante
modelos matemáticos con el fin de compensar los términos dinámicospresentes.
f. Inteligencia artificial
Una de las aplicaciones que promete un gran aporte para la
humanidad, en el futuro, es la utilización de sistemas de control
predictivo a las redes neuronales para la navegación de robots móviles,
se espera que con esta tendencia se pueda mejorar el tránsito vehicular
e incluso peatonal; reduciendo de manera significante los índices de
accidentes de tránsito, los cuales en nuestro país son realmente
alarmantes.
2. Estabilidad y robustez del control predictivo basado en modelo
2.1 Introducción
En este capítulo se hace un recorrido por la evolución del control
predictivo desde la perspectiva de la estabilidad y de la robustez.
Comienza poniendo de manifiesto el origen de la perdida de la
garantía de estabilidad en las formulaciones originales del controlador.
Este hecho aparecía como un problema importante y una merma delos beneficios de esta técnica de control. La incorporación de la teoría
de Lyapunov y la teoría de conjuntos invariantes arroja una nueva luz
sobre el problema. Esto provoca la aparición de trabajos que
profundizan en el conocimiento y solución del mismo, los cuales se
recogen en una sección del capítulo.
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La evolución de este estudio termina en la presentación de la
denominada formulación general del control predictivo. Esta
formulación viene a recoger la esencia de los controladores con
estabilidad garantizada y tal y como se muestra, resuelve los problemas
que originalmente provocaron la perdida de la garantía de estabilidad.A continuación se hace un balance de los principales resultados en la
robustez de controladores predictivos, centrándose en el caso de
sistemas no lineales, por ser ésta el área objeto del estudio realizado.
Antes de adentrarse en el capítulo, merece la pena destacar que el
recorrido por la estabilidad y robustez de los controladores MPC que se
va a exponer, se hace a la luz de la teoría de estabilidad de Lyapunov y
de la teoría de los conjuntos invariantes. Por ello, a lo largo del capítulo
se hacen numerosas referencias al apéndice A, en el cual se recopilanlos principales resultados en estos campos.
2.2 Controladores predictivos en la industria.
El control predictivo ha tenido una evolución peculiar en la disciplina del
control en tanto en cuanto ha sido una estrategia en la cual el campo
industrial ha ido por delante de la comunidad investigadora. Si bien los
controladores predictivos tienen su origen en el control ´optimo (Propoi1963, Lee & Markus 1967, Kwon & Pearson 1977), nuevas y más
avanzadas formulaciones surgieron en el seno de la industria,
principalmente en la industria petroquímica y de procesos. La
necesidad de controlar procesos en puntos de operación límites con el
objetivo de optimizar el proceso productivo llevó a la aparición de
controladores predictivos basados en modelos sencillos, orientados a la
resolución de los problemas de control asociados, tales como la
consideración de restricciones, incertidumbres y no linealidades. Entreotras formulaciones destacan las siguientes:
IDCOM o MPHC: (Identification-Command o Model Predictive
Heuristic Control) propuesto en (Richalet, Rault, Testud & Papon
1978), utiliza como modelo de predicción la respuesta impulsional
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(FIR), función de coste cuadrática, y restricciones en las entradas
y salidas. El algoritmo de optimización es heurístico.
DMC: (Dynamic Matrix Control) propuesto en (Cutler & Ramaker
1980), utiliza como modelo de predicción la respuesta ante
escalón, lo cual limita su aplicación a plantas estables, consideraun coste cuadrático penalizando el esfuerzo de control y no
considera restricciones en la optimización.
QDMC: (Quadratic Dynamic Matrix Control) propuesto en (García
& Morshedi 1986), surge de la extensión del DMC al caso con
restricciones. Este controlador forma parte de la denominada
segunda generación de controladores predictivos, en los que el
problema de optimización asociado se resuelve utilizando la
programación matemática. Establece dos tipos de restricciones:duras y blandas, permitiendo la violación de estas ´ultimas
durante algún periodo de tiempo.
SMOC: (Shell Multivariable Optimizing Control) propuesto en
(Marquis & Broustail 1988), forma parte de la tercera generación
de controladores predictivos. Permite la utilización de modelos en
espacios de estados e incorpora observadores y modelos de
perturbaciones. Introduce también restricciones duras, blandas y
con niveles de prioridad. GPC: (Generalized Predictive Control) propuesto en (Clarke,
Mohtadi & Tuffs 1987a, Clarke, Mohtadi & Tuffs 1987b), utiliza
como modelo de predicción la formulación CARIMA, que
incorpora una perturbación modelada como ruido blanco.
Incorpora restricciones y existen resultados asociados a la
estabilidad.
Se han propuesto otras formulaciones de controladores predictivos talescomo el RMPCT, el PCT o el PFC. Una lectura más profunda sobre todos
estos controladores se puede encontrar en (Camacho & Bordons 1999),
donde se analizan tanto en aspectos prácticos, como en los relativos a
la estabilidad y robustez.
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En la mayoría de estos controladores, la estabilidad no está
garantizada, requiriéndose un ajuste específico para cada sistema de
una forma heurística y sin garantías de éxito. Por ello, se establecen
reglas prácticas de ajuste, como la elección de un horizonte de
predicción del orden del tiempo de establecimiento de la planta ensistemas estables.
El problema de la estabilidad no estaba resuelto en general y resultaba
de hecho una suerte de barrera psicológica que los investigadores en
control predictivo ni siquiera intentaban superar 1, produciéndose un
vacío teórico que mermaba las características de estos controladores.
2.3 El problema de la estabilidad: optimalidad no implica
estabilidad
La ley de control obtenida en un controlador predictivo surge de la
optimización de un criterio relacionado con el comportamiento del
sistema, en el que se penaliza tanto el error respecto al punto de
equilibrio como el esfuerzo de control necesario para alcanzar dicho
equilibrio. Contrariamente a lo que dicta el sentido común, el hecho de
que la actuación aplicada sea ´optima no garantiza que el sistema en
bucle cerrado alcance el punto de equilibrio tal y como se desea. El
problema de la estabilidad tiene su origen en el desarrollo propio de los
controladores predictivos: la necesidad de utilizar un horizonte de
predicción finito e invariante en el tiempo y la estrategia de horizonte
deslizante.
El origen de los controladores predictivos está en el control ´optimo en el
cual se pretende calcular la ley de control u = K∞(x) que minimiza el
coste de regular el sistema al punto de equilibrio a lo largo de toda la
evolución del mismo. Así, la función de coste a optimizar es:
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Y el problema de optimización a resolver viene dado por
Siendo x (k + j|k) la predicción del estado del sistema en el instante k + j
a partir del estado en xk . Los conjuntos U y X definen las restricciones, de
forma que X es un conjunto acotado, U compacto y ambos contienenel origen en su interior.
Este problema de control, bajo ciertas condiciones de observabilidad
relacionadas con la función de coste de etapa 2, estabiliza
asintóticamente todo estado en cual exista una solución con un coste
asociado acotado. De hecho, todo punto asintóticamente estabilizable,
se puede estabilizar por esta estrategia de control.
El problema del control óptimo se puede resolver utilizando dos
técnicas: la primera se deriva del principio de optimalidad de Bellman(Bellman 1957, Bryson & Ho 1969), según el cual:
Siendo la ley de control la solución de este problema de optimización
en cada estado K∞(x) = u*(x). El conjunto X∞ es el conjunto de estados
asintóticamente estabilizables al origen de una forma admisible, y por lotanto el conjunto estabilizable en infinitos pasos al origen X∞ = S∞ (X, 0).
Es en este conjunto en el que está definido J∞* (x).
La solución de este problema se puede obtener a partir de las
ecuaciones de Hamilton- Jacobi-Bellman, cuya resolución es muy
compleja, si no imposible, salvo en casos especiales como el problema
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de regulación de un sistema lineal sin restricciones con una función de
coste de etapa cuadrática, que da lugar al regulador lineal cuadrático
o LQR (Bryson & Ho 1969).
Otro procedimiento para resolver este problema es la aplicación del
cálculo variacional, que conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange.La gran diferencia entre ambas resoluciones es que en las ecuaciones
de H-J-B la solución es la ley de control, conduciendo a soluciones
globales y en bucle cerrado, mientras la formulación de E-L conduce a
soluciones locales y en bucle abierto, si bien la resolución de estas
ecuaciones es más sencilla que la de H-J-B. Un análisis más exhaustivo,
pero con un carácter didáctico, sobre control ´optimo puede
encontrarse en (Nevisti´c 1997).
La dificultad en la resolución de este problema llevó a adoptar
soluciones prácticas que hiciesen más sencilla su realización. ´Estas ideas
son básicamente las siguientes:
Horizonte finito y fijo: considerando un horizonte finito, el
problema de optimización toma la forma habitual del control
predictivo:
Donde el
coste a optimizar
Siendo V(x) una función que penaliza el coste estado final de la
predicción (estado terminal), denominada función de coste
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terminal. Al conjunto - al que se restringe dicho estado se
denomina región terminal.
La principal ventaja de la adopción del horizonte finito reside en
que el problema de optimización tiene la forma de un problema
de programación matemática, el cual admite solución numéricagracias a los algoritmos existentes (Luenberger 1989). Nótese que
el coste computacional de la resolución de este problema puede
ser muy elevado si el modelo es no lineal.
Estrategia de horizonte deslizante: según esta técnica, en cada
periodo de muestreo se resuelve el problema de optimización y
se aplica tan solo la actuación obtenida para el siguiente
periodo de muestreo. En el siguiente periodo de muestreo setoma un nuevo estado del sistema y se repite la operación. Esto
dota de realimentación a la formulación basada en el problema
de optimización en bucle abierto, lo cual le confiere cierto grado
de robustez.
El problema de control óptimo con horizonte finito i se puede resolver
mediante el problema de programación dinámica asociado:
Siendo J0*(x) = V(x) y X0 = Ω.
De la solución de este problema se deriva la ley de control Ki(x) = u*. El
conjunto Xi-1 es el conjunto de estados que pueden ser llevados por una
ley de control admisible siguiendo una trayectoria admisible hasta el
conjunto Ω en i-1 pasos. Por tanto este conjunto es el conjuntocontrolable en i-1 pasos, es decir, Xi-1 = Ki-1(X, Ω) 3. Este problema de
optimización es factible en el conjunto
Xi = Ki(X, Ω), siendo éste el dominio de definición del controlador Ki(x) y
por lo tanto de Ji*(x).
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Considérese un estado inicial tal que el problema de optimización con
horizonte N es factible, es decir ∈ . Entonces, aplicando sobre el
sistema la actuaci´on ´optima u0 = KN(x0), el estado evoluciona a x1. En
ese instante, la actuación ´optima viene dada por la ley de control
´optima con un horizonte N - 1, por tanto u1 = KN-1(x1).Esto se debe al principio de optimalidad de Bellman. Entonces, en el
instante k, la actuación ´optima vendrá dada por uk = KN-k (xk ), que es el
controlador ´óptimo para conducir al sistema en N - k pasos al conjunto
terminal Ω.
En consecuencia, el horizonte de predicción se va reduciendo en cada
instante, hasta el instante N en el cual el sistema alcanza la región
terminal Ω. En esta región, el problema de optimización dinámica no
está definido, requiriéndose un controlador alternativo.Sin embargo, en el control predictivo la estrategia de horizonte
deslizante y horizonte finito e invariante hace que siempre se aplique el
controlador con horizonte N. Por lo tanto, la ley de control del MPC es
invariante en el tiempo y viene dada por
Esto hace que la convergencia del controlador ´optimo con horizonte
finito se pierda, pues no se reduce el horizonte y este controlador nogarantiza que el sistema evolucione hacia el punto de equilibrio, ni
siquiera que alcance la región terminal.
Una segunda consecuencia es la posible pérdida de la factibilidad del
problema.
En efecto, el hecho de que el problema tenga solución factible en el
instante ∈ ,Ω no garantiza la factibilidad del problema en el
instante k+1. Lo que si garantiza el controlador predictivo es que xk+1
pertenece al conjunto KN-1(X,Ω
). El conjunto KN-1(X,Ω
) no tiene por quéestar contenido en KN(X, Ω) (salvo en el caso en que el conjunto Ω sea
un conjunto invariante positivo o de control). Por lo tanto puede ocurrir
que el estado xk+1 esté en el conjunto KN-1(X, Ω) pero no esté contenido
en KN(X, Ω), por lo que el problema de optimización no tendría solución
factible.
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Por tanto, a pesar de que en cada instante se aplica una actuación
´optima, en el sentido que optimiza un coste y satisface unas
restricciones, esta actuación no garantiza ni la factibilidad ni la
convergencia del sistema en bucle cerrado.
Esta pérdida de la estabilidad supuso un grave problema de loscontroladores predictivos, haciendo necesario un ajuste del controlador
particular para cada sistema con el fin de garantizar la estabilidad, con
el temor añadido sobre cómo podía influir la variación de un parámetro
sobre ´esta. Por ello los controladores predictivos contaban entre sus
desventajas la dificultad del ajuste.
La comunidad investigadora tomó el reto del análisis de estabilidad de
los controladores predictivos, que dio como fruto una serie de
formulaciones que garantizan la estabilidad.
2.3.1 Un ejemplo ilustrativo
Para ilustrar cómo el MPC con restricción terminal no garantiza la
estabilidad, se va a considerar un sistema lineal correspondiente a un
doble integrador muestreado con Tm = 1s. Su modelo es xk+1 = A.xk +
B.uk
Siendo
Y está sujeto a las restricciones
Este sistema se va a controlar con un MPC con horizonte de
predicción N = 4, y se va a considerar un coste de etapa cuadrático
Siendo:
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Y no se añade coste terminal. En el ejemplo se va a considerar una
región terminal
Figura 2.1: Evolución de un sistema controlado por un MPC sin
garantía de estabilidad que no es un invariante positivo del sistema.
Nótese que conjunto en que este controlador es factible es K4(X, Ω).
En la figura 2.1 se muestran los conjuntos controlables desde 1 paso
hasta 4 pasos.
Dado que la región terminal no es un invariante positivo del sistema,
estas regiones no tienen por qué estar anidadas y, de hecho, no lo
están. Esto hace que puedan existir estados iniciales factibles para
los cuales el controlador no estabiliza el sistema, perdiéndose en
algún instante la factibilidad (véase el recuadro aumentado). Nótese
que esto ocurre a pesar de que el problema es inicialmente factible,
es decir, que existe una secuencia admisible que conduce el sistema
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hacia -. Sin embargo, estas actuaciones no son las que proporciona
el controlador MPC.
Esto no quiere decir, como también se muestra en la figura, que el
controlador no estabilice al sistema en ciertos estados iniciales. El
problema es que no se sabe a priori cuáles son.
2.4 Controladores predictivos con estabilidad garantizada
El rápido desarrollo de los controladores predictivos supuso un reto en la
comunidad investigadora para dar un soporte teórico bajo el cual se
garantizase la estabilidad. Esto dio lugar a una serie de formulaciones
con estabilidad garantizada, cuyo denominador común es la utilización
de la teoría de Lyapunov, y en particular, el coste óptimo como función
de Lyapunov. Estas formulaciones se pueden agrupar de la siguiente
forma:
MPC con restricción terminal de igualdad:
Fue propuesto para garantizar estabilidad del problema LQR con
restricciones en (Kwon & Pearson 1977) y extendido en (Keerthi &
Gilbert 1988) a sistemas no lineales con modelo en espacio de
estados, en tiempo discreto, sujetos a restricciones. La estabilidad
se garantiza imponiendo como restricción terminal
x(k + Njk) = 0
bajo ciertas condiciones de controlabilidad y observabilidad del
sistema. En este caso, la función de coste óptimo esestrictamente decreciente con el tiempo, por lo que es una
función de Lyapunov del sistema.
En (Mayne & Michalska 1990), se formula este controlador para
sistemas en tiempo continuo y se relajan las condiciones para
garantizar la estabilidad.
En (Chisci, & Mosca 1994, Bemporad, Chisci & Mosca 1995) se
extiende esta condición a sistemas lineales descritos por un
modelo CARMA, sin restricciones. En este caso, la restricci´on
terminal se traduce en una condici´on sobre las salidas y lasentradas del sistema.
MPC con coste terminal :
La estabilidad se logra incorporando en la función de coste, un
término que penalice el estado terminal mediante el
denominado coste terminal.
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MPC con restricción terminal de desigualdad :
los problemas computacionales que supone el cumplimiento de
una restricción de igualdad, llevaron a relajar esta condición,
extendiendo la restricción terminal a una vecindad del origen.
Así, se establece una restricción terminal de desigualdad de la
forma x(k + N|k)Є - Ω
siendo el conjunto Ω el denominado conjunto terminal.
MPC con coste y restricción terminal :
Esta es la estructura en la que se enmarcan las más recientes
formulaciones del MPC. Es importante decir que en algunas de
las formulaciones propuestas en las que se garantiza estabilidad
con la adición únicamente de una función de coste terminal,
implícitamente se impone que la predicción alcance una
vecindad del origen. En consecuencia se deben considerar
también como formulaciones con restricción terminal.
2.5 Formulación general del MPC: necesidad de la región terminaly el coste terminal
Como se ha mostrado anteriormente, las formulaciones del control
predictivo con garantía de estabilidad han ido evolucionando hasta
llegar a la necesidad de la región terminal y del coste terminal de una u
otra forma. Sorprendentemente, todas las estrategias responden a unas
condiciones generales de estabilidad. Este importante resultado es el
que se propuso en (Mayne et al. 2000).
En este trabajo se analizan las formulaciones existentes de controladores
predictivos con estabilidad garantizada y se establece que el control
predictivo con coste terminal y restricción terminal puede, bajo ciertas
condiciones, estabilizar asintóticamente un sistema no lineal sujeto a
restricciones. Además se establecen condiciones suficientes sobre la
función de coste terminal y la región terminal para garantizar dicha
estabilidad.
Estas condiciones son las siguientes:
La región terminal Ω debe ser un conjunto invariante positivo
admisible del sistema. Es decir, que debe existir una ley de control
local u = h(x) tal que estabiliza el sistema en Ω y además la
evolución del sistema y las actuaciones en dicho conjunto son
admisibles.
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El coste terminal V (x) es una función de Lyapunov 4 asociada al
sistema regulado por el controlador local, tal que
V (f (x; h(x))) - V (x) <= -L(x; h(x))
para todo x Є
Ω
. Por lo tanto, la ley de control local estabilizaasintóticamente el sistema.
II. SISTEMA DE CONTROL DE CASCADA
1. Definición:
El control en cascada es una estrategia que mejora significativamente, en
algunas aplicaciones, el desempeño que muestra un control por
retroalimentación y que ha sido conocida desde hace algún tiempo. Loscomputadores permiten la implementación de controles en cascada que son
más simples, más seguros y menos costosos que los que pueden obtenerse
mediante el uso de instrumentación análoga.
Por lo tanto, la disponibilidad de los computadores ha facilitado que el control
en cascada se implemente ahora mucho más que antes, cuando solo se
utilizaba la instrumentación análoga.
Su objetivo es el de mejorar el desempeño de un lazo de control realimentado
que no funciona satisfactoriamente, aunque su controlador esté biensintonizado, debido a la lentitud de respuesta de su variable controlada, que
entra en diferentes puntos del lazo y cuyo efecto sobre la variable controlada
no se puede detectar rápidamente, desmejorando la controlabilidad.
Ejemplo: Control de temperatura de un horno
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Existen dos propósitos para usar control cascada:
1. Eliminar el efecto de algunas perturbaciones haciendo la respuesta de
regulación del sistema más estable y más rápido.
2. Mejorar la dinámica del lazo de control.
2. Estructura
La estructura de control en cascada tiene dos lazos:1. Lazo primario con un controlador primario también llamado “maestro”
K 1(s ).
2. Lazo secundario con un controlador secundario también
denominado “esclavo”K 2(s ).
- La salida del primario es el punto de consigna del controlador secundario.
- La salida del controlador secundario es la que actúa sobre el proceso
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3.
Ventajas:
a) Produce estabilidad en la operación
b) Las perturbaciones en el lazo interno o secundario son corregidas por el
controlador secundario, antes de que ellas puedan afectar a la variable
primaria.
c) Cualquier variación en la ganancia estática de la parte secundaria del
proceso es compensada por su propio lazo.
d) Las constantes de tiempo asociadas al proceso secundario son reducidas
drásticamente por el lazo secundario.
e) El controlador primario recibe ayuda del controlador secundario para lograr
una gran reducción en la variación de la variable primaria.
f) Es menos sensible a errores de modelado.
g) Incremento de la capacidad de producción.
4. Diseño:
Es aconsejable cuando se cumplen las siguientes condiciones:
• El bucle simple no da una respuesta satisfactoria (proceso de dinámica lento,
tiempo muerto grande en relación a la constante de tiempo, sometido a
perturbaciones significativas
• Existe una variable secundaria, X(s), medible a costo razonable, que satisface
las siguientes condiciones:
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- Debe indicar la existencia de una perturbación importante.
- Debe existir una relación causal entre la variable manipulada y la variable
secundaria
- La dinámica de la variable secundaria debe ser más rápida que la de la
variable primaria. De esta forma, el bucle interno controla la variablesecundaria antes de que el efecto de la perturbación se propague a la
variable primaria (variable controlada) de forma significativa.
- Típicamente tp (tiempo pico) debe ser mayor que 3ts (constante de tiempo
del proceso secundario).
5. Implementación:
Consideraciones Principales para la Implementación de Control en Cascada.
Una cuestión importante en la implementación de control en cascada escómo encontrar la variable secundaria controlada más ventajosa, es decir,
determinar cómo el proceso puede ser mejor dividido.
La selección de la variable controlada secundaria es tan importante en un
sistema de control en cascada que es muy útil formalizar algunas reglas que
ayuden a la selección.
Regla 1.- Diseñar el lazo secundario de manera que contenga las
perturbaciones más serias.
Regla 2.- Hacer el lazo secundario tan rápido como sea posible incluyendosolamente los menores retrasos del sistema completo de control.
Regla 3.- Seleccionar una variable secundaria cuyos valores estén
definidamente y fácilmente relacionados a los valores de la variable primaria.
Regla 4.- Incluir en el lazo secundario tantas perturbaciones como sea posible,
manteniéndolo al mismo tiempo, relativamente rápido.
Regla 5.- Escoger una variable secundaria de control que permita al
controlador secundario operar a la ganancia más alta posible (la más baja
banda proporcional). Esto es difícil de predecir.
6. Tipos de Sistemas de control en cascada
Hasta ahora se han propuesto dos tipos de esquemas de control en cascada:
en serie y en paralelo; los dos tipos de control en cascada han sido discutidos
en la sección anterior.
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Diagrama de bloques del esquema de control en cascada de la composición
del destilado manipulado el flujo del reflujo.
6.1
Serie
En este esquema la varible manipulada u tiene un defecto tipo
“domino” sobre la variable a controlar y . El esquema de control se
denomina en serie ya ue u afecta a una variable intermedia y i la cual, a
su vez, afecta a la variable que se desea controlar y tal como se
muestra acontinuacion:
Sistema en Serie: la variable manipulada afecta a una variable
intermedia la cual entonces afecta a la variable a controlar.
Un requisito importante para la que la aplicación del esquema de
control en cascada presente ventajas sobre un controlador feedback
puro, es que la respuesta dinámica de la planta G2 sea más rápida que
la correspondiente respuesta dinámica de la planta G1. Si este requisito
se cumple entonces es muy probable mejorar el desempeño del
esquema de control a lazo cerrado usando control en cascada. Por
esta razón se acostumbra emplear un controlador puramente
proporcional para el control de la planta G2; este controlador se
sintoniza de manera tal que la respuesta obtenida de la planta G2 sea la
más rápida posible, sujeta a las restricciones de estabilidad sobre los
valores de la ganancia del controlador. Para el control de la planta G1
podría emplearse un controlador PI o PID.
Ejemplo 1: Emplear control en cascada para el control a lazo cerrado
del sistema representado por las siguientes funciones de transferencia:
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Probar el esquema de control para una perturbación unitaria estática.
Comparar el desempeño del sistema de control en cascada contra elque se obtendría si se usa control feedback puro del tipo PI y PID.
Considerar que la acción de control está restringida al rango [-5; +5].
Como sabemos, la raíz negativa más cercana al eje imaginario (o más
pequeña en valor absoluto) del polinomio del denominador es la que
domina la respuesta dinámica de un sistema dado. En este caso la raiz
más pequeña de G1 es 0.1 y de G2 es 1, ambas en valor absoluto. Por lo
tanto, las constantes de tiempo T aproximadas de cada planta son:
entonces, como T2 < T1, en principio el sistema dinámico en cuestión
parece ser un buen candidato para que, a través del uso de control en
cascada, se pueda obtener mejor desempeño del esquema de control
que usando sólo control feedback puro. En la figura presentada a
continuación se muestra la respuesta del sistema dinámico a lazo
abierto cuando la entrada de cada planta experimenta un cambio
escalón.
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Respuesta a lazo abierto ante un cambio unitario de las plantas G1 y G2.
Para diseñar el esquema de control en cascada empezaremos
controlando primero la planta G2, lo cual implica diseñar primero el
controlador esclavo. Como se dijo antes, para el control de la planta G2
se empleará control proporcional. El margen de ganancia para G2 es
“infinito” lo cual implica que, aunque en principio se puede emplear
cualquier valor de ganancia del controlador, sujeto sólo a la restricción
de saturación de la válvula de control, diseñaremos este lazo de control
para lograr un factor de amortiguamiento igual a 0.4. Del diagrama
del lugar de las raices (rootlocus) obtenemos que para =0.4 se debe
usar una ganancia del controlador k c igual a 5. En la Figura se muestra la
conducta dinámica a lazo cerrado de la planta G2.
Respue sta a lazo c e rra do de la p lan ta G2 a n te una
p er tu rb a c ión un ita r ia a la sa lid a d e la p la n ta .
Para diseñar ahora el lazo del controlador maestro debemos primero
entender que la “planta" que el controlador maestro “ve" (G3) está
dada por el producto de la función de transferencia del lazo del
controlador esclavo a lazo cerrado
multiplicada por la función detransferencia de la planta asociada al lazo maestro G1, donde:
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usando G3 como la función de transferencia del sistema a controlar,
diseñemos un controlador PI usando la técnica de sintonización en el
dominio de la frecuencia, donde especificamos que la altura máxima
del pico resonante de la gráfica de ganancia del sistema sea de +2db.
De acuerdo a esta especificación, la ganancia k c y tiempo integral T I
del controlador maestro son 1.416 y 6.3, respectivamente. En la Imagen
se muestra la respuesta del sistema de control a lazo cerrado
empleando el esquema de control en cascada.
Resp uesta a la zo c er ra d o d e l sistem a d e c ont ro l an te una p er tu rb ac ión
un it a ria a la sa lid a d e la p lan ta em p leand o c on t ro l en c asc ad a .
Para comparar el desempeño del esquema de control en cascada se
diseñaron controladores PI y PID sintonizados con el mismo criterio
anterior, es decir, usando +2 db como altura máxima de la curva deganancia. Los parámetros de sintonización determinados fueron: (a) PI
k c=1.0516, TI=10.9949
(b) PID k c=1.6548, TI=10.9949, T D =2.1717. En la Figura siguiente se
muestran los resultados a lazo cerrado para ambos controladores.
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Respuesta a lazo cerrado del Sistema de control ante una perturbación
unitaria a la salida de la planta empleando control PI y PID
6.2
Paralelo
Existen algunos tipos de sistemas dinámicos donde hay una relación
entre la variable manipulada u y alguna otra variable intermedia y i. Sin
embargo, a diferencia del esquema en serie, la variable yi no afecta
directamente a la variable controlada y. La variable controlada se ve
afectada directamente por la variable manipulada tal como se muestra
en la Figura.
Sistema en paralelo: la variable manipulada afecta a variable y i
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Y a la variable a controlar y .
Por comodidad redibujamos el diagrama de bloques del esquema de
control en cascada en paralelo como se muestra en la Figura siguiente:
Sistema control en cascada en paralelo
Para diseñar el esquema de control en cascada para sistemas en
paralelo, procedemos como anteriormente se ha hecho para el
correspondiente sistema de control de tipo cascada en serie. Es decir,
primero diseñamos el controlador esclavo y, a continuación se diseña el
controlador maestro. Sin embargo, debe notarse que cuando se diseña
el controlador maestro la función de transferencia de la “planta" a
controlar G3 estará dada por:
El diagrama de bloques de este sistema reducido o transformado se
muestra en la figura a continuación:
Sistema control en cascada en paralelo reducido
…
1.2
…
1.1
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Para derivar la ecuación 1.2 debemos primero notar que representa
la función de transferencia entre la acción de control u y el set-p oint de
la va ria b le “inte rna " . Entonces del diagrama de bloques de la figura :
De donde,
7. Comparación con control por retroalimentación
En ocasiones el esquema de control por retroalimentación simple debe ser
modificado para enfrentar condiciones especiales de perturbación en el
sistema y las características pobres en estabilidad y rapidez de respuesta que
éstas pueden reproducir. Estableciendo una comparación es necesario, en
primer lugar precisar el diagrama de bloque y los componentes del esquema
por retroalimentación simple:
…
1.3
…
1.5
…
1.4
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Considerando el siguiente ejemplo:
Constituido por el horno en el cual se quema gas, para calentar una cierta
corriente y elevar su temperatura desde Te hasta TS . Suponiendo que disminuye
de pronto la presión de alimentación del gas combustible la caída de presión
a través de la válvula será menor de manera que disminuirá el flujo de gas.
Con el controlador de temperatura por retroalimentación simple, no se hará
ninguna corrección hasta que la temperatura final a la salida se vea
finalmente disminuida. De esta forma, toda la operación del horno se ve
alterada por la perturbación.
Con el sistema de control en cascada (fig. 2), el controlador de flujo sobre la
corriente de gas combustible detectará inmediatamente la disminución de
gas y abrirá la válvula de control para hacer que el flujo vuelva a su valor
requerido. El horno no se ve afectado entonces por la perturbación
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El diagrama de bloques correspondiente a esta última situación se muestra en
la figura siguiente. Así, el control en “cascada” tiene dos controladores por
retroalimentación.
Es importante notar las siguientes diferencias entre las estructuras de control de
tipo feedback convencional y cascada:
El esquema de control feedback sólo emplea un controlador, mientras
que en el esquema de control en cascada se emplean dos
controladores, es decir necesita una mayor inversión en
instrumentación.
En el esquema de control feedback el set-point del controlador se fija
externamente (normalmente lo fija el operador del proceso). En el
esquema de control en cascada el set-point de la variable a
controlador sigue siendo fijado de manera externa. Sin embargo, el set-
point del controlador esclavo es fijado por el controlador maestro. Es
decir, la salida o resultado que produce el controlador maestro es
simplemente el set-point al que debe operar el controlador esclavo.
La velocidad de respuesta del sistema se mejora en el control en
cascada, si el lazo secundario tiene una respuesta más rápida que la
l t i t