Resolver el sistema de ecuaciones mediante la matriz fundamental:x1'=-3x+y+3t x2'=2x-4y+e-t

El sistema de ecuaciones se puede expresar en forma matricial:X'= -312-4xy + 3te-t

Ya que el sistema de ecuaciones es de la forma:X'= AX + F(t)

Es un sistema no homogneo pues existe una funcin F (t) La resolucin del sistema de ecuaciones es:X=Xc+Xp

Resolucin del sistema homogneo: A-I=0

Se debe hallar los valores propios de la matriz:

detA- I= -312-4- 1001 = 0 -3-12-4- = 0 -3--4--2=0 2+7+10=0 +2+5=0 v.p.(A): 1=-2 ^ 2=-5

A continuacin se hallan los vectores propios de la ecuacin que permiten encontrar la solucin homognea:A-1I0 Vector propio de A asociado a 1: -312-4- -2100100 -312-4--200-200 -112-200

Realizamos operaciones fundamentales para eliminar una fila:-112-200F2+2F1-110000 -x+y=0 y=x

xy= xx Si x=1: El vector propio de A asociado a 1 es: V.P. (1)=11 Vector propio de A asociado a 2 : -312-4- -5100100 -312-4--500-500 212100

Realizamos operaciones fundamentales para eliminar una fila:212100F2-F1210000 2x+y=0 y=-2x xy= x-2x Si x=1: El vector propio de A asociado a 2 es: V.P. (2)=1-2

La solucin del sistema homogneo es:Xc=c111e-2t+c21-2e-5t

Para obtener la solucin particular, utilizamos la siguiente expresin:Xp=-1F(t)dt

En donde, y -1

Es la matriz fundamental y la inversa de la matriz fundamental respectivamente. Para hallar la matriz fundamental modificamos la solucin homognea obtenida:Xc=c1e-2te-2t+c2e-5t-2e-5t Xc=e-2te-5te-2t-2e-5tc1c2 Si: Xc=c =e-2te-5te-2t-2e-5t

Para hallar la matriz inversa de la fundamental usamos la expresin:-1= 1Adj

Obtenemos el determinante de la matriz fundamental:=(e-2t -2e-5t)-(e-2t e-5t) =-2e-7t-e-7t =-3e-7t

Obtenemos la matriz adjunta:Adj = Cof t Adj = -2e-5t-e-2t-e-5te-2tt Adj = -2e-5t-e-5t-e-2te-2t

La matriz inversa de la fundamental es:-1= 1-3e-7t-2e-5t-e-5t-e-2te-2t -1= 23e2t13e2t13e5t-13e5t

Procedemos a calcular la solucin particular:Xp=e-2te-5te-2t-2e-5t23e2t13e2t13e5t-13e5t3te-tdt Xp=e-2te-5te-2t-2e-5t2te2t+13ette5t-13e4tdt

Resolvemos la integral en cada trmino de la matriz:2te2t dt= Sea: u=t du=dt dv=e2tdt v=12e2t 212te2t-12e2tdt 2te2t dt=te2t-12e2t te5t dt= Sea: u=t du=dt dv=e5tdt v=15e5t 15te5t-15e5tdt te5t dt=15te5t-125e5t

La solucin de la integral de los elementos en la matriz es:2te2t+13ette5t-13e4tdt=te2t-12e2t+13et15te5t-125e5t-112e4t

Resolvemos la multiplicacin de las matrices:Xp=e-2te-5te-2t-2e-5tte2t-12e2t+13et15te5t-125e5t-112e4t

Xp=65t-2750+14e-t35t-2150+12e-t Xp=6535t+-2750-2150+1412e-t

La solucin general es:X=c111e-2t+c21-2e-5t+6535t+1412e-t+-2750-2150