Sistema de Muros de Ductilidad Limitada

UBICACIÓN DEL CENTRO DE MASA Y CENTRO DE RIGIDEZ EN EDIFICACIONES CON MUROS DE DUCTILIDAD LIMITADA

DR. GENNER VILLARREAL CASTRO ING. MARCO CERNA VASQUEZ

~ 1 ~

SISTEMA DE MUROS DE DUCTILIDAD LIMITADA

EJEMPLO 1: Calcular la ubicación de los centros de rigidez y de masa de una

vivienda construida con muros de ductilidad limitada, cuyo plano se muestra en

el plano de arquitectura.

PLANO DE ARQUITECTURA

COMEDOR

PATIO DESERVICIO

KITCHENET

0.1

03

.05

0.1

01

.10

0.1

01

.15

0.1

00

.65

2.7

00

.10

0.10 3.15 0.10 2.50 0.10 4.25 0.10

P-0.80x2.10

P-0.70x2.10

P-0

.70x2.1

0

P-0

.90x2.1

0

V-1

2.00 1.50

0.90

V-2

1.40 1.50

0.90

V-2

1.40 1.50

0.90

V-2

1.40 1.50

0.90

V-3

0.70 0.50

1.90

V-3

0.70 0.50

1.90

V-4

0.70 1.50

0.90

V-2

1.40 1.50

0.90

0.6

00

.70

1.40 0.10 0.70 0.10 0.85

1.5

50

.35

2.7

0

3.8

0

0.6

01

.40

0.9

5

3.40

1.2

00

.10

1.6

5

0.00

0.10 2.25 0.10

0.9

04

.70

0.65 1.40 0.45 1.38 2.00 0.88

0.10 0.70 1.00 1.08 2.13 0.10 0.95

3.0

5

1.600.10

2.4

0

2.4

0

1.60 0.10 3.20

0.1

0

0.10

6.0

0

2.5

04

.70

0.1

2



~ 2 ~

DATOS COMPLEMENTARIOS:

Altura libre de piso a techo (h) : 2.40 m

Espesor del muro (e) : 0.10 m

Modulo de Elasticidad del Concreto (Ec) : 2173000 T/m2

Peso por unidad de Volumen : 2.4 T/m3

Coeficiente de Poisson : 0.2

Coeficiente de Expansión Térmica: 9.900 E-06

Resistencia a la compresión del concreto (f´c) : 2100 T/m2

Esfuerzo de Fluencia del Acero (fy) : 42000 T/m2



~ 3 ~

SOLUCION

CÁLCULO DEL CENTRO DE MASA

Para determinar la ubicación en el eje X e Y del centro de masa de una

edificación, se indica que deben cumplirse las siguientes expresiones:

;

PROCEDIMIENTO

1. Teniendo en consideración el plano general, se le asignará una

codificación a cada muro de la estructura en los ejes X e Y para poder

realizar los cálculos con mayor eficiencia. Se puede visualizar los nombres

de los muros en el siguiente plano. Cabe resaltar que la junta de dilatación

de fragua (1) es a criterio del proyectista.

Mx1 Mx2

My1

Mx3 Mx4

Mx5

Mx6

Mx7Mx8

Mx9

Mx10 Mx11

Mx12

My2

My3

My4

My5

My6

My8

My11

My10My14

My13

My15

My16

My7

My9

My12JUNTA EN MURO

JUNTA EN MURO

JUNTA EN MURO

JUNTA EN MURO

Mx13

Plano 1. Distribución y codificación de los muros

(1) Para muros mayores de 4 metros se recomienda una junta de dilatación de fragua

por la concentración de esfuerzos que pueda experimentar el muro.



~ 4 ~

2. Luego se determinan las características de los Muros, necesitando conocer

su longitud y distancia al centroide de cada muro en los dos ejes. En los

siguientes planos, se especifica el procedimiento que se debe seguir para

determinar las características que necesitamos.

y

x Mx1

My1

Mx5

Mx7

My2 My5

My6

My7

3.150

0.7

00

Plano 2. Ejemplo de la

longitud de un muro

y

x Mx1

My1

Mx5

Mx7

My2 My5

My6

My7

1.675

0.3

50

Plano 3. Ejemplo de las

distancias al centroide para

un muro

Luego, al haber obtenido las características necesarias de los muros en X e

Y, se procesan los valores como se muestra en las Tablas 1 y 2 para el

caso de Centro de Masa.



~ 5 ~

Tabla 1. Cuadro de Cálculos de los Muros en el eje X

MURO X H e L (T/m3) P X PX

MX1 2.4 0.10 3.25 2.4 1.872 1.675 3.136

MX2 2.4 0.10 0.65 2.4 0.3744 3.675 1.376

MX3 2.4 0.10 1.93 2.4 1.1088 6.363 7.055

MX4 2.4 0.10 0.88 2.4 0.504 9.763 4.921

MX5 2.4 0.10 1.50 2.4 0.864 0.85 0.734

MX6 2.4 0.10 1.70 2.4 0.9792 5 4.896

MX7 2.4 0.10 3.35 2.4 1.9296 1.675 3.232

MX8 2.4 0.12 1.00 2.4 0.6912 5.45 3.767

MX9 2.4 0.10 3.25 2.4 1.872 1.725 3.229

MX10 2.4 0.10 0.65 2.4 0.3744 3.825 1.432

MX11 2.4 0.10 3.50 2.4 2.016 7.4 14.918

MX12 2.4 0.10 3.40 2.4 1.9584 1.8 3.525

MX13 2.4 0.10 0.65 2.4 0.3744 3.825 1.432

Σ 14.9184 53.654

Tabla 2. Cuadro de Cálculos de los Muros en el eje Y

MURO Y H e L (T/m3) P Y PY

MY1 2.4 0.10 0.70 2.4 0.4032 0.35 0.141

MY2 2.4 0.10 1.75 2.4 1.008 2.975 2.999

MY3 2.4 0.10 0.70 2.4 0.4032 6.25 2.520

MY4 2.4 0.10 1.05 2.4 0.6048 8.525 5.156

MY5 2.4 0.10 0.65 2.4 0.3744 3.125 1.170

MY6 2.4 0.10 1.55 2.4 0.8928 3.925 3.504

MY7 2.4 0.10 3.90 2.4 2.2464 1.95 4.380

MY8 2.4 0.10 0.40 2.4 0.2304 5.7 1.313

MY9 2.4 0.10 0.65 2.4 0.3744 3.475 1.301

MY10 2.4 0.10 2.40 2.4 1.3824 6 8.294

MY11 2.4 0.10 1.85 2.4 1.0656 8.125 8.658

MY12 2.4 0.10 3.80 2.4 2.1888 2 4.378

MY13 2.4 0.10 0.60 2.4 0.3456 6.9 2.385

MY14 2.4 0.10 2.50 2.4 1.44 6.05 8.712

MY15 2.4 0.10 2.60 2.4 1.4976 1.3 1.947

MY16 2.4 0.10 3.50 2.4 2.016 4.35 8.770

Σ 16.4736 65.628



~ 6 ~

3. Mediante las expresiones indicadas anteriormente, calculamos las

coordenadas de ubicación del Centro de Masa de este edificio.

Para la coordenada X

Para la coordenada Y



~ 7 ~

CALCULO DEL CENTRO DE RIGIDEZ

Para el presente cálculo, se adoptó un criterio de sección transformada, pues al

presentarse muros en sentido transversal a los analizados, estos tienen una

cierta participación favorable a la rigidez de los mismos.

La sección transformada fue considerada 4 veces el espesor del muro (0.40 m)

en la dirección y lugar del muro transversal, así también como para el lado

opuesto del mismo. En muros donde las longitudes de los muros transversales

fueron menores que 0.80 m, se consideró la longitud real dividida en partes

iguales para cada lado del muro.

Para el cálculo del centro de rigidez, deben de cumplirse las siguientes

expresiones:

;

PROCEDIMIENTO

1. Como ejemplo ilustrativo se tomó los muros MX11 y MY4. Los resultados

obtenidos de esta sección, fueron con el soporte del programa

AutoCAD2007. A continuación se detalla el análisis realizado:

MURO MY4

Mx12

My4

1.0

5

3.40

Plano 4. Sección del Muro

Longitud real:

3.50m

Espesor: 0.10 m

Área (A): 0.350m2



~ 8 ~

Sección Transformada:

Mx12

My4

0.40 0.40

Plano 5. Sección

transformada del Muro MY4

En el plano, se puede visualizar la sección transformada del muro MY4. El

muro perpendicular MX12, cuya longitud es mayor de 0.80m, nos indica que

debemos considerar 4 veces el espesor del muro (0.40 m) en la dirección

del muro transversal.

2. Aplicando el comando Massprop, obtenemos:

Área (At): 0.1850 m2

Principal moments and X-Y directions about centroide: (i)

J: 0.0200 along (0.0000 1.0000)

Gráfico 1. Ventana del comando Massprop del Muro MY4



~ 9 ~

3. Con las siguientes cuatro ecuaciones se procederá a obtener los datos

necesarios del muro en estudio.

Donde:

Ec: Modulo de elasticidad del concreto

h: altura libre (2.4 m)

G: Módulo de Corte

: Coeficiente de Poisson

4. Con el factor “K” obtenemos KYi, resultante del producto de K con Yi

(distancia del punto de origen al centroide de la sección o muro real. El

resumen de los cálculos realizados se presenta en las Tablas 3 y 4.

5. De igual forma, realizamos el mismo proceso para el muro MX11. El

procedimiento de este muro se muestra a continuación.



~ 10 ~

MURO MX11

Mx11

My14

My13

3.50

0.6

0

2.5

0

Plano 6. Sección del Muro

Sección Transformada:

0.3

00

.30

0.4

00

.40

Plano 7. Sección transformada del Muro MX11

En el plano anterior, se puede visualizar la sección transformada del muro en

estudio. El muro perpendicular MY14, al ser mayor de 0.80m, nos indica que

consideraremos 4 veces el espesor del muro (0.40 m) en la dirección del muro

transversal, en cambio, el muro MY13 se dividirá en dos partes iguales (0.30m) para

cada lado del muro indicado.

6. Aplicando el comando Massprop, obtenemos:

Área (At): 0.500 m2

Principal moments and X-Y directions about centroide: (i)

J: 0.7736 along (0.0000 1.0000)

Longitud real: 3.50m

Espesor: 0.10 m

Área (A): 0.350m2



~ 11 ~

Gráfico 2. Ventana del comando Massprop

7. Como en el ejemplo anterior, usaremos las ecuaciones para obtener los

datos necesarios del muro en estudio.

8. Con el factor “K” obtenemos KXi, resultante del producto de K con Xi

(distancia del punto de origen al centroide de la sección o muro real. El

resumen de los cálculos realizados se presentan en las Tabla 3 y 4.



~ 12 ~

Tabla 3. Cuadro de Cálculo de los Muros en el eje X

Sección

Transformada

MURO X Area J f K X KX

MX1 0.415 0.4839 1.277 6760.376 1.675 11323.629

MX2 0.065 0.0023 1.000 103.901 3.675 381.836

MX3 0.273 0.0716 1.416 2036.931 6.363 12960.994

MX4 0.178 0.0162 2.029 520.047 9.763 5077.223

MX5 0.305 0.1154 2.033 1841.958 0.85 1565.664

MX6 0.325 0.1530 1.912 2290.699 5 11453.493

MX7 0.415 0.3428 1.239 6256.656 1.675 10479.898

MX8 0.120 0.0100 1.000 427.222 5.45 2328.361

MX9 0.445 0.5985 1.369 6800.009 1.725 11730.015

MX10 0.155 0.0077 2.385 268.440 3.825 1026.783

MX11 0.500 0.7736 1.429 7376.806 7.4 54588.364

MX12 0.430 0.5455 1.265 7276.516 1.8 13097.729

MX13 0.155 0.0077 2.388 268.350 3.825 1026.437

42227.90995 137040.427

Tabla 4. Cuadro de Cálculo de los Muros en el eje Y

Sección

Transformada

MURO Y Area J f K Y KY

MY1 0.15 0.0063 2.143 239.460 0.35 83.811

MY2 0.255 0.0599 1.457 1740.510 2.975 5178.018

MY3 0.15 0.0063 2.143 239.460 6.25 1496.622

MY4 0.185 0.02 1.762 664.634 8.525 5666.007

MY5 0.155 0.0061 2.385 224.853 3.125 702.666

MY6 0.245 0.0699 1.581 1743.686 3.925 6843.969

MY7 0.47 0.734 1.205 9028.241 1.95 17605.069

MY8 0.13 0.0061 3.250 177.676 5.7 1012.754

MY9 0.155 0.0077 2.385 268.440 3.475 932.829

MY10 0.24 0.0002 1.000 9.425 6 56.548

MY11 0.325 0.1731 1.757 2673.117 8.125 21719.072

MY12 0.55 1.0721 1.447 8284.838 2 16569.675

MY13 0.15 0.0063 2.500 223.764 6.9 1543.971

MY14 0.33 0.2175 1.320 4212.691 6.05 25486.778

MY15 0.34 0.2421 1.308 4528.190 1.3 5886.647

MY16 0.35 0.0003 1.000 14.137 4.35 61.494

34273.11961 110845.930



~ 13 ~

En el siguiente plano, se muestra las secciones transformadas de todos los

muros de la edificación, que fueron usados para obtener los parámetros del

Cálculo de Rigidez.

SECCIONES TRANSFORMADAS

Mx11Mx10

Mx12 Mx13

Mx6

Mx1Mx2 Mx3 Mx4

Mx5

Mx7 Mx8

Mx9

Plano 8. Secciones transformadas de los muros del eje X



~ 14 ~

SECCIONES TRANSFORMADAS

My11

My15

My7

My4

My5

My6

My8

My10

My14

My16

My12

My13

My1

My9

My3

My2

Plano 9. Secciones transformadas de los muros del eje Y

9. Mediante las expresiones indicadas anteriormente, calculamos las

coordenadas de ubicación del Centro de Rigidez de este edificio.



~ 15 ~

Para la coordenada X

Para la coordenada Y

En el siguiente plano, ubicamos los valores obtenidos para el caso del

Centro de Masa y Centro de Rigidez, para luego realizar los ajustes que

fueran necesarios, con la finalidad de cumplir con la Norma E030, con la

determinación del Centro de Masa Real.



~ 16 ~

3.596

3.2453.9

83

3.2

34

CR

CM

y

x

Plano 10. Ubicación del Centro de Masa y Centro de Rigidez



~ 17 ~

10. Ahora procederemos a calcular las respectivas excentricidades que nos

brindará el nuevo centro de masa.

Entre el centro de masas y el centro de rigidez se cumple:

ex =Xcm-Xcr = 3.596 - 3.245 = 0.351

ey =Ycm-Ycr = 3.983 - 3.234 = 0.749

Para efectos de torsión se consideró la excentricidad accidental (Norma

E030-2006) en cada nivel, como 0.05 veces la dimensión del edificio en

la dimensión perpendicular a la aplicación de la fuerza.

ex’ =0.05 Lx = 0.05*10.30 = 0.515

ey’ =0.05 Ly = 0.05*9.05 = 0.453

11. Finalmente el cambio del centro de masa con respecto a la excentricidad

accidental es:

Xcm = 3.596 + 0.515 = 4.111 m

Ycm = -(3.983 + 0.453) =- 4.436 m (2)

(2) En este caso, al estar ubicado el punto (0, 0) en la parte superior (ver planos), el

signo de esta excentricidad cambia.



~ 18 ~

y

x

4.111

3.245

4.4

36

3.2

34

CR

CM

Plano 11. Ubicación del Nuevo Centro de Masa

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