Sistemas Continuos y Discretos PST84-1 Lilian J. Certuche Alzate Investigadora - Docente Sistema Unsistemapuedeconsiderarsecomoun proceso en el cual las sealesdeentrada sontransformadasporelsistemaoprovocan queesterespondadealgunaforma,dando como resultado otra seal como salida. Sistema de Comunicacin Elementos bsicos Sistema Continuo y Sistema Discreto Un sistema continuo es aquel en e l cual las seales continuas de entrada son transformadas en seales continuas de salida Transforma entradas de tiempo discreto en salidas de tiempo discreto x(t): Seal de entrada x[n]: Seal de entrada y(t): Seal de saliday[n]: Seal de salida Sistema en TiempoContinuo x(t) y(t) Sistema en TiempoDiscreto x[n] y[n] Clasificacin de los Sistemasde Tiempo Continuo y Discreto Elsistemapresentaunaclasificacinsegnla interaccin con la seal de entrada. 1. Lineal o no lineal 2. Variante o invariante en tiempo 3. Con o sin memoria 4. Causal o no causal 5. Estable o inestable 6. Invertible y no invertible 1. Sistemas Lineales ono Lineales Cuando un sistema es lineal se debe cumplir el principio de superposicin. y1(t) Respuesta de un sistema a la entrada x1(t) y2(t) Respuesta de un sistema a la entrada x2(t) 1. La respuesta a x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t) 2. La respuesta a ox1(t)oy1(t) Entonces, ox1(t)+|x2(t) o y1(t) +| y2(t)Principio de Superposicin Lalinealidadesunatcnicamuyutilizadaya quepermitedescomponerlaseal,trabajarla porseparadoydespussumartodaslas respuestasparaobtenerlarespuestaglobal del sistema. Siunsistemanocumpleconelprincipiode superposicin entonces se le llama Sistema no Lineal. 2. Sistemas Variantes eInvariantes en Tiempo Unsistemaesinvarianteentiemposiun desplazamientotemporalenlasealde entradacausaundesplazamientotemporal idntico en la seal de salida. x(t)y(t) x(t-t0)y(t-t0) Procedimiento deComprobacin a) Sea y1(t) la salida correspondiente a x1(t). b) Seconsideraunasegundaentradax2(t), obtenidadesplazandox1(t),x2(t)=x1(t-t0)y encontramos la salida y2(t) correspondiente a la entrada x2(t). c) Obtenemoslasealy1(t-t0)apartirdela seal y1(t) y compararla con y2(t). d) Si y2(t)= y1(t-t0), el sistema es invariante con el tiempo. De lo contrario es variante con el tiempo Retraso, n0Sistema x[n] x[n-n0]y[n-n0] Esto implica que un sistema invariante con el tiempo responde en forma idntica sin importar cundo se aplica la seal de entrada Ejemplo 2: Use el voltaje v(t) en un inductor para representar la seal de entrada x(t), y la corriente i(t) que circula por l para representar la seal de saliday(t).Deesemodoelinductorsedescribe mediante la relacin de entrada salida. dondeLeslainductancia.Demuestrequeel inductor as descrito es invariante con el tiempo. ( ) t t d xLt yt} = 1) ( Ejemplo3: Un termistor tiene una resistencia que variaconeltiempodebidoacambiosde temperatura. Sea R(t) la resistencia del termistor, expresadacomounafuncindeltiempo. Asociandolasealdeentradax(t)conelvoltaje aplicadoeneltermistor,ylasealdesaliday(t) conlacorrientequecirculaporl,esposible expresar la relacin entrada salida como Demostrarqueeltermistoresinvarianteconel tiempo ) () () (t Rt xt y =3. Sistemas con y sinMemoria Un sistema es sin memoria o instantneo, si su salidaparacadavalordelavariable independienteenuntiempodadodepende solamentedelaentradaenesemismo tiempo. Un sistema sinmemoria simple es un sistema identidad cuya salida es idntica a la entrada.

) ( ) ( t x t y = Sicualquierrespuestadelsistemaenun tiempo arbitrario t=t0, y(t0) depende slo de la excitacineneltiempot=t0,x(t0),ynodel valor de la excitacin o respuesta en cualquier otrotiempoporlotanto,elsistemanotiene memoria y se denomina sistema esttico. Ejemplo 4: Resistencia La entrada x(t) es la corriente que circula por l resistenciaylasalidaesy(t),latensinentre losextremosdelaresistencia,larelacin entrada salida es: Porlotanto,elvalordey(t)encualquier instante depende solo del valor de x(t) en ese instante. (Sin Memoria) ) ( ) ( t Rx t y = Ejemplo 5: Un inductor tiene memoria, ya que lacorrientei(t)quecirculaporlserelaciona conelvoltajeaplicadoy(t)delasiguiente forma: La corriente a travs del inductor en el tiempo tdependedetodoslosvalorespasadosdel voltajev(t);lamemoriadeuninductorse extiende hasta el pasado infinito. t td vLt it} = ) (1) ( Ejemplo 6: El sistema promedio mvil descrito por la relacin entrada salida: tiene memoria, puesto que el valor de la seal desaliday[n]eneltiempondependedel valorpresenteydelos2pasadosdelaseal de entrada x[n]. | | | | | | ( ) 2 131] [ + + = n x n x n x n y4. Sistemas Estables Un sistema se considera estable cuando todas lasentradasacotadas(limitadas)producen salidas acotadas, de lo contrario se dice que el sistema es inestable. Se dice que un sistema es estable de entrada acotada-salida acotada (BIBO) si y slo si toda entrada acotada origina una salida acotada. < syM t y ) (El sistema es estable BIBO si la seal de salida y(t) satisface la condicin Para todo t Siempre que la seal de entrada x(t) satisfaga la condicin < sxM t x ) (Para todo t Tanto Mx como My representan algunos nmeros positivos finitos 5. Sistemas Causales Unsistemaescausalsisusalidaencualquier instantedetiempodependesolodelos valoresdeentradaenelmomentopresentey en el pasado Tambinesconocidocomosistemano anticipativo,yaquelasalidadelsistemano anticipa valores futuros de la entrada. 6. Sistemas Invertibles ySistemas Inversos Sedicequeunsistemaesinvertiblesila entradadelsistemapuederecuperarsedela salida del sistema. Elsistemainversoesaquelqueutilizacomo entradalasalidadeunsistema,yproduce como salida la entrada del anterior sistema. Sistema Sistema inverso x(t)y(t) w(t)=x(t) Interconexin de Sistemas Muchossistemasrealesestnconstruidos como interconexiones de varios subsistemas. Interconexin en serie o en cascada Interconexin en paralelo Interconexin de retroalimentacin Interconexin en serie o en Cascada La salida del sistema 1 es la entrada del sistema 2. Sistema 1Sistema 2 Entrada Salida Interconexin en Paralelo La seal de entrada se aplica a los dos sistemas Sistema 1 Sistema 2 + Entrada Salida Interconexin deRetroalimentacin Lasalidadelsistema1eslaentradadel sistema 2, mientras que la salida del sistema 2 se retroalimenta y se suma a la entradaSistema 1 Sistema 2 + Entrada Salida Nuestroanlisisdesealesseenfocara alossistemaslinealeseinvariantesen tiempo llamados LTI. SistemaLTI,esaquelparaelcualse aplicaelprincipiodesuperposicine implica 3 restricciones: 1. Elsistemadeecuacionesdebeincluirsolo operadores lineales 2. Elsistemadeecuacionesnodebetener fuentes internas independientes. 3. Elsistemadeecuacionesdebetener condiciones iniciales iguales a cero. Podemos representar la entrada de un sistema LTIentrminosdeunacombinacinlinealde sealesbsicas,utilizandoelprincipiode superposicinparacalcularlasalidadel sistema en trminos de sus respuestas a estas seales bsicas. Utilizandosealesimpulsounitarioyescaln unitariocombinadasconlapropiedadde invariancia en tiempo. Lacombinacindelassealesimpulsoyla propiedaddeinvarianciaentiempoes conocidocomoSUMADECONVOLUCION(tiempodiscreto)eINTEGRALDE CONVOLUCION (tiempo continuo) Mtodo Analtico para Anlisis de Sistemas LTI