MÉTODOS DISCRETOS Y CONTINUOS P ARA MODEL AR LA …

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MÉTODOS DISCRETOS Y CONTINUOS PARAMODELAR LA DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE LA

VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA DE LOSRENDIMIENTOS DE SERIES FINANCIERAS*

Carlos Alexánder Grajales Correa* *

Fredy Ocaris Pérez Ramírez* **

Recibido: 15/08/2007Aceptado: 29/08/2007

ResumenEn este trabajo se consideran los rendimientos diarios de un activo financiero conel propósito de modelar y comparar la densidad de probabilidad de la volatilidadestocástica de los retornos. Para tal fin, se proponen los modelos ARCH y susextensiones, que son en tiempo discreto, así como un modelo empírico de volatilidadestocástica, desarrollado por Paul Wilmott. Para el caso discreto se muestran losmodelos que permiten estimar la volatilidad condicional heterocedástica en uninstante t del tiempo, . En el caso continuo se asocia un proceso de difusiónde Itô a la volatilidad estocástica de la serie financiera, lo cual posibilita discretizardicho proceso y simularlo para obtener densidades de probabilidad empíricas de lavolatilidad. Finalmente se ilustran y se comparan los resultados obtenidos con lasmetodologías expuestas para el caso de las series financieras S&P 500 de EEUU, elÍndice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores (IPC) y el IGBC deColombia.

Palabras claveFunción densidad de Probabilidad, ARCH, volatilidad, heteroscedasticidad, proce-sos de difusión de Itô, simulación.

* Este artículo es producto del proyecto de Investigación Modelación de la Volatilidad Condicional Heteroscedástica de

Series de Tiempo Financieras, financiado por la Vicerrectoría de Investigaciones de la Universidad de Medellín** Profesor Universidad de Medellín. Magíster Matemáticas Aplicadas, Universidad Eafit. [email protected]*** Profesor Universidad de Medellín. Magíster Matemáticas Aplicadas, Universidad Eafit. [email protected]

Revista Ingenierías, Universidad de Medellín volumen 6, No. 11, pp. 105-123 - ISSN 1692-3324 - Julio-diciembre de 2007/236p. Medellín, Colombia

Revista Ingenierías Universidad de Medellín

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Universidad de Medellín, Medellín-Colombia.

DISCRETE AND CONTINUOUS METHODS FORMODELING FINANCIAL SERIES YIELDING

STOCHASTIC VOLATILITY PROBABILITY DENSITY

AbstractThis work considers daily yields of financial assets in order to model and comparereturns stochastic volatility probability density. For such aim, ARCH models andits extensions are proposed - they are in discrete time- as well as an EmpiricalStochastic Volatility Model, developed by Paul Wilmott. For the discrete case, modelsthat allow to estimate heteroscedasticity conditional volatility in a time, t, t, ,are shown. In the continuous case, there is an association of an Itô diffusionprocess to stochastic volatility of the financial series, which allows to write adiscretization of this process and to simulate it to obtain empirical probabilisticdensities from the volatility. Finally the results are illustrated and compared withmethodologies exposed by the case of the financial series S&P 500 of the U.S.A.,Index of Prices and Quotations of stock-market Mexican of Values (IPC) and IGBC ofColombia.

Key WordsProbability density function, ARCH, volatility, heteroscedasticity, Itô diffusionprocess, simulation.

Carlos Alexánder Grajales Correa, Fredy Ocaris Pérez Ramírez

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PARTE I

Modelos en tiempo discreto

INTRODUCCIÓN

A continuación se presentan los llamados mo-delos ARCH, GARCH, TGARCH y EGARCH;estos modelos son ideales para capturar fenó-menos donde la varianza condicional es cam-biante en el tiempo. Dichos modelos se utili-zan frecuentemente en el área de finanzas, yaque por ejemplo, el inversionista está interesa-do en pronosticar la tasa de retorno y suvolatilidad solamente sobre el periodo de tenen-cia, y el emisor es quien está interesado en ana-lizar el rendimiento y la volatilidad esperados alo largo de la vida del instrumento financiero.

Un gran número de series de tipo financiero yeconómico presentan media no constante, asícomo períodos de estabilidad seguidos de otrosde alta volatilidad, entendiendo por esta últi-ma el hecho de que la variabilidad de la serieen torno a un valor medio, medida por lavarianza, es muy alta en determinados tramosde la muestra frente a otros períodos en los que,al menos aparentemente, es menor. Entre és-tas series se encuentran, los agregados moneta-rios, la tasa de inflación, los tipos de cambio,las variaciones porcentuales de los precios delas acciones, etc.

El hecho de que muchas series de tipo económi-co y financiero estén sujetas a fuertes cambiosen la varianza hizo necesario que se tuviera encuenta este fenómeno en el proceso demodelación. Los trabajos iniciales se deben aEngle (1982) [7], quien introduce los modelosARCH (modelo de heteroscedasticidad condi-cional autorregresivo) y por Bollerslev (1986) [2],con sus modelos GARCH (ARCH generaliza-dos). Por GARCH se entiende al modelo deheteroscedasticidad condicional autorregresivo

generalizado; se toma a la heteroscedasticidadcomo la variación en el tiempo de la varianza.El término condicional implica una dependen-cia en las observaciones del pasado inmediato,y el término autorregresivo describe el meca-nismo de retroalimentación, que incorpora lasobservaciones pasadas en el presente. GARCH,entonces, es un mecanismo que incluye lasvarianzas pasadas en la explicación de las varianzasfuturas. Más específicamente, GARCH es unmodelo de series de tiempo que usa las varianzaspasadas y las predicciones de las varianzas pasa-das para predecir las varianzas futuras.

Existen modelos en los que la varianza condi-cional no es constante, sino que depende delconjunto de información disponible en cada ins-tante; ignorar este hecho conduciría a obtenerestimadores ineficientes, con las graves conse-cuencias que ello implica, tales como intervalosde confianza para la predicción más amplios,mayor variabilidad de la propia predicción pun-tual, y se reflejaría la mayor amplitud del rangode sus posibles valores para un nivel de confian-za dado.

Por lo tanto, si , es decir, no esconstante, se necesitan desarrollar modeloseconométricos en los cuales se permita que lavarianza condicional del proceso cambie en eltiempo. Una alternativa son los modelos ARCHy sus extensiones que se describen a continua-ción. Dichos modelos permiten estimar la du-ración y la magnitud de la volatilidad, lo cual escrucial para ver si las predicciones que se hacenacerca de los precios son confiables o no.

EL MODELO UNIVARIANTE ARCH

Modelo ARCH (1)

El proceso ARCH (1)[7] viene definido por la si-guiente expresión:

Métodos discretos y continuos para modelar la densidad de probabilidad de la volatilidad estocástica de...


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donde son coeficientes tales que.

Note que la condición corresponde a la mí-nima varianza condicional a ser observada, mien-tras que es una condición necesaria y su-ficiente para la existencia de la varianza incondi-cional y la condicional. El coeficiente mide lapersistencia de la volatilidad; si dicho coeficientees cercano a uno, se dice que hay una alta persis-tencia de los shocks de volatilidad.

La distribución de los errores dado el conjunto deinformación es una normal con media cero y

varianza , simbólicamente, ,

, varianza condicional

heteroscedástica, es decir, la varianza condicionaldepende de la información disponible en cadainstante t.

Teorema 2.1. Si es un proceso estacionario de se-gundo y cuarto orden que tiene una estructuraARCH(1), entonces la varianza incondicional de

está dada por y el cuarto mo-

mento incondicional de está dado por

.

A partir del teorema anterior se tiene que lacurtosis incondicional de es

(1)

Así el exceso de curtosis de los errores bajouna estructura ARCH(1) es mayor a tres. Estoquiere decir que las colas de la distribuciónmarginal de los errores tienen más densidad

que las de la distribución normal; este resul-tado se generaliza a procesos ARCH de ordensuperior.

Modelo ARCH (p)

Un proceso ARCH generalizado o de orden p(ARCH (p)), tiene la siguiente estructura

(2)

Donde son independientes .

La varianza incondicional de los errores bajo unaestructura ARCH (p) es

(3)

La distribución de los errores dado el conjunto deinformación es una normal con media cero y

varianza , simbólicamente,

, es decir,

, varianza condicional

que depende de la información disponible en cadainstante t.

Observaciones de los modelos ARCH

� El modelo asume que las noticias positivasy negativas tienen el mismo efecto sobre lavolatilidad, ya que depende de las perturba-ciones al cuadrado rezagadas p periodos. Esdecir, el precio de un activo financiero res-ponde indistintamente a noticias positivasy negativas.

� El coeficiente del modelo ARCH(1) satis-face la siguiente restricción, , que


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garantiza la existencia del cuarto momentopoblacional de los errores.

� Los modelos ARCH probablementesobrepredicen la volatilidad ya que ellos res-ponden lentamente a valores extremos de laserie de retornos.

EL MODELO UNIVARIANTE GARCH(modelo ARCH generalizado)

La modelación del GARCH proviene de avancesen la modelación de la volatilidad en los añosochenta; este proceso se introduce en el grupo deanálisis que trata el exceso de curtosis y el agrupa-miento de la volatilidad, dos de las característicasmás comunes en las series financieras. Los mode-los de volatilidad condicional proporcionan unaadecuada manera de modelar y pronosticar las va-rianzas y covarianzas de los retornos de los activos.

Se pueden aplicar modelos GARCH en cualquie-ra de los diversos campos de la administración delriesgo, de la administración de portafolio, en laasignación de activos, en las opciones de precio,en las tasas de cambio, en la estructura de tasas deinterés, etcétera.

Se pueden encontrar grandes efectos significati-vos del GARCH en mercados accionarios, no sólopara choques individuales, sino también para stockde portafolios e índices y para mercados futurosaccionarios. Estos efectos son importantes en al-gunas de las áreas de la valoración del riesgo (VaR),y en otras aplicaciones de la administración delriesgo concernientes a la eficiencia de la coloca-ción del capital. Se pueden usar los modelosGARCH para examinar la relación entre las tasasde interés de corto y largo plazo, debido a la incer-tidumbre de las tasas; el modelo sirve también enel análisis de la variación del tiempo en el retornode las tasas. A continuación se muestran algunasdefiniciones y uno de los teoremas del modeloGARCH, desarrolladas por Bollerslev (1986).

Modelo GARCH(1,1)

El proceso GARCH (1,1)[2] viene definido por lasiguiente expresión

donde son coeficientes tales que.

De acuerdo con el modelo GARCH (1,1), se tieneque la varianza condicional heteroscedástica delproceso en el periodo t depende de la perturba-ción al cuadrado y de la varianza condicional ob-servados en el periodo t-1. El coeficiente captu-ra el efecto ARCH, es decir, mide la amplitud conla cual los efectos de volatilidades pasadas alimen-tan volatilidades presentes; el coeficiente captu-ra el efecto GARCH; mide la tasa a lacual estos efectos van disminuyendo en el tiempo,es decir, mide la persistencia en el tiempo de lavolatilidad condicional. Si la suma de los coeficien-tes es muy cercana a uno, se dice que hayuna elevada persistencia que ocasiona que los efec-tos del shock tarden en olvidarse; en tanto que labaja persistencia sólo tiene efectos de corta dura-ción. Por ejemplo, de acuerdo con Nelson (1995),un incremento en la varianza condicional de losrendimientos del mercado de valores puede ha-cer que se incremente la prima de riesgo; pero sise espera que tal incremento sea de corta dura-ción, la estructura temporal de la prima de riesgopuede moverse sólo en el corto plazo, sin que hayaefectos importantes en la valuación de los activos.La condición garantiza la existen-cia de la volatilidad incondicional.

La predicción GARCH(1,1) de la varianza es unamedia ponderada de tres predicciones diferentesde la varianza. Una de ellas es la varianza cons-tante que corresponde a la media de largo plazo.La segunda es la predicción que se hizo en el pe-ríodo anterior. La tercera corresponde a la nue-



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va información que no estaba disponible cuandose hizo la predicción anterior. Las ponderacio-nes de estas tres predicciones determinan la ra-pidez con la que cambia la varianza al incluir in-formación nueva y la rapidez con la que vuelve asu media a largo plazo.

Teorema 3.1. Si los siguen un procesoGARCH(1,1), entonces la varianza no condicional de

está dada por

Curtosis incondicional de los errores bajo un pro-ceso GARCH(1,1)

Se puede demostrar que si

, entonces la curtosis de

los bajo un proceso GARCH(1,1) está dada por

(4)

Lo que significa que el proceso GARCH(1,1) esleptocúrtico al igual que ocurre con los modeloARCH.

Modelo GARCH (p,q)

Un proceso GARCH generalizado o de orden p,q (GARCH (p,q)) tiene la siguiente estructura

(5)

donde

,

La varianza incondicional de los errores bajo unaestructura GARCH (p,q) es

(6)

Los procesos ARCH, GARCH, son modelos simé-tricos, donde los shocks de los retornos ya seanpositivos o negativos tienen el mismo impacto devolatilidad. Ahora, cuando el rendimiento cae pordebajo de lo esperado nos lleva a un escenariodonde las noticias son malas, esto viene asociadoa observar que la volatilidad se incrementa; y porotra parte, cuando las noticias son buenas, lavolatilidad disminuye. Del desarrollo de modeloscon varianza condicional variable hay dos familiasde modelos que pueden modelar esta característi-ca: EGARCH y TGARCH (entre muchos otros).

MODELOS ARCH ASIMÉTRICOS

Otra de las principales características de los mer-cados financieros es que ante malas noticias seproducen caídas en las cotizaciones que tienenuna volatilidad mayor, es decir, son de mayormagnitud que cuando se producen alzas en lascotizaciones por buenas noticias, en cuyo casola volatilidad es de menor magnitud. Para estoscasos de volatilidad asimétrica se desarrollaronlos modelos TGARCH, EGARCH (entre mu-chos otros).

El modelo univariante TGARCH

Un primer modelo que es capaz de producir efec-tos asimétricos, es el modelo TGARCH (ThresholdHeteroscedastic Autoregresive Models) [21]; sonmodelos que dependen de un umbral (threshold),por medio del cual definen su reacción. En losmercados bursátiles se observa empíricamente quelos movimientos a la baja son generalmente másvolátiles que los movimientos al alza. En particu-lar, el modelo TGARCH (1,1) o Threshold ARCHpropone la siguiente ecuación para estimar lavarianza condicional:


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(7)

donde

Es decir, valores negativos del residuo de la regre-sión son interpretadas como malas noticias parael mercado y los valores positivos representan lasbuenas noticias. Las malas noticias tendrán unimpacto sobre la varianza condicional,mientras que las buenas noticias solo impactaránen . Si , se dice que existe el efecto deapalancamiento (leverage effect); dicho efecto serefiere al hecho de que a rentabilidades negativascorresponda una mayor volatilidad condicional quea rentabilidades positivas. Si , se dice que elimpacto de las noticias es asimétrico.

Varianza condicional de los errores bajo el proce-so TGARCH (1,1)

� Si (noticias negativas), la varianza con-dicional es:

(8)

� Si (noticias positivas), la varianza con-dicional es:

(9)

Observe que si la ecuación (1) > (2); : mideel efecto de apalancamiento.

En otras palabras, si la innovación es negativa elumbral está prendido, por lo que el efecto sobrela varianza condicional es mayor, por una contri-bución. Mientras que si la innovación es positiva,el umbral está apagado y no hay contribución a lavarianza condicional.

Varianza incondicional de los errores bajo el pro-ceso TGARCH (1,1)

Ahora, si , la varianza incondicional (o delargo plazo) de los errores bajo una estructuraTGARCH (1,1) es

(10)

El modelo univariante egarch

Modelo EGARCH (GARCH exponencial) [13]. En1991 se define la curva de impactos asimétricos,en la cual hacen notar que en el mercado de capi-tales no repercuten igual las buenas noticias quelas malas noticias; los movimientos a la baja en elmercado vienen con mayores volatilidades que ala alza.

En 1991, Nelson[13] trabajó el modeloexponencial GARCH, denotado comoEGARCH(1,1), el cual propone la siguiente ecua-ción para estimar la volatilidad condicional

(11)

Por lo tanto,

(12)

Varianza condicional de los errores bajo el proce-so EGARCH (1,1)

Si se tiene que la varianza condicional delos errores es,

(13)

y si se tiene que

(14)

Observe que si existe efecto deapalancamiento.

Varianza incondicional de los errores bajo el pro-ceso EGARCH (1,1)

La varianza incondicional (o de largo plazo) de loserrores bajo una estructura EGARCH (1,1) es



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(15)

Finalmente, comparando los modelos GARCH yEGARCH se puede decir que un modelo GARCHtiene la limitación de que trata los efectos de modosimétrico, debido que utiliza los cuadrados de lasinnovaciones. Otra importante limitación son lasrestricciones que deben cumplir los parámetros,dichas restricciones eliminan el comportamientoal azar-oscilatorio que pueda presentar la varianzacondicional. En un modelo EGARCH no hay res-tricciones en los parámetros.

PARTE II

Modelo en tiempo continuo

INTRODUCCIÓN

Algunos modelos clásicos en el estudio de seriesde precios financieras asumen que la volatilidaden los retornos permanece constante. En esta di-rección puede considerarse el modelo de Black &Scholes (1973) [8], en el cual se concibe que la se-rie de precios se ajusta a un proceso estocásticolognormal; el proceso de Ornstein-Uhlenbeck conreversión a la media, desde el que se afirma que alargo plazo la serie de precios en el tiempo retor-na de manera sucesiva a cierto valor medio, y elmodelo de Cox-Ross-Rubinstein (1979) [3], el cualsupone que el precio del activo sube o baja en unaproporción específica con cierta probabilidad aso-ciada en unidades discretas de tiempo.

En los modelos anteriormente mencionados, elsupuesto de volatilidad constante en los retornosde la serie de precios del subyacente resulta serinadecuado puesto que un gran número de seriesfinancieras, no sólo colombianas, sino internacio-nales, reflejan presencia de heterocedasticidad ycurtosis en los retornos, produciendo curvas dedistribución leptocúrticas y de colas anchas. Al-gunos modelos alternativos que superan esta difi-

cultad han sido propuestos en el campo de lasmatemáticas financieras y la estocástica, incluyen-do los modelos de volatilidad estocástica en tiem-po continuo. En este escenario se considera quetanto el precio como la volatilidad del activo sub-yacente siguen un proceso estocástico, cada unode los cuales viene representado por una ecuacióndiferencial estocástica que admiten en conjuntodos ruidos brownianos posiblemente correlaciona-dos. En esta dirección se orientan los modelosseminales de Hull & White (1987) [10], de Scott(1987) [15], de Stein & Stein (1991) [16], de Heston(1993) [9] y un modelo empírico de volatilidadestocástica propuesto por Wilmott y Oztukel (1998)[1]. Los siguientes apartados están dirigidos a in-troducir el concepto de volatilidad implícita, unmodelo general de volatilidad estocástica y el mo-delo empírico de volatilidad estocástica.

VOLATILIDAD IMPLÍCITA

El modelo de Black & Scholes asume que el pre-cio de un activo sigue un movimiento brownianogeométrico para proponer una solución analíticaal valor de una opción de compra o de venta detipo europeo, , o denotado demanera simple, , donde K es el precio deejercicio convenido y T es la fecha de expiraciónde la opción; la constante r es la tasa de interéslibre de riesgo y .

La volatilidad implícita, denotada por , puededefinirse como el valor de la volatilidad para elcual el precio de la opción generado por el mode-lo de Black & Scholes, se hace igual al precio demercado, esto es, .

Conociendo en el mercado un conjunto de pre-cios V de una opción europea sobre un activo fijo,correspondientes a diferentes precios de ejercicioK pueden hallarse a partir del modelo Black &Scholes los respectivos valores de mantenien-do los demás parámetros fijos. Este proceso llevaasociado el uso de un algoritmo numérico tal como


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el de Newton Raphson. En desacuerdo con elmodelo de Black & Scholes para la valoraciónde una opción europea sobre un subyacente fijo,el valor de la volatilidad varía con el precio deejercicio K. En consecuencia, puede darse el casode que, por ejemplo, en una opción de divisas, lavolatilidad sea menor para opciones en el dine-ro y se haga progresivamente mayor para aque-llas dentro o fuera del dinero, formando lo quese conoce como sonrisa de la volatilidad [14] [6][4] [20] [11].

La variación de asociada a los cambios en elprecio de ejercicio de la opción, K, forma curvasconocidas como efecto sonrisa (smile) o muecas(skew). La presencia de una volatilidad implícitano constante sugiere una distribución asociada alos precios del activo subyacente, diferente a ladistribución lognormal considerada en el conjun-to de supuestos del modelo Black & Shcoles. La

curva de la distribución de retornos reales es confrecuencia leptocúrtica y de colas más anchas quela distribución normal.

De otro lado, la variación de la volatilidad implíci-ta , también se manifiesta con la variación de lafecha de expiración T. Así, puede contemplarseuna superficie de volatilidad que se obtiene cuan-do ambos, precio de ejercicio K y fecha de expira-ción T, varían. En la figura (1(a)), se representauna distribución lognormal y una posible distribu-ción empírica seguida por los precios para un acti-vo financiero. La figura (1(b)) muestra el efectosonrisa asociado a la distribución empírica men-cionada. Esto indica que la distribución de los re-tornos para un activo en el mercado tiene picosmás altos y colas más anchas respecto de la distri-bución normal de retornos asociada a la distribu-ción lognormal de precios, tal como se muestraen la figura (1(c)).

Figura 1: Distribución de precios, retornos y volatilidad implícita.



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VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA

Uno de los supuestos fuertes en el modelo de Black& Scholes es considerar la volatilidad como unparámetro constante o determinístico, en tantopuede conocerse como función del tiempo y delprecio del activo subyacente. Los retornos de losprecios de un activo en la realidad exhiben curvasleptocúrticas (high peaks) o con una gran desvia-ción estándar (fat tails) y, por tanto, éstos no si-guen una distribución normal como lo sugierenlos retornos en el modelo de Black & Scholes.

Un proceso estocástico con volatilidad estocásticamodela el cambio de la volatilidad implícita en elmodelo Black-Sholes cuando cambia la fecha deexpiración T o el precio de ejercicio K. Un proce-so de este tipo supone que el precio de un activofinanciero satisface un sistema de ecuaciones dife-renciales estocásticas dado por

(16)

(17)

en donde la volatilidad del precio en (16) esun proceso estocástico descrito por (17) que en ge-neral representa un proceso de reversión a lamedia, y el coeficiente constante es la tendencia

en la tasa de crecimiento del activo. La notación se hace para enfatizar que la volatilidad es no

constante. Las funciones p y q son la tendenciade la volatilidad y la volatilidad de la volatilidaddel precio , respectivamente, y deben ser deter-minadas. Por el momento puede considerarse queambas funciones, p y q representan procesos dereversión a la media [19] [20]. El modelo incorpo-ra dos fuentes de aleatoriedad, y queson procesos de Wiener con correlación p. Deeste modo, el proceso de precios noestá completamente descrito por la relación (16),y el valor esta condicionado a la información

, y a la trayectoria seguida por la volatilidad.

Las ecuaciones (16) y (17) pueden conducir a laimplementación de un algoritmo que simule, obien la solución exacta, o bien una solución nu-mérica, para el proceso de precios [12]. De otro lado, si se desea valorar una opcióneuropea bajo el modelo descrito (16)-(17), su pre-cio será que denotamos de

manera simplificada por . Construyen-do un portafolio libre de riesgo y bajo condicio-nes de no arbitraje, puede verse que satisfacela SDE [20]

(18)

para una función , llamada precioen el mercado del riesgo de la volatilidad, quedebe ser determinada. La afinación de depen-de de argumentos económicos y por ejemplo enWiggins [18] se considera que debería ser pro-porcional a la varianza . Otros avances másrecientes en la determinación del precio en elmercado del riesgo de la volatilidad se hanhecho en [5].

MODELO EMPÍRICO DE VOLATILIDADESTOCÁSTICAEsta alternativa de trabajo para el estudio de laevolución de la volatilidad en el precio de un acti-vo financiero fue propuesta por Paul Wilmott yAsli Oztukel (1998) [1] en un estudio que ajustadatos empíricos del índice Dow Jones a lo largo de20 años. Este modelo asume que la ecuación (17),de la volatilidad , toma la forma


115

(19)

donde la tendencia y la volatilidad de lavolatilidad son funciones sólo de y nodel precio del activo y del tiempo t; y dondeademás los procesos brownianos asociados conlos procesos de volatilidad y de precios notienen correlación. Este modelo presenta ca-racterísticas compatibles con los datos históri-cos de la volatilidad del activo subyacente, y hamostrado ser adecuado en el estudio del com-portamiento de la volatilidad en el precio deun activo; sólo se requiere la existencia de datosque registren el valor que toma el activo subya-cente a través del tiempo.

Antes de proceder a la descripción del modelo,es conveniente definir la densidad de probabili-dad en estado estable de un proceso estocásticoy la ecuación de Fokker Planck asociada a dichadensidad.

Densidad de probabilidad en estado estable

Suponga que se tiene un proceso estocástico

descrito por la ecuación di-ferencial estocástica general para la variable

(20)

donde W es un movimiento browniano. Sis, con y B es un conjunto boreliano so-bre £, entonces la probabilidad de que el procesoestocástico X cambie del estado x a un estado en el intervalo , se conoce como probabili-dad de transición. Esta probabilidad es denotada

y se determina por la siguiente rela-ción [12].

(21)

donde se denomina densidad de tran-sición y corresponde a la probabilidad de que lavariable x se mueva del estado (s, x) en el tiempos al estado (t, y) en el tiempo t. Así, en la medidade probabilidad se consideran todaslas formas posibles como un fenómeno o sistemapuede evolucionar hacia un estado a partirde un estado anterior x a lo largo de un tiempofinito .

La densidad de probabilidad en estado estable,o también llamada estacionaria o incondicio-nal, , en caso de que exista, es una densi-dad a largo plazo cuando , y se calculacomo

(22)

resultando independiente del estado inicial delproceso estocástico X.

Ecuación de Fokker Planck

La ecuación de Fokker Planck es una ecua-ción diferencial parcial parabólica con condi-ción inicial en el tiempo s y que se resuelvepara un tiempo . Esta ecuación toma laforma

(23)

y en ella se manifiesta el comportamientoprobabilístico de la densidad de transición

asociada al proceso estocástico X. Di-cha ecuación puede ser utilizada para conocerla distribución de los valores que el proceso Xpuede tomar en el tiempo t dado que su estadoinicial se conoce en el tiempo s. La forma deésta ecuación puede deducirse de manera natu-ral a partir de la función densidad de transición

y haciendo una aproximacióntrinomial de la caminata aleatoria definida porX [20].



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Descripción del modelo empírico devolatilidad estocástica

Conociendo las formas funcionales y ,la ecuación (19) queda completamente determi-nada, y con este objetivo, el modelo se desarrollade la siguiente manera:

1. La forma funcional de se asume que es

(24)

con y siendo constantes que se debenhallar a partir de la serie de tiempo de precios

del activo subyacente. La forma funcionalpara debe ajustarse de la manera másprecisa a los cambios reflejados a corto plazopor la volatilidad .

A partir de (19), considerando que con y que si

entonces , se obtienenlas siguientes igualdades:

donde se aplicó que por tra-tarse de diferenciales de orden mayor que 1.Ahora, tomando logaritmo natural en amboslados de la última igualdad, se verifica que

Por otro lado, si a partir de la serie de tiem-po de precios del activo subyacente, se haceuna regresión lineal entre las variables

y , entonces la recta de re-gresión puede escribirse para a y b constan-tes del siguiente modo

donde es la perturbación entre la regresiónlineal y los datos observados. La expresiónanterior puede escribirse de manera equiva-lente como

.

En diversas series de tiempo financieras, esfrecuente hacer la regresión lineal que se haindicado [1], [20] y en ellas se confirma empí-ricamente un ajuste lineal.

Si de la última ecuación despejamos seobtienen las siguientes igualdades

Finalmente, comparando la última igualdadcon la ecuación (24) resulta que

(25)

y

(26)

lo cual justifica el supuesto inicial de que .

2. Considere la función densidad de probabi-lidad para . Si la anterior densi-dad existe en estado estable y la denotamospor , y si, además, se asume que es una densidad lognormal, entonces a par-tir del conocimiento y de pue-de calcularse la forma funcional de através de la denominada ecuación deFokker Planck.

La ecuación de Fokker Planck, satisfecha porla densidad de probabilidad asociadaa la volatilidad y que a veces se denomina


117

como ecuación de Kolmogorov hacia delan-te, se presenta como:

donde haciendo que , con lo cual y así se llega a:

La constante de integración c resulta ser cero deacuerdo a las condiciones de la distribución en estado estable [1], [20]. De esta manera se ob-tiene

(27)

Ahora, partiendo de que la distribución de eslognormal, su forma es

(28)

donde los coeficientes pueden estimarse pormáxima verosimilitud para una distribuciónlognormal, a partir de la serie de volatilidadesmóviles anualizadas. Cuando se introduce (28) en(27), se obtiene que

(29)

En resumen, el modelo empírico de volatilidadestocástica establece que el comportamiento en lavolatilidad de un activo financiero con precio

se describe por

(30)

donde las constantes a y b se calculan poruna regresión l ineal entre las variables

y ; y las constantes re-sultan de un ajuste lognormal para la fun-ción densidad de probabilidad en estado es-table .

PARTE III

Resultados

Para el análisis del S&P 500 de EEUU, el IPC deMéxico y el IGBC de Colombia, se tomó unamuestra desde el 2 de enero de 2003 hasta el 19de abril de 2007. Las bases de datos fueron toma-das de Reuters®.

RESULTADOS EN TIEMPO DISCRETO

En el cuadro (1) se muestran las estimacionesrealizadas, a partir de los modelos en tiempodiscreto, para las volatilidades de los retornosde las series S&P 500, IPC y el IGBC. Puedeverse que para la primera serie, el modelo es-timado fue un EGARCH(2,1), para la segun-da, un modelo EGARCH(1,1) y para la terce-ra, un modelo GARCH(1,1). Los anterioresmodelos se estimaron bajo el supuesto de in-novaciones gaussianas utilizando el softwareEVIEWS®.



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Cuadro 1: Estimación de los Modelos Discretos

En la figura (2), se muestra para cada una de lasseries mencionadas, la densidad de probabilidadsimulada de la volatilidad de los retornos en un

Parámetros S&P 500 IPC IGBCEstimados EGARCH (2,1) EGARCH (1,1) GARCH (1,1)

δ0

-0.152974 -0.773267 8.73E-06

δ1

-0.176684 0.156517 0.297574

δ2

0.235608 NA NA

γ -0.078257 -0.137086 NA

θ 0.989314 0.929084 0.695175

posible escenario. Las simulaciones fueron corri-das en MATLAB®. En esta figura se muestra unajuste lognormal a las volatilidades de los retor-nos de las series S&P 500, IPC y el IGBC, comotambién el valor p asociado con el test deKolmogorov Smirnov para una muestra, dondela distribución hipotética es la distribuciónlognormal. En cada caso, el test KolmogorovSmirnov sugiere que la volatilidad de los retornosde las series financieras descritas sigue una distri-bución lognormal, a un nivel de significancia de0.05, dado que el valor p fue mayor que 0.05 encada uno de los escenarios simulados.

Figura 2: Volatilidad de los retornos en el modelo discreto para las series financieras S&P 500, IPC,y el IGBC. En cada gráfica se muestra el valor p asociado al test de bondad de ajuste de Kolmogorov

Smirnov para una muestra a un nivel de significancia de 0.05.


119

RESULTADOS EN TIEMPO CONTINUO

La metodología de estimación de los parámetros y en el modelo continuo de volatilidad

estocástica fue implementada en Microsoft®OfficeExcel y se describe a continuación.

Implementación en Excel de la estimación delmodelo continuo de volatilidad estocástica

1. Se halla la serie de retornos logarítmicos dia-rios a partir de la serie financiera

2. Se calcula la serie de volatilidades para los re-tornos mediante media móvil simple en unaventana de tamaño 15, y se anualiza

3. Se estiman los parámetros p, y por máximaverosimilitud para una distribuciónlognormal, a partir de la serie de volatilidadesmóviles anualizadas

4. Se calcula la serie

5. Se agrupa en clases la variable y se calculasu frecuencia relativa en cada una de las clases

6. Para dichas clases se calculan las variables y y se hace la regresión, sugeri-da en el apartado (8.3), entre ellas

7. Se estiman los parámetros a partir dedicha regresión.

En el cuadro (2) se muestran las estimaciones reali-zadas para la volatilidad de los retornos de las se-ries S&P 500, IPC y el IGBC, a partir del modelocontinuo de volatilidad estocástica desarrollado.

Cuadro 2: Estimación del Modelo Continuo

Con las estimaciones mostradas en el cuadro (2)es posible realizar algunas simulaciones de lavolatilidad de los retornos para las series estableci-

Parámetros S&P 500 IPC IGBCEstimados

φ 0.508400 0.681834 1.133636

γ 0.410700 0.66415 0.838150

ρ 0.327664 0.346323 0.554850

0.109319 0.152458 0.171367

das. De esta manera, en la figura (3) se muestranlas funciones densidad de probabilidad, real y si-mulada, para un posible escenario, de cada una delas series financieras, S&P 500, IPC y el IGBC.Las simulaciones fueron corridas en MATLAB®.Debe anotarse que la densidad real corresponde ala densidad de probabilidad para la serie de lavolatilidad anualizada de los retornos, mediantemedia móvil simple en una ventana de tamaño15, y la simulada, corresponde a la densidad deprobabilidad para la serie de datos simulados, lo-grados con las ecuaciones dadas en (30).

La figura (3) también muestra los ajusteslognormales para las densidades así definidas, dadoque, la construcción del modelo continuo, desa-rrollado en la sección (8), considera que la fun-ción densidad de probabilidad de existe en es-tado estable, y se asume que en tal estado eslognormal. Por otra parte, la figura (3) muestra elvalor p correspondiente al test de bondad de ajus-te Kolmogorov - Smirnov para dos muestras a unnivel de significancia de 0.05, en cada escenariosimulado. La hipótesis nula del test, , es queambas muestras, real y simulada, provienen de unamisma distribución continua y la hipótesis alter-nativa, , es que las muestras provienen de dife-rente distribución continua. Puede observarse quepara los escenarios simulados el test sugiere quelas muestras, real y simulada, provienen de unamisma distribución de probabilidad continua, dadoque el valor p fue mayor que 0.05 en cada caso.

Finalmente, la figura (4) muestra un ajustelognormal a las series S&P 500, IPC y el IGBC,como también el valor p asociado con el test deKolmogorov Smirnov para una muestra, dondela distribución hipotética es la distribuciónlognormal. En cada caso, el test KolmogorovSmirnov sugiere que la volatilidad de los retornosde las series financieras descritas sigue una distri-bución lognormal, a un nivel de significancia de0.05, dado que el valor p fue mayor que 0.05 encada uno de los escenarios simulados.



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Figura 3: Volatilidad de los retornos en el modelo continuopara las series financieras S&P 500, IPC, y el IGBC. En cada gráfica

se muestra el valor p asociado al test de bondad de ajustede Kolmogorov Smirnov para dos muestras,

real y simulada, a un nivel de significancia de 0.05.


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Figura 4: Volatilidad de los retornos en el modelo continuopara las series financieras S&P 500, IPC, y el IGBC. En cada gráfica

se muestra el valor p asociado al test de bondad de ajustede Kolmogorov Smirnov para una muestra a un nivel

de significancia de 0.05.



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CONCLUSIONES Y PASOS A SEGUIRSe estimaron los parámetros para los índices bur-sátiles S&P 500 de EEUU, IPC de México y elIGBC de Colombia, bajo la familia de modelosARCH, que son en tiempo discreto, y bajo unmodelo empírico de volatilidad estocástica, quees en tiempo continuo, detallado por PaulWilmott y Asli Oztukel.

Es razonable estimar la volatilidad de estos índicesbajo los modelos ARCH o bajo el modelo empíri-co en tiempo continuo. Estos modelos pueden seraplicados posteriormente en la evolución tempo-ral de la distribución de la volatilidad y en la valo-ración de derivados sobre dichos índices, puestoque en un gran número de escenarios simulados,en ambos casos, se ref lejan características

probabilísticas comunes de las series simuladas,concretamente que la distribución de la volatilidadde los retornos es Lognormal bajo el test de bon-dad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov. Este es unresultado significativo a tener en cuenta en diver-sos tópicos relacionados con las finanzas.

Existen otros modelos de volatilidad estocástica entiempo continuo, como el de Heston, y en tiempodiscreto, como el FIGARCH, que proporcionanun mejor ajuste de la volatilidad real empírica,que dan lugar a futuras aplicaciones.

Es necesario crear un sencillo software dondese puedan correr y comparar tanto modelos dis-cretos como continuos, y donde pueda reflejar-se la distribución real y simulada de lavolatilidad.

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