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CUADERNO Nº 4 NOMBRE: FECHA: / /

Sistemas de ecuaciones - 1 -

Sistemas de ecuaciones

Contenidos

1. Ecuaciones lineales Definición. Solución

2. Sistemas de ecuaciones lineales

Definición. Solución Número de soluciones

3. Métodos de resolución

Reducción Sustitución Igualación

4. Aplicaciones prácticas

Resolución de problemas

Objetivos

Reconocer y clasificar los sistemas de ecuaciones según su número de soluciones.

Obtener la solución de un sistema mediante unas tablas.

Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, por los métodos de sustitución, igualación y reducción.

Utilizar el lenguaje algebraico y los sistemas para resolver problemas.

Autor: Xosé Eixo Blanco Bajo licencia

Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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Lee en la escena el texto del poema y trata de plantear una ecuación y de buscar la solución.

Completa la tabla de premios para obtener la solución de otra forma:

1. Ecuaciones lineales

1.a. Definición. Solución. EJERCICIO: Completa: Respuestas

¿Cuál es el grado de las ecuaciones lineales?

¿Cuál es la expresión general de una ecuación lineal con dos incógnitas?

¿Qué es una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas?

¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal con dos incógnitas?

¿Qué tipo de línea forman las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas si las representamos gráficamente?

Veamos los ejemplos de las ecuaciones lineales que aparecen en los siguientes recuadros y hagamos la gráfica de la recta que forman las soluciones de cada una de las ecuaciones:

Antes de empezar

Por presumir de certero un tirador atrevido se encontró comprometido en el lance que os refiero. Y fue, que ante una caseta de la feria del lugar presumió de no fallar ni un tiro con la escopeta, y el feriante alzando el gallo un duro ofreció pagarle por cada acierto y cobrarle a tres pesetas el fallo

Dieciséis veces tiró el tirador afamado al fin dijo, despechado por los tiros que falló: “Mala escopeta fue el cebo y la causa de mi afrenta pero ajustada la cuenta ni me debes ni te debo”. Y todo el que atentamente este relato siguió podrá decir fácilmente cuántos tiros acertó.

Aciertos Fallos Premio

16 0 80 15 1 72 14 13 12 11 10 9 8 7 6

Ecuación: 14 yx

x y

Ecuación: 43 yx

x y

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EJERCICIO. Resuelve a continuación los tres ejercicios que siguen.

Soluciones

Halla una solución P(x,y) de la ecuación 1886 yx sabiendo que 3y

Razona si 1x , 9y es una solución de la ecuación: 8189 yx

¿Cuánto vale “c” si 2x , 2y es una solución de: cyx 37 ?

EJERCICIOS

1. Dada la ecuación:3x 2y 17 , razona si los siguientes pares son solución.

a) x=1 , y=3 b) x=5 , y=1

2. Dada la ecuación 5x 2y c , halla el valor de c sabiendo que una solución es:

a) x=3 , y=6 b) x=4 , y=1

3. Halla una solución (x,y) de la ecuación 4x 5y 17 sabiendo que:

a) x=7 b) y=1

Ecuación: 13 yx

x y

Ecuación: 42 yx

x y

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2. Sistemas de ecuaciones lineales

2.a. Definición. Solución.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común.

Fórmula general de un sistema de dos ecuaciones

222

111

2

1

cybxa

cybxa

r

r

Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores -coordenadas de un punto P(x,y)- que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar todas sus soluciones.

Veamos dos ejemplos y realicemos las gráficas de las rectas que corresponden a cada una de las ecuaciones. Con la representación ya hecha, deberemos indicar cuál es la solución del sistema:

Sistema:

2

25

2

1

yx

yx

r

r

r1 y =

r2 y =

x y x y

Gráfica

Solución del sistema

P( , )

Sistema:

13

1

2

1

yx

yx

r

r

r1 y =

r2 x =

x y x y

Gráfica

Solución del sistema

P( , )

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Responde, a continuación, a los dos enunciados que siguen:

Respuesta

Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución sea: x = -2 , y = 1

2

1

r

r

Razona si x = 2, y = 0 es una solución del sistema:

42

022

yx

yx

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2.b. Número de soluciones. Los sistemas se ecuaciones se clasifican dependiendo del número de soluciones que tienen y, geométricamente, cada caso corresponde a una posición relativa de las dos rectas asociadas.

EJERCICIO: Contesta: Respuestas

¿Cómo se llama un sistema que tiene una única solución?

¿Cómo son las rectas que lo forman?

¿Cómo se llama un sistema que tiene infinitas soluciones?


¿Cómo se llama un sistema que no tiene solución?


Caso

Caso

Sistema:

32

3

yx

yx

r1

y =

r2

x =

x y x y

Gráfica

Las rectas son: ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

Sistema:

4

1233

yx

yx

r1

y =

r2

y =

x y x y

Gráfica


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Caso

Sistema:

026

43

yx

yx

r1

y =

r2

y =

x y x y

Gráfica


EJERCICIOS

6. Dado el sistema: 3x 2y 17

5x y 11

, razona si los siguientes pares son solución.

a) x=3 , y=4 b) x=5 , y=1 c) x=3 , y=1

7. Escribe un sistema de dos ecuaciones cuya solución sea:

a) x=1 , y=2 b) x=3 , y=1 c) x=2 , y=3

8. Indica (aula 204 con GeoGebra) cuántas soluciones tiene el sistema: x y 2

x 3y 2

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3. Métodos de resolución

3.a. Reducción.

Resolver un sistema por el método de reducción consiste en encontrar otro sistema, que

tenga los coeficientes de una misma incógnita de signo contrario, para que al sumar la

incógnita desaparezca.

Para ello se multiplican todos los coeficientes de una de las ecuaciones, o de las dos, por el

número adecuado.

Mtdo. fácil y recomendado, sobre todo cuando pueda resultar “difícil” despejar incógnitas.

Vamos a ver como se resuelve un sistema por el método de reducción paso a paso. Observa que puedes cambiar la letra que se reduce y que puedes utilizar cualquiera de las dos ecuaciones a la hora de sustituir para hallar el valor de la otra incógnita.

Resolver el sistema:

194

42

yx

yx

Paso 1: Multiplicar la primera ecuación por

Multiplicar la segunda ecuación por

Sumar las dos ecuaciones para eliminar la letra

Paso 2: Sustituir en la ecuación

Paso 3: Despejar la

Paso 4: Dar la solución

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Otro sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resuélvelo en este recuadro.

Y otro ejemplo. Resuélvelo del mismo modo.

Resolver el sistema por reducción:

293

7647

yx

yx

Multiplicar la primera ecuación por



Sustituir el valor de en la ecuación

x =

y =

Resolver el sistema por reducción:

706

10073

yx

yx

Multiplicar la primera ecuación por



Sustituir el valor de en la ecuación

x =

y =

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3.b. Sustitución.

Para resolver un sistema por el método de sustitución se despeja una incógnita (la que sea

más fácil de despejar) en una de las ecuaciones y se sustituye su valor en la otra ecuación.

De esta forma se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita que resolvemos.

Para calcular la otra incógnita basta sustituir el valor hallado donde se ha despejado en

primer lugar.

Fácil y recomendado, sobre todo cuando pueda resultar “fácil” despejar una incógnita.

Vamos a ver como se resuelve un sistema por el método de sustitución paso a paso. Observa que podrías empezar despejando la misma letra en la otra ecuación o la otra letra en cualquiera de las ecuaciones y siempre obtendrías el mismo resultado. Otro sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resuélvelo en este recuadro.

Resolver el sistema por sustitución:

35

1392

yx

yx

Se despeja la en la ecuación …

Solución: x =

y =


426

365

yx

yx

Paso 1: Despejar la letra en Paso 2: Sustituir, entre paréntesis, la letra

la ecuación en la ecuación

Paso 3: Resolver la ecuación de una incógnita que resulta:

Paso 4: Calcular la Sustituyendo en la ecuación despejada


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3.c. Igualación.

Para resolver un sistema por el método de igualación se despeja la misma incógnita en las

dos ecuaciones y se igualan ambas expresiones.

Se obtiene así una ecuación de primer grado con una incógnita que se resuelve. Para hallar la

otra incógnita se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las dos expresiones despejadas

al principio.

Mtdo. menos fácil y NO recomendado

Vamos a ver como se resuelve un sistema por el método de igualación paso a paso. NO veremos más ejemplos de este método de resolución. Observa que podrías empezar despejando la otra letra en las dos ecuaciones y obtendrías el mismo resultado.


036

8493

yx

yx

Paso 1: Despejar la letra en Paso 2: Igualar las dos ecuaciones

las dos ecuaciones despejadas

Paso 3: Resolver la ecuación de una incógnita que resulta:

Paso 4: Calcular la sustituyendo en la ecuación despejada


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EJERCICIOS de Refuerzo

Resuelve los siguientes sistemas por el método que consideres más adecuado en cada caso:

a)

11yx3

0y3x2 c)

19y7x2

11y5x e)

17y5x4

2yx2

b)

12y5x2

1y2x3 d)

9y3x4

2y5x2 f)

4y9x2

3y3x4

EJERCICIOS

11. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de reducción:

a) 2x 7y 20

3x 7y 4

b) 2x 3y 9

3x 5y 4

12. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de sustitución:

a) x 7y 11

3x 5y 7

b) 2x y 7

3x 4y 13

13. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método que desees:

a) x 7y 23

x 5y 13

b) 2x y 13

x y 9

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4. Aplicaciones prácticas

4.a. Resolución de problemas. Veamos ejemplos de problemas de tres tipos

a) Tipo EDADES. Problema. La suma de las edades de un padre y un hijo es de 50 años y su diferencia es de 4 años ¿qué edades tienen cada uno?

b) Tipo GEOMETRÍA. Problema. Una parcela rectangular tiene un perímetro de 640m. Si mide el triple de largo que de ancho ¿Cuáles son sus dimensiones? ¿Cuál es su área?

c) Tipo NÚMEROS. Problema. Halla dos números sabiendo que el mayor más 10 veces el menor es igual a 78, y que el menor más 10 veces el mayor es igual a 87

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Van ahora tres problemas diferentes más. Plantéalos y resuélvelos (utiliza el método que consideres más adecuado en cada uno de ellos). Después comprueba si lo has hecho bien.

Problema. Luis tiene en su monedero 160 €. Sabiendo que sólo tiene billetes de 5€ y de 10€ y que en total tiene 10 billetes ¿cuántos billetes de cada tipo tiene?

Solución: x = y = Problema. La base de un rectángulo mide 10 dm más que su altura. Si el perímetro mide 108 dm ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? ¿Y cuál es su área?

Solución: x = y =

Problema. En una clase hay 60 alumnos entre chicos y chicas. En el último examen de matemáticas han aprobado el 70% de las chicas y el 60% de los chicos. Si han aprobado 39 alumnos ¿Cuántas chicas y cuántos chicos hay en clase?

Solución: x = y =

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EJERCICIOS

14. Ana tiene en su cartera billetes de 10€ y 20€, en total tiene 20 billetes y 350€ ¿Cuántos billetes tiene de cada tipo?

15. La suma de las edades de Miguel y Pedro es 97. Dentro de 4 años la edad de Pedro será cuatro veces la edad de Miguel. ¿Qué edades tienen ambos?

16. En un taller hay 154 vehículos entre coches y motocicletas, si el número de ruedas es de 458, ¿cuántas motocicletas y coches hay?

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Para practicar más

1. Calcula el valor de c para qué la solución de la ecuación, x 7y c sea:

a) x 1 , y 2 c) x 5 , y 0

b) x 3 , y 3 d) x 2 , y 3

2. Halla una solución (x,y) de la ecuación 4x y 17 sabiendo que:

a) x 1 b) y 7

3. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cuya solución:

a) x 4 , y 3

c) x 0 , y 5

b) x 1 , y 2

d) x 1 , y 1

4. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que:

a) tenga infinitas soluciones

c) no tenga solución

b) tenga una sola solución

5. Razona si el punto (x,y) es solución del sistema:

a) 2x 3y 18

x 3 , y 43x 4y 24

5x 3y 1

x 1 , y 23x 4y 11

6. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas (Aula 204 con Geogebra):

a) x y 6

2x 2y 12

b) x y 8

x y 2

c) x y 6

x y 10

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7. Resuelve por reducción:

a) 2x y 15

x 2y 15

b)

123

734

yx

yx c)

9x 4y 53

9x 8y 61

8. Resuelve por sustitución:

a) x 12y 1

4x 9y 15

b) x 6y 3

9x 2y 83

c) x 2y 17

5x 2y 21

9. Resuelve por el método que creas más adecuado

a) x 2y 17

7x 6y 47

b)

753

527

yx

yx c)

x 2y 14

x 4y 4

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10. Hallar dos números sabiendo que el mayor más seis veces el menor es igual a 62 y el menor más cinco veces el mayor es igual a 78.

11. Al dividir un número entre otro el cociente es 2 y el resto es 5. Si la diferencia entre el dividendo y el divisor es de 51, ¿de qué números se trata?.

12. La base de un rectángulo mide 20 dm más que su altura. Si el perímetro mide 172 dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

13. En una clase hay 80 alumnos entre chicos y chicas. En el último examen de matemáticas han aprobado 60 alumnos, el 50% de las chicas y el 90 % de los chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase?

14. La base de un rectángulo mide 70 dm más que su altura. Si el perímetro mide 412 dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

15. Juan ha realizado un examen que constaba de 68 preguntas, ha dejado sin contestar 18 preguntas y ha obtenido 478 puntos. Si por cada respuesta correcta se suman 10 puntos y por cada respuesta incorrecta se resta un punto, ¿cuántas preguntas ha contestado bien y cuántas ha contestado mal?

16. Paco tiene en su monedero 210€ en billetes de 5 y 20 euros. Si dispone de 15 billetes, ¿cuántos billetes tiene de cada clase?

17. La suma de dos números es 85 y su diferencia es 19.¿Cuáles son los números?

18. La suma de las edades de Luisa y de Miguel es 32 años. Dentro de 8 años la edad de Miguel será dos veces la edad de Luisa. ¿Qué edades tienen ambos?

19. María ha comprado un pantalón y un jersey. Los precios de estas prendas suman 77€, pero le han hecho un descuento del 10% en el pantalón y un 20% en el jersey, pagando en total 63’60€. ¿Cuál es el precio sin rebajar de cada prenda?

1. Esinc

2. Haso

3. Esinc

4. Es

5. Re

6. Re

7. Re

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x y 1x 3y 5

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11. 97

12. 52

13. 50

14. 138

15. 48

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18. El

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No olvi

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