Sistemas de Controle IIIN8SC3

Prof. Dr. Cesar da Costa

2.a Aula: Representacao no Espaco de Estados (1.a Parte)

O modelo matemático de um sistema dinâmico é obtido a partir da aplicação

de Leis Físicas e de Equações constitutivas dos elementos, que compõem o

sistema, o que conduz, normalmente, a um sistema de equações diferenciais

e/ou equações algébricas. Tal sistema de equações, usualmente, é

representado de três maneiras:

Modelo Matemático de Sistemas Dinâmicos

a) Representação no Espaço de Estados;

b) Representação por Equação I/O (Input/Output = Entrada/Saída);

c) Representação por Matriz de Transferência.

Modelagem

A modelagem consiste na obtenção de um conjunto de equações que

representam a dinâmica da iteração entre a entrada e a saída de um

processo.

Os modelos podem ser obtidos a partir das leis físicas e/ou químicas que

regem o processo ou pela identificação do modelo, por meio de ensaios

realizados sobre o processo.

Modelagem

Forma de apresentação:

Equações integro-diferenciais (sistemas contínuos) ou;

Por equações as diferenças (sistemas discretos).

Formas de representação:

Função de transferência (transformada de Laplace ou transformada Z);

Variáveis de estado.

Modelagem - Exemplo 1

Variação de volume:

0( )

idV t Q Qdt

Sabendo que:

Modelagem - Exemplo 1

Onde:

R é a resistencia hidráulica inserida pela válvula a0.

( ) . ( )V t Ah t

0( )h tQR

Chega-se a seguinte equação diferencial relacionando a entrada Qi(t) com a

saída h(t):

Modelagem - Exemplo 1

( ) ( ) ( )idh t h tA Q tdt R

Para um nível inicial h(0) e aplicando a transformada de Laplace, obtém-se:

Modelagem - Exemplo 1

É um enfoque mais moderno, que repousa sobre o conceito de Variáveis de

Estado.

REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS

Nesta representação, um modelo matemático descrito por uma equação

diferencial de ordem n é substituído por um sistema de n equações

diferenciais, todas de 1.a ordem.

Se o modelo matemático for descrito por m equações diferenciais de ordem n, então ele será substituído por um sistema de m x n equações diferenciais de 1a ordem.

A representação no espaço de estados é particularmente útil na análise e no

projeto de sistemas de controle. Ela possui as seguintes características:

Usa o domínio do tempo;

Quaisquer condições iniciais;

Aplicabilidade mais ampla: sistemas lineares e não-lineares;

REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS

sistemas invariantes no tempo e variantes no tempo

sistemas SISO (Single Input, Single Output) e

MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs)

Interpretação física mais abstrata.

REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS

Sistemas lineares e não-lineares

Equações lineares são equações que envolvem relações algébricas entre variáveis de grau um;

Graficamente, as equações lineares podem ser retas, planosou hiperplanos;

Notação:

Sistemas lineares e não-lineares

Sistemas Invariantes no Tempo e Variantes no Tempo

Um sistema invariante no tempo é aquele que para um sinal de entrada x(t),

o sinal de saída é y(t), não importa quando é aplicada esta entrada.

Ou seja, as condições dinâmicas do sistema não mudam com o passar do

tempo. Na realidade nenhum sistema é invariante no tempo, mas na prática

consideramos como invariante no tempo muitos sistemas, cuja variação no

tempo é muito lenta.

Sistemas SISO (Single Input, Single Output)

Sistemas MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs)

Controle Moderno

A tendência moderna dos sistemas de engenharia é ter a sua complexidade

aumentada tanto em termos de descrição do modelo (sistemas variantes no

tempo e não lineares), quanto ao desempenho desejado (tarefas complexas

com alta precisão).

Para atender a necessidade de controlar sistemas mais complexos, surgiu na

década de 1960 a teoria de controle baseada na representação por variáveis de

estado (denominada de controle moderno).

Limitacoes da Teoria Convencional de Controle

Na teoria convencional de controle, apenas os sinais de entrada, saída e de

erro são considerados importantes.

A análise e projeto de sistemas de controle são feitos usando-se funções de

transferência, juntamente com uma variedade de técnicas , tais como:

Lugar das raízes;

Gráficos de Nyquist.

Limitacoes da Teoria Convencional de Controle

A característica essencial da teoria convencional de controle é que ela é

baseada na relação de entrada-saída, ou a função de transferência.

A principal desvantagem dessa teoria é que, de modo geral, ela é aplicável

apenas para sistemas lineares invariantes no tempo SISO (única entrada e

única saída). .

Limitacoes da Teoria Convencional de Controle

A teoria convencional de controle é impotente para sistemas variantes no

tempo, sistemas não lineares (exceto mais simples) e sistemas MIMO

(múltiplas entradas e múltiplas saídas).

Portanto, as técnicas convencionais (métodos do lugar das raízes e de

resposta em frequência) não se aplicam para o projeto de sistemas ótimos ou

de sistemas adaptativos, que são em geral variantes no tempo e/ou não

lineares.

Uma Nova Abordagem para Análise e Projeto de Sistemas de Controle .

A tendência atual em sistemas de engenharia é focar uma maior complexidade,

maior precisão e tarefas bem mais complexas.

A teoria de controle moderno é essencialmente um abordagem de domínio de

tempo, enquanto que a teoria de controle convencional é uma abordagem de

domínio de frequência complexa.

Variáveis de Estado

Esta teoria se baseia em uma representação no domínio do tempo, através de

um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem.

Estado: o estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis

(chamadas de variáveis de estado x1(t), x2(t),...,xn(t) ), tais que o

conhecimento destas variáveis no instante inicial (t=0), juntamente com o

conhecimento do sinal de entrada para t > t0 é suficiente para determinar

completamente o comportamento dinâmico do sistemas para t > t0.

Variáveis de Estado

O conceito de estado pode representar não somente uma grandeza física, mas

também variáveis biológicas, químicas, econômicas e sociais (além de

abstrações matemáticas).

As variáveis de estado não necessitam ser quantidades físicas mensuráveis ou

observáveis.

Variáveis que não representam grandezas físicas (possivelmente, não

mensuráveis ou observáveis) também podem ser escolhidas como variáveis de

estado.

Variáveis de Estado

Existem infinitas representações por variáveis de estado para um determinado

sistema dinâmico.

Esta flexibilidade na definição das variáveis de estado pode ser utilizada para

gerar representações mais convenientes para obtenção da resposta no tempo,

análise de estabilidade e síntese de controle.

Vetor de Estado

Se forem necessárias n condições iniciais para definir completamente a

resposta de um sistema, então teremos n estados x1(t), x2(t), . . . , xn(t) que

comporão o vetor de estados x(t):

Espaco de Estados

A representação por variáveis de estado consiste em n equações diferenciais

de primeira ordem que são apresentadas utilizando uma notação com matrizes

e vetores.

O espaço n-dimensional cujos eixos de coordenadas são os eixos x1, x2, ...xn

é chamado de um espaço de estados. Qualquer estado pode ser representado

por um ponto no espaço de estados.

Representacao de Estados – Exemplo 1

Dado o circuito RLC a seguir.

Representacao de Estados – Exemplo 1

O comportamento dinâmico do sistema é completamente definido para t=0 e

t>0, se os valores iniciais da corrente i(t0), a tensão do capacitor Vc(t0), e a

tensão de entrada V(t0) para t=0 e t>0 são conhecidas.

Portanto, o estado do circuito para t=0 e t>0 é completamente determinado por

i(t) e Vc(t) e a tensao de entrada V(t).

Logo, i(t) e Vc(t) são um conjunto de variáveis de estado para o circuito RLC

apresentado.

Representacao de Estados – Exemplo 1

Suponha que escolhemos i(t) e Vc(t) como as variáveis de estado. Entao as

equações que descrevem a dinâmica do sistema são:

diL Ri v vcdt

dvc idt

Representacao de Estados – Exemplo 1

Em notação vetorial, temos:

./ 1/ 1/

. 1/ 0 0iR L L Li

vvCv cc

Esta é uma representação de espaço de estados para o circuito ou sistema

dado.