Problemas de Algebra Lineal. GIIC- GIIS Curso 2012-2013

Tema 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ejercicio 1. Halla una forma escalonada, el rango, y las matrices canonica por filasy de paso para cada una de las siguientes matrices:

A =

−1 1 −2

1 1 02 1 1

;B =

−1 2 3 4 5

1 2 1 3 20 4 4 7 7

; C =

1 1 00 2 1

−1 0 1

; D =

1 −1−2 2

3 −3

;

E =

1 2 3−1 1 1

3 3 50 3 4

;F =

1 −1 1 2 13 −3 8 10 3

−2 2 −1 −3 −4

; G =

1 1 60 2 8

−1 0 1

;

Ejercicio 2. Siendo A =

(1 −1 1

−1 0 −1

)y B =

(1 2 1

−1 −2 −1

), hallar k para

que rg(A + kB) < 2.

Ejercicio 3. Calcula la inversa, si existe, de las siguientes matrices:

(a) A =

1 −1 12 1 20 0 1

; (b) B =

1 −1 22 1 13 0 3

; (c) C =

1 0 0a 1 0b c 1

;

(d) D =

1 0 0 02 1 0 03 3 1 04 4 4 1

; (e) E =

1 0 0 0 11 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 0 0 1 1

; (f) F =

1 2 3 4 50 1 2 3 40 0 1 2 30 0 0 1 20 0 0 0 1

;

(g) G =

1 1 2 12 3 6 31 2 5 31 1 2 2

; (h) H =

1 1 2 42 3 6 91 2 5 61 1 2 5

Ejercicio 4. Calcula la inversa, si existe, de la matriz

A =

1 a a2 a3

0 1 a a2

0 0 1 a0 0 0 1

1

Ejercicio 5. Calcula, segun los valores de n, el rango de las matrices:

(a) An =

n + 1 1 11 n + 1 11 1 n + 1

; (b) Bn =

n + 1 1 n1 n + 1 10 0 n

.

Obten la matriz inversa en los casos que se pueda.

Ejercicio 6. Resuelve, por el metodo de Gauss, los siguientes sistemas de ecuacioneslineales:

(a)

x− 3y + z = −22x + y − z = 6x + 2y + 2z = 2

; (b)

x + y + z + t = −2x− y − z + t = −4x− y + z + t = −6x + y − z + t = 0

; (c)

3x + y − z = 10x− 2y − z = −2−x + y + z = 02x− y − 3z = 7

;

(d)

2x + 3y − z = 0x− y + z = 0x + 9y − 5z = 0

(e)

x + 2y + z + 2t + 4u = 4−2x− 4y − z − 3t− 6u = −62x− 4y + t + 4u = 43x + 6y + z + 4t + 7u = 8

; (f)

2x + y − z + t = 0x + 2y + z − t = 03x− y − 2t = 0

;

Ejercicio 7. Discute, segun los valores reales de los parametros, los siguientes sistemaslineales:

(a)

x− 3y + 5z = 22x− 4y + 2z = 15x− 11y + 9z = k

; (b)

x + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1

; (c)

x− 2y + 3z = 12x + ky + 6z = 6−x + 3y + (k − 3)z = 0

;

(d)

y + z = 2x + y + z = ax + y + a = 2

; (e)

ax + by + z = 1ax + y + bz = 1ax + y + z = b

; (f)

ax + by + z = 1x + aby + z = bx + by + az = 1

;

(g)

ax + by + 2z = 1ax + (2b− 1)y + z = 1ax + by + (b + 3)z = 2b− 1

(h)

x− y = 23x + 2y = 44x + y = a

; (i)

ax + ay + z = 1x + ay + z = ax + y + az = a

;

(j)

x− y − z + at = cx + y + z + t = 0x− y + z − t = 12x + y − z + t = −8

;

Resuelve, cuando sea posible, los que dependen de un unico parametro.

Ejercicio 8. Resuelve la ecuacion matricial Ax = b donde

2

A =

(1 −1

−1 1

)y (a) b =

( −11

)o (b) b =

(1

−1

)

Ejercicio 9. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:

(a)

1 0 12 1 03 1 0

X =

6 4 27 6 510 8 6

(b) X

1 −2 20 1 01 −1 1

=

1 0 1−2 1 0

1 3 −2

(c)

1 2 −1 −1−1 −1 −2 0

1 1 1 00 1 1 −1

X =

−4 6 2 2−2 −2 1 4

0 3 0 −22 0 −1 −2

Ejercicio 10. Siendo A =

(1 23 m

), m ∈ R, encuentra todas las matrices B

cuadradas de orden 2 tales que AB = 0.

Ejercicio 11. Obten todas las matrices B que conmutan con la matriz diagonal

D =

(x 00 y

)con x, y ∈ R.

Ejercicio 12. Encuentra todos los polinomios p(x) de grado 2, con coeficientes reales,tales que:

(a) p(1) = 2, p(−1) = 4 y p(3) = 16; (b) p(1) = p(−1) = 0

Ejercicio 13. Elimina parametros en las siguientes ecuaciones parametricas:

(a)

x = 1 + αy = 2 + αz = 1− 3α

; (b)

x = 1− 3α + βy = α− 2βz = 2 + β

; (c)

x = αy = βz = γ

;

(d)

x1 = a + 2b− cx2 = a− bx3 = 3bx4 = b + cx5 = a− b + 2c

; (e)

x1 = a + b + 2cx2 = a + 2b + 3cx3 = a + cx4 = 0x5 = a− b

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