Sistemas de ecuaciones lineales: Ejercicios · PDF fileHertz, sobre las ecuaciones de Maxwell...
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http://perso.wanadoo.es/timonmate Juan J. Pascual 1/3 Método de sustitución: 1) Resuelve: 4x 3y 1 3x 2y 5 + = − =− Despejamos la x de la 1ª ecuación (podríamos haber elegido también la 2ª ecuación) y lo obtenido lo llevamos a la ecuación 2ª: 1 3y 4x 3y 1 x 4 3x 2y 5 3x 2y 5 1 3y 3 2y 5 4 3 9y 8y 20 7y 23 23 y 17 − + = = ⇒ − =− − =− ⇓ − − =− ⇒ ⇒ − − =− ⇒− =− ⇒ ⇒ = Llevamos el valor de y a la 1ª ecuación: 23 17 69 1 3 1 3y 17 17 x x 4 4 4 − − − = ⇒ = = = 52 13 :4 x 17 17 − = ⇒ =− Solución: ( ) 13 23 x,y , 17 17 =− 2) Resuelve: 4x 1 5y 3 2 2x 3y 6 4 − + =− − = Quitamos los denominadores: 30y 4x 3 3 3 2 2x 3y 24 4 4 − + =− ⇒ − = 4x 30y 3 2x 3y 24 − + =− ⇒ − = Ahora procedemos de la manera acostumbrada: Despejamos la x de la 2ª ecuación: 4x 30y 3 3y 24 2x 3y 24 x 2 − + =− + − = ⇒ = Llevamos este resultado a la 1ª ecuación: 4x 30y 3 − + =− ⇒ 3y 24 4 30y 3 2 + ⇒− + =− ⇒ ( ) 2 3y 24 30y 3 ⇒− + + =− ⇒ 15 24y 45 y 8 ⇒ = ⇒ = Uno no puede evitar la sensación de que esas ecuaciones matemáticas tienen una existencia independiente de la existencia propia, de que son más sabias que nosotros, más sabias aún que sus descubridores, de que podemos obtener de ellas más de lo que en ellas se puso. Hertz , sobre las ecuaciones de Maxwell Sistemas de ecuaciones lineales Ejercicios resueltos
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http://perso.wanadoo.es/timonmate
Juan J. Pascual 1/3
MMééttooddoo ddee ssuussttiittuucciióónn::
1) RReessuueellvvee: 4x 3y 1
3x 2y 5
+ = − =−
DDeessppeejjaammooss llaa xx ddee llaa 11ªª eeccuuaacciióónn
((ppooddrrííaammooss hhaabbeerr eelleeggiiddoo ttaammbbiiéénn
llaa 22ªª eeccuuaacciióónn)) yy lloo oobbtteenniiddoo lloo
lllleevvaammooss aa llaa eeccuuaacciióónn 22ªª::
1 3y4x 3y 1 x
43x 2y 5
3x 2y 5
1 3y 3 2y 5
4
3 9y 8y 20 7y 23
23y
17
− + = = ⇒ − =− − =−
⇓
− − =− ⇒
⇒ − − =− ⇒− =− ⇒
⇒ =
LLlleevvaammooss eell vvaalloorr ddee yy aa llaa 11ªª
eeccuuaacciióónn::
23 17 691 31 3y 17 17x x
4 4 4
−− − = ⇒ = = =
52 13: 4 x
17 17
−= ⇒ =−
SSoolluucciióónn::
( )13 23
x, y ,17 17
= −
22)) RReessuueellvvee:
4x 15y
3 22x 3y
64
− + =− − =
QQuuiittaammooss llooss ddeennoommiinnaaddoorreess::
30y4x 3
3 3 22x 3y 24
4 4
− + =− ⇒ − =
4x 30y 3
2x 3y 24
− + =−⇒ − =
AAhhoorraa pprroocceeddeemmooss ddee llaa mmaanneerraa
aaccoossttuummbbrraaddaa::
DDeessppeejjaammooss llaa xx ddee llaa 22ªª eeccuuaacciióónn::
4x 30y 3
3y 242x 3y 24 x
2
− + =− + − = ⇒ =
LLlleevvaammooss eessttee rreessuullttaaddoo aa llaa 11ªª
eeccuuaacciióónn::
4x 30y 3− + =− ⇒
3y 244 30y 3
2
+ ⇒− + =− ⇒
( )2 3y 24 30y 3⇒− + + =− ⇒
1524y 45 y
8⇒ = ⇒ =
Uno no puede evitar la sensación de que esas ecuaciones matemáticas tienen una existencia independiente de la existencia propia, de que son más sabias que nosotros, más sabias aún que sus descubridores, de que podemos obtener de ellas más de lo que en ellas se puso.
Hertz, sobre las ecuaciones de Maxwell
SSiisstteemmaass ddee eeccuuaacciioonneess lliinneeaalleess
EEjjeerrcciicciiooss rreessuueellttooss
SISTEMAS DE ECUACIONES. PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS 2º ESO
Juan J. Pascual 2/3
LLlleevvaammooss eell rreessuullttaaddoo aa llaa 22ªª
eeccuuaacciióónn::
153 24
3y 24 8x x
2 2
+ + = ⇒ = ⇒
237x
16⇒ =
SSoolluucciióónn::
( )237 15
x, y ,16 8
=
MMééttooddoo ddee iigguuaallaacciióónn::
33)) RReessuueellvvee: 4x 3y 1
3x 2y 5
+ = − =−
DDeessppeejjoo llaa mmiissmmaa iinnccóóggnniittaa ddee llaass
ddooss eeccuuaacciioonneess,, ppoorr eejjeemmpplloo,, llaa xx::
1 3y
x4x 3y 1 45 2y3x 2y 5
x3
− = + = ⇒ − +− =− =
AAhhoorraa iigguuaalloo aammbbaass eexxpprreessiioonneess::
1 3y 5 2y
4 3
− − += ⇒
3 9y 20 8y⇒ − =− + ⇒ 23
17y 23 y17
⇒− =− ⇒ =
PPoorr úúllttiimmoo,, lllleevvoo eessttee rreessuullttaaddoo aa llaa
11ªª eeccuuaacciióónn::
231 3
1 3y 17x x
4 4
− − = ⇒ = ⇒
52 13x : 4 x
17 17
−⇒ = ⇒ =−
SSoolluucciióónn::
( )13 23
x, y ,17 17
= −
44)) RReessuueellvvee:
5x 2y 3
3x y1
2
− + =− − =
DDeessppeejjoo llaa mmiissmmaa iinnccóóggnniittaa eenn llaass
ddooss eeccuuaacciioonneess.. EEnn eessttee ccaassoo vvooyy aa
ddeessppeejjaarr llaa yy::
5x 2y 3 3 5x
y23x y
1 y 3x 22
− + =− − + = ⇒ − = = −
AAhhoorraa iigguuaallaammooss aammbbaass
eexxpprreessiioonneess yy ddeessppeejjaammooss xx::
3 5x
3x 22
− += − ⇒
3 5x 6x 4 x 1− + = − ⇒ =
PPoorr úúllttiimmoo,, lllleevvaammooss eessttee rreessuullttaaddoo
aa llaa 22ªª eeccuuaacciióónn::
y 3x 2 y 3 1 2 y 1= − ⇒ = ⋅ − ⇒ =
SSoolluucciióónn::
( ) ( )x,y 1,1=
MMééttooddoo ddee rreedduucccciióónn::
5) RReessuueellvvee: 4x 3y 1
3x 2y 5
+ = − =−
Manipulando convenientemente las ecuaciones conseguiremos que una de las dos incógnitas se cancele y obtengamos así los valores buscados.
MATEMÁTICAS 2º ESO SISTEMAS DE ECUACIONES. PROBLEMAS RESUELTOS
Juan J. Pascual 3/3
4x 3y 1 8x 6y 2
3x 2y 5 9x 6y 15
+ = + = ⇒ ⇒ − =− − =−
8x 6y 2
9x 6y 15
13 17x 13 x
17
+ =⇒
− =−
=− ⇒ =
−
Obtengo y sustituyendo x en la 1ª ecuación:
134x 3y 1 4 3y 1
17
+ = ⇒ − + = ⇒
521
13 174 3y 1 y17 3
+ ⇒ − + = ⇒ = ⇒
23y
17⇒ =
SSoolluucciióónn::
( )13 23
x, y ,17 17
= −
66)) RReessuueellvvee: 2x 7y 2
5x 2y 1
+ = − =−
Quiero que la x se cancele.
2x 7y 2 10x 35y 10
5x 2y 1 10x 4y 2
+ = − − =− ⇒ ⇒ − =− − =−
10x 35y 10
10x 4y 2
4 39y 12 y
13
− − =−⇒
− = −
=− ⇒ =
−
Ahora hallo x. Para ello sustituyo el valor de la y en la 1ª ecuación:
42x 7y 2 2x 7 2
13
+ = ⇒ + = ⇒
42 7
113x x
2 13
− ⇒ = ⇒ =−
SSoolluucciióónn::
SSoolluucciioonneess::
( )1 4
x, y ,13 13
= −
Ejercicio avanzado propuesto:
7) RReessuueellvvee:
4x 2y z 3
x y 2z 7
2x 5y z 5
− − =−− + + = − + =−
Las soluciones tienen que ser (x, y, z) = (1, 2, 3)
multiplico todo por 2
multiplico todo por 3 multiplico por 2
multiplico por –5
