SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATEMÁTICA II Prof. Edgardo Di Dio.
63
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATEMÁTICA II Prof. Edgardo Di Dio
-
Upload
maria-ayala-morales -
Category
Documents
-
view
217 -
download
0
Transcript of SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATEMÁTICA II Prof. Edgardo Di Dio.
SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
MATEMÁTICA II
Prof. Edgardo Di Dio
Es importante que puedas:
Expresar ideas y relaciones matemáticas utilizando la terminología y notación apropiadas.Utilizar algoritmos para efectuar operaciones.Saber decidir cuál es el procedimiento más oportuno en cada situación.Analizar conjuntos de datos e informaciones y reconocer y descubrir relaciones.
Saber interpretar correctamente una representación gráfica para expresar un concepto y resaltar las características más relevantes.
Decodificar e interpretar el lenguaje simbólico y formal y comprender sus relaciones con el lenguaje natural
Verificar conclusiones y realizar inferencias empleando distintas formas de razonamiento
Sistematizar y resumir conclusiones de un trabajo realizado e interpretar las ideas matemáticas presentes en él
Elaboración correctamente tus representaciones
Reflexionar y ofrecer tus resultados
Repasemos lo hecho en la ultima clase
1 2a 2b 3a 3b 3c 3d
4a 4b 5 6 7a 7b
Teorema de Rouché Frobenius
Lo aprendido MatricesOperaciones con matrices Determinantes Matriz inversa Rango de una matriz Clasificación de los sistemas lineales Resolución de Sistemas de Ecuaciones
Lineales aplicando la matriz inversa
1a.-María efectuó los días lunes, martes y miércoles, llamadas de varios pulsos en tres localidades diferentes del gran Buenos Aires . El jueves, pensó en cuál de las tres el pulso tenía el menor precio y no pudo recordarlo. Después de pensar, registró :
Vamos a formular un modelo matemático para resolver la situación y poder determinar cuanto abonó por pulso en cada localidad
X+Y+Z=11
2X+Y+Z=17 MODELO LINEAL
3X+2Y+Z=24
L1 L2 L3
Lunes 1 1 1
Martes 2 1 1
Miércoles 3 2 1
Preciodel
pulso
Localidad 1 x
Localidad 2 Y
Localidad 3 z
gasto
Lunes 11
Martes 17
Miércoles 24
Vamos a formular un modelo matemático para resolver la situación y poder determinar cuanto abonó por pulso en cada localidad
Llamamos Precio
del pulso
Localidad 1 x
Localidad 2 Y
Localidad 3 z
X+Y+Z=112X+Y+Z=17 MODELO LINEAL
3X+2Y+Z=24
L1 L2 L3 Gasto
Lunes 1 1 1 11Martes 2 1 1 17Miércoles 3 2 1 24
El sistema queda definido por:
A X = B
X+Y+Z=112X+Y+Z=17 MODELO LINEAL 3X+2Y+Z=24
DEBEMOS HALLAR LA INVERSA DE PARA RESOLVER EL SISTEMA
La inversa de A:Por regla de Sarrus puedes calculamos el
determinante de A , det A=1 Procedemos a calcular la matriz inversa Trasponemos y calculamos la adjunta de
A ,teniendo en cuenta los menores complementarios
Adj A
INVERSA DE A
RESOLVEMOS EL SISTEMA:
El precio del pulso de la localidad 1 es 6 um , El precio del pulso de la localidad 2 es 1 um y el de la última localidad es de 4 um
Verifiquemos en nuestra computadora
2 a) El teorema de Cramer se aplica en el siguiente razonamiento
yxz
zyx
zyx
422
222
0
BXA Si BAXAA 11 BAXI 1
BAX 1 de manera que en el sistema de ecuaciones
donde la matriz de coeficientes es
212
212
111
A
ordenado resulta
422
222
0
zyx
zyx
zyx
Las incógnita
s conforma
n la matriz
z
y
x
X
y la columna de términos
independientes conforma la
matriz
4
2
0
BBuscamos
ahora la inversa de la matriz A
Para transformar aplicaremos el método de Gauss Jordan
2 b2 b
Conformamos un esquema con la matriz A a la izquierda y una matriz unidad de igual clase que A al la derecha
A I
Luego de sucesivas operaciones elementales en ambas matrices
I A-1 212
212
111
100
010
001
0
0
111 001
3112
1
- 3
4112
2
- 4
2112
0
- 2 1102
1
1
0102
0
0
11
121
1
01
122
0
21
120
2
01
020
0 11
021
1
2 b2 b
100
010
001
43
411
3400
3410
3101
131
34
031
32
031
31
3434
34
32
36
34
32
2
2
3431
34
31
031
31
0
34
134
0 110
1
3434
31
31
031
31
0
3431
31
31
121
31
41
41
34
131
041
41
I =
= A-
1
43
411
102
41
410
1A
2 b2 b
010
430
111
102
012
001
00
3410
01
031
32
341
1)(
31
34
1
31
321
1)(
31
32
1
31
31
311
0
31
0301
0
0
34
341
0
)(
34
321
2)(
34
32
2
34 3
1311
0
3
11
301
1
1
2 b2 b
Conocida A-1 efectuamos el producto
XBA 1
43
411
102
41
410
4
2
0
)()()( 441
241
00 121
021
21 )()( 412002 400 4
4y
)()()()( 443
241
01 321
027
27
XBA 1
La matriz X es
z
y
x
X De los resultado obtenidos tenemos que
21x
4
27z
Te propongo que verifiques en la consigna que estos resultados son correctos.
2 b2 b
2 b) La Regla de Cramer es la aplicación generalizada para n incógnitas del método de los determinantes
153
123
045
zwyx
wz
wzyx
wzyx
Para resolverordenamos el sistema
153
000
123
045
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
y lo clasificamos
Sistema de 4 ecuaciones con
4 incógnitas
conformamos cada uno de los
determinantes
1513
1100
1231
1451
1511
1100
1231
1450
x
1513
1100
1211
1401
y
1113
1000
1131
1051
z
1513
0100
1231
0451
w
Resolvemos y por el desarrollo de los elementos de un línea
Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores
nulos)
151
121
140
01 13)(
153
121
141
01 23)(
111
111
101
11 33)(
513
211
401
11 43)( 00
Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
)( 111 111)(
1y
1513
1100
1211
1401
y
Y resolvemos cada uno de los determinantes
Aplicando el método del desarrollo por los elementos de una línea
1513
1100
1231
1451
Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores
nulos)
151
123
145
01 13)(
153
121
141
01 23)(
113
131
151
11 33)(
513
231
451
11 43)(
Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos
resultados son 0 00 )( 411 2811)(
32
Elevamos (-1) a la suma del orden fila y columna del elemento que reemplazamos multiplicamos por el
elemento que reemplzamos (0 en el primer caso)y luego por el determinante que resulta de suprimir la fila y la columna que contiene el elemento “elegido”
Resolvemos x por el desarrollo de los elementos de un línea
1511
1100
1231
1450
x
Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores
nulos)
151
123
145
01 13)(
151
121
140
01 23)(
111
131
150
11 33)(
511
231
450
11 43)( 00
Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
)( 411 1911)(
23x
Resolvemos z por el desarrollo de los elementos de un línea
Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores
nulos)
151
123
045
01 13)(
153
121
041
01 23)(
113
131
051
11 33)(
513
231
451
11 43)( 00
Los dos primeros términos y el último son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos
que esos resultados son 0
)()( 611
6z
1513
0100
1231
0451
w
0
Resolvemos z por el desarrollo de los elementos de un línea
Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores
nulos)
111
113
105
01 13)(
113
111
101
01 23)(
113
131
151
01 33)(
113
131
051
11 43)( 000
Los tres primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
)()( 611
6z
1113
1000
1131
1051
z
xx
yy
zz
3223
3223
321
321
326
326
ww
326
326
Verificamos los resultados
153
000
123
045
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
1326
326
5321
3223
3
0326
326
321
03223
0
1326
326
2321
33223
0326
326
4321
53223
)()(
)()()(
)()(
)()(
Teorema de Rouché FrobeniusEn un sistema de m ecuaciones con n incógnitas
mnmnnmnmm
mnnmnnmmm
nnnn
nnnn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
112211
11111212111
22112222121
11111212111
..........
..........
.................................................................................
...............................................................................
..........
..........
Definimos como matriz de coeficientes (A), a la matriz conformada por todos los coeficientes de las variables del sistema, ordenados
según el mismo orden del sistema
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
.....
................
................
.....
.....
21
22212
11211
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
......
......................
......................
......
......
´
21
222212
111211
Si a la matriz de coeficientes (A) le agregamos la columna de los resultados del sistema como última
columna, tenemos la matriz ampliada (A´)
Para operaciones elementales y
determinantes ver unidad I
3a 3b 3c 3d 4a 4b 5 6 7a 7b
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
.....
................
................
.....
.....
21
22212
11211
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
......
......................
......................
......
......
´
21
222212
111211
La matriz A es de clase (m x n) )(mxnA
La matriz A´ es de clase m x (n+1)
))1((´ nmxA
Encontradas las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A´), debemos hallar el rango de cada una de ellas (por cualquier método
apropiado, ver TP7)´)()( AA rr El sistema tiene
soluciónsi además
incógnitasdenrr AA º´)()( El sistema es Compatible determinadoadmite solución
únicaincógnitasdenrr AA º´)()( El sistema es Compatible
indeterminadoadmite infinitas soluciones
´)()( AA rr El sistema es Incompatible
NO tiene solución
3a 3b 3c 3d 4a 4b 5 6 7a 7b
3 a) Para resolver
3235
822
1
zyx
zyx
zyx
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para aplicar las operaciones
elementales, conformamos primero la matriz de
coeficientes
235
212
111
y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada3
8
1
0
0
111 13
112
1
3
4112
2
4
101
128
)(
10 2115
3
2
3115
2
81
153
)(
3 8
00
3410
01
310
341
1)(
31
34
1
31
3101
137
310
1 3
7
342
3)(
31
38
3
31
3102
834
320
8 34
3 d3 d3 c3 c3 b3 b
3100
3410
3101
34
3103
7
100
010
001
4
31
34
4
3134
34
310
236
316
310
3134
31
37
133
34
37
2
1
El rango de la matriz coeficientes
es 3 Y el rango de la matriz ampliada también es 3
´)A()A( rr el número de incógnitas es igual al rango de ambas matricesincógnitasºnrr ´)A()A( Sistema compatible Sistema compatible
determinadodeterminado1x 2y 4z
Te sugerimos que verifiques estos resultados . . .
(admite un solo conjunto (admite un solo conjunto solución)solución)
3 d3 d3 c3 c3 b3 b
3 b) Para resolver
1334
2543
6
zy
yx
zx
sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitasescribimos el sistema completo y ordenado
13340
25043
60
zyx
zyx
zyx
Para aplicar las operaciones elementales, conformamos
primero la matriz de coeficientes
Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada
340
043
101
13
25
6
0
0
101 6
4103
4
4 3113
0
3 7 7163
25
4100
4
4
3110
3
3
13160
13
13
00
4310
01
4
7 11
301
)(1
6170
6
6
04
343
)(0 20
474
13
20
3 d3 d3 c3 c
000
4310
101
20
47
6
El próximo pivote debe elegirse en la 3º fila 3º
columna, pero ese elemento es 0 (no puede
ser pivote)
Significa que las operaciones elementales posibles concluyeronY quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (a menos uno de sus elementos es distinto de 0)
2)A(r
3´)A(r pero en la matriz ampliada hay tres filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)
´)A()A( rr Sistema Sistema incompatibleincompatible
Este sistema no tiene soluciónEste sistema no tiene solución
3 d3 d3 c3 c
3 c) Para resolver
7423
3332
102
tzyx
tzyx
tzyx
sistema de tres ecuaciones con cuatro
incógnitasPara aplicar las operaciones elementales, conformamos
primero la matriz de coeficientes
Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada
1423
3312
2111
7
3
10
0
0
2111 10
11
121
)(
1
1112
3
17
122
3
7
231102
3
23
11
132
)(1 1113
4
1
7123
1
7
231103
7
23
3 d3 d
7110
7110
2111
23
23
10
00
7110
01
23
21
111
2
51
712
)(
513
1231
10
)(13
0111
1
0 01
717
)(00
1231
23
)(0
El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra ó 4ta columna, pero esos elementos son 0
(no pueden ser pivote)
Significa que las operaciones elementales posibles
concluyeron
quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0)
2)A(r
2´)A(r y en la matriz ampliada también hay dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0)
3 d3 d
Si
´)A()A( rr Sistema compatible
Este sistema admite infinitas Este sistema admite infinitas solucionessoluciones
2)A(r 2´)A(r
pero incógnitasdeºnrr ´)A()A( Sistema compatible Sistema compatible indeterminadoindeterminado
0000
7110
5201
0
23
13
237
1352
tzy
tzx
despejamos y tzy 723
despejamos x tzx 5213
confeccionamos una tabla de valores para
encontrar diferentes soluciones, asignándole
valores a z y t, encontramos x e
y
x y z t
S1 0 0-13 -23
S2 1 1-10 -17
S3 0 1-8 -16
Para resolver el sistema “recomponemos” un sistema de ecuaciones con las matrices coeficiente
y ampliadas halladas
3 d3 d
3 d) Para resolver
4410622
3253
tuzyx
tuzyx
sistema de tres ecuaciones con cuatro
incógnitasPara aplicar las operaciones elementales,
conformamos primero la matriz de coeficientes
410622
25311
4
3
0
25311 3
01
122
)(
0
0132
6
00
152
10
)(
00
122
4
0
2132
4
2El próximo pivote debe elegirse en la 2da fila 2da, 3ra, 4ta ó 5ta columna, pero esos
elementos son 0 (no pueden ser pivote)
Significa que las operaciones elementales posibles
concluyeronY queda evidenciada en la matriz de coeficientes una fila linealmente independiente (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)
1)A(r
2´)A(rpero en la matriz ampliada hay dos filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)
´)A()A( rr Sistema Sistema incompatibleincompatible
Este sistema no tiene soluciónEste sistema no tiene solución
y la matriz ampliada
4 a) Para resolver un sistema homogéneo, trabajamos como si fuera un sistema normal
02
023
02
zyx
zyx
zyx
Sabiendo que el sistema homogéneo
será siempre compatible
Solo nos queda analizar si admite soluciones diferentes
de la trivial (todas las variables igual a cero)
sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas
Analizaremos en este caso la matriz coeficiente y la ampliada solamente para visualizar mejor el rango de ellas
211
123
112
0
0
0
211
0
0
0
11
121
)(
1
1112
1
1
0102
0
0
51
132
)(
5
1123
1
1
0103
0
0
4 b4 b
0
0
0
211
150
110
01
00
110
41
151
)(
4
0
0105
0
11
112
)()(
0
1
01
010
)(
0
001
100
010
0
04
010
)(
0
0401
0
0
El rango de la matriz de coeficientes es 3
3)( ArPor ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre)
incógnitasdeºnr )A(
Este sistema homogéneo admite solamente solución Este sistema homogéneo admite solamente solución trivialtrivial
0 zyx
4 b4 b
4 b) Para resolver un sistema homogéneo, trabajamos como si fuera un sistema normal
zyx
zyx
yzx
987
0654
23
ordenamos el sistema
0987
0654
032
zyx
zyx
zyx
987
654
321
0
0
0
3124
5
0
0
321 0
3
6134
6
6
0104
0
0 6127
8
6
12137
9
12
0107
0
0
00
210
01
0
1362
3
)(
1 0
0
366
12)()(
336
1212
0
0
El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra columna, pero esos elementos
son 0 (no pueden ser pivote)
las operaciones elementales
posibles concluyeron
0302
0
0306
0
0000
0210
0101
Recomponemos el sistema de ecuaciones, proponiendo un sistema de ecuaciones equivalente
02
0
zy
zx
del “nuevo” sistema podemos despejar x en función de z e y en función de z
zx
zy 2
El rango de la matriz de coeficientes es 2
2)A(rpor ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre)
incógnitasdeºnr )A(
Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la trivialtrivial Este sistema admite infinitas Este sistema admite infinitas
solucionessoluciones
Y confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes soluciones; asignándole valores a z , encontramos
x e y
x y z
S1 11 -2
S2 -1
-1 2
S3 00 0
5) Para determinar, si existen los valores de m R, tales que el sistema sea : a) compatible determinado, b)Incompatible y c) Compatible indeterminado
0
1
1
zymx
mzyx
zyx Efectuamos transformaciones elementales por
Gauss-Jordan
11
11
111
m
m
0
1
1
0
0
111 1 0111
1
0
1111
mm
1m
2111
1
2m
m
1
11
1m1 mm
11
11m1 m
m
11
0m
110
00
01
mm
1
01
1)1(1
m
m0
mmmm
mm
11
11
11
1m1
1
mmmm
1
)1()1()1(
0
m1
mm
mmmmm
2
)1()1(
2)1(
)1(2
m 2
Transcribimos el resultado de la última transformación
110
010
001
m
mm
m
m
1
2
11
Podemos apreciar claramente que:
Si m = 1, el elemento de la 2º fila, 2º columna de la matriz de coeficientes es 0, con ese elemento se hace 0 toda la 2º fila de la matriz de coeficientes
Pero m = 1 no hace cero el elemento de la 4º columna (matriz ampliada) y 2º fila
Por lo que si m = 1
´)()( AA rr Sistema incompatibleSistema incompatible
Para cualquier otro valor de m
incógnitasdenrr AA º´)()(
Sistema compatible Sistema compatible determinadodeterminado
6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ?
Tengo tres informaciones que relacionan los datos conocidos
2) El promedio de sus edades es 18,5.
3) la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años
1) Hay 32 estudiantes cuyas edades son 18, 19 y 20 años
Si la cantidad de estudiantes
que tiene
18 años es x19 años es y20 años es z
32 zyx
51832
,
multiplicamos cada una de las edades por la cantidad de
estudiantes que tienen esas edades y sumamos los
productoszyx 201918
y dividimos por el total de estudiantes para hallar el promedio de las edades
6 zyx
Con las tres ecuaciones planteadas, puedo conformar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
6
51832
20191832
zyx
,zyx
zyxque ordenado queda :
6
592201918
32
zyx
zyx
zyx
261321
6
6
592201918
32
zyx
zyx
zyx
111
201918
111
6
592
32
0
0
111 321
1118
19
12
1118
20
2
1613218
592
16
2111
1
2
2111
1
2 26
00
210
01
16
1121
1
1
161161
32
16
21
222
2
61
16226
6
100
010
001
3
192
6116
19
10262
16
10
Las matrices coeficientes y ampliada equivalentes luego de las transformaciones elementales resultan:
3
10
19
100
010
001 El rango de la matriz de coeficientes es 3
3)A(r
El rango de la matriz ampliada también es 3
3´)A(r
´)A()A( rr el número de incógnitas es igual al rango de ambas matricesincógnitasºnrr ´)A()A( Sistema compatible Sistema compatible
determinadodeterminado
19x
10y
3z
Te sugerimos que verifiques
estos resultados . . .
(admite un solo conjunto (admite un solo conjunto solución)solución)
Resolvemos el sistema de ecuaciones, recomponiendo un sistema equivalente con la matriz de coeficientes y ampliada encontradas luego de las transformaciones
elementales
300
1000
1900
zyx
zyx
zyx
7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?.
b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ?
c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ?
Al analizar los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz amplidas de cualquier sistema, en principio, pueden suceder dos cosas :
que sean iguales que no sean iguales´)A()A( rr ´)()( AA rr
Si los rangos no son iguales El sistema es El sistema es incompatible no tiene incompatible no tiene
soluciónsoluciónSi los rangos son iguales incógnitasdenrr AA º´)()(
El sistema es compatible El sistema es compatible indeterminado tiene múltiples indeterminado tiene múltiples
solucionessoluciones7 b7 b
7 b) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas y además es homogéneo
Por ser homogéneo, sabemos que los rangos no pueden ser
diferentes, luego los rangos son iguales
´)()( AA rr
Por la condición de la consigna, al ser el número de ecuaciones menor que el número de incógnitas, necesariamente el rango es menor que el número de incógnitas
Entonces el sistema es compatible determinado, al ser Entonces el sistema es compatible determinado, al ser homogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la homogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la
trivialtrivial
8 a) Para resolver inecuaciones, en general, las tratamos a cada inecuación como una ecuación y la representamos gráficamente
3
0
y
x
xy
Trazamos primero un par de ejes coordenados
Luego analizamos la inecuación y > x como si se tratar de y = x
Pero con trazos punteados porque no están incluidos los valores de y = x entre los que buscamos sino los
de y > xsombreamos el semiplano que verifica
y > xluego graficamos la región que verifica x
> 0Se aprecian cuatro regiones con diferentes sombras:
El sombreado verde representa la primera inecuación
El sombreado claro representa la segunda inecuación
Se verifican ambas condiciones donde hay
sombreado doble
No se verifican ninguna de las condiciones donde no hay sombreado
8 d8 d8 c8 c8 b8 b
Finalmente representamos la tercera inecuación y < 3
Queda determinada una región con triple sombreado, y es precisamente esa la zona del conjunto solución del sistema Tengamos presente que esta es una
región “abierta” porque las líneas que delimitan la región no están incluidas en el conjunto solución
Por ejemplo el punto (1; 2) es una solución del sistema
3
0
y
x
xy
32
01
12
Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo dos de las condiciones pero no la tercera
36
02
26
Te queda para practicar proponer la ubicación de los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones ó solo una ó ninguna
como también encontrar otros puntos que verifiquen el sistema de inecuaciones 8 d8 d8 c8 c8 b8 b
8 b) Para resolver inecuaciones, en general, las tratamos a cada inecuación como una ecuación y la representamos gráficamente
1
3
5
y
xy
xy
Trazamos primero un par de ejes coordenados
Luego analizamos la inecuación y < 5 - x como si se tratara de y = 5 - x
con trazos punteados porque no están
incluidos los valores de y = 5 - x entre los que
buscamos sino los de y < 5 - xsombreamos el semiplano que verifica y <
5 - xluego graficamos la región que verifica y x
+ 3Se aprecian cuatro regiones con diferentes sombras:
El sombreado verde representa la primera inecuaciónEl sombreado marrón representa la segunda inecuación
Se verifican ambas condiciones donde hay
sombreado doble
No se verifican ninguna de las condiciones donde no hay sombreado
8 d8 d8 c8 c
Finalmente representamos la tercera inecuación y 1
Queda determinada una región con triple sombreado, y es precisamente esa la zona del conjunto solución del sistema
Por ejemplo el punto (1; 3) es una solución del sistema
1
3
5
y
xy
xy
13
313
153
Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo la tercera condición pero no las otras dos
16
326
256
esta es una región “abierta” en la línea verde pero “cerrada” en las
otras dos
Te queda para practicar proponer la ubicación de los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones ó solo una ó ninguna
como también encontrar otros puntos que verifiquen el sistema de inecuaciones
8 d8 d8 c8 c
8 c) tenemos un sistema formado por una inecuación y una ecuación
22
4
xy
xxyque ordenada queda
22
42
xy
xy
Trazamos primero un par de ejes coordenados
Luego analizamos la inecuación y 2x - 4 como si se tratara de y = 2x - 4
sombreamos todo el semiplano que verifica la condición y 2x - 4
Representamos gráficamente
22
x
y
Las soluciones de este sistema deben verificar ambas condiciones:
Pertenecer al semiplano sombreado
Pertenecer a la recta
Verifican ambas condiciones los puntos de la recta que están en la región del semiplano
Por ejemplo el punto (6, 5)
8 d8 d
8 d) tenemos un sistema formado por dos ecuaciones y una inecuación
147
846
323
1
21
21
x
xx
xxque ordenada queda
7
223
23
23
1
12
12
x
xx
xx
Trazamos primero un par de ejes coordenadosRepresentamos gráficamente 2
323
12 xx
Representamos gráficamente
223
12 xx
Luego analizamos la inecuación x1 7 como si se tratara de x1 = 7
sombreamos todo el semiplano que verifica la condición x1 7
Las soluciones de este sistema deben verificar las tres condiciones
Pero las rectas paralelas no tienen puntos en común, luego este sistema NO TIENE SOLUCION
Guía de ejercicios Nº2 Sistemas de Ecuaciones Lineales
1 a) María efectuó los días lunes, martes y miércoles, llamadas de varios pulsos en tres localidades diferentes del gran Buenos Aires . El jueves, pensó en cuál de las tres el pulso tenía el menor precio y no pudo recordarlo. Después de pensar, registró:
L1 L2 L3 Gasto
Lunes 1 1 1 11Martes 2 1 1 17Miérc. 3 2 1 24
Construir un modelo que permita determinar el valor de los pulsos y resolver aplicando el método matricial
1b) José los días lunes, martes y miércoles, fotocopió varias páginas en tres fotocopiadoras diferentes. Registró lo que gastó en dos tablas :
Escriba un modelo matemático que permita calcular los precios unitarios de cada fotocopiadora. Calcule utilizando el método de la matriz inversa.
F1 F2 F3
Lunes 15 20 40
Martes 0 25 50
Miércoles 26 40 8
precio
Fotocopiadora 1
x
Fotocopiadora 2
Y
Fotocopiadora 3
z
gasto
Lunes 2,80
Martes 2,75
Miércoles 2,56
la matriz
84026
50250
402015
A
la matriz
z
y
x
X la matriz
56,2
75,2
80,2
B
2) Resolver en R, si es posible, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, aplicando: a). Teorema de Cramer y b) Regla de Cramer
yxz
zyx
zyx
a
422
222
0
)
153
123
045
)
zwyx
wz
wzyx
wzyx
b
3) Dados los sistemas lineales :
3235
822
1
)
zyx
zyx
zyx
a
1334
2543
6
)
zy
yx
zx
b
7423
3332
102
)
tzyx
tzyx
tzyx
c
4410622
3253)
tuzyx
tuzyxd
a) Clasificarlos
b) Analizarlos aplicando el Teorema de Rouché Frobenius y, si es posible, determinar el conjunto solución de cada uno de ellos.
4) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
homogéneos :
02
023
02
)
zyx
zyx
zyx
a
zyx
zyx
yzx
b
987
0654
23
)
5) Determinar, si existen los valores de m R, tales que el
sistema
0
1
1
zymx
mzyx
zyx Sea: a) compatible determinado b)Incompatible
c) Compatible indeterminado
6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ?
7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?.
b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ?
c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ?
8) Resolver en R2 los siguientes sistemas de inecuaciones :
3
0)
y
x
xy
a
1
3
5
)
y
xy
xy
b
22
4) x
y
xxyc
147
846
323
)
1
21
21
x
xx
xx
d
Miscelánea Resolver el siguiente sistema :
Aunque suelen haber varias maneras de comenzar la resolución, antes comenzar a tomar un camino, lo mas conveniente puede ser operar entre ecuaciones buscando en lo posible filas dependientes, utilizando Gauss
Los tres planos se interceptan en el punto (1:-1;2)
Resolver
LOS PLANOS NO TIENEN
UN PUNTO EN COMÚN
