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Capítulo 1

Sistemas de ecuacioneslineales y matrices

1.1. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Considerese un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas x1; :::; xn:8><>:a11x1 + :::+ a1nxn = b1

...am1x1 + :::+ amnxn = bm

(1.1)

donde los coe�cientes aij para i = 1; :::;m y j = 1; :::; n y los terminos indepen-dientes bi son números reales o complejos o para decirlo de manera mas generalson elementos de un cuerpo (comutativo) arbitrario que vamos a llamar K ( enlas aplicaciones, K es R o C). Resolver este sistema va a consistir a encon-trar en K los valores de las incognitas x1; :::; xn para las cuales esas ecuacionesson satisfechas. En esta primera sección de este capítulo, vamos a estudiar lastécnicas permitiendonos saber si tal sistema admite una solución y en tal caso,encontrar todas las soluciones (en función de un numero de parametros).

1.1.1. Operaciones elementales.

Las técnicas que se usa para resolver tales sistemas de ecuaciones algebraicaslineales se basen sobre tres tipos de operaciones sobre las ecuaciones de unsistema:

a) En un sistema de ecuaciones, podemos replazar una de las ecuaciones por lasuma de esta ecuación y de un multiplo de otra ecuación sin modi�car

1

2 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

el conjunto de las soluciones. Asi, los sistemas:8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

P1(x1; :::; xn) = b1...

...Pi(x1; :::; xn) = bi

......

Pj(x1; :::; xn) = bj...

...Pm(x1; :::; xn) = bm

(1.2)

y 8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

P1(x1; :::; xn) = b1...

Pi(x1; :::; xn) + �Pj(x1; :::; xn) = bi + �bj...

Pj(x1; :::; xn) = bj...

Pm(x1; :::; xn) = bm

(1.3)

tienen las mismas soluciones.

b) En un sistema de ecuaciones, podemos intercambiar dos ecuaciones sinmodi�car el conjunto de soluciones. Asi, es claro que los sistemas:8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

P1(x1; :::; xn) = b1...

Pi(x1; :::; xn) = bi...

Pj(x1; :::; xn) = bj...

Pm(x1; :::; xn) = bm

y

8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

P1(x1; :::; xn) = b1...

Pj(x1; :::; xn) = bj...

Pi(x1; :::; xn) = bi...

Pm(x1; :::; xn) = bm

(1.4)

admiten las mismas soluciones.

c) En un sistema de ecuaciones, podemos multiplicar los dos miembrosde una ecuación por un elemento no-cero del cuerpo de base K sinmodi�car el conjunto de las soluciones . Asi, los sistemas8>>>>>><>>>>>>:

P1(x1; :::; xn) = b1...

Pi(x1; :::; xn) = bi...

Pm(x1; :::; xn) = bm

y

8>>>>>><>>>>>>:

P1(x1; :::; xn) = b1...

�Pi(x1; :::; xn) = �bi...

Pm(x1; :::; xn) = bm

(1.5)

admiten las mismas soluciones si � 6= 0:

1.1. SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES. 3

Las operaciones indicadas anterioramente son llamadas operaciones elemen-tales (sobre las ecuaciones de un sistema). En el caso de operación elemental detipo (c), el elemento � 2 K por lo cual multiplicamos una de las ecuaciones esllamado factor de la operación elemental.

1.1.2. Notacion matricial.

Para disfrutar del uso de las operaciones elementales para resolver un sistemade ecuaciones algebraicas lineales, es comodo de adoptar la siguiente notación:a un sistema arbitrario de m ecuaciones a n incognitas,8><>:

a11x1 + :::+ a1nxn = b1...

am1x1 + :::+ amnxn = bm

(1.6)

asociamos la tabla de los coe�cientes:0B@ a11 ::: a1n...

...am1 ::: amn

1CA (1.7)

que vamos a llamar matriz ( de los coe�cientes) del sistema; es una tabla dem renglones y n columnas. Cada linea corresponde a una ecuación del sistema.Notamos esta matriz (aij)1�j�m

1�i�no sencillamente (aij) cuando el numero de linea

e el numero de columnas son indicadas en el texto. Por convención, el primeroíndice es siempre el de las renglones y el segundo es siempre de las columnas.La entrada aij es entonces la entrada situada a la intersección entre la i-esimalinea y la j-iemsa columna.Consideramos también la siguiente tabla:0B@ a11 ::: a1n

......

am1 ::: amn

��b1...bm

1CA (1.8)

llamada matriz completa o matriz aumentada del sistema, obtenida adjuntandoa la matriz de los coe�cientes del sistema la columna de los terminos indepen-dientes.Como las ecuaciones del sistema corresponden a los renglones de la ma-

triz completa, las operaciones elementales descritas antes corresponden a opera-ciones sobre los renglones de la matriz completa.

1.1.3. Escalonada.

Theorem 1 Por una succesión de operaciones elementales sobre los renglones,podemos transformar cualquier matriz en una matriz U = (uij)1�j�m

1�i�nque tiene


la siguiente propriedad: el numero de entradas nulas al inicio de cada lineaaumenta a cada linea, el aumento es stricta para los renglones quien siguen unalinea no-cero, es decir que para i = 1; :::;m � 1 y k 2 N �jado, si uij = 0 porcualquier j � k, entonces ui+1;j = 0 para cualquier j � k + 1:

Una matriz U que tiene este tipo de propiedad es llamada matriz a renglonesescalonados. Si una linea de una tal matriz es cero, la condición induce que todaslos renglones siguientes son ceros. En una linea no-cero, la primera entrada no-cero es llamada el .el pivote" de la linea. Por ejemplo, la matriz siguiente es arenglones escalonados:

(aij)1�j�m1�i�n

=

0BBBB@0 1 2 3 4 50 0 0 6 7 90 0 0 0 9 100 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

1CCCCA (1.9)

Los pivotes de los renglones no-ceros son a12 = 1; a24 = 6; a35 = 9. A contrario,el siguiente ejemplo no es a renglones escalonados:0BB@

0 0 1 20 0 0 30 0 0 40 0 0 0

1CCA (1.10)

La matriz a renglones escalonados producida usando las operaciones elemen-tales sobre los renglones no son unica. Depende en particular de la elección delos pivotes como podemos verlo en los ejemplos siguientes.En esos ejemplos, vamos transformar la matriz haciendo operaciones elemen-

tales sobre los renglones para obtener una matriz a renglones escalonados (elpivote está encuadrado):0BB@

1 1 02 1 11 0 11 2 �1

1CCA!

0BB@1 1 0

0 -1 10 �1 10 1 �1

1CCA!

0BB@1 1 0

0 -1 10 0 00 0 0

1CCA (1.11)

0BB@1 1 0

2 1 11 0 11 2 �1

1CCA !

0BB@0 1=2 �1=22 1 10 �1=2 1=20 3=2 �3=2

1CCA L1 L1+L2��!

0BB@2 3=2 1=22 1 10 �1=2 1=20 3=2 �3=2

1CCA L2 L2�L1��! (1.12)

!

0BBB@2 3=2 1=20 �1=2 1=20 �1=2 1=2

0 3/2 �3=2

1CCCA!

0BBB@2 3=2 1=20 0 00 0 0

0 3/2 �3=2

1CCCA!

0BBB@2 3=2 1=2

0 3/2 �3=20 0 00 0 0

1CCCA


Asi la matriz con renglones escalonadas que podemos formar a partir decualquier matriz no es unica como lo illustramos en los ejemplos anteriores perocomo vamos a verlo despues, el numero de renglones no-ceros de la matriz arenglones escalonadas es un invariante de la matriz inicial (lo que vamos allamar mas tarde su rango).Despues de escalonar las renglones de una matriz, podemos todavia seguir

las operaciones elementales para anular las entradas situadas arriba de cadapivote. Usando las operaciones de tipo (c) que consisten en multiplicar cadalinea no-cero por el inverso de su pivote, llegamos �nalemente a una matriz arenglones escalonados en la que todos los pivotes son iguales a 1 y todas lasentradas situadas arriba de un pivot son iguales a ceros:0BB@

0 ::: 0 1 � ::: � 0 � ::: � 0 � :::0 ::: 0 0 0 ::: 0 1 � ::: � 0 � :::0 ::: 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: 0 1 � :::

:::

1CCA (1.13)

Un tal matriz es llamada matriz reducida de Gauss-Jordan.Asi llegamos a un resultado mas preciso:

Corollary 2 Por una sucesión de operaciones elementales sobre los renglones,podemos transformar cualquier matriz en una matriz reducida de Gauss-Jordan.

Podemos demostrar que la matriz reducida obtenida a partir de una matrizA dada es determinada de manera unica por A.

1.1.4. Soluciones de sistemas de ecuaciones algebraicaslineales.

Regresamos al problema inicial que es resolver un sistema de m ecuacionesen n incognitas: 8><>:

a11x1 + :::+ a1nxn = b1...

...am1x1 + :::+ amnxn = bm

(1.14)

Por operaciones elementales sobre las ecuaciones de este sistema o lo que es elmismo, sobre los renglones de la matriz completa, obtenemos un sistema quetiene las mismas soluciones y tal que su matriz completa es un matriz reducidade Gauss-Jordan. Es facil de reconocer si un tal sistema admite soluciones:

- los renglones nulos de la matriz completa corresponden a ecuaciones

0x1 + :::+ 0xn = 0 (1.15)

entonces, podemos depreciarlas y interesarnos solamente en los renglonesno-nulos. Sea r el numero de esos renglones;


- si el ultimo pivote (es decir el r-esimo) es en la ultima columna (es decir lan + 1 esimo) que es la columna de los terminos independientes, entoncesla ultima ecuación no-trivial es

0x1 + :::+ 0xn = 1 (1.16)

y el sistema no tiene solución.

- si el ultimo pivote no es en la ultima columna: sea j1; :::jr los indices de lascolumnas de pivotes, de tal manera que 1 � j1 < j2 < ::: < jr � n y quela matriz completa sea del tipo0BBBBBBBB@

j1 j2 j3 jr# # # #

0 ::: 0 1 � ::: � 0 � ::: � 0 � ::: ::: � 0 � :::0 ::: 0 0 0 ::: 0 1 � ::: � 0 � ::: ::: � 0 � :::0 ::: 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: 0 1 � ::: ::: � 0 � :::0 ::: :::0 ::: 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: ::: 0 1 � :::

��

1CCCCCCCCAHaciendo pasar en los miembros de derecho de las ecuaciones correspon-dientes las variables de indicios 6= j1; :::; jr, ponemos el sistema en la sigu-iente forma: 8>>>>>>><>>>>>>>:

xj1 = �P

j 6=j1;:::;jra0

1jxj + b0

1

xj2 = �P

j 6=j1;:::;jra0

2jxj + b0

2

...xjr = �

Pj 6=j1;:::;jr

a0

rjxj + b0

r

Es un sistema que dan los valores de las variables xj1 ; :::; xjr en funciónde los otros. Las soluciones se obtienen dando a las variables de indicios6= j1; :::; jr valores arbitrarios y a las variables xj1 ; :::; xjr los valores dadospor el sistema anterior.

En particular si r = n, la matriz completa reducida de Gauss Jordan es dela siguiente forma: 0BBB@

1 0 ::: 00 1 ::: 0....... . .

...0 0 ::: 1

��b0

1

b0

2...b0

r

1CCCA (1.17)

y la solución unica es 8><>:x1 = b

0

1...

xr = b0

r

(1.18)


Sistemas homogeneos: Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es lla-mada homogenea si los miembros b1; :::; bm son todos iguales a ceros. Un talsistema tiene entonces la forma8><>:

a11x1 + :::+ a1nxn = 0...

am1x1 + :::+ amnxn = 0

Este sistema admite siempre la solución trivial x1 = ::: = xn = 0. Para deter-minar si existe otras soluciones, procedemos de la misma manera que anteriora-mente. La última columna de la matriz completa es cero y queda cero cuandoefectuamos operaciones elementales sobre los renglones. El sistema se reduceentonces en la forma: 8>>>>>>><>>>>>>>:

xj1 = �P

j 6=j1;:::;jra0

1jxj

xj2 = �P

j 6=j1;:::;jra0

2jxj

...xjr = �

Pj 6=j1;:::;jr

a0

rjxj

donde r es el numero de pivotes. Si r = n, la solución es unica y es trivial.Si r < n, hay soluciones no-triviales que se obtienen dando a las variables deindicios 6= j1; :::; jr valores arbitrarios (no todos iguales a ceros) y a las variablesxj1 ; :::; xjr los valores dados por el sistema anterior.

1.1.5. Ejercicios.

Exercise 3 Encontrar todas las soluciones reales del sistemas de ecuaciones:

x1 � 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1

x1 + 2x2 + 2x3 = 6

x1 + x2 = 3

x1 = 2

Exercise 4 Encontrar las soluciones complejas del sistema de ecuaciones:

x+ iy + (1 + i)z � t = 1

x+ y = 0

(1 + i)x+ (i� 1)z � it = 1

1. Exercise 5 Encontrar las soluciones reales del sistema de ecuaciones:

x� y + 2z = 1

2x+ y � z = 0

3x+ z = 1

5x+ y = 1


Exercise 6 Encontrar las soluciones reales del sistema de ecuaciones:

x+ 2y � 3z = 0

�x+ y + z = 0

4x� 2y + z = 0

Exercise 7 Encontrar las soluciones reales del sistema de ecuaciones:

3x1 + 2x2 + x3 � x4 � x5 = 0

x1 � x2 � x3 � x4 + 2x5 = 0

�x1 + 2x2 + 3x3 + x4 � x5 = 0

Exercise 8 Cual es el conjunto de polinomios P tal que (X2 + X + 1):P =2X4 + 3X3 + 6X2 + 4X + 3?

Exercise 9 Notamos N el número de soluciones de un sistema de n ecuacioneslineales a m incognitas. Sabemos que N 2 f0; 1;1g. Cuales son los valoresposibles de N

1. a) si n < mb) si n = mc) si n > mEn los tres casos, dar un ejemplo de sistema de ecuaciones con Nsoluciones para cada valor posible de N y si algunos valores de Nson imposibles, justi�carlo.

Exercise 10 Discutir en función del valor del real k, el numero de solucionesreales del sistema de ecuaciones:

x+ 2y � z = 4

2x+ 5y + z = k

x+ 3y + (k2 + 1)z = 5k

Exercise 11 Gerardo se entreno a efectuar varias operaciones elementales si-multanemente para resolver mas rapido los sistemas de ecuaciones. El transfor-ma el sistema

I

�x1 + 2x2 � x3 + x4 = 1x1 � x2 + x3 + x4 = 0

replazando la primera linea L1 por L1�L2 y la linea L2 por L2�L1 y obtieneel sistema:

II

�3x2 � 2x3 = 1

�3x2 + 2x3 = �1y encontro como soluciones del sistema II (x1; 13 (1 + 2x3); x3; x4) donde x1;3;4son arbitrarios. Su amigo Maria lo hace notar que (1; 1; 1; 0) es solución delsistema II pero no del sistema I. Donde esta el error?

Exercise 12 (para ir mas alla de este curso) Sea un sistema de ecuacioneslineales a coe�cientes reales. Demostrar que si este sistema no tiene solucionesreales, entonces no tiene tampoco de soluciones complejas.

1.2. MATRICES 9

1.2. matrices

Las operaciones elementales que de�nimos en la sección anterior admitenuna interpretación muy sencilla en termino de multiplicación matricial. Paradarla, tenemos que empezar por recordar las de�niciones fundamentales.

De�nition 13 Sea K un campo conmutativo arbitrario, notamos Km�n el con-junto de las matrices m� n (o de genero (m;n)) sobre K, es decir el conjuntode las tablas rectangulares a m renglones y n columnas y tales que todas susentradas son elementos de K. La igualdad entre dos matrices A = (aij)1�j�m

1�i�ny

B = (bij)1�j�m1�i�n

en Km�n es equivalente a la igualdad de cada de sus entradas:

A = B () aij = bij para i = 1; :::;m y j = 1; :::; n (1.19)

Las matrices que tienen solamente un renglon (resp. columna) son llamadasmatrices-renglones (matrices-columnas). Las matrices con el numero de ren-glones igual al numero de sus columnas es llamadas matrices cuadradas. Elorden de una matriz cuadrada es el numero de sus renglones o de sus columnas.Una matriz diagonal es una matriz cuadrada con todas sus entradas fuera de ladiagonal principal iguales a céro.

Algunas matrices particulares:

1. 0m;n es la matriz nula de genero (m;n) en cual todas sus entradas sonnulas.

2. In es la matriz identidad de orden n, de�nida por

In = (�ij)1�i;j�n (1.20)

donde

�ij =

�0 si i 6= j1 si i = j

(1.21)

La función �ij asi de�nida es llamada simbolo de Kronecker.

1.2.1. Operaciones matriciales.

De�nition 14 La suma de dos matrices m� n es de�nida por

(aij) + (bij) = (aij + bij) (1.22)

De�nition 15 El producto de una matriz m � n por un elemento de K esde�nido por

�(aij) = (�aij) (1.23)


De�nition 16 El producto de una matriz m� n y de una matriz n� p es unamatriz m� p de�nida por

(aij)1�j�m1�i�n

:(bij)1�j�n1�i�p

= (cij)1�j�m1�i�p

(1.24)

donde

cij =nXk=1

aikbkj para i = 1; :::;m y j = 1; :::; p (1.25)

Las propiedades siguientes se demostran por calculo directo:

1. Propiedades de la addición: para cualquier A;B;C 2 Km�n,

(A+B) + C = A+ (B + C) (1.26)

A+B = B +A (1.27)

A+ 0m;n = 0m;n +A (1.28)

A+ (�1)A = 0m;n = (�1)A+A (1.29)

2. Propiedades de la multiplicación por un elemento de K: para A;B 2 Km�n

y �; � 2 K,

�(A+B) = �A+ �B (1.30)

(�+ �)A = �A+ �A (1.31)

(��)A = �(�A) (1.32)

1A = A (1.33)

3. Propiedades de la multiplicación matricial: para A 2 Km�n, B 2 Kn�p yC 2 Kp�q;

(AB)C = A(BC) (1.34)

AIn = A = ImA (1.35)

4. Propiedades mixtas: para A;A0 2 Km�n; B;B0 2 Kn�p y � 2 K,

(A+A0)B = AB +A0B (1.36)

A(B +B0) = AB +AB0 (1.37)

(�A)B = �(AB) = A(�B) (1.38)

A notar que el producto de matrices NO es conmutativo: en general, tenemos

AB 6= BA (1.39)

Pero usando la ultima propiedad es facil de veri�car que la matriz de la forma�In para cualquier � 2 K , que llamamos matriz escalar conmutan con todaslas matrices cuadradas de orden n: para cada A 2 Kn�n y � 2 K,

(�In)A = �A = A(�In) (1.40)

1.2. MATRICES 11

Es a notar que todas las matrices NO admiten un inverso por la multiplicacióny que un producto matricial puede ser igual a céro mismo si ningúno de susfactores son nulos:

Example 17 �1 00 0

�:

�0 10 0

�=

�0 00 0

�(1.41)

La mutliplicación matricial permite de notar bajo una forma particularmentecompacta los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. De hecho, el sistemade m ecuaciones a n incognitas:8><>:

a11x1 + :::+ a1nxn = b1...

...am1x1 + :::+ amnxn = bm

(1.42)

se escribo sencillamente como

A:X = B (1.43)

donde

A =

0B@ a11 ::: a1n...

...am1 ::: amn

1CA (1.44)

es la matriz de los coe�cientes del sistema,

X =

0B@ x1...xn

1CA (1.45)

es la matriz-columna de las incognitas, y

B =

0B@ b1...bn

1CA (1.46)

es la matriz-columna de los terminos independientes.

1.2.2. Operaciones "por bloques".

De�nition 18 Si los enteros m y n son decompuestos en suma de enteros stric-tamente positivos:

m = m1 + :::+mr (1.47)

n = n1 + :::+ ns (1.48)

cada matriz de genero (m;n) puedo ser considerada como una matriz r � s enla cual la entrada de indices i; j es una matriz de genero (mi; nj) que llamamosbloque


Example 19 Asi, por ejemplo, para m = 4 y n = 6;

4 = 1 + 2 + 1; 6 = 2 + 4

corresponde a la siguiente decomposición de una matriz arbitraria A de genero(4; 6) :

A =

0BB@a11 a12 a13 a14 a15 a16a21 a22 a23 a24 a25 a26a31 a32 a33 a34 a35 a36a41 a42 a43 a44 a45 a46

1CCA =

0@ A11 A12A21 A22A31 A32

1A (1.49)

donde

A11 =�a11 a12

�A21 =

�a21 a22a31 a32

�A31 =

�a41 a42

�A12 =

�a13 a14 a15 a16

�A22 =

�a23 a24 a25 a26a33 a34 a35 a36

�A32 =

�a43 a44 a45 a46

�Las decomposiciones las mas frecuentamente usadas son la decomposición

por renglones:

A =

0BBB@a11 a12 ::: a1na21 a22 ::: a2n...

......

am1 am2 ::: amn

1CCCA =

0BBB@a1�a2�...am�

1CCCA (1.50)

donde ai� =�ai1 ai2 ::: ain

�es el i-esimo renglon de A, y la decomposi-

ción por columnas:

A =

0BBB@a11 a12 ::: a1na21 a22 ::: a2n...

......

am1 am2 ::: amn

1CCCA =�a�1 a�2 ::: a�n

�(1.51)

donde

a�1 =

[email protected]

1CCCA (1.52)

es la i-esima columna de A:

1.2. MATRICES 13

Proposition 20 El resultado de operaciones efectuadas sobre las matrices de-compuestas en bloques puede obtenerse aplicando las reglas usuales de calculomatricial a esos bloques como si esos bloques eran elementos de las matrices (acondición que esas operaciones sobre los bloques tienen sentido.

Proof. La proposición es obvia para las multiplicaciones por elementos de Ky por el addición matricial. Asi tenemos que probarlo para las multiplicacionesmatriciales. Sea

A = (aij)1�i�m1�j�n

; B = (bij)1�i�n1�j�p

dos matrices de genero (m;n) y (n; p) respectivamente, de tal manera que elproducto AB sea de�nido.Consideramos las siguientes decomposición:

m = m1 + :::+mr; n = n1 + :::+ ns; p = p1 + :::+ pt

y las decomposiciones en bloques correspondientes de A y B:

A = (A��)1��r1��s

; B = (B��)1��s1��t

Tenemos que probar:

AB =

sX

=1

A� B �

!1��r1��t

Pero tambien, tenemos que el elemento i; j de AB es igual aPn

k=1 aikbkj quepodemos decomponer es suma de s terminos:

nXk=1

aikbkj =

n1Xk=1

aikbkj +

n1+n2Xk=1+n1

aikbkj + :::+

nXk=1+n1+:::+ns�1

aikbkj

y podemos reconocer en el miembro derecho el elemento i; j de la matriz de-compuesta en bloques:

sX =1

A� B �

!1��r1��t

En particular, en un producto de dos matrices, podemos decomponer elfactor de derecho en columna o el factor de izquierda en renglon para haceraparecer las columnas o los renglones del producto como productos matriciales:para A 2 Km�n y B 2 Kn�p, tenemos

A:B = A:�b�1 ::: b�p

�= :�Ab�1 ::: Ab�p

�y tambien,

A:B =

0B@ a1�...am�

1CA :B =0B@ a1�B

...am�B

1CA


y tambien,

A:B =

0B@ a1�...am�

1CA : � b�1 ::: b�p�=

0B@ a1�:b�1 ::: a1�:b�1...

...am�:b�1 ::: am�:b�p

1CA1.2.3. Transposición

De�nition 21 Para A = (aij)1�i�m1�j�n

2 Km�n, de�nimos

At = (a0ij) 1�i�n1�j�m

2 Kn�m (1.53)

dondea0ij = aji para i = 1; :::; n y j = 1; :::;m (1.54)

La matriz At es llamada la transpuesta de la matriz A. La obtenemos escribiendoen columna los renglones de A (y vice-versa)

Proposition 22 Para A;B 2 Km�n y �; � 2 K,

(�A+ �B)t = �At + �Bt: (1.55)

Proposition 23 Para A 2 Km�n y B 2 Kn�p;

(A:B)t = Bt:At (1.56)

Proposition 24 Para A 2 Km�n;

(At)t = A (1.57)

Las demostraciones de esas propiedades se hacen por calculo directo y lasdejamos como ejercicios a los lectores.

1.2.4. Inversion.

De�nition 25 Una matriz A 2 Km�n es llamada invertible a la izquierda(resp. a la derecha) si existe una matriz B 2 Kn�m tal que B:A = In (resp.A:B = In). Cualquier matriz B que satisface esa condición es llamada inversaa la izquierda (resp. inversa a la derecha) de A:

Example 26 Cualquier matriz-renglon no-céro es inversible a la derecha. Dehecho,si a1; :::; an 2 K y no son todos iguales a céro, podemos encontrar (engeneral de varias maneras) b1; :::; bn 2 K tal que a1b1 + ::: + anbn = 1; lo quesigni�ca que

�a1 ::: an

�:

0B@ b1...bn

1CA = (1) = I1 (1.58)

1.2. MATRICES 15

Example 27 De la misma manera, cualquier matriz-columna no-céro es in-vertible a la izquierda. Este ejemplo no enseña qie el inverso a la izquierda o ala derecha de un matriz no son en general unico.

Proposition 28 Si una matriz es invertible a la izquierda y a la derecha, en-tonces, admite un y un unico inverso a la izquierdo que es tambien el unicoinverso a la derecha.

Proof. Sea A 2 Km�n una matriz invertible a la izquierda y a la derecha.Suponemos que B sea su inverso a la izquierda y que C sea su inverso a laderecha, de tal manera que

BA = In

AC = Im

Tenemos que probar que B = C. Consideramos por eso el producto (BAC),sabemos que

BAC = B(AC) = BIm = B

BAC = (BA)C = InC = C

entonces, B = C: Eso comproba que cualquier inverso a la izquierda de A esigual a C y que cualquier inverso a la derecha de A es igual a B; entonces,hay solamente un inverso a la izquierda quien es tambien el unico inverso a laderecha.Si una matriz A satisface la condición de la proposición, decimos que la

matriz A es invertible y notamos A�1 su unico inverso ( a la izquierda y ala derecha). Veremos mas tarde que solas las matrices cuadradas pueden serinvertibles, lo que no es obvio a priori.

Proposition 29 El inverso de cualquier matriz invertible es invertible: si A 2Km�n es invertible, entonces A�1 2 Kn�m es invertible y

(A�1)�1 = A (1.59)

Proposition 30 El producto de dos matrices invertibles es invertibles: si A 2Km�n y B 2 Kn�p son invertibles, entonces, A:B 2 Km�p es invertible y

(A:B)�1 = B�1:A�1 (1.60)

Proposition 31 La transpuesta de cualquier matriz invertible es invertible: siA 2 Km�n es invertible, entonces At 2 Kn�m es invertible y

(At)�1 = (A�1)t (1.61)

Las demostraciones de esas proposiciones se hacen directamente a partir dela de�nición de matriz invertible. Por lo mismo, las dejamos como ejercicios alos lectores.


1.2.5. Matrices elementales.

De�nition 32 Un matriz elemental de tipo I es una matriz que di�ere de lamatriz identidad solamente por una sola entrada situada fuera de la diagonalprincipal. Un tal matriz es entonces cuadrada y de la forma:

E =

0BBBBB@1

1. . .

� 11

1CCCCCA

donde � es la entrada no-céro y de indice i; j con i 6= j, las otras entradas fuerade la diagonal principal son iguales a céro.

De manera equivalente, una matriz elemental de tipo I es una matriz obteni-da efectuando una operación elemental de tipo I sobre los renglones o sobre lascolumnas de la matriz identidad. La entrada � como es situada a la interseccióndel i-esimo renglon con la j-esima columna, podemos obtener la matriz E cam-biando el i-esimo renglon de la matriz identidad por la suma de este renglon ydel j-esimo renglon multiplicado por �; o si preferimos decirlo de otra manera,cambiando la j-esima columna de la matriz unidad por la suma de esta columnacon la i-esims columna multiplicada por �:

De la misma manera, efectuanda operaciones elementales de tipo II o III so-bre los renglones o las columnas de la matriz identidad, podemos de�nir matriceselementales de tipo II o III que son de la siguiente forma:

P =

0BBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

1. . .

10 11

. . .1

1 01

. . .1

1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

(1.62)

1.2. MATRICES 17

o

M =

0BBBBBBBBBB@

1. . .

1�

1. . .

1

1CCCCCCCCCCA(1.63)

donde � 6= 0 El elemento � 2 K es llamado factor de la matriz elemental detipo III (M): Es claro de la forma misma de las matrices elementales, que latranspuesta de cualquier matriz elemental es un matriz elemental del mismotipo.

Proposition 33 Cualquier matriz elemental es inversible y su inverso es unamatriz elemental del mismo tipo ( y de factor inverso por el tipo III)

Proof. Consideramos primero la matriz E de�nida anterioramente. Un calculodirecto nos enseña que la matriz

E0 =

0BBBBB@1

1. . .

�� 11

1CCCCCAdonde la entrada �� ocupa el mismo lugar que la entrada � en E, es un inversoala izquierda y a la derecha de E. Entonces, tenemos E0 = E�1. Para las matricesP y M , podemos veri�car facilemente que P�1 = P y

M�1 =

0BBBBBBBBBB@

1. . .

1

��1

1. . .

1

1CCCCCCCCCCA

Proposition 34 Realizar un operación elemental sobre los renglones de unamatriz es equivalente a multiplicar esta matriz a la izquierda por una matriz el-emental: Mas precisamente, sea A 2 Km�n una matriz arbitraria y A0 2 Km�n,la matriz obtenida haciendo un certain operación elemental sobre los renglonesde A: Sea E 2 Km�n la matriz obtenida efectuando la misma operación ele-mental sobre los renglones de la matriz identidad Im, entonces

A0 = E:A


Proof. Sea

E0 =

0BBBBB@1

1. . .

� 11

1CCCCCAdonde la entrada � esta en la (i; j) posición. Podemos calcular el producto E:Adecomponiendo A en renglones:

E:A =

0BBBBBBBBBBB@

1. . .

1. . .

� 1. . .

1

1CCCCCCCCCCCA

0BBBBBBBBBBB@

a1�...aj�...ai�...am�

1CCCCCCCCCCCA=

0BBBBBBBBBBB@

a1�...aj�...

ai� + �aj�...am�

1CCCCCCCCCCCALa demostración es similar para las operaciones elementales de tipo II y III.

Corollary 35 Sea A 2 Km�n una matriz arbitraria y sea U 2 Km�n unamatriz bajo forma reducida de Gauss-Jordan obtenida efectuando operacioneselementales sobre los renglones de A. Existe una sucesión de matrices elemen-tales E1; :::; Er tales que

A = E1:::Er:U

La demostración es dejado como ejercicio a los lectores.Hasta el �n de esta sección, vamos a considerar el caso particular de matrices

cuadradas. Sea A 2 Kn�n, y sea U 2 Kn�n una matriz bajo forma reducida deGauss-Jordan obtenida efectuanda operaciones elementales sobre los renglonesde A. Como U es cuadrada, tenemos la alternativa:

sea el numero de pivotes de U es n, y entonces, U = In ;

sea el numero de pivotes de U es < n, y entonces el ultimo renglon de U esnulo.

Theorem 36 Sea A 2 Kn�n una matriz cuadrada arbitraria. las siguientescondiciones son equivalentes:

(a) A es invertible;

(b) A es invertible a la izquierda;

(c) A es invertible a la derecha;

(d) A es un producto de matrices elementales

1.2. MATRICES 19

(e) Cualquier matriz U bajo la forma reducida de Gauss-Jordan obtenida efec-tuando las operaciones elementales sobre los renglones de A es la matrizidentidad In;

(f) la matriz In puede ser obtenida efectuando operaciones elementales sobrelas lineas de A;

(g) El sistema homogeneo A:X = 0 admite solamente la solución trivial;

(h) Para cualquier B 2 Kn, el sistema A:X = B admite un y una sola solución.

Un matriz cuadrada que satisface esas condiciones equivalentes es cuali�cadade regular. Las matrices no-regulares son llamadas matrices singulares.Proof. la demostración se hacen en el siguiente orden:

(a) ) (b)) (g)) (e)) (f)) (d)) (a)

(a) ) (h)) (g)

(a) ) (c)) (a)

Los detalles de la demostración son dejado a la atención de los lectores.

Aplicación al calculo del inverso. La relación entre la inversibilidad de A yla forma de U etablecida en el teorema anterior suggiere una manera pratica dedeterminar el inverso de A (si existe): formamos una matriz n�2n juxtaponiedoA y la matriz identidad:

(Aj In)

despues efectuamos sobre los renglones de esta matriz las mismas operacioneselementales que para reducir A a su forma de Gauss-Jordan:

(Aj In)! (A1j A01)! � � � ! (Arj A0r)! (U j B)

Cada �echa representa una transformación por una operación elemental sobrelos renglones o de manera equivalente, la multiplicación a la izquierda por unamatriz elemental; para cualquier i = 0; :::; r, existe entonces una matriz elemen-tal Ei tal que

(Ai+1j A0i+1�= Ei: (Aij A0i) = (Ei:Aij Ei:A0i)

Entonces, tenemos(U j B) = Er::::E0 (Aj In)

y B = Er:::E0 y U = B:A.Si U 6= In, entonces, el teorema anterior nos dice que A no es inversible. A

contrario, si U = In, entonces, B es el inverso a la izquierda de A y entoncesusando el teorema anterior, eso nos enseña que A es invertible y que B = A�1.


1.2.6. Ejercicios.

Exercise 37 Sea un campo K, A 2 Kn�n y � 2 K y D una matriz diagonalde la forma

D =

0BBBB@� 0 ::: 0

0. . .

......

. . . 00 ::: 0 �

1CCCCAdemostrar que D:A = A:D

Exercise 38 Hallar A4 si A =

0@ 1 0 00 2 00 0 3

1AExercise 39 Consideramos un campo K y tres matrices A;B;C 2 Kn�n:Suponemos que B sea invertible y que BAB�1 = C. Demostrar por inducciónsobre k que para cualquier k entero positivo, Ak = B�1CkB.

Exercise 40 Sea un campo K y A;B 2 Kn�n, demostrar que

(A+B)2 = A2 + 2AB +B2 () AB = BA

Exercise 41 Sea K un campo, A 2 Kn�m y B 2 Km�p, demostrar que(AB)t = BtAt

Exercise 42 Sea K un campo, A 2 Kn�n: De�nimos la traza de A como lasuma de los elementos situado en la diagonal principal:

tr(A) =nXi=1

Aii

Demostrar que si B 2 Kn�n, entonces, tr(AB) = tr(BA)

Exercise 43 Hallar el inverso de0@ i 3 �i0 2i 1�i 0 �i

1AExercise 44 Hallar el inverso de la matriz0BB@

1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 4

1CCA

1.2. MATRICES 21

Exercise 45 Determinar por cuales valores de � 2 R , la siguiente matriz esinvertible: 0@ 0 1 �

1 � 0� 0 1

1Apara esos valores, hallar el inverso.

Exercise 46 Sea M una matriz cuadrada. Demostrar que M es invertible siy solamente si M t es invertible. Demostrar que si M es invertible, entonces(M t)�1 = (M�1)t

Exercise 47 Si M es una matriz cuadrada tal que M2�M + I = 0, demostrarque M es invertible y determinar su inverso

Exercise 48 (mas alla del curso) Demostrar que podemos determinar si unamatriz es invertible y hallar su inverso haciendo operaciones elementales sobrelas columnas en lugar de hacerlo sobre los renglones.

Exercise 49 (mas alla del curso) Es posible que una matriz cuadrada real tienesu inverso complejo pero no inverso real?

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