Sistemas de Inventarios

MA ING Marco Vinicio Monzn Investigacin de Operaciones 2 Curso de Vacaciones Junio 2015

Sistemas de inventarios

Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados. Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso de produccin y los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la demanda de los clientes. Puesto que estos inventarios representan frecuentemente una considerable inversin, las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes. Los modelos de inventario y la descripcin matemtica de los sistemas de inventario constituyen una base para estas decisiones.

Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una prctica comn en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo, los mayoristas, los fabricantes y an los bancos de sangre por lo general almacenan bienes o artculos. Cmo decide una instalacin de este tipo sobre su "poltica de inventarios", es decir, cundo y cmo se reabastece?. En una empresa pequea, el administrador puede llevar un recuento de su inventario y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en empresas chicas, muchas compaas han ahorrado grandes sumas de dinero al aplicar la "administracin cientfica del inventario". En particular, ellos

1. Formulan un modelo matemtico que describe el comportamiento del sistema de inventarios. 2. Derivan una poltica ptima de inventarios con respecto a este modelo. 3. Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles de

inventario y sealar cundo conviene reabastecer.


INTRODUCCIN

Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una prctica comn en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo, los mayoristas, los fabricantes y an los bancos de sangre por lo general almacenan bienes o artculos. Cmo decide una instalacin de este tipo sobre su "poltica de inventarios", es decir, cundo y cmo se reabastece?. En una empresa pequea, el administrador puede llevar un recuento de su inventario y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en empresas pequeas, muchas compaas han ahorrado grandes sumas de dinero al aplicar la "administracin cientfica del inventario". En particular, ellos

1. Formulan un modelo matemtico que describe el comportamiento del sistema de inventarios. 2. Derivan una poltica ptima de inventarios con respecto a este modelo. 3. Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles de inventario

y sealar cundo conviene reabastecer.

DEFINICIN DEL PROBLEMA DE INVENTARIO

Un problema de inventario existe cuando es necesario guardar bienes fsicos o mercancas con el propsito de satisfacer la demanda sobre un horizonte de tiempo especificado (finito o infinito). Casi cada empresa debe almacenar bienes para asegurar un trabajo uniforme y eficiente en sus operaciones. Las decisiones considerando cundo hacer pedidos y en qu cantidad, son tpicas de cada problema de inventario. La demanda requerida puede satisfacerse almacenando una vez segn todo el horizonte de tiempo o almacenando separadamente cada unidad de tiempo durante el horizonte. Los dos casos que pueden considerarse son sobre-almacenamiento (con respecto a una unidad de tiempo) o sub-almacenamiento (con respecto al horizonte completo).

Un sobre-almacenamiento requerira un capital invertido superior por unidad de tiempo pero menos ocurrencias frecuentes de escasez y de colocacin de pedidos. Un sub-almacenamiento por otra parte disminuira el capital invertido por unidad de tiempo pero aumentara la frecuencia de los pedidos as como el tiempo de estar sin mercanca. Los dos extremos son costosos. Las decisiones considerando la cantidad ordenada y el tiempo en el cual se ordena pueden, por consiguiente, estar basadas sobre la minimizacin de un a funcin de costo apropiada la cual balancea los costos totales resultantes de sobre-almacenamiento y sub-almacenamiento.

Antes de comentar acerca de los sistemas de inventarios se presentan primero caractersticas bsicas de un sistema de inventarios:

Parmetros econmicos: estos parmetros incluyen los tipos siguientes:

a. Costo fijo. Esto implica el costo fijo asociado a la colocacin de un pedido o con la preparacin inicial de una instalacin de produccin. El costo fijo usualmente se supone independiente de la cantidad ordenada o producida.

b. Precios de compra o costo de produccin. Este parmetro de especial inters cuando pueden obtenerse descuentos por mayoreo o rebajas en precio o cuando grandes corridas de produccin pueden dar como resultado una disminucin en el costo de la misma. En estas condiciones la cantidad ordenada debe ajustarse para aprovechar de estos cambios en el precio.

c. Precio de venta. En algunas situaciones de inventaro la demanda puede ser afectada por la


cantidad almacenada. En tales casos el modelo de decisin est basado en un criterio de maximizacin de beneficios el cual comprende el ingreso de venta de la mercanca. El precio de venta unitario puede ser constante o variable dependiendo, por ejemplo, de si se permite un descuento o no en la cantidad.

d. Costo de mantenimiento del inventario. Esto representa el costo de tener el inventario en el almacn. Incluye el inters sobre capital invertido, costos de almacenamiento, costos de manejo, costos de depreciacin, etc. Los costos de llevar el inventario usualmente se supone que varan directamente con el nivel de inventario, as como con el tiempo que el articulo se tiene en almacn.

Demanda. El modelo de demanda de una mercanca puede ser determinista o probabilista. En el caso del determinista se supone que se conocen con certeza las cantidades necesarias sobre perodos subsecuentes. Esto puede expresarse segn perodos iguales en trminos de demandas constantes conocidas, o en funcin de demandas variables conocidas. Los dos casos se denominan demandas esttica y dinmica, respectivamente:

La demanda probabilsticas ocurre cuando los requisitos durante un cierto perodo no se conocen con certeza si no que su modelo puede describirse por una distribucin conocida de probabilidad. En este caso, se dice que la distribucin de probabilidad es estacionaria o no estacionaria en el tiempo. (Estos trminos son equivalentes a demandas esttica y dinmica en el caso determinista).

La demanda para un perodo dado puede satisfacerse instantneamente al inicio del perodo o uniformemente durante dicho lapso. El efecto de demandas instantneas y uniformes deber reflejarse directamente en el costo total de llevar el inventario.

Ciclo para ordenar. Consiste en la medida de tiempo de la situacin de inventario. Un ciclo de rdenes o pedidos puede identificarse por el perodo entre dos rdenes sucesivas. Lo ltimo puede iniciarse en una de dos formas:

a. Revisin continua donde un registro del nivel de inventario se actual9iza continuamente hasta que se alcanza un cierto lmite inferior, en cuyo punto se coloca un nuevo pedido. Esto se conoce algunas veces como el sistema de "dos depsitos".

b. Revisin peridica donde los pedidos se hacen usualmente a intervalos igualmente espaciados.

Demoras en la entrega: Cuando se coloca un pedido, puede entregarse inmediatamente o puede requerir algn tiempo antes de que la entrega se efecte. El tiempo entre la colocacin de un pedido y su surtido se conoce como demora en la entrega. En general, las holguras de entrega pueden ser deterministas o probabilista.

Reabasto del almacn: aunque un sistema de inventario puede operar con demora en las entregas, el abastecimiento real del almacn puede ser instantneo o uniforme. El instantneo ocurre cuando el almacn compra de fuentes externas. El uniforme puede ocurrir cuando el producto se fabrica localmente dentro de la organizacin. En general, un sistema puede operar con demora positiva en la entrega y tambin con reaprovisionamiento de almacn.

Horizonte de Tiempo: el horizonte define el perodo sobre el cual el nivel de inventarios estar controlado. Este horizonte puede ser finito o infinito, dependiendo de la naturaleza o la demanda.

Abastecimiento mltiple: Un sistema de inventario puede tener puede tener varios puntos de almacenamiento (en lugar de uno). En algunos casos estos puntos de almacenamiento estn organizados de tal manera que un punto acta como una fuente de abastecimiento para algunos otros puntos. Este tipo de operacin puede repetirse a diferentes niveles de tal manera que un punto de demanda pueda llegar a ser un nuevo punto de abastecimiento. La situacin usualmente se denomina sistema de abastecimiento mltiple.

Nmero de artculos: Un sistema de inventarios puede comprender ms de un articulo (mercancas). Este caso es de inters, principalmente si existe una clase de interaccin entre los diferentes artculos. Por ejemplo, estos pueden competir en espacio o capital total limitados.


SISTEMAS DE INVENTARIO

Dos sistemas de inventario muy utilizados son el sistema de pedido de tamao fijo y el sistema de pedido de intervalo fijo. Se designa como sistema Q al sistema de pedido de tamao fijo, mientras que el sistema de pedido de intervalo fijo se designa como sistema P. La diferencia bsica entre los dos consiste en que en el sistema Q se pide una cantidad fija a intervalos variables de tiempo y en el sistema P se ordena cantidad variable a intervalos fijos de tiempo.

Formulas para los sistemas P y Q.

Para determinar la cantidad pedida es:

El tiempo entre pedido es (IP intervalo entre pedidos):

Las existencias de seguridad (ES):

ES para el sistema P se calcula de la siguiente forma ya que este sistema tiene como base el intervalo entre pedidos ms el tiempo promedio de anticipacin (IP + L), entonces ES queda:

Cantidad pedida = Q ptimo + existencias de seguridad - inventario disponible unidades pedidas + demanda promedio en el tiempo de anticipacin

El costo total anual se calcula con la siguiente ecuacin.

en donde:

C1 : es el Costo de una unidad

C2 : es el Costo de hacer una compra

C3 : es el Costo de almacenar

Dm : es la Demanda mxima

: es la Demanda promedio


t = tiempo entre pedidos

L= tiempo de anticipacin

ES : son las existencias de seguridad

Cuando el sistema de inventario es determinantico y la tasa de demanda es constante, realmente hay poca diferencia entre los sistemas Q y P. Primero analizaremos el sistema Q con los siguientes datos.

Ejemplo

La de manda de un articulo particular es 18,000 unidades / ao. El costo de almacenamiento por unidad es de $1.20 por ao y el costo de ordenar una compra es de $400, el tiempo de anticipacin (L) es de 20 das, el costo de una unidad es de $1. (Se supone 1 ao = 250 das):

Para determinar la cantidad a pedir se hace lo siguiente:

unidades

El intervalo entre pedidos es:

1 ao = 250 das

das

La demanda diaria se saca de la siguiente forma. Como la demanda es de 18,000 por unidades por ao y 1 ao = 250 das, entonces:

unidades / da

El tiempo de anticipacin es L=20 das; por tanto el nmero de unidades que podran requerirse durante el tiempo de anticipacin es:

Demanda en el periodo de anticipacin = D L , si el tiempo de anticipacin es de 20 das y la demanda diaria es de 72 unidades / da, entonces la demanda en periodo de anticipacin es 72(20)=1,440 unidades.

La representacin grfica de estas cantidades que se muestra en la figura 2-1 indica la siguiente regla de pedido: Verificar continuamente nivel de inventario, y cuando el nivel del inventario alcance 1440 unidades, se ordenan 3,465 unidades.


Aplicando esta regla se obtiene un costo total anual de $22,156 sin permitir dficit.

= 18,000 + 2,078 + 2078 = $ 22,156 por ao.

Si se permite dficit el punto de pedido disminuye. Por ejemplo, puede suponerse que el tiempo de anticipacin de 20 das y el numero de unidades agotadas de 747, el punto de pedido es

72(20) - 747 = 693 unidades

Si el tiempo de anticipacin hubiera sido mayor que 48 das, el nivel (punto) de pedido sobrepasa el nivel de inventario. Por ejemplo, puede suponerse que el tiempo de anticipacin del ejemplo 2-1 es 60 das en lugar de 20 das. Esto indicara un punto de pedido de

60(72) = 4.320 unidades

Sin embargo, esto es imposible ya que la figura 2-1 indica que el nivel inventario nunca es mayor que 3,465 unidades. El valor de 4,320 unidades implica que cuando el nmero de unidades en inventario (disponible) y el nmero de unidades pedidas pero no recibidas es 4,320 unidades, entonces se hace un pedido de 3,465 unidades.

Ahora se discute un sistema P.

En el ejemplo anterior debera usarse un intervalo entre pedidos de 48 das ya que este es el intervalo ptimo indicado por un balance entre los costos de compra e inventario. Cualquier intervalo entre pedidos menor que 48 das ocasiona mayores costos de compra, y cualquier intervalo entre pedidos mayor que 48 das ocasiona dficit.

das


El sistema P representado en la figura anterior para los datos del ejemplo anterior indica la siguiente regla de pedido: determinar el nivel de inventario cada 48 das y en ese momento pedir una cantidad igual a Cantidad pedida = Q ptimo + existencias de seguridad - existencias disponibles - unidades pedidas + cantidad requerida para un perodo completo de anticipacin.

En este caso, el tamao del pedido es igual a

3,465 + 0 1,440 - 0 + 72(20) = 3,465 unidades

Esta cantidad pedida debe ser la misma en cada punto de pedido ya que todas las componentes de la ecuacin de la cantidad pedida son constantes debido a que el sistema es determinstico y la tasa de demanda es constante. Adems, por las mismas causas los perodos entre pedidos (48 das) son iguales en ambos sistemas. Por consiguiente, los dos sistemas dan iguales resultados siempre que los sistemas sean determinsticos y la tasa de demanda sea constante.

Se presentan diferencias entre los dos sistemas cuando la demanda, el tiempo de anticipacin, o ambos se vuelven probabilsticos.

Un enfoque para manejar sistemas probabilsticos de inventario es suponer un modelo de inventario basado en existencias de seguridad (existencias amortiguadoras). Las existencias de seguridad sirven de amortiguador para absorber las variaciones de la demanda y del tiempo de anticipacin. Tambin sirven como medio de regulacin de las unidades agotadas. Este enfoque permite una aproximacin razonable hacia una solucin ptima. Es una aproximacin ya que supone que las existencias de seguridad para el tiempo de anticipacin y el intervalo entre pedidos son independientes. Obviamente, esta suposicin no es correcta.

Ahora podemos destacar que el sistema Q y el sistema P tienen algunas diferencias las cuales en ocasiones no son muy notorias.


MODELO DE INVENTARIO SIN DFICIT

FUNDAMENTOS

Este modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos para desarrollar las actividades de cualquier empresa.

Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes suposiciones:

La demanda se efecta a tasa constante.

El reemplazo es instantneo (la tasa se reemplazo es infinita).

Todos los coeficientes de costos son constantes.

En este modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancas para la venta.

En la siguiente figura se ilustra esquemticamente este modelo.

Smbolos

Q = Cantidad optima a pedir

Im = Inventario Mximo

t = Periodo entre pedidos

T = Periodo de Planeacin

En este modelo se representan iguales el inventario mximo y la cantidad econmica pedida.

Cabe mencionar que esto no siempre es verdadero.


El costo total para un periodo en este modelo esta conformado por tres componentes de costo:

Costo unitario del producto (C1)

Costo de ordenar una compra (C2)

Costo de mantener un producto en almacn (C3)

El costo para un periodo estar conformado de la siguiente manera:

Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo]

El costo total para el periodo de planeacin estar conformado de la manera siguiente:

Costo total = Costo por periodo x Numero de pedidos a realizar.

ANLISIS DE ECUACIONES.

Costo unitario por periodo.

El costo unitario por periodo simplemente es el costo de la cantidad optima a pedir.

C1 Q

Costo de ordenar una compra.

Puesto que solo se realiza una compra en un periodo el costo de ordenar una compra esta definido por:

C2

Costo de mantener el inventario por periodo.

El inventario promedio por periodo es [Q / 2]. Por consiguiente el costo de mantenimiento del inventario por periodo es:

Para determinar el costo en un periodo se cuenta con la siguiente ecuacin:

El tiempo de un periodo se expresa de la siguiente manera:


Nota: La demanda del articulo en un periodo de planeacin se define con la letra D.

El numero de periodos se expresa de la manera siguiente:

Si se desea determinar el costo total en el periodo de planeacin (T) se multiplica el costo de un periodo por el numero de interperiodos (t) que contenga el periodo de planeacin. Para determinar este costo se aplica la siguiente ecuacin:

Costo Total = Costo (Q*)t

Otra manera de representar el costo total para el periodo de planeacin es por medio de la siguiente ecuacin:

Cuando los componentes del costo total se representan grficamente se obtiene un punto ptimo (de costo mnimo).

Una forma de determinar la cantidad optima a pedir es suponer diversos valores de Q y sustituir en la ecuacin anterior hasta encontrar el punto de costo mnimo. Un procedimiento mas sencillo consiste en derivar la ecuacin del costo total con respecto a Q e igualar la derivada a cero.

Al resolver esta derivada tenemos la ecuacin para determinar la cantidad ptima a pedir.

Q =


Esta ecuacin ocasiona un costo mnimo y tiene como base un balance entre los dos costos variables (costo de almacenamiento y costo de compra) incluidos en el modelo. Cualquier otra cantidad pedida ocasiona un costo mayor.

Para entender este modelo se resolver un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos mas importantes de este modelo de compra.

EJERCICIO

Una empresa vende un articulo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por ao, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por ao y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del articulo es $ 1.00. No se permite faltante de unidades y su tasa de reemplazo es instantnea. Determinar:

La cantidad optima pedida

El costo total por ao

El numero de pedidos por ao

El tiempo entre pedidos

Datos

C1= $ 1.00

C2 = $ 400.00

C3 = $ 1.20

La cantidad optima a pedir se calcula de la siguiente forma.

= 3 465 Unidades

El costo total estar determinado por:

Costo = [(1)(18000)] + [ (400)(18000/3465)] + [(1.2)(3465/2)] = $ 22, 156 por ao

El numero de pedidos por ao es

N = D / Q = 18 000 / 3465 = 5.2 Pedidos por ao

El tiempo entre pedidos es

t = Q / D = 3465 / 18000 = 0.1925 aos

MODELO DE INVENTARIO CON DFICIT


FUNDAMENTOS

El modelo de compra que permite dficit tiene como base las siguientes suposiciones:


El reemplazo es instantneo (la tasa se reemplazo es infinita).


Este modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de ordenar una compra, costo de mantener en inventario) pero adems tiene un costo adicional, el costo por unidad de faltante.

En este modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la cantidad pedida desaparece el dficit, esto se representa claramente en el siguiente esquema.


S = Cantidad de unidades agotadas


t = Periodo entre pedidos


t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario

t2 = Tiempo en donde se cuentan con unidades agotadas.

Por consiguiente, en este modelo, los costos de dficit son ocasionados por agotamiento de existencias durante el periodo de tiempo y no por la perdida de ventas.

En este modelo se incluyen los costos de dficit para determinar el costo para un periodo.

Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo] + [costo de dficit por periodo]


ANLISIS DE ECUACIONES

El costo unitario y el costo de ordenar un pedido se determinan de una manera semejante a como se determinan en el modelo de compra sin faltante.

Para determinar el tiempo t1, el inventario mximo y el tiempo t2 en funcin de la cantidad optima a pedir (Q) y la cantidad de existencias agotadas (S) se realiza el siguiente proceso.

El inventario mximo estar definido por:

Im = Q S

Las siguientes ecuaciones se obtienen a partir de la semejanza de tringulos:

Debido a que el tiempo de un periodo t es Q / D. Las ecuaciones anteriores pueden representarse de la siguiente forma.

Sustituyendo las ecuaciones 1,2 y 5 en la ecuacin del costo por periodo tenemos.

Multiplicando el costo de un periodo por el numero total de interperodos que tiene el periodo de planeacin obtenemos el costo total.

Para determinar la cantidad optima a pedir y la cantidad de existencias agotadas se realiza una operacin de derivacin parcial con respecto a cada una de estas variables.


El resultado de estas operaciones nos da como resultado.

Para entender este modelo se resolver un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos mas importantes de este modelo de compra.

EJERCICIO

Una empresa vende un articulo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por ao, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por ao y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del articulo es $ 1.00. El costo por unidad de faltante es de $ 5.00 por ao. Determinar:

La cantidad optima pedida

El costo total por ao

El numero de pedidos por ao

El tiempo entre pedidos

Datos

C1= $ 1.00

C2 = $ 400.00

C3 = $ 1.20

C4 = $ 5.00

La cantidad optima a pedir se calcula de la siguiente forma.

= 3 465 Unidades

El costo total estar determinado por:

= 747 Unidades


El numero de pedidos por ao es

= 4.66

El tiempo entre pedidos es

=0.215

MODELO INVENTARIO CON DESCUENTO EN LAS UNIDADES


FUNDAMENTOS

Este modelo se basa manejar diferentes costos segn las unidades pedidas, es decir, la cantidad de productos a comprar definir el precio de los mismos.

Algunas empresas manejan este modelo de inventario debido a que sus costos le permiten realizar este tipo de compras. Este modelo les proporciona sus costos totales mas bajos segn sus necesidades y los recursos con los que cuenten. En la siguiente grfica se representa este modelo.

Ni = Cantidades a pedir

Costoi = Costos de adquirir la cantidad Ni

En este modelo se realizan descuentos segn la cantidad a comprar, por ejemplo, una empresa distribuye artculos, sus precios son los siguientes:

De A Costo Unitario

0 10, 000 $ 5.00

10, 001 20,000 $4.50

20, 001 30, 000 $3.00

30, 001 En adelante $2.00

Segn estos costos si nosotros deseamos comprar entre 0 y 10, 000 unidades estas tendrn un costo de $5.00, entre 10, 0001 y 20, 000 un costo de $4.50, entre 20, 001 y 30, 000 un costo de $3.00 y arriba de 30, 001 un costo de $2.00.

En la siguiente grfica se presentan los datos antes descritos.


Esto resulta bueno para algunas empresas que cuenten con costos de mantener inventarios muy bajos, ya que pueden realizar compras en gran escala a precios bajos.

Con este tipo de modelo los costos unitarios de los productos se ven mermados pero los costos de mantener un almacn se pueden ver incrementados sustancialmente.

Cabe mencionar que se debe de tomar en cuenta que la mercanca en ocasiones mantenerla en un almacn le ocasiona deterioro.

Para realizar el desarrollo de este modelo estructuraremos un algoritmo que consta de cuatro pasos, en los cuales se tomarn aspectos importantes de este modelo.

Pasos para la aplicacin de este modelo.

Para realizar el desarrollo de este algoritmo nos apoyaremos en la siguiente grfica en donde se representa este modelo.

PASO 1.

El primer paso es determinar la cantidad optima a pedir segn los costos (Costo de pedir, Costo de mantener) que maneje la empresa, para cada uno de los descuentos con que se cuentan.

Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos (C1, C2, C3, C4) de los descuentos.

Q = Cantidad Optima


D = Demanda del artculo.

C1 = Costo unitario del artculo.

C2 = Costo de ordenar un pedido.

i = Porcentaje sobre el precio del artculo por mantenimiento en inventario.

Existen ocasiones en que la empresa maneja un costo de almacn adicional, entonces la ecuacin que definida de la siguiente forma:

En donde C3 + iC1j ser el costo total de mantener en almacn.

PASO 2.

El segundo paso es realizar una comparacin de los valores de Qj con sus respectivos niveles de precio (Ci), por ejemplo, se compara el valor obtenido de Q1 con respecto al intervalo que corresponde el valor del costo de C1, si este se encuentra entre el valor de 0 y el valor de N1 entonces este valor de Q se tomar como un valor optimo. De igual manera se realizar un a comparacin entre Q2 y el intervalo de N1 y N2. Esto operacin se realiza con todos los valores de Q obtenidos.

En caso de que el valor obtenido no se encontrara dentro de este intervalo, la cantidad optima estar definida por el limite inferior del intervalo.

En la grfica el valor de Q1 no se encuentra dentro de su intervalo, por consiguiente el valor de Q2 ser su limite inferior, o sea, Q2 = N1.

PASO 3.

El tercer paso es determinar los costos totales para cada uno de los valores ptimos obtenidos anteriormente. El costo total lo determinaremos con la siguiente ecuacin.


PASO 4.

El cuarto paso es determinar el menor costo total obtenido en el paso anterior. El valor de Q utilizado para determinar este costo ser la cantidad optima a pedir segn los costos estimados en el planteamiento del problema.

Para entender mejor este modelo se resolver un problema en donde se describirn cada uno de los pasos anteriormente mencionados.

EJERCICIO.

Determine la cantidad optima a ordenar para una parte comprada que tiene las siguientes caractersticas:

Uso estimado anual a tasa constante 10, 000 unidades

Costo de procesar una orden $ 32.00

Intereses anuales, impuestos y seguros como una fraccin del valor de la inversin sobre el inventario promedio 20 %.

El esquema de precios es el siguiente:

Cantidad Precio

0 < Q < 1, 000 $ 3.50

1, 000 < Q < 2, 000 $ 2.95

2, 000 < Q $ 2.00

No se permiten faltantes el lote se entrega en un embarque.

RESOLUCIN.


Datos.

D = 10, 000 Unidades

C2 = $ 32.00

C11 = $ 3.50

C12 = $ 2.95

C13 = $ 2.00

i = 20 %

Nota: Cabe hacer mencin que el costo de mantener una unidad en almacn esta definido por C3 = iC1j.

Representando los costos unitarios proporcionados tenemos la siguiente grfica.

Para iniciar con el desarrollo del problema seguiremos el algoritmo antes descrito.

PASO 1.

Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos proporcionados.

Para C11 = $ 3.50 tenemos:

= 956.18


= 1041.51



= 1264.91

Con los datos obtenidos anteriormente terminaremos que las cantidades optimas que se encuentran dentro del intervalo correcto.

Cantidad Consideracin

0 < Q1 = 956.18 < 1, 000

1, 000 < Q2 = 1041.51 < 2, 000

2, 000< Q3 = 1264.91 X

Debido a que Q3 no se encuentra dentro de su intervalo su valor quedar definido por su intervalo inferior, o sea, Q3 = 2, 000.

PASO 2.

Los datos obtenidos anteriormente pueden quedar representados en la siguiente grfica.

PASO 3.

Ahora procederemos a determinar la costo total de los valores ptimos obtenidos anteriormente.

El costo total para el primer valor optimo obtenido es(Q1 = 956.18):

= $ 35, 669.32


El costo total para el segundo valor optimo obtenido es(Q2 = 1041.51):

= $ 30, 114.48

El costo total para el segundo valor optimo obtenido es(Q3 = 2000):

= $ 20, 560.00

PASO 4.

Ahora solo falta determinar el mnimo valor del costo total calculado anteriormente. Vemos que el valor mnimo es el del Costo Total3 por consiguiente la cantidad optima a ordenar es de 2,000 unidades.

En la siguiente grfica se presentan los resultados obtenidos al calcular cada uno de los costos totales y la determinacin del menor costo.

Como se puede ver en la grfica el menor costo se produce al pedir 2, 000 unidades.

Podemos concluir que la cantidad optima a pedir para este problema es de 2, 000 unidades y esto ocasiona tener un costo total de $ 20, 560.00.


MODELO DE PRODUCCIN SIN DFICIT

FUNDAMENTOS

Las suposiciones de este modelo son las siguientes.


El reemplazo es instantneo (la tasa se reemplazo es finita).


La tasa de manufacturacin es mayor que la tasa de demanda.

Este modelo es muy similar al modelo de compra sin dficit. En este modelo cambia el costo de ordenar

una compra por el costo de iniciar una tanda de produccin (C2).

Para determinar la cantidad optima a pedir, se sigue el procedimiento del modelo de compra sin dficit.

En el siguiente esquema se representa este modelo.

Q = Cantidad optima a producir

R = Tasa de manufacturacin


t = Periodo entre tandas de produccin



t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario disponible

t2 = Tiempo en donde no se cuenta con inventario

El costo de organizar una tanda por periodo estar determinado por

El tiempo entre tandas de produccin estar definido por

Puesto que las unidades se utilizan de acuerdo a su definicin el inventario mximo por periodo es el tiempo de

manufacturacin t1 multiplicado por la tasa de acumulacin, en donde la tasa de acumulacin es la tasa

manufacturacin R menos la tasa de demanda D, obteniendo como resultado:

Im= t1(R - D)

El tiempo de manufacturacin es el tiempo requerido para fabricar Q unidades:

Por consiguiente el inventario mximo estar definido por:

Otra forma de representar el costo por periodo es de la forma siguiente:

Para determinar el costo total por el periodo de planeacin se proceder a multiplicar el costo por periodo

por el numero de tandas de produccin.

Para encontrar la cantidad optima a producir se derivada esta ecuacin y se iguala con cero.


En donde el valor de Q se puede obtener mediante la siguiente ecuacin:

Esta cantidad optima que debe fabricarse representa un balance entre los costos de almacenamiento y los costos

de organizacin de una tanda de produccin.

Para entender este modelo se resolver un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos mas importantes de

este modelo de manufacturacin.

EJERCICIO

La demanda de un articulo de una determinada compaa es de 18, 000 unidades por ao y la compaa puede producir ese articulo a una tasa de 3 000 unidades por mes, El costo de organizar una tanda de produccin es $ 500.00 y el costo de almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad optima de debe de manufacturarse y el costo total por ao suponiendo que el costo de una unidad es de $ 2.00,

= 4 470 Unidades

El costo total anual es

= $ 40, 026

El inventario mximo estara determinado por:

= 2 235 Unidades

MODELO DE PRODUCCIN CON DFICIT


FUNDAMENTOS

Las suposiciones para este modelo son las siguientes:


El reemplazo es instantneo (la tasa se reemplazo es finita).


La tasa de manufacturacin es mayor que la tasa de demanda.

En la siguiente figura se ilustra esquemticamente este modelo.


S = Cantidad de unidades agotadas


t = Periodo entre tandas de produccin


t1 t4= Tiempo de manufacturacin

t2 t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas.

El costo de un periodo de produccin estar determinado por la siguiente ecuacin:


Por definicin tenemos

Otra manera de representar el costo de produccin para un periodo tenemos.

Multiplicando la ecuacin anterior por el numero de periodos de produccin tenemos el costo total para el periodo de planeacin:

Para determinar la cantidad optima Q se obtienen las derivadas parciales con respecto a Q y a S.

Realizando las operaciones correspondientes obtenemos como resultado:

Para entender este modelo se resolver un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos mas importantes de este modelo de produccin


EJERCICIO

La demanda de un articulo de una determinada compaa es de 18, 000 unidades por ao y la compaa puede producir

ese articulo a una tasa de 3 000 unidades por mes, El costo de organizar una tanda de produccin es $ 500.00 y el costo

de almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad optima de debe de manufacturarse y

el costo total por ao suponiendo que el costo de una unidad es de $ 2.00. El costo por unidad agotada es de $ 20.00

por ao.

Datos

D = 18, 000 Unidades por ao

R = 3,000 por mes

C1 = $ 2.00

C2 = $ 500.00

C3 = $ 0.15 por mes

C4 = $ 20.00 por ao

La cantidad optima estar definida por:

= 4670 Unidades

Para calcular el costo anual primero se deben calcular el numero de unidades agotadas.

= 193 Unidades


El costo total quedara definido por

Costo Total = $ 39, 855 por periodo de planeacin.

RESTRICCIONES DE REA DE ALMACENAJE E INVERSIN

FUNDAMENTOS

Existen ocasiones en donde se involucran otro tipo de variables con referencia a la cantidad optima a pedir, como por ejemplo el capital con que se cuente y el espacio para almacenar las unidades adquiridas. Cuando una empresa maneja varios tipos de productos vuelve complicado. La empresa debe de ajustar la cantidad optima a pedir para todos sus productos a las restricciones de capital y rea de almacenaje.

Por ejemplo una empresa maneja tres productos A, B, C y debe de realizar pedidos de estos productos. El costo de estos pedidos no deben exceder al capital con que cuente la empresa y al espacio del almacn destinado para almacenar estos pedidos.

Para resolver este tipo de problemas podemos seguir este un sencillo algoritmo.

PASO 1.

Calcular la cantidad optima para cada uno de los productos que maneje la empresa. (Qn)

PASO 2.

Evaluar si las cantidades optimas estimadas se encuentran dentro de las restricciones, es decir, determinar si la restriccin es activa.

(Restriccin No activa)


(Restriccin Activa)

Cuando la restriccin no es activa se pueden pedir la Qn unidades obtenidas. En caso contrario estas Qn se deben ajustar a las restricciones.

Una forma de ajustar las cantidades optimas a pedir a las restricciones es por Multiplicadores de Lagrange realizando un algoritmo recursivo en donde el resultado obtenido es aproximado con un cierto error de desviacin.

Restriccin No Activa

Cuando la restriccin no es activa el coso total para un periodo de planeacin estar definido por la siguiente ecuacin:

La cantidad optima se calcular con la siguiente ecuacin:

Restriccin Activa

Cuando la restriccin es activa el costo total para un periodo de planeacin estar definido por la siguiente ecuacin.

La cantidad optima se calcular con la siguiente ecuacin:

= Valor Variable

ai = rea que ocupa un articulo i

Para entender mejor este modelo se resolver un problema en donde se describirn cada uno de los pasos anteriormente mencionados.

Ejercicio

Determine la cantidad optima a ordenar de cada uno de los productos que maneja una determinada empresa, la informacin sobre este problema se presenta a continuacin.

Producto 1 Producto 2 Producto 3


Demanda 10, 000 8, 000 12, 000

Costo de Ordenar $ 120 $ 150 $ 130

Costo de mantener $ 5 $ 7 $ 6

Costo unitario $ 25 $ 15 $ 30

rea que ocupa 0.5 m2 1.0 m2 1.2 m2

La empresa cuenta con un almacn de 1 500 m2, no tiene restriccin sobre el capital a invertir.

Resolucin.

Para desarrollar este problema aplicaremos el algoritmo antes descrito.

PASO 1.

Determinaremos las cantidades optimas para cada uno de los productos.

Q1 = 692.82 (Producto 1)

Q2 = 585.54 (Producto 2)

Q3 = 721.11 (Producto 3)

PASO 2.

Ahora evaluaremos si la restriccin de rea es activa o no, esto se realiza multiplicando la cantidad optima obtenida para cada producto por el rea que ocupa cada producto.

Q1 = 692.82(0.5m2) =346.41

Q2 = 585.54(1.0m2) = 585.54

Q3 = 721.11(1.2m2) =865.33

El espacio total que ocupa pedir estas cantidades es:

Espacio total =1 797.28

Por lo tanto la restriccin es activa, entonces se desarrollar el algoritmo recursivo para encontrar un intervalo donde se encuentre el valor de la restriccin.

La cantidad optima se determinar por la siguiente ecuacin.

El valor de l estar tomando diferentes valores hasta que se encuentre el intervalo antes mencionado.


Q1 Q2 Q3 S Qiai

0.005 692.45(0.5m2) 585.12(1.0m2) 720.39(1.2m2) 1795.82

1 632.45(0.5m2) 516.39(1.0m2) 609.44(1.2m2) 1563.95

1.2 622.17(0.5m2) 505.29(1.0m2) 592.74(1.2m2) 1527.67

1.5 607.64(0.5m2) 489.89(1.0m2) 570.08(1.2m2) 1477.80

1.3664 613.98(0.5m2) 496.89(1.0m2) 579.85(1.2m2) 1499.39

Como se puede apreciar el intervalo dentro de cual se encuentra 1 500 es 1.2 y 1.5.

Para determinar el valor exacto se realiza una interpolacin, dando como resultado l =1.3664. las cantidades optimas para cada producto sern:

Q1 = 613.98 unidades



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