Sistemas Electrónicos de Control Curso 2013/2014-1 Tema 3 ...

Sistemas Electrónicos de Control

Curso 2013/2014-1

Tema 3. Diseño clásico de controladores

Profesora: Rosa Mª Fernández-Cantí


ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a 2

Contenido

1. Introducción ............................................................................................................................................. 3

2. Especificaciones ........................................................................................................................................ 5 2.1 Tipos de especificaciones .................................................................................................................. 5 2.2 Formulación de especificaciones ...................................................................................................... 7 2.3 Conformación de S, T y L .................................................................................................................. 9 2.4 Restricciones de diseño en sistemas retroactivos de un grado de libertad ..................................... 10 2.5 Construcción de T(s) ....................................................................................................................... 12

2.5.1 A partir de un bloque de 2º orden con polos y ceros adicionales ............................................ 12 2.5.2 Bloque de orden n. Polinomios óptimos o formas estándar ................................................... 13 2.5.3 Conversión de las especificaciones de L(j) en especificaciones de T(j) ............................ 14

2.6 Estabilidad interna .......................................................................................................................... 15 2.7 Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 19

3. Métodos polinómicos. Síntesis directa ................................................................................................. 23 3.1 Diseño por síntesis directa .............................................................................................................. 23 3.2 Conceptos y definiciones ................................................................................................................. 24 3.3 Configuraciones de un grado de libertad ........................................................................................ 25

3.3.1 Método de Truxal (model matching) ...................................................................................... 25 3.3.2 Fijación de polos ..................................................................................................................... 26

3.4 Configuraciones de dos grados de libertad ..................................................................................... 27 3.4.1 Compensador RST .................................................................................................................. 27 3.4.2 Configuración con retroacción E/S de la planta ..................................................................... 29

3.5 Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 30

4. Métodos empíricos. Reguladores PID ................................................................................................. 34 4.1 Reguladores PID ............................................................................................................................. 34

4.1.1 Aplicación del PID a plantas genéricas .................................................................................. 35 4.1.2 Aplicación del PID a plantas SLI de parámetros concentrados .............................................. 38

4.2 Reglas de Ziegler-Nichols para la sintonización de reguladores PID ............................................ 38 4.2.1 Regla de la oscilación crítica .................................................................................................. 38 4.2.2 Regla de la curva de reacción ................................................................................................. 39

4.3 Otros métodos de sintonización....................................................................................................... 40 4.3.1 Fórmulas de Cohen-Coon ....................................................................................................... 40 4.3.2 Uso de índices globales. Integrales de error .......................................................................... 40

4.4 Realizaciones activas para PIDs ..................................................................................................... 41 4.5 Instrumentación. Controladores comerciales ................................................................................ 42 4.6 Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 42

5. Métodos gráficos. Compensadores de avance y retardo .................................................................... 58 5.1 Compensador de avance de fase ..................................................................................................... 58 5.2 Compensador de retardo de fase ..................................................................................................... 59 5.3 Diseño en el dominio frecuencial .................................................................................................... 60

5.3.1 Compensador de avance. Ejemplo ......................................................................................... 60 5.3.2 Compensador de retraso. Ejemplo ......................................................................................... 63

5.4 Diseño en el lugar de las raíces ...................................................................................................... 65 5.4.1 Compensador de avance. Ejemplo ......................................................................................... 65 5.4.2 Compensador de retraso. Ejemplo ......................................................................................... 67 5.4.3 Compensador de retraso-adelanto. Ejemplo .......................................................................... 69 5.4.4 Diseño de redes PD-PI. Ejemplo ........................................................................................... 70

5.5 Compensación tacométrica ............................................................................................................. 73 5.6 Realizaciones ................................................................................................................................... 76

5.6.1 Realizaciones pasivas ............................................................................................................. 76 5.6.2 Realizaciones activas .............................................................................................................. 76

5.7 Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 78



1. Introducción La mayoría de los sistemas de control están basados en el principio de la retroacción: la señal a controlar se compara con la señal de referencia (deseada) y la discrepancia se utiliza para calcular la acción de control correctora. El objetivo de la Teoría de Control es obtener métodos para diseñar sistemas de control basados en la retroacción que puedan aplicarse a un gran número de problemas y que sean lo más sencillos posible. Por otro lado, la Teoría de la Retroacción ha de indicar directamente y sin ambigüedades cuando los objetivos de comportamiento no pueden ser alcanzados. Pasos y dificultades en el diseño de los Sistemas de Control: La secuencia de pasos en el diseño de los sistemas de control es la siguiente:

1) Decidir el tipo y la localización de sensores y actuadores.

2) Modelizar el sistema resultante a controlar.

3) Simplificar el modelo para hacerlo tratable.

4) Analizar las propiedades del modelo simplificado.

5) Decidir las especificaciones del comportamiento.

6) Decidir el tipo de controlador.

7) Diseñar el controlador para satisfacer las especificaciones (si ello no es posible, cambiar las especificaciones o escoger otro tipo de controlador).

8) Simular el sistema controlado en un ordenador y/o prototipo (si es necesario, volver al primer paso).

9) Escoger los componentes hard y soft e implementar el controlador.

10) Si es necesario, sintonizar on-line el controlador. Dificultades prácticas: Las dificultades prácticas que aparecen en los problemas reales son:

1) Las plantas son inciertas. Por muy buena que sea la modelación, es inevitable la existencia de dinámicas no modeladas que aumentan substancialmente el nivel de incertidumbre (sobre todo a altas frecuencias).

2) Las plantas son de fase no mínima. Ello restringe el ancho de banda alcanzable en lazo cerrado.

3) El ruido del sensor y las restricciones en el nivel de la señal de entrada son otros factores que limitan los beneficios alcanzables por el feedback.

Dependiendo de la aplicación unos factores pesan más que otros.

Objetivo del control: El objetivo del control es que una determinada salida y se comporte de la forma deseada. Para ello, se manipula cierta entrada u. Se distinguen los siguientes objetivos de comportamiento (performance):

1) Problema regulador: Consiste en mantener la señal de salida y “lo más cerca posible” de un determinado punto de equilibrio, normalmente cero.



2) Problema servo: Consiste en mantener “pequeña” la señal y – r, para un determinado conjunto de señales r de referencia.

3) Esfuerzo de control: Cada uno de los dos problemas anteriores se combina con la necesidad de mantener la señal de control u “pequeña” (bien sea para mantenerse en el rango de operación lineal, bien para no encarecer el coste del diseño).

Las especificaciones de comportamiento se dan en forma de cotas de las normas de las señales de interés. Notar que los conceptos “cerca de” y “pequeño” se describen por medio de normas (“y

pequeña” significa “ y pequeña”).

Modelización: A un modelo se le pide que sea capaz de predecir el comportamiento entrada/salida del sistema, de manera que pueda ser usado para diseñar un sistema de control, y que además sea lo suficientemente fiable para que el diseño funcione en el sistema físico real. Interesa también que sea lo más simple posible: de dimensiones finitas, lineal e invariante con el tiempo. Hay que distinguir entre:

Sistema físico real: El que está “ahí fuera”.

Modelo físico ideal: Modelo esquemático que describe el comportamiento del anterior y está formado por la interconexión de bloques ideales (resistencias, masas, medios isotrópicos, ...)

Modelo matemático ideal: Resultado de aplicar las leyes naturales al modelo físico ideal. Normalmente es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales.

Modelo matemático reducido: Se obtiene linealizando, truncando, ... En general toma la forma de función de transferencia racional.

Modelo obtenido a partir de datos experimentales: Considerando el sistema como una “caja negra”, se excita con diversas entradas u y se miden las salidas y obtenidas. El objetivo es obtener un modelo que cubra todos los posibles pares (u, y) obtenidos experimentalmente.

Incertidumbre: Ningún modelo matemático es capaz de describir perfectamente al sistema físico real. Siempre existe incertidumbre. La incertidumbre proviene tanto de las entradas (impredecibles, desconocidas) como de la dinámica del propio sistema (desconocida, sometida a simplificación).

La descripción de la incertidumbre debe ser también lo más simple posible, por ejemplo

nuPy )( donde P es la función de transferencia nominal de la planta, es la incertidumbre en el conocimiento de la planta (plant perturbation) y n es la incertidumbre que añaden las señales perturbadoras o ruidosas (disturbance input). Tanto n como pertenecen a unos determinados conjuntos, por tanto se asume un cierto conocimiento a priori de la incertidumbre. Notar que cada entrada u es capaz de producir un conjunto de salidas nuP )( . Así pues, la inclusión de la incertidumbre en el modelo matemático nominal da lugar a modelos no deterministas.



2. Especificaciones

2.1 Tipos de especificaciones Las especificaciones en un sistema de control se pueden agrupar en los siguientes tipos: Estabilidad Comportamiento (transmisión, esfuerzo de control) Sensibilidad y robustez Implementabilidad (el controlador debe ser realizable)

Especificaciones de estabilidad Estabilidad nominal: Un sistema de control es estable cuando todos los polos de la función de transferencia en lazo cerrado pi tienen parte real negativa, ii pp ,0Re .

Estabilidad interna: Se dice que un sistema de control es internamente estable cuando todas las funciones de transferencia en lazo cerrado también son estables. Estabilidad robusta: Se dice que la estabilidad de un sistema es robusta si el sistema sigue siendo estable a pesar de la presencia de incertidumbre. Existen diversos índices que miden lo cerca que está un sistema estable de la inestabilidad. Estos índices son los márgenes de estabilidad clásicos MG (margen de ganancia) y MF (margen de fase),

pero también el máximo de la función de sensibilidad Sr (o margen de módulo 1 rSM ) y los

índices sobrepico (overshoot) de la respuesta indicial Rpt y coeficiente de amortiguamiento . Algunas relaciones útiles son:

100MF para <<, 1

r

r

S

SMG ,

rSMF

2

1arcsin2 ,

21exp

ptR

Especificaciones de comportamiento Las especificaciones de comportamiento limitan la respuesta y en general son convexas. Hay varias categorías: Transmisión (seguimiento): Respuesta indicial, tracking asintótico, error de seguimiento,

error a modelo de referencia. Regulación: A perturbaciones específicas, a ruido (rms), a ciertas frecuencias

Esfuerzo de control: calculando 2u , aceleración (u ),

u debe estar acotada para evitar

excesivo consumo y saturaciones. Se pueden usar índices de precisión, velocidad o índices globales. Medida de la precisión: Constantes de posición, velocidad y aceleración: kp, kv y ka; o, lo que es lo mismo, error estático en régimen permanente e() a entradas en escalón, rampa o parábola. Una relación útil es:



j ji iv zpk

111 donde pi y zj son los polos y ceros del servo.

Notar que, en un sistema de segundo orden con polos complejos conjugados, nvk 21

Medida de la velocidad: Tiempo de establecimiento ts, tiempo de subida tr, ancho de banda a -3dB b. Una relación útil en sistemas resonantes de segundo orden es 5.33 at br .

Índices globales de comportamiento: ISE, IAE, ITAE, ISEU Especificaciones de sensibilidad y robustez De sensibilidad diferencial: Mide el efecto de los cambios y establece márgenes (menor cambio que provoca la violación de ciertas especificaciones). Las especificaciones de S imponen limitaciones en T. El objetivo de la retroacción es gastar el exceso de amplificación en lazo abierto para asegurar la constancia de la amplificación en lazo cerrado. De robustez: Estas especificaciones consideran variaciones de la planta mayores que el estudio de sensibilidad (worst case perturbations), puesto que un diseño “insensible” es robusto para pequeñas variaciones pero no se puede asegurar (garantizar la robustez) para cambios importantes. Las especificaciones de robustez limitan (acotan vía normas) las variaciones aceptables que pueden provocar ciertas perturbaciones y dan cotas garantizadas de la estabilidad para variaciones de la planta que no permiten extrapolar las previsiones de sensibilidad. La interpretación es en términos de pequeña ganancia de T (resonancia) y de S (distancia al punto crítico –1). La estabilidad y la pequeña ganancia están muy relacionadas (small gain theorem). Especificaciones de implementabilidad El controlador debe ser realizable (no puede tener más ceros que polos) y es deseable que se cumplan ciertas condiciones en T y S, Especificación afín: Parametrización de M vía controlador estabilizador. Restricción de realizabilidad: T + S = 1. Algebraica Restricción de estabilidad de T analítica (ceros inestables, interpolación) Parametrización vía interpolación (ceros inestables y estabilidad interna). Antecedentes:

- Truxal (1954), ceros inestables, incluidos en M - Bertrand (1956), polos inestables, cancelados por 1 – M - Youla (1976), parametrización de M alcanzable, vía k estabilizadora - Doyle (1984), parametrización basada en optimización convexa.

Estabilidad interna, implica la de todas las funciones de transferencia del lazo.



Tabla de índices

A partir de M(s) A partir de L(s)

Estabilidad Raíces, Routh; Rpt , ; Mr() Nyquist, MG, MF; 1 L j( )

MGS

Sr

r

1

, MFSr

21

2arcsen

S S jr ( )

Precisión M(0), e

k p zv ii ii

( ) 1 1 1,

ISE

tipo del sistema: kp, kv, ka

Velocidad tr, tp, tD, ts; n, d, r, b c (cross-over) r (de M(j))Sensibilidad S jG

M ( ) , S j( )

,

S s M s( ) ( ) 1

11

L j( )

Atenuación de las perturbaciones (b-f)

S jGM ( ) 1

1

L j( )

Rechazo del ruido (a-f) exceso polos sobre ceros exceso polos sobre ceros

Tabla 1. Formulación de especificaciones. Tabla de índices

Valores numéricos de referencia: 0 7. , %5ptR , MG = 2, MF = 30, S j( ) 2 . En

general diseñaremos los controladores intentando conseguir estos valores.

2.2 Formulación de especificaciones Mediante funciones objetivo (funcionales). Las descripciones mediante funcionales miden la calidad (global) del sistema de control. Si las funciones objetivo son abruptas (no diferenciables) no se puede obtener su gradiente, pero si son convexas pueden optimizarse numéricamente. Gran número de enfoques de diseño pueden describirse mediante familias de especificaciones de

tipo booleano (falso o cierto) (Rpt 1.2, 102 u , DR 0.25, MF 50). En otros se trata de

minimizar el valor de una función de coste (ISEU, 2e ).

Conviene estudiar la viabilidad de las especificaciones y hallar M(s) que sean estables y realizables. Mediante normas. Las normas miden el tamaño de las señales y los sistemas: Señales: los objetivos del control pueden expresarse en función del tamaño de señales tales

como e(t), u(t) que han de ser pequeñas.

Ejemplos: Vmax, Vef (rms), V , 2x , distribución de amplitud, consumo, normas l2, l1.

Sistemas (ganancias). Las normas de sistemas son medidas que permiten establecer relaciones de entrada/salida de señales específicas.

Ejemplos son H2, H, Hankel. La llamada Entropía (I) si bien no es norma está relacionada con H2 y H. Cálculo e interpretación (ganancia en el caso especial de norma).



Normas de señales: Considerar las señales Re),(:)( tu , continuas a tramos y causales (u(t) = 0 para t < 0). Se definen las siguientes normas:

Norma - 1:

dttuu )(

1

Norma - 2: 21

2

2)(

dttuu

Norma - : )(sup tuut

Normas de sistemas: Se definen las siguientes normas:

Norma - 2: 21

2

2)(

2

1

djGG

Norma - : )(sup

jGG

Opcional: Tenemos un sistema G(s) estable y estrictamente propio. La cuestión es: si conocemos lo grande que es la entrada u, ¿cuán grande será la salida y?

)()( ttu )sen()( ttu 1

2u 1

u pow(u) 1

Norma-2 22

Gy 2

y

Gy2

sup 2

sup y 2

y

Norma-

Gy )( jGy

2

sup Gy

1

sup Gy

y

pow(.) 0)( ypow

2

)()(

jGypow

0)( ypow

Gypow )(

Gypow )(

Tabla 2. Relaciones entrada/salida

Método de cálculo de la norma-2: En el caso que G(s) sea estrictamente propia y no tenga polos en

el eje imaginario (con lo que 2

G es finita), se calcula como:

dssGsG

jdssGsG

jdjGG

j

j)()(

2

1)()(

2

1)(

2

1 22

2

La integral de contorno tiene dos contribuciones: el semicírculo alrededor del semiplano izquierdo (cuya integral es nula puesto que G(s) es estrictamente propia, G(j) = 0) y el eje imaginario. Por el Teorema de los residuos,

izquierdosemiplanoelenpoloslosen)()(deresiduos2

2sGsGG

Señal potencia (power signal): Se dice que u es una señal potencia si existe la potencia media (es decir, si existe el límite anterior). Entonces, se define pow(u) como la raíz cuadrada de la potencia media,

212)(

2

1)(

T

TTdttu

Tlimupow



Notar que pow(u) no es una norma puesto que puede valer cero aunque u(t) 0. No cumple pues la

siguiente propiedad de las normas: 0u 0)( tu t.

2.3 Conformación de S, T y L Representación gráfica de T y S:

Propiedades globales (T, S). Las especificaciones que debe satisfacer un servo son:

- Asegurar la transmisión de las señales de mando (en general, de b-f): 1)( jT (a bf)

- Atenuar el efecto del ruido de medida y de entrada (en general, de a-f): 1)( jT (a af)

- Atenuar el efecto de las perturbaciones externas: S j( ) 1 (a bf)

- Atenuar el efecto de las variaciones paramétricas de la planta: S j( ) 1 (a bf)

En resumen, T y S han de ser de la forma:

1 0 -2

1 0 -1 1 0

0 1 0 1 1 0 2 1 0

3-8 0 -6 0 -4 0 -2 0

0

2 0 4 0

Fr e c u e n c ia

Mag

nitu

d |T ( j ) |

-2

|S ( j ) |

1 0 -2

1 0-1

1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3 -8 0

-6 0

-4 0

-2 0

0

2 0

4 0

F re c u e n c ia

Mag

nitu

d

Fig. 1. Conformación (loopshaping) de T y S

Nota: Obsérvese que las frecuencias de codo de M y S no son independientes ya que 1)()( jSjT .

Conformación de la función de lazo L (loopshaping): La forma deseable del lazo es la siguiente:

Bajas frecuencias. Precisión estática: 1T L

Altas frecuencias. Rechazo del ruido de medida : 0T 0L

Frecuencias intermedias. Estabilidad: pendiente de L < -2.

|L| ha de ser de la forma:



10 -2 10-1

100

101

102

103

-100

-50

0

50

100

FREQUENCY

MA

G d

B

|L(j)|

Precisión Transmisión Desensibilización

Zona de transición (estabilidad)

Atenuación del ruido

Fig. 2. Conformación (loopshaping) de L

Resumen: 1) T(s): diseño por fijación de polos y ceros 2) L j( ) : diseño por loopshaping

También se usan normas:

W Ss 1 ; 1

TWc ; 1

TWn donde

SL

1

1;

L

LT

1 (sensibilidad complementaria, a veces representada por T o M)

Notas: Wc(s): es una cota superior de la incertidumbre multiplicativa Ws(s): puede considerarse como una cota superior del espectro de las perturbaciones, a b-f Wn(s): puede considerarse como una cota superior del espectro del ruido de medida, a a-f

2.4 Restricciones de diseño en sistemas retroactivos de un grado de libertad

Los sistemas de control se diseñan para satisfacer unas determinadas especificaciones de comportamiento y robustez que se pueden resumir en T y en S. Sin embargo, no es posible conformar arbitrariamente T y/o S (i.e., no es posible alcanzar cualquier especificación) puesto que están sujetas a una serie de restricciones y limitaciones. Hay dos tipos principales de restricciones:

1) Restricciones algebraicas: Son consecuencia de las relaciones entre las diversas funciones de transferencia del lazo.

2) Restricciones analíticas: El sistema debe ser internamente estable, es decir, todas las funciones de transferencia en lazo cerrado han de ser estables, o lo que es lo mismo, han de ser analíticas en el semiplano derecho. Así pues, el diseño presentará restricciones provenientes de la teoría de funciones analíticas.

Restricciones algebraicas Restricción 1: En un sistema de control con un grado de libertad siempre se cumple que:

1)()( jTjS , .



Nota: Una consecuencia de esta restricción es que )( jS y )( jT no pueden ser

simultáneamente inferiores a 1/2 a la misma frecuencia . Restricción 2: Si p y z son un polo y un cero de L(s), ambos en Re s 0, se cumple que:

)(1

1)(

sLsS

0

1)(

pS y 1)( zS

)(1

)()(

sL

sLsT

1)( pT y 0

1

0)( zT

Restricciones analíticas Restricción 3: Waterbed effect: El efecto de “cama de agua” establece que no es posible hacer S

pequeña a todas las frecuencias. Esto es una consecuencia de la fórmula del área: Fórmula del área de la gráfica de log|S(j)| en función de . Sea ip el conjunto de los polos

de L(s) en Re s > 0. Suponer que el exceso de polos sobre ceros (grado relativo) de L(s) es de, al menos, 2. En esas condiciones, el área es

ipedjS Re)(log)(log

Comentarios: 1) Notar que la representación es en escala logarítmica para las ordenadas y lineal para las

abscisas. 2) Notar que este teorema es válido tanto para los sistemas de fase mínima como los de fase no

mínima aunque sólo se puede aplicar si el exceso de polos sobre ceros de L(s) es igual o superior a 2.

Ejemplo 1. Fórmula del área. Considerar el sistema con )2)(1(

1)(

sssP y 10)( sC .

¿Es internamente estable? ¿Cuánto vale el área neta de )(log jS a lo largo de ?

Solución:

El sistema es internamente estable y su polinomio característico vale 82 ss . Por otro lado, puesto que el exceso de polos sobre ceros de L(s) es de 2, se puede aplicar la fórmula del área la

cual nos dice que el área neta es positiva y vale )(logRe)(log epe i .

0 2 4 6 8 1010-1

100

101

+

_

Fig. 3.

El área negativa a bajas frecuencias (necesaria para tener buen seguimiento) viene acompañada, inevitablemente, por otra área positiva a frecuencias más altas.



2.5 Construcción de T(s) Una vez decididas las especificaciones del problema de control, lo habitual es construir una función de transferencia T(s) que las cumpla. El sistema de control se diseñará para que su transmitancia entre entrada y salida sea T(s).

2.5.1 A partir de un bloque de 2º orden con polos y ceros adicionales

Suponer que la dinámica deseada viene especificada en términos de la respuesta al escalón mediante índices del régimen permanente tales como kp y kv y del transitorio tales como tr , tp , Rpt , ts , etc.

En ese caso conviene empezar con una T(s) con dos polos complejos (transitorio) con el numerador ajustado de manera que se cumpla la precisión estática requerida. En caso de que sea necesario asegurar un determinado exceso de polos sobre ceros se añade un polo suficientemente alejado. Este procedimiento, usado en el método de Síntesis Directa de Truxal, puede resumirse así:

1) Considerar una 22 2

)(nnss

ksT

.

2) Hallar las , n que satisfacen las especificaciones del transitorio. 3) Ajustar la ganancia k del numerador para conseguir 1)0( T .

4) En caso necesario, añadir un cero para conseguir la kv ( iiv

ss zpke

111).

5) En caso necesario, añadir un polo alejado para asegurar que el exceso de polos sobre ceros de M(s) sea igual o superior al de la planta, sin por ello afectar la forma del transitorio.

6) Reajustar la ganancia del numerador para asegurar que, de nuevo, 1)0( T .

Ejemplo 2. Construcción de T(s) sin tener en cuenta la planta.

Considerar las siguientes especificaciones: estabilidad relativa: %15ptR

velocidad: sradb /40

precisión: 1)0( T

seguimiento: 60vk

Se pide:

1) Obtener una 22 2

)(nn ss

ksT

tal que las satisfaga todas.

2) Si ello no es posible, proponer una solución alternativa. Solución:

Parámetro k: Para que la ganancia en continua sea 1)0( T , es necesario que 2nk .

Parámetro : Para tener un sobrepico del %15ptR , el coeficiente de amortiguamiento debe ser

5.0 (valor obtenido por tablas o mediante la fórmula).



Parámetro n: Podemos obtenerlo a partir de la especificación de seguimiento a rampas, kv,

nvk 21

605.022 vn k sradn /60

Pero también podemos obtenerlo a partir de la especificación de ancho de banda a -3dB. Puesto que

5.33rbt y nnd

rt

42.2

1

cos2

1

, un valor válido para n es sradn /30

puesto que está entre 26.32/3

42.242.2

brn t

y 66.27/5.3

42.242.2

brn t

El problema es que, si se escoge sradn /30 , se cumple la especificación sradb /40 pero

la especificación de constante de velocidad se queda corta: 60302

n

vk . Y, si se escoge

sradn /60 , se cumple la especificación 60vk pero la especificación de ancho de banda no

se cumple: 404.7442.2

3 nb .

Así pues, el bloque de segundo orden no es suficiente puesto que con sólo tres parámetros (grados de libertad) no se pueden ajustar cuatro especificaciones no redundantes. Hay que introducir más parámetros, por ejemplo, un cero:

z

zs

ss

ksT

nn

22 2)(

Tomamos sradn /30 de manera que se cumple sradb /40 y calculamos z para que se

cumpla 60vk :

zk nv

121

z

1

30

5.02

60

1

z = 60

El resultado final es, pues, 60

60

30305.02

30)(

22

2

s

sssT .

2.5.2 Bloque de orden n. Polinomios óptimos o formas estándar

El análisis inverso mediante sistemas de segundo orden, con un polo y/o un cero adicional es a lo más que podemos llegar si queremos mantener una relación intuitiva entre T(s) y su respuesta indicial. Sin embargo, en algunos casos conviene aceptar que estamos ante sistemas de orden n elevado cuya correlación entre polos y su respuesta indicial es compleja. Además, la comodidad analítica de



situar un polo alejado nos va a suponer un esfuerzo de control exagerado y, probablemente, innecesario. Para abordar este problema se recurre a los polinomios óptimos, típicos de la aproximación o ajuste de curvas (Butterworth, Legendre, Chebichev, etc.). Un procedimiento/guía para construir T(s) podría ser el siguiente:

1) Seleccionar el orden del polinomio atendiendo al exceso de polos-ceros requerido. 2) Seleccionar el tipo de polinomio que nos parezca más adecuado. 3) Fijar 0 de acuerdo con la escala de tiempos dada por las especificaciones. 4) Ajustar el numerador atendiendo a los requisitos de precisión (Nota: En caso de tener que

añadir un cero, y puesto que ello afectará a tr y Rpt , puede hacerse un primer retoque de los

coeficientes del denominador, aumentando su y/o disminuyendo su 0). 5) Hallar por simulación la respuesta indicial y, de manera interactiva, acabar de ajustar los

coeficientes del numerador N(s) y denominador D(s) de manera que se obtenga una respuesta que se considere satisfactoria.

2.5.3 Conversión de las especificaciones de L(j) en especificaciones de T(j)

En muchos casos las especificaciones son tales que pueden ser formuladas con mayor facilidad en la forma deseada para la ganancia del lazo (loop shaping). En este caso el procedimiento a seguir es el siguiente:

1) Traducir las especificaciones de transmisión y sensibilidad en cotas mínimas de L j( ) a bajas frecuencias.

2) Traducir las especificaciones de rechazo del ruido en cotas máximas a alta frecuencia.

3) Asegurar la estabilidad, estableciendo una pendiente adecuada a la frecuencia de corte (c ).

4) Aproximar la curva resultante de L j( ) en forma racional L(s).

5) Calcular L

L

HsT

1

1)( .

Ejemplo 3. Relación entre las especificaciones del lazo (L(s)) y del servo (T(s)):

Dadas las propiedades en lazo abierto Estabilidad: MF = 30 Exactitud: kv = 2 Velocidad: co = 10rad/s (frecuencia de crossover, o de paso por 0dB, de la ganancia del lazo) Se pide estimar las correspondientes especificaciones en lazo cerrado: Estabilidad: , Rpt, Mr (= Mp)

Exactitud: T(0), ii zp

11 (pi, zi: polos y ceros del servo)

Velocidad: n, b; tr, tp; polos dominantes Robustez: Si Sr = 2, estimar MF y MG. Solución: Propiedades del servo a partir de las propiedades del lazo



Estabilidad: , Rpt, Mr (= Mp)

100MF 3.0100

30 37.0

21

eRpt (o con ayuda de la gráfica Rpt())

67.12

1

12

12

rM

Exactitud: T(0), ii zp

11 (pi, zi: polos y ceros del servo)

Puesto que kv = 2 =cte, el sistema es de tipo 1 el lazo tiene un integrador la ganancia en continua (a escalón) del servo es T(0) = 1

El término ii zp

11 corresponde al error permanente a entradas en rampa, por tanto,

2

11)(

11

vii ke

zp

Velocidad: n, b; tr, tp; polos dominantes

En primer lugar, 10 cor con lo que 04.1121 2

r

n . A partir de ahí,

19.10421 42 nb o también 24.132.1 nb . (Nos quedamos

con el segundo puesto que, al no poder asegurar que sea un segundo orden estricto, el ancho de banda será probablemente mayor que 10.19)

Polos dominantes: 53.101 2 nd 53.103.32,1 jjp dn

Tiempo de subida (aprox. segundo orden): 18.0cos 1

ddrt

o también

5.33 atrb 25.024.13

3.33.3

brt

. (Nos quedamos con el segundo)

Tiempo de pico (aprox. segundo orden): 29.0d

pt

Robustez: Si Sr = 2, estimar MF y MG.

21

r

r

S

SMG

9.282

1sin2 1

rSMF

2.6 Estabilidad interna Lazo retroactivo básico: Planta: Objeto a controlar (suele contener a los actuadores). Entradas exógenas: r (referencia o entrada de mando), d (señal perturbadora externa) y n

(ruido de medida)



Objetivo del comportamiento: y (v) se debe aproximar a una función pre-especificada de r en

presencia de d, de n y de la incertidumbre en la planta.

controlador planta

sensor

r u

d

v

n

y C P

H

r u

d

v n

y x1 x2

x3

Fig. 4. Lazo de control básico

Problema bien planteado: Se dice que el problema está “bien planteado” (well-posed) si todas las funciones de transferencia en lazo cerrado (de r, d, n a u, y, v) existen. Para ver que existen, basta ver que existen las 9 funciones de transferencia de r, d, n a x1, x2, x3.

23

12

31

Pxnx

Cxdx

Hxrx

n

d

r

x

x

x

P

C

H

3

2

1

10

01

01

n

d

r

P

C

H

x

x

x1

3

2

1

10

01

01

El sistema está bien planteado la matriz no es singular 01 PCH existirá la inversa. Cálculo de la inversa:

1

1

1

10

10

01

10

01

01

/

PPC

CHC

HPH

H

P

C

P

C

H

adjtranspsign

Por tanto,

n

d

r

PPC

CHC

HPH

PCHn

d

r

P

C

H

x

x

x

1

1

1

1

1

10

01

011

3

2

1

Condiciones para tener un problema bien planteado: Si P, C, H son propias y las 9 funciones de transferencia son propias, el problema está bien

planteado. En efecto, notar que

9 FT propias 1 + PCH no es estrictamente propia 1 + PCH() 0 Si P, C, H son propias y una de ellas (en general, P) es estrictamente propia, el problema está

bien planteado.



Hay casos en que basta con que P sea propia. Entonces, para que el sistema esté bien planteado se tendrá que asumir que |PCH()| < 1 (|PCH()| > 1 implica que el sistema se haría inestable).

Estabilidad interna Sea G(s) una función de transferencia estable y propia. Se puede escribir como la suma de una

constante G0 y una función estrictamente propia G1.

)()( 10 sGGsG Ejemplo: 1

11

1

ss

s

Veamos que su salida a una entrada acotada ctu )( , para todo t, está también acotada:

dutGtuGty )()()()( 10

cdGcGty )()( 10

Se dice que el sistema retroactivo es internamente estable si las 9 funciones de transferencia son

estables. En consecuencia, si las tres entradas exógenas r, d, n están acotadas, también lo estarán las señales intermedias x1, x2, x3 y, por tanto, también las señales de salida u, y, v.

Ejemplo 4. Considerar el sistema con 1

1)(

s

ssC ,

1

1)(

2

ssP y 1)( sH . Ver si son

estables las funciones de transferencia de r a y y de d a y.

Solución:

22

1

)1(

11

)1(

1

1 2

2

2

sss

s

PCH

PC

r

y estable!

2

1

)1()1()1(

1

)1(

11

)1)(1(

1

1 232

2

ss

s

sss

s

s

ss

PCH

P

r

d inestable!

Criterios de estabilidad interna Si se expresan P, C y H en forma cocientes de polinomios coprimos (es decir, sin factores

comunes),

P

P

D

NP ,

C

C

D

NC ,

H

H

D

NH

el polinomio característico vendrá dado por

HCPHCP DDDNNN

Los polos en lazo cerrado son las raíces de dicho polinomio. Veamos dos criterios que nos indiquen cuando el sistema es internamente estable:



Criterio 1: El sistema retroactivo es internamente estable no tiene polos en el semiplano derecho cerrado, Re s 0. Demostración:

Por simplicidad se supone H = 1. Teníamos que

n

d

r

DDDNNN

NDDDDN

DDDNDD

NNDDn

d

r

PPC

CHC

HPH

PCHx

x

x

CPCPCP

CPCPPC

CPCPCP

CPCP

1

1

1

1

1

1

3

2

1

Paso 1. Suficiencia: No hay polos en lazo cerrado en Re s 0 las 9 funciones de transferencia son estables el sistema es internamente estable. Paso 2. Necesidad: El sistema es internamente estable las 9 funciones de transferencia son estables

Pero eso no implica que el polinomio característico no tenga raíces en Re s 0, puesto que se podrá haber producido alguna cancelación con las raíces de los polinomios de los numeradores.

Hay que demostrar que CPCP DDNN no tiene raíces comunes con CP DD , CP DN , PC DN y

CP NN .

Suponer que Pp DdpsD ˆ)( . La raíz s = -r no puede formar parte de NP (por coprimicidad). Y

si formara parte de NC no podría formar parte de DC (por coprimicidad). Por tanto, ¿sí que puede existir cancelación a pesar de la coprimicidad?

CPCP

CP

CPCP

CP

DDrsNrsN

DDrs

DDNN

DDˆ)(ˆ)(

ˆ)(

Criterio 2: El sistema retroactivo es internamente estable se satisfacen las condiciones: (a) La función de transferencia 1 + PCH no tiene ceros en Re s 0. (b) No hay ninguna cancelación polo-cero en Re s 0 dentro del producto PCH. Demostración:

Por simplicidad se supone H = 1. Teníamos que

n

d

r

PPC

CHC

HPH

PCHx

x

x

1

1

1

1

1

3

2

1

Paso 1. Necesidad: (a) El sistema es internamente estable en particular las tres funciones de

transferencia PCH1

1 son estables 1 + PCH no tiene raíces (ceros) en Re s 0.



(b) El sistema es internamente estable HCPHCP DDDNNN no tiene raíces en Re s 0

no hay raíces comunes en Re s 0 entre HCP NNN y HCP DDD No hay ninguna cancelación

polo-cero en Re s 0 dentro del producto PCH. Paso 2. Suficiencia: Se asumen (a) y (b) Las raíces de HCPHCP DDDNNN están en Re s <

0.

Para demostrarlo supondremos lo contrario: s0 es una raíz en Re s0 0. Entonces

0)( 0 sNNN HCP implicaría que )( 0sDDD HCP

lo cual incumple la condición (b).

Y si hacemos 0)(1)(1 00 sPCHsDDD

NNN

HCP

HCP se incumple la condición (a).

Criterio 3: Criterio de Nyquist: Construir un contorno de Nyquist que englobe a los polos en el eje imaginario. Sea n el número total de polos de P, C y H en Re s 0.

El sistema es internamente estable el diagrama de Nyquist de PCH no pasa por el punto –1 y da exactamente n vueltas alrededor de –1 en sentido antihorario.

Polos lazo cerrado inestables = polos lazo abierto inestables + número vueltas PCH alrededor -1

2.7 Ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Considerar el sistema con retroacción unitaria, H(s) = 1. La definición de estabilidad interna es que las 9 funciones de transferencia sean estables. En el caso de retroacción unitaria basta con que sólo dos de estas nueve funciones sean estables ¿de qué dos funciones se trata?

Solución:

Teníamos que

n

d

r

DDDNNN

NDDDDN

DDDNDD

NNDDn

d

r

PPC

CHC

HPH

PCHx

x

x

CPCPCP

CPCPPC

CPCPCP

CPCP

1

1

1

1

1

1

3

2

1

Las dos funciones son

CPCP

CP

NNDD

DN

PC

P

1 y

CPCP

PC

NNDD

DN

PC

C

1

ya que si estas dos son estables también lo serán las funciones

CPCP

CP

NNDD

DD

PC

1

1 y

CPCP

CP

NNDD

NN

PC

PC

1

y viceversa.



Ejercicio 2. Considerar 110

1)(

ssP , C(s) = k y H = 1. Hallar la mínima ganancia positiva k

tal que: (a) El sistema es internamente estable.

(b) 1.0)( e si r(t) = escalón unitario y n = d = 0.

(c) 1.0

y para todo d(t) con 12d y r = n = 0.

Solución:

(a) Para que el sistema sea internamente estable, las 9 funciones de transferencia

n

d

r

sk

skssk

ss

ksn

d

r

DDDNNN

NDDDDN

DDDNDD

NNDDx

x

x

CPCPCP

CPCPPC

CPCPCP

CPCP 1101

)110(110)110(

)110(1110

)1(10

11

3

2

1

deben ser estables. Por tanto, 1 + k > 0 k > -1 k > 0. (b) Seguimiento asintótico:

91.0

9.01.0

1

1

1

1

)1(10

110)0(

1)()(

00

kkkks

sS

sssSlime

ss

(c) Comportamiento: PC

P

d

y

1 ,

22

22 110

1

1d

ksd

PC

Py

De las relaciones entrada/salida de las normas sabemos que si 12d , entonces

22110

1G

ksy

.

SPIdelpoloslosen)()(deresiduos)()(

2

1)(

2

1 22

2sGsGdssGsG

jdjGG

)1(20

1

10

110/1

10

110/1

10

1

10

1

2

2 kks

ks

kslimG

ks

41.0)1(20

1

k

ky

La condición más restrictiva es la de seguimiento, por tanto, 9k .

Ejercicio 3. Especificaciones. Determinar en qué región del plano complejo deben estar situados

los polos del sistema 22

2

2)(

nn

n

ss

ksM

para que su respuesta indicial presente las

siguientes características:

Precisión: 0)( e



Estabilidad: %10ptR

Velocidad: 5.0st s

Oscilación: 1d rad/s

Elegir un par de polos de dicha región y verificar el resultado representando la respuesta indicial con ayuda del MATLAB. Precisión: El error permanente no depende de la posición de los polos sino de la ganancia en continua de M(s). En nuestro caso, tendremos 0)( e si k=1. Estabilidad: El overshoot Rpt es una medida indirecta del margen de estabilidad del sistema. Si es demasiado grande ello indica que los polos están cerca del eje imaginario y, por tanto, el sistema puede estar cerca de la inestabilidad. Un overshoot del 10% corresponde a un coeficiente de amortiguamiento de =0.6 y éste corresponde a una recta de pendiente 180º-arcos(0.6)=180º-53º=127º. Por tanto, para tener,

%10ptR deberemos tener 6.0 y los polos

deberán estar en la región representada en la figura.

Velocidad: El tiempo de establecimiento ts mide cuánto tarda en extinguirse el transitorio. Para que el valor final de la respuesta indicial entre dentro de la banda de variación del 2% con respecto al valor de régimen, deben pasar 4

contantes de tiempo, es decir, n

st 4

segundos. Para que se cumpla la especificación 5.0st s, el valor absoluto de la parte real de los

polos debe ser 8n .

Oscilación: La frecuencia de oscilación amortiguada d es directamente la parte imaginaria de los polos. Así, juntando todas las especificaciones,

127º 53º -8

j

-1

1

127º 53º

-8

j

127º 53º

j



Algunas posibles selecciones son: >> p=-8+j*1; >> [wn,z]=damp(p) wn = 8.0623 z = 0.9923 >> M=tf(wn^2,[1 2*wn*z wn^2]); >> step(M) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

>> p=-8+j*8; >> [wn,z]=damp(p) wn = 11.3137 z = 0.7071 >> M=tf(wn^2,[1 2*wn*z wn^2]); >> step(M)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

>> p=-8+j*10; >> [wn,z]=damp(p) wn = 12.8062 z = 0.6247 >> M=tf(wn^2,[1 2*wn*z wn^2]); >> step(M)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude



3. Métodos polinómicos. Síntesis directa

3.1 Diseño por síntesis directa El problema de diseño de controladores puede describirse así: - Elegir el par (u, y). - Elegir actuador y sensor. - Elegir configuración. - Determinar el algoritmo de proceso de (r, y) para generar u.

Fig. 5.

Para evitar el proceso de tanteo inherente a los métodos de diseño de sistemas de control puede recurrirse a los llamados métodos directos que desarrollan el diseño en dos fases:

1) Formulación de los objetivos de control. Se selecciona la función T=Y/R, que engloba las características deseadas del comportamiento del sistema. Es el problema llamado model matching o de fijación de polos y ceros.

2) Implementación de T(s). Se elige la configuración de control y se calculan los

controladores.

Sobre la formulación de las características deseadas: Para que el proceso de diseño sea realista y no se reduzca a un simple juego matemático conviene saber a priori que la solución no solo debe presentar ciertas propiedades dinámicas, sino que además debe tener en cuenta las limitaciones físicas de los componentes a la hora de forzar dicha dinámica. En este sentido la T(s) ha de ser tal que, además de la relación Y/R, tenga en cuenta las siguientes características:

1) La dinámica interna. El sistema debe ser internamente estable, es decir, todas sus funciones de transferencia (y no solo Y/R) deben ser estables ya que la referencia (R) no es la única entrada. Ello asegura que, en la compensación de los polos o ceros inestables, no se ha recurrido a la simple cancelación que, por otra parte, es prácticamente imposible.

2) La posible amplificación del ruido de alta frecuencia. Para evitarlo se dice que el problema ha de estar bien planteado (well-posed). Ello implica que todas las funciones de transferencia del servo Ti(s) sean propias, lo que requiere Ci propios y, además, 1+L()0. Ello limita también la señal de control puesto que U/R=T/P=Q debe ser propia y estable.

3) La realizabilidad de los controladores, es decir, que resulten propios y puedan implementarse, sin problemas, con circuitos activos (o algoritmos causales).

Sensor

Planta

Actuador

Controlador

r e u

y

y



Sobre las limitaciones de T(s): Para que la T(s)=Y/R sea implementable ha de ser escogida con las siguientes limitaciones:

Ha de ser estable Ha de ser propia (para que el problema esté bien propuesto). Por ello, no puede haber

conexión directa (sin pasar por la planta) entre R, Y. Ha de tener un exceso de polos sobre ceros superior o igual al de la planta. Ha de retener todos los ceros de la planta inestables (es aconsejable hacer lo mismo con los

ceros estables que estén cerca al eje imaginario) para asegurar la estabilidad interna.

Sobre los criterios de optimización: Sirven de guía (referente) para obtener buenas dinámicas según sean las especificaciones: tr,

Rpt, e(), etc. Los más interesantes son: ITAE, ISEU. El resultado (T(s)) depende de la señal de excitación Presentan problemas de cálculo si la optimización es con restricciones, por ejemplo

Mu .

Hay criterios que tienen en cuenta el ruido (electrónico) y las perturbaciones (viento, red, variaciones paramétricas).

Sobre la configuración: Las tres configuraciones más usuales son: 1) 1 grado de libertad (1DOF, 1 degree of freedom) 2) 2 grados de libertad (2DOF), por ejemplo, la configuración RST. 3) Retroacción de la entrada y la salida (E/S) de la planta

3.2 Conceptos y definiciones

Se dice que )(

)()(

sD

sNsP es propia si el orden de D(s) es mayor o igual al orden de N(s).

)(

)()(

sD

sNsP es estrictamente propia si el orden de D(s) es mayor que el orden de N(s).

Se dice que )(

)()(

sD

sNsP es irreductible si los polinomios N(s), D(s) son primos entre sí

(coprimos).

Se dice que )(

)()(

sR

sYsT está bien planteada si todas las transmitancias )(sTi en lazo cerrado,

entre todos los posibles pares de señales del servo, son propias (el servo es propio).

Se dice que )(

)()(

sR

sYsT es internamente estable si todas las transmitancias )(sTi en lazo cerrado,

entre todos los posibles pares de señales del servo, son estables.



Se dice que )(

)()(

sR

sYsT es implementable a partir de

)(

)()(

sD

sNsP (propia, irreductible y de

orden n) si existe una configuración (retroactiva) que, incluyendo la planta P(s), presenta las siguientes propiedades:

1) Todos los controladores C(s) son propios (facilidad de diseño, rechazo al ruido). 2) El servo T(s) está bien planteado (rechazo al ruido). 3) El servo T(s) es internamente estable (evitando así cancelaciones peligrosas). 4) Toda la potencia pasa por la planta (plant leakage): La configuración no tiene líneas de

control directas entre r e y, es decir, que no pasen por la planta.

Para poseer las anteriores propiedades, )(

)()(

sD

sNsT

T

T ha de satisfacer las siguientes condiciones:

1) Para que los C(s) sean propios: La función de transferencia )(

)()(

sP

sTsQ ha de ser propia

y estable. Por tanto, el servo T(s) ha de ser estable, propio y con un exceso de polos sobre ceros superior o igual al de la planta P(s).

2) Para que todas las )(sTi sean propias (problema bien concebido): Hay que comprobarlas

todas, o bien asegurar que 0)( TD (o lo que es lo mismo, 1)( L ).

3) Para que todas las )(sTi sean estables (estabilidad interna): Todos los ceros inestables (de

fase no mínima) de la planta han de aparecer en )(sNT .

En resumen, para que se cumplan estas tres condiciones a la vez, es necesario que la función de

transferencia )(

)(

)(/)(

)(/)(

)(

)()(

sR

sU

sUsY

sRsY

sP

sTsQ sea propia y estable.

3.3 Configuraciones de un grado de libertad Las siguientes configuraciones son con retroacción unitaria y compensador serie.

3.3.1 Método de Truxal (model matching)

Formulación del problema:

Datos: Planta )(

)()(

sD

sNsP

Objetivos: )(

)()(

sD

sNsM

M

M

Estructura:

C(s) P(s)

+

-

Fig. 6.

Problema: Hallar )(sC tal que )()()(1

)()(sM

sCsP

sCsP



Solución:

)(1

)(

)(

1)(

sM

sM

sPsC

Comentario: No siempre es posible aplicar este método dado que al basarse en la cancelación de

ciertos polos y ceros, si éstos no son estables (o son poco amortiguados), si bien el servo resultante M(s) es globalmente estable, no todas las Mi(s) lo son (es decir, no es internamente estable) y por tanto pueden aparecer señales crecientes u oscilaciones persistentes, ambas indeseables.

3.3.2 Fijación de polos


Datos: Planta )(

)()(

sD

sNsP , estrictamente propia y de orden n

Objetivos: Concentrados en el polinomio característico del servo )(sDM

Estructura:

C(s) P(s)

+

-

Fig. 7.

Problema: Hallar )(

)()(

sA

sBsC propio tal que )()()()()( sDsBsNsAsD M

(ecuación diofántica) Solución:

Condiciones de existencia y unicidad de la solución: P(s) irreductible y de orden n. C(s) propia y de orden n-1. )(sDM de orden 2n-1. Si no es así, hay que completarlo (más o menos

arbitrariamente)

Pasos de la solución:

Paso 1. Construir el sistema de ecuaciones algebraicas lineales (provenientes de la igualación de los coeficientes de la ecuación diofántica)

)(),(),( MDABDN fcS

Por ejemplo, para n = 2, )()()()()( sDsBsNsAsD M

012

23

3010101012

2 fsfsfsfbsbnsnasadsdsd



3

2

1

0

1

1

0

0

2

112

0011

00

000

0

00

f

f

f

f

b

a

b

a

d

ndd

ndnd

nd

Paso 2. Resolver el sistema anterior

)(),(),( 1MDDNAB fSc

01

01

)(

)()(

asa

bsb

sA

sBsC

Paso 3. Realizar físicamente el controlador C(s).

Comentarios:

1) Si con P(s) estrictamente propia se elige C(s) de orden m>n-1, la solución no es única (hay varias) pudiéndose elegir la más conveniente para satisfacer otros objetivos además de la fijación de polos. Si P(s) es propia pero no estrictamente propia, para que haya solución única se requiere que el orden de C(s) sea m = n.

2) Si se aplica este método para obtener model matching, se fuerzan ciertas cancelaciones (inevitables, no se pueden modificar) que pueden desvirtuar el diseño al posibilitar la aparición de señales elevadas y/u oscilaciones persistentes.

3.4 Configuraciones de dos grados de libertad

3.4.1 Compensador RST


Datos: Planta )(

)()(

sD


Objetivos: Concentrados en el modelo )(

)()(

sD

sNsM

M

MM

Configuración: )()()()(

)()()(

sSsNsRsD

sNsTsM

+T(s)

)(

1

sR

S(s)

P(s)

Fig. 8.

Problema: Hallar los polinomios R(s), S(s) y T(s). Hallar )(

)()(1 sR

sTsC y

)(

)()(2 sR

sSsC propios tales que



)()()( sNsNsT M y

)()()()()( sDsSsNsRsD M (ecuación diofántica) Solución:

Condiciones de existencia y unicidad de la solución: P(s) irreductible y de orden n. C1(s) y C2(s) propios y de orden n-1. )(sM implementable y de orden 2n-1. Si no es así, hay que

completarlo (más o menos arbitrariamente)


Paso 1. Acondicionar el orden y los factores de )(sM M para obtener )(' sM M

Dividir )(

)(

sN

sM M = {eliminar factores comunes} = )(

)(

sD

sN

p

p (coprimos)

Nuevo numerador: )()()()(' 0 sDsNsNsN pM

Nuevo denominador: )()()(' 0 sDsDsD pM

0D es un factor arbitrario (de raíces razonablemente estables) con el orden

adecuado para que el orden de )(' sD M sea superior o igual a 2n-1.

Paso 2. Formular las ecuaciones de diseño, )()(' sMsM M

)()()()()(:)(' 0 sNsTsDsNsNsN pM )()()( 0 sDsNsT p

)()()()()()(:)(' 0 sSsNsRsDsDsDsD pM

Paso 3. Construir el sistema de ecuaciones algebraicas lineales correspondiente a la ecuación diofántica

)(),(),( 0DDSRDN pfcS

Por ejemplo, para n = 2, )()()()()()( 0 sDsDsSsNsRsD p

012

23

3010101012

2 fsfsfsfsssnsnrsrdsdsd

3

2

1

0

1

1

0

0

2

112

0011

00

000

0

00

f

f

f

f

s

r

s

r

d

ndd

ndnd

nd


)(),(),( 01 DDDNSR pfSc 01)( rsrsR , 01)( ssssS

Paso 5. Realizar físicamente los controladores )(

)()(1 sR

sTsC y

)(

)()(2 sR

sSsC .



3.4.2 Configuración con retroacción E/S de la planta


Datos: Planta )(

)()(

sD


Objetivos: Concentrados en el modelo )(

)()(

sD

sNsM

M

MM

Configuración: )()()()()()(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(1

)(

)(

)(021

0

0

2

0

1 sDsDsNsNsNsD

sDsN

sD

sN

sD

sN

sD

sNsD

sN

sM

+

++

)(10 sD

P(s)

C1(s)

C2(s)

Fig. 9.

Problema: Hallar N1(s), N2(s) y D0(s). Hallar )(

)()(

0

11 sD

sNsC y

)(

)()(

0

22 sD

sNsC

propios tales que )()()()()()()( 021 sDsDsDsNsNsNsD M

(ecuación diofántica) y )()()( 0 sNsDsN M y

Solución:

Condiciones de existencia y unicidad de la solución: P(s) irreductible y de orden n. C1(s) y C2(s) propios y de orden n-1. )(sM M implementable y con un exceso de polos y ceros igual al de la planta.


Paso 1. Acondicionar el orden y los factores de )(sM M para obtener )(' sM M

Dividir )(

)(

sN

sM M = {eliminar factores comunes} = )(

)(

sD

sN

p

p (coprimos)

Nuevo numerador: )()()()(' 0 sDsNsNsN pM

Nuevo denominador: )()()(' 0 sDsDsD pM

Si el grado de Np, m , es inferior a n-1, entonces 0D es un factor arbitrario de

orden )1( nm . Si m es mayor o igual a n-1, entonces 10 D .

Paso 2. Formular las ecuaciones de diseño, )()(' sMsM M



)()()()()(:)(' 00 sDsTsDsNsNsN pM )()()( 00 sDsNsD p

)()()()()()()()(:)(' 0210 sDsDsNsNsNsDsDsDsD pM

Paso 3. Construir el sistema de ecuaciones algebraicas lineales correspondiente a la ecuación diofántica

),,,(),(),( 021 pp NDDDNNDN fcS

tomando

)()()()()()()()()()()()()( 00021 sFsNsDsDsDsDsDsDsDsNsNsNsD ppp

Por ejemplo, para n = 2, )()()()()( 21 sFsNsNsNsD

012

23

32021011011012

2 fsfsfsfnsnnsnnsndsdsd

3

2

1

0

21

11

20

10

2

112

0011

00

000

0

00

f

f

f

f

n

n

n

n

d

ndd

ndnd

nd


),,,(),(),( 01

21 pp NDDDDNNN fSc

10111 )( nsnsN , 20212 )( nsnsN

Paso 5. Realizar físicamente )(

)()(

0

11 sD

sNsC y

)(

)()(

0

22 sD

sNsC .

3.5 Ejercicios resueltos Ejercicio 1. Control RST. Considerar la siguiente planta y especificaciones

23

3

)(

)()(

2

ss

s

sA

sBsP y

433

4

)(

)()(

23

ssssD

sNsM

M

M

La configuración de control escogida es la de dos grados de libertad representada en la figura,

+ T(s)

)(

1

sS

R(s)

P(s)

+)(

)()(1

sS

sTsC

)(

)()(2 sS

sRsC

)(

)()(

sA

sBsP

Fig. 10.



donde BRSA

TB

SABR

SAB

TM

1

. Se desea obtener los controladores C1 y C2. Para ello,

1) Plantear matricialmente y resolver la ecuación diofántica a fin de obtener los polinomios S y R. Obtener C2(s).

2) Obtener C1(s). (Nota: Aquí T no tiene que ser obligatoriamente un polinomio) Solución: Condiciones de existencia de la solución: Planta irreductible (A y B no tienen factores en común): sí M implementable y de fase mínima: sí M de orden 2n-1 donde n es el orden del denominador de P: sí (M es de orden 2·2-1=3) En estas condiciones, C1 y C2 deben ser propios y de orden n-1=2-1=1. Por tanto,

0101 )(,)( rsrsRssssS

La ecuación diofántica )()()()()( sDsRsBsAsS M queda como:

012

23

30101012

201 pspspsprsrbsbasasasss

Matricialmente, tenemos:

3

2

1

0

1

1

0

0

2

112

0011

00

000

0

00

p

p

p

p

r

s

r

s

a

baa

baba

ba

15.0)(,5.0)(

1

3

3

4

0100

1301

3213

0032

0101

1

1

1

0

0

srsrsRsssssS

r

s

r

s

De ahí, 5.0

15.0

)(

)()(2

s

s

sS

sRsC

La función de transferencia del lazo cerrado es

433

)5.0)(3()(

35.05.015.35.3

)5.0)(3()(

5.0

)15.0(

23

31

23

3

)()()(1

)()()(

2312231

2

2

12

1

sss

sssC

sssss

sssC

s

s

ss

sss

s

sCsCsP

sPsCsM

Para tener seguimiento se selecciona T de manera que



3

4)(4)3)(()()()(

ssTssTsNsBsT M

De ahí, )3)(5.0(

4

)(

)()(1

sssS

sTsC

Ejercicio 2. Control RST con acción integral. Repetir el ejercicio anterior pero forzando ahora acción integral en el lazo:

+ T(s)

)(

1

sS

R(s)

P(s)

+

)(

)()(1 sR

sTsC

)(

)()(2 sS

sRsC

)(

)()(

sA

sBsP

Fig. 11.

Solución: Hay que forzar a que el polinomio S(s) tenga un término Hs=s. El método es el mismo, pero ahora supondremos que Hs forma parte de la planta (n=3). Habrá que ampliar M(s) con polos lejanos a fin de que se cumpla la condición de existencia (2n-1=5). Así:

Nueva planta (n=3): sss

s

sss

s

sHsA

sB

sA

sBsP

s 23

3

)23(

3

)()(

)(

)('

)()(

232

Hs=[1 0]; numP=[1 3];denP=conv([1 2 3],Hs); %se pone el integrador como si fuera parte de la planta

Nuevas especificaciones (2n-1=5): ponemos dos polos lejanos en -20 y ajustamos la ganancia en

continua 20

20

20

20

433

4

)('

)(')(

23

ssssssD

sNsM

M

M

16001360132452343

1600)(

2345

ssssssM

numM=4*20*20;denM=conv([1 3 3 4],[1 20]),denM=conv(denM,[1 20]) %se añaden polos lejanos a M %denP=[1 2 3 0],denM=[1 43 523 1324 1360 1600]

Ecuación diofántica A=[0 3 2 1 0 0;3 1 0 0 0 0;0 0 3 2 1 0;0 3 1 0 0 0;0 0 0 3 2 1;0 0 3 1 0 0]'; y=rot90(denM); x=inv(A)*y; A = 0 3 0 0 0 0 3 1 0 3 0 0 2 0 3 1 0 3 1 0 2 0 3 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 0 y = 1600 1360 1324



523 43 1 x = 194.2778 533.3333 41.0000 81.2778 1.0000 243.7222

1

43

523

1324

1360

1600

010000

020100

130201

301302

003013

0000301

2

2

1

1

0

0

r

s

r

s

r

s

S=[x(5) x(3) x(1)] R=[x(6) x(4) x(2)] C2=tf(R,conv(S,Hs))

ssssHsSsSsssS s 3.19441)()(')(3.19441)(' 232

3.53328.817.243)( 2 sssR

Transfer function: 243.7 s^2 + 81.28 s + 533.3 --------------------------- s^3 + 41 s^2 + 194.3 s

sss

ss

sS

sRsC

3.19441

3.53328.817.243

)(

)()(

23

2

2

B=[1 3];A=[1 2 3]; P=tf(B,A), L=series(C2,P);M=feedback(L,1),zpk(M) T=tf(numM,B)

3

1600

)(

)(')(

ssB

sNsT M

C1=tf(numM,conv(B,R)) Transfer function: 1600 -------------------------------------- 243.7 s^3 + 812.4 s^2 + 777.2 s + 1600

16002.7774.8127.243

1600

)(

)()(

231

ssssR

sTsC

M=minreal(series(C1,M)) Transfer function: 1600 ------------------------------------------------- s^5 + 43 s^4 + 523 s^3 + 1324 s^2 + 1360 s + 1600



4. Métodos empíricos. Reguladores PID Los métodos clásicos para el cálculo de controladores suponen que las plantas son sistemas lineales invariantes con el tiempo (SLI) y de parámetros concentrados (dimensión finita). Sin embargo, en la mayoría de procesos reales ello no es así. En la industria muchas plantas presentan grandes retardos puros (tanto en la dinámica del proceso como en las medidas) y por tanto no se pueden modelar por medio de parámetros concentrados. Otros muchos procesos (como los que implican flujos turbulentos) no pueden ser descritos por modelos lineales, las válvulas de control se saturan (no se pueden abrir más), etc. En estos casos se pueden adoptar diversas soluciones: Extrapolar las técnicas lineales, usando un modelo linealizado y de dimensión finita (aunque sea

burdo), y aplicar un diseño lineal con este enfoque. No hay seguridad de que una vez implementado funcione bien, pero este primer diseño puede acabar de ajustarse con ayuda del ordenador (a menos que hayan muchos parámetros).

Usar técnicas no lineales de análisis y diseño. El diseño de sistemas de control de sistemas no

lineales normalmente hay que hacerlo por tanteo: se empieza por una configuración y un controlador simples. Si no se tiene suerte se sigue con configuraciones y controladores más complejos.

Trabajar directamente con la planta física y con un regulador PID, ajustando a priori y de modo

empírico sus parámetros, y confiando en que una vez implementado funcione. Si no es así, el operador deberá reajustar los parámetros.

Como en el caso de SLI, la retroacción mejora las características (perturbaciones externas y sensibilidad).

4.1 Reguladores PID Son controladores cuyas funciones de transferencia se muestran en la siguiente tabla

P: cksC )( PI:

sksC

ic

11)( PID:

s

sksC d

ic

1

1)(

PD: sksC dc 1)( PID práctico:

ps

s

sksC d

ic

1

1)(

PD práctico:

1;1

1)(

N

sN

sksC

d

dc

Tabla 3. Funciones de transferencia de los reguladores PID



4.1.1 Aplicación del PID a plantas genéricas

Regulador proporcional (P): El regulador proporcional, como su nombre indica, no es más que una ganancia: el esfuerzo de control es proporcional a la señal de error, )()( tektu c , a más error

más esfuerzo de control. Aumentar la ganancia kc permite reducir el error permanente a entradas en escalón (offset)

pero no eliminarlo a no ser que la planta tenga un integrador (recordar que la única forma de eliminar el offset a escalón es que el lazo tenga un integrador y el regulador P, por definición, no contiene acción integral, sólo proporcional).

Pero tampoco es recomendable aumentar demasiado kc porque ello puede degradar la

respuesta del sistema. Por un lado, el sistema tiende a oscilar más y puede llegar incluso a desestabilizarse y, por otro, podemos llegar a saturar los actuadores (válvulas, motores) con lo que el comportamiento dejará de estar en la zona lineal.

Regulador integral (I): El esfuerzo de control es proporcional a la integral ("historia") de la señal

de error, t

i dektu0

)()( . De este modo, mientras la referencia no sea alcanzada la integral del

error no parará de crecer, y con ella la acción de control sobre el sistema, hasta que la acción sea suficiente para llevar al sistema al punto deseado. Notar que, aunque la señal de error sea nula en un instante, la acción de control no tiene por qué serlo también. Si el lazo (con retroacción unitaria) es de Tipo 1, y el servo es estable, el reset (i.e., la salida

y la consigna coinciden en régimen permanente) se realiza automáticamente. Ello es válido tanto para sistemas lineales como no lineales.

Aunque la acción integral mejora la precisión, estropea la estabilidad. El transitorio se

vuelve lento y oscilatorio. La acción I es más lenta que la acción P. Puede aparecer el fenómeno llamado integral wind up (o saturación integral). La u supera

el nivel de saturación del actuador con lo que, aunque aumente más de magnitud, ello no produce ningún efecto. Sin embargo, si se sigue teniendo un error no nulo en el lazo, la acción integral lo irá sumando y sumando (generando una rampa). El problema vendrá cuando, por ejemplo, la señal de error cambie de signo. Antes de que la acción de control pueda responder adecuadamente se tendrá que "vaciar" la integral y ello puede tardar un tiempo. Como resultado se introducirá un retardo en el lazo que puede llevar al sistema a la inestabilidad. Este problema empeora cuando se usan controladores digitales de coma fija (la acumulación en la integral puede provocar overflow y la u puede pasar repentinamente de su máximo positivo a su máximo negativo)

Anti reset wind up. Para eliminar el efecto anterior, se fija un valor máximo y mínimo en la evolución de u que estén por debajo de los niveles de saturación y se desactiva el integrador cuando u alcanza dicho nivel y así u no crece por encima de la saturación. Al cambiar e de signo su efecto aparece inmediatamente en u, mejorando así el comportamiento del sistema de control.

La siguiente figura muestra la compensación de la saturación asociada a un regulador con acción integral mediante un lazo auxiliar no lineal



)5)(1(

5

ss

U a PI (o PID)

E + R +

s

s

Uc

Fig. 12. Anti reset wind up mediante lazo auxiliar no lineal

Regulador proporcional-integral (PI): Notar que el regulador PI equivale a un integrador y un cero:

s

sk

sksC

i

ic

ic

111)(

El regulador PI combina las ventajas de las dos acciones P e I. La acción integral permite obtener offset nulo a consignas tipo escalón y la acción proporcional adicional añade el cero que reduce el riesgo de inestabilidad propia de la acción integral. Regulador derivativo (D): La señal de control es proporcional a la derivada de la señal de error

dt

tdektu d

)()( . Con la acción diferencial se busca conseguir un comportamiento más suave del

sistema de control (si solo se usa P e I, la forma de alcanzar el valor de referencia puede ser excesivamente brusca, presentando picos de sobreoscilación excesivos). A esta acción de control también se le llama anticipativa puesto que, al tener información

sobre si el error está creciendo o decreciendo, el esfuerzo de control actúa antes de que la señal de error sea excesivamente grande o pequeña. Dicho de otro modo, evitamos que el sistema pase de largo la referencia ya que si la derivada del error es negativa (nos acercamos a la referencia) el efecto derivativo ‘frena’ ligeramente la acción de control. La acción derivativa pues hace al sistema más sensible y aumenta la estabilidad relativa (al introducir un cero en el lazo).

Notar también que si el error es constante, la acción de control es nula por lo que este tipo

de acción no es adecuada para eliminar errores permanentes.

La acción derivativa pura es problemática cuando existe ruido o señales perturbadoras superpuestas a la salida del servo. Por ejemplo, suponer que tenemos una perturbación aditiva de tipo Asin(t), con grande. Al pasar por el derivador, la amplitud de la señal perturbadora será A>>A con lo que la acción perturbadora se verá reforzada.

Otro problema relacionado con la acción derivativa pura es que puede suceder que los actuadores no puedan implementarla. Por ejemplo, si hay un cambio brusco de consigna, la señal de control generada será un impulso de gran amplitud, pero por mucha amplitud que tenga, si el actuador presenta una saturación, la salida del actuador siempre será la misma.



Así, el regulador ideal kds es impropio (más ceros que polos) y poco recomendable de

implementar, por ello, en la práctica se implementa

N

sksk

sCd

d

1)( , donde N varía entre 3

y 10, y viene determinado por el fabricante recibiendo el nombre de taming factor. Este factor facilita la realización y, además, limita la ganancia a altas frecuencias, de manera que el ruido de medida no es magnificado indebidamente. A los efectos de la señal de error el C(s) se comporta (aproximadamente) como kds.

Regulador proporcional-derivativo (PD): La señal de control es proporcional a la señal de error y a

la derivada de la señal de error dt

tdektektu dp

)()()( . En el dominio transformado,

sksC dc 1)(

El control PD aumenta la estabilidad relativa al introducir un cero finito. Ello se traduce en

que se reduce el sobreimpulso de la respuesta indicial. Dependiendo de la posición del cero del controlador con respecto a la planta puede ser que la respuesta del sistema controlado sea excesivamente lenta.

Regulador PID: La

sT

sTksG d

icc

11)( puede realizarse de diversas maneras (ver la

siguiente figura)

PID + u

y

PI+ u

yD

+

I+ u

y PD

+

(a) de texto (b) tacométrica ideal (c) alisado (I) del error

Fig. 13. Configuraciones PID

El control PID permite eliminar el offset gracias a la acción integral y mejorar la estabilidad relativa (reducir el sobreimpulso) gracias a la acción derivativa. Para ajustarlo se empieza variando kc. Si no es suficiente se añade ki (Ti) para la precisión y, por último, kd (Td) para mejorar el amortiguamiento. Realización de la acción derivativa D: La acción derivativa pura no es realizable (notar que el derivador puro implica respuesta frecuencial creciente de pendiente +20dB/dec y ancho de banda infinito). Sin embargo, puede aproximarse por medio de la retroacción tal y como muestra la siguiente figura:



Fig. 14. Realización práctica de un derivador

En la Fig. 14, la función de transferencia de entrada a salida en lazo cerrado es

1 /

N sNs

N s s N

si N>>.

4.1.2 Aplicación del PID a plantas SLI de parámetros concentrados

El PID también puede ser aplicado al diseño de SLI concentrados. En realidad el controlador P es siempre el primero en aplicarse sea el diseño por Evans o por Bode. En el caso de plantas SLI también puede usarse Ziegler-Nichols (calculando Tcu, kcu) pero no hay razón para restringir el tipo de controladores a su formato PID ya que pueden considerarse como casos especiales los siguientes:

s

kskPI ip

es caso un especial de filtro de retardo ps

zs

, z>p, por lo que el diseño

resultará de menor calidad al restringirse al caso p = 0.

ps

npsk

sN

ksk

kskkPDd

dpdp

)(

1, n<1, que es un ejemplo de filtro de avance.

01

201

2 )(

asas

bsbskPID

es un caso especial de compensador de segundo grado.

Notas:

Si se usan controladores generales, se supone que darán mejores resultados que los más restringidos PID, por lo que en SLI no es razonable restringir los controladores a PID.

Una razón para usar PID es que pueden realizarse hidráulica y neumáticamente, cosa que no puede hacerse en el caso de controladores generales propios. Así, en sistemas de control basados en circuitos hidráulicos (Boeing) se usan PID. En sistemas de control basados en circuitos electrónicos (Airbus) no hay razón para restringirse a PID, el controlador puede ser más complejo y el sistema de control mejor.

4.2 Reglas de Ziegler-Nichols para la sintonización de reguladores PID Las reglas de Ziegler-Nichols constituyen un método empírico para la sintonización de reguladores PID. No es necesario contar con un modelo detallado de la planta, basta con identificar unos pocos parámetros característicos. La especificación que cumplirá la respuesta temporal es que el decay ratio (DR) será del 25% puesto que estas reglas minimizan el criterio IAE (el decay ratio es la relación de caída que hay entre dos picos consecutivos de la oscilación amortiguada).

4.2.1 Regla de la oscilación crítica

+

-

N

1

s



Se cierra un lazo unitario negativo alrededor de la planta y se aumenta la ganancia del lazo hasta que la salida oscila con amplitud constante. En ese momento se miden la ganancia última (ku, ultimate gain) y el periodo de la oscilación (Tu). Con estos dos parámetros se sintoniza el controlador

kc y

Tu

t

y

Ensayo. Resultado.

Fig. 15.

Regulador P: k kc cu 0 5.

Regulador PI: cuc kk 45.0 ui TT 83.0

Regulador PID: cuc kk 6.0 ui TT 5.0 ud TT 125.0

Tabla 4. Oscilación crítica.

4.2.2 Regla de la curva de reacción

En lazo abierto se excita la planta con un escalón unitario y se miden los parámetros que caracterizan la respuesta en S (sigmoide) resultante.

y

0 t

y

k

Ensayo. Resultado.

Fig. 16.

Regulador P: k

kc 1

0

Regulador PI:

0

9.0

kkc 033.3 iT

Regulador PID:

0

2.1

kkc 02iT 05.0 dT

Tabla 5. Curva en S.



Comentario. El retardo puro soe puede aproximarse por las siguientes aproximaciones racionales (las dos últimas reciben el nombre de aproximación de Padé de primer orden y segundo orden respectivamente).

s01

1

,

s

ss

s

0

0

0

0

2

2

21

21

,

220

220

200

200

0

0

48

48

8

)(

21

8

)(

21

ss

ss

ss

ss

Ejemplo: Dada 12

0

s

e s

, hallar 3 aproximaciones y dibujar las respuestas indiciales.

4.3 Otros métodos de sintonización

4.3.1 Fórmulas de Cohen-Coon

En el desarrollo de su método de sintonización Ziegler y Nichols no consideraron que el proceso fuera autoregulado. Cohen y Coon introdujeron, entonces, un índice de auto regulación definido

como 0 y plantearon nuevas ecuaciones de sintonización. Estas se basan en un modelo de

primer orden con retardo puro 1

0

s

ek

s

, con los siguientes objetivos: DR= 25%, mínimo overshoot,

y mínima área bajo la curva de respuesta. Las ecuaciones resultantes son:

43

4 0

0kkc ,

/813

/632

0

00iT ,

/211

4

00dT

4.3.2 Uso de índices globales. Integrales de error

Es posible sintonizar los reguladores PID a fin de que minimicen ciertas integrales de error.

Tipo de controlador IAE ITAE Proporcional-integral, PI:

1

01

b

c k

ak

,

/022 bai

a1 = 0.758 b1 = -0.861 a2 = 1.02 b2 = -0.323

a1 = 0.586 b1 = -0.916 a2 = 1.03 b2 = -0.165

Proporcional-integral-derivativo, PID: 1

01

b

c k

ak

,

/022 bai ,

3

03

b

d a

a1 = 1.086 b1 = -0.869 a2 = 0.740 b2 = -0.130 a3 = 0.348 b3 = 0.914

a1 = 0.965 b1 = -0.855 a2 = 0.796 b2 = -0.147 a3 = 0.308 b3 =0.9292

Tabla 6. Minimización de integrales de error frente a cambios de consigna (servo). Fórmulas de sintonización



Tipo de controlador ISE IAE ITAE

Proporcional, P:

b

c k

ak

0

a = 1.411 b = -0.917

a = 0.902 b = -0.985

a = 0.490 b = -1.084

Proporcional-integral, PI: 1

01

b

c k

ak

,

2

0

2

b

i a

a1 = 1.305 b1 = -0.959 a2 = 0.492 b2 = 0.739

a1 = 0.984 b1 = -0.986 a2 = 0.608 b2 = 0.707

a1 = 0.859 b1 = -0.977 a2 = 0.674 b2 = 0.680

Proporcional-integral-derivativo, PID: 1

01

b

c k

ak

,

2

0

2

b

i a

,

3

03

b

d a

a1 = 1.495 b1 = -0.945 a2 = 1.101 b2 = 0.771 a3 = 0.560 b3 = 1.006

a1 = 1.435 b1 = -0.921 a2 = 0.878 b2 = 0.749 a3 = 0.482 b3 = 1.137

a1 = 1.357 b1 = -0.947 a2 = 0.842 b2 = 0.738 a3 = 0.381 b3 =0.995

Tabla 7. Minimización de integrales de error frente a perturbaciones (regulación). Fórmulas de sintonización

Las fórmulas de López, Murrill y Smith (1967) sintonizan los controladores P, PI y PID en el caso de perturbaciones o cambios en la carga. Las fórmulas de Rovira, Murrill y Smith (1969) sintonizan los controladores PI y PID en al caso de cambios de consigna.

4.4 Realizaciones activas para PIDs

C1

R1

R2

+ v2

+ v1

R1

R2

v1

+

+

C2

v2

(a) PD.

1112

1

CRsCR (b) PI.

s

CRs

R

R

22

1

2

1

C1

R1

R2

v1 +

+

C2

v2

v1 +

+

v2

R2

R1

C2 R6

R5

R3

C1

R4

R0



(c) PID.

22

112

1

1

1

CRs

CRs

C

C

(d) PID.

Fig. 17.

4.5 Instrumentación. Controladores comerciales

Controller 731C Series Digital Process Controller Accuracy better than ±0.25% of Span Small 1/4 DIN Size, 96 x 96 x 150 mm Light Weight, approximately 0.45 kg (1 lb) Two, Bright, easily Read Measurement and Set Point Displays, and one Bargraph Display to Continuously Indicate Output Signal Integral 6-Tactile Push Button Keypad Ten Status Message and Mode LED Displays Universal Power Supply, 88 to 265 V ac, 50 or 60 Hz Pre-Tuning and Auto-Tuning IEC/IP65 Front Panel Prevents Ingress of Dust and Water The 731C is a general purpose process controller which accepts thermocouple and RTD temperature inputs directly as well as normal 4 to 20 mA signals from transmitters. The display has 2-lines with four large, 7-segment characters in each line for continuous indication of both the set-point and the process variable. Automatic tuning of the PID control modes is a standard feature. Refer to Product Specifications sheet PSS 2C-1A10 A for complete description and specifications.

4.6 Ejercicios resueltos Ejercicio 4. Reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. Considerar la planta

)16)(4)(1(

1

)(

)()(

ssssU

sYsG gobernada, en lazo cerrado, mediante un controlador serie

C(s).

Fig. 18.

Regla de la oscilación crítica

C(s) G(s) R Y

D +

+ +

_



1) En el supuesto de que ckC , determinar a mano por Routh el valor de kcu (valor crítico o

último de kc) y el de Tu (período de la oscilación sostenida provocada por kcu ). 2) Comprobar, por simulación, los valores de k Tcu uy . 3) Sintonizar (calcular los parámetros) de los siguientes reguladores:

Regulador P ( ckC ): Tomar k kc cu 0 5. .

Regulador PI ( )1

1()(sT

ksCi

c ): Tomar k kc cu 0 45. y TT

iu

1 2..

Regulador PD ( )1()( sTksC dc ): Tomar kk

ccu2

y TT

du

8.

Regulador PID G s kTs

T sc ci

d( ) ( )

1

1 : Tomar k kc cu 0 6. , TT

iu

2 y T

Td

u8

.

4) Obtener por simulación las respuestas indiciales del servo (de consigna y de perturbación) con cada uno de los reguladores calculados y construir una tabla indicando los polos del servo, el offset y el decay ratio (relación de amplitud entre los dos primeros picos consecutivos) de cada uno de ellos.

Regla de la curva de reacción 1) Hallar la respuesta indicial de la planta y, a partir de ella, identificar los parámetros k , 0 y . 2) Sintonizar (calcular los parámetros) de los siguientes reguladores:

Regulador P ( ckC ): Tomar kkc 1

0

.

Regulador PI ( )1

1()(sT

ksCi

c ): Tomar kkc

0 9

0

.

y Ti 0

0 3..

Regulador PID G s kTs

T sc ci

d( ) ( )

1

1 : Tomar kkc

1 2

0

.

, Ti 2 0 y Td 0 5 0. .

3) Obtener por simulación las respuestas indiciales del servo (de consigna y de perturbación) con cada uno de los reguladores calculados y construir una tabla indicando los polos del servo, el offset y el decay ratio (relación de amplitud entre los dos primeros picos consecutivos) de cada uno de ellos.

Solución: Oscilación última: La ecuación característica (denominador del servo) es:

0)16)(4)(1(

11

sssk , 0648421 23 ksss

La tabla de Routh queda como

21

21

2

3

1

6421

841

BB

AAs

ks

s

Los coeficientes de la primera fila son: 021

10021,

21

1)64(842121

A

kA .

Para tener una oscilación es necesario que dicha fila sea de ceros. A2 ya vale 0 y, para que A1 valga 0, es necesario que 0)64(8421 k , es decir, k 641764 , es decir, k=1700. Por tanto, el valor último de la ganancia de lazo es ku=1700.



Para averiguar el valor de la frecuencia de oscilación hay que resolver la ecuación inmediatamente superior a la fila de ceros en la tabla de Routh. Esta es:

0)64(21 2 ks , 0176421 2 s , 842 s , 16.9js , 16.9u ,

que corresponde a un periodo último de oscilación de sTu

u 68.02

Comprobación por simulación:

>> r=rlocus(G,1700) r = -21.0000 -0.0000 + 9.1652i -0.0000 - 9.1652i

Sintonización por oscilación crítica: Sintonizamos los distintos reguladores:

>> s=tf('s'); >> ku=1700;Tu=0.68;

Control P:

>> P=ku/2;

Control PI:

>> kc=0.45*ku;Ti=Tu/1.2;PI=kc*(1+1/(Ti*s)) Transfer function: 433.5 s + 765 ------------- 0.5667 s

Control PD:

>> kc=ku/2;Td=Tu/8;PD=kc*(1+Td*s) Transfer function: 72.25 s + 850

Control PID:

>> kc=0.6*ku;Ti=Tu/2;Td=Tu/8;PID=kc*(1+1/(Ti*s)+Td*s) Transfer function: 29.48 s^2 + 346.8 s + 1020 -------------------------- 0.34 s

Simulación de las respuestas indiciales: Construimos el sistema de control en lazo cerrado (desde consigna y desde perturbación). Para el caso de regulador PID:

>> G=zpk([],[-1 -4 -16],1) Zero/pole/gain: 1 ------------------ (s+1) (s+4) (s+16) >> L=series(PID,G); >> Mr=feedback(L,1);step(Mr) >> Md=feedback(1,L);step(Md)



Los resultados de la simulación con consigna escalón son:

0 2 4 60

0.5

1

1.5P

Time (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2PI

Time (sec)

Am

plit

ude

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5PD

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 30

0.5

1

1.5

2PID

Time (sec)A

mp

litud

e

Fig. 19. Los resultados de la simulación con perturbación escalón son:

0 2 4 6-0.5

0

0.5

1P

Time (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25-1

-0.5

0

0.5

1PI

Time (sec)

Am

plit

ude

0 0.5 1 1.5 2-0.5

0

0.5

1PD

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3-1

-0.5

0

0.5

1PID

Time (sec)

Am

plit

ude

Fig. 20.

Los resultados de la tabla son (al final del ejercicio está el código matlab usado para realizar los cálculos): >> tabla{1} ans = tipo: 'P' C: 850 polos: [-19.1073 -0.9464 - 6.8512i -0.9464 + 6.8512i] offset: 0.0700 DR: 21.9565 offset_D: 0.0700 DR_D: 56.4531 >> tabla{2} ans = tipo: 'PI' C: [1x1 tf] polos: [-18.6717 -0.2514 - 6.2885i -0.2514 + 6.2885i -1.8254]



offset: 1.1732e-011 DR: 10.8599 offset_D: 1.1732e-011 DR_D: 24.5319 >> tabla{3} ans = tipo: 'PD' C: [1x1 tf] polos: [-3.2083 - 7.2375i -3.2083 + 7.2375i -14.5834] offset: 0.0700 DR: 20.0462 offset_D: 0.0700 DR_D: 86.7240 >> tabla{4} ans = tipo: 'PID' C: [1x1 tf] polos: [-12.8757 -1.7301 - 6.8529i -1.7301 + 6.8529i -4.6641] offset: -2.2204e-015 DR: 28.1966 offset_D: -4.4409e-016 DR_D: 74.4775



Tipo C(s) polos servo offset decay ratio (%) P 850 -19.1073

-0.9464 - 6.8512i -0.9464 + 6.8512i

0.0700 21.9565

PI

s

s

5667.0

7655.433

-18.6717 -0.2514 - 6.2885i -0.2514 + 6.2885i -1.8254

0 10.8599

PD 85025.72 s -3.2083 - 7.2375i -3.2083 + 7.2375i -14.5834

0.0700 20.0462

PID

s

ss

34.0

10208.34648.29 2 -12.8757 -1.7301 - 6.8529i -1.7301 + 6.8529i -4.6641

0 28.1966

Tabla 8. Oscilación crítica

Curva en S. La primera figura muestra la respuesta indicial de la planta. A partir de ella se estiman los parámetros característicos (la recta trazada pasa por el punto de inflexión y define 0, el valor de se busca como si fuera una constante de tiempo normal, a partir de 0 y usando la recta como si fuera la pendiente de la exponencial). La segunda figura muestra la bondad de la aproximación

0 1 2 3 4 5 6 70

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 70

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Fig. 21.

>> k=1/(4*16);tau0=0.25;tau=1;H=tf(k,[tau 1]);set(H,'inputdelay',tau0);H Transfer function: 0.01563 exp(-0.25*s) * ------- s + 1 >> figure,step(G,H)

Sintonización por curva sigmoide: Sintonizamos los distintos reguladores:

>> s=tf('s'); >> k=1/(4*16);tau0=0.25;tau=1;

Control P:

>> P=(1/k)*(tau/tau0) P = 256

Control PI:



>> kc=(0.9/k)*(tau/tau0);Ti=tau0/0.3;PI=kc*(1+1/(Ti*s)), Transfer function: 192 s + 230.4 ------------- 0.8333 s

Control PID:

>> kc=(1.2/k)*(tau/tau0);Ti=2*tau0;Td=tau0/2;PID=kc*(1+1/(Ti*s)+Td*s),

Transfer function: 19.2 s^2 + 153.6 s + 307.2 -------------------------- 0.5 s

Simulación de las respuestas indiciales: Los resultados de la simulación con consigna escalón son:

0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1P

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5PI

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 30

0.5

1

1.5PID

Time (sec)

Am

plit

ude

Fig. 22.

Los resultados de la simulación con perturbación escalón son:

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1P

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4-0.5

0

0.5

1PI

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3-0.5

0

0.5

1PID

Time (sec)

Am

plit

ude

Fig. 23.



Los resultados de la tabla son (se ha modificado ligeramente la función utilizada para el caso de la oscilación crítica): >> tabla{1} ans = tipo: 'P' C: 256 polos: [-17.1976 -1.9012 - 3.8720i -1.9012 + 3.8720i] offset: 0.2000 DR: 16.3230 offset_D: 0.2000 DR_D: 76.4702 >> tabla{2} ans = tipo: 'PI' C: [1x1 tf] polos: [-17.0259 -1.3587 - 3.3281i -1.3587 + 3.3281i -1.2566] offset: 1.3323e-015 DR: 21.4184 offset_D: 1.1102e-016 DR_D: 92.5962 >> tabla{3} ans = tipo: 'PID' C: [1x1 tf] polos: [-13.8776 -1.5612 - 2.9378i -1.5612 + 2.9378i -4.0000] offset: 2.2204e-015 DR: 20.9436 offset_D: 1.1102e-016 DR_D: 94.7779

La tabla resumen queda, pues,

Tipo C(s) polos servo offset decay ratio (%) P 256 -17.1976

-1.9012 - 3.8720i -1.9012 + 3.8720i

0.2000 16.3230

PI

s

s

8333.0

4.230192

-17.0259 -1.3587 - 3.3281i -1.3587 + 3.3281i -1.2566

0 21.4184

PID

s

ss

5.0

2.3076.1532.19 2 -13.8776 -1.5612 - 2.9378i -1.5612 + 2.9378i -4.0000

0 20.9436

Tabla 9. Curva sigmoide

Código Matlab utilizado en el ejercicio Fichero PID_regla1.m clear all,hold off,close all % s=tf('s');



ku=1700;Tu=0.68; P=ku/2; % kc=0.45*ku;Ti=Tu/1.2; PI=kc*(1+1/(Ti*s)); % kc=ku/2;Td=Tu/8; PD=kc*(1+Td*s); % kc=0.6*ku;Ti=Tu/2;Td=Tu/8; PID=kc*(1+1/(Ti*s)+Td*s); % %-------------------------------------------------- tabla=cell(1,4); tabla{1}.tipo='P';tabla{2}.tipo='PI';tabla{3}.tipo='PD';tabla{4}.tipo='PID'; tabla{1}.C=P; tabla{2}.C=PI; tabla{3}.C=PD; tabla{4}.C=PID; G=zpk([],[-1 -4 -16],1); for i=1:4 L=series(tabla{i}.C,G); % figure(1),subplot(2,2,i), Mr=feedback(L,1);step(Mr);title(tabla{i}.tipo) tabla{i}.polos=pole(Mr)'; t=linspace(0,100); y=step(Mr,t);tabla{i}.offset=1-y(end); t=linspace(0,6,200);y=step(Mr,t);tabla{i}.DR=decay_ratio(t,y,y(end)); % figure(2),subplot(2,2,i), Md=feedback(1,L);step(Md),title(tabla{i}.tipo) t=linspace(0,100);y=step(Md,t); tabla{i}.offset_D=y(end); t=linspace(0,6,200);y=step(Md,t);tabla{i}.DR_D=decay_ratio(t,y,y(end)); end

Función decay_ratio (fichero decay_ratio.m) function [DR,p1,p2]=decay_ratio(t,y,yfinal) %figure,plot(t,y),hold on p1=max(y);%primer pico inx=find(y==max(p1)); %plot(t(inx),y(inx),'or') % inxz=find(y(inx+1:end)<=yfinal);inxz=inxz(1);%primer paso por valor final %plot(t(inx+inxz-1),y(inx+inxz-1),'og') % p2=max(y(inx+inxz:end));%segundo pico %inx2=find(y==p2);plot(t(inx2),y(inx2),'om') DR=(1-p2/p1)*100;

(las instrucciones comentadas han servido para verificar el correcto funcionamiento de esta función antes de llamarla desde el otro fichero) Ejercicio 5. Considerar el servosistema de orientación de una antena,

1

1

s controlador

Vr Ve u(t)=Vm +

_ s

1 1

r y

TL +

+ Tm

2

1

s

1 Vy

Fig. 24.

Las especificaciones son conseguir tracking en movimiento (ess = 0 a entradas tipo rampa) con un rebasamiento (Rpt) razonable.



Se trata de estudiar y comparar diversas alternativas para la selección del algoritmo de control y sus parámetros, y apuntar la importancia de la elección del periodo de muestreo en el caso de implementar digitalmente el controlador. Solución: Control I. Como primer algoritmo de control a ensayar se propone un controlador integral,

s

ksC c)( . Se pide:

1) Justificar la inclusión de un nuevo integrador en el lazo.

2) Representar el LGR (para kc variable) e indicar si el servo es estable para algún valor de kc.

Imag

Axi

s

Controlador I

Real Axis-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Control PI. A la vista del resultado anterior, y a fin de estabilizar el sistema, se decide añadir un

cero, s

Tsk

sTksC i

ci

c

)/1(11)(

.

Suponer en toda la Práctica que, por consideraciones de realizabilidad, el máximo Ti con el que podemos contar es 7s. Se pide:

1) Representar el LGR (con Ti = 7s y kc variable).

2) A partir del LGR anterior, determinar si es posible, para algún valor de kc, conseguir un rebasamiento del 5%. Para ello, superponer sobre el LGR la recta de = 0.7.

Generación de alternativas viables. Puesto que Rpt = 5% es una especificación que no se puede alcanzar con las restricciones anteriores, se decide escoger los parámetros kc y Ti según otros criterios (Routh-Hurwitz, Ziegler-Nichols, IAE) y estudiar qué propiedades presenta cada una de estas elecciones. Routh-Hurwitz. Espacio de parámetros (kc, Ti). Se trata de obtener la región, dentro del plano de parámetros (kc, Ti), para la cual el servo es estable y realizable, para, a continuación, escoger un par (kc, Ti) que esté dentro de dicha región. Se pide:

1) Aplicar el criterio de Routh-Hurwitz para obtener todas las combinaciones de kc, Ti que estabilizan al sistema.

2) Verificar el resultado anterior escogiendo tres pares (kc, Ti): uno fuera de la región de estabilidad, otro justo en la frontera y el último en el interior, y representando las correspondientes respuestas indiciales.

3) Para la combinación estable, representar el LGR (para kc variable) y superponerle la recta de constante que pasa por los polos correspondientes a la kc elegida. ¿Cuánto vale el Rpt? ¿Cuánto vale el MF? ¿Cuánto vale el decay ratio (DR)?

Solución: La aplicación del criterio de Routh da como condiciones de estabilidad: 0<kc<6 y

ci k

T

6

9.

Imag

Axi

s

Controlador PI

Real Axis -2 -1.5 -1 -0.5 0

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

= 0.7



Lazo: 234 23

)/(

)2)(1(

1/1)(

sss

Tksk

ssss

TsksL icci

c

Servo: )/(23

)/(

)(1

)()(

234icc

icc

Tksksss

Tksk

sL

sLsM

0

0)6(

9)6(3

2

3

21

210

211

212

3

4

CT

kCs

BkT

kkkTBs

T

kA

kAs

ksT

ks

i

c

ci

ccci

i

cc

c

i

c

Fig. 25.

Si elegimos kc = 1 y Ti = 4.5s, la recta de constante que pasa por los polos dominantes es la de = 0.148, que corresponde a Rpt = 62% y MF 14.8. En la Figura (b), que muestra la respuesta indicial, se observa que Rpt = 78% y DR = 63%. ¿A qué es debida esta diferencia en Rpt?

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8

Fig. 26.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

kc

T i

Región de parámetros factibles

Ti=7

kc=0

Ti=9/(6-kc)



Ziegler-Nichols. Fórmulas empíricas. Una segunda elección para el par (kc, Ti) es utilizar las fórmulas empíricas de Ziegler-Nichols (ver Apéndices). Se pide:

1) Razonar cuál de los dos métodos (oscilación crítica o curva en S) es más adecuado al problema planteado en la presente Práctica.

2) Suponiendo que se va a emplear el método de la oscilación crítica, representar el LGR de la planta y, a partir de él, determinar ku y Tu.

3) Calcular kc, Ti aplicando las fórmulas del Apéndice. 4) Representar, sobre el LGR del lazo (con kc variable), la recta de constante que pasa por

los polos obtenidos. ¿Cuánto valdrá Rpt? ¿Cuánto valdrá MF? 5) Representar la respuesta indicial del servo y verificar el valor de Rpt. Verificar también que

el decay ratio (DR) es del 25%.

Solución: La oscilación “última” de la planta viene caracterizada por ku = 3 y 2/2uT s. Con

estos valores, los parámetros del controlador PI son kc = 1.36 y Ti = 3.70s. Del LGR se obtiene = 0.05 (y, por tanto, MF 5, Rpt = 85%), mientras que de la respuesta indicial se obtiene que DR = 25%.

Root Locus

Real Axis

Imag

Axi

s

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-2

-1.5 -1

-0.5 0

0.5 1

1.5 2

= 0.04

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tiempo (s)

Control empírico por Ziegler-Nichols, (kc=1.35, T

i=3.6876, IAE=6.7826)

IAE. Optimización de las integrales de error. Otra alternativa es escoger kc, Ti de forma que minimicen una integral de error, por ejemplo, la integral del valor absoluto del error,

0

)( dtteIAE . Se pide:

1) Escoger un rango de valores para kc y Ti dentro de la región de estabilidad y realizabilidad y calcular las funciones de transferencia en lazo cerrado correspondientes a todas las posibles combinaciones. (ver Apéndices)

2) Para cada uno de los servos anteriores, obtener la respuesta indicial y, a partir de ella, calcular la IAE. (ver Apéndices)

3) Representar el diagrama de contorno de la IAE en función de kc, Ti. (ver Apéndices)

4) Escoger el par optck , opt

iT para el cuál la IAE es mínima.

5) Representar, sobre el LGR del lazo (con kc variable), la recta de constante que pasa por los polos obtenidos. ¿Cuánto valdrá Rpt? ¿Cuánto valdrá MF?

6) Representar la respuesta indicial del servo y verificar la estimación de Rpt. ¿Cuánto vale el decay ratio (DR)?

Solución: Para la aproximación numérica de la integral del Apéndice y el rango de valores

considerado (0.1<kc<2 y 4<Ti<7) el par óptimo que minimiza la IAE viene dado por 4.1optck ,

sT opti 7 . Para estos valores la IAE es mínima y vale 4.288 . El análisis por polos dominantes



indica que = 0.31, MF 31, Rpt = 35% y, de la respuesta indicial, se obtiene Rpt = 54% y DR = 85%.

34

56

7

0

1

2

30

10

20

30

40

Ti

kc

IAE

4.4

4.5 4.5

4.7

4.7

5

5

5

66

6

6

6

88

8 8

8

8

10

10

10 10

10

Diagrama de contorno del IAE

Ti

kc

0.5 1 1.5 2 2.5 33

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tiempo (s)

Control óptimo IAE, (kc=1.4, Ti=7, IAE=4.288)

clear all,close all,clc kc=linspace(-1,8); Ti=9./(6-kc); figure,plot(kc,Ti,kc,Ti*0+7,kc*0,linspace(-10,10,length(kc))),axis([-1 8 -10 10]),grid xlabel('k_c'),ylabel('T_i') title('Región de parámetros factibles') kc=0.1:0.1:3; Ti=3:0.5:7; Ts=0.01;t=0:Ts:50; IAE=zeros(length(kc),length(Ti)); for m=1:length(kc) for n=1:length(Ti) M=tf(kc(m)*[1 1/Ti(n)],[1 3 2 kc(m) kc(m)/Ti(n)]); e=1-step(M,t); iae=0; for k=1:length(t), iae=iae+Ts*abs(e(k)); end IAE(m,n)=iae; end end figure,mesh(Ti,kc,IAE),xlabel('T_i'),ylabel('k_c'),zlabel('IAE') figure,[cs,h]=contour(kc,Ti,IAE',[4 4.2 4.3 4.4 4.5 4.7 5 6 8 10]); clabel(cs,h),title('Diagrama de contorno del IAE') ylabel('T_i'),xlabel('k_c'), [i,j]=find(IAE==min(min(IAE))); min_IAE=IAE(i,j), kc_opt=kc(i), Ti_opt=Ti(j) C_opt=tf(kc_opt*[1 1/Ti_opt],[1 0]); P=tf(1,conv([1 1 0],[1 2])); L=series(C_opt,P); M=feedback(L,1); t=0:Ts:50; figure,y=step(M,t);



e=1-y; iae=0; for k=1:length(t), iae=iae+t(2)*abs(e(k)); end plot(t,y),xlabel('Tiempo (s)') title(['Control óptimo IAE, (k_c=',num2str(kc_opt),', T_i=',num2str(Ti_opt),', IAE=',num2str(iae),')']) axis([0 50 0 1.8]) ku=3;Tu=2*pi/sqrt(2); kc_opt=0.45*ku;Ti_opt=0.83*Tu; C_opt=tf(kc_opt*[1 1/Ti_opt],[1 0]); P=tf(1,conv([1 1 0],[1 2])); L=series(C_opt,P); M=feedback(L,1); figure,y2=step(M,t); e=1-y2; iae=0; for k=1:length(t), iae=iae+t(2)*abs(e(k)); end plot(t,y2),xlabel('Tiempo (s)') title(['Control empírico por Ziegler-Nichols, (k_c=',num2str(kc_opt),', T_i=',num2str(Ti_opt),', IAE=',num2str(iae),')'])

Implementación digital del controlador. Aunque los métodos convencionales de síntesis dan lugar a controladores continuos, es ya habitual implementarlos de manera digital. En este caso hay que elegir con cuidado el periodo de muestreo para no degradar el diseño obtenido. En este Ejercicio se ilustra el efecto del periodo de muestreo Ts en la respuesta del sistema. Para ello se pide:

1) Elegir uno de los controladores PI anteriores y representar el diagrama de Bode del lazo. Determinar co y MF.

2) Para discretizar el sistema se decide anteponer un ZOH. La degradación que éste introduce en la fase puede aproximarse por el efecto que causaría un retardo puro de duración Ts/2. Calcular el máximo Ts para que la variación de fase en co, debida a la inclusión de un ZOH, sea inferior a 5.

3) Discretizar el sistema con el Ts anterior y representar la respuesta indicial. Compararla con la del sistema analógico.

4) Repetir el apartado anterior para otros valores de Ts. A medida que Ts aumenta, ¿Qué le sucede al Rpt? ¿Y al MF?

Solución: La Figura (a) muestra el diagrama de Bode y los márgenes de estabilidad del lazo para el controlador óptimo en sentido IAE. Ts se puede obtener a partir de coTs/2 = 5. En este caso resulta Ts = 0.29s. Una alternativa a esta elección es tomar como Ts a la constante de tiempo más pequeña del sistema que, en nuestro caso, es = 1/2. La Figura (b) muestra la respuesta indicial del servo para los valores Ts = 0.29, 0.5, 2.

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Ph

ase

(d

eg

)M

ag

nit

ud

e (

dB

)

-100

-50

0

50

100Gm = 10.544 dB (at 1.2534 rad/sec), Pm = 29.247 deg (at 0.59355 rad/sec)

10-2

10-1

100

101

-270

-225

-180

-135

Step Response

Time (sec)

Am

pli

tud

e

0 5 10 15 20 25 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3



Ejercicio 6. Sintonización de reguladores PID. Reglas de Ziegler-Nichols (I). El método de la curva de reacción. En el supuesto de que se desconozcan los principios físicos que gobiernan el comportamiento de una planta, se ha de recurrir a la modelización experimental. En este caso se usa un cambio en escalón (cambio brusco) en la señal u(t) de entrada de una válvula, observándose (mediante al sensor) la respuesta que resulta registrada en lo que se llama curva de reacción (firma o sigmoide) indicada en la figura,

se pide:

1) Estimar un modelo sencillo, 1

0

s

ek

s

para la planta.

2) A partir de los tres parámetros anteriores, calcular los parámetros del PID con ayuda de las tablas de sintonización. Solución: 1) A la vista de la curva en S, vemos que el retardo puro es 0=7.2s y que la ganancia en continua es k=4. Con respecto a la constante de tiempo del sistema, , se nos plantean varias elecciones. Puesto que la gráfica nos muestra a qué instante temporal la señal alcanza el 63% de su valor de régimen (notar que a t=45s, la señal vale 4·0.63=2.53ºC) podemos plantearnos escoger =45s o bien =45-7.2=37.8s (para tener en cuenta el retardo puro). También sería posible escoger =61.5-7.2=54.3s. Notar que ninguna de estas soluciones dará un resultado exacto puesto que el modelo es aproximado. A fin de decidirnos, podemos simular las tres respuestas con el matlab: >> tau0=7.2;tau=45-7.2;k=4; >> H1=tf(k,[tau 1]);set(H1,'InputDelay',tau0) >> tau0=7.2;tau=61.5-7.2;k=4; >> H2=tf(k,[tau 1]);set(H2,'InputDelay',tau0) >> tau0=7.2;tau=45;k=4; >> H3=tf(k,[tau 1]);set(H3,'InputDelay',tau0) >> figure(1),step(H1,H2,H3), >> legend('\tau=45-7.2=37.8','\tau=61.5-7.2=54.3','\tau=45')



Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

System: H1Time (sec): 45Amplitude: 2.53

=45-7.2=37.8

=61.5-7.2=54.3

=45

A la vista de la gráfica, se decide escoger =37.8 puesto que refleja mejor la velocidad de la respuesta del enunciado. Así:

18.374

1)(

2.70

s

e

s

eksG

ss

2) Los parámetros del PID son:

575.12.7

8.37

4

2.12.1

0

kkc

sTi 4.142.722 0

sTd 6.32.75.05.0 0



5. Métodos gráficos. Compensadores de avance y retardo

5.1 Compensador de avance de fase

Función de transferencia: s

snsGc

1

1)( , n>1;

1

n

1

avance

Fig. 27. Diagrama de polos y ceros del compensador de avance

Diagrama de Bode asintótico: ceropolo n , cerocentral n

Fig. 28. Bode de un compensador de avance

Curvas de ganancia y desfase:

10 -1

100

101

102

0

10

20

Frecuencia normalizada )/1( nT

(rad/s)

Ma

gn

itud

(d

B)

10 -1

100

101

102

0

20

40

60

Fa

se (

gra

do

s)

n = 2

n = 3

n = 5

n = 10

n = 10

n = 5

n = 3

n = 2

Avance

Avance

Fig. 29. Curvas normalizadas de un compensador de avance

20 log n

0 dB

0º

90º

nlog20

n

1

n1

1



Máximo avance de fase (ver el diagrama polar): 1

1sin max

n

n

Fig. 30. Avance de fase

El máximo valor práctico está alrededor de los 60º-70º. Si se necesita más avance de fase, habrá que poner varios correctores en cascada.

5.2 Compensador de retardo de fase

Función de transferencia: sn

ssGc

1

1)( , n>1

1

n

1

retardo

Fig. 31. Diagrama de polos y ceros de un compensador de retardo

Curvas de ganancia y desfase:

10 -1 10 0 10 1 10 2-20

-10

0

Ma

gn

itud

(d

B)

10 -1

100

101

102-60

-40

-20

0

Frecuencia normalizada )/1( nT

(rad/sec)

Fa

se (

gra

dos)

n = 2

n = 3

n = 5

n = 10

n = 2

n = 3

n = 5

n = 10Retardo

Retardo

Fig. 32. Curvas normalizadas de retardo de fase

1 n

max

Re

Im

2

1

2

1

nnn

2

1n2

1sin

2

1max

nn



5.3 Diseño en el dominio frecuencial En términos generales, las redes de adelanto de fase o reguladores de tipo PD se usan para mejorar la respuesta en régimen transitorio; las redes de atraso de fase o reguladores tipo PI se usan para mejorar el régimen estacionario; y las redes de atraso-adelanto o reguladores de tipo PID se usan para mejorar tanto el transitorio como el permanente.

5.3.1 Compensador de avance. Ejemplo

El compensador de avance de fase (lead) sirve para mejorar el margen de fase MF del lazo y se sitúa en serie con la planta. La inserción del compensador en el lazo modifica la frecuencia de cruce por 0dB (frecuencia de crossover) por lo que cambia la frecuencia a la que mediremos el nuevo MF. Por ello, lo que se hace es situar la frecuencia central del compensador a aquella frecuencia en que el lazo sin compensar vale -10 log n. De esta manera la nueva frecuencia de crossover del lazo compensado coincidirá con la frecuencia central de la red de avance. Pasos: Pasos para diseñar un compensador de avance: 1) Determinar cuánta fase es necesaria: actualSPEC MFMF . es un factor de guarda

que varía entre 5º (si la pendiente de la fase es suave) y 15º (si la pendiente de la fase es pronunciada). Si la fase necesaria es demasiada, es posible que se necesiten varios compensadores en cascada.

2) Determinar el valor de n (entero) a partir de 1

1sin

n

n .

3) Determinar la frecuencia central c del compensador, para ello buscar la frecuencia para la cual la magnitud del lazo sin compensar es nlog10 . Notar que c será la frecuencia de crossover (0dB) del lazo compensado.

4) Calcular la posición del cero nc

cero

y el polo ceropolo n .

5) Comprobar los márgenes de estabilidad del lazo compensado.

Ejemplo 5. Compensador de avance vía Bode. Considerar la planta )1(

1)(

sssG y las

especificaciones 10vk y MF 45º. Diseñar el compensador serie que las satisface.

En primer lugar ensayamos un controlador P. Para cumplir con la constante de velocidad especificada su valor debe ser k = 10, ya que:

kss

ksssLk

ssv

)1(lim)(lim

00



Para este lazo )1(

10)()(

ssskGsL la frecuencia de crossover es co = 3 rad/s y en ella

medimos un MF = 18º. Ver Fig. 33.

10-2

10-1

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Frecuencia (rad/s)

dB

10-2

10-1

100

101

102

-180

-170

-160

-150

-140

-130

-120

-110

-100

-90

Frecuencia (rad/s)

gra

dos

Fig. 33. Lazo sin compensar

Puesto que no se cumple la especificación de MF añadiremos un corrector de avance de fase

s

snsC

1

1)( , n>1.

Paso 1: La fase necesaria a añadir es º39º12º18º45 actualSPEC MFMF .

Paso 2: Calculamos n a partir de 1

1sinsin max

n

n , 4.4º39sin1

º39sin1

n . Tomaremos

el entero inmediatamente superior, es decir, n=5.

MF=18º

co=3



Paso 3: Buscamos la frecuencia a la cual el lazo sin compensar vale dBn 7log10 . Ésta resulta ser 4.6rad/s. Diseñaremos la red de avance de forma que su frecuencia central sea

rad/s6.4c .

Paso 4: La posición del cero de la red es rad/s06.25

rad/s6.4

nc

cero

. La posición del

polo es rad/s28.10 ceropolo n .

Paso 5: Comprobamos que se cumplen las especificaciones. El lazo compensado es

)1(

1

)28.10(

)06.2(510)(

/1

)/(1)(

sss

ssG

s

nsnksL

. El margen de fase

resultante es MF=54º. Ver Fig. 34.

10-2

10-1

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Frecuencia (rad/s)

dB

kG(s)kC

av(s)G(s)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-170

-160

-150

-140

-130

-120

-110

-100

-90

Frecuencia (rad/s)

gra

do

s

Fig. 34. Lazo con compensador de avance

MF=54º



5.3.2 Compensador de retraso. Ejemplo

El compensador de retraso de fase (lag) también tiene como resultado un aumento de MF pero éste se consigue porque lo que hace este compensador es disminuir la frecuencia de crossover del lazo compensado. El diseño consiste en situar el cero de la red de avance bastante antes de la nueva co, como mínimo una década antes. Así nos aseguramos que la disminución local de fase no afecta la región de co. Pasos: 1) Determinar a qué frecuencia se estaría cumpliendo la especificación de margen de fase. Es

decir hay que localizar la frecuencia a la cual la fase es = -180º+MFspec+, con variando entre 5º y 12º. Ésa será la frecuencia de diseño de la red de retraso c y, aproximadamente, la nueva frecuencia de crossover del lazo una vez compensado.

2) Calcular el valor de n. Para ello ver cuánto vale el módulo del lazo sin compensar en c,

njLdBc log20)( .

3) Calcular la posición del cero. Éste debe estar una década por debajo de la frecuencia central

10c

cero

. Si el factor de guarda se toma 12º, entonces el cero se sitúa una octava por

debajo de la frecuencia central.

4) Calcular la posición del polo, ncero

polo

.

5) Comprobar que se cumplen las especificaciones.

Ejemplo 6. Compensador de retraso vía Bode. Considerar de nuevo la planta )1(

1)(

sssG

y las especificaciones 10vk y MF 45º. Diseñar el compensador serie que las satisface.

La ganancia de lazo debe ser k =10 para cumplir con la constante de velocidad pero ello da lugar a un lazo con un MF = 18º medido en la frecuencia co=3rad/s. Ver Fig. 33. Paso 1: Vamos a ver cuál debería ser la frecuencia de crossover tal que el MF valiera 45º. Estamos

buscando la frecuencia a la cual la fase vale -180º+45º=-135º. Esta frecuencia es 1 rad/s y será la frecuencia de diseño de la red de retraso, rad/s1c .

Paso 2: Para calcular n vemos que el módulo del lazo sin compensar a rad/s1c vale 20dB.

Puesto que 20 = 20·log n, de ahí se deduce que n = 10.

Paso 3: La posición del cero es rad/s1.010

ccero

.

Paso 4: La posición del polo es rad/s01.0ncero

polo

.



Paso 5: Comprobamos que se cumplen las especificaciones. El lazo compensado es

)1(

1

)01.0(

)1.0(

10

110)(

)/(1

/11)(

sss

ssG

ns

s

nksL

. El margen de fase

resultante es MF=45º. Ver Fig. 35

10-2

10-1

100

101

102

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Frecuencia (rad/s)

dB

10-2

10-1

100

101

102

-180

-170

-160

-150

-140

-130

-120

-110

-100

-90

Frecuencia (rad/s)

gra

do

s

Fig. 35. Lazo con compensador de retraso

A fin de comparar el efecto de cada uno de estos compensadores (proporcional, avance y retardo) en la respuesta del servo, a continuación se muestra la respuesta indicial del servo obtenida para cada uno de ellos:

MF=45º



0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

proporcional

avance

retardo

El aumento del margen de fase respecto al proporcional se traduce en que el sistema está más amortiguado en el caso de avance y retardo. Por otro lado, la posición de la frecuencia de crossover nos indica la velocidad de la respuesta, siendo el más rápido el sistema con corrección de avance y el más lento el sistema con corrección de retardo.

5.4 Diseño en el lugar de las raíces Se elige la configuración (H = 1) y el controlador (kc). Si no es adecuado se cambia la configuración y/o el controlador por otros más complejos. Como sólo se puede manejar un parámetro, ello restringe el tipo de controlador. Pasos:

1) Determinar la zona de polos que satisface las especificaciones (hipótesis: segundo grado). 2) Elegir configuración y controlador con un parámetro, kc. 3) Determinar kc para tener estabilidad y precisión. En caso contrario, volver a 2). 4) Hallar el intervalo de kc que introduce el LGR en la zona deseada. Si no, volver a 2) y

elegir un controlador más complejo o cambiar la configuración. 5) De entre los valores de k elegir aquéllos que satisfacen el resto de especificaciones (tr,

u<M). Ello puede implicar el uso del ordenador. 6) Aplicación: P, PD, AV, RET.

Nota: Es un método iterativo y no tiene en cuenta u (comprobación posterior). Es un método de fijación de polos.

5.4.1 Compensador de avance. Ejemplo

En el diseño de un compensador de avance lo habitual es empezar fijando la posición del cero. Las opciones más habituales en la práctica son las siguientes:

1) Situar el cero cancelando el polo más significativo de la planta. Ello simplifica el LGR y la complejidad del problema y es adecuado en sistemas de tipo 1. Si el sistema es de tipo 0, es



mejor cancelar el segundo polo más significativo (el segundo polo real a menor distancia del origen.

2) Situar el cero directamente en la vertical donde queremos situar los polos dominantes del servo. Si en ese punto hay un polo de la planta, entonces se sitúa el cero ligeramente a la izquierda de dicho polo.

3) Situar directamente el par polo-cero del compensador mediante el método de la bisectriz. Este método consiste en lo siguiente: Dada la posición deseada para el polo dominante del servo se traza una horizontal sobre él y se traza la recta que va de él al origen. A continuación se traza la bisectriz del ángulo que forman ambas rectas. Finalmente se trazan dos rectas a lado y lado de la bisectriz con ángulos iguales de valor/2 siendo el adelanto total de fase deseado. La intersección de estos dos rectas con el eje real nos dan la posición del cero y el polo del compensador. El método de la bisectriz es general y consigue ganancia mínima.

Ejemplo 7. Compensador de adelanto vía Evans. Considerar la planta )3)(1(

1)(

ssssG y

las especificaciones sradn /4.1 y = 0.4. Diseñar el compensador serie que las satisface.

Las especificaciones corresponden a situar los polos en -0.56±j1.28,

>> z=0.4;wn=1.4; >> p=-z*wn+j*wn*sqrt(1-z^2) p = -0.5600 + 1.2831i

Ello no puede conseguirse con un mero ajuste de la ganancia de lazo:

>> rlocus(1,conv([1 1 0],[1 3])) >> hold on >> plot(p,'sb') >> plot(conj(p),'sb')

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Es necesario un adelanto de fase. Para saber cuánta fase necesitamos calculamos la fase en el punto deseado -0.56+j1.28. El integrador contribuye con 113º, el polo en -1 contribuye con 73º y el polo en -3 contribuye con 27º. La fase en los cuadraditos es, pues, -(113º+73º+27º)=-213º. Si queremos que los cuadraditos pertenezcan al LGR su fase debe ser -180º. Falta por tanto avanzar la fase +33º. Primer diseño: Colocamos el cero de forma que cancele el polo en -1. Para tener un avance de fase

de 33º el polo deberá estar en -2.2. Así, el compensador será 2.2

1)(

s

ssC y el lazo

)3)(2.2()3)(1(

1

)2.2(

)1()(

sss

k

ssss

sksL . Ajustando la ganancia a k=8.15, el servo

resultante tendrá los polos deseados.



Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-10 -8 -6 -4 -2 0 2-6

-4

-2

0

2

4

6

33

Segundo diseño: Ahora situamos el cero en la vertical de los polos deseados, es decir, en -0.56. Para tener un adelanto de 33º el polo deberá estar situado en -1.5 y ajustando la ganancia del lazo a k=6.35 los polos del servo serán los deseados.

)3)(1(

1

)5.1(

)56.0()(

ssss

sksL

-10 -8 -6 -4 -2 0 2-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

5.4.2 Compensador de retraso. Ejemplo

Cuando un sistema tiene una respuesta transitoria correcta pero presenta un error importante en régimen permanente se puede disminuir o eliminar este error, sin alterar el transitorio, introduciendo un PI o red de atraso de fase. Este tipo de compensación aumenta la constante de error (kp, kv o ka) sin modificar el transitorio. En concreto, en el LGR, esta compensación mantiene la forma cerca de los polos dominantes aumentando al mismo tiempo la ganancia de lazo.



En cuanto a la posición del par polo-cero existen varios criterios:

1) Situar el par polo-cero del compensador muy cerca del origen, en comparación al lazo sin compensar. Para ello, poner el cero a una distancia del origen igual a 0.1 la correspondiente al primer polo o cero del sistema sin compensar.

2) Otra opción es poner el par polo-cero cerca del origen de forma que la diferencia entre el ángulo del polo y el del cero, al unirlos con el polo dominante deseado, sea menor de 5º (o 2º).

Ejemplo 8. Compensador de retardo vía Evans. Considerar la planta )3)(1(

1)(

ssssG y

las especificaciones 15.2 skv y = 0.5. Diseñar el compensador serie que las satisface.

Ajustando la ganancia de lazo a 1.83 se cumple la especificación = 0.5. Pero no se cumple la constante de error de velocidad puesto que

1

061.0

)3)(1(

83.1lim

s

ssssk

sv

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-6

-4

-2

0

2

4

6

Es necesario aumentar la ganancia en un factor de 2.5/0.61=4.1. Habría que tomar n≥4.1, pero en general se toma un valor un 10%-20% superior. Así, n≥5. Si se sitúa el cero del compensador a -0.1d (siendo d=1 la distancia entre el origen y el primer polo del lazo sin compensar), tendremos que el compensador es

02.0

1)(

s

ssC



-4 -3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Ahora, los polos que cumplen =0.5 han variado ligeramente y valen -0.34±j0.58 y se obtienen cuando k=1.7, con lo que

1

083.2

)02.0)(3)(1(

)1.0(7.1lim

sssss

ssk

sv

5.4.3 Compensador de retraso-adelanto. Ejemplo

Una red de avance-retardo corresponde a un PID. El regulador PID usa las acciones PD y PI para conseguir un compromiso aceptable entre el transitorio y el permanente cuando no es posible lograrlo con las acciones PI y PD por separado. En realidad, se puede conseguir un PID poniendo en cascada un PD y un PI pero, por comodidad y precio se integran en un componente único PID o en una red de atraso-adelanto de fase con función de transferencia:

1,/1

/1

/

/1)(

2

2

1

1

nns

s

ns

sksC

PIPD

El procedimiento de diseño consiste en obtener el PD que cumpla las especificaciones de y n y, si con el PD sólo, no se cumplen las especificaciones de kp, kv, ka, entonces se diseña el PI usando el mismo valor de n obtenido con el PD. Si con este n no se satisfacen las especificaciones de permanente, se calcula qué n sería necesario, n’, y se vuelven a diseñar las acciones PD y PI con este nuevo n’.

Ejemplo 9. Compensador de avance-retardo vía Evans. Considerar la planta

)3)(1(

1)(

ssssG y las especificaciones = 0.4, sradn /4.1 y 15.2 skv Diseñar el

compensador serie que las satisface.

En primer lugar se diseña el compensador de adelanto, colocando el cero de manera que cancele el polo en -1,



2.2,12.2

1

/

/1)( 1

1

1

ns

sk

ns

sksCav

Los polos deseados se obtienen cuando k=8.15. Con este compensador sólo no es posible cumplir las especificaciones de permanente puesto que:

1

0234.1

)2.2)(3(

15.8lim

s

ssssk

sv

Por tanto hay que introducir un retardo de fase. Colocaremos el cero a -0.1d siendo d=1, por tanto, tendremos 2=0.1. Con n=2.2, la red de atraso correspondiente es:

045.0

1.0

/1

/1)(2.2,1.0

2

22

s

s

ns

ssCn ret

La siguiente figura muestra el LGR de

)3)(1(

1

045.0

1.0

2.2

1)(

ssss

s

s

sksL

Ahora, para obtener los polos deseados hay que ajustar la ganancia a 8.132, y la constante de error final es

1

073.2

)045.0)(2.2)(3(

)1.0(132.8lim

ssss

ssk

sv

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3

-2

-1

0

1

2

3Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-1.5 -1 -0.5 0 0.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Fig. 36. LGR del adelanto-retardo y detalle en origen

5.4.4 Diseño de redes PD-PI. Ejemplo

Las redes PD y PI pueden considerarse casos particulares de las redes de adelanto y retardo de fase, respectivamente. En un diseño típico de PIDs el problema se suele descomponer en dos: en primer lugar, diseñar un PD tal que se satisfagan las especificaciones del transitorio y, en segundo lugar, si es necesario, diseñar un PI para que se satisfagan las especificaciones del permanente.



Ejemplo 10. Compensador de PD-PI vía Evans. Considerar la planta 120

( )( 6)( 20)

G ss s s

y

las especificaciones: error nulo en régimen permanente a entradas en rampa, tiempo de establecimiento 1s y sobreimpulso 10% a entradas en escalón. Diseñar el compensador serie que las satisface.

A partir de las especificaciones del transitorio podemos calcular cuáles son los polos deseados. El

tiempo de establecimiento 4

1sn

t s

nos indica cuál debe ser la parte real de los polos

dominantes: 4n . Y el sobreimpulso 10%ptR , correspondiente a 0.6 , nos permite

obtener el valor de 4 4

6.67rad/s0.6n

y la parte imaginaria de los polos dominantes

deseados, 21 5.3rad/sd n .

Así pues, las ramas del LGR compensado deberán pasar por 1,2 4 5.3p j .

La Fig. 37(a) muestra el LGR correspondiente a 120

1 0( 6)( 20)

ks s s

. Vemos que con un

simple controlador proporcional, k, no podemos satisfacer las especificaciones (cuadraditos azules).

-25 -20 -15 -10 -5 0 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-25 -20 -15 -10 -5 0 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Fig. 37. (a) Control P. (b) Cálculo de la fase en el polo deseado

¿Qué necesitamos para que los cuadraditos azules pertenezcan al LGR, es decir, para que las ramas del LGR pasen por ellos? La condición es que en esos puntos la fase sea -180º (condición argumental de pertenencia al Evans). A fin de ver qué fase tenemos en los puntos deseados trazamos los vectores de la Fig. 37(b) y calculamos la fase:

1 1 1

18.3º 69.3º 127º

0º 180º 214.6º20 4 6 4 4

d d dtg tg tg



A fin de conseguir que 180º , hay que aumentar la fase en 34.6º. Ello se puede conseguir

con un cero, ( ) ( )PDC s k s z , i.e., un compensador PD.

Fig. 38. Posición del cero

La posición del cero se obtiene de 5.3

34.6º 0.694

tgz

y es 5.3

4 11.680.69

z .

Con este nuevo cero, el LGR ya pasa por los polos deseados (ver figura)

-25 -20 -15 -10 -5 0 5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Fig. 39. Ajuste de la respuesta transitoria con un cero (PD).

Ahora basta con ajustar la ganancia k a fin de situarnos exactamente sobre los polos deseados. Para ello debemos aplicar la condición modular:

2 2 2 2 2 2

2 2

4 (6 4) (20 4)0.57

120 120 (11.68 4)

d d d

d

Dk

N

Así pues, el compensador PD obtenido es ( ) ( ) 0.57( 11.68)PDC s k s z s .

-z -4

j5.3

34.6º

z-4



Ahora basta con ajustar el permanente. Las especificaciones indican que el error a entrada en rampa debe ser nulo. Para ello el sistema debería ser de tipo 2, es decir, debería tener dos integradores en el lazo. Como la planta ya cuenta con uno, bastará con que el controlador tenga otro.

Escogemos la siguiente red PI 0.1

( )PI

sC s

s

donde la posición del cero se ha escogido

arbitrariamente pero cuidando de que sea lo suficientemente pequeño (comparado con el resto de polos) para no afectar a la dinámica dominante del sistema. Desde el resto de polos del lazo la red PI se verá como un dipolo (i.e., un cero y un polo muy juntos) de manera que prácticamente no afectarán al resto del Evans. Sin embargo, al situar el polo en el origen estaremos cumpliendo la especificación de seguimiento a rampas. La siguiente figura muestra el nuevo LGR:

-25 -20 -15 -10 -5 0 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Fig. 40. (a) Compensación PD-PI. (b) Detalle en el origen

El controlador serie definitivo es, pues, ( 0.1)

( ) 0.59( 11.68)s

C s ss

. Notar que la ganancia se

ha modificado ligeramente debido a la inclusión del PI.

5.5 Compensación tacométrica La compensación por retroacción, a diferencia de la compensación serie, añade ceros a la función de transferencia en lazo cerrado. Un caso particular es la compensación tacométrica, consistente en colocar un tacómetro en el camino de retorno que genere una señal proporcional a la derivada de la salida del servo. La herramienta de diseño es el contorno de las raíces.

Ejemplo 11. Compensador tacométrico. Considerar el sistema de la figura, con un compensador tacométrico H1 y un regulador de tipo PD H2. Se pide ajustar los parámetros para conseguir

16 skv



Fig. 41.

En primer lugar se representa el LGR correspondiente a la cadena directa:

0)2(

11 1

ssk

Ajustamos k1 para cumplir la especificación de permanente,

1262)2(

lim 1111

0

ks

k

ss

ksk

sv

Con este valor de ganancia los polos resultan ser -1±jsqrt(11)

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

k1=12

k1=12

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Ahora, ajustaremos la ganancia del tacómetro suponiendo que el PD no existe. El lazo es

skkss

k

skss

k

ssk

sL21

1

21

1

1 )2()2(

11

)2(

1

)(

Y la ecuación característica es 0)2(

1)(121

11

skkss

ksL . Hay que despejar k2:

)2(

1)(

sssG

Ts

TssH

1)(2

sksH 21 )(

1k R E Y + +

_ _



0)2(

10)2(1

12121

kss

skkkskkss

Y ahora representamos el contorno de las raíces variando k2 para k1=12

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

k1=12

k1=12

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Finalmente, hay que ajustar el parámetro T del regulador PD. El lazo es:

221

1

21

1

)1)(2(

)1(

1)2(

11

)2(

1

)(TskkTsss

Tsk

Ts

Tssk

ssk

ssk

sL

Hay que aislar T en la ecuación característica:

0)1)(2(

)1(1)(1

221

1

TskkTsss

TsksL

0

)2(

)2(10)1()1)(2(

1

1211

221

kss

kksksssTTskTskkTsss

Las siguientes figuras muestran los lugares para T variando entre 0 e infinito en dos casos: (a) para k1=12 y k2=0.25 y (b) para k1=12 y k2=0.35

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

k1 = 12 , k

2 = 0.25

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4k

1 = 12 , k

2 = 0.35

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Fig. 42.

>> k1=12;k2=0.25; >> rlocus(tf([1 2+k1*k2 k1 0],[1 2 k1]),'r',tf([12 0],[1 2 12]),'--') >> title('k_1 = 12 , k_2 = 0.25') >> k1=12;k2=0.35; >> rlocus(tf([1 2+k1*k2 k1 0],[1 2 k1]),'r',tf([12 0],[1 2 12]),'--')



>> title('k_1 = 12 , k_2 = 0.35')

5.6 Realizaciones

5.6.1 Realizaciones pasivas

(a) (b)

Fig. 43. (a) Corrector de avance (PD). (b) Corrector de retraso (PI)

Corrector de avance: s

sn

v

vsGc

1

1)(

1

2 , con CRR

RR

21

21

,

2

21

R

RRn

Corrector de retardo: sn

s

v

vsGc

1

1)(

1

2 , con CR2 , 2

21

R

RRn

C1

R1

R2

v1 v2

+ + C2

Fig. 44. Corrector de avance-retraso (PID) (n1 = n2 = n).

Corrector de avance-retardo: snT

sT

sn

TsT

v

vsGc

2

2

1

1

1

2

1

1

1

1)(

, 111 CRT , 222 CRT , n:

solución de 0)( 1212122 TnCRTTTn

5.6.2 Realizaciones activas

C

R1 R2 v1 v2

+ + C

R1

R2

v1 v2

+ +



nTs

Ts

v

vsGc

1

1)(

1

2 . Nota: Para simplificar, CCC 21 , 2

1

R

Rn , CRT 2 : Si 21 RR ,

entones n >1 (retardo), si 21 RR , entones n <1 (avance).

C1

R1

R2

v1 +

+

C2

R

R

v2

Fig. 45. Corrector de avance o retardo (según el valor de n = R1/R2).



5.7 Ejercicios resueltos Ejercicio 7. Herramienta sisotool de Matlab. Considerar la planta

1)/(2

sRLLCs

VsG

dc

c

con L=100uH, C=100uF, Rdc=15W y Vc=391V. Usar la herramienta sisotool para diseñar un sistema con acción integral y MF>45º. Solución:

La planta es 82

8

1066.666

10391

ss

sG . Abrir el sisotool e introducir la planta

>> G=tf(391e8,[1 666.66 1e8]); >> sisotool

A continuación, en la ficha Compensator Editor usar el botón derecho para poner un primer controlador (por ejemplo, un integrador, ya que piden acción integral).



Finalmente, usar la herramienta gráfica para añadir más ceros y polos al lazo y usar el ratón para mover sus posiciones y ver el efecto directo sobre el Evans, Bode del lazo, etc. La siguiente figura corresponde a un PID (dos ceros y el integrador).

Se recomienda navegar por las diferentes pantallas, echar un vistazo a las opciones disponibles y probar diseños alternativos. Ejercicio 8. Efecto de los filtros de compensación sobre la respuesta frecuencial del lazo.

Considerar la planta G ss s s

( ).

( )

53 3 10

625 160 10

6

2 3 con H 1 y compensador serie )(sGc . Se

pide:

Lazo unitario 1. Con G sc ( ) 1, hallar el margen de fase MF a partir del diagrama de Bode del lazo (función

margin). 2. A partir de él estimar cuál será el overshoot Rpt de la respuesta indicial del servo. 3. Representar la respuesta indicial del servo y comprobar el valor anterior (función step).

Compensador de avance 1. Diseñar un compensador de avance )(sGc cualquiera que mejore el MF anterior.

2. Obtener el MF del lazo compensado. 3. Representar la respuesta indicial del servo resultante. Medir Rpt.

Control P más compensador de retardo



Si se aumenta la ganancia del lazo poniendo kc 3, el servo mejora muchas de sus prestaciones pero se desestabiliza. Por ello, para estabilizar, se decide añadir un compensador de retardo con

n 10 y 2 . El controlador resultante es G ss

sc ( )

31 2

1 20.

1. Obtener el MF del lazo compensado. 2. Representar la respuesta indicial del servo y medir Rpt.

Compensador de avance-retardo Otra opción, para aumentar la velocidad de respuesta, es poner un corrector de avance-retardo.

Suponer que este es sn

s

s

snsGc

22

2

1

11

1

1

1

1)(

, con n1 70 , 51 104 , n2 5 y 42 .

1. Obtener el MF del lazo compensado. 2. Representar la respuesta indicial del servo y medir Rpt.

Doble etapa de avance Puesto que a menudo un único compensador de avance no puede estabilizar suficientemente al sistema, se recurre a poner dos correctores de avance en cascada. Suponer que el compensador

ahora es s

sn

s

snsGc

2

22

1

11

1

1

1

1)(

, con n1 100 , 41 109.0 , n2 100 y 4

2 103.0 .

1. Obtener el MF del lazo compensado. 2. Representar la respuesta indicial del servo y medir Rpt. Solución: Lazo con G sc ( ) 1.

El margen de fase es MF = 25.6º. A partir de él estimamos que el valor del coeficiente de amortiguamiento es 25.0 (recordar que, para valores pequeños de , 100MF ). El rebasamiento temporal correspondiente es del orden del 45%,

4443.01

exp2

ptR .

Comprobación por Matlab (en la respuesta indicial, clicar con el botón derecho para que aparezca un menú con las características de la respuesta). >> num=53.3e6;den=[1 625 160e3 0];G=tf(num,den);margin(G) >> M=feedback(G,1);step(M)



-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de

(dB

)

101

102

103

104

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se (

de

g)

Bode DiagramGm = 5.47 dB (at 400 rad/sec) , Pm = 25.6 deg (at 277 rad/sec)

Frequency (rad/sec) Compensador de avance Diseñaremos un corrector de avance para º40max .

Cálculo de n: 6.4º40sin1

º40sin1

sin1

sin1

max

max

n . Tomaremos n=5.

Cálculo de la frecuencia central del corrector c: En el diagrama de Bode del lazo sin compensar buscamos cuál es la frecuencia a la cual el módulo vale dB75log10log10 n . Esta

frecuencia es aproximadamente 430rad/s. Por tanto, rad/s430c .

Cálculo de la constante de tiempo : La frecuencia central del corrector es n

c 1

. De ahí se

obtiene 001.05430

11

nc .

Corrector de avance obtenido: s

s

s

snsGc 001.01

001.051

1

1)(

.

El nuevo margen de fase es: MF=36.5º. El nuevo overshoot es: Rpt=27.1% >> numav=[5*0.001 1];denav=[0.001 1]; >> numl=conv(num,numav);denl=conv(den,denav);L=tf(numl,denl);margin(L), >> M=feedback(L,1);Mg=feedback(G,1);step(Mg,M),legend('G_c=1','G_{avance}')

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de

(dB

)

101

102

103

104

105

-270

-225

-180

-135

-90

-45

Pha

se (

de

g)

Bode DiagramGm = 8.23 dB (at 722 rad/sec) , Pm = 36.5 deg (at 430 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.5

1

1.5

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Gc=1

Gav ance



Compensador de retraso y ganancia: G ss

sc ( )

31 2

1 20

El margen de fase es: MF=67.5º. El overshoot es: Rpt=0.8%

-100

-50

0

50

100

150

Mag

nitu

de

(dB

)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se (

de

g)

Bode DiagramGm = 15.9 dB (at 400 rad/sec) , Pm = 67.5 deg (at 98.4 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.5

1

1.5

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Gc=1

Gretraso

Compensador de avance-retraso (lead-lag): s

s

s

ssGc 451

41

1041

104701)(

5

5

.

El margen de fase es: MF=85.2º. El overshoot es: Rpt=0.2%

-200

-100

0

100

Mag

nitu

de

(dB

)

10-2

100

102

104

106

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se (

de

g)

Bode DiagramGm = 47.2 dB (at 2.61e+003 rad/sec) , Pm = 85.2 deg (at 67.4 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.5

1

1.5

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Gc=1

Gav -ret

Doble etapa de avance: s

s

s

ssGc 4

4

4

4

103.01

103.01001

109.01

109.01001)(

El margen de fase es: MF=87.9º. El overshoot es: Rpt=0%

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de

(dB

)

100

101

102

103

104

105

106

-270

-225

-180

-135

-90

-45

Pha

se (

de

g)

Bode DiagramGm = 30 dB (at 1.95e+004 rad/sec) , Pm = 87.9 deg (at 1.44e+003 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.5

1

1.5

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Gc=1

Gav -av

Sistemas Electrónicos de Control Curso 2013/2014-1 Tema 3 ...

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