Sistemas lineares

Prof.: Rodrigo Carvalho

SISTEMAS LINEARES


Consideramos como equação linear toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... +anxn = b, onde:

I. a1, a2 ,a3 , ..., an são os coeficientes das incógnitas;II. x1, x2, x3 , ..., xn são as incógnitas;III. b é o termo independente.

EQUAÇÃO LINEAR

DEFINIÇÃO:


I. Os expoentes das incógnitas são todos iguais a 1; II. As incógnitas são separadas em termos, pelos

sinais de adição e subtração;III. Quando o termo independente é nulo (b = 0), a

equação linear é homogênea.

Exemplos:a) 3x + 2y = 11b) 8x – y + 3z = 0 (homogênea)

OBSERVAÇÕES

Contra-exemplos: a) 3x² + y = 5 b) 1/x + y = 3


A solução de uma equação linear é uma seqüência (conjunto ordenado) de números que possuem tantos elementos quanto for o número de incógnitas da equação e que tornam a sentença verdadeira.

Exemplos:a) Uma solução da equação linear 3x + 2y = 11 é o par ordenado (1, 4), pois a sentença 3.1 + 2.4 = 11 é verdadeira.

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR


d) A equação linear 0x + 0y = 3 não admite solução.

b) Uma solução da equação linear 8x – y + 3z = - 1 é o terno ordenado (0, 4, 1), pois a sentença 8.0 – 4 + 3.1 = -1 é verdadeira.

*Equações lineares especiais

c) A equação linear 0x + 0y = 0 admite como solução qualquer par ordenado.


Exemplo: O sistema seguinte é um sistema linear 2 x 2.

73y2x

8y5x

SISTEMA LINEAR Chama-se sistema linear m x n um conjunto de m equações lineares a n incógnitas.

O objetivo de resolver um sistema é determinar todas as sua soluções.


CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Podemos classificar um sistema linear quanto ao número de soluções em:

a) SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD)

Admite uma única solução.

b) SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO (SPI)

Admite infinitas soluções.

c) SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI)

Não admite solução.


Utiliza-se a Regra de Cramer para a solução de sistemas lineares. Essa regra consiste em:1. Calcular o determinante da matriz dos coeficientes, que será simbolizado por e denominado determinante principal.

2. Colocam-se os termos independentes no lugar da coluna de cada incógnita e calculam-se os determinantes que serão simbolizados por , denominados determinantes secundários(determinante das incógnitas).

3. Cada variável será determinada pela razão:

,...z,y,x zyx

,...,, zyx

REGRA DE CRAMER


Discutir um sistema linear é determinar quando ele é um SPD, SPI ou SI, a depender de um ou mais parâmetros presentes no sistema.

DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Sistema

Possível

Impossível

Determinado

Indeterminado0

0ΔΔΔ e 0Δ zyx

0Δou 0Δou 0Δ e 0Δ zyx

( )

( )

( )


01. Discutir o sistema .

bay6x

72y3x

02. O sistema é possível e determinado se, e somente se:

2y m4x

1yx

Exercícios:

14)

1)

4)

4)

2)

me

md

mc

mb

ma


SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS

Sistemas lineares homogêneos são sistemas nos quais todos os termos independentes são nulos.

Exemplo:

0zy3x

0zy2x

0z-yx

Esse tipo de sistema sempre admite a solução (0,0,0,0,...,0), chamada de SOLUÇÃO TRIVIALSOLUÇÃO TRIVIAL.

Sendo assim, os sistemas homogêneos são sempre possíveis. Caso seja determinado, admite apenas a solução trivial. Se for indeterminado, admite outras infinitas soluções, além da trivial.


SISTEMA LINEAR ESCALONADO

Dizemos que um sistema linear é um sistema escalonado quando:

a) em cada equação há pelo menos um coeficiente não nulo;

b) o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, cresce da esquerda para a direita, de equação para equação.


Exemplos:


RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

ESCALONADO Ex.1: Resolvendo o sistema escalonado a seguir temos:

Como z = 1, substituindo esse valor na 2ª equação, temos que y = 1. Substituindo os valores de z e y na 1ª equação, chegamos à conclusão de que x = 5. Portanto, S = {(5,1,1)}.

SPD


Ex.2: Resolvendo o sistema escalonado a seguir temos:

A 3ª equação indica uma impossibilidade. Logo não existe terno ordenado que possa ser solução do sistema.

SI

Portanto, S = O.


Ex.3: Resolvendo o sistema escalonado a seguir temos:

A 3ª equação pode ser resolvida para qualquer valor de z, logo pode ser suprimida do sistema.O sistema, então, passa a ser escrito da seguinte forma:

A incógnita z passa a ser chamada de variável livre, podendo ser a ela atribuído qualquer valor . Rk

Logo, x = 2 - 2k e y = k + 1.

Portanto, S = {(2 - 2k, k + 1, k), }. Rk

SPI


ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEAR

PROPRIEDADE

Todo sistema linear pode ser transformado num sistema escalonado por meio das seguintes operações elementares sobre suas equações:

I. Permutar duas equações;

II. Multiplicar uma equação por um número não nulo;

III. Somar à uma equação, uma outra previamente multiplicada por uma constante.


104zy-3x

5z2y-2x

43zyx

b)

8z3y2x

-52zy-3x

7z-2yx

)

:abaixo sistemas osresolver er classifica Escalonar, 1)

a

Exemplos:

153y6x

5y2xc)


Com base nos conhecimentos sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, é correto afirmar:

racional.númerouméxentão,inversíveléx1

2xmatrizaSe(02)

(01) Se duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são simétricas, então a matriz (A + B) também é simétrica.

.3a

x1x1

310

12x2x

entãoa,11x

xxe nulo não real número um éxSe(04)

U F B A 2007


.2

7 a - b então ,impossível é

3ay2x

by-x sistema oSe(08)

c. e b a, de reais valoresos sejam quequaisquer

o,determinad e possível éc1)y(a1)x-(a

b1)y-(a-1)x(alinear sistema O(16)

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