Sistemas multiples de grados de libertad, analisis …...losa y de las trabes que aportan a la...

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

MARZO 2015

SISTEMAS DE MÚLTIPLES

GRADOS DE LIBERTAD

ELABORADO POR

ING. DAVID GUTIÉRREZ CALZADA

MARZO DE 2015

Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C.

Página 2

ÍNDICE

Introducción 3

Objetivos del tema 4

Aprendizajes previos 4

Desarrollo del tema 5

- Sistemas de varios grados de libertad 5 - Ejemplo 8

BIBLIOGRAFÍA

13


Página 3

INTRODUCCIÓN

El presente documento contiene el desarrollo escrito del tema Sistemas de

múltiples grados de libertad; tema que forma parte del tema 2, Dinámica

Estructural, dentro del programa de estudio de la unidad de aprendizaje de

Análisis Estructural 2. El alcance de este trabajo es mostrar como se modela un

edificio de varios grados de libertad, la obtención de la ecuación dinámica y las

frecuencias y modos de vibrar.

El tiempo dedicado al desarrollo en el aula es de dos sesiones de dos horas cada

una. Destinando una clase para la teoría fundamental y una clase para ejercicios.

Cabe aclarar que en el desarrollo de los ejercicios se hace nuevamente referencia

a la parte teórica fundamental.


Página 4

Objetivos del tema Los objetivos corresponden de manera general a los de la unidad 2, por lo que

este tema cumple parcialmente a los mismos, ya que no está destinado el objetivo

como uno específico, siendo:

- Obtener la respuesta de sistemas dinámicos de varios grados de libertad,

sometidos a diferentes tipos de excitaciones.

Aprendizajes previos requeridos Al llegar a este tema el alumno ya debe haber adquirido los conceptos

fundamentales de la respuesta de sistemas dinámicos de un grado de libertad, así

como la obtención de espectros de respuesta.


Página 5

DESARROLLO DEL TEMA

Sistemas con varios grados de libertad Para realizar un análisis dinámico de un edificio, se puede idealizar por medio de

un modelo de masas y resortes (Figura 1.1) concentrando la masa en las losas de

cada entrepiso, (al tener la mayor cantidad de peso concentrado en la losa en

cada piso), además se considera a la losa como un diafragma infinitamente rígido,

donde las masas sólo admiten traslaciones horizontales. En este modelo,

únicamente las columnas aportan rigidez (siempre que la losa se pueda comportar

como un diafragma rígido, en caso contrario se debe considerar la rigidez de la

losa y de las trabes que aportan a la rigidez de entrepiso). Este modelo se conoce

como “edificio de cortante”, donde no existen rotaciones de una sección horizontal,

es decir, los giros en la parte superior de las columnas son nulos y que su

deformación axial es despreciable.

Figura 1.1. Modelo de masas y resortes sin amortiguamiento

x (t)n

x (t)i

x (t)2

x (t)1m 1

m 2

m i

m n

m 1

m 2

m i

m n

kx (t)i

x (t)2

x (t)1

i+1

k i

k 2

k1

x (t)n

a (t) a (t)


Página 6

Donde el número de niveles representa los grados de libertad en esa dirección, y

los valores de xi representan los desplazamientos horizontales de cada masa.

Obsérvese que en el modelo no existe amortiguamiento.

Considerando un amortiguamiento de tipo viscoso (proporcional a la

velocidad), se tienen un modelo que considera la fuerza inercial (de las masas), la

fuerza restitutiva (del resorte) y la de amortiguamiento (Figura 1.2).

Figura 1.2. Modelo de masas y resortes con amortiguamiento viscoso

Planteando el equilibrio dinámico, se obtienen ecuaciones del tipo

mix1 + ci xi( ) + ki + ki+1( )xi − ki+1xi+1 − kixi−1 = −mia t( ) de forma matricial, para todo el sistema

M⎡⎣ ⎤⎦ !!x + C⎡⎣ ⎤⎦ !x + K⎡⎣ ⎤⎦ x = − M⎡⎣ ⎤⎦ a(t) 1{ } 1

donde 1{ } es un vector columna con todos sus elementos iguales a la unidad.

1 Las matrices se denotan entre corchetes [ ], mientras que los vectores con llaves {} o bien con una línea en la parte superior.

k i+1

k i

m i

k i+1 (x -x )i+1 i

k i (x -x )i i-1

c xi imi (x + a(t))i i

Hi

m 1

m 2

m i

m n

kx (t)i

x (t)2

x (t)1

i+1

k i

k 2

k1

x (t)n

a (t)

cn

ci

c2

c1


Página 7

M⎡⎣ ⎤⎦ =

m1 0 0 0

0 m2 0

0 0 mi

mn

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

K⎡⎣ ⎤⎦ =

k1 + k2 −k2 0 0

−k2 k2 + k3 −k3

0 −k3 ki + ki+1

kn

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

Siendo [M] y [K] las matrices de masa y rigidez. Obsérvese que la matriz de

rigideces está acoplada (tienen en algunos de sus elementos rigideces de

diferentes entrepisos).

Modelo de 2 grados de libertad Considerando un modelo de dos grados de libertad y planteando su equilibro

dinámico para cada una de las masas, sin considerar amortiguamiento, se tiene:

m1 x1 + xs( ) + c1 x1( ) + k1 x1( )− k2 x2 − x1( ) = 0

m2 x2 + xs( ) + c2 x2( ) + k2 x2 − x1( ) = 0

En forma matricial

M⎡⎣ ⎤⎦ !!x + K⎡⎣ ⎤⎦ x = −!!xs M⎡⎣ ⎤⎦ 1{ } Se obtiene un arreglo de matrices cuadradas de [2x2], donde la matriz de masas

tiene elementos en la diagonal, mientras que la de rigideces tiene elementos fuera

de la diagonal. Se dice que las ecuaciones están “acopladas”.

Para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales es necesario

realizar una transformación de coordenadas, mediante valores característicos,

para poder “diagonalizar” a [K], utilizando las siguientes ecuaciones de

transformación

x = Φ⎡⎣ ⎤⎦ y

!x = Φ⎡⎣ ⎤⎦ !y

!!x = Φ⎡⎣ ⎤⎦ !!y


Página 8

donde es la matriz modal, x es la coordenada de las masas y y son las

coordenadas productos de las transformadas. Sustituyendo se obtiene

M⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ !!y + K⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ y = −!!xs M⎡⎣ ⎤⎦ 1{ }

Premultipilicando por ΦT

Φ⎡⎣ ⎤⎦T

M⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ !!y + Φ⎡⎣ ⎤⎦T

K⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ y = −!!xs Φ⎡⎣ ⎤⎦T

M⎡⎣ ⎤⎦ 1{ }

Definiendo a

M⎡⎣ ⎤⎦*= Φ⎡⎣ ⎤⎦T

M⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦

y

K⎡⎣ ⎤⎦ *= Φ⎡⎣ ⎤⎦T

K⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦

se tiene que

M⎡⎣ ⎤⎦ * !!y + K⎡⎣ ⎤⎦* y = − Φ⎡⎣ ⎤⎦T

M⎡⎣ ⎤⎦ 1{ } !!xs

Obteniéndose ecuaciones del tipo

m*

i yi + k*i yi = f *i

donde las ecuaciones ya se encuentran desacopladas. Y la respuesta total del

sistema se obtiene por medio de una superposición modal

x = Φ⎡⎣ ⎤⎦ y

x = Φ1y1 +Φ2 y2 donde Φ⎡⎣ ⎤⎦ = Φ1 Φ2

⎡⎣

⎤⎦

Las funciones obtenidas no dependen del tiempo y corresponden con la

suma de las máximas respuestas modales. Estas respuestas resultan

conservadoras, puesto que considera que las máximas respuestas de todos los

modos ocurren en el mismo instante de tiempo.


Página 9

Ejemplo Considere la siguiente figura. Calcule las frecuencias, periodos y formas de vibrar.

W3= 220 Ton

W2= 200 Ton

W1= 150 Ton

K3= 35 Ton/cm

K2= 50 Ton/cm

K1= 40 Ton/cm

gravedad=981cm/s2

La matriz de masas y rigideces son:

M⎡⎣ ⎤⎦ =

m1 0 0

0 m2 0

0 0 m3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=0.1529 0 0

0 0.2039 00 0 0.2243

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥ton.s2 / seg

K⎡⎣ ⎤⎦ =

k1 + k2 −k2 0

−k2 k2 + k3 −k3

0 −k3 k3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=90 −50 0−50 85 −35

0 −35 35

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥ton / cm

Realizando K⎡⎣ ⎤⎦ −ω

2 M⎡⎣ ⎤⎦ = 0 , y utilizando ω2 = φ queda como:

K⎡⎣ ⎤⎦ −ω2 M⎡⎣ ⎤⎦ = K⎡⎣ ⎤⎦ −φ M⎡⎣ ⎤⎦ =

90− 0.1529φ −50 0−50 85− 0.2039φ −35

0 −35 35− 0.2243φ

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

= 0

Por lo que el determinante: 2 370000 2064.73 8.1207 0.0069 0φ φ φ− + − =


Página 10

Cuyas soluciones son (ordenando de menor a mayor):

ω 2

1 = 39.9699 rad 2

seg 2

ω 2

2 = 307.8331rad 2

seg 2

ω 2

3 = 813.7902 rad 2

seg 2

Ahora obtenemos las siguientes frecuencias circulares:

ω1 = 6.3221rad

seg

ω 2 = 17.5451rad

seg

ω3 = 28.5270 rad

seg

Obteniéndose así los siguientes periodos con T = 2π

ω:

1 0.9938T seg=

2 0.3581T seg=

3 0.2202T seg=

Para calcular los modos de vibración, se sustituye cada uno de los valores de ω2

en la ecuación matricial

K⎡⎣ ⎤⎦ −ω2 M⎡⎣ ⎤⎦ ( )Φ = 0 .


Página 11

Para el primer modo.

Utilizando ω21 , se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones:

K⎡⎣ ⎤⎦ −ω12 M⎡⎣ ⎤⎦ ( )Φ1 =

90− 0.1529 39.9699( ) −50 0

−50 85− 0.2039 39.9699( ) −35

0 −35 35− 0.2243 39.9699( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Φ1,1

Φ2,1

Φ3,1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

K⎡⎣ ⎤⎦ −ω12 M⎡⎣ ⎤⎦ ( )Φ1 =

83.8886 −50 0−50 76.85 −35

0 −35 26.0347

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Φ1,1

Φ2,1

Φ3,1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

83.8886 Φ1,1 −50 Φ2,1

−50 Φ1,1 + 76.85 Φ2,1 − 35 Φ3,1

−35 Φ2,1 + 26.0347 Φ3,1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Proponiendo un valor para 1,1 1φ = (Recuerde que este sistema no tiene solución

única, dado que el determinante de este sistema es cero, teniendo una infinidad

de soluciones) se obtiene φ2,1 = 1.67 y

φ3,1 = 2.25

Φ1 =1

1.672.25

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Para el segundo modo.

Utilizando ω 22 , se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones:

K⎡⎣ ⎤⎦ −ω 22 M⎡⎣ ⎤⎦ ( )Φ2 =

90− 0.1529 307.8331( ) −50 0

−50 85− 0.2039 307.8331( ) −35

0 −35 35− 0.2243 307.8331( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Φ1,2

Φ2,2

Φ3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟


Página 12

K⎡⎣ ⎤⎦ −ω 22 M⎡⎣ ⎤⎦ ( )Φ2 =

42.9323 −50 0−50 22.2409 −35

0 −35 −34.0349

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Φ1,2

Φ2,2

Φ3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

42.9323 Φ1,2 −50 Φ2,2

−50 Φ1,2 + 22.2328 Φ2,2 − 35 Φ3,2

−35 Φ2,2 − 34.0469 Φ3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Proponiendo un valor para φ1,2 = 1 (Recuerde que este sistema no tiene solución


de soluciones) se obtiene φ2,2 = 0.85 y

φ3,2 = −0.88

Φ2 =1

0.85−0.88

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Para el tercer modo.

Utilizando ω32 , se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones:

K⎡⎣ ⎤⎦ −ω32 M⎡⎣ ⎤⎦ ( )Φ3 =

90− 0.1529 813.7901( ) −50 0

−50 85− 0.2039 813.7901( ) −35

0 −35 35− 0.2243 813.7901( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Φ1,3

Φ2,3

Φ3,3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

K⎡⎣ ⎤⎦ −ω32 M⎡⎣ ⎤⎦ ( )Φ3 =

−34.4327 −50 0−50 −80.9103 −35

0 −35 −147.5013

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Φ1,3

Φ2,3

Φ3,3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−34.4327 Φ1,3 −50 Φ2,3

−50 Φ1,3 −80.9103 Φ2,3 − 35 Φ3,3

−35 Φ2,3 −147.5013 Φ3,3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟


Página 13

Proponiendo un valor para φ1,3 = 1 (Recuerde que este sistema no tiene solución


de soluciones) se obtiene φ2,3 = −0.68 y

φ3,2 = 0.16

Φ3 =1

−0.680.16

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Armando la matriz modal

Φ⎡⎣ ⎤⎦ =1 1 1

1.67 0.85 −0.682.25 −0.88 0.16

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Dibujando las formas modales

Modo 1

1

1.67

2.25


Página 14

Modo 2

1

0.85

-0.88

Modo 3

1

-0.68

0.16

Obteniendo la matriz M⎡⎣ ⎤⎦*= Φ⎡⎣ ⎤⎦T

M⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ y

M⎡⎣ ⎤⎦*=1.86 0 0

0 0.47 00 0 0.25

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Obteniendo la matriz K⎡⎣ ⎤⎦*= Φ⎡⎣ ⎤⎦T

K⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦


Página 15

K⎡⎣ ⎤⎦*=74.64 0 0

0 147.15 00 0 207.98

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

BIBLIOGRAFÍA Bazán/Meli, R. (1999). Diseño Sísmico de Edificios, Limusa Noriega Editores, México. D.F.

Curiel, G. (2000). Dinámica Estructura Simplificada, México, D.F.

Meli, R. (1993). Diseño Estructural, Limusa Noriega Editores, México. D.F.

Plan de estudios de la Licenciatura en Ingeniería Civil, plan F2, 2004, UAEM,

México.

Sáez, (2000). Estructuras III. Arquitectura de Sevilla., España

Valdés, J. (2004). Apuntes de la clase de Ingeniería sísmica, Maestría, UAEM,

México.

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