DOCUMENTO PREPARADO PARA LA ASIGNATURA DE CONTROL AVANZADO 1

Sliding Mode Control of a Ball and Beam SystemGregory Cárdenas M.Estudiante de Ingeniería Civil Electrónica, Departamento de Ingeniería Eléctrica,

Universidad de la Frontera, Temuco-Chile.

Abstract—En el artículo se presenta un esquema y la aplicacióndel control por planos deslizantes para un sistema ball andbeam visto en [1],[2] y [3]. Las pruebas sobre el desempeñodel controlador se realizan sobre el sistema con perturbacionestemporales de tipo ruido blanco provocado por la actuación delservo-motor y de los sensores de medición, propias de estos. Laventaja del control implementado es que puede tolerar ruidosmuy superiores a los visto en los artículos anteriores, respetandosiempre el compromiso de actuación y no excediéndose de este.

Index Terms—Ball and Beam,SMC,MatLab

I. INTRODUCCION

ENeste artículo propone un diseño de un controladormediante planos deslizante, el cual es diseñado sobre la

base del sistema no lineal y realimentado por un observadorde Kalman, de la misma forma que en [3], ya que el sistemaserá expuesto a dos fuentes de ruido blanco.

En la sección dos, se muestra brevemente los fundamentosde este controlador, para en las secciones siguientes mostrarel diseño para el modelo del sistema ball and beam, tambiénse discutirán brevemente los resultados obtenido por estecontrolador en relación a los otros controladores mostradosa lo largo del curso sus ventajas y desventajas con respecto asus antecesores.

II. DESCRIPCION DEL METODO

El control por planos deslizantes puede ser separado endos partes : el modo de alcance (reaching mode ) y el mododeslizante (sliding mode). La superficie de deslizamient S = 0corresponde al camino deseado en el espacio estado, el cual seconsigue directamente de las ecuaciones del modelo no lineal.

Por lo visto en el párrafo anterior la trayectoria del sistemaen el plano de fase consta también de dos partes que repre-sentan los dos modos del sistema. Diseño del controlador .

Se considere un sistema de orden n el cual puede serrepresentados por el modelo en espacio estados de la forma:

xn = f (x) + u (1)

f (x) = f (x) + ∆f (x) (2)

y

|∆f (x)| ≤ F (x) (3)

donde :

E-mail:crash.root@gruluf.org

x =[x x1 · · · x(n−1)

]Ty u son el vector de estado n dimencional y la entrada

de control del sistema respectivamente, f (x) es desconociday limitada, y (6) es la función descrita con un grado deincertidumbre, del f (x) es desconocida pero f (x) y F (x)son conocidas .

Si el lazo cerrado se busca llegar al estado decesado xd,entonces la eccuacion la eccuacion no lieneal del sistema dadaen (5) se puede reescribir en términos del error :

El vector error se defien como :

e =[xd − x x2d − x2 · · · xnd − xn

]T(4)

La mayoría de las supeficies deslizante se defienen de lasiguiente manera :

s (e) =

(d

dt+ λ

)(n−1)

e (5)

Donde λ es una constante positiva y con e el vector de error. Entonces s (e) = 0 define una superficie en el espacio Cn,lo cual debe garantizar que el sistema resultante sea estable.Al desarrollar (5) se tiene :

s (e) = en−1 + cn−1λen−2 + · · ·+ λn−1e = 0 (6)

Para mantener la función s(e) en cero, se selecciona unaacción de control tal que se cumpla con :

1

2

d

dts2 ≤ −η |s| (7)

si el estado se encuentra fuera de s (t), donde η es unaconstante positiva. La ecuación (11) es llamada la condición dedeslizamiento: esta condición garantiza ques (x, t) disminuya.El objetivo del control es garantizar que la trayectoria deestados del sistema converja a la superficie deslizante. De estaforma, se define una ley de control correctivo uc como :

uc = K · sgn (s) (8)

Con K una constante positiva, y la función función signosgn().

Finalmente, la ley de control totalu corresponde a la com-binación de uc y ueq de la forma:

u = uc + ueq

u = a1e1 + (a2 + c1) e2 + · · ·+ (an + cc−1) en +K · sgn (s)

De la ecuación (8) se nota que la entrada de control presentaoscilaciones de alta frecuencia debido a la función signo,generando en la salida del sistema oscilaciones (chattering).

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III. DISEÑO DEL CONTROLADOR

Siendo el modelo del sistema Ball and Beam mostrado en[1] :

[JbR2

+m

]r (t) +mgsinθ (t)−mr (t) θ2 (t) = 0 (9)

[mr2 (t) + J + Jb

]θ+2mr (t) r (t) θ (t)+mgr (t) cosθ (t) = u

(10)

De (10) podemos se define la ley de control ueq de la forma:

ueq = x4[m2x21 + J + Jb

]+ 2mx1x2 ˙x4 +mgx1cos (x3)

Definimos una superficie de deslizamiento de la forma P1 =s+ b1 (y − rd), siendo un polinomio de Hurwitz, el cual nosasegura que la superficie de deslizamiento es estable :

σ1 = y + b1 (y − rd) (11)

con :

y = x1 (12)

y = b[x1 (t)x24 (t)− gsin (x3 (t))

](13)

rd = 0 (14)

Recordando que rd = 0, por ser este el punto dereferencia al que se quiere llegar, entonces reemplazando(12) , (13) , (14) en (11), la ley de control correctiva esta dadapor :

σ1 = b[x1 (t)x24 (t)− gsin (x3 (t))

]+ 2x1 (15)

Que cumple con la condición:

σ1σ1 < 0

Además podemos definir un Γ1, que corresponde a una con-stante positiva de ganacia, para este controlador la igualaremosal valor de la unidad.

Por lo visto anteriormente la ley de control estará dada por:

u = uc + ueq

Por lo que resulta:

u = x4[m2x21 + J + Jb

]+ 2mx1x2 ˙x4 +mgx1cos (x3) +

˙Γ1sing (b [x1 (t)x24 (t)− gsin (x3 (t))] + 2x1) (16)

Por lo que la ley de control esta dado por (16), en la secciónde resultados se muestra la implementación de esta función deestados en el sistema, ya que al contrario de los controladoresvistos en [2] y [3] , este no corresponde a una ganancia estáticasino a una función de estados variante en el tiempo.

IV. DISEÑO DEL OBSERVADOR

Para el diseño del observador, se utilizo la misma configu-racion vista en [3], por lo que se tiene.

Para este caso las funciones tienen la siguiente estructura.

sys = ss(A,[B G

], C, 0

)L = kalman (sys,Qn,Rn,Nn)

Siendo el sistema de la forma:

x = Ax+Bu+Gw

y = Cx+Du+Hw + v

Se define la matriz G como:

G =

1111

En donde se asume que el ruido es igual de probable en

todas componentes del sistema y con:

H = 0

Ya que podemos afirmar que los ruidos w y v no estanrelacionados entre si .

Siendo Qn la matriz de covarianza del error provocado porel actuador del sistema, y Rn la matriz de covarianza del errorprovocado por el sensor de posición.

Qn = 0,0036.

Rn = 0,000176.

La matriz de diseño del observador óptimo corresponde a:

Lopt =

6,402720,2551−28,5813−78,9461

V. RESULTADOS

Como se comento en la sección 3, este controlador cor-responde a una ecuación de estados variante en el tiempo,por lo qu es necesario implementarlo con una Matlab Fcn enMatlab/simulink, con lo que el sistema queda de la siguienteforma :

Figure 1. Implementación del sistema en Matlab/simulink, con la MATLABFcn

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En la Figura 1 se muestra la implementación en Mat-lab/simulink del sistemas con el controlador y el observadorde Kalman.

En la simulaciones se comenzó probando con los mismoniveles de ruido y partiendo de las mismas condiciones ini-ciales mostrados en [3], con esto se obtuvieron los siguientesresultados:

Figure 2. Respuesta del sistema aplicando el control SMC

En la Figura 2 se muestra la respuesta del sistema im-plementando el control SMC, en donde se puede ver queel controlador es capas de controlar el sistema si mayoresproblemas, pero es necesario observar el comportamiento dela ley de control( esfuerzo de control ), para ver si el sistemaes realizable.

Figure 3. Ley de control (esfuerzo de control) aplicando control SMC

En la Figura 3 se muestra la ley de control, la cual si bienposee gran cantidad de oscilaciones de alta frecuencia, nosobrepasa mas aya del torque permitido visto en [3], por loque se puede concluir que este controlador es cumple con lasespecificaciones de diseño para los actuadores que se proponenen el artículo anterior.

También se probo la eficiencia del controlador con nivelesde ruido superiores a los implementados en [3], para ver elcomportamiento de este, con lo que se llego a la conclusiónde era capas de controlar al sistemas incluso al aumentar losniveles de ruido al sistemas.

A continuación se muestran algunos resultados obtenidos,en donde se aplican los siguientes ruidos :

Qn = 0,01.

Rn = 0,01

Donde la respuesta del sistemas corresponde a :

Figure 4. Respuesta del sistema aplicando el control SMC

En la Figura 4 se muestra la respuesta del sistema, im-plementando el controlador SMC, con los niveles de ruidomostrado mas arriba.

De aquí se puede concluir que es sistema se puede esta-bilizar, por lo que el controlador cumple con lo pedido auncuando se varia significativamente los valores de ruido delsistema, los cuales no tienen relación con los instrumentosmostrados en [3], ya que los valores de estos se dieron total-mente arbitrarios, y solo son usados para ilustra la eficienciadel control SMC.

Figure 5. Ley de control (esfuerzo de control) aplicando control SMC

En la Figura 5 se muestra la ley de control del sistemapara estos niveles de ruido, y podeos ver una ves mas que nosuperan los limites de actuación del servo-motor visto en [3].

Por los resultados arrojado por las simulaciones, es posiblever las superioridad de este tipo de controladores, en primerlugar estos trabajan directamente sobre el sistema no lineal ypermite controlar niveles de ruido muchos mayores a los delmétodo LQR (linear quadratic regulator), además se ajusta debuena manera sobre a las especificación de implementacióndel sistema en especial en lo que es esfuerzo de control,permitiendo que el controlador sea realizable, por lo mostradoen [3].

VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

La técnica de control por planos deslizantes presenta unaforma sencilla y simple de controlar modelos no linealesdebido a que las leyes de control ueq y uc son fácilmenteextraídas del sistema en espacio estados, además proporcionauna herramienta de control para perturbaciones muy superiores

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a las soportadas por el método LQR (linear quadratic regula-tor) el cual para ciertos niveles de ruido dejaba de responderde manera optima .

Como debilidad del método tenemos las numerosas os-cilaciones de alta frecuencia antes mencionada y que secorroboraron en los gráficos de la ley de control de la Figura 3y Figura 5, en donde el servo-motor tiene que realizar cambiosmuy bruscos de posición y en intervalos de tiempo demasiadocortos, esto es por la función signo presente en la ecuación deestados del controlador.

REFERENCES

[1] Gregory Cardenas M,”Modelamiento y Simulación: Sistema Ball andBeam”, Universidad de la frontera, Temuco-Chile .

[2] Gregory Cardenas M,”Diseño de controlador y observador por ubicaciónde polos: Sistema Ball and Beam”, Universidad de la frontera, Temuco-Chile .

[3] Gregory Cardenas M,”Diseño de regulador LQR y observador por filtrode Kalman: Sistema Ball and Beam ”, Universidad de la frontera,Temuco-Chile .

[4] Naif B. Almutairi, “On the sliding mode control of a Ball on a beamsysteman”, Department of Electrical Engineering, College, Kuwait Uni-versity.

[5] Didier Giraldo, Santiago Sánchez, “Control por planos deslizantes difusosde un helicóptero con un grado de libertad”, Universidad tecnológica depereira.