SOBRE UN METODO VARIACIONAL PARA LA

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE

NAVIER-STOKES

TESIS DE MAESTRIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA IZTAPALAPA

FRANCISCO JAVIER SANCHEZ BERNABE

OCTUBRE DE 1987

!

I N T R O D U C C I O N .

El O b j e t i v D p r i m o r d i a l d e l p r e s e n t e t r a b a j o , e s e s t u d k a r 1.a aproximación numéri- 08. de l a s ecuac iones de . Nav ie r -S tokes med ian te : u n a t é k n i c a : que combina u n

m & o b de mj‘nimos cuadrados, con e lemento, f ini to . . E s t e - p roced jmien to fue p r a -

puesto por Roland Glowinski y su grupo de l . . INRIA. en v a r i o s a r t í c u l o s [z];, [3]- p a r a : r e s o i v e r t a n t o f l u i d o s : v.iscosos comprensib1es”corno. incomprensibles .

La idea fundamenta l es t r a n s f a r m a r l a formulac ión mi ic ta de l as ecuac iones

de Nav*ier-Stokes que cons ta de u n - s i s t e m a n o - l i n e a l d e e c u a c i o n e s en l a m i n i -

mizac ión de u n f u n c i o n a l , . e s t r i c t a m e n t e c o n v e x o y a c o t a d o en una vecindad

de l a : s o l u c i ó n , a c o p l a d o c m un: s j s t e m a . d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s d e t i p o S t o k e s .

La so luc ión numér i ca de e s t e p r o b l - m a : SE‘ ca lcu la med ian te . e l ‘ mé todo de gra-

d i - en te con jugado ob ten iéndose tambiéin va r ios p rob lemas de t i p o Stokes .

Las v e n t a j a s d e e s t e método son::

a-) La m a t r i z d e l o s s i s t e m a s r e s u l t a n t e s siempre es l a misma por l o due bas ta

f a c t o r i z a r l a d e s d e e l p r i n c i p i o y/ d e s p u é i s ó l o a c t u a l i z a r l b s v e c t o r e s

d e c a r g a .

h) A l r e a l i z a r l a m i n i m i z a c i ó n p o r g y a d j e n t e c o n j u g a d o l a d e t e r m i n a c ‘ i ó n d e

1 . a ~ pará ine t ros de l p roceso es- au to rná t i cay no:debemos recurrir. a e s t i m a c i o n e s

como- en aproximaciones suces ivas . . Además aquel- método converge más rzp ida -

mente que este.

Existen numerosas t écn icas que se han- ap l i cado a : l ac r e so luc ión de l a s e c u a c i o -

nes de Navier -S tokes . Por e jemplo , e l método de aproximaciones suces ivas des-

c r i t o . . en e l a p é n d i c e A . ? O : El inconven ien te es q u e a l , d e p e n d e r d e l a i t e r a c i ó n

l a m a t r i z , d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s r e s u l t a n t & , debemos a c t u a l i z a r t a l m a t r i z

c o n s t a n t e m e n t e o a7 menos cada c i e r t o número de i t e r ac iones . Además l a c o n v e r -

g e n c i a es muy l e n t a .

También, debemos c i t a r l a f o r m u l a c i ó n v o r t i c i d a d . f u n c i ó n d e : c o r r i e n t e q u e

t r ans fo rma l a s ecuac iones de Nav ie r -S tokes en un s i s t e m a d e d o s e c u a c i o n e s

p a r c i a l e s e l í p t i c a s en una de l as - dos var iab les [6].. La- d e s v e n t a j a d e e s t e

método es q u e - s ó l o se a p l i c a a . f l u i d o s en dos dimensiones. .

Un t e r c e r m é t o d o es e l de pena l i zac ión [ 4 3 ; . la i d e a es e l i m i n a r l a p r e s i ó n - ,

y o b t e n e r u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l p a r c i a l e l í p t i c a en t é rminos de l a v e l o c i -

dad. S in embargo, no e x i s t e u n c r i t e r i o p a r a e s c o g e r l a mejor é p s i l o n y e l

7

método calcula una solución ~. aproximada .de7 problema penalizado y no del -proble-

ma original. ,

La formulación generalizada o "débil" de las ecuaciones de Navier-Stokes que

se presenta en e l capítulo 1 requiere de un marco teórico en el cual los espa- cios de Sobolev Hm' desempeñan un papel fundamental. El apéndice. A . 4 contiene el material mínimo que se requiere para entender tanto la notación como los conceptos que se uti1 izan- a lo largo de este trabajo,

, En el zapítulo 2 se exponen, en primer término, las ideas básicas relativas al mérJdo de gradiente conjugado (versión de Fletcher-Reeves), que en ausencia de errores de redondeo calcula el mínimo de .un funcional cuadrático en un número de iteraciones igual a l o más a la dimensión del dominio del funcional. Es posible extender este proceso a funcionales que no son cuadráticas (versión de Polak-Ribiere). * Enseguida abordamos la parte medular de todo el trabajo que es la transforma-

ción de la formulación débil de las ecuaciones de Navier-Stokes en la minimi- ración de un funcional acoplado con una ecuación lineal.

Después de escribir en forma explícita el algoritmo que resulta de aplicar

el métcdo de gradiente conjugado al funcional descrito, presentamos la forma de este funcional a lo largo de la dirección de descenso a . partir de cierto grado. Los problemas de Stokes que aparecen en el proceso iterativo se resu lven por elemento finito mediante una formulación mixta (capitujo 3): se aproxi- ma la velocidad utilizando funciones de-interpolacióri cuadrática y la presión mediante funcioness lineales. El problema discretizado es ~ ahora un sistema de ecuaciones algkbraicas lineales. , . Y

9

Por úl." mo, en el capítulo 4 se estudia la existencia y unicidad del sistema de ecuaciones. Este sistema también se resuelve .por gradiente con> ugado pero ahora mediante la versión de Fletcher-Reeves.

Se incluyen también resultados numéricos obtenidos con el método expuesto para un fluido contenidi en una cavidad cuadrada con varias condi&iones a la fron- tera. i

- INDICE

l *

1.1 1.2 1.' 1.4

2.

2.1 2.2

2.3

3.

3.1 3.2 3.3

4.

4.1 4.2 4.3

5.

5.1

PROBLEMAS DE STOKES Y NAVIER-STOKES- I

Estudio de un problema variacional abstracto Ecuación de Stokes Una clase de problemas no lineales Las ecuaciones de Navier-Stokes estacionarias

1-6 1-13 1-16 1-25

FORMULACION COMO PROBLEMA DE CONTROL OPTIMO Y MINIMIZACION POR GRADIENTE CONJUGADO.

Método de gradiente conjugado 2-1 Transformación de una formulaclón variacional en un problema de optimización 2-5 Minimización del funcional por gradiente conjugado 2-7

DISCRETIZACION DE U S ECUACIONES DE STOKES Y DEL FUNCIONAL POR ELEMENTO FINITO

Discretización de las ecuaciones de Stokes Di --"etización del funcional J Dt. -ipción del programa NAVSTR

3-1 3-4 3-6

I)

RESOLUCION DEL, PROBLEMA DE STOKES POR-GRADIENTE CONJUGADO

Existencia y unicidad de la solución del sistema de ecuaciones ,4-1 Aplicación de gradiente conjugado .4-5 Implementación de gradiente conjugado para el sistema de ecuaciones ;4-8

-ZSULTADOS plicación a un fluido en una cavidad cuadrada. ZINCLUSÍONES

APENDICES

A.l Notación y resultados previos iqportantes A.2 Formulación variacional de un problema: con valores a la frontera A.3 Un ejemplo clákico A-.4 Espacios de Sobolev. A.5 De nuevo el ejemplo clásico A.6 Espacios relacionados con l o s oper-adores divergencia y gradiente A.7 Cálculos rea21zados por la subrutina LOAD A.8 Cálculos realizados por la subrutina BOUND A.9 Ecuacsones descretizadas del problema de Navier-Stokes A.10 3esolución de las ecuaciones de Navier-Stokes mediante .

1

aproximaciones sucesivas 1

A- 1 A-4 A-1 1 A-13 A-25 A-30 A-37 A-40 A-4 1

BIBLIOGRAFIA 1

,i !

I

’ 1. PROBLEMAS-DE STOKES .Y .NAV.IER-STOKES

1.1 Estudio de un problema variacional abstracto

Sean X y M dos espacios de Hilbert (reales) con normas 11 y

1 1 I l n respectivamente. Sean X‘ y M’ sus correspondientes espacio@ dua-

les y 1 1 11,. y 11 ] I M , sus normas duales. Como de costumbre, denotamos

por < , > el número real asociado con el funcional (que , por lo regular

se escribe en la primera componente) en el elemento del espacio que apa-

rece en la segunda coordenada (pero a veces es la primera).

Introducimos las dos formas bilineales continuas:

a:XxX +IR, b:XxM i IR,

con normas

1 1 b = v en X, p en M

Consideremos el problema. variacional siguiente,

ma ( Q ) :

denominado proble-

Dados 1 en X’ y en M‘, encontrar una pareja (u,X) en XxM tal que

4 a(u,v) + b(v,X) = :<l,v> para toda v en X (1.1.1) 1

b(u,u) =<x, para toda 1! en M (1.1.2) I

Antes de estudiar el problema (Q) debemos observar lo siguiente:

para cada u en X, la forma bilineal a define un funcional A sobre X: U

AU(v) =-a(u,v) para toda v en X. (1.1.3’)

El teorema de . representacikn de Riesz establece que el mapeo continuo I

A:X + X ’ I

dado por . ,

-.. -

, i 4 AU = A,

I

es un isomorfismo entre X y X' y en part-icular es lineal. Así que, pode-

mos reescribir (1.1.3*) en la forma . a

< Bv, p = b(v ,U) para cada v en X , pen M (1.1.4)

Sea B' en ( M , X ' ) el operador dual de B, es decir

< B'p,v> = <p,Bv> = b(v,p) para cada v en X,p en M. (1.1.5)

Es claro que, la norma de a es igual a la norma de A , y que la nor-

ma de b es igual a la de B. Con estos operadores, es posible reformular -

el problema (Q) como el de: c

encontrar (u,~) en XxM tales que

Au + B'A = 1 en X',

Bu = x en M'.

Introducimos ahora el operador lineal 0 en ( X x M , X ' x M ' ) definido por

Q (v,p) = (AV + Bb ,Bv).

Entonces, diremos que ' el problema (0) está bien formulado si 0 es un

isomorfismo entre XxN~ y X ' x " . Nuestro objetivo es obtener condiciones necesarias y suficientes mediante las cuales el problema (Q) ,esté hien

I

formulado.

Hagamos :

V = ker(B),

y en general, para cada en M ' , definamos

V(X) = { y en X I BV =-x).

. En forma equivalente, tenemos: i

. V ( X ) = {v en X 1 b(v,P)'= 'X,P> para toda U en M}

v = V ( 0 ) (1.1.7)

Más aún, puesto que la imagen. inversa de cerrados (y O l o es) es

cerrada con respecto a una función continua, V es un subespacio cerrado

de X.

Ahora, con el problema (Q), asociamos el problema siguiente, deno-

minado problema (P):

encontrar u en V ( x ) tal que

a(u,v) = <1,v> para toda v en V (1.1.8)

Sea ( u , ~ ) en XxM una solución del roblema (Q). Esto implica por

(1.1.7) que u está en V ( x ) . Ahora, si en la ecuación (1.1.1) considera-

mos elementos v en V , el término *

b(v,X) = < B v , X >

es cero puesto que v está en el núcleo de B. De modo que la ecuación

(1.1.1) se reduce a

a(u,v) = <1,v> para toda v en V .

Es decir, ue u satisface la ecuación (1.1.8) y por tanto es una solu-

' ción del problema (P). El paso siguiente consiste en encontrar condicio-

nes que aseguren la validez de la proposición recíproca. Con este fin,

definamos el con junto polar Vo de V por

S

I

3

O V = {g en X' I < g , v > = O para toda v en V } .

Lema 1.1.1. Las tres condicionek siguientes son equivalentes:

(i) existe una constante B > O tal que

inf SUP I f V , P ) r B lJ en M v en x IIvll x 1 1 d I M

:( ii I el operador B' es un isomorfismo de M sobre 1' J

(1.1,9)

I

(1.1.10)

(iii) el operador B es un isomorfismo de V sobre M' y I

IIBvII M' 2 f3 IIVII x . uara toda v en V . (1.1.11)

Demostración. 1. Probaremos que las condiciones (i) y (ii) son equivalen-

tes (primero que (ii) implica (i)).

la ecuación (1.1.10) tenemos que

= tIB'lillX *

de donde se tiene que: ' I l U I l M

inf SUP b(v, ) ' 6 9

Ven M en x l l v l l X \ I u 1 1 M

(por supuesto v, p + O). por tanto (ii) implica (i).

Ahora comprobaremos que (i) implica (ii). Multiplicando (1.1.9)

por 1 1 ~ 1 1 M tenemos que

Veamos cuál es la imagen inversa de O del operador B' . Sea 1.1 tal

B ' u = O, esto implica que

de donde u = O. En consecuencia, B' es un operador lineal inyectivo y

continuo (el operador dual de u'n aperador continuo siempre es continuo . I

En realidad, 11 B'II = llB 11 .) de M sobre s u rango (B' ). Puesto que

R (B’ ) . Además, R (B’ ) es cerrrado por ser la imagen inversa (con respec- to a la función (B’ )-l) del cerrado M. - Por consiguiente sólo debemos

probar que

O R ( B ’ ) = v . Por el teorema (A.1.3 ) con B’ = A, M = U, X‘. = V y como ya habíamos

observado R(B‘ ) es cerrado,

N(B)’ = {g en X’ I < g,v> = O para toda v en V} ,

tenemos que

2. Demostraremos ahora que (ii) y (iii) son equivalentes. En pri-

mer término, observamos que vo se puede identificar con ( V l ) ’. . En reali- dad, para v en X, denotemos con vL la proyección ortogonal de v sobre

V l . Entonces, con cada g en ( V l ) ’ , asociemos el elemento en X’ defi-

nido por

-

< g , v > = <g,vl> para toda v en X. - si v pertenece a- V, se sigue que v l = O; así que < g , v > - - O para toda

v en V. Esto significa que está en V . Comprobaremos ahora que la co- rrespondencia T(g), = g es una biyección isométrica ‘de ( V l ) ‘ sotre V .

- O

O

Sea g en (V4 ’ tal que T(g) = = O, esto implica que

O = < g , v > = <g, $> para toda v en X

de donde g = O sobre (V*) . Ahora, la correspondencia T también es sobre pues si g pertenece

a V , es decir, que g está en X‘ y < i,v> = O para toda v en V, definamos

- O

- ! g en (V’l’por I

I” -

Y es claro'que : /

... = e .

Por Último, comprobaremos que es isometría:

Por otro lado,

* es decir, v = v" + VI, donde v" está en V. Pero como estamos tomando el

supremo,

O 'En consecuencia, si B' es un isomorfismo de M sobre V , B es un

mapeo de V sobre M' . Puesto que /IB [I = 1 1 B' 11 , B es continuo. Además,

de donde, .)

1. R(B) = M M'.

Por consiouiente, B es sobre. Más aún,

N(B) = R'(B') = M = o , 1

de donde B es inyecti o .

Además (veáse teorema ( A. 1.5 ) ) , . B tiene UM- inversa acotada ( y

por tanto es continuo) pues B' tiene una inversa acotada. En consecuen-

cia B es un isomorfismo entre V y M'.

El hecho de que (iii) implique (ii) se demuestra en forma análoga.

"

Teorema l . 1.2. El problema ( Q ) está bien formulado (es decir, 0 es iso-

morfismo de sobre X' x" ) si y sólo si, las dos condiciones siguien-

tes se cumplen: I

(i) el operador nA es un isomorfismo de V sobre V';

(ii) la forma bilineal b( , ) satisface la condición ( 1 . 1 . 9 ) .

Demostración. 1. Las condiciones (i) y (ii) son suficientes.

Como la forma bilineal b( , ) satisface la condición (1 .1 .9) tene-

mos también (iii) del lema l. l. l. Así que, existe un único, element

u. en V tal que

Ahora el problema (P); es decir, encontrar u en V(X) tal que

* a(u,v) = <1,v > para toda v en V

to u en V más otro elemento w en V. Esto es posible pues X =' V 6 O

V ) satisfaciendo 1

ó bien

a(uo + w,v) = <l,v > para toda v en V 1

,: !

a(w,v) = <l,v > - a(uo,v) para toda v en V .'

I

que equivale a 1

que según la definición de n , también se puede escribir ?n la forma

es decir,

- que l a ecuac ión (1 .1 .12 ) se c&ple: P o r l a misma razón de que IT A es un

i somor f i smo , . . p o s e e u n a i n v e r s a c o n t i n u a y po r e l t e o r e m a d e l a i n v e r s a

a c o t a d a ( A. 1.5 ) , JTA es aco tado por d e b a j o , es d e c i r , e x i s t e una cons-

-

donde, como se r e c u e r d a , l a última d e s i g u a l d a d es una consecuencia de

l a d e f i n i c i ó n misma d e 71 . De modo q u e , e l problema (P) t i e n e una Única

s o l u c i ó n u = u. + w e n

pues Bu = Su + Bw =

ro además ,

O

“u I1 II x 5

S

S

I

A h o r a , p u e s t o q u e p a r a .~

V ( x ) . En e f e c t o ,

BU =. x 9 (1.1.13)

B U + O = x y , p o r t a n t o , u p e r t e n e c e a V( X ) . Pe- O *

6 b i e n

< A u , v > = <1,~>,

e s t o s i g n i f i c a que 1

1.1.1, e x i s t e un Único

O - Au pertenec.e a V . Así que , por ( i i ) d e l lema

X e n M t a l que _- I

(1.1.14)

Escribiendo juntas las ecuaciones (1.1.13) y (1.1.14) tenemos que

Au + B'X = 1 en X'

Bu = x en M'

lo cual significa que ( u , X) es la única solución del problema (Q) Esto

quiere decir que @ es inyectivo y suprayectivo.

Enseguida probamos que el mapeo (1, X) + ( u , A ) de X' x M' sobre

X x M es continuo. Es decir, dado E O, debemos encontrar 6 > 0 tal

implique que

(1.1.15)

(1.1.16)

La condición anterior probará la continuidad de la primera función

componente escalar (1,)o + u, en forma análoga se prueba la 1 continuidad

de la segunda componenete escalar (1,X) + x.

, ' : J

! :+

entonces (1 .1 .16 ) es válida.. 1 1 ,

Dado que A, B' y B son operadores--cofi~inuos; 1

@(v,P) = (Av + B'P ,Bv) I

es continuo. Ya comprobamos

que la inversa es continua;

X'x M'.

que es biyectivo y por Último verificamos

por tanto, 0 es un isomorfismo de X x M en

I

Observación l . 1. 1. Se acaba de probar que si (i) y (ii) del teore-

ma l. 1 .2 se cumplen, el problema (P) tiene una única solución y que ade-

más existe Ata1 que (u,X) también es solución de (Q).

2. Las condiciones (i) y (ii) son necesarias. Supondremos que

@ es un isomorfismo de X x M sobre X ' x M' . Primero demostraremos que * la condición (1 .1 .9 ) se cumple (vía 1.1.9) . Sea X en M' y (u ,X) en X x M

1

tal que @(u,h) = (0,X). Por la definción de 0 tenemos que

es decir,

BU = x Y puesto que R(B) c M' , tenemos que R(B) = M' . Ya sabíamos que B era

continuoy es claro que no puede ser inyectivo sobre X pues V = ker(B). !

Veremos que B sólo es inyectivo al definirse sobre B1 . Si vl - está :en I'*

VI y es tal que Bvl = O entonces también pertenece a V y dado que V n- V1 ' = O, tenemos que vL = O y por tanto se tiene lo que se aseguraba. Ahura,

I

' ,\

*

'IL es cerrado y completo. Así que, por e l teorema de Banach (A. 1.4. ) , I i la inversa B-' es continua. por tanto B es un isomorfismo ( y puesto que

-f la inversa existe y es continua, B es acotado por debajo). , _ 1 -

Enseguida probamos que T ~ A es un isomorfismo de V sobre V: Primero

comprobamos que el operador nA es inyectivD. .sobre V. Sea u en V tal que

nAu = O, esto implica que: ~' .,

1

I : i

' ., i

i

O l o c u a l s i g r i i f i c a q u e Au p e r t e n e c e a V .

P u e s t o q u e l a c o n d i c i ó n d e l i n f - s u p ( 1 . 1 . 9 ) es v á l i d a , se s i g u e

d e l lema 1 .l. 1 que B’ es un i somorf i smo de M s o b r e V . Por t a n t o e x i s t e O

u n a ú n i c a X e n M t a l que

B‘X = - AU

P o r t a n t o

(1.1.17)

Q(u ,X) = (Au + B‘X,Bu) = (0 ,O)

por (1 .1 .17 ) y pues to que u p e r t e n e c e a V = k e r ( B ) .

Ahora, como @ es u n i s o m o r f i s m o , e n p a r t i c u l a r u = O y TTA e n e f e c t o

es i n y e c t i vo . * A cont inuac ión probamos que TTA es s u p r a y e c t i v o . A q u í v a l e l a pena

r e c o r d a r q u e 51 r e s t r i n g e u n f u n c i o n a l d e f i n i d o s o b r e X a l f u n c i o n a l q u e

t i e n e l a misma reg la d e c o r r e s p o n d e n c i a p e r o d e f i n i d o s o b r e ‘V. Sea g

e n V’ . Por e l teorema de Hahn-Banach , ex is te a l menos un elemento 1 ’ e n S

X’ t a l que IT^ = g . Sea (u , X) = @-‘(l,O). Dado que

@ ( U , X ) = (AU + B ’ x , B ~ ) = ( I , o > ,

se t i e n e q u e u p e r t e n e c e a V y \

AU + B ‘ X = 1

I

P u e s t o q u e para t o d a v e n V ,

< ~ B ’ X , V > = < B ’ X , V > = <X,BV> = O

tenemos que nB’X = O , de manera que

En c o n s e c u e n c i a , lTA es un mapeo l i n e a l c o n t i n u o i n y e c t i v o de V s o b r e

JT por t a n t o (otra v e z p o r e l tearema de Banach ( A . 1.4)) , es un i s o -

m o r f i s m o e n t r e V y V’. I I

Corolario 1.1.3. Suponga que la 'forna bilinPsl a( , ) es V-eliptica (ade-

más de ser continua), es decir, existe una constante-a 5 O tal que

"

/

I d v , v ) 2 a I ] v I]\ para toda v en V

Entonces, el problema (Q) está bien formulado si y sólo si la forma bi-

lineal b( , ) satisface la condición del inf-sup (1. l. 9).

Demostración. Sea 1 en V' . Dado que a( , ) es V-elíptica y continua,

: podemos aplicar el teorema de Lax-Milgram: existe una única u en V tal

que

a(u,v) = <l,v> para toda v en V ,

o en forma equivalente

es decir,

Puesto que el mapeo u

TAU = I , con

A:X -+ X' y n:X' + V' .

-+ 1 es un isomorfismo entre V y V' (por el mismo

teorema de Lax-Milgram), tenemos que 7rA es un isomorfismo entre V y V:

! I

1.2 Ecuación de Stokes

Teorema l. 2.1. Sea 'R un subconjunto de IRn abierto conexo 'con frontera

de Lipschitz 32. Dada f en H-l(Q)n y $j en d"(3Q)" tal que

a R I gen = O (1 .2.1)

existe una única pareja ($,PI en H ( Q ) x L ~ , ( Q ) que satisface las ecua-

ciones

I n

div u = O en R

u = g sobre

(1 -2.2)

Demostración. Como consecuencia de (1.2.1) y del lema 1.1.2, existe una'

función u en H (Q>" tal que 1 *

O

div u. = O en n, u. = g sobre aQ

Enseguida identificamos ( 1 . 2 . 2 ) con el problema variacional abstracto

de la sección 1.1. Hagamos

X = H (Q) " , M = Lo (Q) 2

I

Por tanto,

< 1,v>= < f , v > - a(uo,v), x = O.

\

V = {v en H (a) ; div v = O). n

La forma es V-elítpica pues

a(v,v) = ylvl . . 2

A continuación verificarnos que b( ,. ) satisface la condición de inf-sup.

Sea q en L ( Q ) ; dado que - div es un isomorfismo entre V y L:(Q> 9 2 ~~

existe una única función v en V tal que 1,

I

- d i v o = q , 1Idi.v v [ l o 2 (l/C)l?ll.

La última d e s i g u a l d a d se debe a q u e d i v está a c o t a d o por d e b a j o como con-

s e c u e n c i a d e ser isomorfismo. Por c o n s i g u i e n t e

y e s t o s i g n i f i c a q u e b ( v , q ) s a t i s f a c e l a c o n d i c i ó n d e l i n f - s u p c o n = 1 / C .

Ahora ya podemos a p l i c a r e l c o r o l a r i o l. 1.3: e x i s t e . u n a í m i c a p a r e j a

d e f u n c i o n e s ( w , p ) e n H;)(R)" x Li(Q) t a l que

a (w,v) + b ( v , p ) = < 1 , v > p a r a t o d a v e n Hd,(Q)

b ( w , q ) = O p a r a t o d a q e n b ( R )

n

(1.2.3) 2

(Obsérvese que l a i d e a c o n s i s t i ó e n t r a n s f o r m a r e l p r o b l e m a o r i g i n a l

en uno homogéneo con ob je to de pode r ap l i ca r e l c o r o l a r i o 1.1.3). *

En f o r m a e q u i v a l e n t e ( u = u0 + w,p) en [u0 + H & ( R ) " ] x L' , (Q) es

l a s o l u c i ó n d e l a s e c u a c i o n e s

Y ( g r a d u , g r a d v ) - ( p , d i v v ) = < f , v > p a r a t o d a ? e n Ho(R) 1 n i

( q , d i v u ) = O p a r a t o d a q e n L i ( Q )

Esta últirna e c u a c i ó n se d e b e a que

O = . b ( w , q ) = b ( u - uo,q) = (q , -d iv u ) - (q , -div uo) = b ( u , q )

Ahora, l a e c u a c i ó n ( q , d i v 8 ) = O p a r a t o d a q e n L%(Q) i m p l i c a q u e

d i v u = O s o b r e fl; p u e s si e x i s t i e s e A R ta l ' que l a f u n c i ó n d i v 2 q u e

p e r t e n e c e a L2 ( Q) sea p o s i t i v a (o n e g a t i v a ) s o b r e A e i g u a l a cero e n

-b

1

e l complemento, podemos escoger q e n L 6 ( R) q u e c o i n c i d a c o n d i v $ so-

b r e A , de donde (q , d i v u-) > O que es u n a c o n t r a d i c c i ó n . Por t a n t o de-

bemos t e n e r que d i v 'u = O.

l

l

Además, u = uo + v con V e n Ho(R)" es e q u i v a l e n t e a

u en H (n)" J u = g s o b r e aR.

En c o n s e c u e n c i a , e x i s t e u n a G n i c a p a r e j a ( u , p ) e n H (52) x Li (Q) t a l que

grad u,grad v) - (p ,div v) .= '<f ,v> para toda v en H;(Q)" ~~

1

, div u = O en Q (1.2.4)

u = g sobre a R .

Por otro lado, es claro que si una función satisface las ecuacio-

nes de Stokes (1.2.2), entonces también satisface la formulación varia-

cional (1.2.4):

c

I

blema variacional abstracto ya estudiado (secc.l.1). Esta familia d e

problemas no lineales incluye en particular 'al problema de Navier-Stokes.

Consideremos de nuevo los espacios de Hilbert (reales) X y M con

sus normas denotadas de la misma manera y la misma forma bilineal con-

tinua b( , ). Ahora el. término no lineal estar5 dado por

a : X x X x X +IR

(U, Y ; W) -+ a(w;u,v)

donde, para cada w en X, el mapeo (u,v) -f a(w;u,v) es una forma bilineal

continua sobre X x X.

Ahora, consideremos el así llamado problema (Q): b -

Dado 1 en X' , debemos encontrar una pareja (u,x) em X x M tal

que

a(u;u,v) f b(v,A) = < l , v > para toda v en X

b(u,u) = O para toda IJ en M

También, introducimos los operadores lineales A(w) en L (X;X' ) para w

en X.! y B en L (X;") definidos por

<A(w)u,v > = a(w;u,v) para cada u,v en X,

(Bv, u>= b(v,U) para cada v en X, 1-I en M.

Con estas notaciones, el problema (Q) se transforma en; \

encontrar ( u , X> en X x .M tal que

A(u)u -+ B'X = 1 en X'

Bu = O en M'

Como en el caso lineal, hagamos V = ker(B) y asociemos con el pro-

blema (Q) el protjlema (P) definido por:

encontrar u en V tal que

I

a(u;u,v) = d ; v > - para toda v en V,

o bien

es decir

(Restringimos l o s operadores a V mediante I T , pues como se recuerda

Como una consecuencia del teorema del punto fijo de Brouwer tene-

mos el resultado siguiente: 6

Corolario 1.3.1. Sea H un espacio de Hilbert de dimensión finita cuyo

producto escalar se denota por ( , ) y la norma correspondiente por I I Sea @ un mapeo continuo de H sobre H con l a propiedad siguiente:

existe P > O tal que

(@(f),f) 2 O para toda f en H con f = p.

Entonces, existe un elemento f en H tal que

Demostración. Por reducción al absurdo. Supongamos que @ ( f ) +' O en l a

es continuo de S ,n S. Como la dimensión de H es finita y puesto que

el con junto S no es vacio, además de ser convexo y compacto, podemos

aplicar el teorema de punto fijo de Brouwer ( A . l . 8 ) :

existe un elemento f en S tal que

Así que, hemos encontrado un element6 f en H cal que If I = u y ~

( 9 ( f ) , f ) = ( W ) , - u Q ( f ) m f ) l )

= - & D < f ) I < o

. J

contradiciendo la hipótesis.

Ahora establecemos la existencia de una solución de problema (P) .

Teorema 1.3.2. Suponga que las hipótesis siguientes se cumplen

(1) existe una constante a ' O tal que a(v;v,v)h CL 1lv11;( para toda v en V.

(ii) el espacio V es separable y, para toda v en V, el mapeo *

u -+ a(u;u,v)

es secuencialmente débilmente continuo sonre V, es decir débil + u en V implica que

a(um;um,v) -+ a(u;u,v) gr para toda v en V.

Entonces, el problema (P) tiene al menos una solución u en V.

Demostración. a) Empezamos construyendo una sucesión de soluciones aproxi-

madas por el método de Galerkin. Dado que el espacio V es separable,

(1.3.1)

* -

existe una sucesión {w } en V tal que m

I. Para toda m 2 1, l o s elementos w1 , - . yWm 'On

dientes ; I

11. las combinaciones lineales finitas de los w i'

V . Esto quiere decir que dado u en V y 5 > O ,

entero m tal que m

1

linealmente indepen-

Cyiwi son densas en

podemos encontrar un

\

, .

Tal sucesión wm se denomina una "base" del espacio separable V.

Denotemos por V el subespacio m ción, aproximamos (P) mediante

de V generado por wl,. . . ,w m . A continua-

el problema siguiente, que denominare-

/

mos problema (P, m. ) :

encontrar u m -en Vm tal que

Si hacemos

m 'm - - i=l c yiwi

advertimos que. el problema (P,> se convierte en la resolución de un SLS-

tema de m ecuaciones no lineales en las m incógnitas y. . . 1

Demostraremos que, para cada m, el problema (P,) tiene al tnencs

una solución. Definamos el mapeo Om:Vm -+ Vm por

(Om(v),wi) = a(v;v,w.) 1 - <l,w.>, 1 l s i s m ,

donde ( , ) es el producto escalar de X. Obsérvese que basta definir

el valor de la proyección de @,(v) sobre l o s elementos de la base pues

Por tanto, u, en Vm es una solución del problema (P,) si y s ó l o si

Qm(um) = O. Puesto que

(am(v),v) = a(v;v,v) - <1,v> para toda v en V m'

Dado que,

es decir,

\ <~rl,v> sIInlIIv,IIvllx para toda v en V. I

En consecuencia

De aquí, eligiendo u = ( l / a ) I I i T I I I v , obtenemos que para toda v en V m con

Ilvllx = 1-I

(Oa(V),V) 2 o.

Comprobamos ahora que Om es continuo en Va.

Sea vk en V tal que vk + v, entonces m

1 6 i S m

de donde concluimos que om es continua. Como el espacio Va es de dimen-

sión infinita, podemos aplicar el corolario 1.3.1:

existe al menos una solución um en Vm del problema (Pa). Más aún,

tenemos que para cada una de tales soluciones u m'

de modo que 1

,

\ i [Um!lx (l/d 1pl ly . ( 1 . 3 . 3 )

11. Enseguida, construimos una sucesión I urn) en V tomando, para cada

m, una solución arbitraria del problema (Pa). Debemos encontrar una sub-

sucesión que converja a una solución del problema (P) . Se sighe de (1.3.3)

que la sucesión {U está acotada en V . Por consiguiente, existe una

subsucesión {u } tal que

m m'

,P *

- 4 ) U + u (débilmente) en V cuando p + m -

Luego, por ( 1 . 3 . 2 ) , tenemos que " * *

lím a(u ' ; u ,v) = a(u ;u ,v) P+=

a m para toda v en V

y en particular si v = w .

. . - a(u ,u ,wi) - <1,w.> = O en V

1 mP mP mp

(es decir, 1 S i s m ) y haciendo v = w y m 7 mp t i, tenemos que i P

9 9 a(u ,u ,w.) 1 = <1,~.>, 1 i z 1

A medida que m = m crece, el número de ecuaciones i que u satisfa-

ce también es mayor; en realidad, i = m. P "p

Como las combinaciones lineales de l o s w i son densas en V, obtene-

mos que

* * a(u ,u ,v) = <1,v > para toda v en V,

* de modo que u es una solución del problema (P).

6

Teorema 1.3.3. Supongamos que

(i) la forma bilineal a(w; , ) es uniformemente V-elíptica con respec-

to a w, es decir que existe una constante a > O tal que

a(w;v,v) z a llvlli para cada v,w en V (1.3.4)

(ii) el mapeo w -+ .rrA(w) es localmente Lipschitz-continuo en V, es decir,

existe una función monótonamente creciente, y continua LS* -t IR+

tal que para toda p > O I

el problema (P) tiene una única solución u en V.

Demostración. Dado que

a(w;v,v) = <A(w)v,v >

= <~A(w)v,v >

(1.3.6)

I

(donde v:X' + V' y A(w):X -+ X' , A(;)v en X'); por (1.3.4) y puesto q u e

.+ nA(w) es continuo (puesllTrA(w)[/V, i 11 A(w) I t x , ), el operador nA(w).:n L(':;';'> es un isomorfismo por el teorema de Lax-Milgram para cada w en V. r* , : -

ternos a la inversa (que depende de w) mediante T(w) = ( nA(w))-', :" - pertenece a (V';V). Sea nA(w)v = u, y así T(w)u = v .

El problema es encontrar ( o demostrar que existe) u en V tal

Ahora,

para toda z en V (por definición de norma), en particular si z = v;así : .

para cada v,w en V por (1 .3.4) .

Enseguida

para toda u en '." .

Por consiguiente

llT(w) II (V,V') l / a 8

1

Con estas notaciones, el problema se transforma en el de encontrar ::

en V tal que

U = T(u)nl.

Demostramos que v T( v ) r l transforma V en S, y es una contracción es-

I I

. .

= u, 4

de manera que T(v).rrl pertenece a S, . A continuación calculamos T(u)hA(v) - nA(u)]T(v) = (ITA(u))-~[TTA(v) - nA(u>l(~rA(v>)-~

= (TA(u))-’ - (nA(v))-’

= T(u) - T(v),

de donde se sigue que

Por la ecuación (1.3.5),

* I l u l l x I l v l l x

Fijemos w l , w2 en S, . Como. la desigualdad anterior es válida para cada

u, v en V, debemos tener también que el supremo (sobre u,v en V) de. lado

derecho de la última igualdad es menor o igual que L(p ) llwl - w2 ]Ix‘ p u e s

de lo contrario este mismo término sería el supremo; así que

I l W W l - w 9 I l (V;V‘> L(P)IIW1 - ,y2l/x y dado que esta desigualdad vale para w1,w2 , cambiando la nota-

en s.y ción- (v = w y u = w,), tenemos que 1

para cada u, v en . % En consecuencia, por la desigualdad (1.3.6), la transformación

v -+ T(v)rl es una contracción (estricta) en S,, y tiene un Único punto

fijo (teorema ( A . 1 . 9 ) ) u en V que es la única solución del problema (P). I

Teorema 1.3.4. Supóngase que la forma bilineal b( , ) satisface la con-

(1.3.7)

Entonces, para cada solución u d e l problema (P) , existe una única X en

M tal que la pareja (u ,x) es una solución del problema (Q) . Demostración. Supongamos que u en V es una solución del problema (P> . Debemos encontrar X en M que satisfaga la ecuación (1.3.0). Pero, pa-

ra toda v en V,

= < l , v > - a(u;u,v) = O

pues u en V es solución del problema (P). Esto significa que 1 - A ( u ) u

está en el conjunto polar V de V. Más aún, la . condición (1.3 .S) y e l

lema 1.1.1 implican que B' es un isomorfismo de M sobre V . Así que existe una única x en M tal que B'X = 1 - A(u)u que es la ecuación (1.3.0).

O

O

1.4 Las ecuaciones de Navier-Stokes estacionarias

Estas ecuaciones se pueden escribir en la forma

A

(1.4.1)

div u = O en R

f dada en H-l(R)n

donde de nuevo R es un dominio acotado de IR (n = 2,3) con frontera de

Lipschitz aR .Enseguida obtendremos los resultados relativos a existen-

n

cia y unicidad de estas ecuaciones.

Consideremos en primer término el caso de la condición a la fronte-

ra de Dirichlet homogénea

u = O en * (1.4.2)

Con objeto de escribir el problema (1.4.1-2) en forma variacional, defi-

nimos la forma trilineal

(I .4.3)

Antes de continuar necesitamos un resultado importante relativo

a espacios de Sobolev. i

= u para toda u en U) de U en V es continua.

Puesto que (i) es lineal, (ii) es equivalente a la condición de que n

existe una constante C > O tal que

Denotamos tales enca jamientos mediante

U G v

m enteros no-negativos y -p tal que 1 S p < ,, . I. S i n tiene frontera de Lipschitz, existen l o s encajamientos siguientes

11. Por otro lado, si mp = n

H m ( Q ) c , P Lq(Q> p <, q S 00.

Además todos l o s encajanientos anteriores son compactos, es decir, que

el operador i manda cerrados y ,acotados en conjuntos cuya cerradura es corn;:” I .

En. particular, si m = 1, p.= 2 y n = 2, tenemos que

H1 (Q> ct L (Q>

si R es un dominio en R con 2 6 n S 4. Así que, exis te C > O tal que

4

n

II u 1 p 5 cllu Ill ’ -

con u definida sobre el dominio Q descrito.. 1.

- . Lema 1.4.1. Si n S 4 , la forma trilineal (1.4.3), es continua sobre

Demostración. Por la desigualdad generalizada de HGlder tenemos que s1

u,v,w pertenecen a H (Q)? 1

Dado que luil 5 11 uill 1, se tiene la desigualdad

lo cual quiere decir que la forma (1.4.3) está bien definida y es con-

tinua sobre (H (,) ) por el teorema del encajamiento de Sobolev.

Lema 1.4.2. Sean u,v en H (Q) y w en H (52)" con div W = O y w*nbG

1 n 3

1 n 1 - A - = o . , Entonces tenemos que

al(w;v,v) = O (1.4.4)

Antes de iniciar la demostración, debemos recordar que H ( a ) es la corn-

pletación con respecto a la normal1 11 del espacio Cm(,) de funciones P

con derivadas continuas de todos l o s órdenes menores o iguales que 'm

que tienen norma finita 11 \ I m . Demostración; Sea v en em(Q)" y w en H (Q)"; entonces,

m

A

1

n ( 1 / 2 ) . E wja(v;)/axj = (1/2) c S G J 1 2w .av. /axj vi

1, J=1 i t j=1

= al(w;v,v).

Sin embargo,

es decir,

Hagamos

al(w;u,+) = -al(w;u,v)

ao(u,v) = v(grad P, grad v) = v C (grad ui, grad V.) 1 i=l

y la forma trilineal

a(w;u,v) = ao(u,v> + al(w;u,v)

(1.4.5)

( 1 . 4 . 7 )

( 1 . 4 . 7 )

Entonces el problema (1.4.1-2) tiene la forma equivalente:

encontrar una pareja (u, p) en v x L; (Q) tal que:

a(u;u,v) - (p,div v ) = Cf,v> para toda v en HA(R) n (1 .: .9 )

Teorema 1.4.3. Sea n 5 4 y $2 un dominio acotado de R con frontera de Lipschitz 3-2.

Dada f en H-l(Q)n, existe a l menos una pareja (u,p) en V x L'(R) que satisface

(1.4.8) o en forma equivalente (1.4.1-2).

n

O

Demostración. Aplicamos el material de la sección 1.3. Hagamos 6 -

X = HI( Q" con la norma I I , M = L ~ ( Q > , O 1

b(v,q) = -(q,div v), <l,v> = <f,v> . Así que, (1.4.8) es un caso particular del problema (Q). Por tanto, só lo no9 resta

verificar que se cumplen las hipótesis de l o s teoremas 1.3.2 y 1.3.4. En primer

término, obtenemos para cada v,w en V

a w;v,v) = ao(v,v> = I, ]vi: . t Por consiguiente, la forma trilineal a( ; , ) satisface la propiedad de V-epliti-

cidad uniforme (1.3.4) y con mayor razón cumple (1.3.1).

A continuación, sea u una función en V y { u$ una sucesión en V tal que 7

+ u débilmente en V cuando m+ . Luego, la compacidad del encajamiento de H:(R) en L:(R) implica que la convergen-

cia también es fuerte en L2(n)n O

Ahora, sea v en V y tomemos el límite de a(u,; urn , V) . De acuerdo

" . I

con ( 1 . 4 . 5 ) , tenemos que

Como las derivadas

manecen acotadas y

parciales que aparecen en la expresión anterior per-

por l a desigualdad de HGlder ; se sigue que

Puesto que c

obtenemos que

para toda v en v y en consecuencia para toda v en V por la densidad de

v en V y la continuidad del mapeo v + a(u;u,v).

Por Último, ya hemos comprobado que la forma bilineal b( , .) satis- face la condición del inf-sup del teorema 1.3.4. (veáse teorema 1.2.1.) I

En conclusión, todas las hipótesis de los teoremas 1.3.2 y 1.3.4

se satisfacen. Por ello, existe al menos una función u en V tal que \

a(u;u,v) = <f,v> para toda v en V (1.4.9)

Más aún, por cada solución u de (1.4.9) existe una única 9, en L',(Q ) tal

que (u,p) es una solución del problema (1.4.8).

Ahora, abordamos la unicidad de la solución (u,p) del problema 1.4.8.

Con este fin, denotamos la norma de la forma trilineal al( ; en-.

vf por: SUP al(w:u,v) (1.4.10). N = u,v,w en v P I 11"l lPll

También recordemos que

(l.Ll1)

Teorema l. 2.2. Si además de las hipótesis del teorema 1.3.2., supone-

mos que

(1.4.12)

entonces el problema l. 4.8 tiene una Única solución ( u ,p) en V x .LA(n)

Demostración. Aquí, aplicamos el teorema 1.3.3. Ya verificamos la vali-

dez de la propiedad (1.3.4) con a = v y sólo falta ver que es localmente

Lipschitz-continuo (1.3.5). Para u,v,w y w en V tenemos que 1 2

2 l U l l l V l l l W l - w211 b

Por tanto, la forma trilineal a( ; , ) satisface la hipótesis (1.3.5)

con L( ) = para toda. Luego, la condición (1.4.12) coincide con (1.3.6).

Por consiguiente, la conclusión del teorema 1.3.3 es válida. "-.

.c)

l .? L . Consideraremos ahora el caso general de la condición a la frontera

de Dirichlet no homogénea

u = g sobre 2R (1.4.13)

Supondremos en todo l o que sigue que

S,, g*n = O I (1.4.14)

Lema 1.4.5. Sea n S 3 y S? como en el teorema 1.4.3. Entonces, dada una

función g en H 1'2(X2)n satisfaciendo (1.4.14), para cualquier E > O exis-

1

: te una función u t u0(c> en H (~1" tal que 1 O

div u. = O, U = g sobre O (1.4.15)

lal(v;uo,v> I S E l v l f para toda v en V (1 -4.16)

Ahora, una formulación variacional del proble-a (1.4.1), (1.4.13)

1 consiste en buscar una pareja (u,p) en H (Q)"x L2(Q) que satisfaga O

a(u;u,v) - (p,div v) = ¿f ,v> para toda v en Hi(R)"

div u = O en

U = g . sobre m.

(1.4.17)

Teorema 1.2.3. sea n S 3 y Q un dominio acotado de R con una frontera

de Lipschitz aR. Dada f en H-l(Q)n y g en H (an)" satisfaciendo (1.4.14),

existe al menos una pareja (u,p) en $(n)" x fo(Q) que, satisface (1.4.17)

o en forma equivalente (1.4.1), (1.4.13).

n -

y2

1 Dezostración. Por el lema -6.5 sabemos que existe u. en H ( R ) tal que

div u. = 0 J u = g sobre a R . O

Hagwos u = u. + w. Ahora

a(uo+w;uo+w,v) = a(w;w,v) + a 1 0 ( u ; w , v ) + a 1 (w;u O ,v) + a(uo;uo,fi.

De nodo que es posible transformar el problema (1.4.17) en el de buscar

una pareja ( 3 , ~ ) en v x L;(Q tal que

a(w;w,v) - (p,div v) = <f,v> - a(uo;uo,v) para toda v en H,(Q) , I n

(1.4.18) en donde

a(w;u,v) = a(w;u,v) + a (u ;u,v) + a (u;uo,v). 1 0 1 \

' Obsérvese que (1.4.18) es un problema de Navíer-Stokes pero honogéneo

del tipo CQ) con

De nuevo, debemos verificar que se cumplen las hipótesis de los

teorenas 1.3.2 y 1.3.4 al aplicarlos a (1.4.18). Primero, tenemos que

Ahora, el lema 1.4.5 asegura que podemos elegir u. t a l que

.. . .

lal(v;uo,v)Is ~ 1 ~ 1 , ' 'para toda v en V E < V

En consecuencia,

&w;v,v) 2 .u] VI ; - € 1 v:i

( - E,-lv11 para cada v,w en V.

Esto significa que S( ; , ) es uniformemente elíptica y por ello también

satisface (1 -3.1). Por otro lado, el hecho de que a( ; , ) es secuencial-

mente débilnente continuo se establece de l a misma manera que en el teo-

rema 1.3.2. Dado que la condición del inf-sup también se cumple, conclui-

mos que el problema 1.4.18 tiene al menos una solución (w, p) en V x Lo( Q) l o

cual prueba el teorema.

2

Antes de establecer la unicidad, conviene hacer las definiciones *

siguientes.

(1.4.19)

;uo en H ($2)" satisfaciendo (1.4.15) . 1

I (1.4.21)

TeoreTa 1.4.7. Ashanse de nuevo las hipótesis del teorem 1.4.6. Entonces,

para v > vo(Q;f,g), el problema 1.4.17 tiene una solución Única (u,p)

en ~ ' ( n ) x L:(R).

Demostración. Elijamos u. en H ( Q ) que satisfaga (1.4.15) y además (po-

demos hacerlo por el lema 1.4.;), tal que ~(u,) < V .Queremos aplicar

el teorema 1.3.3 al problema 1.4.18. Para cada v,w en V,

I

a(w;v,v)l ( u- P (u,)) I v I ~ ,

por lo que la V-elipticidad uniforme se cumple con a = v - p (u,) . Ahora

sean u,v, w1 y w2 en V; por la definición 1.4.10 tenemos que

-

En c o n s e c u e n c i a , l a forma a( ; , . ) s a t i s f a c e l a p rop iedad (1.3.5) con

L(P) = N . Luego, en l a s i t u a c i ó n a c t u a l , ( 1 . 3 . 6 ) se c o n v i e r t e e n

N 1 1 l ( f ;vo)ll < 1

(v-P(uo> 1 o e n f o r m a e q u i v a l e n t e

Tomando e l í n f irno ( a f i n d e que u. sea ú n i c a ) s o b r e t o d a s l a s f u n c i o n e s

a d m i s i b l e s u obtenemos que , para L, > V e l iroblerna (1.4.18) t iene

u n a ú n i c a s o l u c i ó n ( w , p ) e n H k ( R )" x L i ( R ) y por c o n s i g u i e n t e e l p r o b l e - .

ma (1 .4 .17) posee una Única so luc ión (u + w,p) en H (S2 )" x Li(Q ) . L

O' O '

- 1

O

1

I

2. FORHULACION COMO PROBLEMA DE CONTROL OPTIMO

Y MININÍZACION POR GRADIENTE CONJUGADO

2.1 METODO DE GINIIENTE CONJUGADO

Este método aproxima e l mínimo f = H - b d e l f u n c i o n a l c u z d r á t i c o -1

(aunque veremos también cómo a p l i c a r l o s i no posee esta p r o p i e d a d )

1 f ( x ) = $x,Hx) - ( b , x ) , x e n B n ( 2 . 1 . 1 )

donde H es una matriz nxn d e f i n i d a p o s i t i v a , r e a l i z a n d o i t e r a c i o n e s d e l

t i p o

X k + l = ‘k + ‘kdk9 k = 0 , 1 , 2 , ... (2 .1 .2)

donde l a d i r e c c i ó n d e b ú s q u e d a d k es tá p o r d e t e r m i n a r s e . Tomemos como

T e l v a l o r k b

( 2 . 1 . 3 )

donde gk = d’ ,xk> = Hxk - b es l a d e r i v a d a d e l f u n c i o n a l f e n x k’ Vere-

mos a c o n t i n u a c i ó n q u e esta e l e c c i ó n d e T t i e n e l a p r o p i e d a d d e m i n i m i a

zar f (xk +Tdk) , con -OD < T < a3 . k

1 2 1 - T < dk,Hdk> + T < X ,Hdk> + 7 < x k , H x k > - <X b> 2 k k k k ’

Ca lcu lando ahora l a d e r i v a d a c o n r e s p e c t o a T k e i g u a l a n d o a cero ob-

tenemos (2.1.3).

E n s e g u i d a , m u l t i p l i c a n d o ambos l a d o s d e (2 .1 .2) por H y r e s t a n d o

luego b, obtenemos

HXk+l - b = Hxk + T k k Hd - b

y a s í ,

de donde se s i g u e ( p o r ' l a d e f i n i c i ó n misma d e T ) que k

(gk+1gdk) = o (2.1.5)

E s t o q u i e r e d e c i r q u e e l g r a d i e n t e e n x es o r t o g o n a l ' a l a d i - k + l

r ecc ión de búsqueda previa d k '

Supongamos ahora que l a s d i r e c i o n e s d e b ú s q u e d a t i e n e n l a forma

d i e n t e e n e l pun to más r e c i e n t e y l a d i r e c c i ó n d e b ú s q u e d a a n t e r i o r .

Mult ipl iquemos (2 .1 .6) por Agk = - gk, a f i n d e o b t e n e r gk+l *

(dk+ l ,&k) = - (gk+l ,&k) + @k+l(dk*&k) (2 .1 .7)

S i n e m b a r g o , c o n o b j e t o d e g a r a n t i z a r t e r m i n a c i ó n c u a d r á t i c a , deman-

daremos que l a s d i r e c c i o n e s d e b ú s q u e d a s e a n c o n j u g a d a s ( y por e l l o li-

nea lmen te i ndepend ien te s ) . Así que ,

('j+l j k, J J k - X ,Hd ) = ( T.d .,Hd ) = O (2.1.8)

por (2.1.2). A h o r a , m u l t i p l i c a n d o ( 2 . 1 . 4 ) , c o n k = j , por dk obtenemos I I

i

(Ag . , d ) = ( T .Hd .',d ) = ( H ( x ~ + ~ - x j ) , dk ) - J k J J ' k

(2.1.9)

En consecuenc ia , de (2 .1 .8 ) y (2 .1 .9) se t i e n e q u e

(Agj,dk) = 0 s i j f k.

Por t an to , (2 .1 .7 ) se r e d u c e a

(2.1.10)

(2.1.11)

Por ú l t i m o , aplicamos v a r i a s v e c e s ( 2 . 1 .S) a f i n d e s i m p l i f i c a r

(2.1.11):

e’p donde también aprovechamos e¡ hecho de que en l a c o n s t r u c c i ó n d e s c r i t a I

-/ (g j , gk ) = O s i k # j ‘’

’ < ! ;L

y e n c o n c l u s i ó n . i

(2 .1.12)

B = l g k + l , gk+; ) (2 .1.13) k+l $k, gk)

La r e l a c i ó n ( 2 . l . 1 2 ) se s i g u e d e q u e , p o r ( 2 . 1 . 6 ) , d k p e r t e n e c e

a l espacio gene rado po r g k y dk-l: ‘ \ I I

I

dk está e n <{g d ) > =<{S d )> ,’ ,

k ’ k-1 k’ %-1’ k-2

De esta manera, *

Por l o que , 1

gk p e r t e n e c e a c{d O’ . . .dk) > (2 .1 .14)

Enseguida ,

(2 .1 .15)

A h o r a , m u l t i p l i c a n d o ( 2 . 1 . 1 5 ) p o r d . o b t e n e m o s J

donde e l p r i m e r t é r m i n o d e l a derecha es cero por (2 .1 .5 ) ; y por (í!.l .9),

aplicada do: v e c e s , l a expres ión (2 .1 .16 ) se c o n v i e r t e e n

k- 1 (d, gk) =i,Zj+$dj , m x i )

k- 1 = C d . , r . H d i ) = O , j = O , ..., k-1 (2.1.17)

i = j + f J 1

? ! u l t i p l i c a n d o ( 2 . l. 1 4 ) p o r g con j > k y ap l i cando (2 .1 .17 ) obte-

nernos (2 .1 .12 ) . La e x p r e s i ó n ( 2 . 1 . 1 3 ) d e f i n e l a v e r s i ó n d e F l e t c h e r y l j

_c .

Reeves d e l m é t o d o . d e 1 g r a d i e n t e c o r i j u g a d o . Otro v a l o r e q u i v a l e n t e d e f3 es

(2.1.18)

q u e c a r a c t e r i z a l a v e r s i ó n d e Polak y Rib iere que además emplea búsque-

d a l i n e a l p a r a d e t e r m i n a r T e n l u g a r d e (2 .1 .3) a f i n d e aplicarse a

f u n c i o n e s q u e n o s o n c u a d r á t i c a s .

k

,, >, .> - > . v - * -* , .

2.2 TKANSFORMCION DE UNA FORYULACION VARIACIONAL

EN' UN PROBLGNA 'DE' OPTIMIZACION

i - . . I . ' . I _ . (11: i 1

l a d o d e r e c h o es u n f u n c i o n a l s o b r e V y que- buscamos l a s o l u c i ó n u (cuya

v < - A u , z > t <A1(u)u,z> = O p a r a t o d a z e n V rs (2 .2 .1 ) ,c- -

b -. -

donde

4

(2 .2 .2 )

es un mapeo

A:H1(Q)2 -F V ' . i

y p o r ú l t i m o , 7 i __ ~" \ . I

Ahora minimizamos l a norma

I (2 .2 .4 )

e n V . g

Úna manera más c o n v e n i e n t e d e e s c r i b i r ( 2 . 2 . 4 ) se o b t i e n e s i d e f i -

nimos l a f u n c i ó n c = c ( v ) mediante (dada v e n V ) L

donde S p e r t e n e c e a V . g

Sus t i tuyendo (2 .2 .5 ) en (2 .2 .4 ) ob tenemos

(2.2.6)

1

2 -5

1

p u e s -A es un i s o m o r f i s a o i s o m é t k i c d (por e l t e o r e m a d e

d o se d e f i n e p o r ( 2 . 2 . 3 ) s o b r e H t ( Q) ( o b s é r v e s e q u e 5 - v p e r t e n e c e

a este e s p a c i o ) .

2 . 4

Por o t r o l a d o , l a f o r m a e x p l í c i t a d e l p r o b l e m a ( 2 . 2 . 5 ) es :

e n c o n t r a r 6 e n V t a l q u e g

que es l a f o r m u l a c i ó n ( 1.1.8 ) d e l p r o b l e m a d e S t o k e s ; a s í q u e , e x i s t e

u n a ú n i c a pareja (5, r ) e n H 1 (n12x LJ (Q> t a l que

2 * V h D < - Vz - Jnndiv z = -Jn [ (v .v)v] z para t o d a z e n Hi (Q)

$, q d i v 5 = O p a r a t o d a q e n Lz(Q) (2 .2 .7)

5 = g e n as1 *

En c o n s e c u e n c i a , hemos t r a n s f o r m a d o ( 2 . 2 . 4 ) en e l problema de ni-

n i m i z a r e l f u n c i o n a l

s o b r e V donde 5 s a t i s f a c e (2.2.7). g

Obsérvese que si a l r e s o l v e r (2.2.7), p a r a cierta v obtenemos

E = v e n t o n c e s \ e l problema (2 .2 .1) está resuelto y e n e f e c t o ( 2 . 2 . 8 ) a l -

c a n z a su v a l o r , m í n i m o que es cero.

i- o 3 /

2.3 MINIMIZACION DEL F%NCII>NAL POR GRADIEhTE CONJUGADO

E l m é t o d o r e q u i e r e l a d e r i v a d a J' ( v ) d e J e n e l p u n t o , v er l a d i -

r e c c i ó n w que e s t á dada por

l i m J ( v + t w ) - J( v ) t - + O t

(2.3.1)

en donde J (v ) es tá dado por (2.2.8) que t ambién se p u e d e e s c r i b i r e n

l a f o r z a

J(v) = YJR[Vv*Vv - 2Vv*VC + V c * V c ] (2.3.2)

A f i n d e c a l c u l a r J ( v + t w ) , d e b e m o s r e c o r d a r q u e cierto v e c t o r

5 t ambién debe sat isfacer ( 2 . 2 . 7 ) p a r a v + t w e n V - es d e c i r , b u s c a -

mos 5 e n V t a l q u e

g' 5

€! - V I Vc*Vz =-; { [ ( v + tw)*V](v + t w ) ) * z p a r a t o d a z e n V (2.3.3) R R b - 2

Haciendo 5 = a + t f3 + t y, obtenemos

p a r a t o d a z e n 1' (2.3.4)

Comparando l o s c o e f i c i e n t e s d e t , se d e d u c e q u e a =E y cance lamos l o s

d o s p r i n e r o s t é r m i n o s . L u e g o d i v i d i m o s e n t r e t y hacemos qce t t i e n d a

a cero ( p u e s a l c a l c u l a r l a d e r i v a d a t e x d r e m o s q u e h a c e r l o ) . En conse-

c u e n c i a , h a c i e n d o . q = B obtenemos , !

V I vq*Vz =-I [ ( v - v ) ~ + ( w - v ) v ] * z p a r a toda z e n c' (2.3.5) R R

Por c o n s i g u i e n t e , 5 = 5 + t q . Así p u e s , a..

J (v + t w ) = I V ( V t tw - [ E + t q ] ) * V ( v + t w - [ E + tq]) V

T R

(2 .3 .6 )

Sus t i tuyendo (2 .3 .6 ) , ( 2 .3 .3 ) y s i m p l i f i c a n d o - o b t e n e n o s q u e

< J ' ( v ) , w > =\.;J V ( V - 5 )*17(" -q ) n (2.3.7)

donde r l s a t i s f a c e ( 2 . 3 . 5 ) .

Conviene que l a d e r i v a d a (2.3.7) n o d e p e n d a d e q . Dado q u e l a e&-

c i ó n ( 2 . 3 . 5 ) v a l e p a r a t o d a z e n V , e n p a r t i c u l a r d e b e c u m p l i r s e p a r a

z = V- f q u e e n e f e c t o p e r t e n e c e a V. Así q u e , (2.3.5) se t r a n s f o r m e n

VfQVQ .V(V - 6) = - f,(v*V)W*(v - 6 ) - f (w .v )v*(v - e ) ( 2 . 3 . 8 ) R

S u s t i t u y e n d o (2.3.8) en (2.3.7) ob tenemos que

En e l m é t o d o d e l g r a d i e n t e c o n j u g a d o n e c e s i t a m o s u n v e c t o r q u e re-

p r e s e n t e l a máxima tasa d e c a m b i o d e J e n u n p u n t o , d i g a m o s v. Ahora ,

J ' ( v ) es u n f u n c i o n a l s o b r e V y p o r e l teorema d e Hanh-Banach podemos *

e x t e n d e r l o a u n f u n c i o n a l J' ( v ) s o b r e H,' (R ) q u e a l r e s t r i n g i r s e a V

c o i n c i d e c o n J ' ( v ) . P u e s t o q u e -A es u n i s o m o r f i s m o e n t r e ( Q ) 2 y

- 2

c io H' ( Q ) 2 es l a s u a d i r e c t a d e V y VI ( p u e s V es c e r r a d o ) , donde

VI es e l s u b e s p a c i o o r t o g o n a l a V c o n r e s p e c t o a l p r o d u c t o escalar O

( u , v ) , = p * v v

En c o n s e c u e n c i a , c '7 -

h = g + g' , g e n V , g' e n V

de donde ,

También, -

<-Ah,W> = d ' ( v ) , w >

= d'(v),w> p a r a toda w en V (2.3.11)

1

I I : t

Así q u e , p o r ( 2 . 3 . 1 0 ) y (2 .3 .11 ) e x i s t e g e n V t a l q u e . . I

< d g , w > = d ' ( v ) , w > p a r a t o d a w e n V (2.3.12,)

Obsérvese que ( 2 . 3 . 1 2 ) es u n p r o b l e m a d e S t o k e s c o n c o n d i c i ó n a l a f r o n -

tera honogénea.

Ahora ya podemos a p l i c a r e l m é t o d o d e g r a d i e n t e c o n j u g a d o .

E t a p a O: i n i c i a l i z a c i ó n :

Sea u l a s o l u c i ó n d e l p r o b l e m a de S t o k e s O

-VAU0 + VP0 = O e n Q

V o u o = O s o b r e ( 2 . 3 . 1 3 )

u0 = g e n X!.

( 2 . 3 . 1 4 )

8 q V. g = O p a r a t o d a q e n LL(R ) .

S i n e m b a r g o , a n t e s d e p o d e r c a l c u l a r g = go m e d i a n t e ( 2 . 3 .14 ) , debemos

d e t e r m i n a r 5 = 5 según l a e c u a c i ó n (2 .2 .7 ) c o n v = u @te es u n

p r o b l e m d e S t d k e s ) . S u s t i t u y e n d o a h o r a u = u y E = 50 e n el p r o b l e -

ma d e S t o k e s (2.3.14) obtenemos l a d i r e c c i ó n d e ' m á x i m a tasa d e c a m b i o

g = go d e l f u n c i o n a l J = J(u) e n el p u n t o u =

O O

O

" 0 ; Con esto te rminamos l a i n i c i a l i z a c i ó n , sea a h o r a

50 = go ( 2 . 3 . 1 5 )

P a r a n L O, supon iendo que conocemos un , gn y 5,. p o d e r o s deter-

m e d i a n t e la v e r s i ó n d e P o l a k - R i b i e r e d e l m é t o d o m i n a r u

d e g r a d i e n t e c o n j u g a d o .

n+l' gn+l 'n+1

Etapa 1: descenso

Sea

An = mín J(un - x<,) x10

Así que, el nuevo punto es

U n+l n = u - hns,*

(2.3.16)

(2.3.17)

observe que está en V pues u pertenece a este espacio y 5 es- n

tá en V. f3 n

Enseguida resolvemos el problema de Stokes (2.2.7) con v = u n+l

obteniendo 5 = 5 De nuevo calculamos g = mediante (2.3.14). n+l gn+ 1

Etapa 2: nueva dirección descenso

La nueva dirección de descenso será

- 'n+1 - gn+l + Yn+l'n

donde el coeficiente está dado por

*

(2.3.18)

(2.3.19)

Antes de poder minimizar el funcional que aparece en (2.3.16) de-

bemas determinar su' forma exacta. Según se explicó antes, al vector un !

- Xr;, en V le debe corresponder>& en V tal que g - g

<-v5&2 ,> = -(A1(un - A< n)(un - xr;,),~) para toda z en V (2.3.20)

Desarrollando el lado derecho de (2.3.20) obtenemos

En consecuencia, 6 debe ser de l a forma

y así,

d e modo que

(2.3.22)

w ffpf3,'VZ = - Jn[ (5 , 'V)Un + (Un'V)Sn1'Z (2.3.23)

VI,VY,'VZ = - I,[ ( 5n'v)Sn] 'z (2.3.24)

Con o b j e t o d e q u e 6 p e r t e n e z c a a V d e b e m o s r e q u e r i r q u e 6, y Y, e s t é n

e n V pues 5 está e n V . g'

n ¿?

En c o n s e c u e n c i a , l a f o r m a e x p l í c i t a d e l f u n c i o n a l (2.3.16) es

b

donde E n , f3, y y, s a t i s f a c e n (2.3.22), (2.3.23) y (2.3.24), r e s p e c t i -

v m e n t e .

!

1

1

3. DISCRETIZACION DE LAS ECUACIONES DE STOKES Y DEL FWCIOSAL J

POR ELEMENTO FINITO

3.1 DISCRETIZACION DE LAS ECUACIONES DE STOKES

En e l c a p í t u l o a n t e r i o r , a l a p l i c a r el m é t o d o d e l g r a d i e n t e c o n j u -

gado una etapa c l a v e es l a r e s o l u c i ó n d e v a r i o s p r o b l e m a s d e S t o k e s ( v e á n -

se por e jemplo l a s ecuac iones (2 .3 .13 ) y ( 2 . 3 . 1 4 ) ) .

Así que , debemos s abe r cómo r e s o l v e r p r o b l e m a s de S t o k e s t x n t o c o n

c o n d i c i o n e s a l a f r o n t e r a h o m o g é n e a s como no homogéneas. Aplicaremos

e l e m e n t o f i n i t o . Con este f i n , d i v i d i m o s e l domin io SR en r e g i o n e s t r i a n -

g u l a r e s l l a m a d a s e l e m e n t o s . D e f i n i m o s u n a n u m e r a c i ó n g l o b a l s o b r e l o s

f

v é r t i c e s d e t o d o s l o s t r i á n g u l o s y l o s p u n t o s m e d i o s d e s u s l a d o s . Determi-

n a r e m s l o s c o m p o n e n t e s d e l v e c t o r v e l o c i d a d e n t o d o s l o s p u n t o s L..".. i n t e -

riores (vértices y p u n t o s m e d i o s d e t r i á n g u l o s ) , c u y o n ú m e r o t o t a l se

d i n o t a r á p o r N, y l o s v a l o r e s d e la p r e s i ó n s ó l o e n vértices interiores

... - . ~

Por l o q u e respecta a l a v e l o c i d a d , l a j-ésima f u n c i ó n base $ (1

,< j I N), está c a r a c t e r i z a d a p o r v a l e r 1 e n e l j - é s i m o n o d o g l o b a l y

O en todos l o s der&. ( E n b r e v e p r e s e n t a r e m o s a_L f o r m a e x p l í c i t a d e

j

, 6k y $j)*

A h o r a , t o d o v e c t o r v e l o c i d a d se p u e d e a p r o x i m a r e n l a forma

(3.1.1)

donde ui y vi son las componentes del vector velocidad en el i-ésimo nodo.

Es claro que, u también se puede escribir en la forma

Esto significa que las funciones 1- . /,! 1 , ;. . ?, ,'

-+ I

// ' ~ '" J

forman una base del espacio donde bumaremos el vector velocidad ( N ' es

el número total de nodos en que la velocidad debe estar definida, e s decir,

los nodos interiores más los nodos de la frontera).

,"-- . -r

Así pues, sea E.' + N' -+

u = L u j U j + c " j * p + j j=1 j=l (3.1.4)

, i - - I / L ; - 4 ; ) 2- -

y por lo que :.Se refiere a la presión, T?* L( . - 3

? . . . , - . k

- -. I .- -

M

k= 1

- i( ~- y C'a

p = Pk@k (3.1.5)

! obcenemes

DeAarrollando (3.1.6) y pasando l o s términos de la frontera al lado dere-

cho, obtenemos

i = 1, ..., ZN', (3.1.7)

Ahora si considerarnos la mitad de la base, es decir, i = 1 , ..., N

(tomndo só lo en cuenta l o s nodos interiores pues allí desconocecos l a -I ,."E- z

-

. -

.widad) , . obtenemos . .

e de acuerdo con (3.1.3) se puede e s c r i b i r en l a forma

le otra vez, por (3.1.3) se reduce a !. . . c

L '. I "--

las ecuaciones (3.1.9). (3.1.11) y (3.1.12) se pueden e s c r i b i r / en forma i

' -5 e . "

I (3.1413)

de no corplicar l a notación.)

3 . 2 DISCRETIZACION DEL FUNCIONAL J I

En l a secc ión 2 .3 v imos que podemos min imizar e l f u n c i o n a l ( 2 . 3 . 2 5 )

por g r a d i e n t e c o n j u g a d o . A h o r a d e b e m o s d i s c r e t i z a r t a l f u n c i o n a l .

E s c r i b i e n d o e n forma e x p l í c i t a ( 2 . 3 . 2 5 ) o b t e n e m o s

- v SnVCn vu n + A v snvsn Vb, + A v s p , vun

- VA2 s p n Vr,, - x2v SQVYn vu n + x3v S,VYn VC,

I

+ X 2 y $QfVf3n 08, + 295, Vyn-2VBn VCn-2Qyn Vun t VCn V', 1

+ x3 VSn { - vi3 VY, + VYn Vc,) + x' % IRVYn VYn (3.2.1). n

Dado que este funcional es positivo y de g r a d o c u a t r o d e b e t e n e r u n

mínimo g loba l .

I

En la subrutina CFUNCT calculamos los coef ic ien tes an te r iores . De

hecho, só lo trabajamos con l o s coef ic ien tes d e l o s vectores que intervienen.

. i

I

3 . 3 DESCRIPCION DEL PROGRAMA RAVSTK I

E l problema a l q u e a p l i c a r e m o s e l programa es u n f l u i d o a m f i n a d o

e n u n a c a v i d a d c u a d r a d a . Sólo Lielie c o n d i c i ó n a l a f rontera v = ( W G ,O)

e n l a p a r t e s u p e r i o r d e l c u a d r a d o . La v a r i a b l e W A G r e p r e s e n t a l a p r i m e r a

componente de l a v e l o c i d a d y es o t r o d a t o . i

También debemos dar l a t o l e r a n c i a EPSILON q u e d e t e r m i n a r á el número

d e i t e r a c i o n e s , a s í como e l número máximo d e i t e r a c i o n e s .

*

Por úl t imo es n e c e s a r i o e l . l a r g o d e l c u a d r a d o RLX y e l número de cua-

d r a d o s p o r l a d o N X .

A l llamar p o r p r i m e r a v e z (NTIP = O) a l a s u b r u t i n a STOKES c a l c u l a m o s

e l n h e r o d e n o d o s N Q en que debemos de t e rmina r e l v e c t o r v e l o c i d a d , e l

n b e r o d e n o d o s NP e n q u e n e c e s i t a m o s l a p r e s i ó n P , de terminamos la matriz

v [ VJ, - VO. ] ( v e á s e ec. 3. l . 13) de t amaño, HQ x fiQ ( l a k u a l a l m a c e n a m o s e n

e l v e c t o r GSTIE m e d i a n t e el p r o c e d i m i e n t o 1 ' e n v o l v e n t e " : " a f i n d e no r e q u e r i r 3

dexas iado a lmacenamiento) . Después en l a s e c c i ó n 4.3 d e s c r i b i r a n o s como

f a c t o r i z a m o s d e i n m e d i a t o GSTIF a p l i c a n d o C h o l e s k y . R e g r e s a m o s a l programa

p r i n c i p a l .

Enseguida, hacernos NTIP = 1 y llamamos d e n u e v o a STOKES que c a l c u l a

e l p u n t o i n i c i a l ( s o l u c i ó n d e l p r o b l e m a 2.3.13) que denotamos como U I N .

Hacemos a h o r a NTIP = 2 y llamamos a STOKES q u e c a l c u l a PSN ( s o l u a ó n 1

d e l p r o b l e m a 2 . 2 . 7 ) . E s t o s c á l c u l o s r e q u i e r e n d e l v a l o r v = LJXN t p pone-

mos en G?m.

A c o n t i n u a c i ó n c a l c u l a m o s l a d i r e c c i ó n d e d e s c e n s o ETN q u e satisface

e l problema 2 .3 .14 con u = U X N y 5 = PSN. En l a s u b r u t i n a STOKES. NTIP=3,

GMT; = U X N y BTN = PSK.

I n i c i a m o s a h o r a , l a etapa d e d e s c e n s o . L a v a r i a b l e XTIP es 5,

GMN = UXN y BTK = ETN. Resolvemos l a e c u a c i ó n ( 2 . 3 . 2 3 ) c o n un = UXN y

Sn = ETN. Ponemos e l r e s u l t a d o e n BTN. Aquí , e l n ú m e r o d e i t e r a c i ó n NIT

es l . *

Luego , l a v a r i a b l e NTIP es 4 y STOKES r e s u e l v e l a e c u a c i ó n ( 2 . 3 - 2 4 )

q u e r e q u i e r e = GXS = ETN. E l r e s u l t a d o se coloca p r e c i s a m e n t e e n l a

GMN. O b s é r v e s e q u e a q u í n o podemos e m p l e a r e l v e c t o r BTN q u e y a t i e n e s u

p r o p i o v a l o r . P o r f o r t u n a , sólo n e c e s i t a m o s GMN = ETN.

Enseguida (NTIP = 6), c a l c u l a m o s l o s c o e f i c i e n t e s d e l f u n c i o n a l J

( e c . 3 . 2 . 1 ) . Aquí n e c e s i t a m o s los v a l o r e s d e t o d o s l o s v e c t o r e s ya c a l c u -

l a d o s , e s \ , d e c i r , d e UXY , PSN, ETN, BTN y GMN . B

E l p a s o s i g u i e n t e c o n s i s t e e n m i n i m i z a r e l p o l i n o m i o d e c u a r t o g r a d o

( v e á s e o t r a v e z l a e c u a c i ó n 3.2.1) d e t e r m i n a d o por e l f u n c i o n a l J.

E l n u e v o p u n t o d e p e n d e d e l a n t e r i o r UXN y l a d i r e c c i ó n d e l g r a d i e n t e

"X._

7- 3

ETN, a s í como d e l a v a r i a b l e y = XLAMB q u e . d e t e r m i n Ó e l mínimo d d f u n c i o - . "

n a l J , v e á s e ec. (2.3.24). Preguntamos s i l a d i f e r e n c i a d e l a s m g n i t u d e s

e n t r e e l nuevo punto y e l a n t e r i o r es menor que l a t o l e r a n c i a EPSMS.

C a l c u l a m o s a h o r a l a n u e v a d i r e c c i j n d e d e s c e n s o ( c o n j u g a d a ) Q.B depen-

d e r á d e l a a n t e r i o r y d e l a a c t u a l i z a d a q u e n o s d i s p o n e m o s a o l c u l a r .

Llamamos a STOKES (NTIP = 2 ) a f i n d e r e s o l v e r d e n u e v o e l problema

2.2.7 pero a h o r a c o n l a v a r i a b l e a c t u a l i z a d a v = UXN = UXN - PLAM*ETN.

Di spon iendo ya de 5, = PSN reso lvemos otra v e z (NTIP = 3 ) , el p r o b l e -

ma 2.3.14 q u e a d e m á s r e q u i e r e d e l n u e v o p u n t o u = UXN. S u r g e ahdra e l

p r o b l e z a d e q u e l a s u b r u t i n a STOKES n o p u e d e r e g r e s a r e l r e s u l t a d o e n e l

n

v e c t o r E T N , p u e s se p e r d e r í a l a d i r e c c i ó n d e d e s c e n s o a n t e r i o r E T N que

i n t e r v i e n e e n e l c á l c u l o d e l a n u e v a d i r e c c i ó n d e d e s c e n s o ; a s í que , apro-

vechamos e l v e c t o r GF para mandar l a a n t e r i o r y .ETN será l a d i r e c c i ó n d e

d e s c e n s o a c t u a l i z a d a .

Antes d e i r as 1 STOKES (NTIP = 7) y c a l c u l a r l a s i n t e g r a l e s d e l o s

g r a d i e n t e s d e b e r n o s v o l v e r a i n i c i a l i z a r e l v e c t o r q u e es p r e c i s a t e n t e me-

d i a n t e e l c u a l STOKES r e g r e s a r á l o s v a l o r e s b u s c a d o s .

E n s e g u i d a c a l c u l a n o s e l c o c i e n t e RGAM d e l a s i n t e g r a l e s de l o s g r a -

d i e n t e s .

La n u e v a d i r e c c i ó n d e d e s c e n s o E T N d e p e n d e d e l a a n t e r i o r , d e l a

f

actualizada y del cociente RGAM.

Si el núrcero máximo de iteraciones no se ha sobrepasado regresamos

al paso en que hTIP = 5 y realizamos de nuevo estos cálculos y l o s siguien-

tes pero ahora con los nuevos vectores.

continuamos de esta manera hasta alcanzar la tolerancia requerida

o sobrepasar el número máximo de iteraciones.

Ahora comentarecos un poco sobre la subrutina STOKES. En esencia,

se encarga de llamar a la subrutina ENSHB que ensambla la matriz GSTIF

que a su vez factoriza llamando a la subrutina CHLSKY.

También define los vectores de entrada y de salida para las subrutinas

que ENSMB debe llamar. Por último llama a la subrutina SOLVE que resuelve

un sistema de ecuaciones con la misma matriz pero con diferentes vectores

de carga GF.

\ Como ya se indicó, la subrutina Eh’SHE3 forma la matriz GSTIF; cuando

KEKS?lB = l. Los valores de esta variable ( = l’, 2, 3 ) deterninan ‘el- tipo

de cálculos ’ que se realizarán. Si KEPI”% = 3 , ensamblamos las matrices

B = [- % JL~’] y C = [- @ y ] que almacenamos en el arreglo BCD(2, )

que sólo contiene los elementos (de la primera matriz en el primer renglón k J

y de la segunda en el restante) que no deben ser cero. (Aquí interviene

la subrutina REP4L.I). Esto evita emplear arreglos demasiado grandes.

Por otro lado, cuando el valor de KENS- es 2, calculamos las contri-

i I

b u c i o n e s d e las c o n d i c i o n e s a l a f r o n t e r a . . ( s u b r u t i n a BOUXD) a l =tor d e

c a r g a GF (cuando NTIP = 1, 2), l as a p o r t a c i o n e s a .GF d e l o s v e c t o r e s q u e

pasan a STOKES (s i hTIP = 2 , 3 , 4 . y 5) m e d i a n t e l a s u b r u t i n a LIIAD. Por

ú l t i m o , s i NTIP = 6 , 7 debemos llamar a la’ s u b r u t i n a CFUNCT q u e c a l c u l a

l o s c o e f i c i e n t e s d e J o l a s i n t e g r a l e s d e l o s g r a d i e n t e s c u y o c o e f i c i e n t e

es RGAM.

Median te l a s u b r u t i n a MESH obtenemos l a s c o o r d e n a d a s X , Y d e los nodos

d e l a malla. Se han numerado l o s nodos de manera que e l a n c h o d e b a n d a

sea p e q u e i i o . A d e m á s , c o n o b j e t o d e f a c i l i t a r l a c a r a c t e r i z a c i ó n d e l o s

nodos de l a f r o n t e r a , e s t o s se n u m e r a n h a s t a e l f i n a l . E s t a misna s u b r u t i n a

numera l o s e l e m e n t o s d e a c u e r d o c o n l a n u m e r a c i ó n d e l o s n o d o s y d e f i n e

e l a r r e g l o NOD q u e r e l a c i o n a l o s n o d o s g l o b a l e s c o n l o s nodos locales d e

cada e l e m e n t o .

Con tando ya c o n l a malla, l a s u b r u t i n a NHBAND c a l c u l a e l - a n c h o d e

banda hYBW d e l a m a t r i z GSTIF. Aún cuando no empleamos una matriz bandeada ,

l a c u a l c o n t i e n e muchos c e r o s , e l d i s p o n e r d e NHBW n o s p e m i t e e v i t a r

l a búsqueda en nodos y e l e m e n t o s q u e d a r á n c o n t L i b u c i o n e s cero a la m a t r i z

GSTIF. 8

Luego, l a s u b r u t i n a RESUM renumera l o s nodos que son v é r t i c e s d e

t r i á n g u l o s , l o s c u a l e s s o n l o s ú n i c o s q u e nos i n t e r e s a n p o r l o que respec-

t a a l a d e t e r m i n a c i ó n d e l a s p r e s i o n e s , q u e o c u p a n e l v e c t o r PRES. También ,

e s t a s u b r u t i n a d e f i n e l o s a r r e g l o s NREL. y NULT q u e , e n f o m a n á l o g a a

la f u n c i ó n d e h i W , n o s r e s t r i n g e n l a b ú s q u e d a d e c o n t r i b u c i o n e s a l a s

natrices B y C a c i e r t o s n o d o s d e e l e n e n t o s . Más a ú n , como e s t a m o s d m a c e n a n -

do una matriz r e c t a n g u l a r e n u n v e c t o r n e c e s i t a m o s u n a r r e g l o , que d e n o t a -

mos como NBCD q u e r e l a c i o n a e l l u g a r o r i g i n a l q u e u n e l e m e n t o o c u p a b a e n

l a m a t r i z r e c t a n g u l a r ( B o C> c o n e l q u e a h o r a o c u p a e n el a r r e g l o BCD'

( e n s u primero o segundo r eng lón) .

La s u b r u t i n a STIFFT real iza l o s c á l c u l o s r e l a c i o n a d o s c o n los i n t e -

g r a l e s q u e i n t e r v i e n e n e n e l e n s a m b l a d o d e l a matriz GSTIF y también l a s

i n t e g r a l e s r e l a c i o n a d a s c o n l o s v e c t o r e s d e c a r g a .

P o r ú l t i m o , e n l a f u n c i ó n GFRONT t e n e m o s d e f i n i d a l a c o n d i c i ó n a l a

f r o n t e r a d a d a .

I

4. RESOLUCION DEL PROBLLSIA DE STOKES P O R GRADIENTE CONJUGSKI 1

4.1 EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLC'CION DEL SISTEMA DE ECUACIOXE

En l a s e c c i ó n 3.1 se demos t ró que a l d i s c r e t i z a r l as K u a c i o n e s

d e S t o k e s r e s u l t a u n sistema d e e c u a c i o n e s l i n e a l q u e p r e s e n t a l a forma

A x + B X = b , B X = C (4.1.1) t

Demostramos a c o n t i n u a c i ó n q u e ( 4 . l . 1) p o s e e u n a s o l u c i ó n única apro-

vechando que se p u e d e r e f o r m u l a r como u n a d e s i g u a l d a d v a r i a c i a a a l e l í p -

t i ca d e l p r i m e r t i p o .

La matriz A real , d e tamaiío n x n y d e f i n i d a p o s i t i v a , B es una

matriz m x n , b p e r t e n e c e a R y c es tá e n R . n m

Con A y B asociamos

a:R x R m + R y L:Rn -+ R n

d e f i n i d a s p o r

a (v ,w) = (Av,w) p a r a c a d a v , w e n i(

L(v) = ( b , v ) p a r a t o d a v e n R

n

n (4.1.2)

donde ( , ) d e n o t a e l p r o d u c t o escalar o r d i n a r i o e n Rn y 11 lies l a nor-

ma a s o c i a d a .

I La f o r m L 'es l i n e a l y c o n t i n u a sobre R n ; e n f o r m a similar a( 9 )

es b i l i n e a l y c o n t i n u a s o b r e R x R". Dado que A es d e f i n i d a p o s i t i v a , n

a( , ) es R - e l í p t i c a , n

2 a ( v * v ) 2 X o l l V I l p a r a t o d a v e n R n ,

donde X es e l v a l o r p r o p i o más pequeño de A. O

Recorczmos q u e e l r a n g o d e B se d e f i n e por

R ( B ) = I q l q e n R y e x i s t e v e n R t a l q u e BV = q} m n

y t a m b i é n s e a

K = I v e n R 1Bv = c 1 n (4.1.3)

d o n d e e n e l c o n j u n t o a n t e r i o r c en R ( B ) i o p l i c a q u e k = O. Además K es

'/- J -., ,

conexo pues s i v y v 2 - p e r t e n e c e n -a K, e n t o n c e s ~ ( 0 v1 + (1 - 0 ) v 2 - ) =

Bvl + (1 - 0)B2 = ' c + (1 - 0)c = c , l o c u a l s i g n i f i c a q u e e l segmento

l i n e a l e n t r e v t a m b i é n es tá e n K . Y p o r ú l t imo , B es c e r r a d o p u e s

es l a imagen i n v e r s a d e l c e r r a d o { c ) .

1 :

1 y v 2

Por las p r o p i e d a d e s a n t e r i o r e s d e a( , ), L( ) y K , e l problema

d e l a d e s i g u a l d a d v a r i a c i o n a l e l í p t i c a :

e n c o n t r a r u e n V t a l q u e

( A u , v - U) 2 ( b , v - u ) p a r a t o d a v e n I; (4.1.4)

t i e n e u n a ú n i c a s o l u c i ó n ( c o n V = R ) u e n K . n

Teorema 4 .1 .1 . La solución u d e ( 4 . 1 . 4 ) está c a r a c t e r i z a d a p o r l a e x i s -

t e n c i a d e p e n R t a l q u e m

A u + B p = b t

BU = c

*

(4.1.5)

Demostración. (i) Sea u u n a s o l u c i ó n d e ( 4 . 1 . 4 ) ; t e n e m o s q u e

u + w está e n K , p a r a t o d a w e n Ker(B) (4.1.6)

Tomando v = u + w e n (4.1.4), obtenemos

(Au - b , w ) 2 O para t o d a w e n Ker(B) , : (4 .1.7) /

y e n p a r t i c u l a r .

' (Au - b,-w) 2 O ó b i e n , (Au - b,w) 4 O.

Por t a n t o ,

(Au - b , w ) = O p a r a t o d a w e n Ker(B).

que es e q u i v a l e n t e a

Au - b en Ker(B) . l.

Pues to que , po r (0.1.3),

Ker(B)I = R(Bt)

existe p en R tal q u e m

(4.1.8)

(4.1.9)

t B p k A u - b

que es l a p r i m e r a e c u a c i ó n d e (4.1.5), l a s e g u n d a t a m b i é n . v a l e p u e s u

está en K. I

( i i ) Supongamos ahora que (4 .1 .5) se c u m p l e . e n p a r t i c u l a r Bu = C ; es

d e c i r q u e u p e r t e n e c e a K. E l i g i e n d o a h o r a v e n K , tenemos que

v - u es tá en Ker(B) (4.1.10)

y as í ,

( b , v - U ) = ( A u , v - U ) + ( B P , V - U ) t

= ( A u , v - U ) + ( ~ , B ( v - U ) )

= ( A u , v - U ) ( 4 . 1 . 1 1 )

q u e e n p a r t i c u l a r i m p l i c a (4.1.4). *

Ahora demost ra remos que s i A es d e f i n i d a p o s i t i v a ( c o n c o n s t a n t e

C ) y simétrica ( y a s í , A - l e x i s t e ) , A t ambién es d e f i n i d a p o s i t i v a . -1

Sea Az = u , o b i e n z = A u , -1

de donde,

(u ,A- lu) 2 C u para t o d a u . -1 2

l l u l l llull ! e n c o n s e c u e n c i a ( p o r l a d e f i n i c i ó n d e norma d e un o p e r a d o r ) ,

(4 .1 .12)

l o cual s i g n i f i c a q u e A-' e s d e f i n i d a p o s i t i v a . . ', c.

E l p a s o s i g u i e n t e es d e m o s t r a r q u e BA B es d e f i n i d a p o s i t i v a ( y a -1 t 1 .

\

sabemos que es simétrica)

de donde

y. as í I

(4. l. 13)

p u e s A t ambién es d e f i n i d a p o s i t i v a y d e (4. l. 14) se t i e n e q u e €3 Y

= O y y p e r t e n e c e a k e r ( B ). Por c o n s i g u i e n t e ,

-1 t

t

k e r ( U B ) c k e r ( B t ) -1 t

y como la c o n t e n c i ó n i n v e r t i d a es o b v i a , t e n e m o s q u e

ker(BA B ) = k e r ( B -1 t t (4. l. 15)

d e d o n d e , a p l i c a n d o (4.1.9),

R(BA B ) = R(B) -1 t - a (4.1.16) ~" - " ~

por t a n t o , BA B es u n i s o m o r f i s m o d e R ( B ) s o b r e R ( B ) como vere-

mos a C o n t i n u a c i ó n . E l o p e r a d o r BA B no puede ser i n y e c t i v o s o b r e -1 t

R(Bf = k e r ( B t ) p u e s s i e m p r e v a n a d a r a cero. En r e a l i d a d , e l h e c h o

-1 t --_I._ " .

d e q u e sea i n y e c t i v o s o b r e R ( B ) es c o n s e c u e n c i a d e (4.1.15) p u e s s i y

e n R ( B ) es t a l q u e BA B y = O , e s t o i m p l i m q u e y está e n k e r ( B A B )

= k e r ( B ) = R(B) y a s í , y p e r t e n e c e a R(B) n R(B)' = O. Así q u e , e l

-1 t -1 t

t 1

-1 t \ o p e r a d o r BA B es i n y e c t i v o s o b r e R ( B ) . i

La u t i l i d a d d e q u e BA B sea un i s o m o r f i s m o d e R ( B ) s o b r e R(B) -1 t

se v e r á a c o n t i n u a c i ó n . ,

M u l t i p l i q u e m o s l a p r i n e r a e c u a c i ó n d e (4. l . 1) p o r BA-' a f i n d e

o b t e n e r :

BA B x = BA-lb - c. -1 t (4.1.17)

donde se a p l i c ó t a m b i é n l a s e g u n d a i g u a l a d d e (4.1.1). Demandaremos que

c este e n R(B) y es claro q u e BA-lb t a m b i é n p e r t e n e c e a R(B). En conse-

c u e n c i a , existe u n a ú n i c a x e n R(B) t a l - q Ü e (4.1.17) se c m p l e . L u e g o ,

m e d i a n t e la p r i m e r a e c u a c i ó n d e (4.1.1) d e t e r m i n a m o s x.

4- 4

I

4.2 APLICACI~N DE GRADIENTE CONJUGADO ,

Se ha visto, que el sistema de ecuaciones (4. l. 1) se puede resol-

ver mediante la etapa intermedia (4.1.17). Conviene atacar este Últi-

mo problema mediante gradiente conjugado. - Definamos y 6 por

B = B A B , B = B A b - c -1 t -1

y así nuestro problema se transforma en:

I B A = 6

(4.2.1)

(4.2.2)

Obsérvese que f3 está en R(B) y a s í podemos resolver el sistema por el

método del gradiente conjugado (versión de Fletcher-Reeves) que rninimi-

za el funcional f ( x ) = -<x DX> - q ,x>. 1 2 6

Etapa O: inicialización

Sea X, en R arbitrario, m

go = V f ( X o ) = I B A o - 6

w O = go.

(4.2.3)

(4.2.4)

Entonces, para n 2 O, obtenemos X n+ls

Y

gn+l Y Wn+l a partir de X., g n mediante, el procedimiento siguiente.

Etapa 1: -descenso

(4.2.5) 4

(4.2.6)

Etapa 1: nueva dirección de decenso

(4.2.7)

(4.2.8)

(4.2.9)

hacernos n = n + 1 y r e g r e s a m o s a (4.2.. 5). , . A c o n t i n u a c i ó n r e e s c r i b i m o s e n f o r m a e x p l í c i t a l o s p a s o s a n t e r i o r e s .

I

Sea x. d a d o e n Rm. Ahora,

C a l c u l a m o s a n t e s

x = A-’(b - B Xo) t (4.2.11) O

que equivale a r e s o l v e r p a r a x.

Axo = b - B X. t (4.2.12)

y a s í , (4.2.10) se t r a n s f o r m a e n

go = c - B x

O (4 .2 .13)

6

que es e l g r a d i e n t e e n x . O

Hagamos

O = g o (4.2.14)

E t a p a 1: d e s c e n s o

A f i n d e c a l c u l a r p n , n e c e s i t a m o s =TBw es decir , n’

-1 t ‘In = B A B v n

hagamos en tonces (a f i n d e n o i n v e r t i r A )

I < , = A B v -1 t n

y r e s o l v e n o s por Cho leskg

ASn = Btvn

por l o cual,

Ahora sí,

Dwn = % = Bk

I ( 4 . 2 . 1 5 )

. (4.2.16)

(4 .2 .17)

(4.2.1 8 )

(4 .2 .20) ,

c o n l o q u e o b t e n e m o s e l nuevo pun to X n+l

E t a p a 2 : n u e v a d i r e c c i ó n d e d e s c e n s o que c o n s t r u i m o s c o n e l g r a d i e n t e

V f ( X n + l ) y l a d i r e c c i ó n d e b ú s q u e d a a n t e r i o r w . n

(4 .2 .21 )

y a p l i c a n d o ( 4 . 2 . 1 0 ) ,

por l a e c u a c i ó n ( 4 . 2 . 1 8 ) .

Por Ú l t i m o , d e f i n i m o s 2

-u9 %+I

lgnl Yn -

hacemos

n = n + 1 y r e g r e s a m o s a l a etapa 1.

( 4 . 2 . 2 2 )

( 4 . 2 . 2 3 )

1 4 . 3 1NPLE"ACION DE GRADIENTE CONJUGADO PARA EL

I SIS" íA DE ECUACIONES

La s u b r u t i n a p r i n c i p a l q u e i n t e r v i e n e e n l a r e s o l u c i ó n d e l sistema

d e e c u a c i o n e s es SOLVE q u e realiza l a s o p e r a c i o n e s i n d i c a d a s e n l a s e c c i ó n

4 .2 ( ecuac iones 4 .2 .10 a 4.2.23). El v e c t o r x es l a p r e s i ó n . Cono tenemos

q u e m u l t i p l i c a r c i e r t o s v e c t o r e s p o r las m a t r i c e s r e c t á n g u l a r e s B y C ( o

s u s t r a n s p u e s t a s ) q u e se h a n a l m a c e n a d o e n v e c t o r e s , c o n v i e n e rea l izar

es tas o p e r a c i o n e s e n u n a s u b r u t i n a q u e l l a m a m o s MJLT. La s u b r u t i n a SOLVE

t a n b i é n r e s u e l v e a l g u n o s sistemas m e d i a n t e CHLSKY. En r e a l i d a d , sólo e f e c -

t ú a s u s t i t u c i ó n h a c i a a d e l a n t e y h a c i a a t r á s p u e s GSTIF se f a c t o r i z ó d e s d e

e l p r i n c i p i o . 6

A l r ea l i za r l a f a c t o r i z a c i ó n d e GSTIF e n CHLSKY l a idea p r i n c i p a l

c o n s i s t i ó e n t r a n s l a d a r l o s e l e m e n t o s d e l v e c t o r GSTIF, que ocupaban una

m i s r z columna de l a matr iz c u a d r a d a o r i g i n a l d e t a m a ñ o NQ x K Q , a un v e c t o r

a u x i l i a r . E s t o se hace m l o s e l e m e n t o s q u e i n t e r v i e n e n e n l a s o p e r a c i o n e s ,

d e codo q u e s i e m p r e t e n e r n o s d e f i n i d o s d o s v e c t o r e s a u x i l i a r e s . E s t a misma

.idea se a p r o v e c h a a l e f e c t u a r l a s s u s t i t u c i o n e s h a c i a a d e l a n t e y h a c i a

a t rás .

I

5 . 1 A P L I C A C I O N A UN F L U I D O FA UNA CAVIDAD CUADRADA

t

Se p r e s e n t a n l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s p o r e l p r o g r a m a p a r a u n f l u i d o c o n f i -

n a d o e n u n a c a v i d a d c u a d r a d a d e u n a u n i d a d d e l o n g i t u d .

La r e g i ó n se d i s c r e t i z ó m e d i a n t e 200 t r i á n g u l o s g e n e r a n d o así 19x19=361

p u n t o s e n l o s c u a l e s d e t e r m i n a r l a v e l o c i d a d h a b i e n d o c a l c u l a d o p r e v i a m e n t e

l a p r e s i ó n e n 61 nodos. E l n ú m e r o d e R e y n o l d s u t i l i z a d o f u e 100.

En e l p r k e r e j e a p l o ( E - l ) , -la c o n d i c i ó n a l a f r o n t e r a e n l a p a r t e s u p e r i o r

d e l c u a d r a d o es v = 16x’(l-x)’ y se i n c l u y e n l a s g r á f i c a s c o r r e s p o n d i e n t e s a l

p u n t o i n i c i a l ( s o l u c i ó n d e l p r o b l e m a d e S t o k e s a s o c i a d o ) y a N = 5,lO i t e r a c i o n e s .

L a s e g u n d a a p l i c a c i ó n (E-2) se refiere a l mismo c u a d r a d o p e r o a h o r a c o n

c o n d i c i ó n e n l a p a r t e del c u a d r a d o v = 1.

También se i n c l u y e n p a r a l a s i t e r a c i o n e s r e a l i z a d a s , l a d i f e r e n c i a e n t r e

l a s n o r m a s d e l v e c t o r v e l o c i d a d y e l a n t e r i o r .

I

A n t e s d e o b t e n e r l o s - r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s c o n una malla g e n e r a d a c o n 10

p a r t i c i o n e s p 3 r l a d o , se h i c i e r o n a l g u n o s e n s a y o s c o n m e n o s p a r t i c i o n e s . En

l a g r á f i c a 5.1 y 5.2 2 , 3 r e c e n l o s campos d e v e l o c i d a d e s p a r a e l f l u j o d e S t o k e s

c o n 5 y 7 p z r t i c i o n e s p o r l a d o r e s p e c t i v a m e n t e . D e s p u é s , e n e l e j e m p l o (E-3)

se empieza e p r o b a r e l p r o c e s o i t e r a t i v o c o n 8 p a r t i c i o n e s por l a d o (128

t r i á n g u l o r ) 5 se a l v i e r t e q u e n o h a y c o n v e r g e n c i a a u n a s o l u c i ó n e s p e r a d a .

L a s c o n d i c i o n e s a l a f r o n t e r a s o n como e n e l e j e n p l o (E-2). S i n e m b a r g o , c u a n d o

suavizamos 12s c o n d i c i o n e s a l a f r o n t e r a (como en e l e j e m p l o E-1) o b t e n e m o s

c o n v e r g e n c i a como se o b s e r v a e n e l e j e m p l o E-4 con e l mismo número de 8 pa r t i -

. cienes por lado.

Por último, en l a s g r á f i c a s 5.3, 5.4 y 5.5 se muestran los resul tados obte-

nidos para e l f l u j o de Stokes cuando t a n t o a l extremo superior como a l i n f e r i o r

del cuadrado l e imponemos l a s condiciones a la f ron tera suavizadas .

Los cálculos se real izaron en una computadora CYBER.180.

, i

I ! i I

i !

I i !

!

I I

I I

i ! I i

I I

i

I

\ \ \

\

\

\

\

\

,

i l I \ '

i "

I"" "".___ """"___"_""-.-I"" -, I

I

i

Ejemplo (E-1) . Iteración h' = 5 .

r----"--- ""." "- "-"" "_"" "-."- - "".

I

Ejemplo (E-1 ) . I t e rac ión h' = 5.

,

I

Ejemplo (E-1). Solución final, iteración N = 10.

! i E:

I-

/ / t / I 1 I

I

I

I

I

I \ \ \ \ \ \

\

\

\

\

\ I

\

\

8

8

Ejemplo (E-2), I~EE& N = O (solución de Stokes asociada) .

.__ "" " _" ------- - " - -. 1

I

i E c L .-

i \

t \

4 I I f I

/ / / ,'

/ /

\ \ \ \

- e-

I- I F

c e L - c

c

c P

c

c c

c c e 7 c c c

! F c - c - c P- C ?= b

r c L-

f *

c I- c

E

!

I-"" " _ _ _

I "--!

c c t L

i r c c

t c c

P L L L

r - 7 c r c

c

c

/ I \

. \

. \ \

Ejenp lo (E-2). S o l u c i ó n final, i t e rac ión N = 15

!

/ ,

r' /

I ' I . I \ II 1 I ,

1 I 1 :

I

I , \ ' I

/' I /

/ I

/-

I I 1

1

\ \ I

\

I

Gráfica 5.1. NX = 5, 50 t r i á n g u l o s .

""" 1

. ' . b

.

' \ ' I , . ' * . \

1 * i 1

1 ' \. ' \ \

I ! \ 4 , i I

-zc I

\ '\ / r I - &- I I '

, 1

"-."- """""-I_"

Gráfica 5.2. KX = 7 , 98 t r i á n g u l o s .

I

/'

i I

I

/

/'

/

/

/

,' !

I

1

Ejemplo (E-3) Iteración h' = O.

,

€

I

Ejemplo (E-3) Iteración h' = 5

c

. I 4 / I I I 4 . a I I I I 1 . . -

I I I I \ $ . -

Ejemplo (E-3) . Iteración N = 20.

"" - -7

" .- -.- "

. ..

-. \

B -

I' " j 1

i ' '

'I'

\ \

,

/ I I

/ I I I

, !

"_"_I_ ___ _1

Ejemplo ( E - 4 ) . I t e r a c i ó n X = O .

I

\ I

\ - \ - " / ,

\

Ejerr.plo (E-4). I t e r a c i ó n X = 20.

I I

I \

I

1 1

i \ I

I \

I I

I \

\

I

i ! í I I

I

I i I

I I

I i I

Gráfica 5.3 I i X = 5 , 50 T r i b g u l o s .

,

I

I

c e

l

L

I \ \ 4- "

c - c- "-

Gráfica 5.4 N>; = 6, 72 Triángulos.

-~ N (E-1) (E-2) ””””~””“””~”””””~

1

2

3

4

5

6

7

8

9

LO

11

12

13

14

15

1 -4008

-7069

.1592

-1484

. l o52

.O054

O 0 1 4

.o001

.O003

.O003

1.1017

.2101

-2359

.1329

.1008

.1021

.1059

.0795

.0666

-0453

.0327

.0208

.0147

.0088

.0062

I

Diferencias entre l o s valores d e 13s vectores velocidad para la i tera-

ción indicada h’ y l a an te r ior para cada uno d e l o s ejenplos.

Conclusiones .

1. Esta tesis hace ver que el método de mínimos cuadrados combinado con

gradiente conjugado podría aplicarse con mayor frecuencia a la resolu-

ción de ecuaciones diferenciales parciales.

2. Parte del trabajo consistió en la elaboración de todos las subrutinas que el programa requiere: asi que, l o s resultados numéricos deben

tomarse s ó l o como una ilustración del método. Estamos seguros que

la eficiencia del programa se puede mejorar sobre todo por lo que al ensarblado de l a s matrices respecta.

3. Entre lo que resta por hacer está el abordar las ecuaciones de

Navier-Stokes no-estacionarias y considerar la aplicación del rétodo

a ecuaciones de tipo similar a l a s de Navier-Stokes.

A . l NOTACION Y RESLZTADOS PREVlOS I?íPOR'IANTES

La mayor p a r t e d e l t i e m p o t r a b a j a r e m o s e n e s p a c i o s de H i l b e r t H

c o n p r o d u c t o i n t e r i o r ( , ) y d i f e r e n t e s n o r m a s f I , 11 ! I , [ J , etc . De-

n o t a r e m o s al e s p a c i o d u a l d e H por H' . M e d i a n t e < F , u > i n d i c a r e z g s e l

v a l o r d e l f u n c i o n a l F e n e l e l e m e n t o u d e H. En r e a l i d a d , < , > es una

( A . l . 1) Teorema d e

Sea H un e s p a c i o

H . E n t o n c e s e x i s t e

).Gs a ú n

( A . 1 . 2 ) Teorema de

r e p r e s e n t a c i ó n d e Riesz.

d e H i l b e r t y sea F un f u n c i o n a l l i n e a l c o n t i n u o s o b r e

u n Ú n i c o e l e n e n t o u e n H t a l q u e O

F ( u ) = ( u o , u ) , p a r a t o d a u e n H

F / /

L a x - M i l g r m .

*

S e a b ( u . v ) u n a f o r m a b i l i n e a l c o n t i n u a s o b r e u n e s p a c i o d e Hi l t r r t H ,

es decir e x i s t e u n a c o n s t a n t e k > O t a l que

I b ( u , v ) l k l l u l i ~ \ v l ~ p a r a c a d a u , v e n H ,

y H - e l í p t i c a , es decir q u e e x i s t e o t r a c o n s t a n t e Q > O t a l q u e

7 b ( v , v ) 20 i/vljL p a r a t o d a v e n H .

E n t o n c e s t o d o f u n c i o n a l l i n e a l ~ o n t i n u o F s o b r e H p u e d e e x p r e s z r s e e n

l a forma

< F , v > = b ( v , z ) , p a r a t o d a v e n H ,

dende z e5 u n e l e z e n t o d e H Ú n i c z x n t e d e t e m i n a d o por e l f u n c i o n a l f .

(A.1.3) Teorexa d e l r a n g o c e r r a d o d e B a m c h

Sean U y V dos e s p a c i o s d e Bznach 5 A e n y U ; V ) . Sea R ( A ) cerrado. E y i o n c e s

R ( A ) = h.(A'G J?(A') = K ( A F

N ( A ) I = I F en U' I < F , u > = O para toda u e n N ( A ) ) .

(A .1.4) Teorema d e Banach

Sea A un mapeo l i n e a l continuo e inyectivo de un espacio d e Banach U

en otro espacio d e Banach V . Entonces A-' es continua. 7

I A . ' ( 1

(A.1.5) Teorema d e l a inversa acotada

Sea A un operador l i nea l acotado por debajo de un espac io l inea l nor-

mado U en o t ro e spac io l i nea l normado V ( e s dec i r , exis te una constan-

t e C > O t a l que 11 Aull 2 C llullu para toda u e n U). Entonces A- t i ene una

. '

..*

. ,' ,- r7

L -'

2

inversa continua A-' de s u rango R(A) en U. En forma recíproca, s i A

posee una inversa continua A : R ( A ) + U entonces es acotado por debajo.

(B. 1.6) Algunas propiedades _del operador 'd_u_l-,-

-1

r-- - "\.,

JJ *->

Sean U y 1' e s p a c i d I i h e a l e s nornados y A en L ( U ; V ) . S i A ' :V' + U' es /'

e l operador dual - d e A , entonces

( i ) A ' es l i n e a l y continuo: A ' e n L(U';V') y

(11) 11 A 1 1 = [ / A ' 11. ( i i i ) si A posee una inversa acotada, también A ' y ( A - ' ) ' = ( A ' ) . -1

I

( A . 1 . 7 ) Teorema de Hahn-Banach

Sea M un subespacio d e u n espacio l ixeal se2arable U y sea f un funcio-

c a l l ineal continuo' sobre R. Entonces ex i s t e un fuflclonal l i n e a l con-

t i n u o F definido s o b r e U t a l que

Definición. Sea ( X , d ) un espacio métrico y F"un napeo d e X ,en sí mismo

La f u n c i ó n F s e d i c e que es una contracción si ex i s t e un nmero r ea l k,

O 5 k < 1, t a l que para toda x,y en X ,

! I

d ( F ( x ) ' , F ( g ) ) k d ( x , y ) -

(A .1.8) 'leorema he1 p u n t o f i j o d e Brouver

Sea C UD s u b c o n j u n t o n o v a c í o c o n v e x o y compacto d e u n e s p a c i o de dirnen-

,

si& f in i t a J F un mapeo con t inuo de C en. C. E n t o n c e s F t i e n e a l menos

u n p u n t o f i j o .

(A.1.9) P r i n c i p i o d e m a p e o s d e c o n t r a c c i ó n

Sea (X ,d) u n e s p a c i o métrico comple to y F:X + X una con t r acc ión con cons -

t a n t e d e c o n t r a c c i ó n k t a l q u e O S k < 1. E n t o n c e s F p o s e e un Único

p u n t o f i j o .

(A.l.10)

Sea U u11 e s p a c i o l i n e a l n o r m a d o . Una s u c e s i ó n { u 1 e n U c o n v e r g e d é b i l -

mente a u n e l e m e n t o u e n U si y s ó l o si las d o s c o n d i c i o n e s s l g u i e n -

n .*

O

tes se cumplen:

( i) l o s e l e m e n t o s u e s t á n a c o t a d o s e n e l s e n t i d o d e q u e n

(ii) S i f es c u a l q u i e r f u n c i o n a l l i n e a l c o n t i n u o es u n s u b c o n j x t o G

d e n s o f u e r t e m e n t e e n e l d u a l f u e r t e U' d e U, e n t o n c e s

lín; f ( u ) = f ( u o ) n *cm n

(A.l.ll)

Un operador A e n L(U;V), L! y V e s p a c i o s r e f l e x i v o s d e B a n a c h , es c m p a c t o

( e s d e c i r q u e manda c o n j u n t o s c e r r a d o s y a c o t a d o s e n c o n j u n t o s crrya ce-

r r a d u r a es compacta) s i y só lo si A rnapea s u c e s i o n e s d é b i l n e n t e c o n v e r -

g e n t e s en e n s u c e s i o n e s f u e r t e s e n t e c o n v e r g e n t e s e n V .

. ( A . 1 . 1 2 ) Identidades de Green S

IRG V F = -SQ(VG)F + S i; FG a r.

donde F y G ( u y v ) son funciones escalares (vectoriales) sobre R t a l e s b que

l as in tegra les cons ideradas ex is ten .

A . 2 FORMULACION VARIACIOKAL DE LiN PKOBLE% C O N V A L O R E S A LA FKOYTERA

Consideremos e l problema

A u ' = f ( A .2.1)

donde A es u n o p e r a d o r d i f e r e n c i a l , f es u n e l e m e n t o d e u n e s p a c i o d e

H i l b e r t H con p r o d u c t o i n t e r i o r ( , ) y u es l a s o l u c i ó n b u s c a d a .

Con f r e c u e n c i a se p r e s e n t a e l caso e n q u e A es tá d e f i n i d o sobre

u n e s p a c i o D que es d e n s o e n H y A es d e f i n i d o p o s i t i v o .

D e f i n i c i ó n : Sea DA d e n s o e n H. Un o p e r a d o r l i n e a l A:D + H es simétri-

co si

A

A

(Au,v) = ( u , A v ) p a r a c a d a u , v e n DA.

D e f i n i c i ó n : Un o p e r a d o r A se d e n o m i n a p o s i t i v o e n DA si es simgtrico

e n D y se cumplen l a s dos c o n d i c i o n e s s i g u i e n t e s : A

(Av , v ) h O p a r a toda v e n DA y

( A v , v ) = O i n p l i c a que v = O.

P r o p o s i c i ó n " A.2. l . S i A es u n o p e r a d o r p o s i t i v o e n D A , e n t o n c e s (A .2.1)

COR f e n E t i e n e a l o nás u n a s o l u c i ó n u e n D

D e n o s t r a c i ó n . Supongaaos q u e e x i s t e n d o s s o l u c i o n e s e n D t a l e s que

A '

A

e n t o n c e s ,

AU = f p AV = f :

I

ALI - Av = A ( u - v ) = O e n H

de donde ,

( A ( u - \'),U - V ) = O , u - v e n D X

por c o n s z g u i e n t e ,

J

Entonces el funcional definido sobre DA

< F , v > = (Av,v) - 2(f,v) (A.2.2)

alcanza su valor mínimo en u.

Por otro lado, sea w el mínimo de (A.2.2), entonces Aw = = f.

Demostración. Sea v = u tal que Au = f , sustituyendo f en (8.2.2) obtenemos

F , v = (A\~,v) - ~ ( A u , v )

= (AV - Au,v) - (AV - Au,u) - (Au,u)

= ( A ( v - U),V - U) - (Au,u)

6

(A -2.3)

en donde

( A ( v - u),v- U) 2 O

= (Au,u) - ~ ( A u , u ) = -(Au,u),

si Au = f . De modo que (A.2.3) se puede escribir en la f o r m

< F , v > - <F,u> = (A(v - U),V - U )

lo cua l i r p l i c a que

con i g u a l d a d sólo si v = u en D . Por o t ra parte, supongamos que el funcional <F,v> alcanza su valor

mínimo en v = u. Esto i m p l i c a que' l a d e r i v a d a d e G a t e a u d e e n u

es c e r o , es d e c i r

t 4 t

Dado que

<F,u + t v > = ( A u , ~ ) + 2t (Au,v) + t ( A v , v ) - 2 t ( f , v ) - 2 ( f , u ) 2

l a d e r i v a d a i g u a l a d a a cero se reduce a

(Au - f ,\y)= O p a r a t o d a v e n DA

y e n c o n s e c u e n c i a

Au = f e n H.

Un i n c o n v e n i e n t e d e es te r e s u l t a d o es q u e n o a s e g u r a l a e x i s e n c i a

dela s o l u c i ó n d e modo que debemos ex tende r D a f i n d e q u e i n c l u y a u n a

s o l u c i ó n " g e n e r a l i z a d a " .

A

Dexandandaremos ahora que A sea d e f i n i d o p o s i t i v o s o b r e D es d e c i r , A

q u e e x i s t a C > O t a l que

(Av,v) 2 C ~ ~ ~ 1 1 p a r a t o d a v e n D 2 A ' (A 2 . 4 )

D e f i n m o s un nuevo p roduc to escalar s o b r e D A :

[u,v] = ( A u , ~ ) p a r a c a d a u , v e n DA. ( A -2.5)

E s t e n u e v o p r o d u c t o i n t e r i o r d e f i n e l a n o r m a 0

y l a d i s t a n c i a

En c o n s e c u e n c i a , e l e s p a c i o DA j u n t o c o n d d e f i n i d a p o r ( A . 2.7)

e s un e s p a c i o métrico l i n e a l , e s d e c i r u n e s p a c i o p r e - H i l b e r t c o n e l

p r o d u c t o i n t e r i o r (A.2 .5) . Tazbién denotaremos a este e s p a c i o p o r . DA

Por ? a d e f i n i c i ó n (A.2.5),

d e modo que , por (A.2.4).

o b i e n

l o c u a l i m p l i c a q u e si u n a s u c e s i ó n u c o n v e r g e (es d e Cauchy e n D ) a un

e l e m e n t o u e n D e n t o n c e s t a m b i é n c o n v e r g e (es d e Cauchy e n H ) a u e n

n A

A

H.

En g e n e r a l , e l e s p a c i o D con l a métrica D no es comple to , po r '

l o que debemos comple ta r lo . Con este f i n c o n s i d e r e m o s e l c o n j u n t o M d e

t o d a s l a s s u c e s i o n e s d e Cauchy en D y e n este c o n j u n t o M definamcrs una A

r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a :

A A

{ u } { v 1 s i y só lo si lh d ( u , v ) = O. n n n-+cr: n

Puede comprobarse que es ta r e l a c i ó n

e l c o n j u n t o de r e l a c i o n e s d e e q u i v a l e n c i a

l a d i s t a n c i a

Z L L

está b i e n d e f i n i d a . A h o r a e n

M d e e l e m e n t o s e n M d e f i n i m o s -

d ( { un) ,{vn}) = lín d ( u n , v n ) , n-

(A.2.8)

en donde wm es l a c lase d e e q u i v a l e n c i a d e u . Dotado con ( A . 2.8),

e l e s p a c i o M es c o m p l e t o y e l p p a c i o 5 d e f i . n i d o p o r

n

A

5 = { . ( X ) I . (X) es l a c lase d e e q u i v a l e n c i a d e { x ,x,. . . ) cor, . , e n D A &

(A -2.9)

es i s o r n é t r i c o a DA y (A.2 .9) es d e n s o e n M.

A s í q u e , i d e n t i f i c a n d o a D c o n D podernos c o n s i d e r a r q u e D es A A A

d e n s o e n un e s p a c i o d e H i l b e r t c o z p l e t o ( q u e es M).

La i d e n t i f i c a c i ó n e n t r e I) A y DA es n a t u r a l m e n t e e l Eapeo x + v ( x ) .

Todos l o s r e p r e s e n t a n t e s de clases e n D convergen ( s egún (A.2.6)) a

e l k r r e n t c s e n D A :

,! - ;

{x ,x , ...} -+ x e n DA*

Sea a h o r a u n r e p r e d e n t a n t e { y $ de una c lase e n E que no conve rge

e n D La s u c e s i ó n { yn} es d e Cauchy- e n D y p o r t a n t o t a m b i é n es d e Cau-

c h y e n H q u e es u n e s p a c i o c o m p l e t o y e n c o n s e c u e n c i a c o n v e r g e a un ele-

A ' A

mento y e n H .

Por c o n s i g u i e n t e , t a m b i é n podemos i d e n t i f i c a r a M con un subespa -

c io mismo d e H q u e d e n o t a r e m o s p o r H Sólo d e b e m o s e x t e n d e r a este nue-

v o s u b e s p a c i o e l p r o d u c t o i n t e r i o r o r i g i n a l q u e se d e f i n i ó e n D Esta

e x t e n s i ó n es tá d e f i n i d a p o r

A '

A '

[ u , v ] = l í m [ u n+.m nPvn1 p a r a c a d a u , v e n H A

donde un) c DA y { vn} D s o n l as s u c e s i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s (es de- A b

c i r q u e c o n v e r g e n ) a u y v , r e s p e c t i v a m e n t e .

P o r t a n t o , H se p u e d e c o n s i d e r a r como e l s u b e s p a c i o d e H formado

por l o s e l e E e n t o s x t a les q u e e x i s t e u n a s u c e s i ó n d e C a u c h y q u e e n l a

norma o r i g i n a l d e H c o n v e r g e a x.

A

E l e s p a c i o H es c o m p l e t o y D es d e n s o e n H

Ahora, e l f u n c i o n a l

A A A '

< F , v > = ( A v , v ) - 2 ( f , v ) v e n D A ,

puede e sc r ib i r se como

t o s d e H J n e só lo s o b r e D y con rcayor r a z ó n e l p r o d u c t o i n t e r n o ( , ),

d e nodo que

A A

< F , v > = [ v , v ] - 2 ( f , v ) v e n H A (A .2.10)

Teorema A.2.3. Sea A u n o p e r a d o r d e f i n i l o . p o s i t i v o s o b r e DA d e n s o e n

H e s p a c i o d e H i l b e r t . E n t o n c e s e l f u n c i o n a l ( A . 2 . 1 0 ) a l c a n z a s u v a l o r

mínimo e n H A ’ .

Demostración. La f u n c i ó n f d e f i n e un f u n c i o n a l

v + . ( f , ” )

que es acotado por l a d e s i g u a l d a d d e S c h v a r t z

S in embargo ,

d e modo q u e ,

I

(A.2.11)

p a r a c a d a f e n H, v e n HA. E s t o q u i e r e d e c i r q u e e l f u n c i o n a l (Af2.11)

es c o n t i n u o s o b r e e l e s p a c i o d e H i l b e r t H y e l teorema de representa- . :

c i ó n d e Riesz a s e g u r a q u e e x i s t e u n Ú n i c o e l e a e n t o u e n H d e t e r m i n a d o

únicamente por f e n H t a l q u e

A

A

( f , v ) = [ u , v ] p a r a t o d o v e n HA (A.2.12)

S u s t i t u y e n d o ( A . 2 . 1 2 ) e n (A.2.10) ob tenenos que

< F , v > = [ v , v ] - ~ [ u , v ] !

= [ v , v ] - 2[u ,v3 + [U’UI - [ U , U l

= [ v - u , v ] - [ u , v - u ] - [ u , u ] I

= 11 - u l lA - l l u l l A (A.2.13)

Sin embargo , dado que 11 l lA es una n o r m s o b r e H A ’

llv - u l lA = O si v = u e n H ~ , y

11v - u l lA > O si v = u e n H A ’

Por c o n s i g u i e n t e , e l f u n c i o n a l <F,v>-alcanza s u v a l o r m í n i m o e n

v = u y este e l e n e n t o G es t á f i n i c a x n t e d e t e r n i n a d o por f a t r avés d e l

t eorema de r e p r e s e n t a c i ó n d e Riesz.

D e f i n i c i ó n . E l e l e m e n t o u que min imiza e l f u n c i o n a l ( b . 2 . 1 0 ) e n HA se

denomina l a s o l u c i ó n g e n e r a l i z a d a d e 1.a e c u a c i ó n Av = f .

O b s e r v a c i ó n A.2.1. h 'ó t e se que po r (A .2 . i l ) e l mínimo u d e l f u n c i o -

n a l sa t isface

(Au,v) = ( f , v ) p a r a t o d a v e n H A (A.2.14)

O b s e r v a c i ó n A.2.2. A l u t i l i z a r e l teorema d e r e p r e s e n t a c i ó n d e Riesz,

e te r e s u l t a d o d e e x i s t e n c i a n o d a u n a m a n e r a d e e n c o n t r a r e l e l e m e n t o

que min imiza a l f u n c i o n a l .

O b s e r v a c i ó n A.2.3. Por l a r e l a c i ó n (A.2.12),

S llfll I I 11,. J"

En p a r t i c u l a r , s i v = u ,

de donde ,

y también,

p a r a t o d a v e n H A

' y e s t a d e s i g u a l d a d expresa l a d e p e n d e n c i a c o n t i n u e d e l a s o l u c i ó n gene-

r a l i z a d a u d e l l a d o d e r e c h o d e l a e c u a c i ó n (A.2.1).

..

Consideremos e l p r o b l e m a d e e n c o n t r a r u t a l q u e

. - A u = f e n R

u = O e n aR (A.3,1)

e n d o n d e R es u n d o m i n i o c o n f r o n t e r a d e L i p s c h i t z . En l a t e o r í a clásica

d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s p a r c i a l e s se p i d e q u e u E c'( fi ) , f E: c(Q ) . Con o b j e t o d e s i m p l i f i c a r e l d e s a r r o l l o s i g u i e n t e d e m a n d a r e m o s u n

poco más d e los f u n c i o n e s u J f . E s d e c i r , f E C(R) J u d e b e p e r t e n e c e r

a l e s p a c i o C y (52) d e f i n i d o e n g e n e r a l p o r O

c(fl) = { V E: C (0) I s o p ( v ) es compacto y c o n t e n i d o e n R ) (A!3.2) m

m

M u l t i p l i c a n d o m.1) p o r . c) a r b i t r a r i a e n cr"(0 ] e i n t e g r a n d o sobree O

R obtenemos I

[ bu + f ] = O p a r a t o d a I$ es Cm@). (A.3.3) O

O b s e r v e q u e c a d a u n a d e l a s d e s i n t e g r a l e s e x i s t e . A s e g u r a o o s q u e -.

p d e m o s r e c o b r a r @ 3 3 ) d e (4.33). p u e s s i e x i s t e x. e n R t a l que

O u ( x 0 ) + f(xo) > O ( e l c a s o d e l a d e s i g c a l d a d i n v e r t i d a se maneja en forroa

a n á l o g a ) , podernos e n c o n t r a r E > O t a l q u e sobre B, ( x ) C (dado que O

I

/

4 : I

A u y f son continuas) .también A u + f es posit iva. Sea; @ ' una función

en c"(Q) positiva sobre 'Bc(x ) y cero e n e l complemento. O O

Entonces,

contradiciendo (A.3.3).

En consecuencia, (A.31) y (4.3.3) son equivalentes. Aplicando ahora

l a identidad d e Green

para toda ($ e n ? ( Q ) (A.3.5)

La igualdad (A3.5) se denoaina l a formulación d é b i l d e l problema

_____ c lá s i co (al). Recordemos q u e (431) y (435) son equivalentes con las supo-

siciones establecidas. Sin enbargo, advertimos que (43.5) t iene sen t ido

aún s i 11 est5 e n C if?). También l a función f puede encontrarse e n un espa-

c i o n&s grande, digamos La (SI). .

O

Puede conprobarse q u e l o s puntos c r í t i cos u d e l funcional

(A.3.6).

donde v e s t á e n Co(Q) y f E L'(n), est& caracter izados por C43.5). A es to

s e debe que a (A35) t e rb ién se l e conozca coco l a " forvulación vzr lacional -

de (al).

A .4 ESPACIOS DE SOBOLE\'

Def inic-:

Sea R d o - , i n i o a c o t a d o c o n f r o n t e r a d e L i p s c h i t z

Q ) = ( u I u es c o n t i n u a a s í como s u s derivadas D.u de t o d o s l o s ó r d e n e s O 1

en Q I .

c"(Q) O = {u E c(~)(Q) 1 u t i e n e s o p o r t e c o m p a c t o e n Q] . En e s t o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e f u n c i o n e s se u t i l i z a l a n o t a c i ó n s i g u i e n t e :

D e f i n i c i ó n :

y . s i d e n o t z o s l i l = il +. .. i n '

Ahora en e l e s p a c i o C"(0) d e f i n i m o s un p r o d u c t o i n t e r i o r .

-

l a i n t e g n l e n e l s e n t i d o d e L e b e s g u e .

( ~ . 4 . 1 )

ObservacJjE:

Dado que u y t o d a s s u s d e r i v a d a s son c o n t i r . u a s e n e l c o n j u n t o c e r r a d o

que adernis es a c o t a d o , u y D u s o n a c o t a d a s . En: c o n s e c u e n c i a , e l p r o d u c t o

in: r ior (A.43) sienpre es un n ú n e r o f i n i t o .

I

i

y l a métrica

dk(u9 v , = IL - ' 1 1 , u , V E C Y R ) (A .4.3)

Denotaremos por S (n) a l e s p a c i o d e f u n c i o n e s e n C q Q ) con e l produc- k

-

t o i n t e r i o r (A.4 . l ) , l a norma (A.42) y l a métrica h43).

De l a s d e f i n i c i o n e s a n t e r i o r e s t e n e m o s q u e

d e d o n d e

Por c o n s i g u i e n t e ,

' l i m un = u U + a

(A.4.4)

k e n S, (9) (A.4.5)

c a d a u n a d e l a s s u c e s i o n e s { D i u d , -til S k es d e Caucny ell L, (9) L

k E l .espacio S, ( Q ) no es completo. Así 'que, debemos completarlo con

respecto a l a métrica (A4.3). Con e s t e f i n , consideremos e l conjunto d e

sucesiones de Cauchy en S,(n) y definamos l a r e l a c i ó n de equivalencia. k

Denotenos con x} un representante d e l a c l a s e de equivalencia

{u ] y sea M definido por M = { {ü ] I { u 1 es sucesión d e Cauchy e n S, (Q) ) k

n n n

E l conjunto N es un espacio métrico si definimos

* Además f.: es c o q l e t o .

k E l espacio S ( Q ) se puede i d e n t i f i c a r ( e s d e c i r , que existe una isome-

t r í a ) con e l subespacio K d e M de l a s c l a s e s de equivalencia que convergen

en S,. E3 rezl idad, s i def in iaos . k

v : S , k + N

donde m = i x , , x . . . ) ,

k l a funciciIl v es u n 6 isometr ía entre SE y N.

%S aún, x' e s denso en M. I

Ahora, l o s elesentos q u e están en K pero no en N son clases de equiva-

lenc ia de sucesiones d e Cauchy que no convergen (en la mét r ica k ) a algún

elemento d e S , ( Q ) . Kos in t e re sa ca rac t e r i za r l o s elementos anteriores

en alguca forma ú t i l .

k

S i an8 sucesión de Cauchy {U$ converge a u que es tá e n S2 , es to

s i g n i f i c a qze ü est6 en C (Q) y todas s u s derivadas existen y son continuas

k

a -

e n Q . -

k S i n err;,bargo, una s u c e s i ó n d e C a u c h y { u e n S2 t a m b i é n es de Cauchy

e n L'(R) J dado que L'(fi) es c o m p l e t o e x i s t e u e n L a ( fi) t a l que un conve r -

g e a u e n l a norma L':

n

l i m un = u . n-

k k En c o n s e c u e n c i a , s i una S2 - suces ión de Cauchy no conve rge en S, ,

s i c o n v e r g e e n l a norma L a . Pero además cada una de l a s s u c e s i o n e s

{ Diu ) es de Cauchy en L a ( n) y por t a n t o e x i s t e n e l e m e n t o s v ( ~ ) e n La (R>

t a l e s q u e . (A.4.10)

L a e c u a c i ó n anteflor n o s p e r m i t e hablar- de. d e i i v a d a s g e n e i a I i z d d i 4 s .

E l teorema d e l a d i v e r g e n c i a e s t a b l e c e q u e

donde F = ( f . . . , f n ) con fi E c'(Q> Y 1'

n a f i . V . F =

i=l 1 ! (A.4.12)

H a c i e n d o F = uv e n 0.4.11) , ob tenemos -+

I

S u ~ * v + S * ~ u = ~ u v - n . -+ - + A

c9.4.13) R R R

S u s t i t u y e n d o u = cb e n T(Q) 3 v = ( O , . . . , O, vk, O,. . . , O ) se t i e n e -k

(4.4.14) 1 I /

e n donde, a fin de s impl i f icar l a no tac ión , se h izo u = v k '

Ahora, aplicando dos veces (A.4.14),

En general,

(A.4.15)

Obsérvese que D u es l a derivada d e orden j de l a función u . La i g u a l -

dad (-4.4.15) s e u t i l i z a r á como c a r a c t e r í s t i c a que deben poseer l as der ivades

j

lf generalizadas" v ( J ) . E s d e c i r , se probará que

t

y d e l a s e c u a c i o n e s @.L9) y (A.4.10) !se t i e n e (A.4.16). E s p o s i b l e e x t e n d e r

e l T r o d u c t o i n t e r i o r (kh.1):

a t o d o s l o s e lemen tos u e n L' ( Q ) q u e s o n L ' - l i m i t e s d e S r s u c e s i o n e s d e

Cauchy . Es t a ex t ens ión se d e f i n e d e m a n e r a q u e sea c o n s i s t e n t e c o n 848).

Sea Hz e l e s p a c i o d e l a s f u n c i o n e s u en L a ( n) t a l q u e e x i s t e u n a

S , - suces ión de Cauchy {un) que converge a u e n l a norma L a . S i u y v e s t á n

k

k

e n H z , def in imos k

(A.4.18) 6

s i u y v e s t á n . e n SZ e n t o n c e s (A.4.18) c o i n c i d e c o n (A.4.1).

E l e s p a c i o H; es ¿e H i l b e r t c o n e l p r o d u c t o i n t e r i o r (A.4.18). La

k

nsrma i n d u c i d a p o r (A.4.18)

I

En vista d e q u e l a f r o n t e r a aR de fl es d e Lipschitz, es p o s i b l e d e f i -

n i r i n t e g r a l e s d e s u p e r f i c i e s o b r e ai?. A n t e s d e b e n o s r e c o r d a r e l c o n c e p t o

de f r o n t e r a d e L i p s c h i t z .

Exi rnos que R es u n d o m i n i o c o n f r o n t e r a d e L i p s c h i t z s i es a c o t a d o

y si e x i s t e n c o n s t a n t e s a , f3, u n n i m e r o f i n i t o m d e sistemas coordenadas

+(r) (I) (I) = (x1 , . . . , x ( r ) ) q u e s o n c o n t i n u a s e n l o s c u b o s ( n - l ) - d i x n s i o n a l e s K 'k

I x(;) I < a , i = l , . . . , n - 1 ,

d e rnazera que

(a) c z i a p u n t o x d e l a f r o n t e r a a R p u e d e e x p r e s a r s e e n a l menos uno d e l o s

s i s t exs c o o r d e n a d o s e n l a forma *

x -+ = ( x +<r> , a r ( x +(r) ) ) n-1 n- 1

( b ) l o s pun tos x ( = (x; ,..., x r > r> (') , x i r ) ) t a l e s q u e n n- 1

Y

O

e s t á n d e n t r o d e R o f u e r a d e R , r e s p e c t i v a m e n t e ;

(c) cada uila d e l a s f u n c i o n e s ar(xn-l *(I I) r = 1,. . . , m s a t i s f a c e n la c o n d i -

c i ó n d e L i p s c h i t z sobre el cubo es dec i r , e x i s t e u n a c o n s t a n t e L

t a l q'e para c u a l e s q u i e r a dos puntos x d e este cubo t enenos que + -+ n-1' J'n-1

3

Una vez que se ha dado l a d e f i n i c i ó n d e f r o n t e r a d e L i p s c h i t z , d e f i x i r e r n o s

l a i n t e g r a l d e s u p e r f i c i e s o b r e a R . Cada una de l a s f u n c i o n e s a ( x' ) t i e n e d e r i v a d a s p a r c i d e s d e r n-1

p r i m e r o r d e n c o n r e s p e c t o a t o d a s l a s v a r i a b l e s x (r) , . . . , X ( r ) rasi e n n-1 '

t o d a s p a r t e s s o b r e e l cubo (n - l ) - d i m e n s i o n a l IC('). E s t a s d e r i v a d a s par"

c ia les s o n m e d i b l e s y e s t á n acotadas por l a c o n s t a n t e L.

L a f r o n t e r a d e L i p s c h i t z 3~ p o s e e n o r m a l ( e x t e r n a ) y cas i en t o d a s

p a r t e s . L a s c o m p o n e n t e s y . . .y d e l v e c t o r u n i t a r i o d e l a n o r m a l e x t e r n a

s o n f u n c i o n e s m e d i b l e s a c o t a d a s s o b r e aR .

-t

1 ' n

* E l h e c h o d e q u e l a s f u n c i o n e s a, t e n g a n d e r i v a d a s p a r c i a l e s a c o t a d a s

de p r i r e r o r d e n casi en todas p a r t e s p e r m i t e d e f i n i r e n f o r m a senc i l la

l a i n t e g r a l d e s u p e r f i c i e sobre a R . Así q u e , c o n s i d e r e m o s e l r-ésimo

d e l o s sistemas d e c o o r d e n a d a s c o n s i d e r a d o j u n t o c o n e l c o r r e s p o n d i e n t e

cubo (n-1) -d imens iona l K ( r ) . E l e l e m e n t o d e s u p e r f i c i e dS s o b r e e l e le

z z n t o dx 1 ( r ) . . . dx (r) es n- 1

Sea u(s) = . I

An-1' ar(xn-1 +('I)) u n a f u n c i ó n m e d i b l e d e f i n i d a s o b r e

2R (r), m e d i b l e sobre K"), 2 e f i n i m o s

es f i n i t a , d e c i r n o s q u e l a f u n c i ó n u ( S ) es c u a d r a d o i n t e g r a b l e ( e n e l s e n t i -

do d e L e 3 e s g u e ) s o b r e S i u ( S ) es c u a d r a d o i n t e g r a b l e p a r a

r = 1, . . . , m ; dec i rnos que es c u a d r a d o i n t e g r a b l e s o b r e l a f r m . t e r a

3Q *

No p o d e n o s d e f i n i r l a i n t e g r a l J u( S) d S como l a Suma d e l a s i n t e - an

)d S , 1 5 r S m, p u e s t o q u e a l g u n a s p a r t e s d e l a f r o n t e r a

e s t á n d e s c r i t a s por más d e u n sistema d e c o o r d e n a d a s . A f i n d e e v i t a r

t a l d i f i c u l t a d , sea V r ( l 5 r 5 m) e l c o n j u n t o d e t o d o s a q u e l l o s p u k t o s

t a l e s que

De zodo q u e , V es una 6-vecindad de l a p a r t e d e l a f r o n t e r a s i t u a d a r

s o b r e K"). S e c e s i t a m o s e l r e s u l t a d o s i g u i e n t e :

- ~ I T e o r e s a ( P a r t i c i ó n d e l a u n i d a d ) I

i=l y S = 1 e n a l g u n a v e c i n d a d K. Haciendo k = m y wi = V . t enemos que

1

se cumple pa ra t odo pun to x e n 3.Q .

E n t o n c e s se t i e n e q u e m 1 ur( S) = u(S) sobre afi .

r=l

Ahora ya podemos d e f i n i r

Si d e f i n i m o s , p a r a l a s f u n c i o n e s u ( S ) , v ( S ) c u a d r a d o integrables

s o b r e l a f r o n t e r a an, e l p r o d u c t o i n t e r n o , l a norma y l a m i t r i c a por

o b t e n e m s u n e s p a c i o d e H i l b e n t I que deno ta remos L > ( a Q ) .

Suestro o b j e t i v o s i g u i e n t e es f u n d m e n t a r l a s i d e n t i d a d e s d e Green

k en Hz (9 ) . k n t e s debenos e s t a b l e c e r e l

"I__ - - ~

Teorerza de l a t r aza :

Sea 12 u n d o m i n i o c o n f r o n t e r a d e L i p s c h i t z . E n t o n c e s e x i s t e un Ú n i c o

t a l que

s i u ( x ) está e n C;43(m T U ( X ) = u(S) ,

I

I

donde u(S) es l a f e s t r i c c i ó n d e u a aQ.

S i u e s t á e n H i ( R ) , u a s í como s u s d e r i v a d a s g e n e r a l i z a d a s - .. perte- a XD

a U

necen a Hl'(n ) . En c o c s l c u e n c i a , no s ó l o u - s i n o t a m b i e n e s t a s i k r i v a d a s

p a r c i a l e s t i e n e n t r a z a s s o b r e aR . En g e n e r a l , s i u e s t á e n H,(E), l a s

d e r i v a d a s D u e s t á n e n H f ( R ) p a r a t o d o í n d i c e i = ( il , . . . , in) tal q u e

I S k - 1 ; as í q u e , a c a d a u n a d e esas d e r i v a d a s se l e s p u e d e a s o c i a r

k

i

u n a t r a z a .

Sean u y v e n H f ( C ' ; , se r e q u i e r e p r o b a r q u e

(A.4.22)

6

donde n . es l a j - é s ina camponen te de l a n o r n a l a aR. 3

Dado q u e C (Q) es d e n s o e n H ~ ( Q ) , e x i s t m { un) y { vn) en C P ' ( Q ) , co-

tales que

(A.4.23)

y aCezás

Diun + Diu y Divn -+ Div (A.4.24)

donde 1 i I l . Por l a i f e n t i d a d d e G r e e n I e n C' ( Q ) t enemos que

y h a c i e n d o t e n d e r n a = , obtenemos (A.4.22).

C4.4.25)

Un r e s u l t a d o zás e n e l e s p a c i o d e S o b o l e v d e o r d e n k:

.~

Teorema de encajaniento de Sobolev

Sea R un dominio con frontera de Lipscitz en un espacio euclSdiano de 4

dimensión n , sea 2k > n. Entonces

Por e l teorema d e l a t r a z a , a cada U en H ( Q ) l e corresponde una función

u ( S ) en L (an ). La proposición recíporca no es c i e r t a . S i n e m b q o , l a s

t r azas de funciones pertenecientes a H (Q) son densas en L ( Q ). A l es-

pacio d e t razas d e l a s funciones pertenecientes a H;(~Q) l o denotamos

1

2

1 2

pot H (l"'p)( X? ). E l operador T si es suprayectivo sobre este ult imo P

espacio. En par t icu lar , e l espac io de t razas d e H (Q ) e s H f i 2 m) y de- l 2

notanos T por Y cuya continuidad implica que O *

y adenás tienen la importante propiedad de que

. .

A .j DE NUEVO Ei E%WLO CLASICO

D e f i n i c i ó n :

g(0) es l a c e r r a d u r a d e C t ( R ) e n 8(Q) c o n l a norma

En e l caso c o n s i d e r a d o ( R t i e n e f r o n t e r a d e L i p s c h i t z ) se t i e n e que

H ~ ( Q > = { V e n H ~ ( R ) I D O

( i ) v = O s o b r e Xl e n e l s e n t i d o d e t razas *

lil 5 n - 1)

O b s é r v e s e q u e

(A.5 . l )

1 y p u e s t o q u e c(Q) es H -denso en Hl(Q) p o r d e f i n i c i ó n , c o n capor r a z ó n

10 será c ~ ( R ) . O

Cono y a se d i j o , l a f u n c i ó n f puede estar e n L ’ ( R ) y a s í SS c o n s i -

d e r a r á d e ahora e n a d e l a n t e (si. e n p a r t i c u l a r f es tá e n C(Q) , e n t o n c e s

f es tá e n L’(Q)) . I

-hu = f en R , f e n L’(R) (X.5.3)

e q u i v a l e a resolver

I

(A.5.4)

S i n embargo, a f i n d e q u e (A. 5.4) t e n g a s e n t i d o b a s t a s u p n e r q u e

u p e r t e n e z c a a Hi(n) y f esté e n L’(G). Por t a n t o , d e f i n a m o s ( s n p r i m i e n -

d o e l dominio SI e n l a n o t a c i ó n )

de e r . e r g í a es

De nodo q u e ,

&,a) = [ u , 91 (A.5.8) I

donde [ , ] es e l p r o d u c t o d e e n e r g í a ( q u e i n d u c e l a n o r m (A5.7)) . e n

l n s e c u e n c i a ,

( A . 5 . 9 )

.

Por c o n s i g u i e n t e , e l f u n c i o n a l (A.5.10) p u e d e e x t e n d e r s e ( p o r e l teore-

ma d e Hahn-Banach) a u n f u n c i o n a l

v c-, B(u, v ) (AS. 11)

d e f i n i d o s o b r e HA( sl>

En r e a l i d a d , e l f u n c i o n a l (A.5.11) p u d o d e f i n i r s e m e d i a n t e l a d e n s i d a d

d e Cw( Q ) e n H L i R ). E s d e c i r , d a d o v e n H’(R ) e x i s t e u n a s u c e s i ó n { v 1 O O n

e n Cy( O ) t a l q u e vn* Y e l a norma (k5.7). Por t a n t o , ( A S . 11) pudo de f i -

n i r s e como

*

(A.5.12)

En fo rma aná loga , e l f u n c i o n a l (456) p u e d e e x t e n d e r s e a

F(V) = I v f , v e n H~(Q) (A.5.13) R

\ Concluyendo, es p o s i b l e r e f o r n u l a r e l problema (A.5.4) como e l d e

e n c o n t r a r u e n H’(R) t a l q u e O

B(u, v ) = F( v ) para’ t o d a v e n H i ( R ) (X.5.14)

donde

está d e f i n i d o por

(A.5.15)

y e l f u n c i o n a l

como

F ( v ) = J v f . R

Ahora i n t e r p r e t a n o s e l p r o b l e m a d e e n c o n t r a r u e n Hi(n1 t a l q u e

(.4.5.14) se c u m p l a e n t é r m i n o s d e e s p a c i o s d u a l e s .

es u n n a p e o d e f i n i d o p o r

La f u n c i ó n f e n L'(R) d e f i n e o t ro f u n c i o n a l d a d o por

- < f , v > = S*Vf

En c o n s e c u e n c i a , (A.5.14) se puede reescr ib i r e n l a f o r n a

d e donde se s i g u e que

- -Au = f

(A.5.17)

p a r a t o d a v e n Hk(O) (A5.18)

Así que , e l problema (A.5.14) se t r a n s f o r i r ó en e l d e e n c o n t r a r U e n

H k ( '2) d e t a l manera que l a imagen de - h q u e es e l d e f u n c i o n a l - A u

c o i n c i d a con f . S i n e m b a r g o , f es tá e n e l espacio H-' (n) que conrr iene a

L2 (Q ) e l c u a l se p u e d e i d e n t i f i c a r c o n - L (Q):

- -

"

2

z

Como f es tá e n La (9) , deseamos que f es té también e n L ' (Q) . Esto . -

se l o g r a r e s t r i n g i e n d o - A a l s u b e s p a c i o

Def

e l

iniendo

problema

- 1 i 1.

- * = --b , h y - i , a-)

(A.5.19) se transforma en el encontrar u en H ’ ( - O *

- A U = f en st)

4

1

- I

( A S .20)

(A-5.21)

*

A.6 ESPACIOS RELACIONADOS CON LOS OPERADORES DIVERGELCIA Y GBDIENTE

. Seguiremos trabajando con u n subconjunto acotado R de If con fron-

t e r a de Lipschi tz a.

Sea v. = ( V I , .. . , v n ) , v: R+Bn e n donde las funciones v ma r ea l e s . i

Definimos e l operador divergencia por:

n - ~.

d i v v = C (avi/axi) i=l

Introduzcamos l o s espac ios s igu ien te s d e funciones l i b r e s d e diver-

gencia:

e l exponente n indica e l producto car tes iano del espacio n reces. Ade-

más también debemos considerar

v = { v e n H (n) 1 d i v v = O}. I n O

-

A q u í , e l espacio H'(R ) posee l a seminorma O

Enseguida enunciaDos e l teoreaa d e Poincaré:

Teoreza A.6.1. S i R e s conexo y acotado, entonces para cada entero m 2 O ,

ex i s t e una constante K = K ( m , Q ) > O t a l q u e

llvll, Klv l m para toda v e n $(O).

Dado que siempre tenemos l a desigualdad,

resu l ta que l a s normas 1 11, Y I. I, son equivalja-s sobre Hm ( Q ) y e n

par t icu lar e n H' ( Q ) q u e es e l caso interés aquí-. For t an to , l a s normas

O

O

Ahora, V también es l a c e r r a d u r a d e en H' (Q ) " y por e l l o V es s e O

cerrado en H I ( Q)". Así q u e O

H,'(Q) = V 8 VI d

donde VI denota e l subespacio ortogonal a V e n H1 (Q)* con respecto a l

producto escalar O

~ - k k

-

[ u , v ] = (grad u,grad v) = C ID UD v Ikl=l

asociado con I I Lema A.6.2. S i f e n H-l(Q)n s a t i s f a c e

1'

< f , v > = o para toda v e n V

2 entonces existe p en L (n) t a l q u e

f = grad p.

Cuanb 0 es conexo, p es única excepto por una cons tan te ad i t iva .

Antes d e poder demostrar este resul tado, debemos def i i i i r e l gradien-

t e de una distribución. Sea p una d is t r ibuc ión sobre '2 . Ahora, para

cada y en C;(L?)"

donde aplicamos una identidad de Green. Esto motiva la definición si-

guiente:

~ . -

l a segunda igualdad e s por l a def in ic ión de"aer-ii;ada d e una d i s t r i b u -

ción. Obsérvese que si Y está e n C ( Q ) " , d i v y pertenece a q(Q) J por -

W

O

tanto <p,div Y> está bien definido. En consecuencia, e l gradiente d e

una dis t r ibución es o t r a d i s t r ibuc ión .

Ahora si empezamos l a demostración. Dado q u e sólo consideramos p

2 en L ( Q ) , y Y debe pertenecer a HA (n)", e l mapeo

p + - grad p

es tá def in ido en t re l o s espacios

L2(Q) + H-l(QIn.

Así que, - g r a d pertenece a L (L 2 ( n) ,H-'(G! )") y e l operador ad junto es

d i v ( e s to es consecuencia d e l a d e f i n i c i ó n de grad como d is t r ibuc ión

en H' ( Q ) " ) que pertenece a L(H'(Q)",L2(n)). E l subespacio R(-grad) es

cerrado. De modo q u e pcdemos a p l i c a r e l teoreu!a de l rango cerrado d e

Banach, y a s í

O O

R (-grad) = k e r ( d i v ) l

que es la afirmación del teorema.

Coa0 ya se había mencionado,

div(grad v ) = Av, (A.6.1)

de nodo q u e

L2(R) grad -1 + H (SI)" z HI(Q)" O L*(Q). -

Si restringimos p a H' (Q) , O

HA(?) -+ H-'(Q)" = H1(fl) -+ H-'(SI) O

d e f i n i d o p o r

< - b ü , v > = ( - d i v ( g r a d u ) , v )

= ( g r a d u , g r a d v).

Ahora s i c o n s i d e r a m o s u y v e n H'(Q) , n O

= - 2 < A u i , v . > , i=l 1

de manera que podemos d e f i n i r

<-Au,v> = ( g r a d u , g r a d v )

y a h o r a - A es un f u n c i o n a l

- A :H:(R)" H;'(Q)".

Definición. Sea (-A)- 'f en L(H-l(Q)n,HA (0)") e l o p e r a d o r d e Grem r e l a -

c ionado con e l problema honogéneo d e D i r i c h l e t p a r a - A e n R , es d e c i r , n

-

u = (-h)-'f si y s ó l o si u es s o l u c i ó n d e -Au = f e n R , u = O s o b r e

m . C o r o l a r i o A.6.3.

Denos t rac ión . Sea v ' p e r t e n e c i e n t e a l l a d o d e r e c h o d e (k.6.2); esto sig-

n i f i c a que v * e s t á e n Hi(R) y grad q = -Av: Debenos p r o b a r qne [ v : v ]

= O para toda v e n V = k e r ( d i v ) . S i n e m b a r g o ,

n

[vi.] = (grad v :grad v )

= (-Av:v)

= < g r a d q , v >

= <q,- d i v v> = O.

For o t r a p a r t e , sea u e n V y considereaas-ielJünciona1 1 d e f i n i d o - -7. . "

sobre ~ ' ( n ) * por - .

O

< l , v > = ( g r a d u , g r a d v )

= v u V V I

= 1 [Ui 'Vi ] .

i n i= 1

P o r d e f i n i c i ó n 1 p e r t e n e c e a H" (Sly? S i v está e n V , esta s i g n i f i -

ca que (g rad ui , g r a d v i ) es cero ( p u e s u es tá en VI ) , d e d o n d e i

( g r a d u , g r a d v ) tarobién e s cero y por t a n t o 1 se a n u l a sobre V. En conse -

c u e n c i a , p o r e l lema A.6.2, e x i s t e p e n L (Q) t a l que - " ..

2

¿ l , v > = ( g r a d u , g r a d v )

= < g r a d p,v> p a r a t o d a v en H,(Q) 1 n . P e r o ,

= <-Au,v>.

Así que,

que es e q u i v a l e n t e a

-Au = g r a d p ,

u = (-A) g r a d p . -1

In d i v ( v ) = O p a r a t o d a v en (Q)".

2 E s t o s i g n i f i c a q u e e l r a n g o d e d i v d e b e ser u n s u b e s p a c i o . d e L (Q" p u e s

este e s p a c i o se d e f i n e como e l s u b c o n j u n t o d e a q u e l l a s f u n c i o n e s f t a l e s

que I, f < m Denotaremos este s u b e s p a c i o por

2 La u t i l i d a d d e L,(R) p r o v i e n e d e q u e - ". -.- - " . . - .

2 2 Por 10 que L,(Q) p u e d e i d e n t i f i c a r s e i s o s é t r i c a n e n t e c o n L (SI)/%. O

C o r o l a r i o A . 6 . 4 . Sea R c o n e x o . E n t o n c e s

1. E l ope rador g rad e s un i s o m o r f i s m o d e Lo(R) s o b r e V . . I

2 O

2 2. E l o p e r a d o r d i v es un i somor f i smo d e VL s o b r e b(Q).

Demostración. 1. P u e s t o que e l g r a d i e n t e de d o s f u n c i o n e s que d i f i e r e n

po r una c o n s t a n t e es e l m i s n o , e l d o m i n i o d e g r a d d e b e ser Lo@). Ahora, "

2

por e l lema A.6.2, R(-grad) = V . Más a ú n , e l mismo lema a s e g u r a O

g r a d es s o b r e e i n y e c t i v o p u e s e l e l e m e n t o p e n L (SI) t a l q u e - grad p

para f en V es Ú n i c o e x c e p t o p o r u n a c o n s t a n t e . En c o n s e c u e n c i a ,

2

O

2 O e l teorema d e Banach , g rad es u n i s o m o r f i s m o e n t r e Lo(SI) y V . 2. Dado q u e d i v es e l o p e r a d o r d u a l d e - g r a d , t e n e m o s q a e d i v es

un i somorf i smo de ( V ) ' s o b r e L, (R) ' . Con t a l f i n , } t a s t a p r o b a r q u e po- O 2

demos i d e n t i f i c a r V c o n ( V ) ' . Sea g c u a l q u i e r e l e n e n t o d e (VI)' y

extendamos g a HA(Q)" h a c i e n d o

O .I

< g , v > = < g , v I > p a r a t o d a v e n H ' ( R ) * O

e n donde d d e n o t a l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e v s o b r e Vl. E s c l a r o q u e

O 1 o g p e r t e n e c e a v y e l Enapeo l i - l e a l g + i d e n t i f i c a a (V 1' c o n v . Lena A.6.5 Sea R c o n e x o . P a r a cada g e n €$I2 (an ) " q u e s a t i s f a c e I, g * n

d i v u = O e n y u = g s o b r e 20.

Demostración. Debido a q u e e l o p e r a d o r vc ent re H1( SI)" y H1'2 (an )" es

c o n t i n u o y s o b r e , existe a l menos una func ión w e n H ( SI)" t a l que u. w

= g, es d e c i r , w = g s o b r e 252. De n u e v o p o r l a f ó r m u l a d e Green ( G - 4 ) ,

1

con u = 1, tenemos que

"A - "" - _ - i

es to s ign i f i ca que d i v w pertenece a L, (R) y a s í por la segun& par te

del corolario A.6.4 , ex i s t e una única función v en V tal que

2 o

d i v v = d i v w.

Ahora, haciendo u = w - v , tenemos que

pues v = o sobre XI.

.) A.7 CALCULOS REALIZADOS POR LA SUBRUTINA LOAD.

A l deter-minar e l vector 6 , cuando NTLP = 2 , e l vector de c a r p t i e n e

l a forma

I

Expresando e l vector v e n tgrminos de l a base

obtenemos

(5, -1 (5, 1 " J j=1 , N N'+j J = ~ , N

N N v = c '3 Gj + c '3 $N'+j.

j=l j=l ( A . 7 .2)

(Obsérvese que sólo nos interesan los valores d e v en e l i n t e r i o r d e l domi-

nio pues

(k = 1 , .

Y

en la f rontera se conoce.) Sust i tuyendo (A.7.2) y z = J, -b

k

.., N ó k = N' + 1, ..., K' + N ) , obtenemos que

(A.7 -3)

( A . 7 .4)

Debemos recordar que ( A . 7 .l) e s e l l a d o derecho de l a ecuación

v S, vu - v i - S, p v * z = - S, [(u*V)u]-i, (11.7 - 5 )

cupo lado izquierdo, a l s u s t i t u i r z = 9 s e t r a n s f o r m - e n l o s t r e s pr ine- -*

k' m.-"- >. " .

ros b l o q u e s s u p e r i o r e s d e l a m a t r i z q u e a p a r e c e e n (3.1.13): Asi que, l a s

ecuacio;-ies ( A . 7 .3) forman e l v e c t o r d e carga c o r r e s p o n d i e n t e a a . En

forma m l l o g a , l a s e c u a c i o n e s ( A . 7 .4) s o n e l v e c t o r d e c a r g a a s o c i a d o

j

a l a s segundas componentes v d e l v e c t o r v e l o c i d a d . j

E l p r o c e d i m i e n t o q u e c a l c u l a l a s c o n t r i b u c i o n e s d e ( A . 7 .1) a GF es ~ "___

e l s i g u i e n t e . A n t e s d e llamar a LOAD d e b e m o s b u s c a r , para c a d a pareja d e

nodos i y j c o n s i d e r a d a (1 i N Q , i - N H B W j i + NHBW) y para c a d a

e l e m e n t o N, l o s nodos L (1 S L 4 NQ) q u e t a m b i é n p e r t e n e c e n a N y por t a n t o

s o n v e c i n o s d e i y j p u e s só lo t e r n a s d e n o d o s q u e s o n v e c i n o s d a r á n al-

g u n a c o n t r i b u c i ó n a GF. E s t a c o n t r i b u c i ó n se a s i g n a a l L-ésiEo l u g a r GF

e n s u primera ( s e g u n d a ) c o l u m n a s i c o n s i d e r a n o s l a ec. A . 7 - 3 (A.7. 4).

Lcs c á l c u l o s a l d e t e r m i n a r q , cuando NIIP = 3 , s o n más c o z p f i c a d o s

p u e s e l v e c t o r d e c a r g a t i e n e l a f o r m

S u s t i t u y e n d o e n ( A . 7 -6 ) l as e x p r e s i o n e s

ob tene -os ( sup r imiendo l a s i n t e g r a l e s )

( A . 7 - 8 )

-.- - . .. . - .

y si ahora e n ’ ( A . 7 .7) consideramos Z = GtN, (k = 1, ..., N) obteríezos

Cuando NTIP = 4 y calculamos V , e l vector de carga es

(A.7 .9>

que t i ene l a misma forma que e l vec tor d e carga d e 5 . Por e l l o s610 nece-

si tamos realizar las reasignaciones adecuadas y aprovechar l o s cálculos

d e NTIP = 2.

-

A f i n d e ca lcu lar B , cuando ?;TIP = 5 , debemos considerar el vector

d e carga

Los dos sunandos tienen la m i s m a forma que (A. 7 -1). Por e l l t , después

d e r ea l i za r las reasignaciones adecuadas uti l izamos de nuevo l o s c á l c u l o s

d e NTfP = 2.

" .-

A.8 CALCULOS REALIZADOS P O R LA SL'SRUTINA BOUND n

Consideremos e l s i s t e n a d e e c u a c i o n e s d a d o e n (3.1.13). Los e k z e n t o s

q u e a p a r e c e n e n l a p a r t e s u p e r i o r d e l v e c t o r d e carga se h a n escrito e n

l a f o r m

- v[vJli-vJl . lu. = - v [ V I p * . ] f J J J J

donde f., j = N+l, ..., N' son l o s p r i m e r o s c o m p o n e n t e s d e l v e c t o r v e l o c i d a d

e n l o s n o d o s s i t u a d o s e n l a f r o n t e r a . E l í n d i c e i q u e d e n o t a el número

d e e c u a c i o n e s c o n s i d e r a d a s v a r í a e n t r e 1 y NQ.

3

Consideremos l a i-ésima. E s c la ro que sólo t e n d r á n a l g u n a c o n t r i b u c i ó n

a l i - é s imo r eng lón l o s n o d o s d e l a f r o n t e r a j q u e s o n v e c i n o s d e i. E s t o

es p r e c i s a m e n t e l a tarea d e BOUh% : Cuando I = J , p a r a e l e l e s e n t o N c o n s i -

- -

d e r a d o e n ese momento , busca t odos l o s e l e m e n t o s d e l a f r o n t e r a q u e s o n

v e c i n o s d e l n o d o I a t r a v é s d e l e l e c e n t o N. D e s p u é s d e c a l c u l a r la c o n t r i -

b u c i ó n se l e a s i g n a a l I-Esimo l u g a r d e l a p r i m e r a c o l ~ n a d e l a r r e g l o

GF. En f o r n a a n G l o g a , c a l c u l a l a s c o n t r i b u c i o n e s p a r a l o s c o z p o n e n t e s d e l

v e c t o r d e c a r g a q u e t i e n e n l a forma

-u[ V$,-VIL .]v = -v[ v$í'v* . ]S J J J J (A.8 - 2 )

donde g j = N+1, ..., N' s o n l o s s e g u n d o s c o m p o n e n t e s d e l v e c t o r v e l o c i d a d J'

e n l o s nodos de l a f r o n t e r a . Asimismo, 1 5 i 5 NQ. E s t a s c o n t r i b u c i o n e s

l a s a s i g n a t a m b i é n e n e l I-ésino l u g a r p e r o d e l a s e g u n d a c o l u a d e l arre- -.

g l o GF.

A . 9 EUACIONES DISCRETIZADAS DEL PROBLDU DE RXVIER-STOKES -

p-”-;” : ’ : P . I . -

;’ , ‘. ‘ L 2

i .._ I - . ~- I * - ; ..;), . ,” . ” .I . - I

- . . J : , - I . , -

Recordemos que e n l a f o r m u l a c i ó n v a r i a c i o n a l (1.4.17) d d problem . m :

G ’ .T. I‘

de Kav ie r -S tokes debe rnos encon t ra r una func ión - h en H’(Q)’ t a l qne I .

. . . I -

,; !

”

a

. t; _ . ” -. . - . S - ;i< 2

.’ . _ _ . .

v SQV-u-V z + I , [ @o> u] z - S, p V. 2 = O en R p a r a t o d a 2 e n Hi( ‘2)’ ( A .9 . i)

J V U = O e n R p a r a t o d a vFen Li(R) , z t -

(A.9. 2 ) 9

Por s u p u e s t o , e n (A.9.1 ) , v = u . La r a z ó n d e i n c l u i r ? h o r a t a l v a r i a -

b l e v se verá c laro un poco-más ade lan te . -

Así p u e s , c o n s i d e r e m o s un s u b e s p a c i o d e d i m e n s i ó n X d e H’(R )’ y un O

s u b e s p a c i o d e d i m e n s i ó n M d e L? /n). S e a n O

+ I N j=l

s u s b a s e s r e s p e c t i v a s ( d e f i n i d a s e n l a s e c c i 6 n 3.1), d o n d e N’ es e l núne ro

t o t a l d e n c d o s ( c u a d r á t i c o s ) d e l d o m i n i o N e l número t o t a l d e l t i p o a x t e -

rior q u e se e n c u e n t r s n d e n t r o d e l d c i n i o y M es e l n h e r o te ta1 :? n d o s

l igezles i n t e r i o r n s .

J

Sean en tonces l a s f u n c i o n e s u , v y p d e f i n i d a g . p o r

_ . .

donde e l v e c t o r uk = (*, . . . , $-) c m t i e n e l a s -cmpwnt&(k=l o 2) del vec-

tor v e l o c i d a d e n led-nodos i n t e r i o r e s y f =(fN+l,...,fNl) s o n los compo-

n e n t e s (m=l o 2) d e l v e c t o r v e l o c i d a d e n los N'-N nodos d e l a f m n t e r a .

En form a n á l o g a , d e f i n i m o s

m

Asimisno, p será e l v e c t o r q u e a p r o x i m a r á l o s v a l o r e s d e las p r e s i o -

n e s

N j=1

P = 1 Pk Q, (A.9. 6 )

Recordando l o s c á l c u l o s r e a l i z a d o s en A.9.7), a l s u s t i t u i r ( A . 4 , 5 , 6 . )

e n ( A . 1 , 2 ) o b t e n e m o s

c a f

C"" 7

i I e k f

r x "

<. < n

rr ti c . *

n €

W X f

I-LX

L. f

P f -

t

z f

+ 7-

I

+ +

%

< r* Y

-2 rr Y e

x f

L Y f

X Y

LA. f f

C Z Y . . ..- Y

C C C U U

u U

5 8

I

f

I

P f P - x ?r 8 . " CIY

k e .

7

I . 'e: k L. x f

x 'D I- v .

- u 1 C I"

0

I c

a P- f

f a

L. 2 + z

m c F u

m "

c

I I

O0 c(

Y

c-. O0 rt - c

P-Y E E f

P-U f

L L b . + -.". +

-z 2 f

i E

z + .

n i z > f f z +

r .A

m -.- u

.. - ." - - .

A.10 RESOLUCION DE LAS ECUACIOSES DE SAVIER-STOKES n

FEDIANTE APROXIM.4CIOSES SUCFSIVAS

- 4

En este método b u s c m o s u n p u n t o f i j o d e l a s e c u a c i o n e s (A.9-/.4 .. : d e l a m a n e r a s i g u i e n t e : d a d o v e n V, d e f i n i n o s u = T(v) como l a s o l u c i ó n

d e (A.9,1,2:) " -a A - . ".

En l a s e c c i ó n 1.3 probamos que t a l punto f i j o e x i s t e . E l a Z g o r i t m o

se d e s c r i b e a c o n t i n u a c i ó n . Sea

uo arbitrario (A. m. 1)

e n t o n c e s p a r a n I O, con u c o n o c i d o , c a l c u l a m o s u n+1/2, pn+l amo l a s n

s o l u c i o n e s d e (A.9.1,2) con v = U , U = u n n+1/2 n+l . Y P = P -

V. u = O en R n+1/2

n+1/2 U = g e n 3R

n+l Luego def in imos U = g p o r

n+ 1 U - - wu n+1/2+ ( l 4 ) U "

( A .IO. 2)

( A 30.3)

( A -10.4)

(A.10 * 5)

La e l e c c i ó n d e l p a r á z e t r o d e r e l a j a c i ó n w t i e n e l a f i n a l i d a d de a c e l e -

rar l a c o n v e r g e n c i a por l o cual d e b e 'cumplir q u e O < W < 1..

La i m p l m e n t a c i ó n d e l a l g o r i t , n o (A.1.5) se a p o y a e n l a r e s o l u c i ó n d e l

p r o b l e m d e t i p o S t o k e s (A.2.4 ), donde e l o p e r a d o r

N u " ) = (-vv + un.v) ( A J O .6) .-

L a x - X i l g r a m g a r a n t i z a l a e x i s t e n c i a d e l a s o l u c i ó n u n t l P 2 de (k’10.2,4)

s i n i z p o r t a r los v a l o r e s d e u y V. n

El a l g o r i t m o p a r a el p r o b l e m d e t i p o S t o k e s es e l s i g u i e n t e . Sea “

p n t l , O a r b i t r a r i o (A10. 7 )

e n t o n c e s p a r a S 2 O, c o n p c o n o c i d o c a l c u l a m o s u nt1/2*s de n a n e r a n t l , S

q u e s a t i s f a g a

v s*vu nt1’2ss vz + J,[ (u” V)u n+1/2 * S n+l * s J - z = Q 0-2 en II ( A 1 0 . 8 )

n t 1 / 2 , S U = g e n a i l ( P J O . 9 )

d e f i n i 2 o s l u e g o

-

P n t l , s+l n+1,2 n+1/2 . S

= P - pv* u ( A . 10.10)

y regresamos a ( A . l O . 8 ) .

El p a r á i i e t r o p se escoge de a a n e r a q u e O < p < 2 v.

Con e l p r o p ó s i t o ¿e e s c r i b i r e l sistema d e e c u a c i o n e s q u e resul ta

d e (A,10.8,9) e n l a e c u a c i ó n (A.9.7) d e b e m s h a c e r ( c a r r b i a n d o e l

s u p e r í n d i c e i(i = 1 , 2 ) ¿e u y v a s u b i n d i c e ) , i i

donde gl(g2) es e l v e c t o r d e l a s p r i m e r a s ( s e g u n d a s ) c o z p o n e n t e s d e

U n+1’2* e n l a . f r o n t e r a , veáse e c u a c i ó n (AJO. 9 1. ‘como e l vector u n tan-

b i e n d e b e s a t i s f a c e r (Am. 9 ), s u s coroponentTGc_ep> f r o n t e r a se quedan

i g u a l e n l a s e c u a c i o n e s ( A . 9,8, 9). D e f i n i e n d o - e l l a d o d e r e c h o d e la

e c u a c i ó n A.9.7 ( ~ . 9 . 8 ) CODO b( c ) y o b s e r v a n d o q u e

_ . . .

n” r í 4 -Y:

.) .

y denotando l a matriz d e l lado derecho por

Y

tenemos que l a matriz que resul ta de l a ecuación (A-10.8 ) es

el vector d e carga es

i: + Jli @k pL+l 1 X

y por s u p u e s t o e l vector d e incogni tas es

I -;ni112 1

+n+1/2 u2

!

n h e r o d e in te rac ión d e l proceso (k.10.7, lO). h. ~

.-." .

O b z é r v e s e q u e e n c ier ta forma, l a e c u a c i ó n (A . lO . 10) desempeña

el pape l de la e c u a c i ó n (A.9.9.3-:: ’ ,. .- I

~.

. ,

Comparando e l p r o c e s o d e r e s o l u c i ó n d e las e c u a c i o n e s d e X ’ a t i e r - S t o k e s

minimizando e l f u n c i o n a l J d e l a e c u a c i ó n 2.2.8, c o n el d e a p r m i m a c i o n e s

s u c e s i v a s , o b s e r v a m o s q u e este p r e s e n t a u n a matriz (A.IO.13) que cambia’ - -” - __

c o n cada i t e r a c i ó n a l c o n t r a r i o d e l o q u e s u c e d e c o n l a matriz d e l p r i m e r

método expuesto. Además, los r e s u l t a d o s p r á c t i c o s o b t e n i d o s i x i i c a n q u e

a l o p t a r p o r l a m i n i m i z a c i ó n d e l f u n c i o n a l , l a c o n v e r g e n c i a es más r á p i d a .

B I B L I O G R A F I A . - .

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