Sol Taller 3
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UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS E INFORM ´ ATICA INGENIER ´ IA DE SISTEMAS E INFORM ´ ATICA Solucionario del Taller N o 3 de Algebra Lineal Prof. Pascual Ferm´ ın Onofre Mayta. Ciclo Acad´ emico: 2009-II 1. (a) Sean las matrices A 1 = a b c d , A 2 = a 0 b 0 c 0 d 0 ∈ R 2×2 y α ∈ R. (i) Debemos probar que T (A 1 + A 2 )= T (A 1 )+ T (A 2 ). En efecto, T (A 1 + A 2 ) = T a + a 0 b + b 0 c + c 0 d + d 0 = a + a 0 d + d 0 0 a + a 0 = a d 0 a + a 0 d 0 0 a 0 = T (A 1 )+ T (A 2 ) (ii) Debemos probar que T (αA 1 )= αT (A 1 ) En efecto, T (αA 1 ) = T αa αb αc αd = αa αd 0 αa = α a d 0 a = αT (A 1 ) (b) Sean las matrices A 1 = 0 2 3 0 , A 2 = 0 4 0 0 , y A 3 = 0 1 1 0 . Como T (A 1 )= 0 0 0 0 , T (A 2 )= 0 0 0 0 y T (A 3 )= 0 0 0 0 es claro ver que A 1 ,A 2 y A 3 pertenecen al n´ ucleo de T . (c) Los vectores de la imagen de T son matrices de la forma T (A)= a d 0 a , donde a, d ∈ R. La ´ unica matriz que se encuentra en la imagen de T es A 2 . 2. Considere los vectores u = (1, 2) y v = (1, -1) , entonces T (u + v)= T (2, 1) = ((2 · 1, 2 + 1)) = (2, 3) Adem´ as, T (u)+ T (v) = T (1, 2) + T (1, -1) = (2, 3) + (-1, 0) = (1, 3) As´ ı, T (u + v) 6= T (u)+ T (v) 3. Es claro ver que los vectores v 1 = (1, 1) y v 2 = (1, 2) forman una base de R 2 . Luego, para cualquier vec- tor (a, b) ∈ R 2 , existen escalares α y β tales que (a, b)= αv 1 + βv 2 (3.1) Luego (3.1) es equivalente a α + β = a α +2β = b (3.2) Resolviendo (3.2) tenemos que α = b - a , β =2a - b (3.3) Aplicando T en (3.1) y usando el hecho de que T es una transformaci´ on lineal se tiene T (a, b) = T (αv 1 + βv 2 ) = T (αv 1 )+ T (βv 2 ) i.e., T (a, b)= αT (v 1 )+ βT (v 2 ) (3.4) Seg´ un la hip´ otesis del problema T (v 1 ) = (1, 2, -1) y T (v 2 ) = (3, 0, 4) (3.5) Reemplazando (3.3) y (3.5) en (3.4), obtenemos que T (a, b) = (2b - a, 4a - 2b, 5b - 6a) 1
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UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS EINFORMATICA
INGENIERIA DE SISTEMAS EINFORMATICA
Solucionario del Taller No 3 de Algebra Lineal
Prof. Pascual Fermn Onofre Mayta.Ciclo Academico: 2009-II
1. (a) Sean las matrices
A1 =[a bc d
], A2 =
[a b
c d
] R22
y R.(i) Debemos probar queT (A1 +A2) = T (A1) + T (A2).En efecto,
T (A1 +A2) = T([
a+ a b+ b
c+ c d+ d
])=
[a+ a d+ d
0 a+ a
]=
[a d0 a
]+[a d
0 a
]= T (A1) + T (A2)
(ii) Debemos probar queT (A1) = T (A1)En efecto,
T (A1) = T([
a bc d
])=
[a d0 a
]=
[a d0 a
]= T (A1)
(b) Sean las matrices
A1 =[
0 23 0
], A2 =
[0 40 0
],
y A3 =[
0 11 0
].
Como T (A1) =[
0 00 0
],
T (A2) =[
0 00 0
]y T (A3) =
[0 00 0
]es claro ver que A1, A2 y A3 pertenecen alnucleo de T .
(c) Los vectores de la imagen de T son matrices
de la forma T (A) =[a d0 a
], donde a, d R.
La unica matriz que se encuentra en la imagende T es A2.
2. Considere los vectores
u = (1, 2) y v = (1,1) ,
entonces
T (u+ v) = T (2, 1) = ((2 1, 2 + 1)) = (2, 3)
Ademas,
T (u) + T (v) = T (1, 2) + T (1,1)= (2, 3) + (1, 0)= (1, 3)
As,T (u+ v) 6= T (u) + T (v)
3. Es claro ver que los vectores
v1 = (1, 1) y v2 = (1, 2)
forman una base de R2. Luego, para cualquier vec-tor (a, b) R2, existen escalares y tales que
(a, b) = v1 + v2 (3.1)
Luego (3.1) es equivalente a{+ = a+ 2 = b
(3.2)
Resolviendo (3.2) tenemos que
= b a , = 2a b (3.3)
Aplicando T en (3.1) y usando el hecho de que Tes una transformacion lineal se tiene
T (a, b) = T (v1 + v2)= T (v1) + T (v2)
i.e.,T (a, b) = T (v1) + T (v2) (3.4)
Segun la hipotesis del problema
T (v1) = (1, 2,1) y T (v2) = (3, 0, 4) (3.5)
Reemplazando (3.3) y (3.5) en (3.4), obtenemos que
T (a, b) = (2b a, 4a 2b, 5b 6a)
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A continuacion encontremos la nulidad y el rangode T .
Sea un vector arbitrario v = (a, b) Nuc(T ), en-tonces
T (v) = (0, 0, 0)
i.e.,
(2b a, 4a 2b, 5b 6a) = (0, 0, 0)obteniendose, a = b = 0. As,
Nuc (T ) = {(0, 0)} .Luego, la nulidad de T es cero. Ahora, por el Teo-rema del rango,
dim(R2
)= Nulidad de T + Rango de T
Por tanto, el rango de T es 2.
4. Sea p (x) = ax2+bx+c P2, entonces la definicionde la transformacion lineal T puede ser escrita dela siguiente manera
T(ax2 + bx+ c
)= (c, a+ b+ c)
(i) Nuc(T )
Sea un polinomio arbitrario
p (x) = ax2 + bx+ c Nuc (T ) ,entonces
T (p (x)) = (0, 0)
i.e.,(c, a+ b+ c) = (0, 0)
Entoncesc = 0 , a = b
Luego,
p (x) = ax2 + bx+ c= bx2 + bx= b
(x2 + x) , b RAs,
Nuc (T ) = L{x2 + x}(ii) Im(T )
Sea T (p (x)) = (c, a+ b+ c) Im(T ), entoncesT (p (x)) = (c, a+ b+ c)
= c (1, 1) + (a+ b) (0, 1)= c (1, 1) + d (0, 1)
donde c, d = a+ b son reales cualesquiera. As,
Im (T ) = L{(1, 1) , (0, 1)}
5. Hecho en clase.
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