e) Considere la ecuacin diferencial:

(

) . .

Determine un valor de p R de modo que el cambio de variables ( ) ( ) . Permite resolver dicha ecuacin. Encuentre la solucin general.

Tenemos que como ( ) ( ) entonces:

( )

( ).

Reemplazamos:

( ) (

( )) ( ( ))

.

Para que sea homognea la suma de los exponentes debe ser igual a 0,lo que

nos deja la siguiente ecuacin:

Reemplazando:

( ( ))

( )

( ( )) ( )

Reemplazamos utilizamos el mtodo de solucin para ecuaciones

homogneas, por lo tanto cambiamos ( )

; ( );

.

Nos queda la siguiente ecuacin:

Integramos:

( ) ( ) ( )

( )

( ( ( )

) )

Tenemos que

( ) , reemplazando:

( )

( )

4) Un conejo parte del origen y corre por el eje Y positivo con velocidad a. Al

mismo tiempo, un perro que corre con velocidad b sale del punto (c, 0) y

persigue al conejo. Qu trayectoria sigue el perro?

La posicin del perro en todo momento ser ( ) y la posicin del conejo es ( ).Sabemos que la pendiente es igual a la derivada de la trayectoria del perro.Tenemos:

Derivamos de nuevo con respecto a x:

Tenemos tambin que , siendo ds la derivada de la longitud de arco. De esta expresin podemos obtener:

Tambin tenemos que:

Sabemos que la velocidad del perro es la distancia recorrida (trayectoria)

partido en un tiempo, que es igual a

.

Tenemos entonces que

.

Reemplazando:

Recordando

, reemplazamos:

Reemplazando

:

Usando la separacin de variables:

Integrando nos queda:

| | ( ) ( )

( )

Reemplazando p por

:

(

(

) )

(

(

) )

(

)

(

)

( )

(

)

Ahora reemplazamos con u en p:

Integramos con respecto a x ya que tenemos la igualdad:

( )

(

)+ C2

Con esto obtenemos y en funcin de b,a y x.

3) Determine la forma de un espejo curvado tal que la luz de una fuente

situado en el origen se refleje en l como un haz de rayos paralelos al eje X.

, y

( )

( ) ( )

( )

Reemplazando;