Universidad Andres BelloFacultad de IngenieraDepartamento de Matematicas

CALCULO II (FMM133)SOLEMNE 1

Abril 17, 2009.Duracion: 90 minutos.

Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justificacion.

Problema 1 : Considere la sucesion {an} definida por recurrencia como

a1 = 1, an =1

1 + an1para n 2

a) (0.3 ptos) Calcule a2, a3 y a4.

b) (0.5 ptos) Sabiendo que es convergente, calcule su lmite.

Solucion:

a)a2 =

11+a1

= 11+1

= 12

a3 =1

1+a2= 1

1+ 12

= 23

a4 =1

1+a3= 1

1+ 23

= 35.

b) Sea L = lmn

an. Tomado lmite a ambos lados de an =1

1+anobtenemos

L =1

1 + L

ReagrupandoL2 + L 1 = 0

Despejando L se obtiene

L =15

2

Como an tiene solo terminos positivos debemos tener L 0.Por lo tanto L debe ser

L =1 +5

2

Problema 2 : (0.7 ptos) Calcule

lmn

n2

(1

1 5

n2

)

Solucion:El lmite es del tpo 0. Lo resolvemos multiplicando y dividiendo por el conjugadode 1

1 5

n2.

lmn

n2

(1

1 5

n2

)= lm

nn2

(1

1 5

n2

)(1 +

1 5

n2

)(1 +

1 5

n2

)= lm

nn2(1 (1 5

n2))(

1 +1 5

n2

)= lm

nn2

(5n2))(

1 +1 5

n2

)= lm

n5(

1 +1 5

n2

)=

5

2

Problema 3 : (1.5 ptos) Calcule dx

3x(3x+ 1 1)

Indicacion: use el cambio u2 = 3x+ 1

Solucion:

Haciendo el cambio u2 = 3x + 1 se obtiene 2udu = 3dx y por lo tanto dx = 23udu.

Tambien tenemos 3x = u2 1 y u = 3x+ 1.dx

3x(3x+ 1 1) =

2

3

u

(u2 1)(u 1)du

=2

3

u

(u2 1)(u 1)du

Usamos fracciones parciales:

u

(u2 1)(u 1) =A

u+ 1+

B

u 1 +C

(u 1)2

Se obtiene A = 1/4, B = 1/4 y C = 1/2.Ahora

u

(u2 1)(u 1)du = (1/4)

1

u+ 1+ (1/4)

1

u 1 + (1/2)

1

(u 1)2

= (1/4) ln |u+ 1|+ (1/4) ln |u 1| (1/2) 1u 1

Deshaciendo el cambio obtenemosdx

3x(3x+ 1 1) = (

2

3)(1/4) ln |3x+ 1+1|+(2

3)(1/4) ln |3x+ 11|(2

3)(1/2)

13x+ 1 1+C

dx

3x(3x+ 1 1) = (1/6) ln |

3x+ 1+1|+(1/6) ln |3x+ 11|(1/3) 1

3x+ 1 1+C

Problema 4 : (1.5 ptos) Se sabe que una funcion F verifica

F (x) =a

x2 + 16, F (0) = 2, F (3) = 1

con a una constante real.Encuentre el valor de a.Indicacion: puede ser util

sec d = ln | sec + tan |+ C

Solucion: Debemos encontrar

F (x) =

a

x2 + 16dx

Hacemos el cambio x = 16 tan , por lo tanto dx = 4 sec2 d.a

x2 + 16= a

4 sec2

16 tan2 + 16d

= a

4 sec2

4tan2 + 1

d

= a

4 sec2

4sec2

d

= a

4 sec2

4 sec d

= a

sec d

= a ln | sec + tan |+ C

Deshacemos el cambio: tan = x/4. Esto corresponde a un triangulo rectangulo de conun angulo , el cateto opuesto x y el cateto adjacente 4. Por lo tanto la hipotenusa esx2 + 16 y sec =

x2+164

. Tenemos entonces

F (x) =

a

x2 + 16dx

= a ln |x2 + 16

4+ x/4|+ C

= a ln |x2 + 16 + x

4|+ C

Ahora 2 = F (0) = a ln |1|+ C = C, es decir C = 2.1 = F (3) = a ln |2|+ 2 por lo tanto a = 1

ln 2.

Problema 5 : (1.5 ptos) Para n R definimos

In =

(x2 + a2)ndx

Demuestre que para n 6= 1/2 se tiene

In =x(x2 + a2)n

2n+ 1+

2na2

2n+ 1In1

Indicaciones:Integre por partes.Puede ser util la identidad x2 = (x2 + a2) a2.Solucion: Integrando por partes conu = (x2 + a2)n, du = n(x2 + a2)n1(2x)dxdv = dx, v = x

In = (x2 + a2)nx

n(x2 + a2)n1(2x)xdx

= x(x2 + a2)n 2n

x2(x2 + a2)n1dx

= x(x2 + a2)n 2n(x2 + a2 a2)(x2 + a2)n1dx

= x(x2 + a2)n 2n(x2 + a2)ndx+ 2na2

(x2 + a2)n1dx

= x(x2 + a2)n 2nIn + 2na2In1

Despejando In obtenemos

In =x(x2 + a2)n

2n+ 1+

2na2

2n+ 1In1

Universidad Andres BelloFacultad de IngenieraDepartamento de Matematicas

CALCULO II (FMM133)SOLEMNE 1

Septiembre 11, 2009.Duracion: 90 minutos.

Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justificacion.

Problema 1 : (1.2 ptos) Considere la funcion de dominio real dada por

F (x) =

3x(9x2 + 16 x) x 1

2x+ 1

x(x+ 1)x > 1

Calcule4

0

F (x)dx

Solucion:4

0

F (x)dx =

10

F (x)dx+

41

F (x)dx

=

10

3x2(9x2 + 16 x)dx+

41

2x+ 1

x(x+ 1)dx

=2

3

1

6(9x2 + 16)3/2

10

x310+ (ln |x|+ ln |x+ 1|)|41

=1

9(125 64) 1 + ln(4) + ln(5) ln(1) ln(2)

=52

9+ ln(10)

Problema 2 : (1.0 ptos) Utilice el cambio u2 = 1 + x2 para calcularx dx

1 + x2 + (1 + x2)3/2

Solucion: Si u2 = 1 + x2, entonces 2u du = 2x dx es decir udu = xdx.x dx

1 + x2 + (1 + x2)3/2=

du

u2 + u3

=

u du

u1 + u

= 21 + u+ C

= 2

1 +

1 + x2 + C

Problema 3 : Considere la sucesion {xn} definida por recurrencia comox1 = 1, xn+1 =

3xn para n 1

a) (0.4 ptos) Demuestre por induccion que xn < 3 para todo n Nb) (0.4 ptos) Demuestre que {xn} es creciente.c) (0.4 ptos) Calcule L = lmn xn.

Solucion:

a) Tenemos x1 = 1 < 3, por lo tanto la proposicion es verdadera para n = 1.Suponemos que la proposicion es valida para n, queremos probar que tambienes valida para n + 1. Tenemos xn+1 =

3xn =

3xn 1.

c) (0.4 ptos) Calcule lmn

an

Solucion:

a)Base inductiva: para n = 1 tenemos a1 = por lo tanto 0 < a1 < 1 (dato dadoen el problema)Hipotesis de inducccion: suponemos que 0 < ak < 1.Tesis de induccion: queremos probar que 0 < ak+1 < 1.Dem: Tenemos que

0 < ak+1 < 1 0 < 1 ak < 1 0 < 1 ak < 1 0 < 11 ak < 1 0 < ak+1 < 1

Por el axioma de induccion, debemos tener 0 < an < 1 para todo n.

b) Tenemos

anan+1

=an

11 an=

an(1 +1 an

(11 an)(1 +1 an)

=an(1 +

1 an)

1 1 + an=

an(1 +1 an)

an= 1 +

1 an

> 1

c) Como la sucsion es monotona y esta acotada, debe tener lmite. Sea L = lmn

an.

Tomando lmite a ambos lados de la igualdad an+1 = 11 an tenemos

L = 11 Lde donde

1 L = 1 L y elevando al cuadrado 1 L = (1 L)2.

De esto ultimo se obtiene L2 L = 0 y factorizando (L 1)L = 0.Por lo tanto L = 0 o L = 1. Tenemos que an < 1 y es decreciente, lo cual eliminaL = 1.Debemos tener L = 0.

Clculo II FMM133, Primer semestre 2013.

Solemne N1

1. La siguiente suma de Riemann representa el rea bajo una curva f(x):

lmn

ni=1

pi

4ntan

(ipi

4n

)=

ba

f(x)dx

a) Encuentre f(x), a y b.

b) Encontrar F (x) si F (x) = sen(x)a

f(t)dt.

c) Calcule ba

f(x)dx.

2. a) Encuentre una funcin f tal que 6 + x1

f(t)t2dt = 2

x para todo x > 0.

b) Si f es continua y 40f(x) dx = 10, encuentre

20f(2x) dx.

3. a) Evale la integral definida 22

4 x2 dx interpretndola como rea. (Indicacin:El rea de un crculo de radio r se calcula como pir2).

b) La siguiente integral 41

pix dx

representa el volmen del slido obtenido al rotar una cierta regin R en torno aleje X. Encuentre la regin R y plantee la integral que representa el volmen delslido obtenido al rotar R en torno al eje Y .

Tiempo: 90 minSin CalculadoraSin Consultas

1

Clculo II FMM133, segundo semestre 2013.

Solemne N1

1. Considere la siguiente suma

Sn =3

n

[(1)1/2 +

(1 +

3

n

)1/2+

(1 +

3 2n

)1/2+ +

(1 +

3n

n

)1/2]

a) Escriba Sn como una suma de Riemann, identificando el intervalo de integracin[a, b], la particin Pn = {a = x0, x1, . . . , xn1, xn = b} y la funcin f(x).

b) Encuentre una funcin F (x) tal que F (x) = f(x).

c) Calcule lmn

Sn.

2. Sea f(x) una funcin continua. Determine el valor de I = aaf(x2)x dx.

3. Determine el valor de b R en la siguiente ecuacin: e8e4

1

x ln(x) ln(ln(x))dx = ln(b).

4. Calcule el volumen del slido que tiene por base el tringulo con vrtices en (0, 0), (2, 0), (0, 2)y sus secciones transversales perpendiculares a la base son cuadrados.

Tiempo: 90 minSin CalculadoraSin Consultas

1

Clculo II FMM133, primer semestre 2014.

Solemne 1

1. a) (0,8 puntos) Si se sabe que x1

f(u)

u2du = 2

x, determine el valor de f(4).

b) (0,7 puntos) Si f es una funcin continua tal que 90

f(x)dx = 16. Determine el

valor de: I = 30

xf(x2)dx

2. Considere las siguientes curvas: x = 0; y =x

2; y =

1

x2 + 1.

a) (0,5 puntos) Bosquejar la regin R acotada por las curvas.

b) (0,5 puntos) Determine el valor del rea de la regin R

c) (0,5 puntos) Plantee (sin calcular) una integral cuyo valor sea el volumen delslido de revolucin que se obtiene al rotar la regin R con respecto del eje X.

3. (1,5 puntos) Compruebe que el volumen de un cono de radio r y altura h es V =pir2h

3.

4. (1,5 puntos) Considere la suma de Riemann siguiente

Sn =n1i=0

f(xi)i =1

n+

(1

n2+

1

n

)+

(2

n2+

1

n

)+

(3

n2+

1

n

)+ .....+

(n 1n2

+1

n

).

a) (0,7 puntos) Si se sabe que la suma est asociada a la particin Pn = {0, 1n , 2n , . . . n1n , 1}de [0, 1], encuentre f(x).

b) (0,8 puntos) Calcule el valor de S = lmn Sn.

Tiempo: 90 minSin CalculadoraSin Consultas

1

Clculo II FMM133, segundo semestre 2014.

Solemne 1

1. (2 puntos) Calcular el valor de las siguientes integrales

a) (1 pto.) 10

(2x+ 1)x+ 1

dx

b) (1 pto.) 1e

dx

x16 ln(x) + 9

2. (2 puntos) Sea R la regin acotada por la parbola y = x x2 y el eje x.a) (0,5 pts) Bosqueje la regin R.

b) (0.5 pts) Encuentre el rea de la regin R.

c) (1 pto.) Hay una recta L que pasa por el origen y que divide a la regin R en dospartes de igual rea. Cul es la pendiente de la recta L?

3. (2 puntos) Sea B la regin del plano XY acotada por la parbola de equacin y2 = 4xy la recta de ecuacin y = x.

a) (0,5 pts) Bosqueje la regin B.

b) (1.5 pts) Considere el cuerpo slido S cuya base es la regin B, y cuyas seccionestransversales paralelas al plano XZ son cuadrados. Encontrar el volumen delcuerpo S.

Tiempo: 90 minSlo consultas de enunciado.Sin Calculadora, ni equipos mbiles.IMPORTANTE: la simple posesin de un equipo mbil encendido CONSTITU-YE UNA OFENSA A LA UNIVERSIDAD y est sujeta a sanciones graves (versyllabus del curso).

1

Clculo II FMM133, primer semestre 2015.

Solemne 1

1. El siguiente lmite representa el valor de la integral de una funcin f(x) sobre el inter-valo [0, 4]: 4

0

f(x) dx = lmn

ni=1

4

n + 2n i dx.

a) (0,5 pts.) Encuentre f(x).

b) (1 pto.) Determine el valor del lmite.

2. (1 pto.) Sea g(x) una funcin continua. Si se sabe que 81

g(x) dx = 3, calcule 21

x2g(x3) dx.

3. (2 puntos) Sea R la regin plana acotada por la parbola y = x2 y la recta y = 2x.

a) (0,5 pts) Bosqueje la regin R.

b) (0,5 pts) Encuentre el rea de la regin R.

c) (1 pto.) Encuentre el volumen del slido que se obtiene al rotar la regin R entorno a la recta de ecuacin y = 2.

4. (1,5 pts) Considere el cuerpo slido S cuya base es un crculo de radio r y cuyassecciones transversales, perpendiculares a la base, son tringulos equilateros. Encontrarel volumen del cuerpo S.

Tiempo: 90 minSlo consultas de enunciado.Sin Calculadora, ni equipos mbiles.IMPORTANTE: la simple posesin de un equipo mbil encendido CONSTITU-YE UNA OFENSA A LA UNIVERSIDAD y est sujeta a sanciones graves (versyllabus del curso).

1

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Pauta control N1 CALCULO II UNAB

Semestre II 2012

1) La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x,y) en una curva es 10-4x;

el punto (1,-1) est en la curva. Encuentre la ecuacin de la curva.

Solucin

Dada la pendiente de la curva en todo punto del plano 10-4x , entonces diremos que esta

es la recta tangente en un punto de la curva vale decir la derivada de la curva por tanto

podemos expresar que

Integrando se tiene

Dada la funcin y dependiente de x se obtiene la solucin final

Dado que tenemos un punto perteneciente a la curva podemos determinar C, evaluacin

se tiene

Por lo tanto la curva pedida es

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2) Utilice la sustitucin para calcular la integral

Solucin

Considerando el cambio de variable podemos notar los siguientes cambios de variable

Considerando los cambios de variables obtenemos la siguiente integral a resolver

Finalmente haciendo el cambio de variable recordando que se tiene que

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3) Calcular

Solucin

Podemos resolver esta integral desde muchos puntos, para este caso particular utilizare

integracin por partes reordenando la integral a conveniencia

Si usted recuerda entonces podr identificar que se puede resolver por el mtodo

As consideramos obviamente podemos

directamente identificar que

Por tanto obtenemos que

Resolviendo la siguiente integral se puede ordenar a conveniencia y resolviendo bajo el

mismo mtodo anteriormente utilizado se tiene

Integral fcilmente de resolver con resultado

Por lo tanto la integral pedida ser

CALCULO II SOLEMNES.pdfCalculo_II_2009-1_Solemne_1_Pauta.pdfCalculo_II_2009-2_Solemne_1_Pauta.pdfCalculo_II_2010-1_Solemne_1_Pauta.pdfFMM133-13-1-S1.pdfFMM133-13-2-S1.pdfFMM133-14-1-S1.pdfFMM133-14-2-S1.pdfFMM133-15-1-S1.pdf

pauta-control-nc2b01unab.pdf