SolicionarioMerle Potter 11.30-11.44
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“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la
Educación”
Facultad de Ingeniería Civil
TEMA : Solución de ejercicios 11.30-11.44 del
Libro Merle C. Potter (Mecánica de
Fluidos, tercera edición)
CURSO : Hidráulica de Conductos
DOCENTE : Msc. Ing Walter La Madrid Ochoa
ALUMNOS : Rodríguez Arcela Theylor
Pazo Querevalu José Laureano
CICLO : 2015-2
Noviembre de 2015
EJERCICIO 11.30
La solución del flujo de agua en una red de tubos se muestra en la figura .Calcular:
a. La línea piezométrica desde el inicio hasta el fin del sistema.
b. La presión en cada nodo.
Solución
A. En el gráfico, en la tubería 1 el caudal será 450 lt/s=0.45m3/s
De la ecuación donde es la pérdida de altura a lo largo de una longitud L
para un valor de β=2.
Sea
la cota de la línea piezométrica en la sección A y el punto
inicial en la cota 100m.
De la ecuación de energía tenemos:
PARA LA TUBERIA 1
PARA LA TUBERIA 2
PARA LA TUBERIA 3
PARA LA TUBERIA 5
B. Calculo de la presión en cada nodo
PROBLEMA 11.31
Para el sistema mostrado determine la distribución de flujo de agua y la línea piezométrica J.
Los datos del sistema se dan en la tabla.
Solución
Trabajamos con las direcciones de caudal dadas por el problema. Aplicando la
ecuación de energía.
Del balance de caudales (ecuación de continuidad)
Depósito Elevación (ft)
Línea L(ft) D(in) f ∑
A 650 1 800 8 0.015 0
B 575 2 600 3 0.020 2
C 180 3 650 3 0.020 2
4 425 3 0.025 3
5 1000 4 0.015 4
Luego tenemos:
√
√
√
También:
√
√
Finalmente reemplazando en la ecuación de continuidad:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
( √
√
) √
Calculamos el valor de , usando también la ecuación de longitud equivalente
∑
Calculamos los valores usando Excel:
Depósito
Elevación
Línea L(ft) D(in) f
∑ (ft)
A 650 1 800 8 0,015 0 0,000 2,29
B 575 2 600 3 0,020 2 25,000 322,21
C 180 3 650 3 0,020 2 25,000 347,99
4 425 3 0,025 3 30,000 293,21
5 1000 4 0,015 4 88,889 99,91
Luego reemplazamos valores en α:
√
√
( √
√
) √
√ √ √
Resolveremos la ecuación usando el método de Newton Raphson, tomando como valor inicial
612.5 que está dentro del dominio de la siguiente función.
√ √ √
Derivando la función
√
√
√
Calculando los valores en Excel
612,5 0,93933267 -0,0700918 -13,4014628
625,901463 -0,06537204 -0,08146653 0,8024405
625,099022 -0,00040401 -0,08046891 0,00502066
625,094002 -1,5233E-08 -0,08046284 1,8932E-07
625,094001 0 -0,08046284 0
625,094001 0 -0,08046284 0
Luego el valor de
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
PROBLEMA 11.32
A través del sistema de tuberías mostrado fluye agua. Determine la distribución mediante el
método de Hardy Cross.
Solución:
Asumimos un sentido para el cálculo:
De la ecuación:
∑
∑|
| Para n=2
Para un sentido horario la pérdida de carga es positiva.
(
)
(
)
Asumiendo caudales y
PROBLEMA 11.33
Determine la distribución de flujo para el siguiente sistema
Tubo L(m) D(mm) e(mm) ∑
1 500 300 0,15 0
2 600 250 0,15 0
3 50 150 0,15 10
4 200 250 0,15 2
5 200 300 0,15 2
Solución:
Usando el Software EPANET VERSION 2.0
Usar el símbolo de
forma de embalse para
dibujar los reservorios.
Usar el círculo para
dibujar los nudos.
Usar el símbolo del
segmento para dibujar
las tuberías
Click en
proyecto y
buscar la
opción
“opciones de
cálculo “
Al hacer doble click
sobre un embalse
escribiremos solo la
elevación en la
opción “altura total”.
Al hacer doble
click sobre un
nodo escribiremos
en la opción “cota
“la elevación y si
hubiera una
descarga se
escribiría en la
opción “Demanda
Base”
Doble click en
una tubería.
Usaremos las
opciones
LONGITUD (L),
DIAMETRO (D),
RUGOSIDAD (e) Y
COEFICIENTES DE
PÉRDIDAS (k)
Click en informe y
luego en tablas. Aquí
nos pedirá si
queremos los
resultados en los
nodos o en las
tuberías.
Es posible
copiar
estos
resultados
“señalándo
los y
copiarlos
con el
icono al
costado de
la “X” y
pegarlos
en Excel
Resultados
Tabla de Red - Líneas
Longitud Diámetro Rugosidad Caudal Velocidad Pérd. Unit. Factor de Fricción Estado
ID Línea m mm mm LPS m/s m/km
Tubería 1 500 300 0.15 137.07 1.94 11.28 0.018 Abierto
Tubería 2 600 250 0.15 -62.07 1.26 6.14 0.019 Abierto
Tubería 3 50 150 0.15 36.50 2.07 73.49 0.051 Abierto
Tubería 4 200 250 0.15 100.58 2.05 17.86 0.021 Abierto
Tubería 5 200 300 0.15 -25.58 0.36 0.52 0.023 Abierto
Tabla de Red - Nudos
Cota
Demanda Base Demanda Altura Presión
ID Nudo m LPS LPS m m
Conexión 3 4 0 0.00 9.36 5.36
Conexión 4 1 0 0.00 5.68 4.68
Conexión 5 0 75 75.00 5.79 5.79
Embalse 1 15 No Disponible -137.07 15.00 0.00
Embalse 2 2 No Disponible 62.07 2.00 0.00
PROBLEMA 11.34
A través de los tubos en serie se bombea agua a 20ºC como se muestra en la figura. La
potencia suministrada a la bomba es de 1920 kW y su eficiencia es de 0.82. Calcular la potencia
suministrada a la bomba usando el método de Hardy Cross, usar la ecuación
[
]
.
Tubo L (m) D (mm) e (mm) ∑
1 200 1500 1 2
2 300 1000 1 0
3 120 1200 1 10
Aplicando las formulas y resolviendo en
Excel tenemos:
[
]
∑
(m)
0,018 168,3 0,071
0,020 0,0 0,486
0,019 638,9 0,473
Para la bomba:
, Como el caudal no es conocido
Reemplazando valores
Aplicando Hardy Cross
∑
∑|
|
(
)
Primera iteración:
Segunda iteración:
Tercera iteración
Finalmente el caudal será
PROBLEMA 11.35
Determine la descarga en el sistema de tuberías mostrado
1. Con solución exacta.
2. Usando Hardy Cross
El líquido transportado es agua y las pérdidas son proporcionales al cuadrado de la velocidad,
la curva característica de la bomba es de , donde está en metros y
está en
⁄ .
Solución:
1. Aplicando la ecuación de energía
2. Usando el método de Hardy Cross
Y como los caudales son iguales
(
)
(
)
ITERACION CAUDAL(Q)
1 0.20 -0.0694
2 0.1306 -0.0184
3 0.1122 -0.00152
4 0.1107 -0.0
Luego el caudal será:
/seg
PROBLEMA 11.36 El sistema suministra agua a dos aspersores (C y E) y a un deposito (F). El agua es
suministrada por el depósito (A) situado a más altura que (F). Los aspersores se
representan hidráulicamente con orificios de valores K. relativamente altos. Determine
la distribución de flujo mediante el método de Hardy Cross.
Tubo L (m) D (mm) e (mm) ∑
1 200 100 0.1 2
2 150 50 0.1 30
3 500 100 0.1 0
4 35 50 0.1 35
5 120 100 0.1 2
Solución mediante el programa EPANET V2.0
RESULTADOS:
Tabla de Red - Líneas
Longitud Diámetro Rugosidad Caudal Velocidad Pérd. Unit.
Factor de Fricción Estado
ID Línea m mm mm LPS m/s m/km
Tubería 1 200 100 0.1 9.28 1.18 16.40 0.023 Abierto
Tubería 2 150 50 0.1 1.58 0.81 24.80 0.037 Abierto
Tubería 3 500 100 0.1 7.70 0.98 10.98 0.022 Abierto
Tubería 4 35 50 0.1 -0.55 0.28 6.55 0.082 Abierto
Tubería 5 120 100 0.1 7.15 0.91 10.24 0.024 Abierto
Tabla de Red - Nudos Cota Altura Presión
ID Nudo m m m
Conexión 5 121.5 121.72 0.22
Conexión 6 115.5 116.23 0.73
Embalse 1 125 125.00 0.00
Embalse 2 118 118.00 0.00
Embalse 3 116 116.00 0.00
Embalse 4 115 115.00 0.00
PROBLEMA 11.37 Resolver el problema anterior usando una bomba de 10 KW al inicio.
Solución:
Tabla de Red - Nudos Cota Demanda Altura Presión
ID Nudo m LPS m m
Conexión 5 121.5 0.00 149.86 28.36
Conexión 6 115.5 0.00 120.64 5.14
Conexión 7 170 0.00 169.11 -0.89
Embalse 1 125 -23.13 125.00 0.00
Embalse 2 118 4.79 118.00 0.00
Embalse 3 116 2.57 116.00 0.00
Embalse 4 115 15.78 115.00 0.00
Tabla de Red - Líneas
Longitud Diámetro Rugosidad Caudal Velocidad Pérd. Unit. Factor de Fricción
ID Línea m mm mm LPS m/s m/km
Tubería 2 150 50 0.1 4.79 2.44 212.39 0.035
Tubería 3 500 100 0.1 18.34 2.34 58.43 0.021
Tubería 4 35 50 0.1 -2.57 1.31 132.65 0.076
Tubería 5 120 100 0.1 15.78 2.01 47.02 0.023
Tubería 1 200 100 0.1 23.13 2.94 96.25 0.022
Bomba 6 No Disponible
No Disponible
No Disponible 23.13 0.00 -44.11 0.000
PROBLEMA 11.38
En la figura P11.38 se muestra un sistema condensador de agua de enfriamiento de una planta
termoeléctrica. Desde un deposito A se bombea agua a través de una tubería de diámetro
grande [1], que pasa a través del condensador [2], y se descarga a través de otra tubería de
diámetro grande [3] en el estanque receptor, lugar B. El condensador se compone de un gran
número de tubos elevados de diámetro pequeño colocados en paralelo; en ambos extremos
del condensador se localiza una gran caja llena de agua llamada cabezal, C Y C´. se conocen las
elevaciones en A y B de la superficie de agua, lo mismo que las longitudes y los diámetros de
los tubos 1 y 3.
E l condensador tiene N tubos idénticos, cada uno con el mismo diámetro conocido D2 y de
longitud L2. El factor de fricción de todos los tubos es el mismo valor constante, y la curva de la
bomba se representa de manera aproximada mediante la relación HP= a0 + a1Q + a2Q + a3Q.
Se supone que las perdidas menores son insignificantes.
(a) deduzca un coeficiente de resistencia de tubo único R2 para los tubos del condensador.
(b) escriba la ecuación de energía para todo el sistema, utilizando las variables dadas
requeridas y expresando la resistencia al flujo en función de los coeficientes de resistencia de
los tubos 1 y 3, y el coeficiente de resistencia equivalente del tubo 2.
(c) elabore un algoritmo de Hardy Cross para determinar la descarga a través del sistema.
(d) Si Za=2m, Zb=0m, L1=100m, D1=2m, L2=15m, D2= 15m, D2= 0.025m, N=1000, L3=200m,
D3=2m y f= 0.02, calcule la descarga y la línea piezométrica. Los coeficientes de la curva de la
bomba son a0=30.4, a1 =-31.8, a2=18.6 y a3 =-4.0, donde Q está en metros cúbicos por
segundo.
(e) Si la parte superior del condensador se encuentra a una altura de 6m ¿cuáles son las
presiones de la parte superior de los cabezales corriente arriba y corriente abajo?
SOLUCION:
a. Siendo R2 ser el coeficiente de resistencia para un solo tubo en el condensador.
después
, la solución para W; tenemos:
Por lo tanto:
b.
, Hp y Q son las incógnitas.
c.
d.
e.
PROBLEMA 11.39
Determine la distribución de flujo en el sistema ramal o ¨en forma de árbol¨ mostrado en la
figura. El líquido que fluye es agua. Peso específico=62.5 lb/ft3. El origen del flujo es una gran
tubería (lugar A) mantenida a una presión constante de 60psi. Cada rama está localizada sonde
se conoce la línea piezométrica. (Cortesía de D. Wood)
SOLUCION:
IDENTIFICACION DEL ENLACE INICIO NODO FIN NODO LONGITUD DIAMETRO
1 1 3 1500 10
2 3 4 400 10
3 4 5 600 10
4 5 6 800 8
5 6 10 700 8
6 10 9 1000 10
7 9 8 750 10
8 8 7 450 10
9 7 6 550 10
10 7 4 800 10
11 8 3 800 10
12 2 9 1450 10
RESULTADO EN NODOS
Nodo demanda Altura Presión
3 0 246.28 39.55
4 2 242.23 39.96
5 1 241.55 39.67
6 1 241.71 41.9
7 1 242.26 39.98
8 0 244.65 41.01
9 1 245.4 43.5
10 1 242.35 44.35
1 -3.82 275.4 0
2 -3.18 265.4 0
RESULTADO DE TUBERIAS
Identificación de Enlace Caudal velocidad
perdida de carga estado
1 3.82 7.01 19.41 abierto
2 2.69 4.93 10.14 abierto
3 0.82 1.51 1.13 abierto
4 -0.18 0.51 0.2 abierto
5 -0.41 1.17 0.91 abierto
6 -1.41 2.58 3.05 abierto
7 0.77 1.41 1 abierto
8 1.9 3.49 5.32 abierto
9 0.77 1.41 1 abierto
10 0.13 0.24 0.04 abierto
11 -1.13 2.07 2.04 abierto
PROBLEMA 11.40
El sistema de 12 tubos mostrados en la figura P11.40 representa una región de baja presión
que está conectada a un sistema de alta presión mediante reguladores ajustados a 50psi.
Determine la presión y la distribución de flujo de agua con las demandas mostradas. Suponga
un coeficiente de Hazzen Williams C=120 para todos los tubos (Cortesía de D. Wood).
SOLUCION:
RESULTADO EN NODOS
Nodo demanda altura presión
3 0 246.28 39.55
4 2 242.23 39.96
5 1 241.55 39.67
6 1 241.71 41.9
7 1 242.26 39.98
8 0 244.65 41.01
9 1 245.4 43.5
10 1 242.35 44.35
1 -3.82 275.4 0
2 -3.18 265.4 0
RESULTADO DE ENLACES Identificación de Enlace caudal velocidad Presión
1 3.82 7.01 19.41
2 2.69 4.93 10.14
3 0.82 1.51 1.13
4 -0.18 0.51 0.2
5 -0.41 1.17 0.91
6 -1.41 2.58 3.05
7 0.77 1.41 1
8 1.9 3.49 5.32
9 0.77 1.41 1
10 0.13 0.24 0.04
11 -1.13 2.07 2.04
5.83 13.79 abierto
PROBLEMA 11.41
Determine la distribución de flujo en el sistema de suministro de agua tubos mostrado en la
figura P11.41.La curva características de la bomba está representada por los siguientes datos
(Cortesía de D. Wood)
SOLUCIÓN:
RESULTADO EN NODOS Nodo demanda altura presión
5 0 146.93 143.93
6 0 61.82 49.82
7 60 41.24 26.24
8 0 40.32 28.32
9 110 31.32 13.32
10 110 30.78 15.78
11 0 36.07 24.07
12 60 31.94 25.94
13 60 30.77 18.77
1 -516.4 3 0
2 56.12 30 0
3 83.11 34 0
4 -22.83 34 0
RESULTADO DE ENLACES
Identificación de Enlace caudal velocidad perdida de
carga estado
1 265.67 2.76 35.25 abierto
2 145.21 1.51 9.85 abierto
3 35.21 0.37 0.71 abierto
4 4.72 0.05 0.02 abierto
6 92.45 1.31 9.04 abierto
7 135.63 1.41 8.68 abierto
8 107.62 1.12 5.65 abierto
9 250.73 2.61 27.08 abierto
10 120.46 1.25 6.97 abierto
11 56.12 1.79 25.86 abierto
12 22.83 1.29 33.81 abierto
13 516.4 4.11 56.74 abierto
14 83.11 1.18 7.42 abierto
16 55.28 0.57 1.92 abierto
18 56.4 0 -143.93 abierto
PROBLEMA 11.42
La disposición de las demandas de aguas requeridas por un complejo industrial propuesto se
muestra en la figura P11.42.Diseñe una red apropiada y determine la potencia útil necesaria de
una bomba que satisfaga las demandas. Los criterios de diseño son los siguientes:
1. El depósito a más baja altura suministrada agua al sistema. El depósito más alto
suministra agua solo para uso en situaciones de emergencia, tales como fuego,
ruptura de líneas, etc. En operación normal. No hay flujo hacia dentro y hacia afuera
de él.
2. En operación norma, las presiones en la red pueden oscilar entre 80´y 120´psi.
3. Se tiene colocar dos válvulas de compuerta en cada línea (una en cada extremo).Para
aislarla en caso de una ruptura o cuando se requiere mantenimiento.
4. Todas las demandas deben ser satisfechas en el caso de la ruptura de una sola línea
compresiones máximas permisibles de 20psi.
5. Los tubos son de hierro colocados con los siguientes diámetro estándar disponibles:
4, 6, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 36, 42 y 48in. Los tubos pueden ser colocados en cualquier
lugar dentro de la región.
SOLUCIÓN:
RESULTADO EN NODOS Nodo demanda altura Presión
2 0 747.25 107.13
3 0 743.63 101.23
4 25 740.98 100.09
5 50 739.62 90.83
6 80 739.31 86.36
7 0 739.39 82.06
8 50 738.84 81.82
9 100 738.84 88.32
10 75 739.97 95.31
11 100 740.28 91.11
1 -480 500 0
RESULTADO DE ENLACES
Identificación de Enlace caudal velocidad perdida de
carga estado
1 55.66 0.63 0.57 abierto
2 -24.34 0.28 0.12 abierto
3 54.2 0.61 0.55 abierto
4 4.2 0.05 0 abierto
5 -95.8 1.09 1.57 abierto
6 -170.8 1.94 4.57 abierto
7 178.54 2.03 4.96 abierto
8 130.66 1.48 2.78 abierto
9 105.66 1.2 1.88 abierto
10 480 3.06 7.63 abierto
11 78.54 0.89 1.08 abierto
12 480 0 -247.25 abierto
PROBLEMA 11.44
Un sistema de irrigación dispone de una tubería de abastecimiento casi horizontal que está
conectada a un tanque por un extremo y a una válvula de apertura rápida por el otro. La
longitud del tubo es de 2500 m, y su diámetro es de 100mm. Si la altura del agua en el tanque
es de 3m, ¿Cuánto tiempo se llevara para que el flujo llegue a 99% de la condición de estado
continuo si la válvula se abre instantáneamente desde una posición cerrada? Suponga que el
agua es incompresible, y que la tubería inelástica, f=0.025 y K=0.15 una vez que la tubería se
abre.
SOLUCIÓN: