Sólidos Geométricos.

Queridos amigos recordando el pasado glorioso que viví como Gran Señor de este fértil y hermoso

valle de Lambayeque. Hoy he regresado con ustedes para compartir mi grandeza y mi sabiduría.

Bienvenido al Módulo de aprendizaje:

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

MAPA MENTAL DE LOS

SÓLIDOS GEOMETRICOS

UNIDAD DE APRENDIZAJE

SESIÓN DE APRENDIZAJE

PRISMA

PIRÁMIDE

ESFERA

SALIDA

Idealiza un adobe mochica, y responde:a. ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene?b. ¿Cuántas rectas distintas determinan los vértices de la figura?c. ¿Qué planos son paralelos?d. ¿Qué rectas son paralelas?e. ¿ Qué rectas son secantes?

Un adobe mochica tiene la forma de una caja de fósforos. Con una caja en las manos muestra en ella:a. Cuántas caras, aristas y vértices tiene?b. ¿Cuántas rectas distintas determinan los vértices de la figura?c. ¿Qué planos son paralelos?d. ¿Qué rectas son paralelas?e. ¿ Qué rectas son secantes?

REVISANDO TUS CONOCIMIENTOS PREVIOS

1.PRISMA• Los prismas son poliedros que se encuentran

limitados por dos polígonos planos congruentes y paralelos entre sí que se llaman bases y por tres o más paralelogramos que se llaman caras laterales

base arista básica

vértice

altura

sección recta

arista lateral

Nombre de los prismas

Nº de lados de la base Nombre del prisma

3 Prisma triangular

4 Prisma cuadrangular

5 Prisma pentagonal

6 Prisma hexagonal

7 Prisma heptagonal

8 Prisma octagonal

: : :

Los prismas se nombran de acuerdo al número de lados que tiene el polígono de su base

1.1. Clasificación de los prismas

Prisma recto: las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases

Prisma oblicuo: las aristas laterales no son perpendiculares a los planos de las bases

Prisma regular: este prisma es recto y su base es un polígono regular

Área lateral, área total y volumen de un prisma

1. Área de la superficie lateral (ASL). Está dada por la suma de las áreas de las regiones de todas sus caras laterales.

Ejemplo:

10u

4u

Resolución:ASL= PB . h ASL= 20 u. 10uASL= 200 u2

Respuesta:El área de la superficie lateral es 200 u2

Área lateral, área total y volumen de un prisma

2. Área de la superficie total (AST). Está dada por la suma de las áreas de las regiones de todas sus caras .

Ejemplo:

10u

4uResolución:AST = ASL + 2.B AST= 200 u2 + 2. u2

ASL= = 200 u2 + 2. u2

ASL= 200u2 + 2 ( 1,72) 42 u2

ASL= 200 u2 + 55,04 u2

ASL= 255,04 u2

a

Respuesta:El área de la superficie total es 255,04 u2

Área lateral, área total y volumen de un prisma

2. Volumen. Está dado por el producto del área de una base por su altura, es decir:

Ejemplo:

Resolución:V = B . hV = 65 cm2 . 8 cmV = 520 cm3

V = B . h

Respuesta:El volumen es 520 cm3

Resolvamos Problemas• 1. Se tiene un ornamento mochica en forma

de prisma triangular regular, el punto 0 es el centro de la cara BFGC. Halla el área de la superficie lateral del ornamento hecho en oro, si AO = 4 y la medida del ángulo que forma AO con el plano de la base ABC es 30°.

G

FE

O

C

BA 30⁰M

4

Resolución

O

A

M

a) El triángulo rectángulo OMA es de 30°y 60°

2k = 4 k = 4/2 k = 2 OM = 2 Por ser el lado que se opone el ángulo de 30˚ yAM = 2 Por ser el lado que se opone el ángulo de 60˚

430⁰ A

O

M30⁰

60⁰ k2k

k

4

Resolución

O

A

M

b) El triángulo rectángulo CBF, OM es su base media

c) En el triángulo equilátero ABC : AM = 2

4

430⁰ A

M

30⁰

60⁰k

2k

k

F

h

B

C

OM = h/2 2 = h/2 4 = h h = 4

C B

Como la altura AM biseca el ángulo A. Tenemos:k = 2 k = 2

Luego AC = 2kAC = 2 (2)AC = 4

Resolución

O

A B

d) Hallando el área de la superficie lateral ASL = PB . h ASL = ( 3 . 4 ) . 4 ASL = 12 . 4 ASL = 48

C

30⁰

h

M

F

Respuesta:El área de la superficie lateral del ornamento es 48

Resolvamos Problemas

• 2. Se tiene un molde en forma de prisma regular de base cuadrangular para hacer adobes, tal como se muestra en la figura ¿Qué volumen de barro se necesita para dicho molde?

8 dm

6 dm

Resolución a) Como se trata de un prisma regular de base cuadrangular , su base es un cuadrado.AB= L2

AB=62

AB=36 dm2

b) Hallando el volumenV = B . hV = 36 dm2 . 8 dmV = 288 dm3

8dm2

6dm2

Respuesta:El volumen de barro que se necesita es 288 dm3

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Observa mi cetro sagrado y realiza las siguientes acciones:a. Con ayuda de tu lápiz y escuadras, represéntalo gráficamente (sin el mango).b. ¿Qué forma tiene la figura dibujada?c. ¿Qué planos son paralelos?d. ¿Qué rectas son paralelas?e. ¿ Qué rectas son secantes?

REVISANDO TUS CONOCIMIENTOS PREVIOS

Dados los siguientes sólidos geométricos muestra en ella:a. Cuántas caras, aristas y vértices tiene?b. ¿Cuántas rectas distintas determinan los vértices de la figura?c. ¿Qué planos son paralelos?d. ¿Qué rectas son paralelas?e. ¿ Qué rectas son secantes?

REVISANDO TUS CONOCIMIENTOS PREVIOS

2. PIRÁMIDE• La pirámide es el poliedro que se encuentra

limitado por una región poligonal cualquiera que se llama base y por tres o más regiones triangulares no coplanarios, que tienen un vértice común y que se llaman caras laterales.

vértice de la pirámide

arista básica

altura

arista lateral

cara lateral

base

Nombre de las pirámides

Nº de lados de la base Nombre del prisma

3 Pirámide triangular

4 Pirámide cuadrangular

5 Pirámide pentagonal

6 Pirámide hexagonal

7 Pirámide heptagonal

8 Pirámide octagonal

: : :

Las pirámides se nombran de acuerdo al número de lados, que tiene el polígono de su base

2.1. Clasificación de las pirámides

Pirámide recta: la altura cae en el centro del polígono base.

Pirámide regular: Es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.

Pirámide oblicua: La altura cae fuera del centro del polígono base.

h

Área lateral, área total y volumen de una pirámide

1. Área de la superficie lateral (ASL). Es la suma de las áreas de las regiones de las caras laterales.

Ejemplo: Sea M-ABCDEF una pirámide regular cuya área de la región de una de sus caras laterales es 40 m2 . Halla el área de la superficie lateral de la pirámide.

4u

Resolución:ASL= AABM +ABCM +ACDM +ADEM +AEFM +AFAM ASL= 40 m2 + 40 m2 +40 m2 + 40 m2 + 40 m2 + 40 m2 ASL= 240 m2

Respuesta:El área de la superficie lateral es 240 m2

A D

C

A

F

B

MA B

CD

EF

E

M

Área lateral, área total y volumen de una pirámide

2. Área de la superficie total (AST). Es la suma de las áreas de las regiones de todas las caras.

Se llama apotema de la pirámide a la perpendicular que se traza por el vértice de la pirámide a uno de los lados de la base.

M

AST = ASL + B

Si la pirámide es regular:

ASL = p . ap

AST = P (ap +aB)Donde:p es semiperímetro de la base.

ap es apotema de la pirámide.

aB es apotema de la base.

Apotema (ap)

Área lateral, área total y volumen de una pirámide

AST = ASL + BAST = (2cm2 + 2cm2 +2cm2)+

AST = 6cm2 + cm2

AST = 6cm2 + cm2

AST = ( 6 + ) cm2

Ejemplo:En una pirámide regular O-ABC, su arista básica mide 2cm y el área de la región de una de sus caras laterales es 2 cm2 . Hallar el área de la superficie total de la pirámide.

Resolución:

Respuesta:El área de la superficie total de la pirámide es ( 6 + ) cm2

Área lateral, área total y volumen de una pirámide

3. Volumen (V). Esta dada por un tercio del producto del área de la base por su altura, es decir:

Donde:

B es el área de la región de la base.h es la altura.

Área lateral, área total y volumen de una pirámide

3. Ejemplo: Calcular el volumen de una pirámide hexagonal regular , sabiendo que el apotema de la base mide y el apotema de la pirámide forma con la base un ángulo de 60˚.

Resolución:

a) Representamos los datos en la figura

H

R

60˚

M

En el triángulo rectángulo RHM tenemos

2kk

k

60˚

30˚

R

M

H

K =

2k = y

= 9

Entonces:RM =

RH = 9

Área lateral, área total y volumen de una pirámide

b) Hallando el área del hexágono regular Primero hallamos el lado del hexágono para hallar el semiperimetro de

la base

H

A exa = p . aB

A exa = 18 .

A exa =

6

Luego : p = 6 +6+ 6 p = 18 6

6

Área lateral, área total y volumen de una pirámide

c) Hallando el Volumen

h

6

66

Respuesta:El volumen de la pirámide es

2.2. Tronco de Pirámide

• Se llama tronco de pirámide a la porción de pirámide comprendida entre la base y un plano secante que corta a todas las aristas laterales.

2.3. Volumen del tronco de pirámide de bases paralelas

B’

B

hDonde:

B área de la base inferior.B’ área de la base superior.h altura del tronco de pirámide.

2.3. Volumen del tronco de pirámide de bases paralelas

B’

B

Ejemplo:Las bases de un tronco de pirámide pentagonal regular de bases paralelas tienen por áreas 25 y 16 m2 , la altura del tronco mide 15 m. Calcula el volumen del tronco .

Paint.lnk

Respuesta:El volumen del tronco es 141 m3

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WEB QUEST

INICIOEn este ornamento se observa 42 esferas. Para su construcción la luna y el sol fueron nuestra inspiración. En esta oportunidad vamos a aprender a hallar el volumen y la superficie de la esfera.

PROCESOLos alumnos conformarán equipos de 4 integrantes. Visitarán los enlaces propuestos, analizarán y discutirán sobre ellos y resolverán las preguntas planteadas.

TAREA¿Qué cantidad de oro es necesario

para confeccionar una replica de las 42 esferas de las orejeras del señor

de Sipán, si cada esfera debe tener un radio de 7 mm?

ENLACES

Conociendo la esfera

Términos importantes que debes saber:

Esfera, radio de una esfera, cuerda de una esfera, centro de una esfera, diámetro de una esfera, círculo máximo y hemisferio.

http://es.wikipedia.org/wiki/Esfera

• http://gaussianos.com/el-volumen-de-la-esfera/

Fórmulas para hallar la superfice esferica y el volumen de una esfera.

• http://www.bbo.arrakis.es/geom/esfe.htm

http://www.vitutor.net/2/2/33.html

• Después de visitar estas páginas vamos a responder:

1. ¿Cuál es la fórmula para hallar el volumen de una esfera?

2. ¿Cuál es la fórmula para hallar la superficie de una esfera?

EVALUACIÓN

En los ejercicios 3 a 8, usa el diagrama de la esfera, cuyo centro es P.3. Nombra una cuerda de la esfera.4. Nombra un segmento que sea un radio de la esfera.5. Nombra un segmento que sea un diámetro de la esfera.6. Halla la circunferencia del circulo máximo que contiene Q y S.7. Halla el área de la superficie de la esfera.8. Halla el volumen de la esfera.

Ejercicios para presentar en una hoja (una por grupo)

En los ejercicios 9 y 10, considera cinco esferas cuyos radios miden 1 metro, 2 metros, 3 metros, 4 metros y 5 metros.9. Halla el volumen y el área superficial de las esferas. Deja tus resultados en términos de π.10. Escribir Si el radio de una esfera se triplica, ¿se triplica su área superficial? Explica tu razonamiento.

Ahora responde:

11. ¿Qué cantidad de oro es necesario para confeccionar una replica de las 42 esferas de las orejeras del señor de Sipán, si cada esfera debe tener un radio de 7 mm?

CONCLUSIÓNEl estudiante valora la Geometría y descubre que resolver problemas con los sólidos geométricos es fácil y entretenido.

Prof. Luisa Díaz AguinagaProf. Marina Villegas Vásquez

Prof. Grober Esquivel RojasAlumno: Martin Valdera Chapoñan

CRÉDITOS

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ADIOS