Solución a los ítems ejemplo de Matemática de la ...

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Solución a los ítems ejemplo de Matemática de la evaluación

Graduandos

Solución a los ítems ejemplo

-Digeduca- Material gratuito para uso didáctico 2

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Presentación

Esta publicación tiene como propósito proporcionar a los docentes de los estudiantes graduandos, la solución de los ítems que se presentan en el documento Ítems ejemplo de Matemática de la evaluación Graduandos. Estos son similares a los utilizados en la prueba de matemática que resuelven los estudiantes que egresan del Sistema Educativo Nacional.

Los ítems que se proponen como ejemplo fueron tomados de pruebas aplicadas en distintos años; están diseñados para evaluar el desarrollo de las capacidades de analizar, razonar, resolver y comunicar eficazmente cuando resuelven o enuncian problemas en una variedad de situaciones y dominios para adquirir la competencia básica. Cada ítem aparece acompañado de la siguiente información:

Solución: en este apartado se identifica la opción correcta y el procedimiento para resolverlo, aunque existen varios métodos para resolver un ítem.

Datos del ítem: brinda información sobre el proceso que se evalúa, el contenido al cual pertenece el ítem, el subcontenido del ítem y el tema que trata, así como la dificultad en la que se encuentra ubicado según la clasificación de la taxonomía de Marzano.

Sobre las opciones de respuestas: indica los errores comunes que comenten los

estudiantes durante el proceso de resolución del ítem.

Es importante resaltar que este documento NO es un formulario de preguntas que deba estudiarse para resolver la prueba; más bien es una ejemplificación del tipo de ítems que la componen y, quien así lo desee, los resuelva a manera de ensayo. Para obtener más información acerca de lo que se mide y los resultados que los estudiantes obtienen según las destrezas y estrategias evaluadas en Graduandos, se pueden consultar los documentos: Guía para resolver la prueba de matemática de la evaluación Graduandos y los bifoliares Aprender del error para graduandos del área de Matemática.

http://www.mineduc.gob.gt/digeduca/documents/instructivosEstudiantes/2017/Contenido_GRAD_Matematica_2017.pdf

http://www.mineduc.gob.gt/digeduca/documents/instructivosEstudiantes/2017/Contenido_GRAD_Matematica_2017.pdf

http://www.mineduc.gob.gt/digeduca/?p=aprender_del_error_graduandos.asp



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Ítem N.° 1 Solución

Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas a No es correcta porque el estudiante toma 60° como si fuera el área de 60 cm2. b No es correcta porque el estudiante confunde área con grados y le resta a 480 cm2 el

ángulo de toda la circunferencia obteniendo erróneamente 120 cm2.

El área total del círculo es 480 cm2 . ¿Cuánto mide la parte sombreada si 𝛼 = 60° ?

a) 60 cm2 b) 120 cm2 c) 400 cm2

Respuesta correcta: c

A. Se calcula la proporción de la parte sombreada y esta se multiplica por el área total del círculo. 360° – 60° = 300°

300/360=5/6 entonces (5/6)480 cm2 = 400 cm2

Otra forma

B. Se calcula la proporción de la parte no sombreada y se multiplica por el área total. Lo que se obtiene corresponde a la parte del círculo que no está sombreada y luego se resta del total. 60/360 = 1/6 1/6x480 cm2 = 80 cm2 Entonces 480cm2 – 80 cm2 = 400 cm2

Proceso: Reproducción, definiciones y cálculo Contenido: Geometría Subcontenido: Área Tema: Área sombreada Taxonomía de Marzano: Comprensión



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Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas

a No es correcta porque el estudiante calcula la raíz cuadrada de 9x2 y obtiene 3x. c

No es correcta porque el estudiante calcula la raíz de 36x2 y obtiene 6x. Descompone el 12 en 4*3. Saca la raíz de 9 y multiplica por el tres del 12, este tiene raíz. Solo queda la raíz de 4 que es 2 multiplicada por la primera raíz que se obtuvo primero (6), por lo que queda como resultado 6*2 = 12. Por último le agrega la x.

¿El valor de √𝟑𝟔𝒙𝟐√𝟏𝟐𝒙√𝟗𝒙𝟐𝟑

es?

a) a) 3x b) 6x c) 12x

Respuesta correcta: b

El ejercicio3 2 236x 12x 9x se

puede resolver empezando desde

la raíz más interna, que es 29x y cuyo valor es 3x.

23 36x 12x(3x) Se multiplica

dentro de la raíz el valor de 12x por 3x.

3 2 236x 36x Se obtiene la raíz cuadrada de 36x2, que es igual a 6x.

23 36x (6x) Se multiplica 36x2

por 6x, resultando 216x3.

3 3216x El número 216 puede ser expresado como 63.

3 3 36 x = 6x .

Proceso: Reproducción, definiciones y cálculo Contenido: Álgebra Subcontenido: Radicación Tema: Propiedades de radicación Taxonomía de Marzano: Análisis



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Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas a No es correcta porque el estudiante divide 21 entre el total de los números que son 500

y tiene una probabilidad de 21/500*100 =4.2 %. c No es correcta porque el estudiante divide erróneamente 420 entre 21 y encuentra como

resultado 20 y lo expresa en porcentaje.

Para una rifa se pusieron a la venta 500 números, pero se aclaró que solo los números vendidos entraban a sorteo. En total se vendieron 420 números, de los cuales Luisa compró 21. ¿Qué probabilidad tiene Luisa de ganar la rifa? a) 4.2 % b) 5.0 % c) 20.0 %


Este es un problema de probabilidad clásica que se define como:

𝑝(𝐴) =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝐴

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑝(𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑠)

p(A) = 21/420 x 100 % = 5 %

Proceso: Conexiones e integración para la resolución de problemas Contenido: Estadística Subcontenido: Probabilidad Tema: Probabilidad de un evento simple Taxonomía de Marzano: Utilización



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Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas a No es correcta porque el estudiante suma indistintamente dentro de paréntesis, ya

que no tomó en cuenta que son fracciones. b No es correcta porque el estudiante opera mal dentro y fuera del paréntesis.

Resuelva la siguiente operación:

26

3

3

1

5

6

a) – 21/208 b) –15/22 c) –1/10


Se inicia operando dentro del paréntesis (–18+5)/15 *3/26=

El resultado del paréntesis lo opera con la fracción de afuera –13/15*3/26=

El resultado sería = –39/390

Simplificado quedaría = –1/10

Proceso: Reproducción, definiciones y cálculos Contenido: Aritmética Subcontenido: Números racionales Tema: Operaciones combinadas de números racionales Taxonomía de Marzano: Conocimiento-recuerdo



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Ítem N.° 5

Datos del ítem Solución

Sobre las opciones de respuestas a No es correcta porque el estudiante observa que hay 17 hombres en la sección A la

cual tiene un total de 48. c No es correcta porque el estudiante observa que hay 17 en la sección A de 35 hombres

que hay en total.

La tabla representa el número de mujeres y hombres inscritos en el curso de Geometría que se imparte en las secciones A y B. Si se elige a un estudiante de este curso al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre y esté en la sección A?

Sección “A” Sección “B” Total Mujeres 31 24 55 Hombres 17 18 35 48 42 90

a) 17/48 b) 17/90 c) 17/35


Este es un problema de probabilidad compuesta y condicional; para resolverlo hay que aplicar la regla de la multiplicación.

p(A y B) = p(A)×p(B/A)

17 48 17p(A y B) = × =

48 90 90

Proceso: Conexiones e integración para la resolución de problemas Contenido: Estadística Subcontenido: Probabilidad Tema: Probabilidad condicional Taxonomía de Marzano: Utilización



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Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas a No es correcta porque el estudiante interpreta que el cuadrado del que habla la

oración, es solo para x. b No es correcta porque el estudiante interpreta que el cuadrado del que habla la

oración es solo para 3y.

La interpretación verbal de 3

5(𝑥2 + 3𝑦)2 es:

a) Los 3/5 del cuadrado de x más el

triplo de y al cuadrado. b) Los 3/5 de la suma de x al

cuadrado más 3y elevada al cuadrado.

c) Los 3/5 del cuadrado de la suma de x al cuadrado más 3y.


Los 5

3 del cuadrado de la

suma de x al cuadrado más 3y.

Proceso: Conexiones e integración para la resolución de problemas Contenido: Álgebra Subcontenido: Expresión algebraica Tema: Lectura de expresiones algebraicas Taxonomía de Marzano: Comprensión



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Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas a No es correcta porque el estudiante divide dentro de dos. b No es correcta porque el estudiante encuentra el área multiplicando 12*2=24 y

vuelve a multiplicar por 2.

¿Cuál es el área del piso que no está sombreada, si el bloque que se tomó de muestra ABCD, tiene forma cuadrada de 12 metros por lado? B C

A D

a) 36 m2 b) 48 m2 c) 72 m2


Al unir las áreas en blanco se obtiene la mitad del cuadrado más grande, por lo tanto el área que no está sombreada es ½ del área total entonces la solución es igual a 12∗12

2=

144

2= 72

Proceso: Resolución de problemas Contenido: Geometría Subcontenido: Área Tema: Área sombreada Taxonomía de Marzano: Utilización



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Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas a No es correcta porque el estudiante suma las bases y los exponentes. c No es correcta porque el estudiante multiplica las bases aunque suma los

exponentes.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) 52 + 25 = 77

b) 52 ∙ 55 = 57

c) 52 ∙ 25 = 107


Se inicia con la condición que para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes: 52•55 = 57

Proceso: Reproducción, definiciones y cálculos Contenido: Aritmética Subcontenido: Potenciación Tema: Multiplicación de potencias Taxonomía de Marzano: Conocimiento-recuerdo



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Datos del ítem


a No es correcta porque el estudiante eleva al cuadrado los dos términos y reduce términos semejantes.

b No es correcta porque el estudiante eleva al cuadrado los dos términos y el negativo del 5 lo convierte en positivo y reduce términos semejantes.

Si a = 3x–5 y b = 5x+2, ¿cuál es el valor de a2+b2?

a) 34x2 – 21

b) 34x2 + 29

c) 34x2 – 10x + 29

Respuesta correcta: c En la expresión a2+b2 se reemplaza a por (3x – 5) y b por (5x + 2) resultando: (3x – 5)2 y b por (5x + 2)2 Se eleva cada binomio al cuadrado. (9x2 – 30x + 25) + (25x2 + 20x + 4) Se reducen términos semejantes. (9x2 + 25x2) + (– 30x + 20x) + (25 + 4) y queda como resultado 34x2 -10x + 29.

Proceso: Resolución de problemas Contenido: Álgebra Subcontenido: Evaluación de expresiones algebraicas Tema: Valor numérico Taxonomía de Marzano: Comprensión



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Datos del ítem


a No es correcta porque el estudiante operó mal dentro del paréntesis y obtuvo 1/3 y al dividir 5/16 entre 1/3 obtuvo 15/16.

b No es correcta porque el estudiante multiplica 5/16 con (-1/40) y coloca las cantidades erróneamente 16/200 y simplifica no completamente para encontrar el resultado de -4/50.

Resuelva la siguiente operación:

5

2

8

3

16

5

a) 16

15 b)

50

4 c)

2

25


Se debe iniciar operando dentro del paréntesis; se

obtiene =5

16÷ (

−1

40)

Al operar se multiplica la primera fracción por el inverso de la segunda por lo que (5*40) / (16*-1) = 200/-16

Simplificando = -25

2

Proceso: Reproducción, definiciones y cálculos Contenido: Aritmética Subcontenido: Números racionales Tema: Operaciones con números racionales Taxonomía de Marzano: Conocimiento-recuerdo



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Datos del ítem


a No es correcta porque el estudiante desarrolla el binomio en el segundo término omite el signo del 5, sustituye por 3 en y, no toma el signo positivo y le queda 289+25=314.

c No es correcta porque el estudiante desarrolla el binomio y luego opera en el segundo término sustituyendo el 3 en y como positivo 289 -5(2+3) y queda 289-25=264.

¿Cuál es el valor de (𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒚)𝟐 − 𝟓(𝒙 + 𝒚)si x = 2 e y = –3?

a) 314 b) 294 c) 264


(2x2– 3y)2 – 5(x + y). Se remplazan los valores dados: (2(2)2 – 3(-3))2 – 5(2-3)

Se resuelve el cuadrado de 2 y el producto de – 3 por 3: (2(4)+9)2 – 5(2-3)

Se resuelve la multiplicación de 2 por 4 y la operación de (2 – 3). (8+9)2 – 5(-1) Se hace la suma de 8 más 9 y la multiplicación de -5 por -1 recordando que el producto de dos números negativos da positivo.

172+5 Se resuelve el cuadrado de 17 y se le suma 5: 289 + 5 = 294

Proceso: Reproducción, definiciones y cálculos Contenido: Álgebra Subcontenido: Evaluación de expresiones algebraicas Tema: Valor numérico Taxonomía de Marzano: Comprensión



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Datos del ítem


b No es correcta porque el estudiante tomó 2/5 como 5/2 y calcula erróneamente =60000*5/2=150,000.

c No es correcta porque el estudiante no toma en cuenta los 10,000 y para encontrar el total se hizo 50000*5/2=125,000.

Roberto recibe una herencia e invierte 2/5 de la misma en un negocio. Del resto le presta a su hermana Q 10, 000.00 y le quedan Q 50, 000.00. ¿De cuánto fue la herencia que recibió?

a) Q 100, 000.00

b) Q 150, 000.00

c) Q 125, 000.00

Respuesta correcta: a

Se recibe un total de herencia y se invierte 2/5 significa que quedaron 3/5 de la herencia que están formados por los 10,000 que se le prestó a la hermana y los 50,000 que le quedan, por lo tanto la herencia total = (50,000+10,000)=60,000 y esto se resuelve con una regla de tres: 60,000------------------3/5 Total de la herencia-----1 60000(1) ÷ 3/5 =60000(5)/3 = Q 100, 000.00

Proceso: Resolución de problemas Contenido: Aritmética Subcontenido: Regla de tres Tema: Regla de tres simple Taxonomía de Marzano: Utilización



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Datos del ítem


a No es correcta porque el estudiante establece que la ecuación está igualada a 1/3, y toma ese dato como el valor de x.

b No es correcta porque el estudiante obtiene 7x-3+2x-1=1/3, opera 9x-4=1/3 y encuentra que x es 13/27.

¿Cuál es el valor de x en la ecuación

7(𝑥 − 3) + 3 (2

3𝑥 − 1) =

1

3 ?

a) 1/3 b) 13/27 c) 73/27


Se toma la expresión para eliminar los paréntesis por medio de la multiplicación

7(x-3)+3(2

3𝑥 − 1)=1/3

Se obtiene 7x–21+6x/3–3 =1/3

Operando términos semejantes

21

3𝑥 +

6

3𝑥 − 24 =

1

3

Simplificando la expresión 27

3𝑥 =

1

3+

72

3

Despejando x = 73/27

Proceso: Reproducción, definiciones y cálculos Contenido: Álgebra Subcontenido: Ecuaciones Tema: Ecuación lineal con una variable Taxonomía de Marzano: Comprensión



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Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas a No es correcta porque el estudiante toma en cuenta solo el valor numérico de la

expresión sin poner atención al signo. b No es correcta porque el estudiante lee el símbolo «menor que» como «mayor que».

¿Cuál de las siguientes desigualdades es verdadera? a) −

4

5> −

3

7

b) 4.16̅ < 4.15

c) 12

23<

2

3


Se ubica en la recta numérica 2/3~0.67, se encuentra a la derecha de 12/23~0.52 lo que significa que 12/23 es menor que 2/3.

Proceso: Reproducción, definiciones y cálculos Contenido: Aritmética Subcontenido: Desigualdades Tema: Desigualdad numérica Taxonomía de Marzano: Conocimiento-recuerdo



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Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas a No es correcta porque el estudiante multiplica la altura por la profundidad, es decir

5*25 y obtiene erróneamente 125. b No es correcta porque el estudiante multiplica la base por la altura por la raíz de la

longitud, es decir 5*9*251/2 = 225

Para poder completar una parte de la vía del tren, se va a construir a través de una montaña un túnel rectangular. La entrada a la montaña debe medir 5 metros de alto y 9 metros de ancho. Si se calcula que la longitud del túnel será de 25 metros, ¿cuántos metros cúbicos de tierra se deben remover para poder construirlo?

a) 125 m3 b) 225 m3 c) 1,125 m3


Volumen = largo x ancho x alto Volumen = (25 m)(9 m)(5 m) =

1,125 m3

Proceso: Conexiones e integración para la resolución de problemas Contenido: Geometría Subcontenido: Volumen Tema: Volumen Taxonomía de Marzano: Comprensión



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Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas a No es correcta porque el estudiante asume que a los 1,000 litros que le caben al

tanque aún hay que sumarle los 25 que caen por minuto y que esto da 240. c No es correcta porque el estudiante multiplica los 240 litros que se tienen, por la suma

del tiempo con los 25 litros que se bombean.

Un tanque de combustible con capacidad de 1,000 litros, tiene ahora 240 litros de gasolina. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si se usa una manguera para llenar lo que bombea a 25 litros por minuto? La ecuación que resuelve el problema es: a) 1,000 + 25t = 240

b) 240+25t = 1,000

c) 240(t+25) = 1,000


Se inicia con que el tanque tiene una capacidad de 1,000 por lo que todo debe ser igualado a esa cantidad y para llenarlos ya se tienen 240 litro a los que se le suman los 25 litros que se bombean en cada tiempo (minutos). Se obtiene 240+25t=1,000.

Proceso: Pensamiento matemático Contenido: Álgebra Subcontenido: Ecuaciones Tema: Planteo de ecuación lineal con una variable Taxonomía de Marzano: Comprensión



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Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas a No es correcta porque el estudiante tomó en cuenta en la subida el primer nivel, decir,

un piso más. c No es correcta porque el estudiante suma todos los niveles y lo toma de 34 segundos y

solo el último lo tomó como de 26 segundos.

Soraya fue a una entrevista de trabajo y se perdió en el edificio. Empezó en el primer piso y luego decidió subir 4 pisos. Después bajó 3 pisos, luego subió otros 7; y por último bajó otro piso hasta dar con la oficina donde la habían citado. Tomando en cuenta que cada bajada de piso le lleva 26 segundos y cada subida le toma 34 segundos, ¿cuánto tiempo tardó Soraya en encontrar la oficina que buscaba? a) 5 minutos con 18 segundos b) 7 minutos con 58 segundos c) 8 minutos con 36 segundos


Se indica que Soraya subió 11 niveles en total que se multiplican por 34 segundos que se tardó para subir cada nivel = 374 s.

Bajó 4 niveles en total que se multiplican por 26 segundos que se tardó para bajar cada nivel= 104 s.

En total tardó 478 segundos que equivalen a 7 minutos con 58 segundos.

Proceso: Resolución de problemas Contenido: Aritmética Subcontenido: Números naturales Tema: Operaciones con números naturales Taxonomía de Marzano: Utilización



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Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas a No es correcta porque el estudiante opera solo los 28 minutos, sin tomar en cuenta

los 14 minutos más. c No es correcta porque el estudiante toma los 60 km/h y lo divide dentro de los dos

tiempos que da el problema.

La distancia entre dos ciudades es de 42 km. Usualmente toma 28 minutos ir de una ciudad a otra pero, debido a las reparaciones que se están haciendo en la carretera, el viaje toma ahora 14 minutos más de tiempo. Encuentre la velocidad a la que se puede manejar ahora. (Recuerde d = vt)

a) 90 km/h b) 60 km/h c) 30 km/h


Se obtiene la velocidad que es una razón de cambio entre el desplazamiento y tiempo v = d/t.

Se debe tomar en cuenta que son 28 minutos que se tardaba normalmente y ahora tarda 14 más, por lo tanto el total es de 42 minutos de los 60 que tiene una hora.

Al resolver la proporción V = 42km/(42/60)h = 60 km/h.

Proceso: Resolución de problemas Contenido: Álgebra Subcontenido: Proporcionalidad Tema: Proporción directa Taxonomía de Marzano: Utilización



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Datos del ítem

Sobre las opciones de respuestas b No es correcta porque el estudiante multiplica el precio de oferta por la cantidad

total de litros que se compran. c No es correcta porque el estudiante multiplica el precio de oferta por 6 litros

únicamente sin tomar en cuenta el total comprado y el precio total por el total de litros.

Un supermercado oferta esta semana una marca de leche a Q 7.95 el litro, pero una persona puede llevar como máximo 6 litros a precio de oferta; el resto de litros los puede comprar a precio normal de Q 10.25. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el total a pagar si una persona compra más de 6 litros de leche?

a) 𝑇 = 7.95(6) + 10.25(𝑛 − 6)

b) 𝑇 = 7.95𝑛 + 10.25(𝑛 − 6)

c) 𝑇 = 10.25𝑛 + 7.95(6)

Respuesta correcta: a

Se debe establecer que Q 7.95 es el precio que se debe pagar por cada uno de los 6 litros de la oferta (7.95 *6) y se pagan a Q 10.25 los litros que se compren después de los 6 de oferta. Esto se representa como n-6 por lo que [10.25*(n-6)]

El total a pagar es T= 7.95 (6)+10.25 (n-6).

Proceso: Pensamiento matemático Contenido: Álgebra Subcontenido: Ecuaciones Tema: Planteo de ecuaciones lineales con una variable Taxonomía de Marzano: Análisis



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Datos del ítem


a No es correcta porque el estudiante toma el total del precio de los dos vehículos y restó el total de descuentos. Esto es el dinero total recibido que no responde a la pregunta formulada.

c No es correcta porque el estudiante toma únicamente lo que se perdió en el segundo vehículo.

Un comerciante vendió 2 automóviles; un automóvil modelo 2009, cuyo precio original era de Q 78, 500.00, fue vendido en las ¾ de su precio. El otro, un automóvil modelo 2011, fue vendido a 7/9 de su precio, el cual era de Q 90, 000.00. ¿Cuánto dinero perdió el vendedor?

a) Q 128,875.00 b) Q 39,625.00 c) Q 20,000.00


Se establece que el primer auto se vendió a ¾(Q 78, 500.00) = Q 58, 875.00 por lo que perdió Q 19, 625.00.

El segundo auto se vendió a 7/9(Q 90, 000.00) = Q 70, 000.00 por lo que perdió Q 20, 000.00

Por lo tanto perdió Q 19, 625.00+ Q 20, 000 = Q 39, 625.00

Proceso: Resolución de problemas Contenido: Aritmética Subcontenido: Números racionales Tema: Operaciones con racionales Taxonomía de Marzano: Utilización



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