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PreliminaresMétodos de solución

SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

Contenido

1 PreliminaresDefiniciones

2 Métodos de soluciónEl Método de Bisección de BolzanoEl Método de Newton-RaphsonEl Método de la SecanteEl Método de la Posición Falsa

Definiciones

Contenido

Definiciones

DefiniciónSupongamos que f (x) está definida en un conjunto S denúmero reales y sea x0 ∈ S. Se dice que f es continua enx = x0 si

l«ımx→x0

f (x) = f (x0)

Se dice que f (x) es continua en S si es continua en cada puntox ∈ S. Denotaremos por C(s) el conjunto de todas lasfunciones f que son continuas en S. Cuando S sea unintervalo, digamos [a, b], entonces usaremos la notaciónC[a, b].

Definiciones

DefiniciónRaíz de una ecuación, cero de una función. Supongamosque f (x) es una función continua. Cualquier número r tal quef (r) = 0 se llama raíz de la ecuación f (x) = 0; también se diceque r es un cero de la función f (x).

Teorema del valor intermedio o de Bolzano.Supongamos que f ∈ C [a, b] y que L es cualquier númeroentre f (a) y f (b). Entonces existe un número c en (a, b) tal quef (c) = L.

Definiciones

DefiniciónRaíz de una ecuación, cero de una función. Supongamosque f (x) es una función continua. Cualquier número r tal quef (r) = 0 se llama raíz de la ecuación f (x) = 0; también se diceque r es un cero de la función f (x).

Teorema del valor intermedio o de Bolzano.Supongamos que f ∈ C [a, b] y que L es cualquier númeroentre f (a) y f (b). Entonces existe un número c en (a, b) tal quef (c) = L.

El Método de Bisección de BolzanoEl Método de Newton-RaphsonEl Método de la SecanteEl Método de la Posición Falsa

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El Método de Bisección de Bolzano

1. Empezar con un intervalo de partida [a, b] en el que f (a) yf (b) tengan distinto signo. Entonces, por el anterior Teorema, lagráfica y = f (x) cruzará el eje OX en un cero x = r que está endicho intervalo.

2. Tomar el punto medio del intervalo c = a+b2 .

Si f (a) yf (c) tienen signos opuestos, entonces hay un ceroen [a, c].

Si f (c) y f (b)tienen signos opuestos, entonces hay un ceroen [c, b].

Si f (c) = 0, entonces c es un cero.

3. Renombramos el nuevo intervalo más pequeño tambiéncomo [a, b] y repetimos el proceso hasta que el intervalo seatan pequeño como deseemos.

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El Método de Newton-Raphson

Supongamos que la aproximación inicial p0 está cerca de laraíz p. Definimos p1 como el punto de intersección del eje deabcisas con la recta tangente a la curva en el punto(p0, f (p0)) .p1 estará más cerca de p que p0.

Podemos encontrar la ecuación que relaciona p1con p0igualando dos fórmulas distintas para la pendiente m de larecta tangente. Por un lado,

m =0− f (p0)

p1 − p0

que es la pendiente de la recta que pasa por (p1, 0) y(p0, f (p0)); por otro lado,

m = f′(p0)

que es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto(p0, f (p0)) .

Igualando y despejando p1obtenemos:

p1 = p0 −f (p0)

f ′ (p0)

Este proceso puede repetirse para obtener una sucesión {pk}que converge a p.

Teorema de Newton-Raphson.

Supongamos que la función f ∈ C2 [a, b]y que existe un númerop ∈ [a, b] tal que f (p) = 0. Si f

′(p) 6= 0, entonces existe δ > 0

tal que la sucesión {pk}∞k=0 definida por el proceso iterativo

pk = g (pk−1) = pk−1 −f (pk−1)

f ′ (pk−1)

para k = 1, 2, ..., converge a p cualquiera que sea laaproximación inicial p0 ∈ [p − δ, p + δ].

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El Método de la Secante

En el algoritmo de Newton-Raphson hay que evaluar dosfunciones en cada iteración, f (pk−1) y f

′(pk−1).

Hay muchas funciones dadas en forma no elemental(como integrales, o sumas de series, etc.) para las quesería deseable disponer de un método que necesiteevaluaciones únicamente de f (x)y no de f

′(x).

El método de la secante necesita sólo una evaluación def (x) por paso.

′(pk−1).

′(x).

′(pk−1).

′(x).

Partimos de dos puntos iniciales (p0, f (p0)) y (p1, f (p1))cercanos al punto (p, 0), y se define p2 como la abcisa delpunto de intersección de la recta que pasa por estos dospuntos con el eje OX. p2 estará más cerca de p que p0 y quep1.

La fórmula que relaciona p2, p1y p0 se halla escribiendo lapendiente de la recta en cuestión:

m = f (p1)−f (p0)p1−p0

y m = 0−f (p1)p2−p1

La primera es la pendiente de la recta secante que pasapor los dos puntos iniciales. La segunda es la pendientede la recta que pasa por (p1, f (p1)) y (p2, 0).

La fórmula que relaciona p2, p1y p0 se halla escribiendo lapendiente de la recta en cuestión:

m = f (p1)−f (p0)p1−p0

y m = 0−f (p1)p2−p1

La primera es la pendiente de la recta secante que pasapor los dos puntos iniciales. La segunda es la pendientede la recta que pasa por (p1, f (p1)) y (p2, 0).

Igualando los miembros derechos de las dos fórmulas ydespejando p2 = g (p1, p0) obtenemos

p2 = p1 −f (p1) (p1 − p0)

f (p1)− f (p0)

El término general de la sucesión generada por estemétodo viene dado por la fórmula de iteración de dospuntos:

pk+1 = g (pk , pk−1) = pk −f (pk ) (pk − pk−1)

f (pk )− f (pk−1)

para k = 1, 2, ....

Igualando los miembros derechos de las dos fórmulas ydespejando p2 = g (p1, p0) obtenemos

p2 = p1 −f (p1) (p1 − p0)

f (p1)− f (p0)

El término general de la sucesión generada por estemétodo viene dado por la fórmula de iteración de dospuntos:

pk+1 = g (pk , pk−1) = pk −f (pk ) (pk − pk−1)

f (pk )− f (pk−1)

para k = 1, 2, ....

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El Método de la Posición Falsa

Supongamos que f (a) y f (b) tienen distinto signo. En elmétodo de bisección se usa el punto medio del intervalo[a, b] para llevar a cabo el siguiente paso.

Suele conseguirse una mejor aproximación usando elpunto (c, 0)en el que la recta secante L que pasa por lospuntos (a, f (a)) y (b, f (b)) cruza el eje OX.

Supongamos que f (a) y f (b) tienen distinto signo. En elmétodo de bisección se usa el punto medio del intervalo[a, b] para llevar a cabo el siguiente paso.

Suele conseguirse una mejor aproximación usando elpunto (c, 0)en el que la recta secante L que pasa por lospuntos (a, f (a)) y (b, f (b)) cruza el eje OX.

Para hallar el punto c, igualamos dos fórmulas para lapendiente m de la recta L:

m =f (b)− f (a)

b − a

usando los puntos (a, f (a)) y (b, f (b))y

m =0− f (b)

c − b

usando los puntos (c, 0) y (b, f (b)) . Igualando y despejando c:

c = b − f (b) (b − a)

f (b)− f (a)

Las tres posibilidades son las mismas que con la bisección deBolzano:

1 Si f (a) y f (c) tienen signos opuestos, entonces hay uncero en [a, c].

2 Si f (c) y f (b) tienen signos opuestos, entonces hay uncero en [c, b].

3 Si f (c) = 0, entonces c es un cero.

La fórmula dada junto con el proceso de decisión descritose usa para construir una sucesión de intervalos {[an, bn]}cada uno de los cuales contiene un cero.

En cada paso la aproximación al cero obtenida es:

cn = bn −f (bn) (bn − an)

f (bn)− f (an)

y puede probarse que la sucesión {cn} converge a un ceror de la función.

Apéndice

La fórmula dada junto con el proceso de decisión descritose usa para construir una sucesión de intervalos {[an, bn]}cada uno de los cuales contiene un cero.

En cada paso la aproximación al cero obtenida es:

cn = bn −f (bn) (bn − an)

f (bn)− f (an)

y puede probarse que la sucesión {cn} converge a un ceror de la función.

Apéndice

Bibliografía

MATHEWS, John; KURTIS, Fink.Métodos Numéricos con MATLAB.Prentice Hall, 2000.

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