SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE RIEMANN PARA LAS ECUACIONES DE FLUJO POCO COMPRESIBLE · 2015. 6. 10. ·...

Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia 2015Lisboa, 29 de Junho a 2 de Julho, 2015

© APMTAC, Portugal, 2015

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE RIEMANN PARA LASECUACIONES DE FLUJO POCO COMPRESIBLE

J. Soler 1* y P. Gamazo2

1: Departamento del agua Regional Norte

Universidad de la Repúblicac/ General Rivera 1350, 50.000-Salto, Uruguay

e-mail: [email protected]

2: Departamento del agua Regional Norte

Universidad de la Repúblicac/ General Rivera 1350, 50.000-Salto, Uruguay

e-mail: [email protected]

Palabras clave: CFD, Riemann solvers, Método de los volúmenes finitos, Flujo lámina libre.

Resumen Se presentan las ecuaciones de flujo poco compresible (SCFE) y se plantea elproblema de Riemann para discontinuidades. Se propone una solución a dicho problemaque también puede ser aplicada a la interfase entre fluidos en contacto como en el casodel flujo en lámina libre. El solver es utilizado para el cálculo del flujo numérico deGodunov en un esquema de volúmenes finitos de primer orden. Se dan algunos ejemplosde aplicación del método en diferentes campos de la mecánica de fluidos. Las SCFEpueden ser consideradas como una adaptación de las ecuaciones del flujo de Navier-Stokes (NSE) a fluidos poco compresibles como el agua o el aire en condicionesambientales normales y son aplicables al flujo en lámina libre a baja presión y bajosnúmeros de Mach donde el proceso de compresión puede considerarse adiabático eisotérmico. Cuando se dan estas condiciones, se simplifica la solución del problema deRiemann. Someramente, dicha adaptación consiste en tomar la ley de elasticidad deHooke, aplicarla a fluidos y tomarla como ecuación de clausura en el sistema de NSE. Adiferencia de las ecuaciones de flujo incompresible, las SCFE mantienen la masa y lacantidad de movimiento como variables dependientes, con lo que las leyes deconservación mantienen el sentido físico de ley conservativa. Esta característica resultaimportante porque las formulaciones conservativas solo en sentido puramente matemáticoproducen soluciones erróneas en presencia de discontinuidades. Las SCFE constituyen unsistema que puede ser resuelto mediante un esquema numérico totalmente explícito queobtiene el campo de presiones/densidades de forma acoplada con el de velocidades acada paso de tiempo, pudiendo “capturar” el transitorio. Tales características hacen queel planteamiento altamente paralelizable.

mailto:[email protected]

J. Soler y P. Gamazo

1. INTRODUCCIÓN

Habitualmente, algunas estructuras presentes en los canales en lámina libre tienen la doblefunción de regular para distribuir el flujo y medir los caudales circulantes para que ladistribución sea equitativa. Curiosamente, en los canales de regadío, estas dos funciones lasrealizan estructuras diferentes [1]. Así, por ejemplo, en algunos canales españoles se utilizanaforadores Parshall en línea además de compuertas para la regulación. Esta aparenteredundancia de estructuras se justifica por la falta de precisión de los modelos hidráulicosbajo determinadas condiciones de flujo.

Trabajos recientes en calibración de modelos de compuertas radiales como [2] y [3] omodelos de compuertas verticales como [4] y [5] indican que los procedimientos no sonsuficientemente precisos en ciertas condiciones de sumergencia, la situación más habitual.Además, en presencia de múltiples compuertas funcionando en paralelo en las almenaras, lamedición del flujo presenta problemas adicionales de aparición de vórtices aguas abajo de lasmismas [6]. Esta problemática justifica plenamente la redundancia de estructuras mencionaday puede ser la causa de que los modelos de aforo propuestos resulten imprecisos.

Cuando el nivel de aguas abajo de la almenara en el canal es alto, el resalto generado en lascompuertas queda inundado. El chorro de agua bajo compuerta queda superpuesto por unamasa de agua que no tiene un movimiento neto claro en ninguna dirección [7] con lo que elflujo presenta remolinos en el plano vertical. Por otro lado, las compuertas trabajando enparalelo y con aberturas diferentes generan vórtices aguas abajo en el plano horizontal. Lapresencia de remolinos en todos los planos de la cuenca de la almenara situada aguas abajo delas compuertas genera un flujo claramente en 3D.

Una posible respuesta a la problemática descrita en los párrafos anteriores, es la construcciónde un modelo de flujo a través de una almenara basado en las ecuaciones de Navier-Sotkes en3D. Con esta herramienta, sería posible estudiar el fenómeno con más detalle y poder mejorarlos modelos unidimensionales de aforo. Por otro lado, la aparición de técnicas deprogramación en paralelo en máquinas cada vez más potentes hace pensar en la posibilidad deutilizar directamente el propio modelo 3D como herramienta de aforo.

En [8] se puso de manifiesto que la utilización de esquemas numéricos totalmente explícitosaplicados al flujo en lámina libre en 2D son altamente paralelizables y reducen el tiempo deresolución sustancialmente. Con la misma idea en mente, en el presente trabajo se plantean deunas nuevas ecuaciones, las denominadas ecuaciones de flujo poco compresible (SCFE), queson una adaptación de las ecuaciones para flujo compresible al flujo incompresible (o pococompresible). En estas nuevas ecuaciones, el campo de presiones no se calcula de formadesacoplada del de velocidades, sino que viene implícito en el campo de densidades, el cual seactualiza explícitamente en cada paso de tiempo. De este modo, podría decirse que lainformación del campo de presiones está contenido en el de densidades y el esquema finalresulta totalmente explícito y paralelizable. Este enfoque permite reproducir el movimiento de

2


los frentes de presión en el tiempo en caso de desearse, y no solo como vía para calcular elestado estacionario final.

Otra importante característica del flujo en almenaras es la presencia de fuertes gradientes develocidad y presión. Una discretización numérica que posibilitara su captura debería ser muycostosa y detallada en los puntos donde estos gradientes existieran. En opinión de los autoresde esta comunicación, el flujo en tales circunstancias puede considerarse discontinuo y sepodría obtener mejores resultados en la modelización si se adoptara dicha hipótesis. Sepropone utilizar el “método de captura de ondas de choque” [9] que se basa en la solucióndébil de las ecuaciones.

En las páginas 111 y 112 de [10] se asegura que las cantidades “a conservar” que aparecen enlas formulaciones que solamente son conservativas en sentido puramente matemático,producen velocidades equivocadas en presencia de ondas de choque y por lo tanto, solucioneserróneas. En la formulación clásica para fluidos incompresibles, las variables dependientesmasa y velocidad son las conservadas. No tiene sentido físico “conservar la velocidad”aunque proceda de una ley de conservación de la cantidad de movimiento. En cambio, laformulación presentada aquí tiene la masa y la cantidad de movimiento como variablesdependientes a conservar, lo que significa una importante ventaja de las SCFE frente a laformulación clásica.

Después de esta introducción, se presentan las SCFE y la solución al problema de Riemann,se utiliza esta solución para el cálculo de los flujos numéricos de Godunov en un esquema devolúmenes finitos de primer orden y finalmente, se dan tres ejemplos de aplicación yverificación de las ecuaciones presentadas.

2. ECUACIONES DE FLUJO POCO COMPRESIBLE

2.1.- Condición de clausura: la ley de Hooke

Una masa de fluido denotada por m está confinada dentro de un recipiente de volumen V0 bajouna presión P0 y tiene una densidad ρ0 = m/V0 (Figura 1) y se le somete a una nueva presiónP=P0+Δp=P0+ΔF/S. Por consiguiente, la masa es comprimida, aumenta su densidad al nuevovalor ρ y reduce el volumen ocupado al valor V.

Pressure: P0

Density: ρ0

Volume: V0

Mass: m

dx

ΔF

S

Pressure: PDensity: ρVolume: VMass: m

Figura 1: Esquema para la deducción de la ecuación de estado.

3


La cuestión es obtener una relación entre la presión y la densidad, esto es, la ecuación deestado. Teniendo en cuenta el principio de conservación de la masa, se obtiene la siguienteecuación diferencial ordinaria (EDO):

dm=0→d (ρ·V )=0→ ρ·dV +V·dρ=0→−VdV

=ρdρ

(1)

Multiplicando ambos lados de (1) por dp obtenemos:

−VdpdV

=ρdpdρ

=K

donde K es el módulo de compresibilidad. Esta ecuación puede reescribirse como la ley deHooke para medios continuos en fluidos de la siguiente manera:

dp=c (ρ)2dρ (2)

donde c(ρ) es la celeridad de la onda:

c (ρ)=√ Kρ

Valores de referencia de estos parámetros que han sido utilizados en los ejemplos numéricosposteriores pueden verse en la Tabla 1.

Presión de referencia: P0=101.325kPaTemperatura de referencia: T0=15ºC

Agua Aire

Módulo de compresibilidad (K) KW=2,2·109 (Pa) KA=1,42·105 (Pa)Densidad (ρ0) ρ0W=999,972 (Kg/m3) ρ0A=1,225 (Kg/m3)Celeridad (c(ρ0)) cW=1.483,260 (m/s) cA=340,468 (m/s)

Tabla 1. Valores de referencia usados en los ejemplos numéricos.

Tomando (p0,ρ0) como condiciones particulares de la solución general de (2), se obtiene:

ρ=ρ0 ·exp(p−p0

K) o p=p0+K·ln (

ρρ0

) (3)

2.2.- Ecuaciones de flujo poco compresible

La versión no viscosa y unidimensional en la dirección de la gravedad de las ecuaciones deNavier-Stokes puede ser escrita como ley conservativa de la siguiente manera:

U t+H (U )z=I (U ) (4)

donde t es el tiempo, z el espacio, U, H(U) e I(U) son, respectivamente, el vector de variablesconservativas, el vector de flujos y el término fuente; que se definen como:

4


U=[ ρρwρ·Ψ ] ; H (U )=[ ρw

ρw ²+ pρw·Ψ ] ; I (U )=[ 0

gρ0 ] (5)

donde g es la gravedad que vale 9,81m/s2 para la dirección vertical o g=0 de otro modo, ρ esla densidad, p es la presión, w es la velocidad en el eje z y ψ es un escalar pasivo querepresenta, por ejemplo, cualquiera de las velocidades tangenciales en los otros ejescoordenados. Si se asume que los fluidos se comprimen sin intercambio de calor ni demateria, esto es mediante un proceso isotérmico y adiabático, la ecuación de la energía puedeser eliminada porque acaba siendo redundante. Las velocidades tangenciales en la direcciónde los ejes x e y y la concentración de un contaminante aumentan el número de ecuaciones yañaden escalares pasivos. Una cantidad ψ(z,t) es transportada pasivamente por advección conel fluido. Por lo tanto, ψ es una representación general de estas variables. El número total deecuaciones y escalares pasivos depende de la dimensión del problema (1D, 2D o 3D). Si seincorpora la ecuación de clausura (3) en el sistema (4-5), tenemos:

U=[ρρwρ·Ψ ] ; H (U )=[

ρwρw ²+K·ln(ρ)−K·ln (ρ0)

ρw·Ψ ] ; I (U )=[0gρ0 ] (6)

Para considerar la superficie libre como una frontera entre dos medios con parámetros dereferencia diferentes (ρ0W,ρ0A), es necesario mantener en el vector de flujos el tercer sumandode la segunda componente, es decir, se tiene que considerar la variación espacial de ρ0. Elresto de parámetros de referencia permanecen constantes en todos los lugares.

2.3.- Invariantes de Rieman y estructura de vectores propios

Los invariantes de Riemann son el resultado de transformaciones matemáticas hechas sobre elsistema de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden de tipo cuasi-lineal, quepermiten resolverlo de manera más sencilla. Aquí, los invariantes de Riemann son la parte dela solución al problema de Riemann cuando ésta es continua y diferenciable. Definiendo:

U=[u1

u2

u3]≡[

ρρwρΨ ] ; H (U )=[

h1

h2

h3]≡[

u2

u22

u1

+K·ln(u1)−K·ln( ρ0)

u2u3

u1

] (7)

se puede escribir la matriz jacobiana de H(U) se la siguiente manera:

5


A(U )=[∂ H∂U

]=[0 1 0

Ku1

−u2

2

u12

2u2

u1

0

−u2u3

u12

u3

u1

u2

u1

]≡[0 1 0

c2(ρ)−w2 2 w 0−wΨ Ψ w ] (8)

Si se busca la solución del polinomio característico como sigue

[ A(U )]U=λU → [ A(U )−λ I ]=0 (9)

siendo Δ el determinante, se obtienen los siguientes valores propios y vectores propios por laderecha de A:

λ1=w−c (ρ) ; λ2=w ; λ3=w+c (ρ)

K (1)=(1,u−c (ρ),Ψ )

T ; K (2)=(0 ,0 ,1)

T ; K (3)=(1 ,w+c ( ρ) ,Ψ )

T (10)

Todos estos vectores son linealmente independientes y se pueden compilar en una matriz K;la matriz K y su inversa K-1 son:

K= [K (1)K (2) K (3) ]=[ 1 0 1w−c 0 w+cΨ 1 Ψ ] ; K−1

=[w+c2c

−1

2c0

−Ψ 0 1

−w−c

2c1

2c0] (11)

En condiciones subsónicas, cuando se tienen números de Mach bajos, c=c(ρ) es siempremayor que w de manera que los valores propios siempre son reales y diferentes y los vectorespropios linealmente independientes. En tales circunstancias, el sistema (4)-(6) se denominaestrictamente hiperbólico en un punto cualquiera (z,t). Transformaciones matemáticas sobre(4) permiten obtener la forma característica; estos pasos pueden representarse a modo deresumen de la siguiente manera:

U t+H (U )x=0 → U t+A(U )U x=0

K−1U t+[K−1 A(U )K ]K−1U x=0 → K−1(U t+ΛU x)=0

[K−1]dUdt

=0 along characteristic curves d Zdt

=λ

(12)

6


Los invariantes de Riemann son constantes a lo largo de las curvas características del sistemade EDO. La aplicación de (12) al sistema de leyes de conservación da la denominada formacaracterística:

ddt

[w+2c (ρ)]=0 along dz1

dt=w−c ( ρ)

dΨdt

=0 along dz2

dt=w

ddt

[w−2c( ρ)]=0 along dz3

dt=w+c( ρ)

} (13)

donde el sistema original de tres ecuaciones en derivadas parciales (4)-(6) queda substituidopor este otro de 6 EDO. El método de las características clásico es un método numérico pararesolver este sistema; desafortunadamente el funcionamiento de este método en presencia dediscontinuidades no es bueno.

Un campo λi-característico se dice que es linealmente degenerado si λ∇ (i)·K(i)=0; i=1,2,3 ygenuinamente no lineal si ∇λi·K(i)≠0. El símbolo “·” denota el producto escalar de dosvectores en el espacio de fase (u1,u2,u3). Así, los campos característicos asociados a los valorespropios λ1 y λ3 son genuinamente no lineales, y el campo λ2 es linealmente degenerado:

λ1=u2

u1

−√K ·u1−0.5

λ2=u2

u1

λ3=u2

u1

+√K ·u1−0.5 }→

∇ λ1=[12 √ K

u1

u1−1

−u2

u12,

1u1

,0]≡[c−2w

2 ρ,1ρ

,0]

∇ λ2=[−u2

u12 ,

1u1

,0]≡[−wρ,1ρ

,0]

∇ λ3=[−u2

u12 ,

1u1

,0 ]≡[−(c+2w

2 ρ) ,

1ρ

,0] }→∇ λ1 ·K(1)=−

c2 ρ

∇ λ2 ·K(2)=0

∇ λ3 ·K(3)=

c2 ρ

} (14)

2.4.- Solución del problema de Riemann

En este apartado vamos a resolver exactamente el siguiente problema de valor inicial deRiemann:

U t +H(U)z=0

U (z ,0)={UL if z<0U R if z>0 } (15)

Para las ecuaciones (4) y (6), la solución presenta la estructura que se muestra en la Figura 2.Existen tres familias de ondas que separan cuatro estados; de izquierda a derecha estosestados son UL (valor inicial que es dato conocido), UL

*, UR* y UR (también dato conocido).

Los estados UL* y UR

* emergen de la interacción de los estados UL y UR y comprenden ladenominada Región estrella (en la Figura 2 denotada en inglés con Star Region). Las ondasizquierda y derecha pueden ser ondas tanto de choque como de rarefacción; todas la variables

7


del flujo cambian a través de estas dos ondas pero el cambio producido a través de las dechoque es discontinuo. La onda de en medio es una onda de corte —también denominadadiscontinuidad de contacto— a través de la cual (Path 2) w* es constante y (ρ,Ψ) presentan unadiscontinuidad de salto, desde el estado (ρL

*,ΨL*) al (ρR

*,ΨR*).

z

t

0

UR = (ρ

R,w

R,Ψ

R)T

λ3=w+c

λ2=w

Star Region

λ1=w-c

UL = (ρ

L,w

L,Ψ

L)T

UR

* = (ρR

*,w*,ΨR

*)TUL

* = (ρL

*,w*,ΨL

*)T

Path 2

Path 3

Path 2

Path 1

Figura 2: Estructura de la solución del problema de Riemann.

La estrategia de la solución se basa en el hecho que w* es constante en toda la Región estrella;como se demostrará en la siguiente sección.

2.4.1. - La superficie libre como discontinuidad de contacto

En el flujo en lámina libre en canales, la superficie libre es una frontera que separa el agua delaire. En esta comunicación la superficie libre es considerada como una discontinuidad dedensidad y puede ser vista como una onda de contacto. Para una onda de contacto, los dosestados conocidos UL

* y UR* se conectan a través de una simple discontinuidad de salto que

viaja a velocidad S2 en el campo λ2-característico linealmente degenerado y deben verificar lassiguientes condiciones [10]:

1. Condiciones de Rankine–Hugoniot a través del paso “Path 2” de la Figura 2:

S2=ΔH (U )

ΔU=

H (UL*)−H (U R

*)

U L*−U R

* (16)

2. Constancia en los Invariantes generalizados Riemann dados por las siguientes EDO:

dΨdt

=0 a lo largo de dz2

dt=w (17)

3. Condición de curvas características paralelas:

λ2(UL*)=λ2(U R

*) (18)

8


Desarrollando (16), obtenemos las siguientes relaciones algebraicas:

S2=ρR

* ·wR*− ρL

* ·wL*

ρR*−ρL

*

S2=ρR

* ·(wR* )2− ρL

* ·(wL* )2+KR · ln(ρR

* )−KR · ln (ρ0R )−KL · ln (ρ*L)+K L· ln( ρ0L)

ρR* ·wR

*− ρL

* ·wL*

S2=ρR

* ·wR* ·Ψ R

*−ρL

* ·wL* ·Ψ L

*

ρR* ·ΨR

*− ρL

* ·Ψ L*

(19)

Dado que a ambos lados de la superficie libre considerada como discontinuidad de contactotiene que haber la misma presión (la presión que ejerce el aire sobre la superficie de agua debede ser igual a la presión que ejerce el agua sobre la superficie de aire), deberá cumplirse lasiguiente relación:

KR · ln(ρR*)−KR · ln(ρ0R) = K L· ln( ρL

*)−KL · ln(ρ0L) (20)

Teniendo en cuenta (20), si se iguala la primera ecuación de (19) a la segunda y se opera paraeliminar S2, la segunda condición de Rankine-Hugoniot puede ser substituida por la siguiente:

wR* =wL

*=w* → S2=w* (21)

Desde el punto de vista físico, es fácil aceptar esta condición sobre la superficie libre si seacepta la hipótesis de no deslizamiento, de acuerdo con la cual, la velocidad relativa entreambos fluidos en la frontera es cero. Introduciendo (21) en la tercera condición de (19), sepuede concluir que cualquier combinación de valores de ΨR

* y ΨL* satisface esta condición.

Respecto a los invariantes generalizados de Riemann, si se resuelven las EDO a ambos ladosde la superficie libre, se obtiene:

Ψ L*=Ψ L ; Ψ R

*=Ψ R (22)

Finalmente, (21) hace trivial la condición de características paralelas.

2.4.2. - Discontinuidades de choque

A través del camino “Path 1” de la Figura 2 (entre los estados UL y UL*) y/o el camino “Path

3” (entre UR y UR*), podemos encontrar ondas de choque. Para una onda de choque, los dos

estados constantes están conectados por una simple discontinuidad de salto en un campo λi-característico genuinamente no lineal y se deben verificar la siguientes condiciones [10]:

1. Las condiciones de Rankine–Hugoniot a través de los caminos “Path 1” y/o “Path 3”:

S1=H(U L

*)−H (UL)

UL*−U L

; S3=H(UR

*)−H (UR )

U R*−U R

(23)

2. La condición de entropía:

λ1(UL)⩽S1⩽λ1(UL*) ; λ3(UR

*)⩾S3⩾λ3(U R) (24)

9


Desarrollando (23), se obtienen la siguientes relaciones algebraicas:

S1=ρL

* w*−ρLwL

ρL*−ρL

S3=ρR

* w*− ρR wR

ρR*−ρR

S1=ρL

*(w*

)2−ρLwL

2+K L ·[ ln( ρL

*)−ln (ρL)]

ρLw*– ρLwL

S3=ρR

*(w*

)2−ρRwR

2+KR ·[ ln (ρR

*)−ln (ρR )]

ρR* w* – ρR wR

S1=ρL

* w*Ψ L*−ρLwLΨL

ρL* Ψ L

*−ρLΨ L

S3=ρR

* w*ΨR*− ρR wR ΨR

ρR* ΨR

*−ρR ΨR

(25)

Si se procede de la misma manera que al encontrar (21) considerando la condición deentropía, podemos escribir:

(w*−wL)

2

KL

= ln (ρL

*

ρL

)·(ρL

* – ρL

ρL* ρL

) ; (w*

−wR)2

KR

= ln (ρR

*

ρR

)· (ρR

* – ρR

ρR* ρR

) (26)

Cuando w*, S1 y/o S3 son conocidas, el escalar pasivo puede ser actualizado a partir de (25):

Ψ L*=(

S1−wL

S1−w* )(ρL

ρL* ) ·Ψ L ; ΨR

*=(

S3−wR

S3−w* )(ρR

ρR* ) ·Ψ R (27)

2.4.3. - Ondas de rarefacción

A través del camino “Path 1” (entre los estados UL y UL*) y/o del “Path 3” (entre UR y UR

*),pueden existir ondas de rarefacción. Para una onda de rarefacción los dos estados constantesestán conectados a través de una transición continua y suave en un campo λi-característico nolineal. En tal caso, tienen que cumplirse las siguientes condiciones [10]:

1. Constancia de los invariantes generalizados de Riemann a través de “Path 1” y/o “Path3” resolviendo las siguientes EDO:

w+2c(ρ)=const1 along Path 3w−2c( ρ)=const3 along Path 1} (28)

2. Condición de curvas características divergentes:

λ1(UL)⩾S1⩾λ1(UL* ) ; λ3(UR

* )⩽S3⩽λ3(U R) (29)

Aplicando (28) a los largo de los caminos, se obtiene:

w*+2c (ρL

*)=wL+2c (ρL) ; w*

−2c( ρR*)=wR−2c (ρR) (30)

10


2.4.5. - Solución numéricaDe acuerdo con las tres secciones anteriores, la solución exacta del problema de Rieman (15)puede ser encontrada si se resuelve el sistema 3x3 no lineal siguiente:

h1(w* , ρL

* , ρR*)≡

ln( ρR* )−ln( ρ0R)

KL

−ln(ρL

* )+ln( ρ0L)

KR

h2(w* , ρL

* , ρR*)≡{

(w*−wL)

2

KL

−ln (ρL

*

ρL

)·(ρL

* – ρL

ρL* ρL

) if ρL*>ρL

(w*−wL)

2

KL

−4(1

√ ρL*−

1

√ ρL

)2

en otro caso

h3(w* , ρL

* , ρR*)≡{

(w*−wR)

2

K R

−ln (ρR

*

ρR

)·(ρR

* – ρR

ρR* ρR

) if ρR*>ρR

(w*−wR)

2

KR

+4 (1

√ρR*−

1

√ ρR

)2

en otro caso

} (31)

para encontrar las incógnitas w*, ρL* and ρR

*; entonces, mediante las expresiones:

Ψ L*={ (

S1−wL

S1−w* )(ρL

ρL* ) ·Ψ L if ρL

*>ρL

Ψ L en otro caso

ΨR*={ (

S3−wR

S3−w* )(ρR

ρR* ) ·Ψ R if ρR

*>ρR

Ψ R en otro caso

(32)

se obtiene las actualizaciones del escalar pasivo ΨL* y ΨR

*. Frente esta proposición para lasolución numérica, cabe destacar los siguiente:

― La solución se obtiene para cualquier punto del eje (z=0, t>0 de la Figura 2) donde sedefinirá el flujo de Godunov en la siguiente sección.

― El método de Newton-Raphson para la obtención de los ceros de un conjunto defunción es, en este caso, una herramienta muy potente para resolver el sistema (31). Apesar de tratarse de un sistema iterativo en donde en cada iteración se puede producirun cambio de tipo de onda de choque o rarefacción según indican los condicionalesρL

*>ρL y ρR*>ρR, la experiencia nos dice que el método es muy eficaz.

― Si en ambos lados de la discontinuidad de contacto hay el mismo medio, (31) podríasimplificarse puesto que KL=KR, ρ0L=ρ0R y ρL

*=ρR*. Entonces el sistema se reduce a un

sistema de dimensión 2x2.― h1, h2 y h3 son funciones continuas de clase C2 como mínimo en todo el dominio;

especialmente en el límite cuando ρL* tiende ρL y cuando ρR

* tiende a ρR. Estas

11


características hacen que el método de Newton-Raphson sea altamente eficiente.

Será útil en la siguiente sección denotar esta solución numérica mediante la función RPS:

U *=(Ψ L

* , ρL* ,w* , ρR

* ,Ψ R*)T=RPS [U L ,UR ]=RPS [( ρ0 ,K , ρ ,w ,Ψ )L,( ρ0 ,K , ρ ,w ,Ψ )R ] (33)

donde RPS significa solución del problema de Riemann.

3.- ESQUEMA EN VOLÚMENES FINITOS

Consideremos el sistema no lineal constituido por las ecuaciones (4) y (6), dividamos eldominio espacial [0,L] en M celdas, denominadas Volúmenes finitos, de longitud Δz=L/Msegún el esquema de la izquierda de la Figura 3 y denotemos cada volumen mediante Ik,k=1,...,M. Cada volumen se define como:

I k=[zk−

12

, zk+

12

]

zk−

12

=(k−12)Δz ; z

k+12

=(k+12)Δz

(34)

Sea Δt el incremento del tiempo y definamos una aproximación a la solución Ukn del volumen

finito Ik en el instante tn =n·Δt mediante el siguiente valor medio:

U kn=

1Δz

∫zk−1

2

zk+1

2 U (z , t n)dz (35)

Esta discretización define la solución como una función a tramos y genera dominios deintegración Dk

n={[zk-½,zk+½]×[tn,tn+1]} en el plano z–t como muestra el esquema de la derechade la Figura 3.

z

k-11

zk +

12

k k+1 M

zk−

12

uk−1n

ukn

uk+1nu1

n

zk zk +1zk−1

uMn

zMz1

un

u( z)

L0

z

t

tn

Uk+

12

*Uk−

12

*

zk−

12

zk +

12

Δ t

Δ z

Dkn

tn+1

Ukn

Ukn+1

Figura 3: A la izquierda, función a tramos como aproximación a la solución. A la derecha, representación del dominio de integración delk-ésimo volumen en el plano z–t.

A la vista de la Figura 3, hay que darse cuenta que el volumen de control está unívocamentecontorneado por estados constantes de manera que es fácil integrar (4) en Dk

n y escribir:

∬Dkn [U t+H (U )z ]dz·dt=∬D k

n I (U )dz·dt (36)

12


Aplicando el teorema de Green a la parte izquierda de (36) obtenemos:

∬Dkn [∂U

∂ t−(−∂H

∂ z )dz·dt ]=∮C[U dz−H dt ] (37)

donde el sentido de integración a lo largo de C es el contrario al de las manecillas del reloj.Desarrollando la parte derecha de (37),

∫zk−1

2

zk+1

2 U (z , t n)dz−∫t n

t n+1

H [U (zk+1

2

, t)]dt+∫zk+1

2

zk−1

2 U (z , tn+1)dz−∫tn +1

tn

H [U (zk− 1

2

, t)]dt (38)

y teniendo en cuenta (35), se puede escribir:

∮C[U dz−H dt ]=U k

n Δz−Hk+

12

n Δt−U kn+1 Δz+H

k−12

n Δt (39)

donde:

Hk−

12

n=H [U

k−12

n]=H [

1Δ t∫t n

t n+1

U (zk−

12

, t)dt ]=H [RPS [U k−1n

,U kn]]

Hk+

12

n=H [U

k+12

n]=H [

1Δ t∫t n

t n+1

U (zk+

12

,t )dt ]=H [RPS [Ukn ,Uk+1

n]]

(40)

Finalmente, un esquema en volúmenes finitos puede ser escrito:

U kn+1

=U kn+ΔtΔz

[Hk−

12

n−H

k+12

n]−Δt I (U k

n) (41)

El esquema (41) necesita satisfacer la condición de Courant–Friedrichs–Lewy (CFL):

Δ t⩽Δ z

Smaxn (42)

Dado que la aproximación constante a tramos es un promedio de la solución en la celda dedimensión Δz, el error espacial es del orden Δz y el esquema es de primer orden en el espacio.Si se aplica el esquema (41) al sistema (4)-(6), se obtienen las siguientes tres expresionesalgebraicas de actualización temporal de las variables hidráulicas:

ρkn+1

=ρk−1n

+ΔtΔz

[( ρw)k−1

2

*−( ρw)

k+ 12

*]

ρkn+1w k

n+1=ρ knwk

n+ΔtΔz [(ρw2+K ln

ρρ0

)k−1

2

*

−(ρw 2+K lnρρ0

)k+1

2

*

]ρkn+1Ψ k

n+1=ρknΨ k

n+ΔtΔz

[(ρwΨ )k− 1

2

* −( ρwΨ )k+1

2

* ] } (43)

para k=1,...,M. Este esquema numérico también se aplica en volúmenes de control donde estápresente la lámina libre, como se muestra en la Figura 4.

13


z

t

tn

tn+1

k-2

(1+θn) Δ z (2−θn)Δ z

(1+θn+1

)Δ z (2−θn+1

)Δ z

k-1 k k+1 k+2

Uk*

zk−

32

zk−

12

zk +

12

zk +

32

Δ t

Δ z Δ z

w*Δ t

Dk+1nDk−1

n Uk+

32

*Uk−

32

*

U k+ 1nUk−1

n

U k+1n+1U k−1

n+ 1

Figura 4: Esquema de dos volúmenes de control en presencia de la superficie libre.

En la Figura 4 se describe el flujo numérico de Godunov a través de ambas fronteras de losvolúmenes de control mediante la solución de Riemann que se definen mediante:

Hk+

32

=H (Uk+

32

n)=RPS [U k+ 1

n ,Uk+ 2n

]

Hk− 3

2

=H(Uk− 3

2

n)=RPS [U k−2

n ,Uk−1n

](44)

Si se aplica el esquema (41) al sistema (4)-(6) a los dos volúmenes de control de la Figura 4,los situados justo sobre la superficie libre y justo debajo de la misma, se obtienen lassiguientes seis expresiones algebraicas escritas en forma recursiva:

14


ρk−1n+1

=1

1+θn+1 [(1+θn) ρk−1

n+ΔtΔz

(ρw)k−3

2

* ]ρk−1n+1 w k−1

n+1=

1

1+θn+1 [(1+θn)ρ k−1n w k−1

n+ΔtΔz

[(ρw2+K ln

ρρ0

)k−

32

−K lnρL

*

ρ0

] ]ρk−1n+1 Ψ k−1

n+1=

11+θn+1 [(1+θn) ρk−1

n Ψ k−1n

+ΔtΔz

(ρwΨ )k−3

2

* ]ρk+1n+1

=1

2−θn+1 [(2−θn) ρk +1n

−ΔtΔz

(ρw)k+

32

* ]ρk+1n+1w k+1

n+1=1

2−θn+1 [(2−θn) ρk +1n wk+ 1

n −ΔtΔz

[(ρw2+K lnρρ0

)k +

32

−K lnρR

*

ρ0

]]ρk+ 1n+1Ψ k +1

n+1=1

2−θn+1 [(2−θn) ρk+1n Ψ k+ 1

n +ΔtΔz

[( ρwΨ )k−

32

* −(ρwΨ )k +

32

* ]]} (45)

donde:

θn+1

=θn+ΔtΔz

w* y U k

*=(Ψ L

*, ρL

*,w

*, ρR

*,Ψ R

*)T=RPS(U k−1

n,U k+ 1

n) (46)

4.- EJEMPLOS NUMÉRICOS DE VERIFICACIÓN

4.1.- Condiciones iniciales estacionarias

Desde el momento en que la densidad contiene la información de presión, una condicióninicial de densidad constante en todo el dominio de integración resulta inestable de por siporque describe un gradiente de presiones que genera movimiento en una situaciónhidrostática. Además, tal inestabilidad se mantiene en el tiempo dado que las ecuaciones noincorporan la viscosidad en el término fuente. En este punto, resulta interesante mostrar lasolución hidrostática de la densidad para poder establecer unas condiciones inicialeshidrostáticas estables. Derivando (3) respecto z y substituyendo el resultado en la ecuaciónfundamental de la hidrostática, se obtiene la siguiente EDO:

∂ p∂ z

= ∂∂ z

[ p0+K·ln(ρρ0

)]=Kρ

∂ ρ∂ z

∂ p∂ z

=−gρ }→ Kρ

∂ ρ∂ z

=−gρ→dρρ2 =

−gK

dz (47)

15


Resolviendo (47), obtenemos la solución general de la ecuación fundamental de lahidrostática:

1ρ=

gKz+C (48)

Tomando los valores de referencia de la densidad ρ=ρ0 a la altura de la superficie libre z=z0

como solución particular, se puede escribir la solución estacionaria como sigue:

ρ=(K

gρ0 ·(z−z0)+K) ρ0 (49)

Integrando una vez más para obtener el valor promedio en un volumen finito, se obtiene:

ρk=1

Δ z ∫zk−1

2

zk+1

2

ρ=1Δ z

(Kg

) ln [(z

k+ 12

−z0)γ0+K

(zk− 1

2

−z0) γ0+K ] (50)

Se ha comprobado numéricamente que tomando w k=0 y ρk según (50) y k=1,... , M paratodas las M celdas del dominio espacial [0,L] que los esquemas (43) y (45) mantienenestacionaria la solución en condiciones hidrostáticas a pesar de no disponer de disipación.

4.2.- El golpe de ariete

El golpe de ariete es un aumento de presión que se produce cuando un fluido en movimientose ve obligado a detener o cambiar de dirección repentinamente (cambio de momento). Ungolpe de ariete de agua comúnmente ocurre cuando una válvula se cierra de repente en unextremo de un sistema de tuberías y una onda de presión se propaga. A partir de la ecuaciónde Joukowsky se puede calcular la sobrepresión máxima generada por el cierre instantáneo deuna válvula mediante la expresión de Allievi.

ΔH=ΔPγ =

c (ρ0)ΔVg

(51)

donde ΔP es el la magnitud de la onda de presión generada, ρ0 es la densidad del fluido y c(ρ0)su correspondiente celeridad de la onda calculada como en (2) suponiendo una tuberíatotalmente inelástica (esto es, una tubería con un módulo de elasticidad infinito) y ΔV es elcambio de velocidad del fluido; cantidades evaluadas justo antes del momento del cierre.

El segundo ejemplo de verificación numérica es el cálculo de un golpe de ariete de unatubería horizontal de 25 Km de longitud totalmente llena de agua en la que se produce uncierre instantáneo. La solución numérica debe de aproximarse al pulso de Joukowsky tanto enel valor de la sobrepresión como en la velocidad del viaje. Tomando los valores de la Tabla 1,el tiempo que tarda la onda en llegar al punto medio (z=12.500 m) es:

t=12.500

1.483,260−1=8,433 s (52)

16


― Modelo numérico: g = 0 m/s2.Caso 1: L = 25.000 m. , M = 2.500 volúmenes finitos. Δz = 10 m.Caso 2: L = 25.000 m. , M = 25.000 volúmenes finitos. Δz = 1 m.Caso 3: L = 25.000 m. , M = 250.000 volúmenes finitos. Δz = 0,1 m.

― Condiciones iniciales para los tres casos:

w k0=1m /s ; ρk

0=ρ0W ; k=1,... , M

― Condiciones de contorno definidas sobre los pseudonodos para los tres casos:

w0n=1m /s ; ρ0

n=ρ0W ; wM +1

n=−wM

n ; ρM +1n

=ρMn

El perfil de presiones en el instante t = 8,433 s de después del cierre instantáneo puede verseen la gráfica de la izquierda de la Figura 5.

10,32

10,33

10,34

10,35

10,36

10,37

10,38

10,39

10,4

10,41

10,42 t=8.427s

t=16.714s

t=25.714s

t=33.714s

t=34.714s

t=35.714s

t=36.714s

t=37.714s

t=37.714s

t=39.714s

t=40.714s

t=41.714s

t=42.714s

t=43.714s

t=44.714s

t=45.714s

t=46.714sz-space (m)

Pre

ssu

re H

ea

d (

MW

C)

Figura 5: Perfil longitudinal del ejemplo de golpe de ariete con infinita rigidez de la tubería. A la izquierda, perfiles de presiones en elinstante t = 8,433 s con la tubería llena solo de agua para los tres casos de discretización. A la derecha, perfiles de presiones en diferentes

instantes cuando la tubería inicialmente se encuentra la mitad llena de agua y la otra mitad con aire.

A la vista de la gráfica de la izquierda de la Figura 5 puede verse como el pulso deJoukowsky obtenido con las SCFE con los tres niveles de precisión coincide con el obtenidocon la expresión de Allievi y el momento de llegada del frente a la coordenada 12.500 m. Lasuavización de la curva viene dada por la difusión numérica, puesto que método de Godunovque se ha propuesto es de primer orden. La presencia de una lámina libre se muestra en unnuevo ensayo numérico con las siguientes características:

― Modelo numérico: L=25.000 m, M=2.500 volúmenes finitos. Δz=10 m, g=0m/s2.― Condiciones iniciales:

wk0=1m /s , ρk

0= ρ0W , k=1,. ..,1.250 ; wk

0=1m /s , ρ k

0=ρ0 A , k=1.251,... , M

― Condiciones de contorno sobre los pseudo-volúmenes:

w0n=1m /s ; ρ0

n=ρ0W ; wM +1

n=−wM

n ; ρM +1n

=ρMn

Una secuencia de perfiles de presiones para diferentes instantes puede verse en la gráfica de laderecha de la Figura 5. En esta gráfica destaca lo siguiente: 1.- El golpe de ariete inicialconverge al de Allievi pero para el aire (0,0425 m.c.a.). 2.- El golpe producido por la faseagua queda amortiguado debido a la compresión del aire, tal como se esperaría que ocurriera

17

12000 12100 12200 12300 12400 12500 12600 12700 12800 12900 130000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Allievi SCFE (Δz = 10 m) SCFE (Δz = 1 m) SCFE (Δz = 0.1 m)

z-space (m)

Pre

ssu

re H

ead

(M

WC

)


en presencia de un calderín antiariete. 3.- Existe un retraso de la llegada a la coordenada12.500 m (t=35,714 s) a causa de que la celeridad es de 340,46 m/s.

4.3.- El “Do de pecho”

Este ejemplo numérico proviene de la acústica, que es la parte de la mecánica de fluidoscompresibles que estudia las ondas del sonido. En el sonido las variaciones de presión yvelocidad son pequeñas comparadas con los valores de referencia y la variación de presión esisentrópica. La ecuación fundamental de la acústica deducida por Feymann en una dimensiónes la siguiente ecuación de onda para flujo no viscoso:

∂2 p '∂ z2 −

1c2

∂2 p '∂ t2 =0 (53)

donde p' es la presión acústica o variación local de la presión respecto de la de referencia:p'=p-p0 y c la celeridad de la onda o velocidad del sonido considerada constante. Estaecuación tiene como solución general:

p' (z ,t )=F (c t−z )+G(c t+z) (54)

donde F y G son doblemente diferenciables y son dos ondas superpuestas, F viajando haciaaguas abajo y G hacia aguas arriba, ambas a velocidad c. El ejemplo que se propone es el casoparticular de una onda sinusoidal viajando aguas abajo:

p' (z ,t )=A · sin(2π f·t−k z) (55)

donde A es la amplitud o “volumen” de la onda, f es la frecuencia de la onda en ciclos porsegundo y k es el número de onda, que es la frecuencia espacial de una onda en radianes porunidad de longitud y que vale:

k=2π/λ (56)

siendo λ=1/f la longitud de onda. Partiendo de una situación sin viento, se inicia para z=0 unavariación sinusoidal de la densidad de aire alrededor de ρ0, es decir, empieza a cantar un tenorcon un “Do de pecho” con una amplitud A=500. Tal nota tiene una frecuencia f=523,251 Hz.Al cabo de 100 ciclos completos, es decir, en el instante tF=0,191113s, el frente de onda ya seencontrará a más de 65 m de punto de emisión y todo el aire comprendido desde el foco hastaese punto tendrá esta presión acústica:

p' (z )=A ·sin (−k z) (57)

― Modelo numérico: L=2 m, M=2000 volúmenes finitos, Δz=0,001 m, g=0 m/s2.― Condiciones iniciales:

wk0=0m /s ; ρk

0= ρ0 A ; k=1,. .. ,M

― Condiciones de contorno de aguas arriba definidas en términos de flujo:

18


H (U1n)=[ ρ1

nw1n

ρ1n(w1

n) ²+K A · ln ( ρ1

n)−K A · ln(ρ0 A)] ; ρ1

n=ρ0 A · e

(pn

− p0

K A

)

; pn=p0+A ·sen (2π f · tn)

― Condiciones de contorno de aguas abajo definidas sobre los pseudo-volúmenes:

wM +1n

=wMn ; ρM+1

n=ρM

n

Los perfiles de presiones en el instante tF con las SCFE y (56) pueden verse en la Figura 6.

0,0000 0,6503 1,3006 1,950910,27

10,29

10,31

10,33

10,35

10,37

10,39

SCFE Ecuación de la acústica

z-space (m)

Pre

ssu

re H

ea

d (

MW

C)

Figura 6: Perfiles de presiones en el instante tF=0,191113s de un “Do de pecho” generada por un tenor.

El encaje perfecto entre perfiles de la Figura 6 verifica numéricamente las SCFE.

5.- RESUMEN Y CONCLUSIONES

Se han presentado las SCFE, para fluidos como el agua o el aire en condiciones de bajapresión y bajos números de Mach donde el proceso de compresión puede considerarseadiabático e isotérmico, y se ha propuesto una solución de Rieman para la obtención de losflujos numéricos de Godunov a través de las caras de un volumen finito, incluido el flujo através de la interfase entre fluidos o lámina libre. Se han mostrado tres ejemplos numéricos deaplicación de las ecuaciones para la verificación numérica de las SCFE. Como conclusiónfinal, se puede decir que las SCFE pueden ser utilizadas como alternativa a las ecuaciones deflujo incompresible.

Las SCFE, sirven para la modelización de fluidos en las siguientes condiciones: 1.- Bajosnúmeros de Mach con bajas velocidades y condiciones subsónicas, 2.- Condicionesambientales de presión y temperatura, 3.- Flujo entre fluidos no deslizante en la superficielibre y 4.- El proceso de compresión de los fluidos puede considerarse adiabático.

Referencias

[1] M.G. Boss, Discharge Measurement Structures, International Institute for LandReclamation and Improvement, Publication 20, Ẃageningen, The Nederlands,(1989).

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[2] A.J. Clemmens, T.S. Strelkoff y J.A. Replogle, “Calibration of submerged radialgates”, Journal of Irrigation and Drainage Engineering , ASCE, 129(9), pp. 680-687, (2003).

[3] T.L. Wahl, “Refined energy correction for calibration of submerged radial gates”,Journal of Hydraulic Engineering, 131(6), pp. 457-466, (2005).

[4] O. Castro-Orgaz, D. Lozano y L. Mateos, “Energy and momentum velocitycoefficients for calibrating submerged sluice gates in irrigation canals”, Journal ofIrrigation and Drainage Engineering, ASCE, 136(9), pp. 610-616, (2010).

[5] D. Lozano, L. Mateos, G.P. Merkley, y A.J. Clemmens, “Field calibration ofsubmerged sluice gates in an irrigation canal”, Journal of Irrigation and DrainageEngineering, 136(6), pp. 763-772, (2009).

[6] A.J. Clemmens, “Avoiding Submergence Transition Zone for Radial Gates inParallel”, Critical Transitions in Water and Environmental Resources Management ,doi: 10.1061/40737(2004)276, pp. 1-10, (2004).

[7] F.M. Henderson, Open-Channel Flow, Macmillan Publishing Co., New York, USA,(1966).

[8] J. Soler-Guitart, E. Bladé, J. Bofill-Abelló y P. Gamazo, “«Enfoque ráster» delproblema hidrodinámico del flujo en lámina libre en 2D”, Tecnología y ciencias delagua, Vol. IV, núm. 4, pp. 77-92, (2013).

[9] E.F. Toro, Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows, John Wiley& Sons, (2001).

[10] E.F. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics: a practicalintroduction, Springer Verlag, (2009).

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