P R O P A G A C I Ó N D E L O L E A J E

“ T E O R Í A D E A I R Y ”

SOLUCION LINEAL DE LA ECUACIÓN DE ONDAS

TEMARIO

INTRODUCCION

CONSIDERACIONES

MODELAMIENTO DE LA ECUACIÓN

RESOLUCIÓN

CONCLUSIÓN

INTRODUCCION

Las olas varían según la acción del viento sobre la superficie, en función de su velocidad, duración y amplitud en mar abierto. La formación de las olas comienza con los primeros rizos y, si el viento se mantiene, el agua se apila en crestas, de forma que la cara levantada de cada rizo presenta mayor superficie al viento.

Un mar es el complejo resultando de la intensidad y dirección del viento variables, y de la combinación de las olas en distintos modelos en cuanto a dirección, longitud y amplitud de onda.

Las ondas libres de movimiento ondulatorio son el resultado del movimiento del agua, que describe órbitas para volver a la vertical. Según se alejan de su lugar de origen se modifican: las crestas se hacen más bajas y redondeadas, de forma más simétrica y se mueven en trenes de período y altura similar.

CONSIDERACIONES

Teoría de George Airy (1801- 1892)

La propagación del oleaje en un fluido es un proceso no lineal.

Podemos simplificar su análisis físico y matemático con ciertas consideraciones:

• Fuerzas principales Gravedad y Presión

• Fluido no viscoso e incompresible

• Se despreciarán tensiones tangenciales superficiales

• Fondo fijo e impermeable

• Movimiento irrotacional

• Ola periódica y regular

Bajo estas condiciones podremos estudiarla como un proceso lineal.

CONSIDERACIONES

Para el análisis de la onda de oleaje se tomará el espacio de esta como un sistemacartesiano de dos dimensiones, para esto se debe pasar del sistema Tridimensional en que se encuentran las olas en el espacio a un sistema Bidimensional.

TIEMPO CONSTANTE

Por lo que este modelo correspodera a una ola estacionaria.

MODELAMIENTO DE LA ECUACION

Ecuaciones Fundamentales

consideramos la “Ecuación de Flujo Irrotacional”

Se considera fluido incompresible, en el plano x-z, obteniendo:

MODELAMIENTO DE LA ECUACION

Sustituyendo la condición irrotacional se tiene:

la ecuacion obtenida es la “Ecuacion de Bernoulli”

MODELAMIENTO DE LA ECUACION

De la “Ecuación de Bernoulli” podemos decir que el factor tensión de esta esdespresiable:

Considerando el fluido no viscoso y los efectos de la tensión superficial como despreciables, obtenemos la “Ecuación de Euler” , con lo que se tienen 4 incógnitas. (u,v,w,p), Por lo que faltaría una sola ecuación, que será la “Ecuación de Continuidad”

la “Ecuación de Bernoulli” antes planteada relacionará: Ф y p.

MODELAMIENTO DE LA ECUACION

considerando que trabajamos con el agua como un fluido no viscoso, es decir, se desprecian las tensiones tangenciales , en consecuencia, no se considera la capa límite, por lo que el flujo se estudia como si deslizara sobre los contornos.

Con estas hipótesis, a partir de la “Ecuación de Conservación de Cantidad de movimiento”, obtuvimos la “Ecuación de Bernoulli”, y aplicada con la “Ecuación de Continuidad”, se transforma en la “Ecuación de Laplace”, que gobierna el problema:

CONDICIONES DE BORDE

Condicion cinematica (fondo)

Para un fondo impermeable cuya superficie viene dada por la ecuación :

F (x; z; t) = z + h (x; t) = 0

Si se considera que el fondo no varía en el tiempo, la ecuación se reduce a:

CONDICIONES DE BORDE

Condiciones de contornos laterales

Si el dominio es infinito, -∞< x < ∞, se exige que el movimiento sea

periódico en el tiempo y en el espacio, lo que se expresa de la forma:

CONDICIONES DE BORDE

Condición de contorno dinámica

Para un fluido incompresible, no viscoso e irrotacional, esta condición viene dada por la “Ecuación de Bernoulli” aplicada en z = η(x , y) (desplazamiento de la superficie libre del mar ):

MODELAMIENTO DE LA ECUACION

Para el desarrollo de la ecuación tomando en cuenta las condiciones planteadas se considera el problema de forma bidimensional.

Se despreciaran los términos no lineales, con el supuesto de onda de pequeña amplitud ( <<1 , 2<< ). Donde es el desplazamiento de la superficie libre del mar

Se considera un fondo horizontal, onda progresiva, reduciendo el problema a las siguientes condiciones:

MODELAMIENTO DE LA ECUACION

Para la resolución se utilizará el Método de Separación de Variables

SOLUCION FINAL

RESOLUCIÓN

Para resolver esta ecuación, aplicaremos el método de variables separables.

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

Para resolver la ecuación, nos damos la siguiente forma de la ecuación:

Como T(t) debe ser una función periódica en el tiempo de periodo T,puede suponerse que es una combinación lineal de las funciones cos σt ysin σt :

RESOLUCIÓN

Aplicando, las condiciones de periocidad, se tiene:

Para que esto sea cierto, se debe cumplir:

(frecuencia angular)

RESOLUCIÓN

Si sustituimos en la ecuación y después, dividimos por la solución, se tiene:

en la que se observa que el primer término de la ecuación sólo depende dela variable x, mientras que el segundo es exclusivamente función de z, portanto, para que su suma valga cero, ambos deben ser constantes y opuestos:

RESOLUCIÓN

Ahora la solución, dependerá del valor de k:

RESOLUCIÓN

Puesto que se busca una solución periódica en x, debe ser k real y distintode cero. Por tanto, la estructura del potencial será:

RESOLUCIÓN

Condición de borde lateral:

El potencial tiene que ser, como se ha dicho anteriormente, periódico en x,lo que ocurrirá si y sólo si:

para que esta igualdad sea cierta debe ser,

Donde k se conoce como el número de onda y L la longitud.

RESOLUCIÓN

La función X(x)Y(t) es una combinación lineal de las funciones

puede, por tanto, escribirse como combinación lineal de las funciones sin(kx- σt+φ1) y sin(kx+σt-φ2) siendo φ1 y φ2 constantes. La función potencialque resulta es:

RESOLUCIÓN

Condición de contorno cinemática en el fondo:

Expresando la CCCF en términos de la función potencial se tiene,

para que esta expresión sea cero, independientemente del punto x y el tiempo t, el término entre paréntesis tiene que anularse:

RESOLUCIÓN

Sustituyendo en la función potencial:

RESOLUCIÓN

Condición de contorno dinámica en la superficie libre:

De la condición dinámica en la superficie libre

Y sustituyendo en la solución:

que es la superposición de dos oscilaciones de amplitudes

RESOLUCIÓN

Despejando:

Analizando la solución, se tiene:

Factor de Profundidad

Y las fases del movimiento:

RESOLUCIÓN

Debido a que el fenómeno estudiado, se considera olas progresivas . Se tieneA2=0 o A1=0, dependiendo de la dirección y referencia que se tome, y con φ=0. Quedando como solución de Ф:

CONCLUSIONES

Nuevas formas de energía.

Predicción de catástrofes.

Aplicación en la ingeniería naval.

Ámbito matemático, relación de la realidad con la ciencia.

FIN DE LA PRESENTACION