Trabajo de Investigación Matemática

Aplicaciones de las integrales múltiples en el análisis de elementos estructurales

Autores:Víctor Araya

Christian EltitBlas Larraín

Mattias ManentPablo Ramos

Profesor: Eduardo Saez

Fecha: 19-11-10

Índice

Introducción y marco teórico......................................................................................................................3

Integrales múltiples.....................................................................................................................................5

Aplicaciones de las integrales dobles..........................................................................................................6

Mecánica Clásica.........................................................................................................................................8

Objetivos de la investigación.......................................................................................................................9

Procedimiento.............................................................................................................................................9

Casos de perfiles a estudiar.......................................................................................................................10

Distribuciones de carga a estudiar.............................................................................................................15

Calculo de Esfuerzos..................................................................................................................................19

Conclusiones..............................................................................................................................................23

Bibliografía................................................................................................................................................23

2

Introducción y marco teórico

Optimizar y abaratar costos es uno de los muchos objetivos de las empresas del mundo actual, en particular en el área de la ingeniería. Una de las herramientas que más se utiliza para lograr estos objetivos es el cálculo, que tras un análisis detallado de un problema, entrega una solución adecuada a éste.

En la construcción cobra gran importancia lo anterior, ya que los costos son abismantes y hay claramente muchas áreas donde estos pueden ser reducidos, sin dejar de lado los múltiples factores de seguridad con los que son regulados.

Las vigas son elementos estructurales fundamentales en la construcción, donde cumplen múltiples funciones y será su fin lo que la regulará en términos de sus dimensiones, material del que este hecha y forma, porque esas propiedades influirán en la resistencia de distintas cargas a las cuales son sometidas.

Diagrama 1: Viga simplemente apoyada, sometida a carga puntual.

La viga puede estar sometida a varios estados de esfuerzos de flexión y tracción, que le darán la forma para resistirlos, ya que no queremos que nuestra viga colapse y genere una catástrofe. Sin embargo estos estados hacen trabajar de distinta forma a la viga, habiendo partes de ellas donde no está sometida a esfuerzos, o son muy pequeños, con lo que se puede ahorrar material eliminando esas partes ya que no son útiles y aumentan los costos de la estructura sin afectar los rendimientos de esta.

Una viga puede fallar por muchas razones, y cada una de ellas está regulada por las normas chilenas NCh. Estas fallas pueden ser por tracción (estiramiento de la viga), compresión (cuando se comprime la viga), flexión, deflexión (curvatura), pandeo, entre otros.

3

Nos centraremos en la falla por flexión, cuya norma considera esfuerzos normales y de corte admisibles. Estos esfuerzos vienen dados por las siguientes formulas:

Fórmula 1 Fórmula 2

La fórmula 1 (Navier) representa el esfuerzo normal, que es el de tracción y compresión de la viga, el “I z” de la ecuación representa el momento de inercia del perfil de la viga en torno al eje “z”, “M” es el momento interno de la viga e “y” es la distancia del eje neutro al lugar de referencia que se está calculando el esfuerzo. Veremos esto con más detalle posteriormente.

En la Fórmula 2 (Jourasky) lo que se calcula es el esfuerzo de corte, y sus variables son: “V” es el corte interno de la viga. “Q” es el primer momento, “b” es el ancho del perfil donde se está trabajando y finalmente el “I” es el momento de inercia de la viga.

Para el cálculo de las variables como lo son el primer momento o el momento de inercia es útil usar las integrales múltiples. La explicación de cómo aplicarlas se explica a continuación.

4

Integrales múltiples

Consideremos que P=Rij es una partición, por una familia de curvas, de una región Ω, cerrada y acotada. Diremos que:

d(Rij )= supremo d(P ,Q) es el diámetro de Rij entre sus puntos mas alejados, donde P ,Q є Rij.

Sea S(P,f)=∑i∑j

f (¿¿Pij)∆ Rij¿¿ una Doble suma de Riemann de una función f en la partición

P , donde Pij es un punto arbitrario de cada Rij .

Luego se define (P) como la norma de la partición y analizando el caso particular cuando (P)→0 se tiene que:

d(Rij )=0 ,∀ij

∆ R ij→0Rij⇒ Pij Tiende a un punto.

La región Ω quedara dividida en regiones infinitesimales, y además se puede plantear que:

Si el lim(P )→ 0

S(P , f ) existe, entonces

lim(P )→0

∑i∑j

f (¿¿P ij)∆ Rij¿¿ = ∬Ω fdA

Integrales Iteradas:Sea f :2→ una función real y continua , definida en una región Ω =[a,b]x[c,d], la integral iterada de la función f sobre Ω puede escribirse como dos integrales en sentido unidimensional de Newton.

∫a

b

∫c

d

f ( x , y )dydx =∫a

b

A ( x )dx

Teorema de Fubini:Sea Ω cerrada y acotada f :2→, C°

Entonces: 1)f es integrable en el sentido Riemann2)La integral de Riemann coincide con las integrales iteradas

5

∬Ω fdA=∫a

b

∫c

d

f ( x , y )dydx

Aplicaciones de las integrales dobles

Las integrales múltiples pueden tener distintas interpretaciones, tanto físicas como geométricas, dependiendo del sentido que se le dé a la suma.

Área de una figura plana:En el caso que se considere f(x,y)=1 , la integral quedara representada como:

∬D f ( x , y )dA=∬DdA =A(D) lo cual represente el area de una región D.

Masa:

Considerando ahora que la función f representa densidad variable ρ, f(x,y)=ρ(x,y), y que ρ=dmdA

,

la integral para calcular la masa de una lámina plana que ocupa una región D, M(D), queda representada como:

∬D f ( x , y )dA=∬D ρ(x , y)dA =∬Ddm=M (D)

Para el caso de la masa de un sólido en el espacio, se integra sobre una región R є3, considerando ρ como densidad volumétrica variable, entonces la expresión:

∭R f ( x , y )dV=∭R ρ(x , y , z )dV representa la masa de un sólido en el espacio.

Centro de masa:Consideramos el 1° momento de inercia como:∬D ydm =My , donde y es la distancia de una particula de masa dm , despejando y , se obtiene la segunda coordenada del centro de masa.

y=∬ ydm∬dm

x=∬ xdm∬ dm

(x , y ,) son las coordenadas del centro de masa.

En el caso que la densidad no sea uniforme la expresión para y, queda expresada como:

6

y=∬ y ρdA∬ ρ dA

, análogamentex=∬ x ρ dA∬ ρ dA

De la misma manera si quiere analizar el centro de masa de un sólido tridimensional de densidad no uniforme, se tendrá la siguiente igualdad:

∭D y ρ ( x , y , z )dV =My

las coordenadas del centro de masa en el espacio:

y=∭ y ρ(x , y , z)dV∭ ρ(x , y , z)dV

x=∭ x ρ(x , y , z)dV∭ ρ( x , y , z )dV

z=∭ z ρ(x , y , z)dV∭ ρ(x , y , z)dV

Momento de inercia:La integral que representa al momento de inercia, de una placa D con eje de rotación I=∬D r

2dm O bien, en el caso que la placa no tenga densidad uniforme la expresión para calcular el momento de inercia estará dada por:

I=∬D r2 ρ (x , y )dA

7

Mecánica Clásica

Además del cálculo, requerimos en nuestro análisis posterior un conocimiento de la mecánica clásica:

Para analizar la resistencia del material, hay que introducirnos en la viga y estudiar su comportamiento interno ¿Cómo se comportan las fuerzas internas a lo largo de la viga? Por equilibrio estático, la suma de las fuerzas debe ser cero para que no se desplace, asimismo la sumatoria de los momentos debe ser cero (tendencia a rotar del objeto) ya que no debe rotar.

Diagrama 2: Comportamiento interno

Para determinar las fuerzas y momentos internos, primero se corta la viga. Por acción y reacción, y estabilidad de la viga se agrega al extremo una fuerza y un momento que son los que simulan el comportamiento del lado cortado de la viga (diagrama 2). Se repite el procedimiento a lo largo de toda la viga. Con lo anterior se crean diagramas de fuerzas internas, que son el comportamiento de cada magnitud física a lo largo de la viga representados en una función (N(x) fuerza axial, V(x) fuerza de corte y M(x) momento interno).

Estas aplicaciones sin duda nos facilitan el análisis que haremos a continuación de los distintos perfiles de vigas y la resistencia de éstos.

8

Objetivos de la investigación

La siguiente investigación tiene como objetivo estudiar el comportamiento de una viga bajo distintos estados de esfuerzo. Estudiaremos para esto distintas cargas y perfiles que son recurrentes en el área de la ingeniería civil.

Como se trata de un área profesional en que los recursos deben ser usados con de manera eficiente, buscaremos un perfil de viga óptimo, económico y resistente utilizando las integrales múltiples, y aplicando conocimientos de la mecánica de sólidos.

Considerando lo anterior, la investigación consistirá de una aplicación matemática concreta al área del cálculo de elementos estructurales, como una aproximación de lo que se realiza en las oficinas de cálculo de los ingenieros civiles.

Procedimiento

El procedimiento consistirá en calcular las distintas variables por separado, es decir, los momentos y fuerzas internas y los momentos de inercia de las vigas, y luego aplicar las formulas mencionadas anteriormente para obtener el valor de los esfuerzos en los elementos.

9

Casos de perfiles a estudiar

Uno de los puntos más importantes en el análisis de elementos estructurales es la determinación del momento de inercia de las secciones transversales de estos. Aquello se debe a que este valor influirá en gran parte de los cálculos de los esfuerzos en el material.

Como vimos anteriormente, el momento de inercia de una figura plana viene dado por la integral

I=∬A

r2dA

donde r es la distancia desde el elemento diferencial de área al eje respectivo.

Cuando se trata de flexión simétrica, debemos determinar este momento con respecto al eje “z” arbitrario, el cual ubicamos en el centro geométrico del elemento.

A continuación analizaremos tres casos de figuras simétricas que son recurrentes en elementos estructurales, y utilizaremos integrales múltiples para determinar sus momentos de inercia.

Para este efecto, seleccionamos las siguientes figuras: (1) una viga rectangular, (2) una viga “doble T”, (3) un tubo utilizado como viga estructural. Diremos que los tres elementos son del mismo material, y sus dimensiones están dadas por las mismas constantes.

Figura (1) Figura (2) Figura (3)

10

b

h h−2bh

b

h

b b

Luego de estas consideraciones, podemos comenzar a calcular los momentos de inercia.

Para la figura (1), vemos que el centro geométrico, y por consiguiente el eje “z”, se ubica en la mitad de la altura, por lo que la distancia al eje viene dada por la coordenada “y”, por lo que la distancia al cuadrado al eje será r2= y2. Entonces ubicamos la figura en el plano zy de la siguiente forma:

Por consiguiente, la integral queda:

I z=∬A

y2dA

Falta fijar los límites de integración. Integraremos utilizando coordenadas cartesianas, por lo que el elemento diferencial de área será dA=dzdy, y los limites deben cubrir toda el área de la sección transversal. Entonces, para la variable “z” los límites van desde 0 a “b”, y para la variable “y”, desde “-h/2” a “h/2”. Finalmente la integral queda (por el teorema de Fubini):

I z1=∬A

y2dA=∫−h2

h2

∫0

b

y2dzdy=b(( h2 )3

3−

(−h2 )

3

3)=bh3

12

11

z

y

b

h2

−h2

Para la figura (2), nuevamente por simple inspección ubicamos el eje “z” en la mitad de la altura de la viga. Nuevamente se cumple que la distancia al cuadrado viene dada por la coordenada

“y”, por lo que el momento de inercia está determinado por:

I z=∬A

y2dA

No obstante, el caso de los límites de integración es algo más complejo que el anterior.

Debemos considerar la viga como tres elementos separados y proceder a plantear tres integrales para cada uno de estos. Es decir, calcular el momento de inercia del alma (parte central) y luego el de las alas (parte superior e inferior de una viga).

El alma tiene dimensiones (h-2b) de alto y b de ancho.

Entonces para el alma, tenemos que el momento de inercia con respecto al eje “z” es

I z= ∫−(h2−b )

( h2−b)∫

0

b

y2dz dy=b(( h2−b)3

3−

(−( h2−b))3

3)=−112

b (2b−h )3

12

z

y

( h2−b)

−( h2−b)b z

Para las alas, el único problema consiste en determinar los límites de integración. Sin embargo esto es más simple de lo que parece, ya que las referencias no cambian, basta con utilizar la altura donde comienzan y la donde terminan los elementos rectangulares.

Entonces para el ala superior, el momento de inercia es:

I z2= ∫( h2−b)

h2

∫0

h

y2dz dy=h( ( h2 )3

3−

( h2−b)3

3)=h( b33 −b2h

2+b h

2

4 )Y para el ala inferior:

I z3= ∫−h2

−( h2−b)∫

0

h

y2dz dy=h((−h2

+b)3

3−

(−h2 )

3

3)=h( b33 −b2h

2+ bh2

4 )Debido a que usamos el mismo eje de referencia para el cálculo de las integrales, y como las integrales en realidad son básicamente sumas de cosas, podemos decir que el momento de inercia total es simplemente la suma de los momentos de inercia de los tres elementos que conforman la viga.

TOTAL:I z=−112

b(2b−h)3+2h ( b3

3−b2h2

+ bh2

4)

13

y

−( h2−b)−h2

h z

y

( h2−b)

h2

h

El caso de la figura (3), como se trata áreas circulares en el plano, conviene claramente analizarlo por medio de coordenadas polares.

Para saber cuál será la distancia r hasta el eje z, el cual coincidía con la coordenada “y” en cartesianas, debemos considerar la transformación que lleva coordenadas polares a rectangulares:

z=ρ cos θy=ρ senθ

Entonces la distancia al cuadrado desde un punto al eje “z” en coordenadas polares es

r2=ρ2(senθ)2

Los límites de integración vendrán dados por los radios de las circunferencias, que determinan

el área cubierta. En este caso van desdeh−b2

hasta h2

. La variable θ debe cubrir desde 0 a 2π.

Entonces por Fubini, la integral queda:

I z=∫0

2π

∫h−b2

h2

ρ2(senθ)2 ρ dρdθ= 164

(−(b−h)4+h4)π

Nótese que para pasar a coordenadas polares en la integral, se debió multiplicar por el jacobiano de la transformación.

14

y

zh−b2

1500 [kgf] 1500 [kgf]

Distribuciones de carga a estudiar

Estudiaremos las 3 distribuciones de cargas más comunes en las vigas simplemente apoyadas. Estas son, viga sometida a cargas puntuales, las vigas con carga distribuida por toda su extensión, y las vigas sometidas a cargas distribuidas pero en segmentos de la viga. El largo de la viga es de 3 [m]

La primera muestra una viga con dos carga puntuales a 0,5[m] del centro, esto suele presentare en las vigas transversales de las pasarelas. Siendo el corte máximo 1500[kgf] y el momento máximo 1500[kgf x m]

-

Diagrama de Corte:

15

0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0x

1500

1000

500

500

1000

1500

Corte

3000[kgf/m] 3000[kgf/m]

Diagrama de Momento:

0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0x0

500

1000

1500

Momen to

La segunda muestra una viga con una carga distribuida de 3000[kgf/m] en segmentos a 0,5 [m] y 0,5 [m] a del centro, esto suele presentarse, cuando las vigas sostiene otras viga, por ejemple en puentes. Siendo el corte máximo 1500[kgf] y el momento máximo 1125 [kgf x m].

16

Diagrama de Corte:

0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0x

1500

1000

500

500

1000

1500

Corte

Diagrama de Momento:

0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0x0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Momen to

17

0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0x

1500

1000

500

500

1000

1500

Corte

1000[kgf/m]

La tercera muestra una viga que soporta una carga uniforme distribuida por toda su extensión, por ejemplo cuando una viga sostiene una losa. Siendo el corte máximo 1500[kgf/m] y el momento máximo 1125 [kgf x m].

Diagrama de Corte:

Diagrama de Momento:

18

0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0x0

200

400

600

800

1000

1200

1400

MomentoCalculo de Esfuerzos

Para calcular los esfuerzos en las vigas, se consideraran nueve casos. Dentro de cada tipo de distribución de carga más común, se analizaran los tres perfiles mencionados anteriormente. Para hacer el análisis de resistencia de materiales se trabaja con los esfuerzos máximos que actúan sobre el elemento en estudio, así se podrá concluir si la viga en este caso, puede o no ser sometida a una cierta distribución de carga.

Sea:V Corte máximo que actúa sobre la viga.M Momento máximo que actúa sobre la viga.I z Momento de inercia de la seccion respecto al eje z.Q y Primer momento de area respecto al eje z.hmax Altura maxima de la seccion transversal de la viga.bmax Ancho de la seccion transversal de la viga donde actua el esfuerzo de corte

maximo.σ x Esfuerzo axial maximo en la viga.τ xy Esfuerzo de corte maximo en la viga.

Las dimensiones b y h utilizadas anteriormente para calcular los momentos de inercia seran utilizados con valores de vigas comunes.

b=4 [cm ] y h=16 [cm ]

Se utilizaran las formulas de Navier y de Jouraski para obtener tanto del Esfuerzo Axial maximo, como el Esfuerzo de corte maximo.

σ x=MI z

∗hmax y τ xy=V xQ y

I z xbmax

Caso 1.1Viga con cargas puntuales / Seccion transversal Rectangular

M=150000 [ Kgf x cm ] I z=1365.333[cm4]

V=1500 [ Kgf ]Q y=128[cm3]

bmax=4 [cm]hmax=8 [cm ]

σ x=878.9 [ Kgfcm2 ] τ xy=35.15[ Kgfcm2]

19

Caso 1.2Viga con cargas puntuales / Seccion transversal Doble T

M=150000 [Kgf xcm ] I z=4949.333[cm4 ]

V=1500 [ Kgf ]Q y=400 [cm3]

bmax=4 [cm ] hmax=8[cm ]

σ x=242.45 [ Kgfcm2 ]τ xy=60.614[Kgf

cm2]

-Caso 1.3Viga con cargas puntuales / Seccion transversal anular

M=150000 [Kgf xcm ] I z=2199.11[cm4]

V=1500 [Kgf ]Q y=197.333 [cm3]

bmax=4 [cm]hmax=8 [cm ]

σ x=545.675 [Kgf

cm2]τ xy=33.64 [

Kgf

cm2]

Caso 2.1Viga con carga distribuida por segmentos / Seccion transversal Rectangular

M=112500 [Kgf x cm] I z=1365.333[cm4]

V=1500 [Kgf ]Q y=128 [cm3]

bmax=4 [cm ] hmax=8[cm ]

σ x=659.17 [Kgf

cm2] τ xy=35.15[

Kgf

cm2]

20

Caso 2.2Viga con carga distribuida por segmentos / Seccion transversal Doble T

M=112500 [Kgf xcm ] I z=4949.333[cm4]

V=1500 [Kgf ]Q y=400[cm3]

bmax=4 [cm]hmax=8 [cm ]

σ x=181.84 [Kgf

cm2] τ xy=60.614 [

Kgf

cm2]

Caso 2.3Viga con carga distribuida por segmentos / Seccion transversal anular

M=112500 [Kgf xcm ] I z=2199.11 [cm4]

V=1500 [ Kgf ]Q y=197.333[cm3]

bmax=4 [cm ] hmax=8[cm ]

σ x=409.25[ Kgfcm2 ]τ xy=33.64 [ Kgfcm2]

Caso 3.1Carga distribuida uniformemente a lo largo de la viga/ Seccion transversal Rectangular

M=112500 [Kgf xcm ] I z=1365.333 [cm4 ]

V=1500 [Kgf ]Q y=128 [cm3]

bmax=4 [cm ] hmax=8[cm ]

σ x=659.17 [ Kgfcm2 ] τ xy=35.15[ Kgfcm2]

21

Caso 3.2Carga distribuida uniformemente a lo largo de la viga / Seccion transversal Doble T

M=112500 [Kgf xcm ] I z=4949.333[cm4]

V=1500 [Kgf ]Q y=400[cm3]

bmax=4 [cm ] hmax=8[cm ]

σ x=181.84 [ Kgfcm2 ]τ xy=60.614 [ Kgfcm2]

Caso 3.3Carga distribuida uniformemente a lo largo de la viga / Seccion transversal anular

M=112500 [Kgf xcm ] I z=2199.11 [cm4]

V=1500 [ Kgf ]Q y=197.333[cm3]

bmax=4 [cm ] hmax=8[cm ]

σ x=409.25[Kgf

cm2]τ xy=33.64 [

Kgf

cm2]

.

22

Conclusiones

En conclusión, podemos afirmar que se pudo comparar de una forma efectiva los distintos tipos de perfil seleccionados, sometidos a cargas recurrentes en el área de la ingeniería civil.

En la sección anterior, los resultados concluyeron que el perfil que mejor resistía las cargas, produciendo un menor esfuerzo en el material, fue el perfil doble T, el cual precisamente es uno de los más usados actualmente en la construcción. Le sigue el perfil anular, y luego el perfil rectangular. Si considerásemos vigas del mismo material y sometidas a la misma carga, ésta sería la preferencia.

No obstante, estos resultados no son del todo concluyentes. Por un lado, se debe analizar también, en estudios futuros, qué perfil de viga es el que requiere menor material en su construcción, ya que el factor económico es muy importante en el sector ingenieril. La viga doble T resiste mejor a los esfuerzos, pero usa considerablemente más material que sus contrapartes rectangular y anular.

También se deben considerar otros factores relativos a la construcción. Por ejemplo, un buen término medio sería el perfil anular, que resiste bien los esfuerzos y no representa un gasto excesivo de material. Sin embargo, la forma del perfil trae dificultades a la hora de hacer las uniones en los extremos, por lo que estas vigas se utilizan principalmente cuando no es necesario efectuar estas uniones.

Considerando lo anterior, el estudio realizado consistió en un análisis aproximado de lo que se realiza en las oficinas de cálculo, ya que en estos lugares se deben considerar muchos otros factores que por distintas razones no fue posible incluir en éste compilado. No obstante lo anterior, la realización de este artículo requirió por parte de los autores un manejo óptimo de los temas tratados, tanto en el área de las matemáticas cómo de la mecánica de sólidos, por lo que cumplió su cometido, el cual era acercar a los futuros profesionales al área en el cual eventualmente se desarrollarán, y mostrar que la matemática y el cálculo están presentes en prácticamente todos los aspectos de la profesión ingenieril.

23

Bibliografía

GERE J.M, TIMOSHENKO S.P, Mecánica de Materiales, México, Unión Tipográfica Editorial, 1974

STEWART J, Cálculo. Trascendentes Tempranas, México, International Thomson Editores, 2007

HALLIDAY D, RESNICK R, Física, México, Compañía Editorial Continental, 1980

Saez, Eduardo. MAT024 – Matemáticas IV, Segundo Semestre 2010, Apuntes de Clases.

Tobar, René. CIV132 – Resistencia de Materiales, Segundo Semestre 2010, Apuntes de Clases.

24